algebra liniara
DESCRIPTION
Algebra LiniaraTRANSCRIPT
Algebra Liniara
ALGEBRA LINIARA
CAPITOLUL 1
SPAII VECTORIALE
1.1. Noiunea de spaiu vectorial
Fie V o mulime nevid. Fie (K,+,) un corp n raport cu operaiile + i .
Elementele corpului K le vom numi scalari sau numere.
Pe mulimea V introducem legea : , care este o
lege de compoziie intern pe V, iar pe corpul K introducem legea de compoziie extern: , .
DEFINIIA 1.1.1.
Mulimea nevid V peste care s-au introdus dou operaii :
i prima, intern pe V, cea de-a doua, extern cu valori din K, se numete spaiu vectorial (liniar) peste corpul K, dac sunt satisfcute proprietile:
formeaz un grup abelian, adic adunarea este asociativ, are element neutru , are element simetric, i este comutativ.
1) , oricare ar fi elementul x din V
2) , oricare ar fi x i y din V, i din K3) , oricare ar fi x i y din V, i din K4) , oricare ar fi x i y din V, i din K
EXEMPLUL 1:
Fie V = Rn spaiul real n dimensional , iar K = R
Rn = R x R = { ( x1 , x2 , , xn )T | xi aparinnd lui R, i = 1, ,n }
Dac x aparine lui Rn , atunci vom nota : =
Fie y din spaiul Rn ,
Introducem notaiile: i Artm c ( Rn , R ) este un spaiu vectorial real , n-dimensional.
1) asociativitatea rezult din asociativitatea numerelor reale
2) elementul neutru este 3) elementul simetric este 4) 4) comutativitatea rezult din comutativitatea adunrii numerelor reale
1)
2)
3) deci
DEFINIIA 1.1.2.
Elementele unui spaiu vectorial le vom numi vectori.
DEFINIIA 1.1.3.
Elementele corpului K le vom numi scalari.
EXEMPLUL 2 :
Fie Pn [x] mulinea tuturor polinoamelor de gradul n cu coeficieni reali.
Dac p aparine mulimii Pn [x] , atunci p(x) = a0 + a1 x1 + + an xn , unde a este diferit de zero.
Dac q aparine mulimii Pn [x] , atunci q(x) = b0 + b1 x1 + + bn xn , unde b este diferit de zero.
= =
Din aceste dou relaii observm c mulimea Pn [x] nu formeaz un spaiu vectorial deoarece, dac avem an = -bn , n urma adunrii rezult un polinom care nu este de gradul n .
Dac notm cu Pn [x] mulimea polinoamelor de grad mai mic sau egal cu n i introducem aceste dou legi de compoziie, atunci mulimea dat formeaz un spaiu vectorial.
PROPOZIIA 1.1.1.
Fie (V,K) un spaiu vectorial. Atunci elementul neutru este unic.
DEMONSTRAIE:
Din propoziie tim c exist elementul neutru , oricare ar fi vectorul x din mulimea V. Aceasta nseamn c +x = x+ = x. Presupunem c exist dou elemente neutre 1 i 2. Atunci fiecare din cele dou elemente neutre verific relaia de mai sus:
1+x = x+1 = x pentru orice x aparinnd mulimii V. 2+x = x+2 = x pentru orice x aparinnd mulimii V.
Dac aceste relaii sunt adevrate pentru orice x aparinnd mulimii V, atunci sunt adevrate i pentru care aparine mulimii V. Astfel, putem scrie:
pentru x = 2, 1+2 = 2+1 = 2
pentru x = 1 , 2+1 = 1+2 = 1
Din cele dou relaii observm c 1 = 2, deci elementul neutru este unic.
1.2. Vectori liniar independeni i liniar dependeni; baz i dimensiune
Fie (V,K) un spaiu vectorial.
Fie x1, x2, , xn vectori care aparin mulimii V.
Fie 1, 2,, n scalari care aparin corpului K.
DEFINIIA 1.2.1.
Relaia :
se numete combinaie liniar a vectorilor x1 , x2 , , xn cu scalari din K.
DEFINIIA 1.2.2.
Vectorii x1, x2, , xn care aparin mulimii V se numesc liniar independeni atunci cnd relaia (1 ) 1 x1 + 2 x2 + + n xn = este adevrat dac i numai dac toi scalarii sunt nuli: 1 = 2 = = n = 0.
DEFINIIA 1.2.3.
Dac relaia (1) are loc fr ca toi scalarii 1 , 2 , , n s fie nuli,vectorii x1 , x2 , , xn se numesc liniar dependeni.
EXEMPLUL 1:
Fie ( R3 , R ) un spaiu vectorial , fie x1 , x2 , x3 vectori din acest spaiu vectorial. , ,
S se arate c aceti vectori sunt liniar independeni.
1 x1 + 2 x2 + + n xn =
= -2 ntruct determinantul este diferit de zero, soluia sistemului este 1 = 2 = 3 = 0 , deci vectorii x1 , x2 , x3 sunt liniar independeni.
PROPOZIIA 1.2.1.
Fie (V,K) un spaiu vectorial. Vectorii x1 , x2 , , xn sunt liniar dependeni dac i numai dac cel puin un vector este o combinaie liniar a celorlali vectori.
DEMONSTRAIE:
1* Presupunem c x1 , x2 , , xk-1 , xk , xk+1 , , xn sunt liniar dependeni i vom demonstra c cel puin un vector este o combinaie liniar a celorlali. Vectorii fiind liniar independeni, nseamn c relaia :
1 x1 + 2 x2 + + k-1 xk-1 + k xk + k+1 xk+1 + + k xk = este adevrat fr ca toi scalarii s fie nuli.
Presupunem c k este diferit de zero. Atunci:
2* Presupunem c cel puin un vector este o combinaie liniar a celorlali vectori i vom demonstra c vectorii sunt liniar dependeni.
xk = 1 x1 + 2 x2 + + k-1 xk-1 + k xk + k+1 xk+1 + + n xn
1 x1 + 2 x2 + + k-1 xk-1 + (-1) xk + k+1 xk+1 + + n xn =
ntruct (-1) este un scalar diferit de zero, ultima relaie demonstreaz c vectorii sunt liniar dependeni.
DEFINIIA 1.2.4.
Vectorii x1 , x2 , , xn care aparin mulimii V formeaz un sistem de generatori ai spaiului V, dac oricare ar fi vectorul x din mulimea V, exist scalarii 1 , 2 , , n aparinnd corpului K astfel nct s existe relaia:
x = 1 x1 + 2 x2 + + n xn (3)
Altfel spus, x1 , x2, , xn formeaz un sistem de generatori dac oricare ar fi
vectorul x din mulimea V, el se poate scrie ca o combinaie liniar a vectorilor x1 , x2 , , xn .
DEFINIIA 1.2.5.
Fie (V,K) un spaiu vectorial. Vectorii x1 , x2 , , xn formeaz o baz a spaiului V dac sunt ndeplinite urmtoarele condiii:
1) 1) vectorii x1 , x2 , , xn formeaz un sistem de generatori.
2) 2) vectorii x1 , x2 , , xn sunt liniar independeni.
EXEMPLUL 2 :
Fie ( R3 , R ) un spaiu vectorial , fie x1 , x2 , x3 vectori din acest spaiu vectorial. , , n exemplul anterior am artat c aceti vectori sunt liniar independeni. n continuare vom arta c formeaz un sistem de generatori.
tim c oricare ar fi vectorul x din R3 , exist scalarii 1 , 2 , 3 astfel nct
x = 1 x1 + 2 x2 + 3 x3 ,
deci sistemul este un sistem
liniar, neomogen. Vectorii x1 , x2 , x3 formeaz un sistem de generatori deoarece sistemul de mai sus este compatibil determinat.
Astfel am demonstrat c vectorii x1 , x2 , x3 formeaz o baz n R3 .
DEFINIIA 1.2.6.
Dimensiunea spaiului vectorial V este egal cu numrul vectorilor unei baze.
PROPOZIIA 1.2.2.
Fie V un spaiu vectorial peste corpul K , dimensiunea spaiului V fiind n.
Fie B = { x1 , x2 , , xn } o baz n spaiul V.
Atunci, oricare ar fi vectorul x din V el se scrie n mod unic ca o combinaie liniar de vectorii bazei.
DEMONSTRAIE:
Din ipotez tim c B = { x1 , x2 , , xn } este o baz. Aceasta nseamn c vectorii x1 , x2 , , xn formeaz un sistem de generatori i sunt liniar independeni.
