algebra liniara

7/21/2019 Algebra Liniara

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-56db17b691365 1/112

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Prof. Dr. Vladimir BALAN

ALGEBR Ă LINIAR Ă,GEOMETRIE ANALITICĂ

= edi ţ ia a III-a revă zut ă şi ad ăugit ă =

BUCUREŞTI - 2005



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Referenţi ştiinţifici: Prof. Dr. Constantin DrăguşinProf. Dr. Constantin Radu



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Prefaţă

Acest curs reprezintă un ghid practic, care include noţiunile,rezultatele teoretice de bază, precum şi tipurile de probleme care apar încadrul disciplinei "algebr ă liniar ă şi geometrie analitică" predată îninstituţiile de învăţământ superior universitar tehnic şi economic.

În lucrare sunt expuse clar şi cu multe exemple instructive, elementede algebr ă liniar ă (structuri algebrice, spaţii vectoriale, transformăriliniare, forme pătratice) şi de geometrie analitică (vectori liberi, dreapta şi

planul în spaţiu, conice, cuadrice).Deşi cartea are un pronunţat caracter teoretic, atât exemplificările ce

însoţesc definiţiile şi rezultatele, precum şi exerciţiile propuse la sfâr şit decapitol urmate de r ăspunsuri sau rezolvări succinte, fac din acest curs uninstrument util de seminarizare.

În plus, volumul include un index de noţiuni, deci poate fi utilizat şica memento, iar referinţele bibliografice reprezintă un punct de plecare

pentru un studiu extins al materialului.Lucrarea este utilă în special studenţilor de la facultăţile tehnice,

inginerilor, cercetătorilor şi cadrelor didactice din învăţământul mediu şi

superior, putând fi consultată şi de elevii de liceu din anii terminali.Parcurgerea căr ţii presupune cunoaşterea noţiunilor şi rezultatelor dealgebr ă, analiză matematică şi geometrie predate în învăţământul liceal.

19 noiembrie 2004,Bucureşti.

Autorul.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Cuprins

Algebră liniară

Capitolul 1. Spaţii vectoriale#1. Grupuri şi corpuri ..................................................…............. 1#2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale..................................… 3#3. Dependenţă şi independenţă liniar ă ........................................ 9#4. Bază şi dimensiune .............................................................…. 10#5. Spaţii vectoriale euclidiene ..................................................... 18#6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt... 22#7. Probleme propuse.................................................................... 29

Capitolul 2. Transformări liniare #1. Transformări liniare…………………………….................... 39#2. Nucleu şi imagine .................................................................. 42#3. Matricea unei transformări liniare ......................................... 46#4. Endomorfisme particulare ..................................................... 49#5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene ............................... 52#6. Izometrii ................................................................................ 56#7. Probleme propuse.................................................................. 58

Capitolul 3. Valori şi vectori proprii #1. Valori şi vectori proprii ........................................................ 64#2. Polinomul caracteristic al unui endomorfism........................ 65#3. Forma diagonală a unui endomorfism................................... 69#4. Forma canonică Jordan ......................................................... 74#5. Spectrul endomorfismelor pe spaţii euclidiene ..................... 79#6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice ............................. 82#7. Probleme propuse.................................................................. 86

Capitolul 4. Forme biliniare şi pătratice #1. Forme biliniare. Forme pătratice…......................................... 91

#2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică ...........…. 96#3. Signatura unei forme pătratice reale ....................................... 103#4. Probleme propuse................................................................... 105



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Geometrie analitică în E 3

Capitolul 5. Vectori liberi

#1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi……. ......................... 108#2. Coliniaritate şi coplanaritate ........................................… 112#3. Proiecţii ortogonale……………….......................………. 114#4. Produs scalar ..................................................................... 116

#5. Produs vectorial .............................................................… 118#6. Produs mixt ........................................................................ 121#7. Probleme propuse............................................................... 123

Capitolul 6. Dreapta şi planul în spaţiu #1. Reper cartezian ................................................................... 126#2. Ecuaţiile dreptei în spaţiu ................................................... 127#3. Ecuaţiile planului în spaţiu ................................................. 129#4. Unghiuri în spaţiu ............................................................... 134#5. Distanţe în spaţiu ................................................................ 136

#6. Probleme propuse................................................................ 140

Capitolul 7. Schimbări de repere în spaţiu #1. Translaţia şi rotaţia reperului cartezian .............................. 146#2. Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ........... 151#3. Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar în plan.... 153#4 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic ............… 154#5. Probleme propuse................................................................ 156

Capitolul 8. Conice #1. Generalităţi ........................................................................ 158#2. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice ......... 170#3. Intersecţia dintre o dreaptă şi o conică ...........................… 176

#4. Pol şi polar ă ....................................................................... 178#5. Diametru conjugat cu o direcţie dată ................................. 180#6. Axele unei conice .............................................................. 182#7. Probleme propuse.............................................................. 183

Capitolul 9. Cuadrice #1. Sfera ……………............................................................. 185#2. Elipsoidul ......................................................................... 188#3. Hiperboloizii .................................................................... 190#4. Paraboloizii....................................................................... 193#5. Alte tipuri de cuadrice………........................................... 195#6. Cuadrice riglate .......................................................……. 196#7. Cuadrice descrise prin ecuaţia generală ........................... 197

#8. Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei cuadrice ..... 200#9. Intersecţia unei cuadrice cu o dreaptă sau cu un plan ...... 202#10. Probleme propuse........................................................... 205

Index de noţiuni

Algebr ă liniar ă………………....................................…..……... 208Geometrie analitică…………….............................….....……… 211

Bibliografie ....................................……………………..……………… 214



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

ALGEBR Ă LINIAR Ă

Capitolul 1

SPAŢII VECTORIALE

#1. Grupuri şi corpuri

Vom reaminti întâi noţiunile de grup şi de corp comutativ, structuri cunoscutedin manualul de algebr ă de liceu de clasa a XII-a.

1.1. Definiţie. Un grup reprezintă o mulţime împreună cu ooperaţie binar ă internă

( , )G ∗ G

∗ ∈ × → ∗ ∈: ) G G g g 1 2

( ,g g 1 2

G , care satisface

următoarele condiţii:(asociativitate) (1)321321321 )()(,,, g g g g g g G g g g ∗∗=∗∗∈∀

, (element neutru) (2),, g e g g eG g Ge =∗=∗∈∀∈∃ (element simetric). (3)e g g g g G g G g =∗′=′∗∈′∃∈∀ ,,

Dacă operaţia * satisface condiţia suplimentar ă , (comutativitate) (4)122121 ,, g g g g G g g ∗=∗∈∀

atunci grupul G se numeşte grup comutativ ( sau abelian).

Observaţii 1. Elementul e din axioma (2) este unic determinat de proprietateadată (temă, verificaţi) şi se numeşte element neutru; elementul g care satisface

axioma (3) este unic determinat de g şi se numeşte simetricul lui g .

′

2. În grupurile uzuale, operaţia de grup se notează fie aditiv, fie multiplicativ. Înfiecare din cele două cazuri apar următoarele notaţii şi denumiri:♦ Într-un grup aditiv, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 0 şi se

numeşte zero, iar elementul simetric g al unui element g se notează cu − şi senumeşte opusul lui g . Diferenţa se defineşte ca fiind suma .

, )G +′

g 1 2

− g

g g g 1 2

+ −( )♦ Într-un grup multiplicativ, notat prin ( , elementul neutru e se notează cu 1 şi senumeşte unitate, iar ′ se notează cu g şi se numeşte inversul lui g .

,)G ⋅−1

g

1.2. Exemple de grupuri.

1. Grupurile aditive (C,+), (R ,+), (Q,+), (Z,+). 2. Grupurile multiplicative (C* = C \ {0},⋅), (R * = R \ {0},⋅), (Q* = Q \ {0},⋅).

3. ( , ,unde G , iar este înmulţirea

matricelor.

)G ∗ =

−

−

−

−

1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

0 1

0 1

1 0, , , ∗

4. Grupurile ( ,⋅); (ZC⊂−−= },1,,1{ iiG 4 ,+).

Algebr ă liniar ă 1



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

5. Mulţimea bijecţiilor definite pe o mulţime şi cu valori în formează gruprelativ la compunerea funcţiilor.

A A

1.3. Definiţie. Fie ( un grup. Se numeşte subgrup al grupului G

o submulţime nevidă care satisface proprietatea

, )G ∗

G H ⊂∀ ∈ ∗ ′ ∈g g H g g H 1 2 1 2, , . (5)

În acest caz notăm ( , .) ( , )H G ∗ ⊂ ∗

Observaţii. 1. este un subgrup al grupului ( dacă şi numai dacă

este grup în raport cu operaţia indusă de .

H , )G ∗ H

∗2. Condiţia (5) este echivalentă cu condiţiile

H g g H g g ∈∗∈∀ 2121 ,, ; H g H g ∈′∈∀ , .

1.4. Exemple de subgrupuri. 1. ;),(),(),(),( +⊂+⊂+⊂+ CR QZ

2. ; ),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ CR Q

3. ;),(),(),( *** ⋅⊂⋅⊂⋅ +++ CR Q

4. Grupul permutărilor de n obiecte ( n );*N∈5. , unde e este elementul neutru al grupului G. Aceste

subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupului G.

),(),();,()},({ ∗⊂∗∗⊂∗ GGGe

1.5. Definiţii.a) Fie ( , şi două grupuri. Se numeşte omomorfism de grupuri o

funcţie ϕ care satisface relaţia .

)G ∗G

),( G′

:G → G g g g g g g ∈∀ϕϕ=∗ϕ 212121 ,),()()(

b) Un omomorfism bijectiv se numeşte izomorfism. c) Dacă G G = şi ∗ ≡ o, omomorfismul mai poartă numele de endomorfism,

iar izomorfismul, pe cel de automorfism.

Exemple de grupuri izomorfe.1. Grupurile din exemplele 1.2.3 şi 1.2.4 sunt izomorfe;2. Grupurile (Z n ,+) şi }1{ =∈= n

n z z U C( , sunt izomorfe prin aplicaţia

nn U →ϕ Z: , 1,0,sincos)ˆ( −=+= nmn

mi

n

mm

π π ϕ .

1.6. Definiţii. a) Se numeşte corp un triplet ( K , +, ⋅ ) format dintr-o mulţime K împreună cu două aplicaţii binare notate prin +, ⋅ ale lui K în K (numiterespectiv adunare şi înmul ţ ire), care satisfac condiţiile:

K ×

♦ adunarea determină pe K o structur ă de grup comutativ,♦ înmulţirea determină pe K \{0} o structur ă de grup,♦ înmulţirea este distributivă faţă de adunare.

b) Se numeşte câmp (corp comutativ), un corp pentru care şi înmulţirea este

comutativă.

Cap.I. Spaţii vectoriale2



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

În cele ce urmează, vom nota un corp ( , prin K , iar corpurile utilizatevor fi câmpurile ( , şi ( , .

, K + ⋅),)R + ⋅ ,)C + ⋅

1.7. Exemple de corpuri.

1. Tripletele ( , , ( , , ( , sunt corpuri comutative; operaţiile deadunare şi înmulţire sunt cele obişnuite.

) ,)R + ⋅Q ,+ ⋅ ,)C + ⋅

2. Tripletul ( , unde p este un număr prim, este corp comutativ.),, ⋅+ pZ

#2. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale

Pe lângă diverse structuri algebrice precum cele de monoid, algebr ă, inel, saumodul, în studiul disciplinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spaţiu

vectorial. Această structur ă constă dintr-un grup aditiv comutativ V , şi o operaţie deînmulţire externă definită pe cu valori în V care satisface patru axiome, unde K este un câmp. Vom nota elementele spaţiului vectorial V (numite vectori) prin

K V ×

u v w , , ,.. , iar cele ale corpului K (numite scalari), prin a sau α β,...,;,,, l k cb … , ,.. .

2.1. Definiţie. Se numeşte spa ţ iu vectorial peste corpul K un triplet (V ,+,⋅ = f ),

în carek

1. V este o mulţime - ale cărei elemente se numesc vectori;2. operaţia “+” (numită de adunare a vectorilor ) determină o structur ă de grup

comutativ pe V , notată aditiv, ( , ) ;v w v w ∈ × → + ∈V V V 3. operaţia “⋅ ” (numită de înmul ţ ire cu scalari), dată de o funcţie f

k

,),(,: kvvk f f =→× V V K

ce satisface proprietăţile

(asoc. înmulţirii cu scalari), (1)V K ∈∀∈∀= vl k vkl lvk ,,,)()( (distrib. faţă de adunarea din K ), (2)V K ∈∀∈∀+=+ vl k lvkvvl k ,,,)( (distrib. faţă de adunarea din V ) , (3)V K ∈∀∈∀+=+ wvk kwkvwvk ,,,)( 1 (4)V ∈∀= vvv ,

Elementele lui K se numesc scalari, iar aplicaţia f se numeşte înmulţirea cu scalari.În cazul K = R , spaţiul vectorial se numeşte spa ţ iu vectorial real , iar dacă K = C,

spaţiul vectorial se numeşte spa ţ iu vectorial complex.

Un spaţiu vectorial (V ,+,⋅ ), se va nota uneori, pe scurt, prin V . În cele ce urmează,

prin corpul K vom înţelege unul din câmpurile R sau C.k

2.2. Teoremă. Dacă V este un spa ţ iu vectorial peste corpul K , atunci

∀ ∈ şi ∀ au loc următoarele propriet ăţ i:u v w , , V ∈k l, K




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

(i) 0 0v = ,

(ii) k ,0 0=(iii) ( )− = −1v v ,

(iv) ,uwuvwv =⇒+=+(v) kv lv = şi l k v =⇒≠ 0 ,

unde elementul 0 din stânga egalit ăţ ii (i) reprezint ă elementul neutru fa ţă de adunareal corpului K , iar elementul din membrul drept reprezint ă vectorul nul

(elementul neutru al grupului abelian (V ,+) ).V ∈0

Demonstraţie. i). .vvvvv 0000)00(0 =⇒+=+=ii) .00)00(0 ⋅+⋅=+⋅=⋅ k k k k 00 ⋅=⇒ k

iii) v vvvvvvv −=−⇒==−+=−+=−+ )1(00)1(1()1(1)1( .

iv) v u =+ w wuwuvvwvvuv =⇒+=+⇒++−=++−⇒+ 00 .v) (în caz contrar, înmulţind cu ( , rezultă

, contradicţie)

0)( =−⇒= vl k lvkv

0

l k =⇒ 1)−− l k

=v

Corolar. În orice spaţiu vectorial V peste corpul K , pentru,∀ au loc relaţiile:∀ ∈k l, K ∈v w , V

a) ,)()()( vk vk kv −=−=− b) ,lvkvlvkvvl kvvl k −=−+=−+=− )()()(c) kwkvkwkvwk kvwvk wvk −=−+=−+=−+=− )()(])1([)( .

Demonstraţie. Ar ătăm, spre exemplu, proprietăţile a). Pe de o parte avem

)()1()1()( vk vk vk vk

iii

−⋅=−⋅=⋅−=− .Pe de altă parte, din egalităţile rezultă,folosind implicaţia (iv), egalitatea .

(3)

( ) ( ) 0 ( )k v kv k k v v kv kv− + = − + = ⋅ = − +)() kvvk −=−(

Exemple de spaţii vectoriale.

În fiecare din exemplele următoare, vom preciza mulţimile V şi K , adunarea din V şiînmulţirea vectorilor cu scalari.

1. Spa ţ iul vectorial K peste corpul K . În acest caz, V = K =corp, adunarea şi î nmulţirea cu scalari este înmulţirea din corpul K .

2. Spa ţ iul vectorial C peste corpul R . În acest caz, V = C (mulţimeanumerelor complexe), (mulţimea numerelor reale), adunarea este cea din C, î nmulţirea cu scalari este cea uzuală dintre un număr real şi un număr complex.

R = K

3. Spa ţ iul vectorial aritmetic cu n dimensiuni. , K = corpcomutativ; adunarea şi î nmulţirea cu scalari definite prin:

n K V =

K K ∈∀∈==∀

=

+++=+k y y y y x x x x

kxkxkxkx

y x y x y x y xn

nn

n

nn ,),...,,(),,...,,(, ),,...,,(

),...,,(2121

21

2211

4. Spa ţ iul vectorial al vectorilor liberi. V = , K = R , adunarea vectorilor

liberi prin regula paralelogramului, înmulţirea dintre un număr real şi un vector liber(vezi cap.V, # 1).

V 3

Cap.I. Spaţii vectoriale 4



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

5. Spa ţ iul vectorial al matricelor de tipul m n× . V = , K = câmp,

adunarea matricelor, înmulţirea dintre un scalar şi o matrice.

)( K nm M ×

6. Spa ţ iul vectorial al solu ţ iilor unui sistem algebric liniar omogen. V =mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute privite ca

elemente din (n-uple), cu coeficienţi din K , , adunarea dinînmulţirea dintre un scalar şi un element din .

K n

},{ CR ∈ K K n

,K

n

Spre exemplu, familia V a soluţiilor sistemului este familia

tripletelor de numere reale de forma ( , ; V formează spaţiu

vectorial cu operaţiile definite î n exemplul 3.

x y z

x z

+ − =

+ =

0

2 0

), ∈λ λ R , ) ( , ,x y z = − −λ λ3 2

7. Spa ţ iul vectorial al func ţ iilor cu valori într-un spa ţ iu vectorial dat . Înacest caz avem V = W S →: f f

},{ CR ∈ K

{ }, unde S mulţime nevidă iar W este un spaţiu

vectorial peste câmpul , iar operaţiile sunt cele de adunare a funcţiilor şi

înmulţire a acestora cu scalari din corpul K .8. Spa ţ iul vectorial al solu ţ iilor unei ecua ţ ii diferen ţ iale liniare şi omogene.

În acest caz, V = mulţimea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale ordinare, liniare şiomogene, K = R, adunarea funcţiilor, înmulţirea unei funcţii cu un scalar. Spreexemplu, pentru ,R ∈λ

},)({}0,,:{ R ∈===λ−′=→= λ aae x f f y y f y f f xnot

R RV

formează un asemenea spaţiu vectorial.9. Spa ţ iul vectorial al tuturor şirurilor reale sau complexe. În acest caz, V =

mulţimea tuturor şirurilor reale sau complexe, , iar operaţiile sunt:},{ CR ∈ K

,

=

++=+

,...},...,{

,...},...,{

1

11

n

nn

kxkxkx

y x y x y x

K V ∈∀∈==∀ k y y y x x x nn ,,...},...,{,...},,...,{ 11 .

2.3. Dat fiind un K -spaţiu vectorial, vom studia în cele ce urmează subspaţiile vectoriale ale spaţiului vectorial V , submulţimile acestuia care sunt eleînsele spaţii vectoriale relativ la operaţiile induse din V .

Definiţie. Se numeşte subspa ţ iu vectorial al lui V o submulţime nevidă W a

lui V , astfel încât au loc proprietăţile; (5)W W ∈+∈∀ vuvu ,,

W W K ∈∈∀∈∀ kuuk ,, . (6)

Observaţii. 1. Aceste condiţii sunt echivalente cu proprietateaW K W ∈+∈∀∈∀ lvkul k vu ,,,, ;

2. Adunarea şi înmulţirea cu scalari pe W sunt restricţiile la W ale operaţiilorde pe V ; de aceea următoarele afirmaţii sunt echivalente :

♦ W este un subspaţiu vectorial al lui V ;

♦ W este un spaţiu vectorial peste K în raport cu operaţiile induse din V .




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Exemple de subspaţii vectoriale

1. Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K . Mulţimile {0} şi V sunt subspaţii

vectoriale ale lui V . Acestea se numesc subspaţii improprii; oricare alt subspaţiu al lui

V se numeşte subspaţiu propriu.

2. MulţimeaW

a n-uplelor de forma ( , , este unsubspaţiu vectorial al lui . Se observă că are loc egalitatea

,..., )0 2x x n ∀x x n2,..., K

∈K

n

W K = = ∈ ={ ( , ,..., ) }x x x x x n

n

1 2 1 0

şi că W formează un subspaţiu vectorial în , de tipul spaţiilor vectoriale descrise în

exemplul 2.2.6.

K n

3. Mulţimea funcţiilor impare şi mulţimea funcţiilor pare sunt respectiv

subspaţii ale spaţiului vectorial real al funcţiilor reale definite pe ( ,

.

,−a a)

}{∞∪∈ +*

R a

4. Fie continuă pe [a,b]}.V = = →C a b f f a b f 0[ , ] { :[ , ] ,R

Submulţimea este un subspaţiu vectorial în V .W = ∈ ={ [ , ] ( ) ( }f C a b f a f b0

)5. Fie V . Dreptele şi planele care conţin originea sunt subspaţii

vectoriale ale lui . Coordonatele punctelor lor (triplete din ) sunt familii de

soluţii ale unor sisteme lineare şi omogene de ecuaţii cu trei necunoscute.

3R =

3R

3R

2.4. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi S o submulţime

nevidă a lui V . Se numeşte combina ţ ie liniar ă finit ă de elemente din S un vector

de formav ∈V

pik S vvk v p

i

iiii ,1,, ,

1

=∈∈= ∑=

K unde .

Teoremă. Dacă S este o submul ţ ime nevid ă a lui V , atunci mul ţ imea tuturor

combina ţ iilor liniare finite formate cu vectori din S, este un subspa ţ iu vectorial al

lui V .

Acest subspaţiu se numeşte subspa ţ iul generat de submul ţ imea S sau

acoperirea liniar ă a lui S şi se notează cu L(S ). Dacă S este mulţimea vidă, atunci prin

definiţie L(S )={0}.

Observaţie Diferite submulţimi de vectori dinV

pot să genereze acelaşisubspaţiu vectorial. De exemplu, pentru a b , oricare din mulţimilea, ,∈ ≠ K 0

{, , ,..., }, ,!,!,...,

!,{,( ),( ) ,...,( )1 1

1 21

2

2

2t t t

t t t

nat b at b at b

n

n

n

+ + + }

generează spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale în nedeterminata t care au cel

mult gradul n, notat în cele ce urmează cu K n[t ], iar oricare din mulţimile

{,, ,..., ,...}, ,!,!,...,

!,...,{,( ),( ) ,...,( ) ,...}1 1

1 21

2

2

2t t t

t t t

nat b at b at b

n

n

n

+ + +

generează spaţiul vectorial al tuturor funcţiilor polinomiale în nedeterminata t , notat

cu K [t ]. Observăm că W = K n[t ] este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V = K [t ].




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

2.5. Teoremă. Dacă şi sunt două subspa ţ ii ale spa ţ iului vectorial V ,

atunci

U W

1) suma dintre U şi W , mul ţ imea

},{ 2121 W W ∈∈+==+ vvvvv U U

este un subspa ţ iu vectorial al lui V ;2) intersec ţ ia este un subspa ţ iu vectorial al lui V ; mai mult, intersec ţ ia

unui număr arbitrar de subspa ţ ii vectoriale ale lui V este tot un subspa ţ iu

vectorial.

U ∩W

3) reuniunea este un subspa ţ iu vectorial al lui V dacă şi numai dacă

sau (deci

U UW

⊆U

U ⊆W

W U UW nu este în general subspa ţ iu vectorial al lui V ).

Demonstraţie. 1) Adunarea este o operaţie internă; într-adevăr, avem

⇔+∈′ W U vv, v u w v u w = + = +, ' ' ,

cu u u ,w w ; atunci rezultă u u ,w w , şi deci, '∈U , '∈W + ∈' U + ∈' W ∈′++′+=′+ )()( wwuuvv U +W .

Pentru proprietatea (6), consider ăm . Avemk ∈ K

ku∈U , .⇒∈W kw ∈+= )()( kwkukv U +W

2) Din , rezultă , . Cum U şi sunt subspaţii

vectoriale, rezultă

v v , '∈ ∩U W v v , '∈U v v , '∈W W

kv lv + ∈' U , kv , .lv + ∈' W ⇒∈∀ K l k , kv lv + ∈ ∩' U W

3) Presupunem că nu are loc nici una dintre incluziunile . Fie deci

, . Rezultă (altfel şi ,

contradicţie) şi analog . Prin urmare u w , deciU nu este

subspaţiu vectorial. Dacă , atunci , şi deci este subspaţiu

vectorial (subspaţiul total) al spaţiului vectorial V . Cazul se

demonstrează analog.

U U ⊆⊆ W W ,

U + ∈ u U

U UW V ∪

W W ⊆W = W

u∈U \W w ∈W \U U ∉+ wu

V

U U

u v

+ ∉v U ∈ ⇒ ∈

⊆U

u w+ ∉

U ⊆W W W =

Exemple. 1. Dacă şi sunt două subspaţii ale spaţiului vectorial V ,

atunci acoperirea liniar ă a mulţimii este exact subspaţiul vectorial

(temă, verificaţi).

U

(U

W

)L UW U UW

U W + 2. Fie U U .= = = = ⊂L v L v ( (,)), ( ( ,)); ,

1 2

210 01W W R

Atunci ={0}, U (deci suma este întregul spaţiu vectorial) iar

reuniunea U nu este subspaţiu vectorial în , deoarece

U ∩W

∪

+ = ⊂W R R 2 2

W 2R

}0),{(,, 2121 ==∪∉+∈∈ xy y xvvvv W W U U .

3. Fie subspaţiile U generate respectiv de vectorii2R ⊂W ,

)0,2(),2,1(),4,1( 321 =−== uuu şi w w w 1 2 3

15 2 10 315= = − − =(,), ( , ), (, )

)

din . Determinăm subspaţiile U + W şi . Subspaţiul sumă este

acoperirea liniar ă a mulţimii de vectori { ,

2R U W ∩

,,, 13 wwu

U W +},, 3221 wuu

U W + = L u u u w w w ({ , , , , , }1 2 3 1 2 3

,

adică orice vector v este de forma∈ +U W

K ∈+++++=654321362514332211

,,,,,; k k k k k k uk uk uk wk wk wk v .




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Subspaţiul conţine acei vectori care admit scrierea simultană U W ∩v = α α .α β β β

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3w w w u u+ + = + + u

Folosind operaţiile cu vectori din obţinem prin înlocuire şi identificare pecomponente, sistemul

R 2

β+β=α+α−αβ+β−β=α+α−α

.2415105232

21321

321321

Rangul matricei sistemului este unu, iar compatibilitatea este asigurată de anulareadeterminantului caracteristic β . Obţinem0107 321 =β+β−

R ∈µλµ=βλ=βµ−λ=β ,,,,107 321 .

Atunci vectorii spaţiului sunt de formaU W ∩ ,R ∈µλµ−λ=µ−λµ−λ=µ+λ+µ−λ ,),5,1)(86()4030,86()107( 321 uuu

şi deci .U W ∩ = =L v ({ ' (,)})15

2.6. Teoremă. Fie U , subspa ţ ii vectoriale. Următoarele afirma ţ ii sunt

echivalente:

W

(i) pentru orice vector v , exist ă o unică descompunere∈ +U W

v ;W U ∈∈+= 2121 ,, vvvv

(ii) . U W ∩ = { }0

Demonstraţie. (ii)⇒(i). Fie v v . , ⇒

} ⇒ . Reciproc, prin absurd, dacă

are loc (i), dar U W , fie w . Atunci

reprezintă două descompuneri simultane ale lui w, în care. Din unicitatea descompunerii, rezultă w=0, contradicţie.

v v v = + = ′ + ′1 2 1

0 v v v 1 1 2

= ′ =,

∩ ≠ { }0

2

v ′v v 1 1, ′ ∈ U

∈ ∩U W \{

v v 2 2, ′ ∈ W

≠ ∅=′−= 11 vvu

=+= 0 wwU ∈ ww ,0;,0

{22 =∩∈−′ W U vv

W U +∈+ 0W ∈

2

}0

w

2.7. Definiţii. Fie U şi W două subspaţii vectoriale ale lui V .a) Dacă , atunci suma se numeşte sumă direct ă şi se notează U W ∩ = { }0 W U +

W U W U +=⊕ . b) Dacă suma este directă şi avem în plus , atunci şi se

numesc subspa ţ ii suplementare. Noţiunile de sumă şi sumă directă se pot extindeîn mod natural la cazul unui număr finit de subspaţii vectoriale.

U W + V W U =+ U W

Exemple. 1. Subspaţiile }),0{(},)0,{( R R ∈=∈= y y x x W U

}0{)}0,0{( 2R ==

au suma

şi intersecţia , deci sunt suplementare în R 2.U W + = R 2 ∩W U

Într-adevăr, descompunerea unui vector din R 2 după cele două subspaţii este unică:

2),( R ∈∀ y x , .W U +∈+= ),0()0,(),( y x y x

2. Subspaţiul funcţiilor pare U = → = − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR

şi respectiv impare W = → = − − ∀ ∈{ : ( ) ( ), }f I f x f x x IR ,




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

unde I =(-a,a) este un interval simetric real, sunt suplementare în spaţiul vectorial realV al funcţiilor reale definite pe I , întrucât intersecţia conţine numai funcţia constantă nulă şi are loc descompunerea

I x x f x f x f x f

x f ∈∀−−

+−+

= ,

2

)()(

2

)()()( ,

deci orice funcţie este suma dintre o funcţie par ă şi una impar ă, ceea

ce probează incluziunea nebanală V .

f a a:( , )− → R

W U +⊂

#3. Dependenţă şi independenţă liniară

3.1. Definiţii. Fie S o submulţime de vectori din K -spaţiul vectorial V ,unde .},{ CR ∈ K

a) Spunem că mulţimea S este liniar dependent ă dacă există o familie finită devectori distincţi din S, spre exemplu v v şi scalarii

, cu cel puţin unul nenul, astfel încât să aibă loc relaţia (numită

rela ţ ie de dependen ţă liniar ă):

v S p1 2

, ,..., ∈k k k

p1 2, ,..., ∈ K

k v k v k v

p p1 1 2 2 0+ + + =... .

b) Spunem că mulţimea S este liniar independent ă dacă nu este liniar dependentă,

adică dacă ∀ ∈ =v S ii , ,1 p ( p arbitrar, ), p ∈ N pik i ,1, =∈∀ K , are loc

implicaţia

k v k v k v p p1 1 2 2 0+ + + =... ⇒ k i . pi = =0 1, ,

Notaţii. În cazul dependenţei liniare a familiei S , vom nota dep(S ); în cazcontrar, ind(S ).

Observaţii. 1. Mulţimea S din definiţie poate fi o mulţime finită sau infinită.2. Deşi liniar dependenţa şi liniar independenţa sunt proprietăţi specifice unei

familii de vectori, vom spune despre vectorii familiei că sunt vectori liniar

dependen ţ i, respectiv vectori liniar independen ţ i.

Exemple. 1. Mulţimea S = {v}, pentru v arbitrar fixat, este finită,

liniar independentă.

∈V \{0}

2. Mulţimea }{ K ∈λλ= vS , pentru arbitrar fixat, este infinită,

liniar dependentă.

v ∈V \{0}

3. Mulţimea S = {0} este finită, liniar dependentă, căci are loc relaţia 1 ,(relaţie de dependenţă în care intervine coeficientul nenul 1).

⋅ =0 0

4. Dacă 0 , atunci mulţimea S este liniar dependentă.∈ S

5. Dacă în S există un vector care se poate exprima ca un multiplu scalar alunui alt vector, atunci S este liniar dependentă.

6. Fie , unde)(},,{321

R ∞⊂= C vvvS

2)()(,2ch)(,)( 321 / -eet t veet t vet v -t t t t t ≡=+≡== sh)/( -

.




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Deoarece 1 , mulţimea { , este liniar dependentă.01ch1 =⋅−⋅−⋅ t t e t sh , }v v v

1 2 3

7. Mulţimea este infinită, linear

independentă.

][},,...,,,{ 12531 X X X X X S k R ⊂= +

…

3.2. Teoremă. Fie L(S) acoperirea liniar ă a mul ţ imii liniar independente , . Atunci orice familie de vectori din L(S) este

liniar dependent ă.

S v v v p

= { , ,..., }1 2

V ⊂ p ∈ N p+1

Demonstraţie. Fie p+1 vectori arbitrari din L(S ), a căror descompunere după bazaeste1{ , } pv v…

w a v i pi ij

j

p

j= =

=∑1

1 1, , + .

