algebra liniara geometrie analitica si diferentiala

Tudor Boac

ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC I DIFERENIAL

Editura Universitii Petrol-Gaze din Ploieti

2010

Copyright 2010, Editura Universitii din Ploieti Toate drepturile asupra acestei ediii sunt rezervate editurii

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei BOAC TUDOR Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial / Tudor Boac. -Ploieti : Editura Universitii din Ploieti, 2010 Bibliogr. Index ISBN

Control tiinific: lector dr. Ilie Ristea Redactor: Prof. dr. ing. Tehnoredactare computerizat: Tudor Boac Director editur: Prof. dr. ing. erban Vasilescu

Adresa: Editura Universitii din Ploieti

Bd. Bucureti 39, cod 2000 Ploieti, Romnia

Tel. 0244-57 31 71, Fax 0244-57 58 47

CUPRINS

Prefa..... 7

1. Spaii liniare 9

1.1. Spaii liniare... 9 1.2. Subspaii liniare...... 12 1.3. Dependen i independen liniar... 18 1.4. Baz. Dimensiune . 21 1.5. Schimbarea bazei unui spaiu liniar .. 26 1.6. Varieti liniare... 28 1.7. Spaii liniare izomorfe.... 29 1.8. Produs scalar. Norm. Distan...... 31 1.9. Ortogonalitate. Baze ortonormate.. 36 1.10. Schimbarea bazei ntr-un spaiu euclidian.. 42 1.11. Exerciii.... 44

2. Operatori liniari... 61

2.1. Operatori liniari.. 61 2.2. Nucleu i imagine... 64 2.3. Operatori liniari pe spaii finit dimensionale..... 67 2.4. Norma unui operator liniar 73 2.5. Dualul unui spaiu liniar. 80 2.6. Operatori liniari pe spaii euclidiene.. 84 2.7. Exerciii...... 92

3. Vectori i valori proprii....... 99

3.1. Vectori i valori proprii...... 99 3.2. Polinomul caracteristic al unui endomorfism......... 101 3.3. Forma diagonal a unui endomorfism.... 103 3.4. Forma canonic Jordan........ 110 3.5. Spectrul endomorfismelor pe spaii euclidiene....... 125 3.6. Exponeniala unei matrice .......... 134 3.7. Exerciii....... 141

4. Forme biliniare. Forme ptratice........ 153

4.1. Forme biliniare........ 153 4.2. Forme ptratice............ 158 4.3. Signatura unei forme ptratice reale.... 166 4.4. Exerciii .......... 169

5. Elemente de geometrie analitic........ 175

5.1. Spaiul euclidian 3E ........................................... 175 5.2. Produse cu vectori geometrici......................... 177 5.3. Sisteme de coordonate......................... 181 5.4. Izometriile lui 3E ........................... 186 5.5. Planul i dreapta...................................................................................... 195 5.6. Conice...................................................................................................... 200 5.7. Cuadrice.................................................................................................. 215 5.8. Exerciii................................................................................................... 223

6. Elemente de geometrie diferenial a curbelor.................................. 233

6.1. Drumuri i curbe.............. 233 6.2. Curbe Frenet................ 239 6.3. Curbe n 2E ........................................ 259 6.4. Exerciii .......... 275

Anex......... 281

A.1. Matrice. Determinani........ 281 A.2. Sisteme de ecuaii liniare.... 291

Bibliografie............ 295

Notaii............ 297

Index.......... 299

PREFA

Cursul de fa are la baz prelegerile de algebr liniar, geometrie analitic i diferenial pe care le-am inut mai muli ani studenilor seciilor de automatic i calculatoare din cadrul Universitii Petrol-Gaze Ploieti. Coninutul su acoper ns i programele analitice ale seciilor de inginerie mecanic i electric i, parial, programa analitic a seciei de matematic. Primele patru capitole, care acoper algebra liniar, au fost publicate de sine stttor n anul 2004, la aceeai editur. Nu am efectuat asupra lor dect mici modificri. Am dorit s prezint n acest curs, ntr-un mod unitar, elementele de baz ale algebrei liniare, geometriei analitice i geometriei difereniale a curbelor, prezentare care este posibil datorit legturii strnse care exist ntre aceste discipline matematice. Expunerea noiunilor fundamentale ale geometriei euclidiene din capitolul cinci are la baz rezultate fundamentale ale algebrei liniare: prorietile spectrale ale operatorilor liniari simetrici i structura i proprietile transformrilor izometrice ale unui spaiu euclidian. Cartea cuprinde ase capitole i o anex. Fiecare capitol, pe lng noiunile teoretice, conine un numr de probleme rezolvate complet precum i probleme propuse spre rezolvare. Scopul acestora este acela de a clarifica i fixa rezultatele teoretice i structura demonstraiilor prin care acestea au fost obinute.

Anexa conine o recapitulare a principalelor noiuni de algebr necesare, n prealabil, pentru nelegerea materialului expus. Doar cu cteva excepii, rezultatele sunt prezentate fr demonstraie.