Intruct vectorii x1 , x2 , , xn formeaz un sistem de generatori , nseamn c este verificat relaia:
x = 1 x1 + 2 x2 + + n xn (1)
Presupunem c x se scrie i sub forma: x = 1x1 + 2x2 + + nxn (2)
nmulind relaia (2) cu -1 i adunnd-o cu relaia (1) vom obine:
x + (-x) = ( 1 1) x1 + ( 2 2 ) x2 + + ( n n) xn =
Din aceast relaie i din faptul c vectorii subt liniar independeni, rezult c:
1 1 = 0, 2 2 = 0, , n n = 0 , adic 1= 1, 2 = 2, , 3 = 3.
V este un spaiu vectorial de dimensiune n , iar B = { x1, x2, , xn } este o baz n V. Atunci, oricare ar fi vectorul x din V, el se scrie n mod unic sub forma unei combinaii liniare de vectorii bazei. Deci x se scrie sub forma:
x = 1 x1 + 2 x2 + + n xn .
DEFINIIA 1.2.7.
Scalarii 1 , 2 , , n se numesc coordonatele vectorului x n baza B.
EXEMPLUL 1:
Fie P2 [x] spaiul vectorial al polinoamelor de grad mai mic sau egal cu 2, cu coeficieni reali. S se cerceteze dac vectorii B1 = { 1 + x , 1 + x2 , x + x2 } i B2 = { 1 + 2x + 2x2 } formeaz sau nu o baz.
(i) Oricare ar fi polinomul p din spaiul vectorial P2 [x], p(x) = a0 + a1x + +a2 x2, unde a, a, a sunt numere reale, exist 1 , 2 , 3 astfel nct p = 1 p1 + 2 p2 +3 p3 1 ( 1+x) + 2 (1 + x2 ) + 3 ( x + x2) = a0 + a1 x + a2 x2
( 1 + 2) + ( 1 + 3) x + ( 2 + 3) x2 = a0 + a1 x + a2 x2
Din aceste dou relaii obinem un sistem compatibil determinat:
(ii) Vectorii sunt liniar independeni : = 0 + 0x + 0x2
1.3. Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazelor
Fie (V,K) un spaiu vectorial de dimensiune n.
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz n spaiul vectorial V.
Fie x un vector din V , xE = 1 e1 + 2 e2 + + n en , xE = ( 1 , 2 , , n )T
Fie G = { g1 , g2 , , gn } o alt baz n spaiul vectorial V.
xG = 1 g1 + 2 g2 + + n gn , xG = ( 1 , 2 , , n )T
Deoarece E i G formeaz baze n spaiul V, nseamn c vectorii ei i gi aparin spaiului V oricare ar fi indicele i cu valori n mulimea { 1, , n }.
g1 aparine lui V, atunci g1 = c11 e1 + c12 e2 + + c1n en
g2 aparine lui V, atunci g2 = c21 e1 + c22 e2 + + c2n en
..
gn aparine lui V, atunci gn = cn1 e1 + cn2 e2 + + cnn en
Vom nota cu CEG = (cij ) , unde cij aparine corpului K, iar indicii i i j aparin mulimii { 1 , , n }.
DEFINIIA 1.3.1.
Matricea CEG = (cij ) se numete matricea de trecere de la baza E la baza G.
OBSERVAIE : Determinantul matricei CEG este diferit de zero, ceea ce nseamn c matricea este nesingular.
PROPOZIIA 1.3.1.
Fie (V,K ) un spaiu vectorial de dimensiune n .
Fie E i G dou baze n spaiul V, E = { e1 , e2 , , en } , G = { g1 , g2 , , gn }
Fie vectorul x din V, xE = ( 1 , 2 , , n )T i xG = ( 1 , 2 , , n )T
xE = 1 e1 + 2 e2 + + n en
xG = 1 g1 + 2 g2 + + n gn
Atunci este adevrat relaia: XG = ( CT EG )-1 XE
DEMONSTRAIE:
gi = ci1 e1 + ci2 e2 + + cin en =
xG = 1 g1 + 2 g2 + + n gn = 1 (c11 e1 + c12 e2 + + c1n en ) +
+ 2 (c21 e1 + c22 e2 + + c2n en ) +
+ +
+ n (cn1 e1 + cn2 e2 + + cnn en ) =
= ( 1 c11 + 2 c21 + + n cn1 ) e1 + ( 1 c12 + 2 c22 + + n cn2 ) e2 + +
+ ( 1 c1n + 2 c2n + + n cnn ) en
Deoarece scrierea unui vector ntr-o baz este unic, vom obine:
Acest sistem, scris matriceal, are forma : CT EG XG = XE ( 2 )
Determinantul matricei CEG este diferit de zero, deci i determinantul matricei CTEG este diferit de zero, astfel nct exist ( CT EG )-1
Din ( 2 ) obinem:
( CT EG )-1 CT EG XG = ( CT EG )-1 XE , adic , XG = ( CT EG )-1 XE
1.4. Lema substituiei
Fie (V,K) un spaiu vectorial de dimensiune n .
Fie E = { e1 , e2 , , en } = { e1 , e2, , ei-1 , ei , ei+1 , , en } o baz n spaiul V.
Fie u un vector oarecare din V, uE = ( 1 , 2 , , i-1 , i , i+1 , , n )T
uE = 1 e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i ei + i+1 ei+1 + + n en
Lema substituiei rspunde la urmtoarele ntrebri:
1) n ce condiii mulimea E* = { e1 , e2 , , ei-1 , u , ei+1 , , en } formeaz o baz n spaiul V ?
2) Fiind dat un vector x din spaiul V , xE = ( 1 , 2 , , i-1 , i , i+1 , , n )T , care sunt coordonatele vectorului n baza E* ?
xE * = ( *1 , *2 , , *i-1 , *i , *i+1 , , *n )T
Vom demonstra c mulimea E* = { e1 , e2 , , ei-1 , u , ei+1 , , en } formeaz o baz i c dac vectorul x aparine spaiului V, xE = ( 1 , 2 , , i-1 , i , i+1 , , n )T i dac xE * = ( *1 , *2 , , *i-1 , *i , *i+1 , , *n )T, atunci:
( 1 ) ; ( 2 ) unde j ia valori din mulimea { 1 , , n }, j fiind diferit de i .
DEMONSTRAIE:
1) 1) Trebuie s artm c vectorii { e1 , e2 , , ei-1 , u , ei+1 , , en } sunt liniar independeni .
1 e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i u + i+1 ei+1 + + n en =
1 e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i ( 1 e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i ei + i+1 ei+1 + +nen)+ +i+1 ei+1 + + n en =
( 1 +i 1 ) e1 + + ( i-1 + i i-1 ) ei-1 + i i ei + ( i i+1 + i+1 ) ei+1 + + ( i n + + n ) en =
Dar vectorii { e1 , e2 , , en } formeaz o baz deci sunt liniar independeni. Astfel, obinem un sistem liniar i omogen de n ecuaii i n necunoscute:
(3)
Determinantul sistemului este: detA = (-1)i+1 i | Ii-1 | , deci detA = i i este diferit de zero. nseamn c sistemul (3) are numai soluia banal.
Deci vectorii { e1, e2, , ei-1, u , ei+1, , en } sunt liniar independeni .
2) Trebuie s artm c { e1, e2, , ei-1, u , ei+1, , en } formeaz un sistem de generatori.
Oricare ar fi vectorul x din spaiul V, exist scalarii *1 , *2 , , *i-1 , *i , *i+1 , , *n astfel nct
xE = *1 e1 + *2 e2 + + *i-1 ei-1 + *i u + *i+1 ei+1 + + *n en
xE = *1 e1 + *2 e2 + + *i-1 ei-1 + *i (1 e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i ei + i+1 ei+1 + + +n en ) + *i+1 ei+1 + + *n en = ( *1 + *i 1 ) e1 + + ( *i-1 + *i i-1 ) ei-1 + *i i ei +
+( *i+1 + *i i+1 ) ei+1 + ( *n + *i n ) entim c scrierea unui vector ntr-o baz este unic. Vom obine sistemul:
rezult c
Celelalte ecuaii le putem scrie sub forma:
de aici rezult c pentru oricare j din mulimea { 1, , n } , j fiind diferit de i.
Formulele ( 1 ) i ( 2 ) se numesc formulele de pivotare Gauss- Jordan.
E U X E* X
e1 1 1 e1 *1
ei-1 i-1 i-1 ei-1 *i-1
ei i i u *i
ei+1 i+1 i+1 ei+1 *i+1
ej j j ej *j
en n n e1 *n
( 1 ) Se mparte linia pivot la pivot ; ( 2 ) Se aplic Gauss-Jordan.