Consider ăm relaţia

k w k w k w p p1 1 2 2 1 1 0+ + + =+ +... .Înlocuind expresiile vectorilor relativ la vectorii din S, în relaţie, avem121 ,..., + pwww

001

1

1

1

1 1

=

⇔=

∑ ∑∑ ∑

=

+

=

+

= = j

p

j

p

i

iji

p

i

p

j

jiji vak vak ;

Dar vectorii v j fiind liniar independenţi, rezultă anularea tuturor

coeficienţilor combinaţiei liniare nule, deci rezultă relaţiile

pj, ,=1

p jak ak ak j p p j j ,1,0... 112211 ==+++ ++ .

Acestea formează un sistem liniar omogen cu p ecuaţii şi 1 necunoscute, deci

admite şi soluţii nebanale k k . , care înlocuite în relaţia iniţială, otransformă într-o relaţie de dependenţă liniar ă, şi deci vectorii

p+

k p1 2 1, ,..., + ∈ K

w i pi, ,= +1 1 sunt

liniar dependenţi.

#4. Bază şi dimensiune

4.1. Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial, .},{ CR ∈ K

a) O submulţime de vectori se numeşte baz ă pentru V dacă B este liniar

independentă şi generează pe V - deci, pe scurt, B satisface condiţiile ind( B) şi L( B)=V .

V B ⊂

b) Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă admite o bază finită saudacă . În caz contrar, V se numeşte infinit dimensional .V = { }0

Observaţie. Utilizând axioma alegerii se poate demonstra că orice spaţiu

vectorial diferit de spaţiul vectorial nul {0} admite o bază.

4.2. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial finit dimensional. Oricare două baze

B , ale lui V au acela şi număr de elemente.′B




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Demonstraţie. Fie n numărul de vectori din B şi n numărul de vectori din B . Dar Beste liniar independentă şi generează spaţiul V . Dacă prin absurd B ar avea

mai multe elemente decât , deci dacă , atunci conform teoremei 3.2 arrezulta linear dependenţa familiei B - contradicţie, deoarece B este o bază.

În concluzie . Un raţionament similar aplicat mulţimii liniar independenteconduce la ; deci n ′.

′= L

n′

′)( B′

n >

n

′ B

n′nn ′≤)( BV B L=⊂′ n≤ =

Definiţii. a) se numeşte dimensiunea spa ţ iului vectorial finit-dimensional V ,

număruldacă admite o bază formată din vectori (deci {0}) ,

dim0 dacă {0}.

n n− ≠=

−

V V V

V =

b) Un spaţiu vectorial de dimensiune n finită spunem că este n-dimensional şi îlnotăm cu V .n

Exemple. 1. Fie spaţiul vectorial aritmetic n-dimensional. Vectorii K

n

e e en

n

1 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1= = =( , , , ... , ), ( , , , ... , ), ... , ( , , ... , , ) K ∈

0

determină o bază a spaţiului . Într-adevăr, B este liniar

independentă, deoarece

B = { , ,..., }e e en1 2 K n

)0,...,0,0(),...,,(0... 212211 =⇔=+++ nnn k k k ek ek ek ,

de unde rezultă . Pe de altă parte ∀ , avem...21 ==== nk k k n

n x x x x K ∈= ),...,,( 21

x x e x e x e Ln n= + + + ∈1 1 2 2 ... ( ) B ,

deci ; incluziunea inversă este banală, deci B generează pe V = .)(B Ln ⊂ K n

K

2. Spaţiul vectorial }grad][{][ n p X p X n ≤∈= K K

+},...,, 21 n X X X

al tuturor polinoamelorde grad cel mult (inclusiv) n, are dimensiunea n 1. Într-adevăr, observăm că familiade polinoame este liniar independentă, deoarece,1{ 0 X ≡=B

k k X k X k X k k k k n

n

n0 1 2

2

0 1 20 0+ + + + = ⇒ = = = = =... ...

şi orice polinom de grad mai mic sau egal cu n este o combinaţie liniar ă finită demonoamele mulţimii B.

3. Spaţiul vectorial al tuturor polinoamelor în nedeterminata X esteinfinit dimensional şi admite baza { .

K [ X ]

,

, , ,..., ,...}1 2 X X X n

4. Spaţiul vectorial al matricelor dreptunghiulare cu m linii şi n

coloane şi coeficienţi în corpul K are dimensiunea mn, admiţând baza

)( K nm M ×

B = ≤ ≤ ≤ ≤{ , , } E i m j nij 1 1

E ij fiind matricea care are coeficientul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j, iar

ceilalţi coeficienţi sunt nuli.5. Dacă V este un C-spaţiu vectorial, atunci spaţiul vectorial real R care

coincide cu V ca grup aditiv şi cu înmulţirea cu numere reale definită exact ca în V ,se numeşte trecerea în real a spaţiului V . În particular, trecând în real spaţiulvectorial complex n-dimensional , se obţine R-spaţiul vectorial ,de dimensiune 2n. O bază a acestuia este { , obţinută

prin trecerea în real a bazei { .

V

n ≡nC=V

ne ⊂},...,

n2R CR

nCnn ieieieeee R ⊂},...,,,,...,, 2121

nCee , 21


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

4.3. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial n-dimensional. Atunci au loc

afirma ţ iile:

n

1) O mul ţ ime liniar independent ă din V n este o submul ţ ime a unei baze din V .n

2) Fie S v o mul ţ ime format ă din n vectori din V .v vn= { , ,..., }1 2 V n⊂ n

Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:(i) S este baz ă în V ;n

(ii) S este familie liniar independent ă (ind(S));

(iii) S este sistem de generatori pentru V ( L(S)= V ). n n

Demonstraţie. 1) Dată fiind o mulţime liniar independentă din V ,

avem următoarele situaţii: fie L(S ) = V şi deci S este o bază, fie L(S ) este osubmulţime proprie a lui V . În al doilea caz există măcar un vector , şi

atunci S S

S v v v p= { , ,..., }1 2

\ Lv nV ∈

n

n

n )(S

v' { }= ∪

n

este linear independentă (temă, verificaţi). Dacă , atunci

este o bază ce conţine pe S (deci baza căutată), iar dacă este o submulţime proprie a lui V , atunci se reia acelaşi raţionament pentru S:=S' . După un număr finit

de paşi (căci numărul de vectori dintr-o familie linear independentă nu poate fi maimare decât n), obţinem o bază ce conţine familia S . În concluzie, orice

familie linear independentă S poate fi prelungită sau completată până la o bază aspaţiului vectorial V .

nS L V =′)(

L S ( )′′S

nV ⊂B

n

2) Implicaţiile (i)⇒ (ii), (i) (iii) sunt evidente. Demonstr ăm implicaţia (ii) (i).Avem ind(S ) S bază în L(S ) ⇒ dim L(S ) = n = dim V . Dar , deci L(S )

= V ; rezultă S bază în V .

⇒ ⇒⇒ n nS L V ⊆)(

n n

Demonstr ăm implicaţia (iii) ⇒ (i). Fie L(S ) = V ; dacă avem prin absurd dep(S ),atunci ar rezulta că orice bază a spaţiului L(S ) are < n vectori, deci n = dim V = dim

L(S ) < n, contradicţie.

n

n

Exemplu. Familia de vectori este liniar

independentă. Cum S are 2 vectori, iar dim , rezultă conform teoremei că S este bază în .

221 )}1,1(),1,1({ R ⊂−=== vvS

22 =R 2R

4.4. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial n-dimensional şi fie

o baz ă în acest spa ţ iu. Atunci orice vector x admite oexprimare unică de forma

n

B

= { , , ... , }e e en1 2 n∈V

x x e x ii ii

n

i= ∈=∑

1

1, K, = ,n

e

(*)

(numit ă descompunerea lui x după vectorii bazei B ).

Demonstraţie. Deoarece V = L( B), orice vector x poate fi scris ca o combinaţie

liniar ă de vectorii bazei, adică x , iar această descompunere este unică.

∈V

xi ii

n

==∑

1



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Într-adevăr, dacă vectorul x ar admite şi descompunerea x , atunci prin

scădere ar rezulta combinaţia linear ă nulă 0 . Dar B fiind bază, este

formată din vectori linear independenţi, deci rezultă anularea coeficienţilorcombinaţiei,

xi ii

n

= ′=∑

1

)

e

1

= − ′=∑( x x ei ii

n

i

ni x xni x x iiii ,1,,1,0 =′=⇒==′− ,

deci descompunerea este unică.

Definiţie. a) Se numesc coordonatele vectorului x în raport cu baza B ,numerele , asociate vectorului x prin descompunerea (*).n x x ,,1 … n∈ V

b) Se numeşte sistem de coordonate pe V asociat bazei B , bijecţian

n

n

n

n x x x x f f K K V

∈=→ ),...,,()(,: 21 .

În cele ce urmează vom identifica un vector cu coordonatele sale relativ la o bază fixată. Atunci, pentru , operaţiile

spaţiului vectorial se rescriu pe componente

n

nnn y y y y x x x x K V ≡∈≡≡ ),...,,(),,...,,( 2121

∈∀≡

+++≡+

K.k knkxkxkx

y x y x y x y x

n

nn

),,...,,(

),...,,(

21

2211

Exemplu. Aflăm coordonatele vectorului v relativ la baza2)0,1( R ∈=2

21 )}1,1(),1,1({ R ⊂−=== vvS

din exemplul precedent. Relaţia conduce la α , decicoordonatele vectorului v relativ la baza S sunt

21 vvv β+α=2/1

2/1=β=)2/1;( .

În ceea ce priveşte posibilitatea de a completa o familie de vectori liniar

independenţi la un sistem de generatori folosind un sistem prescris de generatori,avem următoarea

Teoremă (teorema înlocuirii, Steinitz).

Fie V un K -spaţiu vectorial,n

nnvvS V ⊂= },...,{ 1

un sistem de generatori ai spaţiului V , şi fien

)0(,},...,{ 10 ≥⊂= r wwS nr V

un sistem de vectori liniar independenţi.Atunci are loc inegalitatea şi există familia de vectori S care

conţine vectori astfel încât să fie sistem de generatori pentru V .

nr ≤∪ S S 0

S ⊂+

r n − + n




S t u

d e n t W e

b C o p y

Se observă ca în urma teoremei 3.2, avem cu necesitate .nm ≥

Un rezultat deosebit de util în cazul unui spaţiu vectorial de dimensiunearbitrar ă, care face posibilă completarea la o bază a unei familii liniar independente,

folosind vectorii unei baze cunoscute, este

Teorema completării. Dacă este un sistem liniar independent în K -

spa ţ iul vectorial V , atunci se poate completa la o baz ă a lui V .

V ⊂0S

0S

Corolar. Fie o bază în K -spaţiul vectorial , şi fienneeS V ⊂== },...,{ 1B V

n

)0(,},...,{ 10 ≥⊂= r wwS nr V

un sistem liniar independent de vectori din . Atunci şi se poate completa

cu vectori ai unei subfamilii la o altă bază a spaţiului .

V n

nr ≤

=′B

0S

∪r n − B⊂+

S +

S S 0 V n

Exemplu. Completaţi familia de vectori

)}1,1,1,1(),1,1,1,1({ 210 −−=== wwS

la o bază a spaţiului vectorial V .4R =

Soluţie. Familia este liniar independentă (temă, verificaţi). Consider ăm

baza canonică 0S

44321 )}1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1({ R B ⊂====== eeeeS ,

şi observăm că din cele selecţii ordonate de 2 vectori din B putem

alege, spre exemplu, vectorii , iar vectorii familiei

123424 =⋅= A

},{ 31 eeS =+

},,,{ 32110 ewewS S =∪=′+

B

sunt liniar independenţi, şi sunt în număr de 4 în spaţiul (a cărui dimensiune estetot 4), deci conform teoremei 4.3 rezultă că este o bază. În plus, prin construcţie,

baza conţine familia şi vectori din familia S.

4R

B′

B′ 0S

4.5. Teoremă (Grassmann).

Dacă U şi W sunt două subspa ţ ii de dimensiuni finite ale spa ţ iului vectorial

V , atunci are loc rela ţ ia

)dim()dim(dimdim W +U W U W U +∩=+ .

Corolar. Dacă U şi W sunt două subspa ţ ii suplementare de dimensiuni finite

ale spa ţ iului vectorial V , atunci are loc rela ţ ia

V W U dimdimdim =+ .


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Matricea asociată unei familii de vectori relativ la o bază dată. Fie un K -spaţiu vectorial şi o bază în . Considerând

un sistem de p vectori v v , atunci aceştia se descompun relativ la baza

B, după cum urmează

V n

B = { , ,..., }e e en1 2

n

V n

v p1 2

, ,..., ∈ V

v a e v a e v ai i

i

n

ii

n

i p pi

n

i1 11

2 21 1

= = == = =∑ ∑ ∑, ,..., .e

i

n

Vectorilor li se ataşează matricea formată din coeficienţii celor p

descompuneri, aşezaţi succesiv pe coloane:

v v v p1 2

, ,...,

=

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

A

…

…

…

21

22221

11211

,

numită matricea asociat ă familiei de vectori S relativ la o baza B. Vectorii

pot fi identificaţi cu coloanele matricei A şi notăm această matrice cuv v v p1 2, ,...,

B B],...,,[][ 21 pvvvS A == .

4.6. Teoremă. Fie o baz ă a lui , o

familie de p vectori din şi matricea asociat ă acestei familii.

},...,,{ 21 neee=B

A S= [ ] B

V n

S v v v p

= { , ,..., }1 2

V n

Fie rang A = , şi fie indicii coloanelor unui

minor care d ă rangul matricii A. Atunci au loc următoarele afirma ţ ii:

min( , )m p≤ piii m ≤<<<≤ ...1 21

(i) familia de vectori este baz ă a subspa ţ iului L(S ) (deci avem},...,{'1 mii vvS =

i şi ); în particular, rang .nd S( ') L S L S( ) ( ')= )(dim S L A =

(ii) v L , pentru oriceSj

∈ ( ') },,...,,{\,1 21 miii p j ∈ .

Exemplu. Pentru subspaţiile date în exemplul 3 al teoremei 2.5., dimensiuneasubspaţiului U coincide cu rangul matriceiW +

,

=

−

−−

02415105

211321],,,,,[ 321321 uuuwww

deci di . Un vector oarecare din subspaţiul U m( )U W + = 2 W ∩ este de forma

( , ) ( ) ', ,6 8 30 40 6 8λ µ λ µ λ µ λ µ− − = − ∈v v R , '= (1,5),astfel încât ( 1. Se observă că avem relaţiiledimU V ∩ =)2R = W +U = U W U = W ⊂∩ .

Întrucât di = 1, di , teorema Grassmann se verifică, având loc egalitateam W m U = 2

)dim()dim(2112dimdim W +U W U W U +∩=+=+=+ .

Corolar. Fie o baz ă a lui şi fie},...,,{ 21 neee=B V n

},1 ,{1

∑=

==′=n

i

iij j n jeceS (*)

o familie de n vectori din . Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:V n



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

(i) S este baz ă a lui ;V n

(ii) , undedet 0C ≠, 1,

( )ij i j nC c

== este dată de relaţiile (*).

Rezultă că o familie S ⊂ reprezintă o bază a spaţiului dacă matriceaa familiei S relativ la o bază B oarecare a spaţiului este pătratică şi

nesingular ă.

V n

V n

)(][ ijcS = B

Exemplu. Vectorii determină o bază a spaţiului

vectorial V , deoarece

)}1,1(),1,1({ −===′ vuB

)}1,0(),0,1({ 21 === ee),(22 == L BBR

02],[det11

11 ≠−=≡−

vu .

4.7. Schimbarea bazei într-un spaţiu vectorial . V n

Fie şi două baze distincte în spaţiulvectorial . Atunci vectorii bazei se pot exprima relativ la baza B prin relaţiile:

},...,,{ 21 neee=B

n

},...,,{ 21 neee ′′′=′B

B′V

′ = ==∑e c e j

j ij ii

n

, ,11

n

)

e

e

. (**)

Fie ( , respectiv ( ' coordonatele unui vector arbitrar

în raport cu baza B respectiv , deci au loc descompunerile x respectiv

j . Folosind relaţiile existente între vectorii celor două baze, obţinem

...,x x n1

e

,..., ')x x n1

B′

n x V ∈

x i i

i

n

==∑1

x x j

j

n

= ′ ′=

∑1

x x c e c x j

j

n

ij ii

n

ij jj

n

i

n

i= ′

= ′

= = ==∑ ∑ ∑∑1 1 11

.

Din unicitatea descompunerii vectorului x în raport cu baza B, prin identificareacoeficienţilor, rezultă relaţiile

x c x ii ij

j

n

j= ′ =

=∑1

1, ,n. (***)

Notând coordonatele vectorului x relativ la cele două baze respectiv prin, relaţiile (**) se scriu condensat sub formă

matriceală

X x x x t

n= ( , ,..., )

1 2 ′ = ′ ′ ′X x x x t

n( , ,..., )

1 2

X CX = ′. (**)

Definiţii. a) Matricea pătratică n jiijcC

,1,)(][

==′=

BB

B′

unic determinată

de relaţiile (**), ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor bazei B în raport cu baza B, se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza .

′

b) Relaţiile (***) descriu transformarea coordonatelor vectorului x la oschimbare a bazei B în baza B .′

Exemple. 1. Să se determine coeficienţii polinomului

relativ la baza .

][1 22 t t p R ∈−=

}1,1,{2

−+=′ t t B


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Pe de altă parte, generează W , căci T fiind surjectivă, avem că pentru orice

, există o combinaţie liniar ă astfel încâtT , şi deci

. În concluzie n = dim = dim W = m.

)B(T

)(BT

m

mw W ∈

1

vwn

i

= ∑=

∑=

∈=n

i

niievv1

V

)(BT

wv =)(

)(eT ii ∈ m

""⇐ . Fie şi . Sistemele de coordonate şi ,asociate unor baze arbitrar fixate în V , respectiv W , produc izomorfismul

V V = n W W = n f n

n:V K → g n

n:W K →

n m

nn f g T W V →= − :1o ,

deci cele două spaţii vectoriale sunt izomorfe.

Exemplu. Spaţiile vectoriale , şi sunt izomorfe, având

toate dimensiunea 6.

)(32 R x M ][5 X R 6

R

#5. Spaţii vectoriale euclidiene

În cele ce urmează, vom adăuga la structura de spaţiu vectorial o nouă operaţiecu vectori - cea de produs scalar, cu ajutorul căreia vom puta defini:◊ lungimea unui vector,◊ unghiul format de doi vectori, ortogonalitatea a doi vectori,◊ proiecţia unui vector pe un alt vector sau pe un subspaţiu vectorial, etc.

5.1. Definiţii. a) Fie V un C-spaţiu vectorial. Se numeşte produs scalar

(complex), sau încă, produs scalar hermitic pe V , o funcţie care, pentru , are proprietăţileC→×>⋅⋅< V V :,

V ∈∀ wvu ,, , C∈∀k

♦ ><>=< vwwv ,, (hermiticitate)

♦ (aditivitate/distributivitate)><+>>=<+< wuvuwvu ,,,

♦ (omog. în primul argument)>>=<< wkvwvk ,,

♦ . (pozitivitate)00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvv

b) Un spaţiu vectorial complex pe care s-a definit un produs scalar se numeşte

spa ţ iu vectorial euclidian complex.

Observaţie Din aceste proprietăţi decurg relaţiile

♦ ><>= wvk kwv ,< , ,

♦ < ,><+>>=<+ wvwuwvu ,,,

♦ < R >∈vv, ,

♦ < , ∀ ,00,,00,0 >=>=<>=< uu C∈∀∈ k u,v,w ,V

deci un produs scalar hermitic nu este în general omogen în al doilea argument, şi esteaditiv în ambele argumente.

S t u

d e n t W e

b C o p y

Teoremă. În orice spa ţ iu euclidian complex V este satisf ăcut ă inegalitateaCauchy-Schwartz

V ∈∀><⋅><≤>< wvwwvvwv , ,,,,2

;

rela ţ ia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependen ţ i.

Demonstraţie. Dacă 0 sau , relaţia este evidentă. Fie deci v şi

fie un scalar arbitrar. Folosind pozitivitatea produsului scalar, avem

=v 0=w {0}\, V ∈w

C∈α

)(,0 ααα E wvwv :>=−−≤< ,

şi . Pentruwv E αα ⇔= 0)( =><

><=

ww

wv

,

,α obţinem deci

0,

,,)(

2

≥><

><−>=<

ww

wvvv E α ,

de unde rezultă inegalitatea. De asemenea, 0)(,,,2

=α⇔>><=<>< E wwvvwv

><>=<α wwwvw ,/,,

,

cu α fixat ca mai sus, deci avem ; reciproc, dacă

, avem

α=v

wαv =22

,, α>=><< wwvv22 ,,, ><=>α<=>< wvvvvv .

5.2. Vom considera în continuare cazul când V este un spaţiu vectorial real.

Definiţii. a) Fie V un spaţiu vectorial real. Se numeşte produs scalar (real ) pe

V , o funcţie

R →×>⋅⋅< V V :,

care pentru , are proprietăţileR ∈∀∈∀

k wvu ,,, V ♦ (simetrie)>>=<< vwwv ,,

♦ (aditivitate/distributivitate)><+>>=<+< wuvuwvu ,,,

♦ (omog. în primul argument)>>=<< wkvwvk ,,

♦ . (pozitivitate)00,;0, =⇔>=<≥>< vvvvv

b) Un spaţiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeşte

spa ţ iu vectorial euclidian real.

Observaţie. Din aceste proprietăţi decurg relaţiile (temă, verificaţi):

♦ < ><>= wvk kwv ,,♦ < ><+>>=<+ wvwuwvu ,,,

♦ < , ∀ ,00,,00,0 >=>=<>=< uu R ∈∀∈ k wvu V,,,

deci un produs scalar real este omogen şi aditiv în ambele argumente.

Teoremă . În orice spa ţ iu euclidian real V este satisf ăcut ă inegalitateaCauchy-Schwartz

V ∈∀>><<≤>< wvwwvvwv , ,,,, 2 .

Rela ţ ia devine egalitate dacă şi numai dacă v şi w sunt liniar dependen ţ i.

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Exemple de spaţii vectoriale euclidiene.

1. Funcţia cu valori reale definită pe spaţiul vectorial V = prinnR

n

nnnn y y y y x x x x y x y x y x y x R ∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 21212211

este un produs scalar pe , determinând o structur ă de spaţiu euclidian real pe .nR

nR

2. Spaţiul vectorial complex V = este un spaţiu vectorial euclidiancomplex în raport cu produsul scalar

n

C

n

nnnn y y y y x x x x y x y x y x y x C∈==∀+++>=< ),...,,(),,...,,(,..., 212122110

3. Spaţiul euclidian real V = C a al tuturor funcţiilor cu valori reale,

continue pe un interval , cu produsul scalar dat de

b[ , ]

[ , ]a b ∫>==< ∑∞

=

y x y x y xi

ii ,,,1

.

6. Spaţiul euclidian complex V al şirurilor complexe

cu proprietatea că

C⊂= ,...},...,{ 1 n x x x

xii

2

1=

∞

∑ este serie convergent ă , cu produsul scalar

V ∈∀>=< ∑

∞

= y x y x y x

iii ,,, 1 .

7. Spaţiul euclidian real V al matricilor pătratice , cu produsul

scalar

)(R nn M ×

)(,),(, R nn

t M B A B ATr B A ×∈∀>=< ,

unde am notat prin Tr urma unei matrici pătratice C :)(C

)()(,)(,1,2211 R nnn jiijnn M cC cccC Tr ×= ∈=∀+++= K .

5.4. Definiţie. Fie V un K -spaţiu vectorial euclidian. Se numeşte normă pe V ,

o aplicaţie +→ R V: care satisface relaţiilev v≥ ∀ ∈0, V şi v v= ⇔ =0 0 (pozitivitate)kv k v v k = ∀ ∈ ∀ ∈, ,V K (omogenitate)v w v w v w+ ≤ + ∀ ∈, , V (inegalitatea triunghiului).

Inegalitatea triunghiului devine egalitate doar v şi w sunt coliniari şi de acelaşi sens.

Teoremă. Fie V un K -spa ţ iu vectorial euclidian. Func ţ ia +→ R V: ,

definită prin

V ∈∀><= vvvv ,,

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

este o normă pe V . Norma definită în teoremă se numeşte norma euclidiană. Astfel, orice spaţiu

vectorial euclidian este în particular spaţiu vectorial normat.

Demonstraţie. Presupunem că V este un spaţiu vectorial complex. Inegalitateaimplică ( , )v v ≥ 0 v ≥ 0

∀v

, cu egalitate dacă şi numai dacă v este vectorul nul. Avem,de asemenea, pentru :C∈∀∈ k ,V

vk vvk vvk vvk k kvkvkv =><=><=><=><= ,,,,2

.

Inegalitatea triunghiului se demonstrează astfel:

., ,)(2

,,,,,

222

2

V ∈∀+=++≤

≤><+><+><+>>=<++=<+

wvwvwwvv

wwwvwvvvwvwvwv

unde am ţinut seama de inegalitatea Cauchy-Schwarz ( , )v w v w≤ , şi de

inegalitatea V ∈∀><>≤<=><+>< wvwvwvwvwv ,,,2,Re2,, .

Exemplu. Norma euclidiană canonică a spaţiului R este dată de3

V ∈=∀++=><= ),,(,, 222 z y xv z y xvvv .

Definiţii. a) Un spaţiu vectorial normat în care norma provine dintr-un produsscalar se numeşte spa ţ iu prehilbertian.

b) Un spaţiu prehilbertian complet (în sensul că orice şir Cauchy de elementedin spaţiu este un şir convergent) se numeşte spa ţ iu Hilbert.

Observaţii. 1. Primele două proprietăţi ale normei asigur ă că orice element v

din V \{0} poate fi scris în forma v undev e= , e are proprietateav

v=1

e = 1 şi se

numeşte versorul asociat vectorului nenul v. În general, un vector e cu proprietateae = 1 se numeşte versor .

2. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real. Pentru v w, \ { }∈V 0 , inegalitatea

Cauchy-Schwarz, ,, wvwv ≤>< se poate rescrie sub forma

1

,

1 ≤

><

≤− wv

wv

,

dublă inegalitate care justifică următoarea definiţie a unghiului format de doi vectori.

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian real , şi v doi vectori nenulidin V . Se numeşte unghiul dintre vectorii v şi w, numărul definit de

egalitatea

w,θ ∈ [ , ]0 π

wv

wv ><=θ

,cos .

Se observă că în definiţie este esenţial să avem .R = K

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

5.5. Definiţie. Fie M o mulţime. Se numeşte distan ţă (metrică ) pe M , oaplicaţie d , care pentru ∀ satisface relaţiile( , ):⋅ ⋅ × → + M M R M ∈wvu ,,

vuvud vud =⇔=≥ 0),(;0),( (pozitivitate)(simetrie)),(),( uvd vud =

(inegalitatea triunghiului)),(),(),( vwd wud vud +≤În acest caz spunem că mulţimea M are o structur ă de spa ţ iu metric.

Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial normat. Atunci func ţ ia real ă

definit ă prind ( , ):⋅ ⋅ × → +V V R

V ∈∀−= vuvuvud ,,),(

este o distan ţă pe V . Deci orice spaţiu vectorial normat este un spaţiu metric.Dacă norma este

normă euclidiană, atunci distanţa definită cu ajutorul ei se numeşte distan ţă

euclidiană.

Exemplu. Fie P spaţiul euclidian real al funcţiilor polinomiale reale de gradcel mult doi înzestrat cu produsul scalar <⋅,⋅>: ,

2

R →× 22 P P

2221100 ,,22, P ∈∀++>=< q pbababaq p ,

pentru . Fie vectorii2210

2210 )(,)( xb xbb xq xa xaa x p ++=++=

22

42

322

1 2)(,1)(,1)(,3)( P x x p x x x p x x p x x p ∈=−+=−=+= .

Aflaţi un vector echidistant faţă de cei patru vectori şi calculaţi distanţa comună. p0

Soluţie. Fie aflăm coeficienţii din condiţia ca

distanţele de la acest polinom la celelalte patru, să coincidă,

p x a bx cx0

2( ) ;= + + a b c, ,

p p p p p p p p1 0 2 0 3 0 4 0− = − = − = − ;

obţinem (temă, verificaţi)15 / 26, 14 / 26, 23/ 26a b c= = = ,

deci . Distanţa cerută este prin urmare26/)231415( 20 x x p ++=

3 0 3 0 3 0

2 2 229

26 26 26 26

15 14 1262,d p p p p p p − + − + =

= − = < − − > =

.

#6. Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

6.1. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian.a) Doi vectori din V se numesc ortogonali dacă produsul lor scalar este nul.

b) O submulţime se numeşte ortogonal ă dacă vectorii săi suntortogonali doi câte doi, adică

S ⊂V

v< wvS wvw ≠∈∀>= ,,,0, .

c) O mulţime ortogonală se numeşte ortonormat ă dacă fiecare element al săuare norma egală cu unitatea.

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Teoremă. Fie V un K -spa ţ iu euclidian şi S o submul ţ ime din V format ă din

vectori nenuli. Atunci au loc următoarele afirma ţ ii:

1) Dacă S este mul ţ ime ortogonal ă , atunci este liniar independent ă.

2) Dacă n iar S con ţ ine exact n vectori, atunci S este o baz ă a lui V .=V dim

Demonstraţie. 1) Dacă este mulţime ortogonală, iar{ }S ⊂V \ 0

0...2211 =+++ p pvk vk vk ,

o combinaţie liniar ă finită nulă de elemente din S. Aplicând acestei egalităţi de vectori produsul scalar cu v , rezultă j

p jvvk vvk vvk j p p j j ,1,0,...,, 2211 ∈>=<++><+>< .

S fiind ortogonală, cele p relaţii obţinute devin egalităţile p jvvk j j j ,1,0, ∈>=< .

Dar vectorii v j sunt nenuli, deci p j , ,∈ 1

p jvvv j j j ,1,0, ∈≠>=<

,de unde rezultă k j , şi deci mulţimea S este liniar independentă. p

n

j = ∈0 1, ,

2) rezultă imediat din prima afirmaţie şi din teorema 4.3.

Observaţie. În spaţiile vectoriale euclidiene este comod să se exprime vectoriiîn raport cu baze ortonormate. Faptul că o bază este

ortonormată se poate rescrie

B V = ⊂{ , ,..., }e e en1 2

≠

==>=<

ji

jiee ij ji pentru,0

pentru,1, δ , i j ,n, ,= 1

unde simbolul δ se numeşte simbolul lui Kronecker.ij

Exemplu. În spaţiul vectorial euclidean real V al funcţiilor reale,

continue, definite pe intervalul [ , înzestrat cu produsul scalar

],0[0 π= C

]0 π

∫π

>=<0

)()(, dx x g x f g f ,

consider ăm următoarea submulţime de funcţii trigonometrice S f , cu f f = { , , ,...}0 1 2

.}

, (

1,2sin)(,2cos)({}1)({ 2120 ≥==∪== − nnx x f nx x f x f S xn

Mulţimea S este ortogonală, căci temă, verificaţi).

Deoarece S nu conţine elementul nul al spaţiului (funcţia identic nulă),rezultă conform teoremei de mai sus că S este liniar independentă. Însă S nu esteortonormată, căci normele vectorilor săi sunt diferite de 1, anume:

N∈≠∀>=< ji ji f f ji . ,,0

C0 0[ , ]π

∈π==

π==

π===

∫

∫

∫

π

π

−

π

*,2/2sin

,2/2cos

,,

0

22

0

212

0000

Nnnxdx f

nxdx f

dx f f f

n

n

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Împăr ţind fiecare funcţie prin norma sa, obţinem mulţimea ortonormată de mai jos:,...},, 210 g g { g

*,2sin)(,2cos)(,)(221

2120 N∈===πππ

−nnx x g nx x g x g nn .