Bibliografia de la sfritul cursului cuprinde lucrrile pe care le-am utilizat cnd am scris aceast carte. n cazul n care am folosit unele rezultate fr a da demonstraia lor, am precizat sursa bibliografic i pagina unde cititorul poate urmri demonstraia acestora. Mulumesc clduros domnului lector dr. Ilie Ristea pentru atenia cu care a citit manuscrisul acestui curs. Observaiile pertinente ale domniei sale au dus la evitarea unor erori, la simplificarea unor demonstraii i la o mai bun structurare a materialului prezentat. Ploieti, martie 2010

1. SPAII LINIARE

1.1. SPAII LINIARE

Fie V o mulime nevid i K un corp comutativ. n cele ce urmeaz, prin corpul K vom nelege unul dintre corpurile R (corpul numerelor reale) sau C (corpul numerelor complexe). 1.1. Definiie. Aplicaia ( ) yxy,x,: += VVV , se numete lege de compoziie intern, iar aplicaia VVK : , ( ) xx =, se numete lege de compoziie extern pe V fa de corpul K. 1.2. Definiie. Spunem c legea de compoziie intern ( ) yxyx +=, i legea de compoziie extern ( ) xx =, determin pe V o structur de spaiu liniar (vectorial) dac: a1) ( ) ( ) V++=++ zyxzyxzyx ,,,)( ; a2) astfel nct ( ) VV 0 ( ) VVV =+=+ xxxx ,00 ; a3) ( ) ( ) VV xx astfel nct ( ) ( ) V0=+=+ xxxx ; a4) ( ) V+=+ yxxyyx ,, ; b1) ( ) ( ) ( ) ( ) KV = ,,, xxx ; b2) ( ) ( ) ( ) VK +=+ xxxx ,,, ; b3) ( ) ( ) ( ) VK +=+ yxyxyx ,,, ; b4) ( ) V= xxx ,1 , 1 fiind unitatea din corpul K. 1.3. Observaie. i) Pentru RK = spaiul liniar se numete real iar pentru CK = spaiul liniar se numete spaiu liniar complex sau unitar. ii) Elementele mulimii V se numesc vectori; vom nota vectorii prin litere ale alfabetului latin (x, y, z, u, v,). Elementele corpului K se numesc scalari; vom nota aceste elemente prin litere ale alfabetului grec ( ),...,, sau prin litere ale alfabetului latin cu indici . ( )naaa ,...,, 21iii) Legea de compoziie intern o vom numi adunarea vectorilor,. iar legea de compoziie extern o vom numi nmulirea vectorilor cu scalari. iv) Elementul neutru fa de adunarea vectorilor l vom nota , iar elementul V0

1. SPAII LINIARE 10

neutru fa de adunarea din K l vom nota cu (atunci cnd nu exist pericol de confuzie acest element l vom nota cu 0).

K0

1.4. Propoziie. Fie V un spaiu liniar peste K. Atunci: i) ( ) VVK = xx ,00 ; ii) ( ) KVV = ,00 ; iii) ( ) ( ) V= xxx ,1 ; iv) Dac KK 0 , i Vx astfel nct V0=x , atunci V0=x ; v) Fie Vyx, i ( ) KK 0 , . Dac yx = , atunci yx = . Demonstraie. i) ( ) VKKKKKK 0000000 =+=+= xxxxx . ii) ( ) VVVVV 0000000 =+=+= VV . iii) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxx +=+=+== 1111100 KV ( ) xx = 1 . iv) Deoarece K0 , este inversabil, deci putem scrie: ( ) ( )xxxx === 1-11 VV 00 == 1 . v) ( ) ( ) ( ) ( ) VV 00 ==+=+=+= yxyxyxxx . Din K0 i iv) rezult V0= yx , deci yx = . 1.5. Exemple. i) Spaiul vectorial K peste K. n acest caz KV = , adunarea vectorilor este adunarea din K, iar nmulirea vectorilor cu scalari este nmulirea din K. ii) Complexificatul unui spaiu liniar real. Fie V un spaiu liniar real. Pe produsul cartezian definim operaiile: VV ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VV ++=+ vuyxvyuxvuyx ,,,,,,, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CVV +=+= ibayxbxaybyaxyx ,,,,, . Cu aceste legi de compoziie VV devine un spaiu liniar complex, spaiu care se numete complexificatul lui V i se noteaz . VC

iii) Spaiul liniar aritmetic cu n dimensiuni. Fie i . Atunci x este de forma:

RRRRV == Lnnx R

( ) nixxxxx i ,1,,,,, n21 == RL .

1.11. EXERCIII 11

Pe definim adunarea vectorilor i nmulirea cu scalari a acestora astfel: nR ( ) ( ) nnn yxyxyxyxyx R+++=+ ,,,,, 2211 L , ( ) ( ) ( ) nn xxxxx RR = ,,,,, 21 L . n raport cu aceste legi de compoziie este un spaiu liniar real, numit spaiul aritmetic de dimensiune n.

nR

iv) Spaiul liniar al matricelor de tip nm . Fie ( )KMV nm ,= mulimea matricelor cu m linii, n coloane i elemente din corpul K. Pentru , ( )KM nmBA ,, ( )

njmiijA,1,1

=== , ( )

njmiijB,1,1

=== , definim adunarea matricelor prin

( )

njmiijijBA,1,1

==+=+

i nmulirea cu scalari a matricelor prin ( ) K=

== ,

,1,1

njmiijaA .

n raport cu aceste legi de compoziie mulimea ( )KM nm, este spaiu liniar peste corpul K. v) Spaiul liniar al funciilor continue. Fie [ ]ba,CV = mulimea funciilor reale continue . n raport cu legile de compoziie [ ] Rbaf ,: ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]bagfxgxfxgf ,,, C+=+ , ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) RC = ,,, bafxfxf , mulimea este un spaiu liniar real. [ ba,C ]vi) Spaiul liniar al polinoamelor de grad cei mult n. Fie mulimea polinoamelor de o variabil real, de grad cel mult n. n raport cu legile de compoziie din exemplul v),

( )RPn( )RPn este un spaiu liniar real.

vii) S