1.5. Spaii vectoriale izomorfe
Fie (X,K) i (Y,K) dou spaii vectoriale peste acelai corp de sclari K.
DEFINIA 1.5.1.
Spaiile vectoriale X i Y se numesc K izomorfe, dac exist : X Y cu proprietile urmtoare: 1) este bijectiv
2) oricare ar fi x1 i x2 doi vectori din spaiul X i oricare ar fi 1 i 2 scalari din corpul K, atunci ( 1 x1 + 2 x2 ) = 1 ( x1 ) + 2 ( x2 ) .
Funcia cu proprietatea 2) se numete aplicaie sau funcie liniar.
TEOREMA 1.5.1.
Dac X i Y sunt dou spaii vectoriale definite pe acelai corp de scalari K, dimensiunea celor dou spaii fiind n finit, atunci X i Y sunt K-izomorfe.
Aceasta este teorema de izomorfism a spaiilor vectoriale finit dimensionale.
DEMONSTRAIE:
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz n spaiul X Fie G = { g1 , g2 , , gn } o baz n spaiul Y
Oricare ar fi vectorul x din spaiul X, x = 1 e1 + 2 e2 + + n en = Definesc funcia : X Y, ( x ) = y
Pentru a arta c este izomorfism, demonstrm c:
1) funcia este bijectiv:
* injectivitate: oricare ar fi x1 i x2, x1 diferit de x2, atunci ( x1 ) este diferit de ( x2 ) .
Fie x1 = 1 e1 + 2 e2 + + k ek + + n en Fie x2 = 1 e1 + 2 e2 + + k ek + + n en unde i i i aparin corpului K, oricare ar fi indicele i din mulimea { 1, , k , , n } .
ntruct x1 este diferit de x2 , exist cel puin un indice k din mulimea { 1, , n } astfel nct k este diferit de k .
( x1 ) = 1 e1 + 2 e2 + + k ek + + n en ( x2 ) = 1 e1 + 2 e2 + + k ek + + n en
Deoarece exist cel puin un indice k din mulimea { 1, , n } astfel nct k este diferit de k , atunci ( x1 ) este diferit de ( x2 ).
* surjectivitate: oricare ar fi y din Y, exist x din X astfel nct ( x ) = y.
Oricare ar fi y din Y, exist scalarii 1 , 2 , , n din corpul K astfel nct s
existe relaia: y = 1 g1 + 2 g2 + + n gn . Considerm un x care aparine lui X,
x = 1 e1 + 2 e2 + + n en . Din definiia funciei rezult c ( x ) = y.
2) 2) liniaritatea funciei :
Oricare ar fi x1 i x2 din spaiul X i oricare ar fi a i b din corpul K,
( a x1 + b x2 ) = a ( x1 ) + b ( x2 )
, unde i , i aparin corpului K, iar i aparine mulimii { 1 , , n}
1.6. Subspaii liniare
Fie (X,K) un spaiu liniar vectorial; fie X0 un spatiu inclus n spaiul X, X0 fiind diferit de mulimea vid.
DEFINIIA 1.6.1.
Mulimea X0 este un subspaiu liniar al spaiului X dac:
1) oricare ar fi x, y doi vectori din X0 , atunci i x + y aparine lui X0 .
2) oricare ar fi scalarul din corpul K i oricare ar fi vectorul x din X0 i x aparine lui X0 .
PROPOZIIA 1.6.1.
Dac Xi ( i aparine unei familii de indici ) este o familie de subspaii liniare a spaiului liniar ( X,K ) , atunci i mulimea X0 format din intersecia subspaiilor Xi este un subspaiu liniar al spaiului X.
DEMONSTRAIE:
1) Oricare ar fi vectorii x i y din spaiul X0 , X0 = , x aparine lui Xi i y
aparine lui Xi , pentru orice i din I .
Dar Xi este un subspaiu liniar al lui X, deci x+y aparin lui Xi oricare ar fi i din mulimea I, adic x+y aparin lui X0 .
2) Oricare ar fi vectorul x din spaiul X0 , x aparine subspaiului Xi al spaiului X0 . Oricare ar fi scalarul din corpul K, x aparine spaiului Xi , deci aparine i subspaiului X0.
Fie (X,K) un spaiu liniar. Fie mulimea AX , A.
DEFINIIA 1.6.2.
Se numete acoperirea liniar a mulimii A, mulimea tuturor combinaiilor liniare de vectori din mulimea A . Acoperirea liniar se noteaz cu L(A).
L(A) =
PROPOZIIA 1.6.2.
Fie (X,K) un spaiu vectorial. Fie A o mulime din X, diferit de mulimea vid. Atunci acoperirea liniar a lui A este un subspaiu liniar al spatiului X.
DEMONSTRAIE:
1) 1) Demonstrm c oricare ar fi vectorii x i y din L(A) i x+y aparine
acoperirii liniare L(A).
Dac x L(A), atunci :
unde i este un scalar din K, ai este un vector din A, i = 1, , p1 , iar p1 este un numr natural.
Dac y L(A), atunci :
unde j este un scalar din K, aj este un vector din A, j = 1, , p2 ,
iar p2 este un numr natural.
deci (x+y) este o combimaie liniar de vectori din mulimea A, ceea ce nseamn c (x+y) aparine acoperirii liniare a mulimii A.
2) 2) Demonstrm c oricare ar fi vectorul x din L(A) i x aparine acoperirii
liniare L(A), unde este un scalar din corpul K.
Dac x L(A), atunci :
oricare ar fi din corpul K.
Deoarece i aparine corpului K i i aparine corpului K. Rezult astfel c x aparine acoperirii liniare L(A) .
PROPOZIIA 1.6.3.
Fie A o mulime din spaiul liniar X, A fiind diferit de mulimea vid.
Acoperirea liniar a unei mulimi conine mulimea respectiv.
DEMONSTRAIE:
Oricare ar fi elementul a din mulimea A, el se poate scrie astfel:
aceasta fiind o combinaie liniar ce aparine acoperirii liniare L(A) .
Fie (X,K) un spaiu liniar i fie A o mulime din acest spaiu, A fiind diferit de mulimea vid.
DEFINIIA 1.6.2.
Se numete subspaiu liniar generat de mulimea A, cel mai mic subspaiu liniar al spaiului X care conine mulimea A.
Subspaiul liniar generat de mulimea este un subspaiu al spaiului X care conine pe A i este cel mai mic subspaiu care are acest proprietate. l vom nota cu Sp(A).
OBSERVAIE: DacXA = { Xi | Xi fiind subspaii ale lui X, AX, i = I } , atunci mulimea XA este diferit de mulimea vid.
PROPOZIIA 1.6.4.
Fie (X,K) un spaiu liniar i fie A o mulime inclus n X, A fiind diferit de mulimea vid. Atunci L(A) = Sp(A) .
DEMONSTRAIE:
1) este evident deoarece L(A) este un subspaiu liniar al lui X care conine mulimea A, iar Sp(A) este cel mai mic subspaiu cu aceast proprietate.
2)
Fie x un vector din L(A) , , k aparinnd corpului K i ak aparinnd mulimii A , k = 1, ,p .
, iar Xi este un subspaiu , deci ak aparine subspaiului Xi , k = 1, ,p .
aparine subspaiului Xi , oricare ar fi Xi care include mulimea A.
Deci aparine . Astfel rezult c L(A) = Sp(A) .
PROPOZIIA 1.6.5.
Fie (X,K) un spaiu liniar, fie A o mulime din X, A fiind diferit de mulimea vid. Fie B o familie maximal de vectori liliar independeni coninut n mulimea A. Atunci, L(A) = L(B) .
OBSERVAIE : Fie (X,K) un spaiu liniar i fie X0 un subspaiu liniar al spaiului X. Atunci elementul neutru aparine subspaiului X0 .
DEMONSTRAIE :
1) Dac B este o familie maximal de vectori liniar independeni din mulimea A, atunci oricare ar fi elementul a din A, a este o combinaie liniar de elemente din familia maximal B. Rezult c oricare ar fi vectorul x aparinnd acoperirii liniare L(A), x este o combinaie liniar de elemente din B, adic x aparine acoperirii liniare L(B). Deci .
2) este evident.
PROPOZIIA 1.6.6.
Fie (X,K) un spaiu liniar a crui dimensiune este n. Fie X1 i X2 dou subspaii liniare ale lui X.
Dac dim X1 + dim X2 > dim X , atunci conine i alte elemente diferite de .
DEMONSTRAIE:
Fie dim X1 = p1 . Fie E = { e1 , , ep } o baz n X1 .
Fie dim X2 = p2 . Fie G = { g1 , , g2 } o baz n X2 .