6.2. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi un vector w ∈V \ { }0 .

a) Se numeşte proiec ţ ia vectorului v pe w, vectorul∈V

www

wvv pr

w><

><=

,

,.

b) Se numeşte mărimea algebrică a proiec ţ iei lui v pe w, numărul real∈V

w

wvv pr w

><=

,,

unde norma este cea euclidiană asociată produsului scalar considerat.

Teoremă . Fie spa ţ iul vectorial euclidian . Fie o

baz ă pentru V şi . Au loc următoarele afirma ţ ii:

nV V = B = { , ,..., }e e en1 2

x x ei ii

n

= ∈=

∑1

V

1) Dacă B este baz ă ortogonal ă atunci niee

e x x

ii

ii ,1,

,

,=

><

><= .

2) Dacă B este baz ă ortonormat ă , atunci nie x x ii ,1,, =>=< .

Demonstraţie. 1) Orice vector x se descompune relativ la baza B, deci

. Înmulţind scalar această relaţie cu vectorul

n∈V

x x j j j

n=

=

∑1

e e i , obţinemni , ,= 1

niee

e x xee xee xe x

ii

ii

n

j

iiii j ji ,1,,

,,,,

1

=><

><=⇒><>=<>=< ∑

=

.

2) Dacă baza { } este ortonormată, atunci,

ei i n=1nie x xee iiii ,1,,1, =>=<⇒>=< .

Observaţie. În cazul al doilea din teoremă, orice vector admite

reprezentarea unică . Coordonatele

x n∈V

∑=

><=n

i

ii ee x x1

, ne x x ii ,,= ale

vectorului x reprezintă exact mărimile algebrice ale proiecţiilor vectorului x (pe scurt, proiec ţ ii) pe versorii e şi se numesc coordonate euclidiene.i

6.3. Teoremă. Fie este un spa ţ iu vectorial euclidian complex şi

este o baz ă ortonormat ă în V ; atunci

nV

B = { , ,..., }e e en1 2 n

1) produsul scalar a doi vectori are expresianV y x, ∈

∑=

>=<n

j

j j y x y x1

, , unde n je y ye x x j j j j ,1,,,, =>=<>=< ;

2) norma satisface rela ţ ia x x . j j

n

2

2

1=

=∑

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Demonstraţie. 1) Baza fiind ortonormată, avem ; fieij ji ee δ >=< ,

∑=

=n

j

j j e x x1

, .n

n

j

j je y y V ∈= ∑=1

Folosind proprietăţile produsului scalar, obţinem

∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑= = == == =

=>=<=>=<n

j

n

k

n

j

j j jk k j

n

j

n

k

k jk j

n

j

n

k

k k j j y x y xee y xe ye x y x1 1 11 11 1

,,, δ .

2) Înlocuind în expresia produsului scalar, rezultă relaţia. x y =

6.4. Definiţii. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi S o submulţime a sa.

a) Un vector din V se numeşte ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecareelement din S .

b) Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali relativ la submulţimea S se numeşte “S

ortogonal” şi se notează cu S . Se observă că S este un subspaţiu vectorial al lui V ,

indiferent dacă S este sau nu un subspaţiu al lui V .

⊥ ⊥

c) În cazul când S este un subspaţiu vectorial, subspaţiul vectorial S se numeştecomplementul ortogonal al lui S .

⊥

Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial euclidian şi un subspa ţ iu

vectorial n- dimensional al lui V ; atunci:

nW W =

1) Are loc descompunerea în sumă direct ă .⊥⊕W W V =

2) Fie . Atunci vectorul v satisface rela ţ ia

(numit ă şi teorema Pitagora )V ∈v , ⊥⊥

⊕=∈+= W W V wwv

v w w2 2 2= + ⊥ . Vectorul w din descompunerea de mai sus se numeşte proiec ţ ia vectorului

pe subspa ţ iul al lui V . În cazul când subspaţiul este finit-dimensional, acesta estedat de suma proiecţiilor sale pe vectorii unei baze ortogonale a subspaţiului.

V ∈v

W

Demonstraţie. 1) Fie o bază ortonormată a lui W şi fie B = { , ,..., }e e en1 2 n

∑=

><=n

i

ii eevw1

,

proiecţia vectorului v pe subspaţiul W . Notând w v rezultă ∈V n w⊥= −

>=<−><=>< ⊥ wwwvww ,,,

=><><−><= ∑ ∑∑= ==

n

i

n

j

j jii

n

i

ii eeveeveevv1 11

,,,,

∑ ∑∑= = =

>=><><<−><=n

i

n

i

n

j

jiiii eeevevev1 1 1

2 ,,,,

∑ ∑∑= = =

=δ>><<−><=n

i

n

i

n

j

ij jii evevev1 1 1

2 0,,,

şi deci . Exprimarea unică arată că ⊥⊥∈W w ⊥

+= wwv ⊥⊕W W V = .

2) Teorema Pitagora rezultă din următoarele egalităţi:

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

>=++>=<=< ⊥⊥ wwwwvvv ,,2

22,,2, ⊥⊥⊥⊥ +>=<+><+>=< wwwwwwww .

Fie în continuareV

un spaţiu vectorial euclidian. Vom ar ăta că din oricemulţime liniar independentă de vectori S din V se poate construi o mulţime

ortonormată S ' (mulţime ortogonală ai cărei vectori au norma egală cu 1) care să

genereze L(S ). Această mulţime ortonormată rezultă prin normarea vectorilor unei

mulţimi ortogonale S ". Modul de obţinere al mulţimii ortogonale S ", cunoscut sub

numele de procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt , este descris în cele ce

urmează.

6.5. Teoremă. Fie V un spa ţ iu vectorial euclidian de dimensiune n , iar

o baz ă a lui V . Atunci exist ă o baz ă care are

următoarele propriet ăţ i:

},...,,{ 21 nvvv=B },...,,{ 21 neee=′B

a) baza esteB′ ortonormat ă ;

b) mul ţ imile { , şi { , ... , }v v vk 1 2 , ,..., }e e e

k 1 2 genereaz ă acela şi subspa ţ iu vectorial

W V k k

L v v v L e e e= =({ , ,..., }) ({ , ,..., })1 2 1 2 k ⊂

pentru fiecare k n. ∈ 1,

Demonstraţie. Mai întâi construim o mulţime ortogonală ce

satisface proprietatea b), şi apoi îi normăm elementele. Mulţimea ortogonală

se construieşte din { în felul următor:

}

1

,...,,{ 21 nwww=′′B

{ , ,..., }w w wn1 2 , ,..., }v v vn1 2

♦ Se consider ă w v .1 1=♦ Se alege w v . Vectorul w nu este zero deoarece ind( B) ⇒ . Se

determină k din condiţia ca w să fie ortogonal lui w , adică

kw2 2= + 2 ind{ , }v v1 2

2 1

><

><−=⇒

><

><−=>⇒+>=<=<

11

12

11

1211212

,

,

,

,,,0

ww

wvk

ww

wvk wkwvww

de unde rezultă

222 1v pr vw

w−= .

♦ Vectorul w este luat de forma w v ; el este nenul deoarece ind( B)

ind{ . Scalarii k sunt determinaţi din condiţiile ca w să fie ortogonallui w şi lui w ,

3

,1 2

k w k w3 3 1 1 2= + + 2

2⇒

, }v v v

3

1 2

k 1 , 3

><

><−=

><

><−=

⇒

><+>>==<

><+>>=<=<

22

232

11

131

2222323

1111313

,

,

,

,

,,(,0

,,,0

ww

wvk

ww

wvk

wwk wvww

wwk wvww

şi deci 2

22

231

11

1333

,

,

,

,w

ww

wvw

ww

wvvw

><

><−

><

><−= , adică 3333 21

v pr v pr vwww −−= .

Repetăm procedeul până obţinem o mulţime de n vectori ortogonali

},...,,{ 21 nwww=′′ B .

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Observaţie. O simplificare considerabilă a calculului, care conduce la o bază ortogonală cu proprietăţi similare, şi în final la baza ortonormată , esteurmătoarea: după ortogonalizare, deci după determinarea celor trei vectori ai bazei

, aceştia pot fi înlocuiţi prin multipli convenabili ai lor. Acest fapt nu influenţează

rezultatul, deoarece au loc următoarele proprietăţi:

B ′′ B′

B′

1. R =∈∀∈∀>=<⇒>=< K V k vukvuvu n ,,,0,0, ;

2. R =∈∀∈∀= K V l k vuku pr nlvv ,,,, ,u pr kl

adică, pe scurt, pentru un sistem ortogonal dat, orice alt sistem format din multiplinenuli ai vectorilor acestuia este tot ortogonal.

În cazul nostru putem înlocui, spre exemplu, prin amplificările indicate:

−=→−−=

=→=

−=→−=

−⋅

⋅

−⋅

)1,3,1()11/4;11/12;11/4(

)3,2,3( )2/3;1;2/3(

)1,0,1( )1,0,1(

3)4/11(

3

22

2

1

)1(

1

ww

ww

ww

Observăm că sistemul B conduce la baza ortonormată

, ce satisface proprietăţile teoremei 8.1.

},,{ 321 www=′′

},,{ 321 eee −−=′B

6.6. Considerând cazul infinit dimensional, generalizăm teorema 6.5 astfel:

Teoremă. Fie B={ , o mul ţ ime finit ă sau infinit ă în spa ţ iul

vectorial euclidian V şi fie L subspa ţ iul generat de primii k vectori ai

acestei mul ţ imi.

,...}v v 1 2

⊂V

( ,...,v v k1

)

Atunci exist ă o mul ţ ime B astfel încât:V ⊂=′ ,...},{ 21 ww

1) vectorul w este ortogonal pe ,∀ ∈ k L v v v k

( , ,..., )1 2 1− k N

2) ,∀ ∈ L L { ,..., } { ,..., }w w v v k k1 1

= k N

3) vectorii w w cu propriet ăţ ile 1) şi 2) sunt unic determina ţ i, abstrac ţ ie1 2, ,...

f ăcând de sens (de o posibil ă amplificare cu -1).

Observaţie Vectorii w w din teoremă sunt determinaţi recursiv prin

relaţiile:

wk 1 2, ,...,

1,1 ,,1

11111 −=−== ∑=

+++ k r v pr vwvwr

i

r wr r i

pentru . Din mulţimea ortogonală se poate obţine mulţimea

ortonormată

k ∈ N { , ,...}w w1 2

,...

2

2,

1

1

w

w

w

w

, ai cărei vectori au proprietăţile 1) şi 2) din teoremă, şi

sunt unic determinaţi, abstracţie f ăcând de semn.

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Exerciţiu. Fie V spaţiul vectorial euclidian al funcţiilor polinomiale realedefinite pe intervalul [ , cu produsul scalar dat de, ]−11

V ∈∀>=< ∫−wvdt t wt vwv ,,)()(,

1

1.

Aplicaţi procedeul Gram-Schmidt bazei canonice v t .V B ⊂= ∈Nnnv }{ , t nn

n() ,= ∈ N

Soluţie. Aplicând acestei baze, procedeul Gram-Schmidt, obţinem baza

ortogonală B' formată din polinoamele Legendre,= ∈{ }w n n N

,...)1()!2(

!)(,...,

5

3)(,

3

1)(,)(,1)( 23

32

210n

n

n

n t dt

d

n

nt wt t t wt t wt t wt w −=−=−===

#7. Probleme propuse

1. Fie mulţimea pe care definim operaţiile3R

(i) =+ y x ,3332211 ,),,,( R ∈∀+++ y x y x y x y x

(ii) x y ,x y x y x y x y + = + + − ∀ ∈( , , ), ,1 1 2 2 3 3

3R

(iii) (=kx ,331 ,),,0, R R ∈∀∈∀ xk kxkx

(iv) (=kx .3321 ,),,, R R ∈∀∈∀ xk kxkxkx

a) Formează un spaţiu vectorial real faţă de operaţiile (i) şi (iii)?3R

b) Dar faţă de (i) şi (iv) ?c) Dar faţă de (ii) şi (iv) ?

R: a) nu; b) da; c) nu.

2. Determinaţi dacă mulţimile următoare reprezintă spaţii vectoriale cuoperaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire cu scalari descrise alăturat

a) ( ,),,2 ⊗⊕= R V

∈∀∈∀⋅=⊗

⊕

.)()(),0()(

)()()(2

2121121

22112121

R R λ , ,y y , ,x x , x λ ,x x λ

|+|y ,x+y x= ,y y ,x x

b) ),},4][{( R R V ⋅+=∈= p grad X p .

c) ),},2][{][2 R R R V ⋅+≤∈≡= p grad X p X ( .

d) ,),(:{),(( 2 f ba f f baC R V →== derivabilă de 2 ori, continuă }, , f ′′ ), R ⋅+

∈λ∀∈∀∈∀λ=λ

+=+

R V,,),,(),())((

)()())((

g f ba x x f x f

x g x f x g f

R: a) nu, b) nu, c) da, d) da.

3. a) Să se arate că mulţimea tuturor şirurilor convergente cu termeni din K ( ) formează un spaţiu vectorial peste K relativ la adunarea a două şiruri şi

înmulţirea dintre un număr şi un şir.

K ∈ { , }R C

b) Să se stabilească dacă mulţimea V a tuturor funcţiilor reale de clasă C pe

este spaţiu vectorial real în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea dintreun număr şi o funcţie, descrise prin

k

U R ⊂ n

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ), , ,

f g x f x g x

kf x kf x k f g

+ = +

= ∀ ∈ ∀ R V ∈

∈

c) Ar ătaţi că mulţimea V a funcţiilor integrabile pe , este

un spaţiu vectorial real în raport cu operaţiile descrise mai sus.

R ∈< baba ],,[

R: b) da.

4. Fie V un spaţiu vectorial real. Pe definim operaţiileV V × ( , ) ( , ) ( , )u v x y u x v y + = + +

( ) .( , ) ( , ),a ib u v au bv bu av a ib u v x y + = − + ∀ + ∈ ∀C, , , , V

Să se arate că este un spaţiu vectorial peste C (acest spaţiu se numeştecomplexificatul lui V şi îl notăm cu C ).

V V ×

V

5. Să se verifice care dintre următoarele submulţimi W reprezintă subspaţii

vectoriale în spaţiile vectoriale specificate :a) 2

2121 }0),{( R ⊂=−+= a x x x xW ,

b) W ,][][ 42 X X R R ⊂=

c) toate polinoamele cu coeficienţi reali în

nedeterminata X .

≡⊂= ][][3 X X W R R

d) ][}0)1()1(][{ X p p X R p R ⊂=−+∈=W

e) ][}1)0(][ X p X R p R ⊂=∈{W = .

R. a) da , b) da, c) da, d) da, e) nu.0=⇔ a

6. Să se stabilească dacă mulţimile][][{ X q X p A nn R R ∈∃∈= , a.î. }),2()12()( R ∈∀−+= xq xq x p

B p X p x p x x n

= ∈ = + ∀ ∈{ [ ] ( ) ( ) ,R R 3 72

}

]

sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial R al polinoamelor cu coeficienţi

reali, de grad cel mult n .n

X [

R: a) da, b) nu.

7. Consider ăm subspaţiile vectoriale V (unde este o familie arbitrar ă

de indici) ale spaţiului vectorial V .

Λ∈ii , Λ

Să se arate că este subspaţiu vectorial al lui V .ii

V Λ∈

∩

8. Fie un interval real şi mulţimile:R ⊂= ),( ba I

i) Mulţimea funcţiilor continue pe I , f I f I C R →= :{)(0 continuă pe I },

ii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I ( ),k C *N∈k

f I f I C k R →= :{)( derivabilă de k ori pe I , cu continuă pe I },)(k f

iii) Mulţimea funcţiilor diferenţiabile de clasă pe I ,∞C

f I f I C R →=∞

:{)( derivabilă de k ori pe I , }.N∈∀ k



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Ar ătaţi că:a) C şi C formează spaţii vectoriale reale cu operaţiile)(),(0 I C I k )( I ∞

.),())((),()())(( I x x f x f x g x f x g f ∈∀λ=λ+=+

b) este subspaţiu vectorial în)( I C ∞ N∈∀k I C k ),( ;

c) este subspaţiu vectorial în)( I C k N∈≥∀ l k I C l ),( ;d) .)()( I C I C k

k N∈

∞ ∩=

9. Fie două familii de vectori. Ar ătaţi că:V S S ⊂′,

a) ;)(S LS ⊂

b) ;)()()( S LS LS LS ′⊂⇒′⊂

c) Dacă S este subspaţiu vectorial al lui V , atunci ;S S L =)(

d) ;W S L

W V W S

subsp.vec.

)(⊂⊂

= ∩

e) ;)()()( S LS LS S L ′+=′∪f) Dacă , atunci ;S S ′⊂ )()( S ind S ind ⇒′

g) Dacă , atunci .S S ′⊂ )()( S depS dep ′⇒

10. Să se cerceteze dacă vectorul este o combinaţie liniar ă

a vectorilor u u

4)3,0,2,1( R ∈−=v

u3

1 2 121− = −,,, ), ( ,1 2

39 4 2 230= − − =( ,, , ), ( , .,)

3R: da, v u .u u= − +

1 23 2

11. Să se determine dacă următoarele familii de vectori sunt dependente sau

independente liniar. În cazul dependenţei liniare indicaţi o relaţie de dependenţă .a) v ,3

321 )2,0,1(),1,1,1(),0,2,1( R ∈−−=== vv

b) ,][][3,1,1 22

32

21 X X x x p x x p x p R R ⊂∈++=+−=+=

c) , unde)(exp,, 321 R ∞∈=== C f sh f ch f

f f f C ,:{)( R R R →≡∞ derivabilă de oricâte ori pe R },

d) ,)(11

11,

00

00,

10

11,

20

0124321 R M mmmm ∈

=

=

=

=

e) )(},cos)({ R N ∞⊂∈== C n x x f f S n

nn .

R. a) , b) ,321321 2},,,{ vvvvvvdep += p p p p p pdep 213321 2},,,{ += c) , f f f f f f dep 213321 },,,{ +=

d) , e) ind .00100},,,,{ 43214321 =⋅+⋅+⋅+⋅ mmmmmmmmdep S

12. Să se stabilească care dintre următoarele submulţimi ale spaţiului vectorialsunt liniar dependente / liniar independente:C

∞( )R

S x x S e e chx S e xe x ex x x x n x = = =− −

{,cos ,cos }, ' { , , }, " { , ,..., }1 2 2 1

.

x 0

R: dep(S ): − ⋅ ; dep(S’ ): 1 1 ; ind(S”).− ⋅ + ⋅ =1 1 1 2 2 02

cos cosx 2⋅ + ⋅ − ⋅ =−e e x

x x ch




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

BW

=

−

1 0 00 0 0

0 0 11 0 0

0 0 30 1 0, , .

17. Dându-se subspaţiile W şi U generate respectiv de vectorii w ,, , să se arate că

aceste subspaţii sunt suplimentare şi să se găsească descompunerea vectorului pe aceste subspaţii.

1 23115= ( ,, ,)

)1,1,1,0(),2,5,1,1( 32 == ww

v = ( ,,,)2003

)2,6,2,5(),4,3,1,1(),2,3,1,2( 321 === uuu

R: v u .u w w = + + − + ∈ +( ) ( )1 2 1 2

U W

18. Fie S f o mulţime de funcţii.f f C n

= ⊂ ∞{ , ,..., } ( )

1 2 R

Se numeşte wronskianul funcţiilor , determinantulf f f n1 2

, ,...,

w S f i nj

i( ) det[ ], ,

( )= =−11 ,

unde am notat f f jj j

( ),

01= ∀ = n, . Să se arate că:

a) dacă dep(S ) atunci w(S )=0 (echivalent, );S S w ind0)( ⇒≠ b) reciproca proprietăţii a) nu este adevărată;

19. Se dau subspaţiile vectoriale U şi W ale lui . În situaţiile de mai jos, să se determine câte o bază în subspaţiile U , W , U , U şi să se verificerelaţia

3R

∩W + W

dim U + dim W = dim (U ) + dim (U ),W + W ∩

a) ,)})1,1,0,1(),1,1,1,3(),2,1,2,1(({ 321 −−==−−== f f f LU

421 )})3,7,2,1(),5,6,5,2(({ R ⊂−−−=−−== g g LW ,

b) ,)})1,1,1,1(),0,1,2,1(({ 21 −=== f f LU

421 )})1,3,1,1(),1,0,1,2(({ R ⊂−=−−== g g LW ,

c) ,)})1,1,10(),0,0,1,1(({ 21 === f f LU

421 )})0,1,1,0(),1,1,0,0(({ R ⊂=== g g LW ,

d) }02),,{( =−+= z y x z y xU ,

3321 )})2,2,3(),0,0,1(),1,1,1(({ R ⊂==== www LW ,

R . a) U , 3+2=3+2. },,{},,{, 12121 f g g g g ====∩ +W U U W B B BW W

b) ,

2+2=1+3. c) U ; subspaţiile U şi W sunt suplementare; 2+2=0+4. d) ,

},,{},,{},,{)},4,3,2,5({ 1111 g f u g u f uu ===−−−== +∩ W U W U W U B B B B

42121 },,{},,{},0{ R =+===∩ W U B BW W U g g f f

)},0,1,1(),1,0,2({ 21 vv =−=== V U

B B },{ 21 ww

)}1,1,1({;},,,{ 3212 ===+= ∩+ wwwv

W U W U BW U B R , 2+2=3+1.

20. Să se găsească o bază a sumei şi o bază a intersecţiei subspaţiilorvectoriale U = şi W = , undeL u u u({ , , }

1 2 3 ) )L w w w ({ , , }

1 2 3

).2,0,6(),0,1,0(),1,3,3(

);0,2,1(),1,1,1(),1,1,2(

321

321

==−=

−==−=

www

uuu

R. .};{},,{},,{12121

w Bwwuu === ∩W U W U B B )(},,,{ 3

221

R =+=+ W U W U

wuu B




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

21. Să se completeze familia F de mai jos la o bază a spaţiului vectorial

corespunzător . Verificaţi în prealabil liniar independenţa sistemului F a) 3

21 )}1,1,0(),1,1,1({ R ⊂−=== vv F

b) .][}1,{ 33

22

1 X x p x x p F R ⊂−=−==R. a) B , b) B .)}0,0,1(,,{ 3213 == vvv

R },,,{ 2

43

321][3 x p x p p p X ===

R

22. Să se arate că dacă sunt subspaţii vectoriale în V , atunci

are loc relaţia U .

V U U U ⊂321 ,,

321 )( U U U ∩+=321 )( U U ∩+

23. Ar ătaţi că , unde b arbitrar fixat, iarba

aC U U ⊕⊕=

∈)(]1,0[0

R ]1,0[∈

]}1,0[,)(]1,0[{ 0 ∈∀=∈= xa x f C f aU , }0)(]1,0[{ 0 =∈= b f C f bU .

24. Fie un polinom fixat. Ar ătaţi că }0{\][0 X p R ∈

}divide][{}grad][{][ 0 p p X pn p X p X R R R ∈⊕≤∈= .

25. Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor în coV 5

sx care au cel mult

gradul 4. Să se scrie transformarea de coordonate care permite trecerea de la bazala baza B şi să se

găsească inversa acestei transformări.

{ }B = 1 2 3 4,cos ,cos cos ,cosx ,x x x 4

2 .

{ }′ = 1 2 3,cos ,cos , ,cosx x x x cos

R: , unde C ; matricea transformării inverse este

C -1 iar .

X CX =

X C '=

−−

−

=

80000

04000

8020003010

10101

X −1

26. Să se arate că următoarele familii de vectori B si B sunt baze în spaţiul

vectorial specificat şi să se determine matricea de trecere de la baza la B (notată ) şi coordonatele vectorului v (exprimat în baza canonică) relativ la baza

′ ′′

B′ ′′

BB ′′′C B′

3

1 2 3

31 2 3

a) { (1,0,1), (1,0, 1), (1,1,0)}

{ (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} ; ( 1,3,7)

f f f

g g g v

′ = = = − = ⊂

′′ = = = = ⊂ = −

B R

B R

2

1 2 3 2

2 2 21 2 3 2

b) { 1 , 1 , 1} [ ]

{ 1 , , 1 } [ ]; 1

q x q x q X

r x x r x r x X v x x

′ = = + = − = ⊂

′′ = = + + = = + ⊂ = − +

B R

B R

R: a) ; [ .],,[],,,[, 3213211 g g g C f f f C C C C =′′=′′′′= −

′′′BB)7,3,1(] 1 −⋅′= −

′t C v

B

b) ; [ .1

1 1 1 1 0 1

0 0 1 0

1 0 1 1

, 1 , 0

0 1

C C C C C −′ ′′

−

′ ′′ ′ ′′= = =

B B

)1,1,1(] 1 −⋅′= −′

t C vB


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

27. Fie spaţiul vectorial complex n -dimensional C şi fie trecerea în reala lui C . Ştiind că oricărui vector z din C îicorespunde vectorul ( din , să se stabilească vectorul din

care este asociat lui iz .

n

ib+2

RC

ibn +

n

n a ib a a n= +( , ,..., )1 1 2

)bn n

R nC

n

, ,..., , , ,a a a b b1 2 1 2 ..., R nC

R:

( ., ,..., , , ,..., )− − −b b b a a an n1 2 1 2

28. Să se arate că aplicaţiile definite prin formuleleR R R →× ][][:)(, X X nn

a) >==<n

k

n

n

k

k

k

k

k

n

k

k k X X bq X a pbak

q p0 00

][,,!

1, R ,

sunt respectiv produse scalare. Pentru n , să se calculeze unghiul dintre polinoamele p şi q faţă de produsul scalar (1), respectiv (2), unde

≥ 2

p X q X X n= − + = − + ∈3 4 2 3 32 2, [R X ].R: a) , b) .6, >=< q p 0, >=< q p

29. Determinaţi dacă următoarele operaţii reprezintă produse scalare:a) < 2

2211 ,,, R ∈∀+>= y x yax y x y x

b) .221 ,,, C∈∀>=< vuvuvu

R: a) , b) nu.0>⇔ ada

30. Să se verifice că următoarele operaţii determină produse scalare pe spaţiile

vectoriale specificate:

a) < 3332211 ,,, R ∈∀++>= y x y x y x y x y x

b) 22211 ,,, C∈∀+>=< y x y x y x y x

c) f ba f f baC g f dt t g t f g f b

a,],[:{],[,,)()(, 0

R →=∈∀>= ∫< continuă }

d) ]1,1[][,,)()(, 022

1

1−⊂≡∈∀>=< ∫−

C P X q pdt t qt pq p R

][,,, e)

22

2102

210

221100

X xq xqqq x p x p p p

q pq pq pq p

R ∈++=++=∀++>=<

f) , unde)(,),(, 2 R M B A B ATr B A t ∈∀>=<)()(,)( ,,1,11 R nn jiijnn M cC ccC Tr ∈=∀++= = KK

31. Folosind produsele scalare canonice din exerciţiul precedent, pentrufiecare din cazurile următoare să se calculeze:

♦ normele celor doi vectori;♦ pentru punctele a, c, d, e, f , unghiul celor doi vectori;

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

♦ determinaţi dacă cei doi vectori sunt ortogonali;♦ aflaţi proiecţia celui de-al doilea vector pe primul.

a) u .3)1,3,1(),1,2,1( R ∈−=−= v

b)2

)2,1(),,1( C∈−=+= iviiu .c) .]1,0[,;)(,)( 0C g f e x g e x f x x ∈== −

d) .221,1 P xq x p ∈−=+=

e) .][1,1 22 X xq x p R ∈−=+=

f) .)(11

01,

11

012 R M B A ∈

−

=

=

R . Temă: b,c,d,e,f. a) 4,,11,6 >=<== vuvu , deci u nu este ortogonal pe v;

[ ]

−=π∈=∠≡ϕ

3

2,

3

4,

3

2;,0

66

4arccos),( v pr vu u .

32. Ortonormaţi următoarele familii de vectori folosind produsele scalarecanonice (sau cele indicate, după caz) ale spaţiilor vectoriale considerate:

a) ,3321 })1,0,0(,)1,0,1(),0,1,1({ R ⊂==== vvv F

b) , unde][},1,1{ 22

32

21 x x x p x p x p F R ⊂+=−=+==

]1,1[][,,)()(, 022

1

1

−⊂≡∈∀>=< ∫−

C P xq pdt t qt pq p R

c) .3321 i)}i,(0,(1,1,-i),i,0,1),(1{ C⊂==+== vvv F

R. Temă. b,c). a) În urma ortogonalizării (Gram-Schmidt) şi normării familiei F ,rezultă baza ortonormată:

−=−==

3

1,

3

1,

3

1,

6

2,

6

1,

6

1,0,

2

1,

2

1321 g g g .

33. Aflaţi o familie ortonormată de soluţii ale sistemului liniar

=−−+

=+−−

02

03

v z y x

v z y x

.

R. Se rezolvă sistemul,se află o bază în spaţiul soluţiilor, se ortogonalizează şi apoi senormează această bază. Spre exemplu, o asemenea bază ortonormată este

)17,8,12,1(),1,2,0,1(498

1

6

121 =−= vv .

34. Completaţi următorul sistem de vectori la o bază ortogonală, verificând în prealabil că aceasta este formată din vectori ortogonali

321 })1,1,1(),1,1,2({ R ⊂−−=−== vv F .

R. .}{\))1,1,0((},,,{ 3321 0B =∈∀=′ v Lvvvv

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

35. Fie spaţiul vectorial euclidian real V cu produsul scalar dat de= C 0 0 4[ , ]

V ∈∀>=< ∫ g f dx x g x f g f ,,)()(,4

0.

a) Să se scrie inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru acest produs scalar. b) Să se calculeze d f g ( , ) şi g , unde

f x g x x x

x x( ) , ( )

, [

, ( ,= =

∈

− ∈

10 2

2 2

, ]

].4

)

R: a) ( ) ;( )( f x g x x f x x g x x( ) ( )d ( )d ( )d 0

4

0

4

0

4∫ ∫ ∫≤2

2 2

b) d f . g g ( , ) / ; /= =2 13 3 4 3

36. Determinaţi proiecţia ortogonală v pr vW

=′ a vectorului v pe subspaţiul W

precum şi componenta sa ortogonală a vectorului relativ la subspaţiul W , în

fiecare din următoarele cazuri:

⊥v

a) v ;3

21 )}1,1,0(),0,1,0(({),2,0,1( R ⊂==== ww LW

b) ,)(),1,1,1( S LW v =−=

;3321 )}2,2,3(),0,1,1(),2,0,1({ R ⊂−==−== wwwS

c) v ;][})1,1({,1 22

21 x x p x p LW x pnot

R ⊂−=−==+==

d) 3}0),,{(),1,1,1( R ⊂=−+=−= z y x z y xW v ;

e) v .421 )}0,3,1,1(),1,1,1,2(({),2,2,2,5( R ⊂=−==−= ww LW

R . Temă: a,c. b) ,56/45)5/45;(-23/45;==′ v pr v

W

11/45)-10/9;-(68/45;=′−=⊥ vvv . d) W ,,)}0,1,1(),1,0,1({( −= L

)}1,2,1(),1,0,1({ 21, −−=== ww B W ortog , deci)0,0,0(21

=+=′ v pr v pr v ww

)1,1,1(, −==⊥ ⊥ vvW v . e) v .)4,1,1,2(,)(3,1,-1,-2 −===′ ⊥vv pr W

37. Determinaţi complementul ortogonal W al subspaţiului vectorial W ,

unde W .

⊥

421 )}1,1,1,1(),0,0,1,1(({ R ⊂−=== ww L

R. W .)}1,1,0,0(),0,2,1,1({( −−=⊥ L

38. Se dă familia de vectori B = { , din spaţiul vectorial euclidian

canonic cu trei dimensiuni R , }v v v1 2 3

1 22 0= =, ), (3, unde v v .v31 0 1 1 11 0− = −( , , , ), ( , , )

a) Ar ătaţi că B este o bază a spaţiului R 3 . b) Să se ortonormeze baza B.

R: b) Se obţine baza ortonormată

′′′=′

−=′

−=′=′

11

2,

22

3,

22

33,

11

3,

11

1,

11

12,0,

2

1,

2

11},,,{ 321 eeeeeeB .