Dac x, atunci : dac x aparine subspaiului X1
dac x aparine subspaiului X2
Dar este o mulime care aparine lui X i are p1 + p2 elemente.
Din ipotez tim c p1 + p2 > p deci vectorii sunt liniar dependeni. Presupunem c i = 0 ( i = 1, , p1 ) . Atunci exist scalari j diferii de zero pentru c vectorii sunt liniar dependeni. Presupunem c j = 0 (j = 1, , p2 ) . Atunci exist scalari i diferii de zero pentru c vectorii sunt liniar dependeni. Deci exist i vectori nenuli.1.7. Sum de subspaii liniare
Fie (X,K) un spaiu liniar . Fie X1 i X2 dou subspaii liniare ale lui X.
DEFINIIA 1.7.1.
Se numete suma subspaiilor X1 i X2 mulimea: S = X1 + X2 unde
X1 + X2 = { x | x = x1 + x2 , x1 X1 , x2 X2 }.
PROPOZIIA 1.7.1.
Suma a dou subspaii liniare este un subspaiu liniar.
DEMONSTRAIE:
1) Oricare ar fi x din S , x = x1 + x2 , x1 X1 , x2 X2 Oricare ar fi y din S , y = y1 + y2 , y1 X1 , y2 X2 Dac x1 X1 i y1 X1 , atunci x1 + y1 X1 . Dac x2 X2 i y2 X2 , atunci x2 + y2 X2 .
x + y = x1 + x2 + y1 + y2 = x1 + y1 + x2 + y2 S.
2) Oricare ar fi un scalar din corpul K, oricare ar fi vectorul x din S, obinem:
x = (x1 + x2 ) = x1 + x2 deci x S .
OBSERVAIE : 1) n general, nu este un subspaiu liniar
2) S = X1 + X2 .
TEOREMA 1.7.1. ( teorema dimensiunii )
Fie (X,K) un spaiu vectorial de dimensiune n. Fie X1 un subspaiu liniar, dim X1 = p1 . Fie X2 un alt subspaiu al lui X, dim X2 = p2 . Fie D = ,dim D = d . Fie S = X1 + X2 , dim S = s. Atunci :
dim X1 + dim X2 = dim D + dim S p1 + p2 = d + s .
DEMONSTRAIE :
Fie { e1 , , ed } o baz n D. Completm aceast baz astfel nct s obinem nite baze n X1 i n X2 .
Fie { e1 , , ed , fd+1 , , fp1 } o baz n X1 .
Fie { e1 , , ed , gd+1 , , gp2 } o baz n X2 .
Vom arta c mulimea BS = { e1 , , ed , fd+1 , , fp1 , gd+1 , , gp2 } formeaz o baz n S.
1) oricare ar fi xS, x = x1 + x2 , x1 X1 , x2 X2 Dac x1 X1 , atunci Dac x2 X2 , atunci
xS , deci x se scrie ca o combinaie liniar a vectorilor din BS . nseamn c BS formeaz un sistem de generatori.
2) artm c vectorii din BS sunt liniar independeni.
( * ) + este vector este vector n X2 ,
n X1 , deci deci x X2 x X1
Din cele scrise mai sus, rezult c xD = , deci k = 0 ( 1 ) , oricare ar fi k = d+1, , p1 .
Din ( * ) obinem : = De aici rezult c , deci j = 0 ( 2 ) , oricare ar fi j = 1, , p1 .
Din ( * ) , ( 1 ) , ( 2 ) obinem : Dar vectorii { e1 , , ed } formeaz o baz n D, deci sunt liniar independeni. Rezult c i = 0 , oricare ar fi i = 1 , , d , ceea ce nseamn c BS formeaz o baz.
BS are d + p1 d + p2 d = s vectori -d + p1 + p2 = s p1 + p2 = s + d .
COROLAR: Fie S un subspaiu al spaiului X , , deci s n , atunci:
p1 + p2 d n .
OBSERVAIE : Dac , atunci d = 0 , p1 + p2 = s , ceea ce inseamn:
dim X1 + dim X2 = dim ( X1 + X2 ) .
DEFINIIA 1.7.2.
Fie X1 i X2 dou subspaii ale spaiului (X,K) . Dac , atunci se numete suma direct a subspaiilor X1 i X2 .
CAPITOLUL 2
FUNCIONALE LINIARE
2.1. Noiunea de funcional liniar
Fie (X,K) un spaiu vectorial de dimensiune n .
DEFINIIA 2.1.1.
O aplicaie , se numete funcional .
DEFINIIA 2.1.2.
Funcionala este liniar dac:
1) oricare ar fi vectorii x i y din X, f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
( proprietate de aditivitate)
2) oricare ar fi scalarul din corpul K, oricare ar fi vectorul x din X,
f ( x ) = f ( x )
( proprietate de omogenitate )
OBSERVAIE :
proprietile 1) i 2) pot fi scrise ntr o singur formul :
f ( x + b ) = f ( x ) + f ( y ) , oricare ar fi scalarii i din corpul K i
oricare ar fi vectorii x i y din spaiul X.
Dac
EXEMPLUL 1 :
Fie spaiul vectorial ( P2[x], R ) i fie funcionala .
unde x(t) = a0 + a1 t + a2 t2 , a0 , a1 , a2 R .
S se demonstreze c aceast funciional este o funcional liniar.
Oricare ar fi x i y din ( P2[x], R ) , x(t) = a0 + a1 t + a2 t2 , y(t) = b0 + b1 t + b2 t2 , b0 , b1 , b2 R .
Oricare ar fi i din R ,
f ( x + y ) = = f ( x ) + f ( y ) .
INTERPRETARE GEOMETRIC :
Fie spaiul ( R3, R ) i fie o funcional liniar.
x3
x R
-e3 |
f(x)
| x1 | 0 e1 f( e3 ) | |
e2 f( e1 ) |
x2 f( e2 )
2.2. Matricea unei funcionale liniare:
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = n.
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz n spaiul X.
Fie x = 1 e1 + 2 e2 + + n en , unde x este un vector din X.
Fie , o funcional liniar.
Valoarea funcionalei n punctul x este: .
Notm ai = f ( ei ) i = 1, ,n ( 1 )
DEFINIIA 2.2.1
Se numete matricea funcionalei f corespunztoare bazei E , matricea:
EXEMPLUL 1 :
Fie spaiul vectorial ( P2[x],R ) i fie funcionala , o funcional liniar. Fie E = { 1, t, t2 } o baz n P2[x] .
S se determine matricea funcionalei f n baza E .
De aici rezult c .
2.3. Schimbarea matricei unei funcionale liniare la schimbarea bazelor
PROPOZIIA 2.3.1.
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = n .
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz n spaiul X .
Oricare ar fi vectorul x din spaiul X , .
Fie , o funcional liniar , fie ai = f ( ei ) i = 1, ,n .
Fie G = { g1 , g2 , , gn } o alt baz n spaiul X .
Fie CEG matricea de trecere de la baza E la baza G .
Fie matricea functionalei f n baza G , bi = f ( gi ) i = 1, ,n .
Atunci : B = C A
DEMONSTRAIE :
Scriem matricea C ( cij ) , matricea de trecere de la baza E la baza G .
g1 = c11 e1 + c12 e2 + + c1n eng2 = c21 e1 + c22 e2 + + c2n en
gn = cn1 e1 + cn2 e2 + + cnn en
b1 = f ( g1 ) = c11 f ( e1 ) + c12 f ( e2 ) + + c1n f ( en )
b2 = f ( g2 ) = c21 f ( e1 ) + c22 f ( e2 ) + + c2n f ( en )
bn = f ( gn ) = cn1 f ( e1 ) + c2n f ( e2 ) + + cnn f ( en )
sau : B = C A
2.4. Dualul algebric al unui spaiu vectorial
Fie (X,K) un spaiu vectorial, dim X = n .
Considerm mulimea tuturor funcionalelor liniare definite pe spaiul X .
, f liniare
Vom organiza aceast mulime ca un spaiu vectorial.
1) 1) oricare ar fi , , unde + este adunarea din corpul K.
2) 2) oricare ar fi i oricare ar fi ,
Cu aceste proprieti, spaiul vectorial reprezint un dual algebric.
DEMONSTRAIE :
Oricare ar fi f este funcional liniar oricare ar fi , oricare ar fi este adevrat relaia : g este funcional liniar oricare ar fi , oricare ar fi este adevrat relaia :
Asociativitate : , oricare ar fi .
Element neutru : exist , , oricare ar fi .
Element simetric : oricare ar fi , exist , astfel nct
.
Comutativitate : , oricare ar fi .
, oricare ar fi .
, oricare ar fi, oricare ar fi .
, oricare ar fi , oricare ar fi .
Dualul algebric se mai numete spaiul adjunct sau conjugat al lui X.
2.5. Funcionale biliniare
Fie (X,K) i fie (Y,K) dou spaii vectoriale definite peste acelai corp de scalari K.
DEFINIIA 2.5.1.
O aplicaie se numete funcional biliniar dac :
1) 1) f ( 1 x + 2 x , y ) = 1 f ( x , y ) + 2 f ( x , y ) , oricare ar fi 1 , 2 K, oricare ar fi x , x X i oricare ar fi y Y ( funcionala f este liniar n raport cu prima variabil, x ) .
2) 2) f ( x , 1 y + 2 y ) = 1 f ( x , y ) + 2 f ( x , y ) , oricare ar fi 1 , 2 K, oricare ar fi y , y Y i oricare ar fi x X ( funcionala f este liniar n raport cu a doua variabil, y ) .
2.6. Matricea unei funcionale biliniare
Fie (X,K) un spaiu vectorial, dimX = m ; fie E = { e1 , e2 ,, em } o baz n X.
Fie (Y,K) un spaiu vectorial, dimY = n ; fie Y = { g1 , g2 ,, gn } o baz n Y.
Oricare ar fi x X , i oricare ar fi y Y , .
Fie , o funcional biliniar,
Notm (1) aij = f ( ei ,gj ) , i = 1 , , m , j = 1 , , n obinem matricea A ( aij ).
DEFINIIA 2.6.1.
Matricea A ( aij ) Mnxm (K) unde aij = f ( ei ,gj ) , i = 1 , , m , j = 1 , , n se numete matricea funcionalei biliniare corespunztoare bazelor E din spaiul X i G din spaiul Y.
f ( x , y ) = = 1 ( 1 a11 + 2 a12 + + n a1n ) +
+ 2 ( 1 a21 + 2 a22 + + n a2n ) + +
+ am ( 1 am1 + 2 am2 + + n amn ) = XT AY .
XT = ( 1 ,2 , , m ) , ,
(2) f ( x , y ) = XT AEG YG
2.7. Schimbarea matricei unei funcionale biliniare la schimbarea bazelor
Fie (X,K) un spaiu vectorial, dimX = m ; fie E = { e1 , e2 ,, em } o baz n X.
Fie (Y,K) un spaiu vectorial, dimY = n ; fie Y = { g1 , g2 ,, gn } o baz n Y.
Fie i .
Fie o funcional biliniar .
Fie A matricea funcionalei biliniare f corespunztoare bazei E din spaiul X i bazei G din spaiul Y .
Fie F = { f1 , f2 , , fm } o alt baz n spaiul X .
Fie CEF matricea de trecere de la baza E la baza F.
Fie H = { h1 , h2 , , hm } o alt baz n spaiul Y .
Fie B matricea funcionalei biliniare f corespunztoare bazei F din spaiul X i bazei H din spaiul Y.
(3) (3) f ( x , y ) = XTE A YG(4) (4) f ( x , y ) = XTF B YH(5) (5) XF = ( CT )-1 XE(6) (6) YH = ( DT )-1 YG
A = C 1 B ( DT )-1 | C C A = C C 1 B ( DT )-1 DT | C A = B ( DT )-1
B = C A DT
CAPITOLUL 3
SPAII EUCLIDIENE
3.1. 3.1. Produs scalar
Fie (V,R) un spaiu vectorial .
DEFINIIA 3.1.1.
O aplicaie < , > se numete produs scalar real dac :
1) 1) < x , y > = < y , x > , oricare ar fi .
2) 2) < x , y > = < x , y > , oricare ar fi R i oricare ar fi .
3) 3) < x + y , z > = < x , z > + < y , z > , oricare ar fi .
4) 4) < x , x > 0 , oricare ar fi i < x , x > = 0 x = 0 .
EXEMPLUL 1 :
Fie V = C [ a , b ] = { f | , f continue } , f , g C [ a , b ]Prin definiie, < f , g > = . S se arate c < f , g > reprezint un produs scalar .
1) 1) < f , g > = = < g , f >
2) 2) < f , g > = = < f , g >3) 3) < f + g , h > = = = < f , h > + < g , h >
4) < f , f > = 0 i < f , f > = 0 f ( x ) = 0 oricare ar fi x [ a , b ]
presupunem c f ( x ) = 0 < f , f > = = 0
presupunem c < f , f > = 0 = 0
presupunem c 0 pe [ a , b ] exist [ a , b ] astfel nct
Dar funcia f este continu exist V astfel nct x V f ( x ) 0 f2 ( x ) 0 > 0 , aceasta fiind o contradicie cu faptul c
= 0 f ( x ) = 0 , oricare ar fi x [ a , b ] .
EXEMPLUL 2 :
V = Rn x Rn , x = ( x1 , x2 , , xn )T , y = ( y1 , y2 , , yn )T
prin definiie, < x , y > = .
EXEMPLUL 3 :
V = P2 [ R ] , f ,g P2 [ R ]
prin definiie, < f ,g > = .
PROPRIETILE PRODUSULUI SCALAR:
1) 1) Oricare ar fi < , x > = < x , > = 0
Demonstraie : < 0 , x > = 0 < , x > = 0 .
2) 2) < x + y , z > = < x , z > + < y , z >
Demonstraie : < x + y , z > = < x , z > + < y , z > = < x , z > + < y , z > .
Consecin:
< x + y , x + y > = 2 < x ,x > + < x , y > + < y , z > + 2 < y , y > .
3.2. 3.2. Spaiu euclidian
Fie (V,R) un spaiu vectorial finit dimensional , dim V = n .
DEFINIIA 3.2.2.
Un spaiu vectorial (V,R) finit dimensional, peste care s-a definit un produs scalar se numete spaiu euclidian .
EXEMPLUL 1 : x2
V = R2 , fie X R2 , X( x1 ,x2 )
-x2 X( x1 ,x2 )
lung || x || = (lungimea vectorului x ) |
< x , x > = x21 + x22 x1 x1
|| x || =
EXEMPLUL 2 :
(-1,2) 2-
Fie X( 2 , 1 ) i Y ( -1 , 2 )
< x , y > = 2( -1 ) + 1 2 = 0 1- (2,1)
cos = | | |
-1 1 2
Observaie :
Dac < x , y > = 0 cos = 0 = deci vectorii x i y sunt ortogonali.
DEFINIIA 3.2.2.
Fie (V,R) un spaiu euclidian . Vectorii x , y V sunt ortogonali dac < x , y > = 0 .
3.3. 3.3. Inegalitatea Cauchy Buniakowski Schwartz n spaii euclidiene
Oricare ar fi x , y doi vectori ce aparin spaiului euclidian (V,R) ,
| < x , y > | || x || || y ||
DEMONSTRAIE :
Cazul 1 : < x , y > = 0 inegalitatea este satisfcut .
Cazul 2 : < x , y > 0 x i y ( conform proprietii 1) ) .
Considerm R ( oarecare ) .
= < x , x > - < y , x > - < x , y > + 2 < y , y > =
= - 2 < x , y > + 2 0 || x ||2 || y ||2
2 || y ||2 2 < x , y > + || x ||2 0 , oricare ar fi R .
< x , y >2 - || y ||2 || x ||2 0 < x , y >2 || x ||2 || y ||2
|< x , y >| = || x || || y || .
3. 4 . Produs scalar complex
Fie (V,C) un spaiu vectorial finit dimensional peste C .
DEFINIIA 3.4.1.
O aplicaie < , > : se numete produs scalar complex dac :
1) 1) < x , y > = , oricare ar fi .2) 2) < x , y > = < x , y > , oricare ar fi C i oricare ar fi .3) 3) < x + y , z > = < x , z > + < y , z > , oricare ar fi .4) 4) < x , x > 0 i < x , x > = 0 x = , oricare ar fi .
COROLAR :
< x , y > = < x , y >
DEMONSTRAIE :
< x , y > = = = < x , y > .
EXEMPLUL 1 :
Fie V = C .
, , i = 1 , , n .
, , j = 1 , , n .
prin definiie , < x , y > = .
DEFINIIA 3.4.2.
Fie (V,K) un spaiu euclidian de dimensiune finit , unde K este R sau C . Vectorii x , y V sunt ortogonali dac < x , y > = 0 .
3.5. Elemente ortogonale ntr-un spaiu euclidian
Fie (V,K) un spaiu euclidian , unde K este R sau C .
Fie AV , fie .
DEFINIIA 3.5.1.