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

39. Fie spaţiul vectorial euclidian V al funcţiilor polinomiale definite pe

intervalul [ , cu produsul scalar definit prin aplicaţia,−11]

∫−>=<1

1d)()(, x xq x pq p .

Ortogonalizând mulţimea S x x x

n

= { , , ,..., ,...}1 2

se obţine familia a polinoamelorLegendre. Să se afle primele cinci polinoame ale acestei familii.

S ′

R: S x x x x x x x x x ′⊂

+−+−−−21

5

9

10,

35

3

7

6,

5

3,

3

1,,1 352432 .

40. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi doi vectori . Să se

verifice următoarele proprietăţi:

V ∈ y x,

a)222

y x y x y x +=+⇔⊥ ,

b) )()( y x y x y x −⊥+⇒= .

c)2222

2 y x y x y x +=−++ .

41. Fie V un spaţiu vectorial euclidean complex şi doi vectori . Să se

verifice următoarele proprietăţi:

V ∈ y x,

a) C∈∀+=+⇔⊥ babyaxbyax y x ,,222

,

b)2222

,4 iy xiiy xi y x y x y x −−++−−+>=< .

42. Fie V un spaţiu vectorial euclidean real şi o familie de

vectori. Să se arate că:

V ⊂},{ 1 nvv …

a) Dacă reprezintă familia obţinută din { în urma

aplicării procesului de ortogonalizare Gram-Schmidt, atunci au loc relaţiile

V ⊂},{ 1 nww … },1 nvv …

niwv ii ,1, =∀≥ ;

b) Au loc relaţiile şi),(),( 11 nn wwGvvG …… =22

11 ),( nn vvvvG ⋅⋅≤ …… ,

unde prinn ji ji vv

,1,),(

=><nvv1 det),( =…

},1 nvv …

G am notat determinantul Gram al familiei

de vectori { .R. a) Pentru i , avem1= 1111 wvw =⇒=

iW ii v pr w +=

v . Pentru i , se aplică teorema lui

Pitagora vectorului sumă v , unde W .

2≥

, 1−iw… )( 1= w L

b) Pentru prima relaţie, se demonstrează succesiv egalităţile

),(),,,(),,,(),,,( 1321321321 nnnn wwGvvwwGvvvwGvvvvG …………… ==== ,

folosind operaţii cu determinanţi şi expresiile care leagă cele două familii de vectori.

Pentru a doua relaţie, aplicăm punctul a) şi prima relaţie, observând că

22

1111 )),,,,(det(),( nnnn wwwwwwdiag wwG ⋅⋅=><><= ……… .



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

CAPITOLUL 2

TRANSFORMĂRI LINIARE

#1.Transformări liniare

1.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K .a) Se numeşte transformare liniar ă de la V la W (sau încă, operator liniar sau

morfism de spa ţ ii vectoriale), o funcţie care satisface proprietăţileW V →:T

V,∈∀+=+ y x yT xT y xT ,),()()( (1)(2)V K ∈∀∈∀= xk xkT kxT ,),()(

b) Se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale, orice transformare liniar ă bijectivă.c) Se numeşte endomorfism al spa ţ iului liniar V ,orice aplicaţie liniar ă V V →:T .

d) Se numeşte automorfism al spa ţ iului liniar V ,orice endomorfism bijectiv.e) Se numeşte formă liniar ă, o transformare liniar ă (unde este

considerat ca spaţiu vectorial cu o dimensiune peste K ).

K V →:T 1 K K =

Observaţie. Cele două condiţii, (1) şi (2), din definiţia unei transformări

liniare sunt echivalente cu condiţia. (3)V K ∈∀∈∀+=+ y xl k ylT xkT lykxT ,,,),()()(

Într-adevăr, dacă este liniar ă, atunci conform definiţiei avemW V →:T

V K ∈∀∈∀+=+=+ y xl k ylT xkT lyT kxT lykxT ,,,),()()()()( .

Reciproc, condiţia (3), pentru 1 implică (1), iar pentru implică (2).k l = = l = 0

Notaţii.

♦ Vom nota prin mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu

valori în W .

)( W V, L

♦ Vom nota prin mulţimea endomorfismelor spaţiului vectorial V .)(V End

♦ Vom nota prin mulţimea automorfismelor spaţiului vectorial V .)(V Aut

♦ Uneori în loc de vom scrie, pe scurt, .)( xT Tx

Exemple de transformări liniare.

1. Aplicaţia , unde a∈R , este liniar ă.ax xT LT =∈ )(),,( R R

2. Aplicaţia nulă, este transformare liniar ă.V W V ∈∀=∈ x xT , LT ,0)(),(

3. Aplicaţia de incluziune unde U este subspaţiu

vectorial în V (privit ca spaţiu vectorial cu structura indusă din V ), este aplicaţieliniar ă. Ca un caz particular, aplicaţia identitate

U V U ∈∀=∈ x x xT LT ,)(,),( ,

V V ∈∀=∈ x x x J End J ,)(),( ,

este aplicaţie liniar ă.




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

4. Aplicaţia , unde matricea

A∈ M

n

n

t mn x x x Ax xT LT R R R ∈=∀=∈ ),,(,)(),,( 1 K

m× n(R ) este dată, este o transformare liniar ă. Spre exemplu, pentru m=2, n=3,aplicaţia

)3,,2(),(),,( 21212132 x x x x x xT LT +−=∈ R R

este de această formă,

)3,,2(),( 212121

3

2

1

2

1

13

10

02

x x x x x xT t

x

x

x

x

x+−=

= =− ,

abstracţie f ăcând de transpunerea vectorului imagine. T este transformare liniar ă,deoarece avem

221212121

21212121

22112211

22112121

),(),,( ),,(),(

)3,,2()3,,2(

))(3),(),(2(

),()),(),((

R ∈∀+=

=+−++−=

=++++−+=

=++=+

y y x x y yT x xT

y y y y x x x x

y x y x y x y x

y x y xT y y x xT

.),(),,(

)3,,2(

)3,,2(

),()),((

22121

2121

2121

2121

R R ∈∀∈∀=

=+−=

=+−=

==

x xk x xkT

x x x xk

kxkxkxkx

kxkxT x xk T

,

5. Aplicaţia , este liniar ă.),(,)()),,(),,(( 101 baC f f f T baC baC LT ∈∀′=∈

6. Aplicaţia , este liniar ă.],[,)()(),],,[( 00 baC f dt t f f T baC LT b

a∈∀=∈ ∫R

7. Aplicaţia T , este liniar ă.)(,)()),(),(( K K K nm

t

mnnm M A A AT M M L ××× ∈∀=∈

1.2. Teoremă. Orice transformare liniar ă are următoarele

propriet ăţ i:

),( W V LT ∈

1) .0)0( =T

2) Dacă U este un subspa ţ iu vectorial al lui V , atunci T este un subspa ţ iu

vectorial al lui W .

)(U

3) Dacă vectorii sunt liniar dependen ţ i, atunci şi vectorii x x xn1 2, , ... , ∈V

sunt de asemenea liniar dependen ţ i.W ∈)(),...,(),( 21 n xT xT xT

4) Da ţ i fiind vectorii x x , dacă vectorii suntliniar independen ţ i, atunci şi vectorii sunt liniar independen ţ i.

xn1 2, , ... , ∈V W ∈)(),...,(),( 21 n xT xT xT n x x x ,...,, 21

Demonstraţie. 1) Avem .0)0()0()0()00()0( =⇒+=+= T T T T T

2) Fie u şi k l . Atunci avemV U ∈∈== y xT yT v xT ,cu),()(),( , , ∈ K

)()()()( U T lykxT ylT xkT lvku ∈+=+=+ deci este un subspaţiu vectorial al lui W . 3) Aplicând transformarea T unei

relaţii de dependenţă şi folosind proprietatea de liniaritate

(3) a transformarii T , rezultă relaţia de dependenţă

)(U T

k x k x k xn n1 1 2 2 0+ + + =...V

W 0)(...)()( 2211 =+++nn xT k xT k xT k .

Cap.II. Transformări liniare40



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

4) Procedând ca în cazul 3., rezultă anularea coeficienţilor , deci

independenţa vectorilor . nk k k ,...,, 21

n x x x ,...,, 21

1.3. Observaţie. Dacă V şi W sunt două spaţii vectoriale peste corpul K ,

putem defini adunarea şi înmul ţ irea cu scalari pe mulţimea de transformăriliniare , ca şi în cazul spaţiilor vectoriale care au funcţii drept vectori. Maiexact, pentru , avem

)( W V, L

S,T K W V, ∈∈ k L ),(

∈∀=

+=

.),())((

),()())((

V x xkS xkS

xT xS xS+T

În raport cu aceste operaţii mulţimea este un spaţiu vectorial peste corpul K .Spaţiul vectorial se numeşte dualul lui V , iar vectorii săi se numesc forme

liniare definite pe V cu valori în corpul K .

)( W V, L

)( K V, L

1.4. Teoremă. Fie şi W două spa ţ ii vectoriale peste corpul K , fieo baz ă a lui , iar w w o familie de vectori din W .

V n

V B = { , ,..., }e e en1 2 n wn1 2, ,...,

1) Exist ă o unică transformare astfel încât),( W V n LT ∈ niwe ii ,1,)( ==T .

2) Dacă avem ind{w w }, atunci aceast ă transformare este injectivă.wn1 2, ,...,

Demonstraţie. 1) Fie x x . Asocierea

defineşte o funcţie , cu proprietatea

ei ii

n

n= ∈=∑

1

V

W →

W V ∈=→∈ ∑=

n

i

ii w x xT x1

)(

V nT : niwi ,1, ==eT i )( . Asocierea T este

o transformare liniar ă, deoarece pentru

∑∑∑===

∈+=+∈∈==n

i

niiin

n

i

ii

n

i

ii elykxlykxl k e y ye x x111

)(,,,, V K V ,

obţinem .∑ ∑ ∑= = =

+=+=+=+n

i

n

i

n

i

iiiiiii ylT xkT w yl w xk wlykxlykxT 1 1 1

)()()()(

Pentru a verifica unicitatea transformării liniare T astfel determinate,

fie satisf ăcând de asemenea relaţiile)( W ,V n LS ∈ niweS ii ,1,)( == .

Atunci, pentru orice x x , avemei ii

n

n= ∈=∑

1

V

)

∈

()()()()()(1111

xT e xT eT xeS xe xS xS

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii ===== ∑∑∑∑ ====

2) Fie . Folosind relaţiile x x e y y ei ii

n

i ii

n

n= == =∑ ∑

1 1

, V niweT ii ,1,)( == şi liniar

independenţa vectorilor w w , avemwn1 2, ,...,

y xni y xw y x yT xT ii

n

i

iii =⇒==⇒=−⇒= ∑=

,1,0)()()(1

.

Observaţii. 1. Compunerea a două transformări liniare, definită ca şi în cazulfuncţiilor obişnuite, se numeşte înmul ţ ire (produs) şi produce tot o transformare

liniar ă. Evident compunerea nu este în general comutativă, dar este asociativă.




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

2. Fie A,B,C transformări liniare . Dacă au sens A+B, AC şi BC , atunci K ∈∀ l k lBC kAC C lBkA ,,)( +=+ ,

iar dacă au sens A+B, CA şi CB, atunci K ∈∀ l k lCBkCAlBkAC ,)( ,+=+ .

3. Fie . Puterile naturale ale lui T

se definesc inductiv:)(V

End T ∈ 1,10 ≥== − nTT T J T nn, ,

unde J este transformarea identică.4. Fie o transformare liniar ă bijectivă (inversabil ă ). Atunci

inversa este tot o transformare liniar ă.

),( V U LT ∈

),( U V L1T ∈−

Într-adevăr, pentru , obţinem2211 , TvwTvw ==

21

11

21211

211

211 )()()( wlT wkT lvkvlvkvT T lTvkTvT lwkwT −−−−− +=+=+=+=+ .

5. Dacă şi sunt transformări liniare bijective,

atunci

) )( W V , LS ∈,( V U LT ∈

♦ este o transformare liniar ă bijectivă;),( W U LT S ∈o

♦ are loc relaţia .111)( −−− = S T T S oo

#2. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare

Fie V şi W două K -spaţii vectoriale şi ) . Vom studia în cele ce

urmează

( W V, LT ∈

• mulţimea soluţiilor ecuaţiei şiV ∈= x xT ,0)(

• mulţimea valorilor transformării, })({ V W ∈∈= x xT y .

•0W

→(T ) →

W V

Im T

Ker T

2.1. Definiţii. a) Se numeşte nucleul transformării liniare ,)( W V, LT ∈

mulţimea { } V V ⊂=∈= 0)(, xT x x KerT .

b) Se numeşte imaginea lui V prin T (sau imaginea transformării liniare T ),

mulţimea .W V ⊂= )(T T Im




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

2.2. Teoremă. Fie o transformare liniar ă. )( W V, LT ∈

1) Nucleul transformării T este un subspa ţ iu vectorial al lui V .

2) Imaginea lui V prin T este un subspa ţ iu vectorial al lui W.

3) Solu ţ ia general ă a ecua ţ iei (pentru w arbitrar fixat în ImT ⊂W ),

este suma dintre solu ţ ia general ă a ecua ţ iei şi o solu ţ ie particular ă aecua ţ iei .

wvT =)(

0)( =vT wvT =)(

Demonstraţie. 1.Avem . Liniaritatea lui T implică 0)()(Ker , ==⇒∈ yT xT T y x

,0)( =+ lykxT .⇒∈∀ K l k , K ∈∀∈+ l k KerT lykx ,,

2. Se aplică teorema 1.2, punctul 2, pentru U = V .

3. Se arată prin dublă incluziune că T −1(w)= Ker T+{v0}, unde v0 este o soluţie arbitrar ă

fixată a ecuaţiei . wvT =)(

Exemplu. Pentru T obţinem)3,,2(),(, 212121

32

x x x x x xT +−=→ R R :)}0,0{()}0,0,0()3,,2(),{( 2121

2

21 ==+−∈= x x x x x xT R Ker ,

==+−∈∃∈= )},,()3,,2(,),(),,{(Im 3212121

2

21

3

321 y y y x x x x x x y y yT R R

=

∈

+==−−∈= R R 3232

32321

3

321 ,,,3

22}0223),,{( y y y y

y y y y y y y y

{ } { }( ) .)1,0;3/2(),0,1;3/2(,)1,0;3/2()0,1;3/2( 3

3232 R R ⊂=∈+= L y y y y

Se observă că T este injectivă (temă, verificaţi), dar nu este surjectivă.

2.3. Teoremă. Dacă este o transformare liniar ă , atunci

următoarele afirma ţ ii sunt echivalente.

)( W V, LT ∈

(i) T este injectivă.

(ii) Aplica ţ ia T supusă restric ţ iei de codomeniu este inversabil ă.)(: V V T T →

(iii) .}0{= KerT

Demonstraţie. Echivalenţa dintre (i) şi (ii) este evidentă. Ar ătăm că (i) este

echivalentă cu (iii). Fie . Avem}0{= KerT

y x y xT y x

y xT yT xT yT xT

=⇒=−⇒=∈−⇒

⇒=−⇒=−⇒=

0}0{Ker

0)(0)()()()(

deci T este injectivă, şi astfel (iii) ⇒ (i). Reciproc, presupunem (i), deci că T este

injectivă. Atunci ceea ce implică

. Cum T , deci incluziunea inversa are loc, rezultă

proprietatea (iii).

0)0()(0)(inj

=⇒=⇔=⇔∈ xT xT xT KerT xT

KerT ∈⇒= 00)0(}0{Ker ⊂T

Observaţie. Nucleul şi imaginea unei transformări liniare nu determină

transformarea liniar ă. Spre exemplu, orice automorfism are nucleul nul,

(fiind injectiv) iar imaginea sa este întregul spaţiu vectorial

(fiind surjectiv).

)(V Aut T ∈

}0{= KerT V =T Im




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Definiţii . a) Dimensiunea nucleului lui T se numeşte defectul lui T .

b) Dimensiunea imaginii lui V prin transformarea liniar ă T se numeşte rangul lui T .

2.4. Teoremă (teorema rangului pentru transformări liniare).

Dacă V , W sunt spa ţ ii vectoriale, spa ţ iul vectorial V este finit dimensional şi , atunci şi spa ţ iul vectorial este finit dimensional şi are loc rela ţ ia)( W V, LT ∈ T Im

V dimImdimKer dim =+ T T .

Deci suma dintre defectul şi rangul transformării T este egal ă cu dimensiunea

domeniului.

Demonstraţie. Fie n şi . Dacă , atunci

, deci T injectivă ⇒ aplicaţia este

inversabilă, deci izomorfism de spaţii vectoriale ⇒ dim ImT = dim V , care este exact

relaţia dorită, căci . Dacă , alegem o bază { în , pe

care o extindem la o bază B = { a întregului spaţiu vectorial V .

Pentru orice există un x x astfel încât ; cum însă

, rezultă

= dimV

}0{=T

0Ker =T

nT p ≤= Kerdim

p ≥ 1

, ,..., }e e p p n1+

ei i= ∈V 1

p = 0

T →

}e

)( x

⇒= 0Kerdim T

y ∈

)(...)( 1 == peT eT

Ker

dim

T Im

0=

)(: V V T

..., p

T Ker

T =

,e1

y

,...,

i

e e1

n

=∑

∑∑=

++ ++==

==

n

i

nn p piiii eT xeT xeT xe xT xT y1

11 )(...)()()(n

1=i

.

Deci generează pe . Aceşti vectori sunt liniar independenţi,

deoarece avem , de unde

; deci

)(),...,( 1 n p eT eT +

(1+ p T k

ek nn p Ker...1 ∈+++

T Im

)( =ne 0)...(0...) 111 =++⇒++ +++ nn p pn p ek ek T T k e

T ek p 1+

0............ 11111111 =−−−++⇒++=++ ++++ p pnn p p p pnn p p ek ek ek ek ek ek ek ek ;

folosind liniar independenţa bazei din V rezultă k k .k k p p n1 1 0= = = = = =+... ...

Deci este bază în , spaţiul vectorial este finit

dimensional (cu dimensiunea n- p) şi avem relaţia: dim Im T = dim V − dim Ker T .

)}(),...,({ 1 n p eT eT + T Im T Im

Exerciţiu. Determinaţi nucleul şi imaginea endomorfismului ,33: R R →T

),,(),363,242,2()( 321321321321 x x x x x x x x x x x x x xT =−+−+−+= .

Soluţie. Pentru a determina nucleul, rezolvăm sistemul liniar ;

aceasta se reduce la ecuaţia , şi deci vectorii sunt de forma

0)( = xT

02 321 =−+ x x x T x Ker∈

x x x x x x x= + = +( , , ) ( , , ) ( , ,1 2 1 2 1 22 1 0 1 0 1 2) .

Vectorii e şi e sunt liniar independenţi şi generează pe Ker T , deci

aceştia determină o bază în . Spaţiul este generat de

vectorii , linear dependenţi, din

care extragem - folosind teorema privind rangul matricii unui sistem de vectori,

baza , şi deci dim Im = 1. Dimensiunile nucleului şi

imaginii satisfac relaţia din teoremă: (2+1=3).

1 1 0 1= ( , , )

()({ 1 =eT

({ == T wT

2 0 1 2= ( , , )

T Ker

)(),3,2 2 =eT

)}3,2,1(=

2dim =⇒ T Ker

,1()(),6,4,2( 3 −−=eT

T

dimdim +T Ker

T Im

3

dim R

)}3,2,1 −

)1e

Im =T

B Im




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

2.5. Teoremă. Fie , . Atunci următoarele afirma ţ ii

sunt echivalente.

)( W V, LT ∈ dim V = n

(i) T este injectivă.

(ii) Dacă e e ( p ≤ n) este o familie de vectori liniar independent ă , p1 ,..., ∈V atunci şi familia de este liniar independent ă.W V ⊂∈ )()(),...,( 1 T eT eT p

(iii) .nT =)(dim V

(iv) Dacă { , este baz ă pentru V , atunci ste... , }e en1 )}(),...,({ 1 neT eT e

baz ă pentru )(V T .

Demonstraţie. Demonstr ăm echivalenţele ciclic: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i).

(i)⇒(ii). Fie T injectivă şi { astfel încât să avem ind(S ). AtunciS e e p= 1 , ... , } V ⊂

0)...(,1,,0)(...)( 1111 =++⇒=∈=++ p pi p p ek ek T pik eT k eT k K ,

deci, conform teoremei 2.3,

0...0...}0{Ker... 11111 ===⇒=++⇒=∈++ p p p p p k k ek ek T ek ek .

(ii)⇒(iii). Fie (ii) adevărată ∀ ≤ şi fie B={ o bază în V ; deoarece ind{ B},

pentru p = n rezultă ind , deci ; pe de altă parte din

teorema 2.4 avem , deci , deci (iii).

p

),...,( 1e

n≤

n , ... , }e en1

T dim

n=)(V

)}({ neT T

)V dim

n≥)(V

T (dim T

(iii)⇒(iv). Fie (iii) şi = o bază în V . Pentru orice există

astfel încât ; deci .

B { , ..., }e en1

== xT y )(

)(y V T ∈

(),...,( 1 eT e x x ei ii

n

= ∈=∑ V

1∑

=

n

i

ii eT x1

)( )}){()( nT LT =V

Cum însă , rezultă că este o bază a lui T , deci(iv). (iv)⇒(i). Fie (iv), deci dim ImT = dim V = n; folosind relaţia din teorema 2.4

rezultă dim KerT =0, deci conform teoremei 2.3, T este injectivă, deci (i).

nT =)(dim

V )}(),...,({ 1 neT eT )(

V

Observaţie. Coloanele matricii sunt formate din coeficienţii

vectorilor care generează subspaţiul ImT .

)](),...,([ 1 neT eT

2.6. Teoremă. Fie transformarea liniar ă T :V n → W n , între spa ţ ii vectoriale

de aceea şi dimensiune. Atunci următoarele afirma ţ ii sunt echivalente:

(i) T este injectivă;(ii) T este surjectivă;

(iii) T este bijectivă.

Demonstraţie. Evident (iii)⇒(i), (iii)⇒(ii). Ar ătăm (i)⇒(iii). T este injectivă ⇒

0 ; cu teorema 2.4, rezultă

Dar , deci , adică T este şi surjectivă. Ar ătăm (ii)⇒(iii). T este

surjectivă ⇒ deci ; cu teorema 2.4,

rezultă , deci cu teorema 2.3, T este şi injectivă.

⇒= }0{Ker T

nW ⊂T Im

Kerdim T

Kerdim =T

nT W =Im

nW =T Im ,

{Ker0 =⇒ T

nT =Imdim .

nnT V dimImdim ==

}0=




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Observaţie. Teorema este aplicabilă şi în cazul particular al endomorfismelor pe spaţii vectoriale finit dimensionale. În acest caz, se observă că un endomorfismeste bijectiv (deci este automorfism, deci inversabil) dacă şi numai dacă matricea sarelativ la o bază a spaţiului V este pătratică (deci W ) şi nesingular ă.n nn V =

Exemplu. Fie transformarea liniar ă ,33: R R →T

3321133221 ),,(),,,()( R ∈=+++= x x x x x x x x x x xT .

Vom ar ăta că această transformare este bijectivă, şi îi vom calcula inversa.Într-adevăr, T fiind endomorfism iar spaţiul vectorial fiind finit-

dimensional, este suficient să ar ătăm că T este injectivă. Ecuaţia este

echivalentă cu sistemul liniar şi omogen

3R

T 0)( = x

x x

x x

x x

x

x

x

x

1 2

2 3

3 1

1

2

3

0

0

0

0

0

0

0

+ =

+ =

+ =

⇔

=

=

=

⇔ = .

Deci , T injectivă. Conform teoremei 2.6, T rezultă bijectivă, deci

inversabilă. Putem determina acest lucru altfel , folosind observaţia de mai sus, şiconstatarea (verificaţi !) că matricea transformării este nesingular ă,

}0{Ker =T

.02det,][101

110

011

≠=

== AT A

B

Se observă că surjectivitatea transformării T asigur ă existenţa unei soluţii pentrusistemul , iar injectivitatea asigur ă unicitatea acestei soluţii. Pentru adetermina transformarea inversă rezolvăm ecuaţia , unde

, echivalentă cu sistemul liniar

y xT =)(

y y, )3

3

R

y xT =)(

y y= ( ,1 2 ∈

x x y

x x y

x x y

x y y y

x y y y

x y y y

1 2 1

2 3 2

3 1 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2

2

2

+ =

+ =

+ =

⇔

= − +

= + −

= − + +

( )

( )

( )

/

/

/

,

deci .( )2/)(,2/)(,2/)()( 3213213211 y y y y y y y y y xT ++−−++−=−

#3. Matricea unei transformări liniare

Fie şi două K -spaţii vectoriale de dimensiune n respectiv m, şi fieo transformare liniar ă. Dacă B={ , este o bază fixată a lui

, iar B’={ este o bază fixată a lui W , atunci avem descompunerile

V n

mW

W m

,...,

),( LT V n

∈

V n ,w w

,..., }v v vn1 2

m}wm1 2

n jwt vT m

i

iij j ,1,)(1

== ∑=

. (1)

Coeficienţiin jmiijt

,1,,1)(

== definesc o matrice unică )()(

,1,,1 K nmn jmiij M t A ×==

∈= cu

elemente din K . Vectorii imagine determină unic transformarea liniar ă T ,

şi prin urmare, considerând fixate bazele B şi B ', matricea A determină unic

transformarea liniar ă T .

m jvT W ∈)(




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Definiţie. Matricea A ai cărei coeficienţi sunt daţi de relaţia (1) se numeştematricea asociat ă transformării liniare T în raport cu perechea de baze considerate.

Notaţii. Vom scrie ., sau, atunci când bazele B şi B' se subânţeleg,

. Dacă T este endomorfism al spaţiului şi B’ = B, notăm sau,atunci când baza B se subânţelege, .

B B, ′= ][T A

A =][T A = V n B][T A =

][T

3.1. Teoremă. Dacă are imaginea , atunci au

loc rela ţ iile dintre coeficien ţ ii vectorului x şi cei ai vectorului imagine :

x x j j j

n

==∑

1

e ∑=

==m

i

ii w y y xT 1

)(

y=T )( x

y t x ii ij ji

n

= ==∑

1

1, ,m

∈

∑=1

. (2)

Notând rela ţ ia (2) se rescrie matriceal X x x x Y y y yt

n

t

m= =( , ,..., ), ( , ,..., )1 2 1 2

Y . (3) AX =

Demonstraţie. Fie . Aplicând acestei egalităţi transformarea T şi

folosind relaţiile (2), rezultă

x x v j j j

n

==∑

1

V

∑ ∑∑ ∑= == =

=

==

n

j

m

i

i

n

j

jij

n

j

m

i

iij j j j w xt wt xvT x xT 1 11 1

)()( .

Cu notaţiile din enunţ avem deci, din unicitatea descompunerii

relativ la baza B’, obţinem

∑=

=m

i

ii w y xT 1

,)(

. y t x ii ij i j

n

= ==∑1

1, ,m

)

Observaţii. 1. Fie mulţimea tuturor transformărilor liniare de la

la şi mulţimea tuturor matricelor de tipul m cu elemente din

K . Fixăm bazele B în şi B’ în . Funcţia care asociază fiecărei transformări

lineare T matricea sa relativ la bazele fixate,

),( mn L W V

W

V n W m )( K nm M ×

V

n×

n m

(),(: K B, nmmn B M L ×′ →µ W V

definită prin

B B, B B, ′′ ==µ ][)( T AT este un izomorfism de spa ţ ii vectoriale. Drept consecinţă, spaţiul vectorial

are dimensiunea mn, egală cu cea a spaţiului vectorial .

),( mn L W V

)( K nm M ×

2. Izomorfismul µ are proprietăţile:

♦ [ , dacă compunerea ST are sens;]][[] T S ST =♦ Endomorfismul este inversabil dacă şi numai dacă matricea [

este matrice inversabilă şi, în acest caz, [ .nnS V V →: ]S

11 ][] −− = S S




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Fie în cele ce urmează un K -spaţiu vectorial n-dimensional şiun endomorfism. Fixând baze diferite în , endomorfismului T i se

asociază matrice pătratice diferite. Relaţia dintre aceste matrici este dată de

următoarea

V n

)( n End T V ∈ V n

3.2. Teoremă. Matricele A şi , pătratice de ordinul n, cu elemente din K ,

reprezint ă aceea şi transformare liniar ă relativ la bazele

dacă şi numai dacă exist ă o matrice nesingular ă C astfel încât are loc rela ţ ia

A′)( n End T V ∈ nV B B ⊂′.

A C AC '= −1 . (4)În acest caz, matricea C este exact matricea de trecere de la baza veche B la

baza nouă B' unde B B ′=′= ][,][ T AT A .

Demonstraţie. Fie B={ şi B'={ , două baze în , iarmatricea de trecere de la prima bază la a doua, adică

, ,..., }e e en1 2 ,..., }′ ′ ′e e e1 2 3 V n

C cij= [ ] ′ = ==∑ e j ij ii

n

,1

e c . Fie j 1 n,

]nnT V V →: o transformare liniar ă. Fie matricea lui T relativ la prima bază

B, adică au loc relaţiile

A aij= [

∑=

==n

i

iij j n jeaeT 1

,1,)( ,

şi matricea lui T relativ la a doua bază B', adică A a ij' [ '= ]

∑=

=′′=′n

i

iij j n jeaeT

1

,1,)( .

Ţinând cont de relaţiile de mai sus, imaginile vectorilor din a doua bază admiturmătoarele expresii

∑ ∑∑ ∑= == =

′=

′=′′=′

n

i

k

n

k

n

i

ijki

n

i

n

k

k kiijiij j eacecaeaeT 1 11 1

,)( ∑=1

∑ ∑ ∑ ∑∑∑= = = ==

=

==

=′

n

i

n

i

k

n

k

n

i

ijki

n

k

k kiijiiji j ecaeaceT ceT eT 1 1 1 11

)()n

1=i

ij c ( ,

din care, prin egalarea coeficienţilor descompunerilor relativ la baza B, obţinem

,c a a cki ij ki iji

n

i

n

' ===∑∑

11

sau, în scriere matriceală, CA , de unde rezultă . AC '= A C AC '= −1

Exemplu. Se dau endomorfismele , )(, 3

21 R End T T ∈

)23,81520,55()( 3213213211 x x x x x x x x x xT +−+−−−= ,3

3213213212 ),,(),555,0,101010()( R∈=∀+−+−= x x x x x x x x x x xT .

Să se afle matricea sumei celor două endomorfisme relativ la baza21 T T T +=3

321 )}2,2,1(),1,4,3(),1,3,2({ R⊂====′ vvv B .

Soluţie. Prin sumarea celor două expresii analitice, obţinem

).678,81520,51115(

)()()()()(

321321321

2121 x x x x x x x x x

xT xT xT T xT

+−+−+−=

=+=+=




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Rezultă că imaginea bazei canonice B = {e e }e1 2 31 0 0 0 1 0 0 0 1= = =( , , ), ( , , ), ( , , ),

a spaţiului vectorial prin T esteR 3

)6,8,5()(),7,15,11()(),8,20,15()( 321 =−−−== eT eT eT ,

deci matricea lui relativ la această bază este21T T T +=

===

−

−

−

678

81520

51115

)](),(),([][ 321 B BeT eT eT T A .

Matricea de trecere de la baza canonică B la baza }3,1,{ ==′ ivi B este

C v v v= = =

[ ' ] [ , , ] B

B B1 2 3

2 3 13 4 21 1 2

,

deci rezultă conform teoremei 3.2 că matricea transformării , relativ la baza B' este

21 T T T +=

===′ −′

300

020

0001][ AC C T A

B.

Se poate verifica uşor (temă) că avem , unde .21 A A A ′+′=′ B B T AT A ′′ =′=′ ][,][ 2211

Definiţie. Două matrici se numesc asemenea dacă există o

matrice nesingular ă )C astfel încât să aibă loc relaţia .

)(, K nn M B A ×∈

( K nn M ×∈ B C AC = −1

Observaţii. 1. Asemănarea matricelor este o relaţie de echivalenţă pe spaţiul

vectorial . Fiecare clasă de echivalenţă corespunde unui endomorfismşi conţine toate matricile asociate endomorfismului T relativ la bazele

spaţiului vectorial .

)( K nn M ×

)nV

V

( End T ∈

n

2. Matricile asemenea au următoarele proprietăţi:♦ Deoarece C este nesingular ă, matricele şi A au acelaşi rang; acestnumăr se mai numeşte rangul endomorfismului T şi este asociat clasei de asemănarea matricii A.

B C AC = −1

♦ Deoarece , toate matricele unei clase deechivalenţă au acelaşi determinant. Astfel, putem defini determinantul unui

endomorfism al spaţiului , ca fiind determinantul matricei asociateendomorfismului relativ la o bază dată.

AC AC B det)det(det)det(det 1 =⋅⋅= −

V

n

#4. Endomorfisme particulare

Fie V un K -spaţiu vectorial şi mulţimea endomorfismelor lui V .Observăm că mulţimea End se poate structura simultan ca:

End ( )V

( )V

♦ spaţiu vectorial peste corpul K , relativ la adunarea endomorfismelor şiînmulţirea dintre un scalar şi un endomorfism;

♦ inel, relativ la adunarea şi compunerea endomorfismelor.




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

4.1. Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial. Endomorfismul senumeşte

)(V End T ∈

a) automorfism, dacă este bijectiv; b) proiec ţ ie, dacă satisface relaţia ;T T =2 c) involu ţ ie (sau structur ă produs) dacă unde este

transformarea identitate; J T =2 , )(V End J ∈

d) structur ă complexă, dacă J T −=2 ;e) endomorfism nilpotent de indice p, dacă ( p ), unde O este

morfismul nul;O = pT ≥ 2

f) structur ă tangent ă, dacă T este un endomorfism nilpotent de indice doi şi derang maxim.

Observaţie. Automorfismele ale spaţiului vectorial V formează osubmulţime în , notată şi prin . Această submulţime nu reprezintă un

subspaţiu al spaţiului vectorial , deoarece adunarea nu este operaţie internă,dar formează grup relativ la compunerea automorfismelor, numit grupul liniar

general.

)(V Aut

)(V GL

( )V

End ( )V

End

Exemplu. Orice structur ă aproape produs este automorfism.)(V End T ∈

Într-adevăr fixând o bază în V , matricea asociată transformării T este nesingular ă:0]det[1])(det[]det[]det[][][][][ 22222 ≠⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= T T J T J T J T J T ,

deci folosind 3.1-observaţia 2, rezultă T inversabilă, deci automorfism.

4.2. Teoremă. Pentru orice proiec ţ ie , are loc descompunerea)(V End T ∈

T T ImKer ⊕=V .

Ker T

T

↓ v

u

w

ImT

J-T

←

Demonstraţie. Fie . NotândT vT v Im)(, ∈∈V

V ∈−= )(vT vw , avem

0)()())( 2 =− vT vT v =()( −= T vT wT

Imu vT ∃⇒∈

u

,adică . Deci .T w Ker∈ T T ImKer +=V

Pe de altă parte, pentru u , rezultă T T ImKer ∩∈)(= vT u ,V ∈ ;

dar u ,uvT vT T uT T ==⇒∈ )())(()(=0Ker =

deci . }0{ImKer =∩ T T

Observaţii. 1. Numele de proiec ţ ie provine din interpretarea geometrică a

relaţieiT T ImKer ⊕=V .

Dat fiind vectorul v , sunt unic determinaţi termenii descompunerii v w :∈V = +♦ - vector de-a lungul căruia se face proiecţia - satisface relaţia ,T w Ker∈ 0)( =wT

♦ - rezultatul proiecţiei - satisface relaţia .T u Im∈ uvT =)(Deci (vezi figura), T proiectează vectorul v pe subspaţiul de-a

lungul subspaţiului∈V T Im

T Ker .




S t u

d e n t W e

b C o p y

2. Dacă T este o proiecţie, atunci şi este o proiecţie, unde J este

transformarea identică a spa ţ iului vectorial V . În plus au loc relaţiileT J −

T T J T T J KerKer =−=− )Im(,Im)( ,

de unde rezultă KerT KerT T T J T J J T =−= )(,ImIm

.

Corolar. Dacă piT i ,1, =→V V : sunt proiec ţ ii astfel încât au loc rela ţ iile

şi1

J T p

i

i =∑=

,,1,, p ji jiT T ji =≠∀= 0,

atunci are loc descompunerea . pT T Im...Im 1 ⊕⊕=V

Exemplu. În spaţiul V , proiecţiile3R =

3321332211 ),,(),,0,0()(),0,,0()(),0,0,()( R ∈=∀=== x x x x x xT x xT x xT ,

conduc la descompunerea în sumă directă

)})1,0,0({()})0,1,0({()})0,0,1({(3

L L L ⊕⊕=R .

4.3. Teoremă. Dacă este un endomorfism nilpotent de indice p

şi astfel încât , atunci vectorii { sunt

liniar independen ţ i.

)(V End T ∈

0)( 01 ≠− x p

x 0

0∈V \{ } T )}(),...,(, 01

00 xT xT x p−

Demonstraţie. Consider ăm relaţia 1,0,,0)(1

10 −=∈=∑

−

=

pik xT k i

p

i

i

i K

p−

0)(),..., 0

10 xT p−

. Aplicând

succesiv acestei egalităţi endomorfismul T de 1 ori şi folosind proprietăţile

, rezultă ; folosind din nou relaţiile obţinute, rezultă , deci vectorii sunt liniar independenţi.

OT p

= ,k1 = =...

O xT p

≠−

)( 0

1

k p 1

0=−

k0 =(, xT 0 x

Observaţie. Fie cu proprietăţile din teoremă şi L(S ) acoperirea

liniar ă a mulţimii . Atunci se poate ar ăta că există un

subspaţiu , invariant faţă de T , astfel încât are loc descompunerea în sumă directă .

x 0

0∈V \{ }

),...,({ 00 xT x , )}(= 01 xT S p−

L S( )

U V ⊂V =U ⊕

4.4. Teoremă. Pentru orice endomorfism , exist ă două

subspa ţ ii vectoriale , invariante fa ţă de T astfel încât

)( n End T V ∈

U,W V ⊂ n

1)

O

V =U W n

⊕ ,2) restricţia este nilpotent ă,U/T

3) restricţia este inversabil ă, dacă .U/T W ≠ { }0

Exemple. 1. Endomorfismul definit prin matricea)( 3R End T ∈

−−−

=

121

332

574

][T

este un endomorfism nilpotent de indice 3, deoarece [ ] (temă, verificaţi).3T =


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

2. Endomorfismul dat de derivarea funcţiilor polinomiale de grad cel mult n,][,)(]),[( X p p p D X End D nn R R ∈∀′=∈ ,

unde ′ este derivata polinomului p, este un endomorfism nilpotent de indice n 1,

deoarece derivata de ordinul n 1 a unui polinom p (care are gradul cel mult n) este

polinomul nul.

p +

+

4.5. Teoremă. Un spa ţ iu vectorial real finit dimensional V admite o structur ă

complexă dacă şi numai dacă dimensiunea sa este par ă.

Exemplu. Spaţiul vectorial real admite structura complexă n2R

)( 2n End T R ∈ , T .n

nnnn x x x x x x x x 221121 ),,(),,,,,,()( R ∈=∀−−= + KKK

Se constată uşor că are loc relaţia (temă, verificaţi) [ .n I T 22] −=

#5. Transformări liniare pe spaţii euclidiene

5.1. Definiţii. Fie V şi W două spaţii vectoriale euclidiene complexe. Vom notaîn acelaşi mod produsele scalare (şi normele induse de acestea) ale celor două spaţii.

a) Fie → o transformare liniar ă. Transformarea liniar ă ,

definită prin relaţia

W V :T V W →∗:T

V W ∈∀∈∀>>=<< ∗ y , x y xT Ty x ,,,

se numeşte adjuncta transformării liniare T .

b) Un endomorfism se numeşte hermitian dacă )(V End T ∈ ∗

= T T ..c) Un endomorfism se numeşte antihermitian dacă )(V End T ∈ ∗−= T T

5.2. Teoremă. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă

produsul scalar este real .

)(V End T ∈

∀ ∈ x V >< Tx x,

Demonstraţie. Dacă , atunci∗= T T ><>=>=<< Tx x xTxTx x ,,,V ∈∀>∈ x,R

(bara înseamnândconjugare complexă), deci . Reciproc, dacă este real,

atunci

< Tx x, >< Tx x,

V ∈−>⇒<<>=< ∗T T x xTx x )(,, .∀>= x x ,0=<>< ∗∗ xT x x xT ,,=>Tx,

Notând şi înlocuind pe x cu , (α ∈∗− T S=T y x α+ ∈C, y V arbitrare ), rezultă 2Re( 0,= ∀ ∈ C

,< Sx y V ∈

, ) x Syα < >

0>= y x,

α . Înlocuind şi în relaţia obţinută, obţinem

, ∀ . Punând rezultă .

1α =

Sx

iα =

⇔∈∀ x,0 V Sx y = ∗⇔= T=T S 0=

Exemplu. Ar ătăm că următorul endomorfism este hermitian)( 2

C End T ∈2

212121 ),(),3)1(,)1(2()( C∈=∀+−++= x x x x xi xi x xT .

Într-adevăr, folosind proprietăţile produsului scalar complex, obţinem

=+−+++>= 221121 )3)1(())1(2(, x x xi x xi x xTx<

=+−+++2

22112

2

1 3)1()1(2 x x xi x xi x=

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

= + .+ + + +2 1 1 31

2

2 1 2 1 2

2

x i x x i x x( ) (( ) ) x

Deoarece ∀ avemC ∈ z R∈+ z z , rezultă .2, ,Tx x x< >∈ ∀ ∈R C

5.3. Teoremă. Fie endomorfismele hermitiene şi scalarul)(V End T,S ∈ R ∈k .

1. Endomorfismul este hermitian.S kT + 2. Dacă este inversabil, atunci şi endomorfismul este hermitian.T 1 −T

3. Endomorfismul este hermitian dacă şi numai dacă .TS ST TS =

Demonstraţie. Prima afirmaţie rezultă din proprietăţile şi

, iar a doua rezultă din ( .

∗∗∗ S T T+S +=)(∗∗ = kT kT )( 11 )() −∗∗− = T T

3. Folosind relaţia , au loc echivalenţele: este hermitian ⇔

.

ST T S TS =∗∗∗ =)(

ST

TS

TS TS (TS) =⇔=∗

5.4. Definiţie. Se numeşte transformare (liniar ă) unitar ă, o transformare liniar ă care păstrează produsul scalar, adică ),( W V LT ∈

V ∈∀>>=<< y x y xTyTx ,,,, .

Teoremă . 1) O transformare liniar ă este unitar ă dacă şi numai

dacă pă streaz ă norma, adică

),( W V LT ∈

V ∈∀ x xTx ,= .

2) Orice transformare unitar ă T este injectivă.W V →:

Demonstraţie. 1) Dacă este unitar ă, atunci < în

particular pentru

T V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,, ;

y x= avem adică ,,, >>=<< x xTxTx 22 = xTx şi deci xTx = .

Reciproc, dacă presupunem că are loc relaţia V ∈∀ x xTx ,= , folosind egalitatea

4/}{,2222

iy xiiy xi y x y x y x −−++−−+=><

rezultă

><=−−++−−+>=< y xiy xT iiy xT i y xT y xT TyTx ,4/)()()()(,2222

.

2) Fie transformare unitar ă. Folosind proprietăţile normei euclidiene şi proprietateade la punctul anterior, avem

T

000 =⇔==⇔=⇔∈ x xTxTxT Ker x ; rezultă

, deci este injectivă.

}0Ker T {= T

Observaţii. 1. Din teoremă rezultă uşor faptul că orice endomorfism unitar

pe un spaţiu euclidian complex finit dimensional, este izomorfism.)( n End T V ∈

2. Condiţia ca un endomorfism să fie unitar, < ,

este echivalentă cu , unde J este transformarea identică pe V .

T V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,,

n J T T TT =∗∗ =

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

5.6. Definiţii. Presupunem că V şi W sunt spaţii euclidiene complexe n-dimensionale şi că în fiecare s-a fixat o bază ortonormată. Relativ la aceste baze,ataşăm transformării liniare matricea asociată A.),( W V LT ∈

a) Matricea A A t =∗ ataşată lui se numeşte adjuncta matricei A.∗T

b) Dacă A A t = , atunci matricea pătratică A se numeşte hermitică.

c) Dacă A A t −= , atunci matricea pătratică A se numeşte antihermitică.d) Dacă I A At = , ( I fiind matricea unitate), atunci matricea A se numeşte unitar ă.

Teoremă. Un endomorfism este hermitian dacă şi numai dacă

matricea sa relativ la o baz ă ortonormat ă este hermitică.

)( n End V ∈T

Demonstraţie. Fie B={ o baza ortonormată şi, ... , }e en1 ⊂V n n jiijt T A

,1,)(][

===

B

i

matricea lui relativ la aceasta. " . Fie hermitian. Înmulţind scalar cu e relaţia

, care dă descompunerea vectorilor din imaginea bazei, obţinem

T

k e

"⇒ T

∑==

n

k

kj j t eT 1

∑=

>=<>=<n

k

ijik kji j t eet eTe1

,, ;

analog rezultă (temă, verificaţi) . Deci avem∗∗ >=< iji j t eeT ,

ji jii ji jij t eeT eT eeeT t =><>=>=<< ∗∗ ,,,= ,

şi cum rezultă A A =∗ t adică t

ij ji= A A t = . " . Fie"⇐ A A t = ; atunci

>=<>=<>=>=< ∑∑∑∑====

n

k j

jk k jk

n

k j

jk j

n

k

k k

n

j

j j eeT x xeT e x xe xe xTx x

1,1,11

),()(,,,<

∑∑==

><=⋅=⋅n

k j

kjk j

n

k j

jk k j Tx xt x xt x x1,1,

, .

adică şi deci este hermitian. R ∈>< Tx x, T

În continuare prezentăm un exemplu care arată că pentru verificarea

hermiticităţii folosind matricea asociată transformării relativ la o bază, este esenţial ca baza să fie ortonormată.

Exemplu. Fie endomorfismul , a cărui matrice relativ la bazaeste . Deoarece

)(

2

C End T ∈

−=′

32

01 A

221 )}1,1(),0,1({ C⊂===′ vv B A A ′≠

−=′

32

01

22 )}1,0(),0, C⊂=e

2 C1

10

11 −

=

t

matricea A’ nu este hermitică şi totuşi endomorfismul este hermitian. Ar ătăm că matricea lui relativ la baza canonică a spaţiului

(bază ortonormată relativ la produsul scalar canonic al spaţiului vectorial !) este

hermitică. Din relaţiile , obţinem matricea de trecere C de

la baza B’ la B. Rezultă că matricea lui relativ la baza canonică va fi

T

= BT

v e1 1,

1 1({ =e

v2= = e e1 2+

T

AC AC A t =

=′= −

12 211 (deci matrice hermitică), ceea ce probează afirmaţia.

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Observaţii. Analog cu teorema de mai sus, putem ar ăta că:

1. Un endomorfism este unitar dacă şi numai dacă matricea lui

în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este unitar ă.

)( n End T V ∈

2. Un endomorfism este antihermitic dacă şi numai dacă

matricea lui în raport cu o bază ortonormată a spaţiului este antihermitică.

)( n End T V ∈

Exemplu. Ar ătaţi că endomorfismul ,22: CC →T

]2,0[),,(),cossin,sincos()( 212121 π∈α=α+αα−α= x x x x x x x xT

este un endomorfism unitar.

Soluţie. Matricea endomorfismului relativ la baza canonică ortonormată

B={e } este . Această matrice este unitar ă,

căci şi deci .

T

α

α

10

e1 21 0 0 1= =( , ), ( , )

α−

αα=∗

cossin sincos A

α

α−==

cossin

sincos][ B

T A

I AA = =∗

01

α

5.7. În cele ce urmează, presupunem că V şi W sunt două spaţii vectoriale

euclidiene reale, ale căror produse scalare (respectiv norme asociate) le notăm la fel.Fie o transformare liniar ă.),( W V LT ∈

Definiţii. a) Transformarea liniar ă definită prin relaţiaV W →∗:T

V W ∈∀∈∀>>=<< ∗ y x x yT Ty x ,,,,

se numeşte transpusa transformării liniare T

. b) Un endomorfism se numeşte simetric dacă .)(V End T ∈ ∗T T =

c) Un endomorfism se numeşte antisimetric dacă .)(V End T ∈ ∗T T -=

d) Transformarea liniar ă se numeşte ortogonal ă dacă păstrează produsul scalar, deci dacă satisface relaţia <

),( W V LT ∈

V ∈∀>>=< y x y xTyTx ,,,, .

Observaţii. 1. Păstrarea produsului scalar este echivalentă cu conservarea

normei, adică ) este transformare ortogonală dacă şi numai dacă satisface

relaţia (temă, verificaţi):

(V End T ∈

V ∈∀= x xTx , .

2. Dacă spaţiile vectoriale V şi W sunt finit dimensionale şi dacă în fiecare s-afixat o bază ortonormată, atunci transformării i se ataşează matricea A, iar

transpusei , matricea At . Prin urmare, relativ la o bază ortonormată

W V →:T ∗T

♦ unui endomorfism simetric îi corespunde o matrice simetrică,

♦ unui endomorfism antisimetric îi corespunde o matrice antisimetrică,

♦ unui endomorfism ortogonal îi corespunde o matrice ortogonală.

3. Transformările simetrice / antisimetrice/ ortogonale au proprietăţi analoage proprietăţilor transformărilor hermitiene / antihermitiene / unitare.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

#6. Izometrii

S-a văzut că transformările ortogonale ale unui spaţiu vectorial euclidian realV păstrează distanţa euclidiană şi au drept punct fix originea (duc vectorul nul în

vectorul nul, fiind transformări liniare). Vom introduce o altă funcţie pe V care păstrează distanţa euclidiană, dar nu este linear ă.

6.1. Definiţie. Funcţia definită prin:aT →V V

V ∈∀+= xa x xT a ,)( ,

unde este un vector arbitrar fixat, se numeşte transla ţ ia de vector a.V ∈a

Teoremă. Au loc următoarele propriet ăţ i:

1) T ;V ∈∀+ baT T T T baabba ,,== oo

2) T ; V J =0

3) ∀ este transformare inversabil ă , şi avem ,aT a V,∈ V ∈∀= −− aT T aa ,)( 1

unde prin am notat transformarea identică a spa ţ iului vectorial V .V

J

Demonstraţie. 1) Translaţiile comută; într-adevăr, avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b b b aT T x T x b x a b T x b x a T x a T T x++ + + = + + = +o o= = = = ,

V ∈∀ ba, . 2) . Prin calcul direct se obţine:)(0)(0 x J x x xT ==+=

3) T . V∈∀=−+===+−= −− x xT T aa x x J xaa x xT aaaa ),()()()()( oo

Observaţie. Rezultă că produsul (compunerea) defineşte pe mulţimea Tr (V ) a

tuturor translaţiilor lui V o structur ă de grup comutativ (Tr (V ), ° ) numit grupul

transla ţ iilor. Acest grup este izomorf cu grupul abelian aditiv (V ,+), prinizomorfismul V V V ∈∀=ϕ→ϕ aT aTr a ,)(),(: .

6.3. Teoremă. Orice transla ţ ie T T pă streaz ă distan ţ a euclidiană ,

adică satisface rela ţ ia:

,a a ∈ V=

V y x y xd yT xT d ∈∀= ,),,())(),(( .

Demonstraţie. V ∈∀=−=+−+= y x y xd x ya xa y yT xT d ,),,()()())(),(( .

Definiţie. O funcţie surjectivă care păstrează distanţa euclidiană, adică V V →: F

V ∈∀= y x y xd y F x F d ,),,())(),(( ,se numeşte izometrie. Notăm mulţimea izometriilor spaţiului vectorial V prin Iz (V ).

Observaţii. 1. Orice izometrie este injectivă (temă, verificaţi) şi deci bijectivă.2. Transformările ortogonale şi translaţiile sunt izometrii.3. Compunerea a două izometrii este o izometrie.4. Izometriile unui spaţiu vectorial V formează grup cu compunerea, ( Iz (V ), °).


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

5. Grupul transformărilor ortogonale (O(V ), °) ale spaţiului vectorial V şi grupultranslaţiilor (Tr (V ),°) sunt subgrupuri ale grupului izometriilor ( Iz (V ), °).

6.4. Teoremă. O izometrie cu proprietatea ste o

transformare ortogonal ă.

R →:V V 0)0( = R e

Deci izometriile care păstrează originea sunt exact transformările ortogonale.

Demonstraţie. Izometria R păstrează norma, deoarece avem:V ∈∀=−====−= x x R x R x Rd x R Rd xd x x ,)(0)())(,0())(),0((),0(0 .

Utilizând acest rezultat rezultă că R pă streaz ă produsul scalar :⇔−=−⇔= x y x R y R y xd y R x Rd )()(),())(),((

< >⇔−−>=<−− x y x y x R y R x R y R ,)()(),()(V ∈∀>>=<< y x y x y R x R ,,,)(),(

şi deci este o transformare liniar ă, deoarece

>=<>=<>=>=<<⇒>>=<< )(),(,,)(),(,)(),( y R x Rk y xk ykx y Rkx R y x y R x R R ∈∀∈∀>=−>⇒<=< k , y R y R xkRkx R y R xkR V )(,0)(),()()(),( .

Înlocuind şi folosind pozitivitatea produsului scalar, rezultă )()()( xkRkx R y R −=,0)()( =− xkRkx R

deci R este omogenă. Pe de altă parte avem>=<+>>=<<+>>=<+>=<+< )(),()(),(,,,)(),( z R y R z R x R z y z x z y x z R y x R

V V =∈=∀>=−−+>⇒<+=< )()(,0)(),()()()(),()( Ru z R z R y R x R y x R z R y R x R

Deci , deci R este aditivă. Fiind liniar ă şi păstrând produsul scalar, R este ortogonal ă.

0)()()( =−−+ y R x R y x R

6.5. Teoremă. Dacă J este o izometrie, atunci exist ă o transla ţ ie

şi o transformare ortogonal ă O astfel încât .V ∈aT T a ,= OT J oa

=

Deci orice izometrie este compunere dintre o transformare ortogonală şi o translaţie.

Demonstraţie. Fie T translaţia prin vectorul şi translaţia

prin . Funcţia este o izometrie care păstrează pe 0. Conform

teoremei 6.5, izometria este o transformare ortogonală O . Decisau .

V ∈aT a ,=

T 1 −

J T o1 −

)0( J a = 1 −T

T

)0( J a −=−

OT J o=

J o

O J =o1−

Observaţii. 1. Presupunem . Dacă B={ , este o bază ortonormată şi O este o transformare ortogonală pe V , atunci şi B'={

este o bază ortonormată. Reciproc, dacă în V sunt date două baze ortonormate B şi B',atunci există o singur ă transformare ortogonală O care duce B în B'; matriceaacesteia relativ la baza B este [ .

dimV = n

BB ]'

... , }e en1

O )}(),...,( 1 neOe

B [] =O

2. Fie ({ )}, Im( ) { , 0} KerT L a T v v a= = <

⇒= ][][] I OO t 1]det[ ±=O

[det O

>= o izometrie pe spaţiul n-

dimensional V . Avem [ . Dacă , atunci J senumeşte izometrie pozitivă (congruen ţă), iar dacă 1, atunci J se numeşte

izometrie negativă.

1][det +=O

−] =



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Exemplu. Fie locul geometric al punctelor din plan care raportatela reperul cartezian Ox

),,( z y x M

yz verifică ecuaţia

.01162842),,( 222 =+−+−−+= z y x z y x z y x g

Determinăm ecuaţia verificată de coordonatele ( , , )′ ′ ′ x y z ale acestor puncte

faţă de reperul O x′ ′ ′ ′ y z ,2(′O obţinut din cel iniţial printr-o translaţie ce duce origineaO(0,0,0) în punctul , deci având vectorul de translaţie)2,1 −−

)2,1,2(),,( ''' −−=−−−= OOOOOO z z y y x xa .

Deoarece formulele care dau translaţia sunt înlocuindîn ecuaţia dată găsim ecuaţia locului geometric relativ la reperul translatat,

,2,1,2 −′=−′=+′= z z y y x x

.0842 222 =+′−′+′ z y x


1. Să se studieze care din funcţiile definite prin3 T →R R :3

≠

a) 3 ( ) , , fixatT x a a= ∈ R

b)T a x x +=)(c) ( ) ,T x xλ λ = ∈ R

d) ),,(),,,()( 3212321 x x x x x x x xT ==

e) ),,()( 213 x x x xT =

f) 3 1 2( ) ( , , ), , 0T x x x x k k k = + ∈ R

g) )874,33,32()( 321321321 x x x x x x x x x xT +++−−+=

sunt transformări liniare.

R. a) da , b) da , c) da, d) nu, e) da, f) nu, g) da.0=⇔ a 0=⇔ a

2. Să se determine dacă urmă toarele aplicaţ ii sunt sau nu

transformă ri liniare:a) 2

21212

222 ),(),,()(,: R R R ∈=∀+=→ x xv x x xvT T

b) .][,)()(],[][: 2

1

032 x pdt t p x p xp pT x xT R R R ∈∀+−=→ ∫ R . nu (T nu este nici aditivă, nici omogenă); b) da.

3. a) Fie spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad ≤ . Să se aratecă funcţia

][ X nR n

[ ] [ ]n nT X →R R : X ( ) (2 3) 2 '( ) (10),T p x p x p x p x= + − − ∀ ∈ R ,

este o transformare liniar ă.

b) Fie spaţiul vectorial al funcţiilor continue pe intervalul [a,b], f ba f f ba R,C =V

0 →= ],[:{],[ continuă}.

Să se arate că transformarea ce asociază fiecărei funcţii primitiva acesteia,

P :V V → , ,∫ ∈∀== x

aba xdt t f x g g f P ],[)(,)()( ,)(

este o transformare liniar ă.


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

4. Pe spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale de grad cel mult n,

se defineşte funcţia T n P

nn P P →: ,1

0( ( )) ( ) , ,nT p x x tp t dt p P x= ∀ ∈∫ R ∀ ∈ .

Să se arate că T

este o transformare liniar ă şi să se determine şi .T Ker T Im

R. 0, 0,

Ker 0 , Im ({ })2

k k k

k n k n

aT p a x T L x

k = =

= = = =

+ ∑ ∑

R

6

.

5. În se consider ă vectorii .3R )2,0,1(),1,2,1(),1,2,3( 321 =−=−= vvv

a) Să se arate că există o singur ă formă liniar ă T astfel încât3: →R

T .)(,0)(,8)( 321 ==−= vT vT v

b) Să se determine o bază a subspaţiului .T Ker

R. a) T , b) .)4,1,2(,,)( −=>=< aavv )}1,4,0(),0,2,1{( −= LT Ker

6. Fie funcţia ,33: V V →T =×= aavvT ,)( vector fixat, nenul .

a) Să se arate că T este o transformare liniar ă. b) Să se găsească şi Im şi să se arate că Ker .T Ker T 3Im V =⊕ T T

R. b) }0,{Im)},({ >=<== avvT a L KerT .

7. Se dau urmă toarele transformă ri:a) ∈ End T . 3

3211221

3 ),,(),26,0,3()(),( R R ∈=∀−−= x x x x x x x x xT

b) :T R . ][,)(2)(],[][ 2

1

012 x pdt t p x p pT x x R R ∈∀−′=→ ∫ c) 3: R T . 3

321313212 ),,(),()(, R R ∈=∀++−=→ x x x x x x , x x x xT

d) :T R . ][),0()()(],[][ 221

0

332 x p p p xdt t p x pT x x R R ∈∀+′−=→ ∫

În fiecare din cele patru cazuri să se determine urmă toarele chestiuni:1. Verificaţ i că transformarea T este liniară ; 2. Determinaţ i nucleul transformă rii liniare T ( Ker T ); 3. Determinaţ i imaginea transformă rii liniare T ( Im T ); 4. Aflaţ i matricea transformă rii liniare 3 relativ la bazele canonice ale

domeniului Dom T ş i codomeniului Codom T ; 5. Determinaţ i dacă transformarea T este injectivă sau surjectivă ; 6. Verificaţ i relaţ ia: dim Ker T + dim Im T = dim Dom T .

R . Temă: b,c,d. a) , T nu

este injectivă ( 0 ), nici surjectivă ( ); [ , 2+1=3.

( ) ( ){ }( ) )})2,0,1(({,1,0,0,0,1,3 21 −===== v L ImT vv L KerT

≠ 3R ≠ ImT

=

−

−

062

000

031

]T KerT

b) 2

2

{1, , },{1, }

0201111 32

({3 11}); Im ({ ,2 ( / 2)});[ ] x x x

KerT L x T L x x T −− = + = − − =

][1 x ImT R =

.

T nu este injectivă, dar este surjectivă ( ); 1+2=3.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

8. Se dau transformările liniare:

a) ∈ End T .3

321322131

3 ),,(),2,,2()(),( R R ∈=∀−−−= x x x x x x x x x x xT

b) ∈ End T .3

321133221

3 ),,(),,,()(),( R R ∈=∀+++= x x x x x x x x x x xT

Pentru fiecare dintre cele două transformări, determinaţi:

♦ şi . Sunt şi subspaţii suplementare în R ? KerT ImT KerT ImT 3

♦ Este T injectivă ? Dar surjectivă ? Dacă T

este inversabilă, determinaţi inversa

acesteia.

R . Temă b). a) ; nucleul şi

imaginea formează subspaţii suplementare î n , deoarece ,

; T nu este nici injectivă, nici surjectivă (deci nu este inversabilă).

)})1,1,0(),0,1,1({()}),1,2,2(({ 1 −=== L ImΤ v L Ker Τ 3

R ∩ Ker Τ }0{= ImΤ 3

R =+ ImΤ Ker Τ

9. Să se determine matricea asociată transformării liniare, în raport cu bazele

canonice ale spaţiilor, în cazurile

a) C →T : .CC ∈∀

−

−=× x

xix

xix xT M ,)(),(22

b) R 3

3213121

33 ),,(),,)1(,()(,: R C ∈=−+−=→ x x x xix xi xix xT T

c) . A AT M M T t =→ ×× )(),()(: 2222 K K

R. a) , unde e [ .},,,{ 22211211)(22eeee M =

× CB ;)( 2,1, =δδ= l k ljkiij )1,,1,(] iiT t −−=

b) [ ; c) .

=

−

−−

i

i

i

T

00

011

00

]

==

×

1000

0010

01000001

][},,,,{ 22211211)(22T eeee M R

B

10. Ar ătaţi că în spaţiul vectorial real V al funcţiilor reale, fiecare dintre

mulţimile2 2{cos ,sin }, { sin 5 , cos5 }, {3,1 ,1 2 } x xS x x S e x e x S x x e′ ′′= = = − − x+

este liniar independentă şi generează un subspaţiu W finit dimensional. Utilizând

mulţimile date ca baze pentru subspaţiul W , să se găsească în fiecare caz matricea

ataşată operatorului de derivare .W W →: D

R. [ .

=

=

= −

−−−

− ′′′

100

100

110

25

52

01

10][][,] S S S D D D

11. Să se determine matricele transformărilor liniare în raport cu

baza formată din vectorii v cunoscând că matricele

acestora în raport cu baza canonică a spaţiului sunt respectiv

33: R R →T

)1,1,1(),3,1,2(),3,2,1( 321 === vv

3

R




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

=

=

=

−

−

−

−−

−−

−−

−

422

633

211

622

622

321

000

001

023

321 c); b);)a A A A .

R. , unde . AC C A 1−=′ },,{],,,[ 321321 A A A AvvvC ∈=

12. Fie V un spaţiu vectorial real, C complexificatul său şi un

endomorfism. Funcţia definită prin sau altfel scris

se numeşte complexificatul endomorfismului T .