Vectorul x0 este ortogonal pe mulimea A dac x0 este ortogonal pe toi vectorii mulimii A, adic :
< x0 , a > = 0 , oricare ar fi aA . ( notm )
DEFINIIA 3.5.2.
Mulimea tuturor elementelor ortogonale pe mulimea A se numete complementul ortogonal al mulimii A i-l notm astfel :
(1) (1) .
PROPOZIIA 3.5.1.
Complementul ortogonal al mulimii A este un subspaiu al spaiului V .
DEMONSTRAIE :
Din (1) tim c mulimea Aeste inclus n spaiul V .
, oricare ar fi .
, oricare ar fi .
< x + y , a > = < x , a > + < y , a > = 0 , oricare ar fi .
< x , a > = < x , a > = 0 , oricare ar fi aA .
PROPOZIIA 3.5.2.
Fie (V,K) un spaiu euclidian, unde K este R sau C .
Fie vectorii x1 , x2 , , xn V ,nenuli i ortogonali doi cte doi . Atunci vectorii x1 , x2 , , xn sunt liniar independeni .
DEMONSTRAIE :
Din ipotez tim c , i = 1 , , n .
, oricare ar fi i , j = 1 , , n , < xi , xj > = 0 pentru i i j = = 1 , , n , .
Fie combinaia liniar 1 x1 + 2 x2 + + n xn = .
= 0 0 0 diferit de zero
0 0 0
, oricare ar fi j = 1 , , n .
PROPOZIIA 3.5.3.
Vectorii x1 , x2 , , xn V ( unde V este un spaiu euclidian ) , sunt liniar
dependeni = 0 . (3)
DEMONSTRAIE :
Presupunem c x1 , x2 , , xn sunt liniar dependeni .
i) i) dac exist xi = , atunci detH = 0 .
ii) ii) presupunem c toi ( i = 1 , , n ) .
Dac xi sunt liniar dependeni, atunci este adevrat fr ca toi scalarii i s fie nuli ( i = 1 , , n ).
= 0 , oricare ar fi j = 1 , , n
- dac j = 1 = 0
obinem un sistem liniar i omogen de n
- dac j = n = 0 ecuaii cu n necunoscute.
Sistemul are soluia nebanal ( din ipotez ) , deci detH = 0 .
3.6. Baze ortogonale ; Teorema Gramm - Schmidtt
Fie V un spaiu euclidian real sau complex n dimensional .
Fie B = { b1 , b2 , , bn } o baz n V.
DEFINIIA 3.6.1.
Baza B este ortogonal dac , i = 1 , , n , . ( deci o baz este ortogonal cnd vectorii ei sunt ortogonali doi cte doi )
DEFINIIA 3.6.2.
O baz ortogonal B = { b1 , b2 , , bn } este ortonormal dac || bi || = 1 , unde i = 1 , , n .
EXEMPLUL 1 :
versori ai axelor de coordonate
< e1 , e2 > = 0
e2( 0,1 )- || e1 || = || e2 || = 1
|
0 0 e1( 1,0 )
TEOREMA GRAMM SCHMIDTT :
Fie V un spaiu euclidian , dim V = n . Atunci exist n V o baz ortogonal .
DEMONSTRAIE :
Fie F = { f1 , f2 , , fn } o baz n spaiul V .
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz ortogonal .
e1 = f1e2 = f2 + 21 e1e3 = f3 + 32 e2
ei = fi + ii-1 ei-1 + ii-2 ei-2 + + i1 e1.en = fn + nn-1 en-1 + nn-2 en-2 + + n1 e1
Vom determina scalarii ij ( i = 2, , n , j = 1 , , n ) astfel nct e1 , e2 , , en s fie ortogonali doi cte doi .
< e1 , e2 > = < f2 + 21 e1 , e1 > = < f2 , e1 > + 21 < e1 , e1 > = 0
i < e3 , e1 > = 0 i < e3 , e2 > = 0
< e3 , e1 > = < f3 + 32 e2 + 31 e1 , e1 > = < f3 , e1 > + 32 < e2 , e1 > + 31 < e1 , e1 >= 0
< e3 , e2 > = < f3 + 32 e2 + 31 e1 , e2 > = < f3 , e2 > + 32 < e2 , e2 > + 31 < e1 , e2 >= 0
n general , .
< eI , e1 > = < fI + ii-1 eI-1 + ii-2 eI-2 + + i1 e1 , e1 > = < fI ,e1 > + ii-1 < eI-1 , e1 > +
+ ii-2 < eI-2 , e1 > + + i1 < e1 , e1 > = 0 .
n general , ( i = 2, , n , j = 1 , , n ) .
Am obinut astfel n vectori e1 , e2 , , en ortogonali doi cte doi vectorii sunt liniar independeni . tim c dimensiunea spaiului este n , deci vectorii e1 , e2 , , en formeaz o baz ortogonal .
EXEMPLUL 2 :
Fie ( R3 , R ) un spaiu euclidian.
xR3 , x = ( x1 , x2 , x3 )T ; yR3 , y = ( y1 , y2 , y3 )TFie produsul scalar .
Fie F = { f1 , f2 , f3 } unde , , . Fie E = { e1 , e2 , e3 } .
< f2 + 21 e1 , e1 > = 0 < f2 , e1 > + < e1 , e1 > = 0
< f2 , e1 > = 1 , < e1 , e1 > = 2
< f3 + 32 e2 + 31 e1 , e1 >= 0 < f3 , e1 > + 32 < e2 , e1 > + 31 < e1 , e1 >=0
< f3 , e1 > = 1
< f3 + 32 e2 + 31 e1 , e1 >= 0 < f3 , e1 > + 32 < e2 , e1 > + 31 < e1 , e2 >=0
< f3 , e2 > = , < e2 , e2 > =
PROPOZIIA 3.6.1.
Fie (V,K) un spaiu euclidian, dim V = n i fie un subspaiu al lui V . Fie B0 = { b1 , b2 , , bn } . Vectorul aV este ortogonal pe V0 dac i numai dac a este ortogonal pe B0 .
DEMONSTRAIE :
1) Presupunem c a V este ortogonal pe V0 < a , x > = 0 , oricare ar fi x V0 .
Din ipotez tim c bi V0 < a , bi > = 0 ( i = 1 , , p ) aB0 .
2) 2) Presupunem c aB0 < a , bi > = 0 ( i = 1 , , p ) .
Fie xV0 x = 1 b1 + 2 b2 + + p bp .
< a , x > = < a , 1 b1 + 2 b2 + + p bp > = +
.
3.7. 3.7. Izomorfismul spaiilor euclidiene
Fie V i W dou spaii euclidiene peste corpul K, unde K este C sau R .
DEFINIIA 3.7.1.
Spaiul V este izomorf cu spaiul W dac exist bijectiv astfel nct : 1) ( x + y ) = ( x ) + ( y ) , oricare ar fi x , y V .
2) ( x ) = ( x ) , oricare ar fi x V i oricare ar fi K .
3) < x , y > = < ( x ) , ( y ) > , oricare ar fi x , y V .
TEOREMA 3.7.1.
Fie V i W dou spaii euclidiene peste acelai corp K , dim V = dim W = n .
Atunci . ( adic dou spaii euclidiene de aceeai dimensiune sunt izomorfe ).
DEMONSTRAIE :
Fie (V,R) un spaiu euclidian, dimV = n; fie B = { b1 , b2 , , bn } o baz n V .
Vom demonstra c V Rn .
Dac B este o baz n spaiul V, conform teoremei Gramm Schmidtt , din B vom putea construi o baz ortonormal .
E={ e1 , e2 , , en } , ( i = 1 , , n , ), || ei ||= 1, || ei || = Fie xV (, i = 1 , , n )
Fie yV (, j = 1 , , n )
Definim , ( x ) = ( x1 , x2 , , xn )T . Funcia este un izomorfism , adic este bijectiv i :
1) 1) ( x + y ) = ( x ) + ( y ) , oricare ar fi x , y V .
2) ( x ) = ( x ) , oricare ar fi x V i oricare ar fi K .
3) < x , y > = < ( x ) , ( y ) > , oricare ar fi x , y V .
Primele dou relaii sunt evidente. O vom demonstra pe cea de a treia.
Rezult astfel c V Rn W Rn , bijectiv , deci exist , bijectiv .
este o funcie care realizeaz un izomorfism ntre spaiile V i W .
OBSERVAIE : Demonstraia n cazul n care corpul de scalari este C este asemntoare.
3.8. 3.8. Proiecia unui vector pe un subspaiu
Fie V un spaiu vectorial euclidian i fie V1 V ( V1 un subspaiu liniar al lui V ).
Fie f V i fie f0 V1 astfel nct ( f f0 ) este perpendicular pe V1 .
DEFINIIA 3.8.1.
Vectorul f0 cu aceste proprieti se numete proiecia vectorului f pe subspaiul V1 . ( f0 = prV 1 f )
PROPOZIIA 3.8.1.
Dac exist f0 V1 , f0 = prV 1 f , atunci : || f f0 || || f f 1 || oricare ar fi
f1 V .
DEMONSTRAIE :
|| f f1 || 2 = < f f1 , f f1 > = < f f 0 + f f0 , f f0 + f0 f1 > = < f f0 , f f0 > +
+ 2< f f0 , f1 f0 > + < f0 f1 , f0 f1 > = || f f0 ||2 + 2< f f0 , f1 f0 > + || f0 f1 || 2=
= || f f0 ||2 +|| f0 f1 || 2 || f f1 || 2 = || f f0 ||2 +|| f0 f1 || 2
|| f f1 || 2 || f f0 ||2 || f f1 || || f f0 ||
Imaginea geometric :
f
f-f1 f1 f-f0 f0
f0-f1
3.9. 3.9. Calculul proieciei unui vector pe un subspaiu
Fie V un spaiu euclidian . Fie V1 V un subspaiu al lui V i fie f un vector
oarecare din V.
Presupunem dim V = p exist E = { e1 , e2 , , ep } o baz ortonormal.
Prin definiia vectorului f0 tim c , adic < f f0 , x > = 0 , oricare ar fi vectorul x din V1 . ( * )
Din ( * ) i din faptul c un vector este ortogonal pe un subspaiu dac este ortogonal pe vectorii bazei , rezult c < f f 0 , ei > = 0 , oricare ar fi i = 1, , p .
< f , ei > - < f0 , ei > = 0 < f0 , ei > = < f , ei > , oricare ar fi i = 1, , p .
(**) , oricare ar fi i = 1, , p
pentru c vectorii e1 , e2 , , ep sunt liniar independeni .
Deci sistemul are soluie unic c1 , c2 , , cp pe care o nlocuim n relaia (**) .
EXEMPLUL 1 :
Fie V = R3 , f R3 , f = ( 1 , 2 , 1 )T .
Fie V1 V un subspaiu al lui V , .
O baz n V1 este { e1 , e2 } unde : e1 = ( 1 , 0 , 1 ) i e2 = ( 0 , 1 , 0 ) .
Trebuie s calculm f0 V1 astfel nct .
f0 = c1 e1 + c2 e2 , i .
< e1 ,e1 > = 1 ; < e2 , e2 > = 1 ; < f , e1 > = 1 ; < f , e2 > = 2
1 - f
c1 = 1 ; c2 = 2 . f0 = ( 1 , 2 , 0 ) . |
| 2
1 f0CAPITOLUL 4
OPERATORI LINIARI
4.1. Noiunea de operator liniar
Fie X i Y dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari K .
DEFINIIA 4.1.1.
O aplicaie se numte operator .
DEFINIIA 4.1.2.
Operatorul este aditiv dac U ( x + y ) = U ( x ) + U ( y ) , oricare ar fi .
DEFINIIA 4.1.3.
Operatorul este omogen dac U ( x ) = U ( x ) , oricare ar fi i oricare ar fi .
DEFINIIA 4.1.4.
Operatorul este liniar dac este aditiv i omogen .
DEFINIIA 4.1.5. ( definiie echivalent )
Operatorul este liniar dac , oricare ar fi i oricare ar fi vectorii U ( 1 x1 + 2 x2 ) = 1 U ( x1 ) + 2 U ( x2 ) .
OBSERVAIE : Dac este liniar , atunci :
oricare ar fi i oricare ar fi .
PROPRIETATEA 4.1.1.
Dac este aditiv , atunci U ( x ) = y .
DEMONSTRAIE :
x + = x , oricare ar fi .
U (x + ) = U ( x ) .
Din proprietatea de aditivitate, rezult c U ( x ) + U ( x ) = U ( x ) U ( x ) = y .
PROPRIETATEA 4.1.2.
Dac este aditiv , atunci U ( x ) = - U ( - x ), oricare ar fi .
DEMONSTRAIE :
x + ( - x ) = x U ( x + ( - x ) ) = U ( x ) U ( x ) + U ( - x ) = y
U ( x ) = - U ( - x ) .
DEFINIIA 4.1.6.
Fie un operator liniar . Imaginea operatorului este:
Im U = { y Y | exist x X astfel nct U ( x ) = y } .
PROPOZIIA 4.1.1.
Dac operatorul este liniar , atunci Im U este un subspaiu liniar al lui Y .
DEMONSTRAIE :
1) 1) Fie y1 Im U exist astfel nct U ( x1 ) = y1 .
Fie y2 Im U exist astfel nct U ( x2 ) = y2 .
U ( x1 + x2 ) = U ( x1 ) + U ( x2 ) = y1 + y2 Y y1 + y2 Im U .
2) 2) Fie y Im U exist astfel nct U ( x ) = y .
U ( x ) = U ( x ) = y Y y Im U .
Deci imaginea lui U este un subspaiu liniar .
COMPUNEREA OPERATORILOR LINIARI
Fie X , Y , Z trei spaii vectoriale, definite peste acelai corp de scalari K .
Fie operatorii liniari :
, , , W ( x ) = V ( U ( x ) ) .
PROPOZIIA 4.1.1.
Dac U i V sunt liniari, atunci W este liniar .
DEMONSTRAIE :
Fie , fie .
W( 1 x1 + 2 x2 ) = V( U( 1 x1 + 2 x2 ) ) = V( 1 U( x1 ) + 2 U( x2 ) )= 1 V( U( x1 ) ) + + 2 V( U( x2 ) ) = 1 W( x1 ) + 2 W( x2 ) .
INVERSAREA OPERATORILOR LINIARI
Fie X i Y dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari K i fie un operator liniar .
DEFINIIA 4.1.7.
Operatorul U este inversabil dac stabilete o coresponden bijectiv de la spaiul X la spaiul Y .
Atunci exist , definit astfel : .
U-1
x U U(x)=y
X Y
PROPOZIIA 4.1.2.
Dac este un operator liniar inversabil, atunci operatorul este liniar .
4.2. Nucleul unui operator liniar
Fie X i Y dou spaii vectoriale peste acelai corp K i fie un operator .
PROPOZIIA 4.2.1.
Se numete nucleul operatorului U, mulimea : .
DEMONSTRAIE :
1) 1) Fie x1 Ker U U( x1 ) = y .
Fie x2 Ker U U( x2 ) = y .
U( x1 + x2 ) = U( x1 ) + U( x2 ) = y + y = y x1 + x 2 Ker U .
2) 2) Oricare ar fi K , oricare ar fi x Ker U, rezult c:
U( x ) = U ( x ) = y = y x Ker U .
Deci Ker U este un subspaiu al spaiului Ker U .
TEOREMA 4.2.1.
Fie un operator liniar . Operatorul U este inversabil dac i numai dac Ker U = { x } .
DEMONSTRAIE :
1) Presupunem c este un operator inversabil U este bijectiv Im U = Y ( adic U este surjectiv ).
Oricare ar fi x1 , x2 X , x1 x2 U( x1 ) U( x2 ) ( adic U este injectiv ) .
Din faptul c U este liniar rezult c U( x ) = y .
Deoarece operatorul U este bijectiv , U este singurul vector cu proprietile de mai sus Ker U = { x } .
3) Presupunem c Ker U = { x } .
Im U = Y U este surjectiv.
Fie x , y X , x y . Presupunem c :
U( x ) = U( y ) U( x ) U( y ) = yU( x ) + U ( - y ) = y U( x + ( - y ) ) = y U( x y ) = y x y Ker U.
Dar Ker U = { x } x y = x x = y ceea ce reprezint o contradicie cu ipoteza ca x y U este injectiv .
Deci U este bijectiv este inversabil .
4.3. Matricea unui operator liniar
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = m , E = { e1 , e2 , , em } o baz n
spaiul X , oricare ar fi xXxE = .
Fie (Y,K) un spaiu vectorial , dim Y = n , G = { g1 , g2 , , gm } o baz n
spaiul Y , oricare ar fi y Y yE = .