V V V →:T

V V C C C →:T ),(),( TvTuvuT =C

,)( iTvTuivuT +=+C

a) Să se arate că este o transformare liniar ă care satisface proprietăţile:T C

;T S T S C C C ++ =)( T S ST C C C =)( ;

R ∈= k T k kT ,C C )( ; , dacă T este inversabilă.)()( 11 −− = T T C C

b) Fie o transformare liniar ă. Prin reprezentarea real ă a

transformării T înţelegem transformarea liniar ă real ă care coincide

punctual cu T , unde sunt trecerile în real ale spaţiilor şi .

mnT CC →:

nC

R ,

mnT CC R R R →:

nC

mC

R

]

mC

Se dă transformarea liniar ă 33: CC →T , T .3

32133121 ),,(),,,()( C∈=∀++= x x x xix x xix x x

Să se determine matricea reprezentării reale a lui T în baza { , unde},, 321 vvv

)2,2,1(),,0,0(),1,,0( 321 −=== viviv .

R. b) Trecerea în real a spaţiului vectorial complex este dată de identificarea63

332211

3

332211 ),,,,,(),,( R CC R ≡∈≡∈+++ y x y x y xiy xiy xiy x .

Matricea A a reprezentării reale a lui T relativ la baza canonică (vechea bază) a lui

, este . Noua bază este

.

63R C

R ≡

1,0,0(1

−≡t iv

=

−

−

010000

100000

100010

010001

000110

001001

A

,0,0,0,0(2

),1,0,0,0,0,0( −≡≡ t iv

t

,)0,1,1,0,0,0(1{ t

v ≡=′B

)}2,0,2,0,1,0(3

−≡t iv),0,2,0,2,0,1(

3),0,1

2),1,0,0, −≡t

vv

Matricea A' a reprezentării reale a lui T relativ la noua bază din este

dată de relaţia , cu matricea de trecere

,

B′ 63R C

R ≡ AC C A 1−=′

)(6 R ],,,,,[ 332211 M ivvivvivvC ∈=

13. Fie endomorfismul care transformă vectorii

în vectorii .

33: R R →T

)1,1,1(

),1,0,0(1 =v

)),1,1,0( 32 == vv ),1,2,1(1 =w 4,1,7(),2,1,3( 32 −== ww

Să se determine matricea lui (transpusa lui T ), în baza ortonormată ∗T

)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 321 === eee .

R. [ .[*][;],,][,,[][],,[],,][ 1321321321321 T T vvvwwwT wwwvvvT t ==⇒= −




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

14. Să se determine adjuncta (transpusa) T a transformării liniare*

3

321231

23 ),,(),32()(,: R R R ∈=∀−=→ x x x x x , x x xT T .

R . T .[ ] [T t

T y y y y y y y ==∈=∀−=

− 02

30

01

*;2

)

2

,

1

(),

1

2,

2

3,

1

()(* R ]

15. Să se arate că transformările liniare asociate matricelor

=

−−−

−−−

12812

211421

271827

1 A şi sunt proiecţii.2

1 0 0

0 0 0

0 0 1

A =

R. Se verifică faptul că pătratul fiecărei matrici asociate este ea însăşi.

16. Fie spaţiul vectorial al vectorilor legaţi în originea O, identificat cu

mulţimea punctelor din plan , şi fie transformarea liniar ă definită prin2

V

2 E 22: V V →T →→→→

== cbT baT )(,)( , unde punctele sunt necoliniare, iar un

punct oarecare din plan. Să se determine punctul C astfel încât

)0(),(),(rr

r

Ob Ba A )(cC r

a) T să fie o proiecţie;

b) T să fie o structur ă complexă.

R. a) , deci . b) ,

care are loc doar dacă

bccT bT bT

aT aT r

rr

rr

rr

==⇔

=

=)(

)()(

)()(

2

2

BC =

−=

−=⇔

−=

−=

bcT

ac

bbT

aaT r

r

rr

rr

rr

)()(

)(

2

2

OAOC −= .

17. Ar ătaţi că matricile următoare sunt nilpotente de ordinele doi (în cazul a)

şi respectiv trei (în cazurile b,c):

=

=

=

−

000

300

020

000

100

010

)c;) b;00

10)a A A A .

R. a) ; b), c) .2

2 O A = 3

3 O A =

18. Fie endomorfismul definit prin matricea [ în

baza canonică a spaţiului vectorial . Să se găsească matricile

hermitiene astfel încât să aibă loc relaţia .

22: CC →T

)(2

2 C End ∈

−+=

iiiT

311]

2

2 C

,1 T T 1 iT T T +=

R : .

−−

+=

−

+=

12/)1(

2/)1(1][,

32/)1(

2/)1(1][ 21

i

iT

i

iT


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

19. Să se arate că endomorfismul definit prin matricea

(considerată relativ la baza canonică a lui ) este ortogonal.

33: R R →T

=

θθ

θθ−

sin0cos

010

cos0sin

A 3 R

R. .3 I A At

=

20. Să se arate că transformările liniare de mai jos au proprietăţile specificate

(spaţiile euclidiene considerate sunt înzestrate cu produsele scalare canonice).

a) End T ∈ , ()(,)()),(( 22 R R M A A AT M t ∈∀= , ( ))< >= ⋅ A B Tr A Bt

este involu ţ ie ) simetrică .( 2 Id T = ))(,),(( >>=<< BT A B AT

b) End T ∈ , unde T f .)(V ( ) ', f f = ∀ ∈V

),(],[:{ baC f ba f ∞∈→= R V , f continuă pe [ , ,, ]a b }),()( )()(N∈∀= k b f a f k

s

k

d

este antisimetrică ( < ), unde><−>= )(,),( g T f g f T

∫>=>=< y x y x yT xT

d) Transformarea ∈ End T este transformare liniar ă

hermitică ( ).

[ ]

=

+

−

23

34),( 2

i

iT C

>)(, vT >=<< ),( uvuT

21. Fie matricea . Să se determine o matrice unitar ă

U astfel încât matricea U să fie triunghiular ă.

)(1

1122 C×∈

+−

+

= M ii

i A

AU 1−

R. Dacă , din condiţia

=

d c

baU 2 I U U t = (deci U t =−1U ) şi anularea

coeficientului din stânga jos al matricii

=

z

y x AU U

0

t , rezultă sistemul:

0)1)(()(;0,1,12222

=+++−=+=+=+ id bcd ibad bcad cba ;

obţinem

=

1

1

2

1

i

iU , care produce U .

=−

20

11

i AU

22. Să se determine izometria ştiind că duce punctele ,

respectiv în punctele .

22: R R → J

,1(1 −= B

)0,1(1 = A

)3−)1,2(),0,2( 32 == A A ,0(),3,1(),2 32 =−= B B

R . Relaţia formală şi

condiţiile impuse

0,1, 2222 =χδ+αβ=δ+β=χ+α

δχ

βα+

=

y

x

b

a

y

x J

3,1,) =∀= i B A ii( J , conduc la expresia analitică a transformării,

−

−+

−

=

y

x

y

x J

01

10

1

1.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Capitolul 3

VECTORI ŞI VALORI PROPRII

#1. Vectori şi valori proprii

Definiţii. Fie V un K -spaţiu vectorial şi un endomorfism.)(V End T ∈

a) Se numeşte vector propriu al endomorfismului un vector nenul, astfel încât există cu proprietatea

T

}0{\V ∈ x λ ∈ K

xTx λ= .

Scalarul se numeşte în acest caz valoarea proprie a lui T corespunzătoarevectorului propriu x.

λ

b) Se numeşte spectrul endomorfismului T , şi se notează cu σ , mulţimea

tuturor valorilor proprii ale endomorfismului.

)(T

Observaţii. 1. Ecuaţia este echivalentă cu

, unde I este endomorfismul identitate.0, ≠λ= x xTx

0),( ≠λ−∈ xT x IKer

2. În particular pentru o transformare liniar ă neinjectivă, vectorii nenuli dinsunt vectori proprii ai lui T ataşaţi valorii proprii zero.T Ker

3. Dacă un vector este vector propriu al lui T , atunci pentru fiecare, vectorul kx este propriu.

}0{\V ∈ x

}0{\ K ∈k

1.1 Teoremă. Dacă V este un K -spaţiu vectorial şi , atunci)(V End T ∈

1) Fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singur ă valoare proprie

.)(T σ∈λ

2) Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independen ţ i.

3) Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T. Mul ţ imea

},{ V S ∈λ==λ x x xT x

este un subspa ţ iu vectorial al lui V, invariant fa ţă de T, adică are loc incluziunea

λλ ⊆ S S )(T .

Subspaţiul poate fi finit sau infinit dimensional şi se numeşte subspa ţ iul

propriu ataşat valorii proprii .λ S

λ

Demonstraţie. 1) Fie x un vector propriu asociat valorii proprii , deci

. Dacă ar exista o altă valoare proprie astfel încât, atunci am avea , dar deoarece ,

rezultă .

λ

0, ≠λ= x xTx

, ≠λ′= x x xT

λ′=λ

′ ∈λ K

00 ⇔λ′=λ x x )( =λ′−λ x 0≠ x

2) Fie vectorii proprii ai endomorfismului T , corespunzători valorilor proprii

distincte . Efectuăm după . Pentru 1, vectorul propriu este p x x ,...,1

,...,1

λ )(T p

σ∈λ p ∈ N p =

Cap.III. Vectori şi valori proprii64



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

diferit de vectorul nul, deci se constituie într-un sistem (de un singur vector) liniarindependent. Fie proprietatea adevărată pentru vectori. Aplicând T relaţiei p −1

k x p+

1−λ − p

k k

λ= y

2 , λ S

x2λ=

( K nn×

+

+

+

(...

..........

...)

...

2

2

a

x

x

k x k x k x p p p1 1 2 2 1 1 0+ + + =− −... (*)

rezultă şi deci, folosind linearitatea endomorfismului T şi

faptul că sunt vectori proprii ai lui T , obţinem k

0)...( 11 =++ p p xk xk T

,...,1 p x x .0111 =λ++λ p p p xk x K

Scăzând relaţia (*) amplificată cu , avem pλ

0)(...)( 11111 =λ++λ−λ −− p p p p xk xk

care, folosind ipoteza de inducţie, implică . Din (*) rezultă

şi, cum rezultă şi k , deci ind .

k p1 2 1 0= = = =−...

},,{ 1 p x x Kk x p p = 0 0≠ p x p = 0

3) Pentru orice şi k l avem∈ y x, λ S , ∈ K

⇒+λ+λ=+=+ )()()()( lykxl xk ylT xkT lykxT ,λ∈+ S lykx

deci este subspaţiu vectorial în V . Dacă , atunci Tx ,

adică .

λ S

(T

λ∈ S x λ∈λ= S x

λλ ⊆ S S )

1.2. Teoremă. Subspa ţ iile proprii corespunz ătoare la valori proprii

distincte , sunt disjuncte (deci au în comun doar vectorul nul ).1λ S

2121 ),(, λ≠λσ∈λλ A

Demonstraţie. Fie λ . Dacă prin absurd ar exista

, ar rezulta şi , deci ,

absurd. Rezultă .

2121 ),(, λ≠λσ∈λ A

xTx 1λ= Tx

}0{2

=λ

}0{\21 λλ∈ S S I x

1λ S

2121 0)( λ=λ⇒=λ−λ x

S I

#2. Polinom caracteristic al unui endomorfism

Definiţie. Fie o matrice pătratică de ordinul

n şi fie un vector coloană cu coeficienţi în corpul

. Dacă există un scalar λ ∈ astfel încât să aibă loc relaţia

)

1

111

nnn

n

M

aa

aa

A ∈

=

L

MOM

L

1( ) \{0}n X M ×= ∈ K

K

1

n

x

x

M

},{ CR ∈ K

AX X = λ , (1)atunci X se numeşte vector propriu al matricii A, iar λ se numeşte valoare proprie amatricii A şi notăm . Ecuaţia matriceală (1) se rescrie ( şi este

echivalentă cu sistemul liniar (numit sistem caracteristic al matricii A)

)( Aσ∈λ ) A I X − λ 0=

=λ−++

=+λ−+

=++λ−

0)

....................................

0(

0)(

2211

222121

112111

nnnnn

nn

nn

x xa xa

xaa xa

xaa xa

. (1')


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Fiind un sistem omogen, acesta are soluţii nebanale doar în cazul în care scalarulsatisface ecuaţia algebrică

λ

00)det()(

21

22212

11211

=

λ−

λ−

λ−

⇔=λ−=λ

nnnn

n

n

not

A

aaa

aaa

aaa

I A P

…

…

…

. (2)

2.1. Definiţii. a) Se numeşte polinomul caracteristic al matricei , polinomul A

)det()( I A P A λ−=λ .

b) Ecuaţia (2) este o ecuaţie algebrică de grad n în necunoscuta λ , şi senumeşte ecua ţ ia caracteristică a matricei A.

Observaţii. 1. Valorile proprii ale matricei A sunt soluţiile din K ale ecuaţieicaracteristice (2); mulţimea acestora formează spectrul matricii A, care se va nota prin

. Dacă notăm prin( ) Aσ ( ) Aσ mulţimea r ădăcinilor complexe ale polinomuluicaracteristic al matricii A, se observă că avem ( ) ( ) A Aσ σ = ∩ K .

2. Fie A o matrice pătratică reală de ordinul n şi ecuaţia ei

caracteristică. Deoarece nu orice ecuaţie algebrică admite soluţii în R , dar admitesoluţii în C, uneori valorile proprii ale lui A se definesc ca fiind elemente din C. Înacest caz vectorii proprii corespunzători apar ţin complexificatului lui notat C .

0)det( =λ− I A

nR

nR

Teoremă. 1) Fie )()(

,1, K nnn jiij M a A ×=

∈= . Polinomul caracteristic al

matricei A are expresia ))1(...()1()( 22

11 n

nnnnn P δ−+−λδ+λδ−λ−=λ −− , unde

♦ ( )1 2 11 1

Tr , , , m ( ), det , jj kk kj jk n jj n

j k n j n

A a a a a aδ δ δ δ −≤ < ≤ ≤ ≤

= = − = =∑ ∑… A

♦ se numeşte urma matricii A,nnij aaaaTr +++= …2211)(

♦ ) este minorul obţinut din matricea A prin eliminarea liniei şi coloanei a j-a,( jjam

♦ nk k ,1, =δ reprezint ă suma minorilor principali de ordinul k ai matricei . I A λ −

2) Matricele A şi A au acela şi polinom caracteristic.t

3) Două matrice asemenea au acela şi polinom caracteristic.

Demonstraţie. 1) Vom da demonstraţia pentru matricele de ordinul doi sau trei;obţinem prin calcul direct

22112

2221

1211 T,det)T()( aa Ar A Ar aa

aa P +=+λ−λ=

λ−

λ−=λ ;

iar pentru ordinul trei

,det)T()( 23

333231

232221

131211

A J Ar

aaa

aaa

aaa

P +λ−λ+λ−=

λ−

λ−

λ−

=λ

unde am folosit notaţiile

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

3332

2322

3331

1311

2221

1211332211 ,T

aa

aa

aa

aa

aa

aa J aaa Ar ++=++= .

2) .)()det()(det)det()( λ=λ−=λ−=λ−=λ A

t t

A t P I A I A I A P

3) Fie A şi două matrice asemenea, adică , unde C este o matricenesingular ă. Atunci

' A AC C A 1' −=

=λ−=λ−=λ−=λ −− ])(det[)det()'det()( 11' C I AC I AC C I A P A

)()det(det)det()det( 1 λ=λ−=λ−= − A P I AC I AC

Pentru o matrice A reală (deci A coincide cu conjugata ei A ) şi simetrică ( ) putem da următoarea A A t =

2.3. Teoremă. Valorile proprii ale unei matrice reale şi simetrice sunt reale.

Demonstraţie. Conjugând relaţia (1) , rezultă (2)AX X = λ A X X = λ . În (1)

înmulţim la stânga cu tX , iar î n (2) înmulţim la stânga cu . Relaţiaimplică

tX A At=

t tX AX XA X = şi deci obţinem ( ) . Cum vectorul X este nenul,

avem

λ λ− t =X X 0

R ∈λ⇒λ=λ⇒≠ 0 X X t .

Exemple. 1. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea

=

−−

−

−

−

3112

1112

2420

1202

A .

Soluţie. Polinomul caracteristic are drept

r ădăcini valorile proprii ale matricii A, Sistemul caracteristic

(1) se scrie , şi este echivalent cu sistemul (1')

4)2()det()( −λ=λ−=λ I A P A

.2432 =λ=λ=λ=1λ

)4,,,(,2 321 x x x x X X AX t ==

=+−−

=−

02

02

4321

43

x x x x

x x

Obţinem . şi notâ nd şi soluţia se scrie34312 2,2 x x x x x =+= a x =1 b x =3

R ∈==+== bab xb xba xa x ,,2,,2, 4321 .

Rezultă , deci valorii proprii λ îicorespund doi vectori proprii liniar independenţi

)2,1,1,0()0,0,2,1()2,,2,( t t t babbbaa X +=+= 2=

)0,0,2,1(1t v = şi ,)2,1,1,0(2

t v =

bază a subspaţiului propriu . Se observă că .),( 211vv LS =λ

4dim42dim1

R =<=λS

2. Aflaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricea .

=

−−

−−

363

033

066

A



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Exemplu. Aflaţi valorile şi vectorii proprii ai endomorfismului

descris de matricea .

)( 3R End T ∈

=

−

−

010

120

002

A

Soluţie. Polinomul caracteristic al endomorfismului T este)2()1()( 2 −λ+λ−=λ P ,

valorile proprii sunt λ ; doi vectori proprii asociaţi sunt (temă,

verificaţi):

1,2 321 −=λ=λ=

)1,1,0(),0,0,1( 21 == vv .

#3. Forma diagonală a unui endomorfism

Dat fiind un endomorfism , s-a văzut că matriceadepinde de alegerea bazei . Apare natural întrebarea dacă există o bază în V

relativ la care matricea endomorfismului să aibă o formă cât mai simplă (canonică),spre exemplu cu un număr cât mai mare de coeficienţi nuli exceptând diagonala. Cuajutorul valorilor şi vectorilor proprii ai endomorfismului T vom realiza acest lucru încele ce urmează.

)( n End T V ∈ B][T A =

nnVB ⊂

3.1. Definiţie. Un endomorfism se numeşte diagonalizabil dacă

există o bază } astfel încât matricea lui relativ la această bază

să fie o matrice diagonală (cu toţi coeficienţii din afara diagonalei, nuli).

)( n End T V ∈

,...,{ 1 nee=B B][T A =

Matricele din clasa de asemănare a matricii A care corespundeendomorfismului diagonalizabil T relativ la baza , se numesc matrice

diagonalizabile (asociate endomorfismului T ).nV ⊂B

3.2. Teoremă. Un endomorfism este diagonalizabil dacă şi

numai dacă exist ă o baz ă a spa ţ iului format ă din vectorii proprii ai

endomorfismului.

)( n End T V ∈

V n

Demonstraţie. Dacă T este diagonalizabil, atunci există o bază a

spaţiului faţă de care matricea lui T este diagonală, deci este de forma

},...,{ 1 nee=B

=

nna

a

a

A

K

MOMM

K

K

00

00

00

22

11

.

Deci au loc relaţiile nieaTe iiii ,1, == , adică vectorii nii ,1, =e sunt vectori proprii ai

endomorfismului T , asociaţi respectiv valorilor proprii niaii ,1, = .


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Reciproc, dacă }B este o bază în V , formată din vectori

proprii ai lui T , adică au loc relaţiile

,...,,{' 21 nvvv= n

nivii ,1, =λTvi = , atunci matricea lui T relativ

la această bază este

==

λ

λ

λ

n

T D

K

MOMM

K

K

00

020

001

'][ B ,

unde scalarii λ nu sunt neapărat distincţi. i

3.3. Definiţii. Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T .)(T σ∈

a) Se numeşte multiplicitate algebrică a valorii proprii şi o notăm prin, ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ ca r ădăcină a polinomului

caracteristic asociat endomorfismului T .

λ( )am λ

b) Se numeşte multiplicitate geometrică a valorii proprii şi o notăm prin, dimensiunea subspaţiului vectorial asociat valorii proprii .

λ( ) g m λ λS λ

Teoremă. Dimensiunea unui subspa ţ iu propriu al endomorfismului

este cel mult egal ă cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii

corespunz ătoare subspa ţ iului .

0 λ S

)( n End T V ∈

)(0 Aσ∈λ0

λ S

Deci multiplicitatea geometrică a unei valori proprii este totdeauna cel multegală cu cea algebrică.

Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie multiplă de ordinul m şi subspaţiul

propriu corespunzător. Avem ; fie o bază în

subspaţiul propriu . Distingem următoarele cazuri:

0

0λ

0 λ S

} pen p ≤=λ0 dim S ,...,,{ 21 ee=B

S

♦ Dacă , atunci ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ este n, căci relativ

la această bază matricea transformării liniare este diagonală

n p = 0

nn

P T A )()1()(][ 0

000

000

000

λ−λ−=λ⇒

==

λ

λ

λ

K

MOMM

K

K

B .

♦ Dacă , completăm această bază până la o bază în V de forman p < n

},...,;,...,{ 11 n p p eeee +=B .

Ţinând cont că vectorii piei ,1, = sunt vectori proprii asociaţi valorii proprii λ , au

loc descompunerile0

∑=

+===λ=n

k

k kj jii n p jeaeT pieeT 1

0 ,1,)(;,1,)( .

Matricea lui T faţă de baza B va fi deciCap.III. Vectori şi valori proprii70



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

==

+

+λ

+λ+λ

nnanp

a

pna pp

a

na

pa

na

pa

T A

KK

MOMOMM

KK

MMMOMM

KK

KK

10000

1000

02120

00

111000

][ B ,

şi deci polinomul caracteristic al lui T are forma

λ−+

λ−+=λλλ−λ=λ−=λ

nnanp

a

pna pp

a

QQ I A P p

K

MOM

K

1

1)(),()()det()( 0 .

Deoarece , rezultă că ordinul m al valorii proprii este cel puţin p,

deci .

)(|)( 0 λλ−λ P p

m p ≤

3.4. Teoremă. Fie endomorfismul . Atunci următoarele afirma ţ ii

sunt echivalente:

)( n End T V ∈

(i) T este diagonalizabil;

(ii) polinomul caracteristic al endomorfismului T are cele n r ăd ăcini în

corpul K şi dimensiunea fiecărui subspa ţ iu propriu este egal ă cu ordinul

de multiplicitate al valorii proprii corespunz ătoare (pe scurt, ( )T σ ⊂ K şi

, ) .)(T σ∈λ∀ ( ) ( )a g m mλ λ =

Demonstraţie. Fie diagonalizabil, deci există o bază în

, formată din vectori proprii pentru T , faţă de care matricea lui T este diagonală.

Descompunem polinomul caracteristic P deci

)( n End T V ∈ },...,{ 1 nee=B

p

m p( ) ,λ λ−

V n

m m( ) ( ) ( ) ...λ λ λ λ λ= − −1 2

1 2

pi ,1=i ,λ sunt valorile proprii ale lui T de multiplicităţi m care satisfac relaţiai

m nii

p

==

∑ .1

Făr ă a afecta generalitatea, admitem că primii m vectori din baza { , corespund lui λ , următorii lui λ etc. În concluzie, vectorii e apar ţin

subspaţiului propriu corespunzător valorii proprii λ , ceea ce înseamnă că numărul lor m este cel mult egal cu . Pe de altă parte, conform teoremei 3.3,

avem În concluzie . Analog, rezultă

1 ... , }e en1

em11

m≤

m2 2

dim

=

1 ,...,

1 λS 1

1

1 λ

1 λS

1dim λS .dim 1S 1m

pimS i λi,2,dim == .

Reciproc, fie pimS i λi,1,dim == . Consider ăm familia de vectori din V n

∑=

++ ==−

n

i

immmmm nmeeeeee p p

1111 },,...,,...,,...,,,...,{

1211B ,




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

aleasă astfel încât primii m vectori să constituie o bază în , următorii să

constituie o bază în , etc. Prin inducţie după p , se poate ar ăta că B este bază

în V . Relativ la această bază, matricea endomorfismului are forma

următoare

1 1 λS

nV :

m2

2 λS

n nT V →

==

λ

λ

λ

λ

λλ

p

O

p

p

O

T A

...000

............

0...0

0...00

0000

01...00

............

0...1000...01

][

M

M

KKOKK

M

M

B

deci o matrice diagonală. Prin urmare endomorfismul T este diagonalizabil.

Corolar. Dacă ) este diagonalizabil, atunci are loc descompunerea End T nV (∈

pS S S n λλλ ⊕⊕⊕= ...

21V .

Fie un K -spaţiu vectorial, iar un endomorfism al acestuia.

Pentru a obţine forma diagonală a lui T , putem da următorul algoritm.nV ) End T nV (∈

Algoritm de diagonalizare.

1. Fixăm o bază oarecare şi determinăm matriceanVB ⊂

n jiijaT A,1,

)(][=

== B a endomorfismului T în această bază.

2. Aflăm valorile proprii ale endomorfismului, soluţiile în corpul K aleecuaţiei . Dacă , atunci algoritmul stopează, iar endomorfismul T

nu este diagonalizabil.

0)( =λ A P K ⊄σ )(T

3. Dacă şi este format din valori proprii distincte

cu ordinele de multiplicitate respectiv m calculăm rangul fiecăreimatrice

K ⊂σ )(T p p n( ≤

m p1,..., ,

)

λλ1 ,..., p

p j ,1= I A j ,λ− . Dacă avem p jm Arang j ,1,( =λ−

λ− I A j

n I j ) −=

0) = X

, adică spaţiul

vectorial al soluţiilor sistemului omogen ( satisface condiţia

p jmS j j,1,dim ==λ

atunci (cf. teoremei 3.4) endomorfismul T este diagonalizabil şi se trece la pasul 4;altfel T nu este diagonalizabil, şi algoritmul stopează.

4. Se rezolvă cele p sisteme omogene

p j X I A j ,1,0)( ==λ− ,




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

ale căror soluţii formează subspaţiile proprii p jS j

,1, =λ . Astfel obţinem practic câte

o bază formată din vectori proprii, pentru fiecare subspaţiu propriu jB jm

p,1 jS j, =λ .

5. Reunim cele p baze ale subspaţiilor proprii, formând o bază spaţiului vectorial pBBBB ∪∪∪= K21' a nV .

6. Relativ la această bază matricea este matrice diagonală, şiare pe diagonală valorile proprii λ λ fiecare dintre acestea

apărând de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate.

'B '][' BT A D ==

λ... ; ,..., p λ1 1,..., ; , p

1

1 3

7. Construim matricea diagonalizatoare (matricea modal ă) C , matricea detrecere de la baza B la B , C .' BB ]'[=

8. Verificăm corectitudinea calculelor, testând relaţia sub formaechivalentă .

AC C D 1−=

AC CD =

Exemple. 1. Determinaţi dacă endomorfismul , definit prin

matricea asociată relativ la baza canonică

)( 3R End T ∈

=

−−−

321

352

572

A

este diagonalizabil sau nu. Soluţie. Obţinem prin calcul polinomul caracteristic, o

singur ă valoare proprie distinctă, , r ădăcină triplă a polinomului caracteristic

(m ). Avem

;)2()( 3−λ=λ P

21 =λ

1 3=

31dim0332rang)2(rang 11 1

121

332

5-7-4-

=≠=⇒=−=−≠=

=− λ mS mn I A .

Deci endomorfismul T nu este diagonalizabil.2. Diagonalizaţi endomorfismul a cărui expresie analitică este)( 4

R End T ∈4

432143143241 ),,,(),32,2,,()( R ∈=∀+−−−−+−= x x x x x x x x x x x x x xT .

Soluţie. În raport cu baza canonică a lui , matricea lui T este R4

=

−

−−

−

−

3201

2100

0010 1001 A .

Obţinem polinomul caracteristic)4()1)(2()det()( 2 −λ+λ+λ=λ−=λ I A P

şi valorile proprii . Ordinele de multiplicitate ale

valorilor proprii sunt respectiv m m .

4,1,2 4321 =λ−=λ=λ−=λ

m1 2 31 2= =, , =

Deoarece , prin rezolvarea sistemului omogen

obţinem vectorul propriu generator .

rang( ) A I n m− = = − = − =λ1 13 4

,0)2( =+ X I A )1,2,0,1(1

−= t

vAlgebr ă liniar ă 73



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Analog, deci , iar vectorii proprii

corespunzători sunt .

rang( ) A I n m− = = − = −λ2 22 4

1,0,2(),0,0,1,0( 32t t vv ==

2 2dim2

=λS

)0,

Obţinem , deci vectorul propriu corespunzător valorii

proprii λ este v .34 3)(rang mn I A −==λ−

6 )5,2,0,1(4 −= t

4 =

Deci baza B a spaţiului relativ la care matricea endomorfismului T estediagonală, este . În concluzie endomorfismul T este diagonalizabil,

cu matricea diagonalizatoare C şi matricea diagonală D date respectiv de

'B

4 R

}4v,,,{' 321 vvv=

==−

−

5001

2102

0010

1201

],,,[ 4321 vvvvC , .

==−

−

−

−

4000

0100

0010

0002

1 AC C D

#4. Forma canonică Jordan

Fie un K -spaţiu vectorial şi un endomorfism al acestuia.

Matricea A a lui T depinde de alegerea bazei în . Condiţiile în care matricea A se

poate diagonaliza au fost date în teoremele 3.2 şi 3.4. În cazul în care aceste condiţiinu sunt toate satisf ăcute, deci când diagonalizarea nu este posibilă, se poate testa dacă endomorfismul admite o formă canonică mai generală, numită forma Jordan.

V n )( n End T V ∈

V n

4.1.Definiţii. a) Fie . Se numeşte celulă Jordan de ordinul m ataşată

scalarului , şi se notează prin , matricea

λ ∈ K

m J λ

)()(

00

100

010

01

K mxmm M J ∈

=λ

λ

λ

λ

KK

KK

MM

K

KK

Spre exemplu, avem următoarele celule Jordan

)()1( 333

100

110

011

C x M i J

i

i

i

∈

=+

+

+

+

,

)(30

13)3( 222 R x M J ∈

= , şi .)()7()7( 111 R x M J ∈=

b) Endomorfismul T se numeşte jordanizabil dacă există o bază

în faţă de care matricea endomorfismului să fie de forma

)( n End V ∈

V n

=

p J

J

J

J

K

MOMM

K

K

00

020

001




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

( forma canonică Jordan) , unde J sunt celule Jordan ataşate valorilor proprii λ , i i

pi ,1= ale endomorfismului T .

O celulă Jordan de ordinul s ataşată unei valori proprii multiplă de

ordinul corespunde vectorilor liniar independenţi care satisfac

următoarele relaţii

)(T σ∈λ

see ,...,2 sm ≥ e ,1

+λ=

+λ=

λ=

− .

,

1

122

11

s s eeTe

eeTe

eTe

s

K

După cum se observă din prima ecuaţie, vectorul e este propriu; vectorii se

numesc vectori principali.

1 see ,...,2

Observaţii. 1. Există endomorfisme ale spaţiilor vectoriale reale care nu admit

formă Jordan, şi anume acelea pentru care corpul K este R (deci K nu este corp

algebric închis) iar ecuaţia caracteristică nu are toate cele n r ădăcini în R

( ). Spre exemplu, endomorfismul T ,R K =⊄σ )(T )( 2R End ∈

2

2112 ),(),,()( R ∈=∀−= x x x x x xT ,

are drept valori proprii numerele complexe imaginare .R ∉± i

2. Endomorfismele spaţiilor complexe admit totdeauna la forma Jordan,

deoarece orice ecuaţie algebrică de gradul n cu coeficienţi complecşi are toate cele n

r ădăcini în corpul .CK =3. Forma diagonală a unui endomorfism diagonalizabil este un caz particular

de formă canonică Jordan, anume cazul când toate celulele Jordan sunt de ordinul

unu.

4. Forma canonică Jordan asociată unui endomorfism dat nu este unic

determinată. Doar numărul celulelor Jordan (care este egal cu numărul maximal de

vectori proprii liniar independenţi ai lui T ) precum şi structura internă a celulelor

Jordan sunt unice. Ceea ce nu este unic determinat este ordinea celulelor Jordan pe

"diagonala" matricii canonice Jordan. Această ordine depinde de ordinea vectorilor

din baza B - formată din vectori proprii şi princpali ai endomorfismului T .'

5. Se poate ar ăta că pentru un un endomorfism T al K -spaţiului

vectorial , ce are valorile proprii distincte λ de multiplicităţi respectiv

(∑ ), există p subspaţii vectoriale

)( n End V ∈

λ pV n

pm,

1 ,...,

mm ,, 21 K

=

= p

k

k nm1

p j j ,1, =⊂V V , astfel încât

sunt satisf ăcute următoarele proprietăţi:

♦ p jm j j ,1, ==V dim ;

♦ subspaţiile V sunt invariante faţă de T; j




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

♦ p j I N j j m j j ,1,/ =λ+=VT , cu endomorfism nilpotent de ordin cel mult ; j N jm

♦ are loc descompunerea în sumă directă

pn V V V V 21 ⊕⊕⊕= … .

Pe baza acestui rezultat, se poate demonstra următoarea teoremă:

Teorema Jordan. Fie un K - spa ţ iu vectorial n-dimensional. Dacă

endomorfismul are valorile proprii în corpul K , atunci exist ă o baz ă în

(numit ă bază Jordan) fa ţă de care matricea lui T are forma Jordan..

V n

)( n End T V ∈

V n

Algoritm pentru găsirea unei baze Jordan

1. Se fixează o bază în şi se determină matricea A ataşată endomorfismului.

V n

)( n End T V ∈

2. Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice ; se determină

valorile proprii distincte λ , multiple de ordinul respectiv

0)det()( =λ−≡λ I A P A

j p jm j ,1, = . Algoritmul

continuă doar dacă p j ,1, ∈∀K j ∈λ (sau, echivalent, ), altfel

endomorfismul nu este jordanizabil.

∑=

p

j

jm1

= n

3. Se află vectorii proprii liniar independenţi corespunzători fiecărei valori

proprii . jλ

4. Se calculează numărul de celule Jordan, pentru fiecare valoare propriedistinctă în parte, număr egal cu dim . jλ )(rangdim I AS jn j

λ−−=λ V

5. Se rezolvă sistemul ( ) , pentru fiecare A I X j

m j− λ 0= p j ,1= .

Pentru p j ,1∈ fixat, soluţiile vectori nenuli generează subspaţiul . Practic, se

determină întâi forma vectorilor proprii v ce generează prin rezolvarea sistemului j

S λ

jS λ

0)( =λ− v I A j .

Distingem cazurile:

♦ , caz în care se determină o bază a subspaţiului formată din vectori proprii (soluţiile fundamentale ale sistemului de mai sus).

jmS j =λdim jm

jB j jS V =λ

♦ , caz în care avem jmS j

≤λdim j j j jS S V V ≠⊂ λλ , .

În acest caz se determină forma generală v a vectorilor proprii din , se calculează

numărul de vectori principali asociaţi, şi se află aceşti vectori,

rezolvând succesiv sistemele liniare

jS λ

jS m j λ− dim

12 )(,,)( −=λ−=λ− s s ww I Avw I A … .

La fiecare sistem în parte se verifică compatibilitatea acestuia, şi ţinând cont şi de

condiţiile sistemelor anterioare se obţin informaţii relativ la vectorul propriu generic v Cap.III. Vectori şi valori proprii76



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

căruia i se asociază aceşti vectori principali; apoi, în caz că acesta sistemul estecompatibil, se rezolvă.Se determină în acest mod un număr de seturi de vectori, ce conţin

fiecare câte un vector propriu v din baza spaţiului şi vectori principali asociaţi

acestuia (în cazul în care sistemele ce produc vectori principali asociaţi lui v suntcompatibile).

jS n j λ= dim

jS λ

Familia ordonată a acestor seturi corespunde la o familie de celule Jordan

aşezate pe diagonala matricii formei canonice Jordan, şi determină o bază în

subspaţiul invariant asociat valorii proprii λ .

jn jn

jB

jV j

6. Se reunesc cele p baze ale subspaţiilor invariante , formând o bază jV

pBBBB ∪∪∪= …21'

a spaţiului vectorial nV .

7. Relativ la această bază ' matricea este matrice în formă canonică Jordan, şi are pe diagonală celulele Jordan asociate valorilor proprii

, dispuse în ordinea în care apar în baza B seturile de vectori (formate din

căte un vector propriu urmat, eventual, de vectorii principali asociaţi (daca aceştiaexistă).

B '][' BT A J ==

' pλλ ,...,1

Celulele Jordan au ordinul egal cu numarul de vectori din setul corespunzător, şiconţin valoarea proprie ataşată setului de vectori.

8. Se construieşte matricea jordanizatoare C , adică matricea C de

trecere de la baza B la B .BB ]'[=

'

9. Se verifică corectitudinea calculelor, testând relaţia AC C J 1−=

sub forma echivalentă . AC CJ =

Exemplu. Să se afle forma canonică Jordan a endomorfismului T ,)( 4

R End ∈

)617,7,24,2()( 432143212121 x x x x x x x x x x x x xT −−−−+++−−+= ,4

4321 ),,,( R ∈=∀ x x x x x .

Soluţia I. Matricea endomorfismului T relativ la baza canonică a spaţiuluivectorial este4

R

=

−−−−

−−

11617

1117

00240012

A .

Ecuaţia caracteristică 0 are soluţia multiplă de ordin .

Avem ra

4 =λ λ==λ 01 41 =m

ng( ) A I − =λ 2 , deci numărul celulelor Jordan este egal cu224dim)(rang =−==λ−− λS I An .

Ordinele celor două celule Jordan pot fi: ambele de ordin 2, sau una de ordin 3 şicealaltă de ordin 1.




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Determinăm situaţia în care ne aflăm, folosind indicele de nilpotenţă al restricţiei; pentru aceasta aflăm subspaţiul . Deoarece

11/1 V Id T N λ−=

V

41 )(Ker Id T λ−=V

44

2

2

11617

1117

0024

0012

)( xO I A =

−−−−

−−

=λ− ,

obţinem,

41

4

32

)(

)()()(

R =V =V =λ−=

=λ−=λ−⊂λ−=λ

Id T

Id T Id T Id T S

Ker

Ker Ker Ker

unde am notat prin Id transformarea idantică a spaţiului vectorial . Rezultă că indicele de nilpotenţă h al restricţiei este egal cu 2.

4R

1 N

Deoarece şi , rezultă că

numărul celulelor Jordan de tip hxh=2x2 este egal cu

4)(Ker dim 2 =λ− I T 2dim)(Ker dim ==λ− λS I T

224)(Kerdim)(Kerdim 2 =−=λ−−λ− J T J T .

Prin urmare forma Jordan este , unde .

=

20

01 J

J J

=

λ

λ==

00

10

0

121 J J

Soluţia II. Deoarece , rezultă că valorii

proprii îi corespund doi vectori proprii liniar independenţi pe care-ideterminăm rezolvând sistemul omogen dublu nedeterminat

2dim2)(rang =⇒=λ− λS I A

0=λ

=−−−−

=+++=−−

=+

⇔==λ−

.0617

07024

02

),,,(,0)(

4321

4321

21

21

4321

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x xvv I A t

Notând obţinem , deci soluţia generală

a sistemului are forma , sau .

x a x3 4= =, b

)

d

5/)(2,5/)( 21 ba xba x +=+−=

( )bababa ,,5/)(2,5/) ++ ba −≠vt (−= 0≠b

Deci există maximum doi vectori proprii liniar independenţi.Deoarece diferenţa dintre multiplicitatea algebrică şi cea geometrică a valorii

proprii este , vom determina 2 vectori principali, precum si vectorii proprii

cărora aceştia le corespund. Fie un vector principal; acestasatisface sistemul neomogen

224 =−

( 43212 ,,, uuuuw

t

=

=−−−−

=+++

+=−−

+−=+

⇔=λ−

.617

7

5/)(224

5/)(2

)(

4321

4321

21

21

2

buuuu

auuuu

bauu

bauu

vw I A

Notând obţinem soluţia sistemului (care este compatibil nedeterminat, verificaţi !),

u c u3 4= =,

R ∈∀ ba,

++−−−−+= d c

d cbad cbaw

t

,,25

1010717,

25

5562

.


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

R ∈λ⇒λ=><

><=

><

><=

><

><=λ

x x

xTx

x x

Tx x

x x

xTx

,

,

,

,

,

,.

2) Fie λ valori proprii ale lui T şi vectori proprii corespunzători.

Atunci avem

21 λ≠ V , ∈21 vv

,><λ>=λ>=<< 21121121 ,,, vvvvvTv

><λ>=<λ>=λ>=<>=<< 2122122212121 ,,,,, vvvvvvTvvvTv .

Prin scădere rezultă ; dar întrucât λ , avem

, deci cei doi vectori proprii sunt ortogonali.

0

T a

,)( 2121 >=<λ−λ vv 21 λ≠

0, 21 >=< vv

Observaţii. 1. Pentru un endomorfism antihermitic valorile proprii sunt pur

imaginare sau nule, iar vectorii proprii corespunzători au aceleaşi proprietăţi ca şi în

cazul hermitic.

2. Pe spaţiile euclidiene reale, toate r ădăcinile complexe ale polinomului

caracteristic ale unui endomorfism simetric sunt reale, iar valorile proprii (reale, încaz că acestea există) ale unui endomorfism antisimetric sunt nule. Dacă este un

spaţiu euclidian real n- dimensional, iar este simetric, atunci T posedă n

vectori proprii care constituie o bază ortogonală a lui . Această proprietate nu este

adevărată pentru un endomorfism antisimetric.

V n

)(V End T ∈

V n

Corolar. Fie un K -spaţiu vectorial n-dimensional, iar T un

endomorfism simetric ( pentru cazul K =R ), sau hermitic ( pentru cazul K =C).

nV )(n

V End ∈

Atunci exist ă o baz ă ortonormată astfel încât matricea [

endomorfismului T relativ la baza este matrice diagonal ă (deci endomorfismul T

este diagonalizabil).

nV ⊂'B ']B

'B

Exemplu. Ar ătaţi că endomorfismul T al spaţiului vectorial

euclidian complex dat prin matricea A este hermitic, apoi diagonalizaţi, unde

)( 3C End ∈

3 C

)(

400

03

03

3 C M i

i

A ∈

−

= .

Soluţie. T este endomorfism hermitic, deoarece baza canonică 3

321 )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ CB ⊂==== eee este ortonormată, iar matricea asociată endomorfismului relativ la această bază

este matrice hermitică (satisface relaţiaB][T A = A A t = ). Determinăm o bază

faţă de care matricea endomorfismului să aibă forma diagonală. Valorile

proprii sunt reale: λ λ , iar vectorii proprii corespunzători sunt

pentru λ = şi , pentru λ = , şi sunt ortogonali

doi câte doi. Normând vectorii proprii obţinem baza ortonormată

3CB ⊂′

0,,1(1 = iv

λ1 2 32= = =,

) 4 v

4

1,0,0(), 2 =v )0,1,(3 i= 2

=

==

=== 23

3

32

1

11 ,0,

2

1,

2,0,

2,

2

1' vu

i

v

vu

i

v

vuB .

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Matricea de trecere de la baza canonică la baza şi matricea diagonală

asociată sunt deci

'B

1/ 2 / 2 0

/ 2 1/ 2 0

0 0

i

C i

=

1

, .

=== −

400

020

0041

'][ AC C D B A

5.2. Teoremă. Fie V un spa ţ iu euclidian complex/real şi un

endomorfism unitar ( pentru K =C), sau ortogonal ( pentru K =R ). Atunci:

V)( End T ∈

1) Valorile proprii ale endomorfismului T au modulul 1.

2) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali.

3) Dacă V este spa ţ iu vectorial complex n-dimensional, atunci T posed ă n

vectori proprii ortogonali doi câte doi.

Demonstraţie. Demonstr ăm proprietăţile 1) şi 2). 1) Fie T un morfism unitar, λ ∈

o valoare proprie a acestuia, şi un vector propriu corespunzător lui λ .

Rezultă relaţiile

C

}0{\V ∈ x

,,,

,,,,

>>=<<

><λλ>=λλ>=<<

x x xT xT

x x x x xT xT

unde λ este conjugatul complex al lui λ . Prin scădere rezultă 0,)1( >=<−λλ x x .

Deoarece < , rezultă 0, >≠ x x λλ sau− =1 0 λ2

=1, adică λ =1.

2) Fie valorile proprii λ şi vectori proprii asociaţi respectiv celor două

valori proprii. Atunci

λ1 ≠ 2 2 x x

1,

>>=<< 2121 ,, x x xT xT şi ><λλ>=λλ>=<< 2121221121 ,,, x x x x xT xT .

Prin scăderea acestor relaţii, rezultă

0,)1( 2121 >=<−λλ x x .

Deoarece valorile proprii au modulul unu şi sunt distincte, rezultă 0121 ≠−λλ ,

deci , şi deci vectorii şi sunt ortogonali. 0, 21 >=< x x x1 x2

Exemplu. Să se aplice teorema de mai sus endomorfismului T dat

prin matricea .

)( 3R End ∈

})12{(\,

cos0sin

010

sin0cos

π+∈

=∈

−

−

k t Ak

t t

t t

Z

R ∪

Soluţie. Matricea A a endomorfismului relativ la baza canonică este matrice

ortogonală ( A A ), iar baza canonică este ortonormată relativ la produsul scalar

canonic (temă, verificaţi); deci endomorfismul T este ortogonal.

I t =

Verificăm că valorile proprii ale endomorfismului au modulul egal

cu unitatea şi că vectorii proprii (cu coeficienţi complecşi) corespunzători sunt

ortogonali. Valorile proprii ale lui , adică soluţiile ecuaţiei det( , sunt

33: R R C C C →T

T C 0) =λ− I A

t it t it sincos,sincos,1 321 −=λ+=λ−=λ .

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Se observă că 1321 =λ=λ=λ . Vectorii proprii corespunzători sunt, după normare

3

321 )1,0,(2

1),1,0,(

2

1),0,1,0( C∈=−== ivivv .

Se verifică usor relaţiile de ortogonalitate în 3C

0,,0,,0, 133221 >=<>=<>=< vvvvvv ,

deci este o bază ortonormată (verificaţi !) complexă, relativ la

care transformarea liniar ă este diagonalizabilă, cu matricea

diagonală asociată

3

321 },,{' CB ⊂= vvv

)( 3R C End T ∈C

==

−

+

−

t it

t it T D

sincos00

0sincos0

001

'][ B

C .

Se mai observă că deşi T nu este diagonalizabilă ca endomorfism al spaţiului

(deoarece ), putem ataşa vectorilor v şi vectorii reali (care nu sunt

vectori proprii pentru endomorfismul T ):

3R

R ⊄σ )(T 2 3v

)0,0,1(2

1)Im()Im();1,0,0(

2

1)Re()Re( 323322 −=−===== vvuvvu ,

iar aceştia verifică condiţiile de ortogonalitate

0,,0,,0, 323121 >=<>=<>=< uuuvuv ,

deci am obţinut baza ortogonală care nu este formată din

vectori proprii, produsă de baza ortogonală din C .

3

321 },,{ R B ⊂=′′ uuv

,,{' 321 vvv=B } 3

#6. Polinoame de matrice. Funcţii de matrice

Fie End ∈ un endomorfism al K -spaţiului vectorial n-dimensional

şi

)(n

V T V n

))( ija A = (,1,

K nnn ji M ×=

∈ matricea acestuia relativ la o bază a lui .V n

6.1. Definiţie. Oricărui polinom cu coeficienţi din corpul K ,

][)( 01

1

1 t at at at at Q m

m

m

m K ∈++++= −− … ,

îi putem asocia polinomul de endomorfisme

)()( 01

1

1 n

m

m

m

m End J aT aT aT aT Q V ∈++++= −

− …

,şi polinomul de matrice

,)()( 01

1

1 K nn

m

m

m

m M I a Aa Aa Aa AQ ×−

− ∈++++= …

unde este endomorfismul identic, iar este matricea

identitate de ordinul n .

)( n End J V ∈ )( K nn M I ×∈

Observaţie. Studiul polinoamelor de endomorfisme se reduce la studiul

polinoamelor de matrice; puterile de matrice se pot calcula relativ uşor, f ăcând uz de

forma canonică a matricilor respective, după cum urmează:

♦ dacă matricea A este similar ă cu o matrice diagonală D, atunci11221 ,,, −−− === C CD AC CD ACDC A mm

… ;



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

♦ dacă matricea A este similar ă cu o matrice Jordan J , atunci11221 ,,, −−− === C CJ AC CJ ACJC A mm

… .

6.2. Teorema Cayley-Hamilton. Fie o matrice şi polinomul

caracteristic al matricii A. Atunci are loc relaţia , unde O este matriceanulă de ordinul n.

)(K nn M A ×∈

O A P =)(

A P

n n

Demonstraţie. Pentru o matrice arbitrar ă )C , are loc relaţia( K nn M ×∈

I C C C )(det=⋅ + , (*)

unde C este reciproca matricii C . Fie şi polinomul

său caracteristic. Considerând , unde I este matricea unitate de ordinul n,

egalitatea ( devine

+ )( K nn M A ×∈

I λ

P A( ) det( )λ = − I λ

AC −=)∗

I P I A I A )())(( λ=λ−λ− + . (**)

Prin construcţie este o matrice de polinoame de grad n 1, deci are forma+

λ− )( I A −0

2

2

1

1)( B B B I A n

n

n

n ++λ+λ=λ− −−

−−

+… ,

unde ,)(M K nni B ×∈ 1,0 −= ni . Fie polinomul caracteristic al matricii A:

nk aaaa P k

n

n

n

n ,0,,)( 0

1

1 ∈∀∈++λ+λ=λ −− K … ;

atunci egalitatea ( se rescrie)∗∗

I aaa B B B B I A n

n

n

n

n

n

n

n )())(( 0

1

101

2

2

1

1 ++λ+λ=+λ++λ+λλ− −−

−−

−− …… ,

sau, grupând după puterile lui λ ,

=+λ−++λ−+λ− −−−− 001

1

211 )()()( AB B AB B AB B n

nn

n

n …

I a I a I an

n 01 )()( +λ++λ= …

Prin identificare obţinem relaţiile

I a AB I a B AB I a B AB I a B nnnn 0010112101 ,,,, ==−=−=− −−−− … .

Amplificând aceste relaţii la stânga respectiv cu şi apoi adunându-le

membru cu membru, obţinem

I A A A nn ,,,, 1…

−

=++++= −− I a Aa Aa Aa A P nn

nn

1

1

10)( …

0002

1

2

1

11 =++−+−+−= −−

−−

−− AB AB B A B A B A B A n

n

n

n

n

n

n

n…

Corolar. Dacă este un endomorfism, iar este polinomul

său caracteristic, atunci are loc egalitatea de polinoame de endomorfisme

.

)( nV

End T ∈ )(λ P

OT P =)(

Exemple. 1. Calculaţi polinomul de matrice , unde)( AQ

496)( 23 −+−= t t t t Q , .)(

211

121

112

33 R x M A ∈

=




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Soluţie. Polinomul caracteristic al matricei A este)496()4()1()det()( 232 −λ+λ−λ−=−λ−λ=λ−=λ I A P A

şi deci, în baza teoremei Cayley-Hamilton avem ; f ăcând uz de aceasta,

prin calcul direct rezultă Q

O A P A =)(

O A P A A =−= )()( .

2. Se dă matricea . Calculaţi matricea inversă folosind

teorema Cayley-Hamilton.

=

200

120

012

A A−1

Soluţie. Polinomul caracteristic al matricii este

3)2()( λ−=λ A P .

Se observă că termenul liber al polinomului (care este egal cu determinantul matricii)

este 8, deci nenul, şi prin urmare matricea A este inversabilă. Aplicând teoremaCayley-Hamilton, avem , adică 0)( = A P A

081260)2( 233 =−+−⇔=− I A A A I A ,

sau încă, I A I A A I A A A =⋅+−≡+−⋅ 8/)126(8/)126( 22

de unde, prin amplificare cu , rezultă 1− A

−

−

=+−=−

2/100

4/12/10

8/14/12/1

8/)126( 21 I A A A .

6.3. Teoremă. Fie o matrice de ordin n. Atunci orice polinom

în A de grad cel pu ţ in n, poate fi exprimat printr-un polinom de gradul n 1.

)(K nn M A ×∈

− Demonstraţie. Polinomul caracteristic ataşat matricei A este

))1(()1()( 11 n

nnnn P δ−++λδ−λ−=λ −… ;

aplicând teorema Cayley-Hamilton, rezultă că puterea maximă a matricii A înare expresia

n A

)( A P

.)1(

11

1 I A A n

nnn

δ−+−δ=

+−…

Observaţii. 1. Se observă că prin recurenţă toate puterile ale

matricii A de ordin n se exprimă cu ajutorul puterilor .

A pn p+ ∈, N

I A An ,,,1…

−

2. Fie un K - spaţiu vectorial şi o serie de puteri

Această serie are sens pentru (spre exemplu numere reale, numere complexe,matrice pătratice, funcţii, polinoame, endomorfisme etc.) dacă putem defini puterea

. În cele ce urmează vom presupune cunoscute rezultatele din analiza matematică privind convergenţa seriilor de puteri.

V K ∈= ∑ m

m

m

m at at f ,)( .

V ∈t

tm




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

6.4. Definiţii. Fie un endomorfism arbitrar şi A matricea

pătratică de ordinul n asociată lui T relativ la o bază din .

)(n

V End T ∈

V n

a) Se numeşte serie de matrice, iar suma acesteia se numeşte func ţ ie de

matrice, o serie de forma

N∈∀∈∑∞

=

ma Aa m

m

m ,,0

K m .

b) Se numeşte serie de endomorfism, iar suma acesteia se numeşte func ţ ie de

endomorfism, o serie de forma

N∈∀∈∑∞

=

maT a m

m

m ,,0

K m .

Observaţii. 1. Pe spaţiile finit dimensionale, studiul seriilor de endomorfisme

se reduce la studiul seriilor de matrice.

2. Conform consecinţei teoremei Cayley-Hamilton, funcţia de matricese reduce la un polinom Q A de gradul n 1 în A, unde n este

ordinul matricei A. Dacă este convergentă, atunci coeficienţii polinomului

sunt serii convergente.

m

m

m Aa A f ∑∈

=N

)(

Q A( )

( ) −

a Am

m

m ∑

3. În cazul când A admite valorile proprii distincte, , polinomul de

gradul n 1 ataşat seriei ∑ se poate scrie în forma Lagrangenλλ ,,1 …

− a Am

m

m

)()())(()(

)())(()()(

1 111

111 j

n

j n j j j j j j

n j j f

I A I A I A I A A f λ

λ−λλ−λλ−λλ−λ

λ−λ−λ−λ−= ∑

= +−

+−

……

……

,

sau sub forma

f A Z f j j

j

n

( ) ( ),==

∑ λ1

(1)

unde nu depind de funcţia f şi deci pot fi determinate prin

particularizarea funcţiei f . În cazul valorilor proprii multiple se arată că

)(K nn j M Z ×∈

∑ ∑=

−

=

λ= p

k

m

j

k

j

kj

k

f Z A f 1

1

0

)( )()( ,

unde sunt valorile derivatei de ordinul j a lui f , iar Z sunt

matrice independente de funcţia f .

f j( )(.)

kj n n∈ ×M ( )K

4. În particular putem defini următoarele funcţii de matrice

∑∑∑ ∞

=

∞

=

+∞

=

−=+

−==0

2

0

12

0 )!2()1(cos,

)!12()1(sin,

! m

mm

m

mm

m

m A

m

A A

m

A A

m

Ae .

Seriile din membrul drept având raza de convergenţă . Funcţia de matrice e senumeşte matricea exponen ţ ial ă. Deseori, în loc de e vom utiliza funcţia de matrice

(de exemplu, în teoria sistemelor diferenţiale liniare cu coeficienţi

constanţi).

∞ A

A

e tAt, ∈ R




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Exemplu. Calculaţi funcţia de matrice e , unde .At

= −

400

130

322

A

Soluţie. Valorile proprii distincte ale matricii A sunt4,3,2 321 =λ=λ=λ ;

prin înlocuire în relaţia (1) obţinem

321 )4()3()2()( Z f Z f Z f A f ++= . (2)

Matricele Z j nu depind de f ; le aflăm particularizând funcţia f succesiv:j, ,,=12 3

32122

321

321

1694)()(

543)(1)(

321)(1)(

Z Z Z A A f z z f

Z Z Z I A A f z z f

Z Z Z I A A f z z f

++=≡⇒=

++=+≡⇒+=

⋅+⋅+⋅=−≡⇒−=

de unde obţinem sistemul matriceal

=++

+=++−=++

2321

321

321

1694

54332

A Z Z Z

I A Z Z Z

I A Z Z Z

,

care admite soluţia

)65(2

1,86),127(

2

1 23

22

21 I A A Z I A A Z I A A Z +−=−+−=+−= .

Pentru , prin înlocuirea funcţiei f şi a soluţiei în relaţia (2),

obţinem

f A eAt

( )= 321 ,, Z Z Z

])65()86(2)127[(2

1 423222 t t t At e I A Ae I A Ae I A Ae +−+−+−++−= .


1. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale de clasă pe intervalul deschis. Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii ai endomorfismului

C ∞

( ,)01

: , ( ) , unde ( ) ( ), (0,1)T T f g g x xf x x′→ = = ∀ ∈V V .

R : { }( ) ; ( ), ( ) , (0,1),T T S f f x cx xλ σ λ σ

λ = ∀ ∈ = = ∀ ∈ ∈R R c .

2. Diagonalizaţi matricea A. Formulări echivalente :

♦ să se determine o bază formată din vectori proprii ai transformării liniare T a căreimatrice asociată relativ la baza canonică este A, T ; AT End =∈ BR ][),( 3

♦ să se determine o bază în care transformarea T are matricea asociata diagonală;♦ să se afle valorile proprii şi vectorii proprii ai transformării liniare T ai matricei A.

a) , b) , c) ,

=

−−

−

−

444

174

147

A

=

−−

−−

163

053

064

A

=

−100

002

023

A




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

d) , e) , f)

=

−

−

−

422

633

211

A

=

−−− 122

020

021

A

=

−−−

221

342

573

A

R . a) σ( A)={3,3,12}, b) σ ( A)={1,1,-2}, c) σ ( A)={-1,-1,4}, d) σ ( A)={2,0,0},

e) σ (A)={-1 ,1, 2}.Vectorii proprii - temă a,c,d,f . b) B ,

.

)}1,1,1(),1,0,0(),0,1,2({ 321 −==−==′ t t t vvv

−

=′200

010

001

B

=

−−

=′= ][,

110

101

102

][B

B T DC

e) B , C .)}2,1,2(3),1,0,1(2),1,0,0(1{ −=−===′ t v

t v

t v

−

=

−−

=

200

010

001

,

211

100

210

D

3. Să se determine polinomul caracteristic al matricei Frobenius

=

−

0100

0000

0001121

…

…

…

… nn p p p p

A , unde .R ∈n p p …,1

R. .)()1()()( 12

22

21

11

nnn

nnnn

A p p p p p P +λ+λ++λ+λ−+λ−=λ −−−−−

…

4. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor reale continue pe intervalul. Aflaţi valorile proprii şi vectorii proprii pentru endomorfismul

0[0,1]C =]1,0[

1

0: ( ) , unde ( ) ( ) , [0,1]T , T f g g x x f t dt x→ = = ∀ ∈∫V V .

R : { } { }1

0 102

1( ) 0, ; ( ) 0 , ( ) ,

2T S f f t dt S f f x cx c

λ λ

σ ==

= = ∈ = = ∈ =

∫ R V V ∈ .

5. Să se studieze dacă matricea poate fi diagonalizată. În

caz afirmativ aflaţi matricea modală (diagonalizatoare) C .

=

−−62012200

0020

1002

A

R. Da. .

=

==λ=λ=λ=σ−

−

5100

2201

0010

1102

7000

0100

0020

0002

,},7,1,2{)( 432,1 C D A

6. Date fiind matricile care satisfac relaţia pentru

un scalar , să se arate că polinoamele caracteristice ale acestora satisfac relaţia

)(, R nn M B A ×∈ nbI A B −=

R ∈b)()( b P P A B +λ=λ .




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

deoarece A este matrice simetrică, transformarea T este diagonalizabilă; vectorii

bazei ortonormate căutate sunt coloanele matricii modale C .

b) A este matrice simetrică, deci diagonalizabilă; se obţine:

=′−−=σ

−0,

5

1,

5

2,,0,

5

2,

5

1)1,0,0(},4,1,1{)( B A .

11. Să se verifice următoarele afirmaţii:

a) Matricea este hermitică (

=

−

400

03

03

i

i

A At = A ). Transformarea liniar ă

asociată T este diagonalizabilă; determinaţi o bază ortonormată în C

formată din vectori proprii ai transformării T .

)3C( End ∈ 3

b) Matricea este unitar ă (

=

−

−

100

001

010

A A A I A t t =⇔= −1 A ), iar

transformarea liniar ă asociată T este unitar ă şi orice valoare proprie a sa

are modulul egal cu unu .

)3C( End ∈

12. a) Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii şi apoi să se

diagonalizeze matricea ortogonală .)(3

cos0sin

010

sin0cos

C M A ∈

=

θθ

θθ−

b) matricea simetrică .)(3

021

200

100

R M A ∈

=

−−

−

−

R. a) Matricea transformării este diagonală, , relativ la baza

diagonalizatoare B ;

−

=

100

010

001

D

(sin),0,1,0( 3 θ=v )}1cos,0,),1cos,0,(sin{ 21 −θ=+θθ==′ vv

b) 1 2 3

0 0 00 5 0

0 0 5

{ ( 2,1,0), ( 1, 2, 5), ( 1, 2, 5)},v v v D

−

′ = = − = − − = − − − =

B .

13. Fie V un spaţiu euclidian complex şi un endomorfism

hermitian. Să se arate că e , reprezintă un endomorfism unitar.

V V →:T

1, 2 −=iiT

R. Notând şi folosind relaţiile][],[ iT e BT A == A Ae B t iA == , , rezultă

I eeeeeee B B O A AiiA AiiA AiiA Ait t t t t

====== −+−−− )()( .




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

14. Se dau următoarele matrici diagonalizabile

.

−

−

=

−−

−−=

402

000

201

c) ,

42-2

63-3

21-1

= b) ,

163

053

064

)a A A A

Să se calculeze şi , folosind relaţia existentă între matricea A şi forma

sa canonică diagonală D, , unde C este matricea de trecere de la baza

canonică la noua bază, relativ la care se realizează forma diagonală.

1999 A

D

Ae

C 1− AC =

R . Temă b, c. a) C , de unde rezultă 1,

2-00

010

001

,

110

101

102−==

−

−

−

=

CDC A D

1

2

00

01

e0

001

e

;1

1999

2-00

010

001119991999 −

−=

−=

−=

C

e

C A

eC C C CD A .

15. Folosind teorema Cayley – Hamilton pentru matricile următoare

a) ; b) , să se determine:

−=

20

21 A

−

−

=

110

012

121

A

♦ polinomul de matrice , unde ;)( AQ 2)( 24 +−= t t t Q

♦ dacă matricea A este inversabilă; în caz afirmativ să se calculeze inversa acesteia.

R . Temă b). a)

.

−=−=⇒=+−⇒+λ−λ=λ

140

2421012)(02323)( 22

22 I A AQ I A A P A

Cum are termenul liber nenul, A este inversabilă; din relaţia dată de teoremă,

rezultă

A P

=+−=

−⇒=+−

2/10

112

2

3

2

1122

2

3

2

1 I A A I I A A .

16. Folosind teorema Cayley – Hamilton aflaţi şi pentru matricile1− A n A

a) ; b) .

−

−=

11

01 A

=

210

020

003

A

R. a) ; conduce la , de unde

.

b)

1

2

1 02

1 1 A A I − −

= − − = − −

1 12 2n n n n x x x x+ − += − − ⇒ +

1

1

( 1)0

1 ( 1)

n

n

n

n n

x

y x

+

−

= −⇒

= − = − −

2

n

n n A x A y I = +

1 1n n x x −+ = ⇒ =

1)n −( 1)

n n⇒ = −

1

1

2n n

n n

x x

y x

+

+

= − +

= −

1) ( 1)n n nb− 1 11,

2,

x y

x y

= −

2

( 1)

( 1)(1 )

n

n

nn I

−− =

n y

0 (n x a− +

(

a

b

=

= −

1( 1) A nA

+ + −

2 2

0

1

= =⇒

= −

1

0

( 1)n n−

− −

)167(12

1

3

21 I A A +−= A

A− , .

=− nn

n

n

n

n 220020

003

1




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

Expresia din membrul drept se numeşte expresia analitică a formei biliniare faţă de baza considerată B.

Matricea ( A = de elemente se numeşte

matricea formei biliniare în raport cu baza . Notăm . Dacă introducem

matricele coloană

)() ,...,1, K nnn jiij M a×= ∈

A

),( jiij eea A =

B][ A = AB

),(1 K ×∈ nn M )( == j jt y),()( 1,1 K ×= ∈= nn j jt M x X ,1Y formate dincoeficienţii vectorilor x şi y, atunci expresia analitică (2) a formei biliniare poate fiscrisă sub forma matriceală

Y A X y x t =),( A . (3)

Observaţie. Aplicaţia care asociază fiecărei forme biliniare

matricea ei în raport cu o bază dată a spaţiului este un izomorfism între spaţiulvectorial şi spaţiul vectorial . Drept urmare

K V V →× nn: A

V n

))( K ,V n B (K nn M ×

2)(dim)(dim n M Bnnn

==×K K ,V .

Teoremă. O formă biliniar ă este simetrică / antisimetrică

dacă şi numai dacă matricea formei într-o baz ă arbitrar ă fixat ă a spa ţ iului este

simetrică /antisimetrică.

)( K ,V n B∈ A

nV

Demonstraţie. Admitem că este o formă simetrică; dacă este

matricea formei într-o bază , avem

A

= {n jiija A ,...,1,)(

==

nnee V ⊂},,1 …B

jii j jiij aeeeea == ),(),( A A =

deci . Reciproc, admitem că există o bază a spaţiuluiastfel încât matricea este simetrică. Atunci ∀ avem

A t= A nnee V ⊂= },,{ 1…

B

∈x y , V n jiija A ,...,1,)( =

=

. ),()(),( y x XAY AY X X AY x y t t t t t A A ====

1.3. Teoremă. Dacă )()(]'[

,1,K nnn jiij M cC

×= ∈== BB

nV ⊂} },,{' 1 nee ′′= …

este matricea de

trecere de la baza B la baza B din , iarnee= ,,{ 1 … V n

n jiijn jiij a Aa A,1,',1,

)'(][',)(][==

==== BB A A

sunt respectiv matricele unei forme biliniare fa ţă de cele două baze,

atunci are loc rela ţ ia

)( K ,V n B∈ A

.' CAC A t =

Demonstraţie. Fie descompunerile a doi vectori

arbitrari relativ la baza . Notând

n

n

j

j j

n

i

ii y xe y ye x x V ∈′′=′′= ∑∑==

,,,11

},,{' 1 nee ′′= …Bn j j

t

n j j

t yY x X ,1,1

)(,)(==

′=′′=′ şi

n jiija A,1,

)'('=

= , unde n jieea jiij ,1,),,(' =′′= A

Y A X y x t ′′= '),( A

Y CAC X Y C A X C t t t ′′=′′= )()()(

este matricea formei biliniare faţă

de baza B , atunci . Pe de altă parte, matricele coloană X,Y şi

ale lui x şi y relativ la cele două baze satisfac relaţiile ′, deci

avem . Rezultă

A

CY

'

y x,

′X Y , ′ X CX Y = ′ =,

XAY t =)( A

Cap.IV. Forme biliniare şi pătratice92

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d

e n t W

e b C o p

y

n

n

t t t M Y X Y CAC X Y B X R R ≡∈′′∀′′=′′×

)(,,)( 1 ,

de unde, prin identificare obţinem .' CAC A t =

1.4. Definiţii. Fie şi matricea formei biliniare

relativ la o bază B .

)( K ,V n B∈ A B][ A = A A

nV ⊂

a) Dacă A este nesingular ă/singular ă, atunci forma biliniar ă se numeştenedegenerat ă /degenerat ă. Rangul matricei A se numeşte rangul formei biliniare .

A

A

b) Fie o formă biliniar ă simetrică. Mulţimea)( K V, B∈ A

},0),({ V V ∈∀=∈= y y x x A A Ker

se numeşte nucleul formei biliniare . A

Observaţie. este un subspaţiu vectorial al lui V . A Ker

Într-adevăr, pentru avem . Pentru, rezultă .

A Ker , ∈vu+ ,(), wvl w A

V ∈∀== wwvwu ,0),(,0),( A A

A Ker 0),( ∈+⇒=+ lvkuwlvkuk l, ∈ K ⇔= 0)(uk A A

Teoremă (teorema rangului). Fie o formă biliniar ă. Atunci

are loc rela ţ ia

)( K ,V n B∈ A

.)Kerdim(rang A A −= n

1.5. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi o formă biliniar ă simetrică. Funcţia determină unic funcţia

)( K V, B∈ A

, A K V →:Q

V ∈∀= x x x xQ ),,()( A ,

care se numeşte formă pătratică (asociat ă formei biliniare ). A

Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice Q permite recuperarea formei biliniare simetrice . Într-adevăr, relaţiile A

V ∈∀++=

=+++=++=+

y x y y y x x x

y y x y y x x x y x y x y xQ

,),,(),(2),(

),(),(),(),(),()(

A A A

A A A A A

şi proprietatea de simetrie implică V ∈∀= y x x y y x ,),,(),( A A

V ∈∀−−+= y x yQ xQ y xQ y x ,)},()()({21),( A .

Forma biliniar ă simetrică asociată formei pătratice Q se numeşte forma polar ă

sau forma dedublat ă a formei pătratice Q .

A

Exemplu. Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real (care este o

formă biliniar ă simetrică) este pătratul normei euclidiene:

V ∈∀>==< x x x x xQ ,,)(2

.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

avem ; deci . Reciproc, dacă rezultă aşa încât

dim dim dimU U + =⊥

}0{=⊥U U I

V U U V ⊕ =⊥V U U =⊕ ⊥ ,

U A

)( xQ3

R

este nedegenerată.

2221 4 x x x +−=

213 02 =− x x

22 ,2 x y x =−

)( y =

=U

U ⊥

{ 3∈ y R=U

23U )( y yQ =

)0,1,2(),1,0,0( 21 == uu

A

),( = y x A

2,0 213 =−= y y y

A

R ∈a,0

U

∈ A

.0),( == x x A

∈ A

ee= ,,{ 21B

13 ix x ±=

Exemplu. Ar ătaţi că forma pătratică

23 este nedegenerată pe spaţiul V = , dar restricţia acesteia la subspaţiul

3}{ R R ⊂∈ x

este degenerată având rangul egal cu unitatea. Aflaţi complementul ortogonalrelativ la Q al subspaţiului vectorial U .

Soluţie. Efectuăm schimbarea de coordonate sugerată de ecuaţia subspaţiuluiU ,

33211 , x y x y == .

În noile coordonate, forma pătratică devine Q , iar subspaţiul U

este descris prin

2321

21 4 y y y y ++

}01 = y . Se observă că restricţia formei pătratice la

acest subspaţiu, are rangul unu.

Pentru a obţine complementul ortogonal , consider ăm o bază în U formată dinvectorii şi impunem condiţiile

U ⊥

,0),(,0),( 21 == yu yu A

care determină forma vectorilor y din subspaţiul , unde forma polar ă asociată

lui Q, obţinută prin dedublare are expresia

⊥U

3332211 ,,4 R ∈∀+− y x y x y x y x .Rezultă 0 cu soluţia generală , deci=== ya ya y ,2, 321

3)})0,2,1({(})0,2,({ R R ⊂=∈=⊥ Laaa .

1.7. Definiţie. Un vector x se numeşte izotrop în raport cu o formă biliniar ă simetrică ) (sau în raport cu forma pătratică asociată Q) dacă

Observăm că vectorul nul 0 al spaţiului este totdeauna izotrop.

∈V

( K V, B

)( xQ

Exemplu. Se dă forma biliniar ă

33311

3 ,,),(,),( CCC ∈∀+= y x y x y x y x B A .

Forma pătratică asociată este . Din rezultă , deci

vectorii izotropi ai formei sunt şi cu .

23

21)( x x xQ +=

),,( 121 ix x x (

0)( = xQ

), 1ix− x, 21 x x C∈21 , x

1.8. Definiţie. Fie o formă biliniar ă simetrică. Se numeşte baz ă

ortogonal ă în raport cu forma biliniar ă (sau în raport cu forma pătratică asociată Q), o bază cu proprietatea

)( K ,V n

B∈ A

nne V ⊂} A

,K

n ji jiee ji ,1,,,0),( =≠∀= A ,

adică vectorii acesteia sunt ortogonali doi câte doi relativ la forma . A




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Observaţie. În raport cu o bază ortogonală matricea formei este diagonală

(temă, verificaţi),

==

nna

a

a

A

K

OMMK

K

00

000

00

22

11

][ B A .

Atunci, notând niaiii ,1, ==a , expresiile analitice ale formei biliniare şi ale

formei pătratice asociate Q devin expresii canonice, fiind de forma

A

∑∑==

==n

i

iiii

n

i

i xa xQ y xa y x1

2

1

.)(,),( A

#2. Reducerea formelor pătratice la expresia canonică

Fie un K -spaţiu vectorial, şi fie o formă pătratică pe V

exprimată prin matricea simetrică relativ la o bază fixată a

spaţiului V , şi având expresia analitică

V n },{ CR ∈ K

B][Qn

A = },,{ 1 nee K=B

n

),,(,,)( 111 n

t

nnn

t x x X e xe xv XAX vQ KK =∈++=∀= V .

O schimbare a bazei în V induce schimbarea de coordonate'BB a n

X C X X X ′=,'a ,

unde este matricea de schimbare de bază. Deci relativ la noile coordonate

expresia analitică a formei pătratice Q este ' , iar matricea asociată B

B ]'[=C

'')( X A X vQ t =

CAC Q A t == '][' B ,

este tot o matrice simetrică (!). Prin urmare matricea unei forme pătratice relativ la o

baz ă poate fi în particular matrice diagonal ă , dar nu poate fi niciodat ă matrice

Jordan cu celule de ordin mai mare decât 1.

În cele ce urmează, vom prezenta trei metode de obţinere a unei bazerelativ la care matricea a formei pătratice Q este diagonală, deci relativ la care

forma pătratică Q are o expresie canonică.

'B

' A

2.1. Teoremă (metoda Gauss). Dacă este o formă pătratică ,

atunci exist ă o baz ă în V care este ortogonal ă în raport cu Q (deci relativ la care Q

are o expresie canonică).

K V →nQ:

n

Demonstraţie. Inducţie după dimensiunea n a spaţiului vectorial. .Fie

o bază a spaţiului V şi expresia analitică asociată formei Q relativ la această bază,

},,{ 1 nee K=B

n

nnn ji

n

i

n

j

ij e xe xv x xavQ V ∈++=∀= ∑∑= =K11

1 1,)(


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Dacă niaii ,1,0 ==

0

iar Q nu este identic nulă, atunci există cel puţin un element

cu iaij ≠ j≠ ; atunci, prin transformarea de coordonate

∈′=

′−′=

′+′=

}{\1 i,j ,nk ,k

xk

x

j xi x j x

j x

i x

i x

expresia formei pătratice devine ,în care cel puţin unul din

elementele diagonale

ji

n

ji

ij x xavQ ′′′= ∑=1,

)(

niaii ,1, =′ este nenul, căci x x . x xi j′ − ′2 2

i j =

Notăm cu baza lui V faţă de care coordonatele lui x sunt

. Admiţând că i , matricea de trecere de la baza B la este

}',,'{ 11 n f f F K=

j<n

ni xi ,,1, K=′ 1 F

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

i

j

C

i j

← =

− ←

↑ ↑

L L L

L L L

M M O M L M L M

L L L

M M L M O M L M

L L L

M M L M L M O M

L L L

Făr ă a micşora generalitatea, putem admite că a ; atunci putem scrie′ ≠11 0

ji

n

ji

ijk

k

k x xa x xa xavQ ′′′+′′′+′′= ∑∑≠= 1,

12

12

111 2)( .

Adăugăm şi scădem termenii necesari pentru a obţine pătratul formei liniare,1212111 nn xa xa xa ′′++′′+′′ K

în expresia formei pătratice Q; rezultă ,)(

1)(

2,

21212111

11 ji

n

ji

ijnn x xa xa xa xaa

vQ ′′′′+′′++′′+′′′

= ∑=

K

unde nu conţine pe ′. Fie baza din V faţă de

care coordonatele şi ale vectorului v să satisfacă egalităţile

′′ ′ ′=

∑a x xiji j

n

i j,

,2

x1 }'',,'',''{ 212 n f f f F K= n

' x '' x

=′=

′′++′′+′′=

.,2,''

'' 122121111

n j x x

xa xa xa x

j j

nK



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

=

−=

−

100

110

001

100

110

0011

3C

Coloanele acesteia furnizează noua bază, B ,

relativ la care obţinem prin înlocuire expresia formei Q, .

},,{' 32322113 eeeeeee F ′′+′′=′′′′′=′′′′′=′′′==

22

21)( x xvQ ′′′−′′′=

Această expresie reprezintă o expresie canonică a formei pătratice Q, fiind o sumă

algebrică de pătrate. Matriceal, are loc relaţia de unde rezultă

matricea C de trecere de la baza naturală (iniţială) a spaţiului

1 2 3 X C C C X CX ′′′ ′′′= ≡

321][ C C C =′=B

B3

R

)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB

la baza descrisă mai sus, relativ la care Q are o expresie canonică.3' F =B

2. Folosind metoda Gauss, aflaţi expresia canonică şi baza în care se

realizează aceasta, pentru forma pătratică 3 2 2 2 3

3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3: , ( ) 4 6 9 12 10 2 , ( , , )Q Q v x x x x x x x x x x x x x→ = + + + − − ∀ =R R R∈ ,

exprimată analitic în baza canonică a lui .3 R

Soluţie. Fie . Restrîngând succesiv pătratele ce

conţin variabilele în expresia lui Q, obţinem

3

1 1 2 2 3 3v x e x e x e= + + ∈ R

32 , x x1 , x

2 2 2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

2 2 2

1 2 3 2 2 3 3

1 36 25 20 ( ) (9 6 5 ) 6 4 2

9 9 9 3

1 14 11(9 6 5 ) 2

9 3 9

Q x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

= + − − − + + + −

= + − + + + =

=

22 2

1 2 3 2 3 3 3

1 1 7 49(9 6 5 ) 2

9 2 3 18 x x x x x x x

= + − + + − + =

211

9

2

2 2 2

1 2 3 2 3 3 1 2

1 1 7 3 1 1(9 6 5 ) 2 ,

9 2 3 2 9 2 x x x x x x y y y

= + − + + − = + −

2 2

3

3

2

unde am notat 333223211 ,3

72,569 x y x x y x x x y =+=−+=

},,{ 321 eee ′′′=′

)}1,0,0(),0,1,0( 32 == eB B′

, iar sunt

coordonatele vectorului v relativ la baza B ortogonală relativ la forma

pătratică Q, în care expresia formei este canonică. Ţinând cont de formulele de

schimbare de coordonate de mai sus, obţinem matricea de trecere de la baza canonică la baza ,

1 2 3( , , ) y y y

),0,0,1({ 1 == ee

19 6 5 1/ 9 1/ 3 4 / 3

0 2 7 / 3 0 1/ 2 7 / 6

0 0 1 0 0 1

[ ]C

−− −

= −

′≡ =

BB

.

Examinând coloanele acestei matrici, rezultă că baza este formată din vectoriiB′

1 1 2 1 2 3 1 2

1 1 1 4 7, ,

9 3 2 3 6e e e e e e e e e

′ ′ ′ ′= = = − + = − +

B 3,

iar matricea formei Q relativ la această bază este . '

1/ 9 0 0

' [ ] 0 1/ 2 0

0 0 3/ 2

B A Q

= =

−


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

Dar, prin construcţie, pentru0),( =′ ji ee A j i< , deci pentru0=′

ija j i< . De

asemenea, datorită simetriei formei biliniare rezult ă 0 şi pentru A =′ija j i> . Deci

pentru i0=′ija j≠ , iar pentru j i= avem

.,1,),(),(),(

),(),(

111,11

11

niceeceeceec

ececeeea

i

iiiiiiiiiiiii

iiiiiiiii

=∆

∆==′+′++′=

=++′=′′=′

−−− A A A

A A

K

K

Deci în baza forma pătratică are o expresie canonic ă,B′

2

1

1

1,

)( i

n

i i

in

ji

jiij x x xb xQ ′∆

∆=′′= ∑∑

=

−

=

,

iar matricea asociată acesteia este

∆∆

∆∆

=′==′

−

=′

nn

n jijaQ A

1

10

,,1,1

0

0/

)(][

K

MOM

K

KB .

Exemplu. Folosind metoda Jacobi, aflaţi expresia canonică şi baza în care se

realizează aceasta, pentru forma p ătratică 3

321313221

2

3

2

2

2

1 ),,(,16887)( R ∈=−−−++= x x x x x x x x x x x x x xQ .

Soluţie. Matricea formei p ătratice relativ la baza canonică a spa ţiului este3 R

=

−−

−−

−−

148

474

841

A .

Minorii principali { ai acesteia sunt3,2,1} =∆ ii

729det,974

41,1 32111 −==∆−=

−

−=∆==∆ Aa .

Folosind formula (*), rezultă expresia canonic ă a formei p ătratice,

2 2

1 2

1 1 ( )

9 81Q x x x x′ ′= − + 2

3′ ,

Prin dedublare obţinem forma biliniar ă asociat ă

1 1 2 2 3 3

1 1

( , ) 9 81 x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′= − + A

.

Noua bază } se ob ţine rezolvând succesiv sistemele ce furnizează

coeficienţii descompunerii vectorilor relativ la baza iniţială, după cum

urmează:

,,{ 321 eee ′′′=′B

321 ,, eee ′′′

111111 11),(; eeaeeeae =′⇒=⋅=′⋅=′ A ;

212

22

12

2129

1

9

4

174),(

041),(; eee

baee

baeeebeae +−=′⇒

=+−=′

=−⋅=′⋅+⋅=′

A

A ;



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

3 1

3 1 2 3 3 2 3 1 2

3 3

( , ) 1 4 8 08 4 1

; ( , ) 4 7 4 081 81 81

( , ) 8 4 1

e e a b c

e a e b e c e e e a b c e e e e

e e a b c

′ = ⋅ − − =

′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + − = ⇒ = − − + ′ = − − + =

A

A

A

3

deci în final obţinem

}81

1

81

4

81

8

,9

1

9

4

,{ 321321211 eeeeeeeee +−−=′+−=′=′=′

B ,

cu

matricea de trecere de la baza canonică la noua baz ă B ' de coeficien ţi

−

−−

=

81/100

81/49/10

81/89/41

C .

2.3. Teoremă (Metoda valorilor proprii). Fie un spa ţ iu vectorial real

euclidian şi o formă pătratică real ă. Atunci exist ă o baz ă ortonormat ă

a spa ţ iului vectorial relativ la care expresia canonică a

formei este

V n

RV →nQ :

},,n

e′K,{21

ee ′′=′B V n

∑=

′⋅λ=n

i

ii xvQ1

2 ,)(

unde sunt valorile proprii ale matricei formei pătratice relativ la o

baz ă ortonormat ă B ( fiecare valoare proprie fiind inclusă în sumă de at tea ori cτ

multiplicitatea sa), iar sunt coordonatele vectorului v relativ la baza .

nλλλ ,,, 21 K

),,( 1 n x x ′′ K B′

Demonstra ie. Fie A matricea asociată lui Q într-o baz ă ini ţială B a lui . Ca

matrice reală şi simetrică, matricea are n valori proprii reale(unele pot fi egale) şi se poate diagonaliza. Baza formată

din vectori proprii ortonormaţi ai matricei A determină matricea diagonalizatoare C

care este ortogonală ) . Q are relativ la aceast ă baz ă o expresie canonic ă

deoarece matricea ei relativ la această baz ă este

V n

B][Q A =nλλ ,,1 K },,{ 1 nee ′′=′ KB

( 1−= C C t

λ

λ

λ

==== −′

n

t CAC AC C Q D

K

MOMM

K

K

00

00

00

][2

1

1

B .

Exemplu. Folosind metoda valorilor proprii, afla ţi expresia canonică şi baza

în care se realizează aceasta, pentru forma p ătratică din exemplul anterior,

,),,(,81687)( 3

321323121

2

3

2

2

2

1 R ∈≡−−−++= x x xv x x x x x x x x xvQ

exprimată relativ la baza canonic ă a lui ,3 R

Soluţie. Matricea asociat ă formei p ătratice relativ la baza canonică

)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({ 321 ==== eeeB ,

este ortonormată fa ţă de produsul scalar canonic, şi are coeficienţii


S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

=

−−

−−

−−

148

474

841

A .

Valorile proprii ale acestei matrici sunt λ (temă – verificaţi !), iar

vectorii proprii ortonormaţi corespunzători valorilor proprii sunt

9,9 321 =λ=λ−=

−=′−=′=′

53

4,

53

2,

53

5

3,

5

1,

5

2,0

2,

3

2,

3

1,

3

2

1eee ,

deci matricea de trecere la noua bază B este},,{ 321 eee ′′′=′

⋅=′′′= −

−

4352

265

5052

53],,[ 321 eeeC

Efectuând schimbarea de coordonate asociată schimbării de bază, rezultă

expresia canonică a formei pătratice Q,

X CX = ′

2

3

2

2

2

1 999)( x x xvQ ′+′+′−= .

Comparaţia celor trei metode

1) Metoda Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma

canonică, dar nu furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza

căreia se determină noua bază.

2) Metoda Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a formei canonice

(de exemplu în aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcţii reale), f ăr ă a fi

interesaţi şi de baza corespunzătoare (care se obţine printr-un calcul mai laborios).

Metoda prezintă dezavantajul că presupune neanularea tuturor minorilor { .nii ,,1}K=∆

3) Metoda vectorilor proprii este eficace, producând o formă canonică şi o

bază canonică ortonormată faţă de produsul scalar preexistent. Dezavantajul acestei

metode este că include calculul r ădăcinilor polinomului caracteristic al matricii

asociate formei pătratice, r ădăcini care pot fi iraţionale (şi deci aflarea lor necesitând

tehnici de calcul de analiză numerică).

#3. Signatura unei forme pătratice reale

Există formele pătratice reale care iau totdeauna valori pozitive (cum ar fi,

spre exemplu, pătratul unei norme ce provine dintr-un produs scalar); în cele ce

urmează vom detalia noţiunile ce conduc la stabilirea semnului valorilor pe care le

poate lua o formă pătratică.

3.1. Definiţii. a) O formă pătratică se numeşte pozitiv / negativR →V :Q

semidefinit ă dacă / , pentru orice v .0)( ≥vQ 0)( ≤vQ V ∈

b) Forma pătratică Q se numeşte pozitiv definit ă / negativ definit ă dacă

/ , pentru orice .0)( >vQ 0)( <vQ }0{\V ∈v

S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

c) Dacă există aşa încât şi aşa încât spunem

că forma pătratică Q este nedefinit ă.

V ∈v 0)( >vQ V ∈w 0)( <wQ

d) O formă biliniar ă simetrică se numeşte pozitiv definit ă (respectiv

negativ definit ă , pozitiv semidefinit ă , negativ semidefinit ă) dacă forma

pătratică asociată Q are proprietatea corespunzătoare.

),( R V B∈ A

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial real este o formă

biliniar ă simetrică şi pozitiv definită.

Reducerea la expresia canonică prin metoda lui Jacobi permite obţinerea unei

condiţii necesare şi suficiente pentru ca o formă pătratică să fie pozitiv

definită (respectiv, negativ definită), după cum rezultă din următoarea

R →nQ V :

Teoremă (criteriul lui Sylvester, teorema inerţiei). Se d ă forma pătratică . Dacă sunt îndeplinite condi ţ iile teoremei

Jacobi, atunci au loc următoarele afirma ţ ii:

R →nQ V :

1) Q este pozitiv definit ă dacă şi numai dacă nii ,1,0 =>∆ ;

2) Q este negativ definit ă dacă şi numai dacă nk k

k ,1,0)1( =>∆− .

3.2. Definiţie. Fie o expresie canonică a formei pătratice

. Se numeşte signatura formei pătratice Q tripletul de numere reale

, în care:

2

1

)( i

n

i

i xavQ ∑=

=

R →nQ V :

( , , ) p q d

p = numărul de coeficienţi din setul { care sunt strict pozitivi, numit

indicele pozitiv de iner ţ ie al lui Q;

},,1 naa K

q = numărul de coeficienţi strict negativi, numit indicele negativ de iner ţ ie al lui Q;

d n p q= − +( ) = numărul de coeficienţi nuli.

Teoremă (legea de inerţie, Sylvester). Signatura unei forme pătratice Q este

aceea şi în orice expresie canonică a lui Q.

Observaţii. 1. Legea de iner ţie arată că urmând oricare din cele 3 metode deobţinere a expresiei canonice (care poate să difere), signatura formei pătratice

(dedusă din expresia canonică obţinută) este totdeauna aceea şi.

2. Dată fiind o formă pătratică şi matricea A asociată acesteia

relativ la o bază a spaţiului , Q este pozitiv definit ă dacă şi numai dacă oricare din

următoarele condiţii este îndeplinită.

R →nQ V :

nV

• forma pătratică Q are signatura ( , ,, )n 0 0

• determinanţii nii ,1, =∆ calculaţi conform metodei Jacobi sunt strict pozitivi,

• valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.



S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y


1. Se dă aplicaţia ,),( 3R R B∈ A

3

321321331221 ),,(),,,(,322),( R ∈==∀−+= y y y y x x x x y x y x y x y x A

Să se determine următoarele :1. Ar ătaţi că A este formă biliniar ă.

2. Ar ătaţi că A este formă biliniar ă simetrică.

3. Determinaţi matricea relativ la baza canonică B.B][ A = A

4. Aflaţi forma pătratică Q asociat ă formei bilineare simetrice A .

5. Verificaţi relaţiile .3,][,][,)(,),( R BB ∈∀==∀== y x , yY x X XAX xQ XAY y x t t A

6. Determinaţi matricea , relativ la bazaB′=′ ][ A A

1 2 3{ ' (1,1,0), ' (1,0,1, ), ' (0,1,1)}e e e′ = = = =B .

R . Matricea formei pătratice date este , expresia analitică este

−

=

300

002

020

A

2

321 34)( x x x xQ −= ,

cu matricea de schimbare la noua bază C , iar matricea formei pătratice relativ la baza

B' de la punctul 6, A', unde , şi .

=′=

110

101

011

][ BBC

−−

−−==′

312

132

224

CAC A t

2. Se dă funcţia ,),( 4R R B∈ A

+−+−+−= 144113311221),( y x y x y x y x y x y x y x A

4

344324422332 ,, R ∈∀−+−+−+ y x y x y x y x y x y x y x

1. Să se arate că este o formă biliniar ă antisimetrică. A

2. Să se determine matricea corespunzătoare formei biliniare relativ la baza A

)}1,1,0,1(),1,0,1,1(),1,1,1,0(),0,1,1,1({' 4321 =′=′=′=′= eeeeB .

R : .

===′

== ′

−−−

−−

−

1110

1011

0111

1101

0111

1011

1101

1110

,][,][ C CAC A A t

BB A A

3. Fie spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale reale de grad cel mult doi

şi fie produsul scalar

2 P

2

1

0

1

022 ,,)()(),(,: P wvdtds swt vwv P P ∫ ∫ ∈∀=→× A A R .




S t u

d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

1) Să se arate că este o formă biliniar ă simetrică pozitiv semidefinită, dar

nu este pozitiv definită.

A

2) Să se determine matricea formei biliniare relativ la baza canonică a

spaţiului , B şi relativ la baza .

A

,1 t 2 P },,1{ 2t t = },1{ 2 t t −−=′B

R : .

===′

== −

−′

100

110011

9/16/13/1

6/14/12/13/12/11

,][,][ C CAC A A t

BB A A

4. Determinaţi valoarea parametrului astfel ca vectorii şi

să fie ortogonali în raport cu forma pătratică

R∈λ )1,1(−= x

),2( λ= y2

221

2

1

2 2)(,: x x x x xQQ +−=→ R R

R : .202

11

11)1,1( =λ⇒=

λ−

−−

5. Se dau următoarele forme pătratice:

a) Q ;32 ),,(,32)( R ∈=∀+−= cbavcbcacv

b) .42 ),,,(,32)( R ∈=∀++−= v z y xw xvv zv xywQ

1) Determinaţi forma polar ă asociată formei pătratice Q prin dedublare. A

2) Aflaţi matricea formei pătratice Q relativ la baza naturală.

R. . Temă a). Soluţia la punctul b):

4

1 2 2 1 3 4 4 3 4 4 1 4 4 1

1 1 3( , ) ( ) ( ) 2 ( ), ,

2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + − + + + + ∀ ∈R A ,

==

−

−

22/102/3

2/1000

0002/1

2/302/10

][][ A Q .

6. Se dau următoarele forme pătratice

a) 3 2 2 21: , ( ) 8 16 7 8 , ( , , )

2v x xy xz y yz z v x y z → = − − + − + ∀ = ∈R R R

3Q Q ;

b) ;[ ]

=→−−

−−

−−

324

262

423

,: 3 QQ R R

c) Q ;3

321

2

332

2

231

2

1 ),,(,546)( R ∈=∀−+++−= x x x x x x x x x x x x

d) .322 ),,(,2)( R ∈=∀−−+= z y xv z yz y xyvQ

Determinaţi expresia canonică a acestor forme pătratice folosind metoda Gauss.

R. Temă a, b, c. d) ),,(][,,33

1)( 3222 z y xvv z y xv ′′′=∈∀′−′−′= ′B

R Q ,

11

100

6/13/10

001

100

010

2/123

100

011

011

][

−−

=′= −

−−

−B

BC .




d e n t W e

b C o p y

S t u d e n t W

E B C o p y

7. Determinaţi expresia canonică a formelor pătratice din exerciţiul precedent

folosind metoda Jacobi şi metoda valorilor proprii.

R. Temă a, c, d. Soluţie la punctul b) Prin metoda Jacobi, [ ] .

Prin metoda valorilor proprii,

=

−

′

7/100

014/30

003/1

BQ

[ ] [ ] [ ]

=

=′′′=′ −−

−

′

0

0

7

3/23/50

3/153/25/2

3/253/45/1

,,, 321 BBBB Qeee

− 20

07

00

.

8. Utilizând metoda Gauss, metoda lui Jacobi şi respectiv metoda valorilor

proprii, să se aducă la expresii canonice forma pătratică ,R R →3:Q3

3213121

2

3

2

2

2

1 ),,(,44465)( R ∈≡∀−−++= x x xv x x x x x x xvQ

şi să se verifice teorema de iner ţie, determinând în fiecare caz signatura formei

pătratice.

R : Matricile asociate expresiei canonice în urma aplicării celor trei metode sunt,

respectiv:

800

050

002

40/1300

026/50

005/1

13/4000

026/50

005/1

,, ;

signatura este (3,0,0), deci forma pătratică este pozitiv definită.

9. Să se scrie forma pătratică corespunzătoare matricii ,

să se găsească expresia canonică şi să se verifice teorema de iner ţie.

=

−

−

−

−

1101

1110

0111

1011

A

R. Expresia analitică a formei pătratice este

43324121

2

4

2

3

2

2

2

1 2222)( x x x x x x x x x x x xvQ +−−++++= , ;4

4321 ),,,( R ∈≡∀ x x x xv

algebra liniara

Documents