Fie un operator liniar , astfel nct oricare ar fi x X U( x ) = y .
e1 X U( e1 ) = a11 g1 + a12 g2 + + a1n gn
.. (1) A ( aij ) , i = 1 , , m ,
emX U( em ) = am1 g1 + am2 g2 + + amn gn j = 1 , , n
Matricea A se numete matricea operatorului liniar U corespunztoare bazei E din spaiul X i bazei G din spaiul Y .
j =.
j =1 1 = 1 a11 + 2 a21 + + m am1 (2)
j = n n = 1 a1n + 2 a2n + + m amn
SCHIMBAREA MATRICEI UNUI OPERATOR LINIAR LA SCHIMBAREA BAZEI
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = m , E = { e1 , e2 , , em } o baz n
spaiul X , oricare ar fi x X xE = .
Fie (Y,K) un spaiu vectorial , dim Y = n , G = { g1 , g2 , , gm } o baz n
spaiul Y , oricare ar fi y Y yE = .
Fie A matricea operatorului U corespunztoare bazelor E din spaiul X i G din spaiul Y .
Fie F = { f1 , f2 , , fm } o nou baz n spaiul X . Fie H = { g1 , g2 , , gn } o nou baz n spaiul Y .
Fie B matricea operatorului U corespunztoare bazelor F din X i H din Y .
Fie C matricea de trecere de la baza E la baza F, n spaiul X.
(3)
Fie D matricea de trecere de la baza G la baza H , n spaiul Y.
(4)
.
OBSERVAII :
1) 1) dac X = Y E = G i F = H C = D B = CAC-1 .
2) dac n X trecem de la baza E la baza F , iar n Y avem G = H D = In B = CA .
3) dac n Y trecem de la baza G la baza H , iar n X avem G = H C = Im B = AD-1 .
4.4. Operaii cu operatori liniari
Fie un operator liniar i fie alt operator liniar.
DEFINIIA 4.4.1.
U = V dac , oricare ar fi x X , U( x ) = V( x ) .
DEFINIIA 4.4.2.
W = U + V dac , oricare ar fi x X , W( x ) = U( x ) + V( x ) (1) .
PROPOZIIA 4.4.1.
Dac U i V sunt doi operatori liniari, atunci i W = U + V este liniar.
DEMONSTRAIE :
W( 1 x1 + 2 x2 )= U( 1 x1 + 2 x2 ) + V( 1 x1 + 2 x2 ) = 1 U( x1 ) + 2 U( x2 ) +
+ 1 V( x1 ) + 2 V( x2 ) = 1 ( U( x1 ) + V( x1 ) ) + 2 ( U( x2 ) + V( x2 ) ) = 1 W( x1 ) +
+ 2 W( x2 ) , oricare ar fi 1 , 2 K i oricare ar fi x1 , x2 X .
DEFINIIA 4.4.3.
Operatorul nul se definete prin ( x ) = y ( y este elementul neutru din spaiul vectorial Y ) .
DEFINIIA 4.4.4.
Operatorul opus operatorului este operatorul
, ( -U )( x ) = -U( x ) .
DEFINIIA 4.4.5.
Oricare ar fi K , , ( U )( x ) = U ( x ) . (2)
PROPOZIIA 4.4.2.
Fie U = { | U liniar }. Atunci ( U , + , ) este un spaiu vectorial
numit spaiul vectorial al operatorilor liniari definii pe spaiul X cu valori n spaiul Y.
OBSERVAIE :
Operaiile + i sunt definite de relaiile (1) i (2) .
4.5. Vectori proprii i valori proprii ale unui operator liniar
Fie (X,C) un spaiu vectorial ; fie un operator liniar .
DEFINIIA 4.5.1.
Un vector x X , x , se numete vector propriu al operatorului U dac este soluie a ecuaiei U( x ) = x , C (1) .
Un vector propriu se mai numete i vector caracteristic .
DEFINIIA 4.5.2.
Scalarii pentru care ecuaia (1) are soluii nenule se numesc valorile proprii ( caracteristice ) ale operatorului U .
EXISTENA VALORILOR PROPRII I CALCULUL LOR
Fie (X,C) un spaiu vectorial , dim X = n ; fie un operator liniar.
Fie A matricea operatorului U corespunztoare unei baze oarecare :
E = { e1 , e2 , , en } . Atunci YE = AT xE (2) .
Relaia (1) devine (1) AT x = x (3) ( AT I ) x = , I fiind matricea unitate de ordinul n .
Relaia (3) repezint un sistem liniar i omogen care are forma :
Sistemul (3) are i soluii nebanale dac determinantul sistemului este nul :
det ( AT I ) = 0 (4)
Ecuaia (4) este o ecuaie de gredul n n i se numete ecuaie caracteristic
Soluiile ecuaiei caracteristice sunt valorile proprii .
OBSERVAIE :
Existena valorilor proprii nu poate fi considerat aprioric.
EXEMPLUL 1 :
Fie , x R3 , x = ( x1 , x2 , x3 )T .
U( x ) = U( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 x3 , x3 , -2 x2 3 x3 ) , U( x ) = y .
= ( 1 ) ( 2 + 3 + 2 ) = 0 .
1 = 1 ; 2 = -1 ; 3 = -2 .
Calculul vectorilor proprii corespunztori :
Pentru 1 = 1 U( x ) = 1*x AT x = x .
Necunoscutele x2 i x3 sunt necunoscute principale . Prima ecuaie este ecuaie secundar . Determinantul sistemului este nul . x2 = x3 = 0 .
x = ( a , 0 , 0 ) , ( pentru c x este un vector nenul ) .
Pentru 2 = -1 x = ( b , -b , b ) , .
Pentru 3 = -2 x = , .
PROPOZIIA 4.5.1.
Fie , un operator liniar i fie 0 o valoare proprie a sa . Atunci mulimea (3) este un subspaiu al spaiului vectorial X, denumit subspaiu propriu al spaiului vectorial X, corespunztor valorii proprii 0 .
OBSERVAIE :
Mulimea conine toi vectorii proprii corespunztori valorii proprii 0 i vectorul nul.
DEMONSTRAIE :
1) 1) Fie x1 , x2 .
U( x1 ) = 0 x1 U( x2 ) = 0 x2
U( x1 ) + U( x2 ) = 0 ( x1 + x2 ) U( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) x1 + x2 .
2) 2) Oricare ar fi C i oricare ar fi x U( x ) = 0 x .
U( x ) = U( x ) = 0 x = 0 ( x ) x .
PROPOZIIA 4.5.2.
Fie un operator liniar .
Fie 1 , 2 , , n , n valori proprii ale lui U diferite dou cte dou.
Fie x1 , x2 , , xn , n vectori proprii corespunztori valorilor proprii 1 ,
2 , , n . Atunci vectorii x1 , x2 , , xn sunt liniar independeni .
DEMONSTRAIE :
Se va demonstra propoziia prin inducie dup n .
1) 1) Verificare:
n =2 , , U( x1 ) = 1 x1 U( x2 ) = 2 x2
Fie combinaia liniar (4) 1 x1 + 2 x2 = ( 1 , 2 C ) .
1 1 x1 + 2 2 x2 = .
nmulim relaia (4) cu ( -1 ) i adunm cele dou relaii . Vom obine :
2 ( 2 1 ) x1 = x2 . Dar 1 2 2 = 0 .
nmulim relaia (4) cu ( -2 ) i adunm cele dou relaii . Vom obine :
1 ( 2 1 ) x2 = x1 . Dar 1 2 1 = 0 .
2) 2) Presupunem c vectorii x1 , x2 , , xn-1 sunt liniar independeni i demonstrm c vectorii x1 , x2 , , xn-1 , xn sunt liniar independeni .
1 x1 + 2 x2 + + n-1 xn-1 = i = 0 ( i = 1 , , n-1 ) . (5)
1 x1 + 2 x2 + + n-1 xn-1 + n xn = . (6)
Relaiei (6) i aplicm operatorul liniar U , U( xi ) = i xi , i = 1 , , n .
1 1 x1 + 2 2 x2 + + n-1 n-1 xn-1 + n n xn = (6)
nmulim relaia (6) cu ( -n ) i adunm cu relaia (6)
1 ( 1 n ) x1 + 2 ( 2 n ) + + n-1 ( n-1 n ) xn-1 = 1 = 2 == n-1 =0
Din aceast ultim relaie i din relaia (6) rezult c n xn = . Cum xn 0 , nseamn c n = 0 .
OBSERVAIE :
Dac dim X = n i operatorul , U( xi ) = i xi , ( i = 1, , n ) , are n valori proprii diferite , atunci { x1 , x2 , , xn } formeaz o baz .
PROPOZIIA 4.5.3.
Fie un operator liniar , dim X = n . Atunci valorile proprii ale operatorului U sunt invariante la schimbarea bazelor .
DEMONSTRAIE :
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz n spaiul X .
Fie A matricea operatorului corespunztoare bazei E .
Fie G = { g1 , g2 , , gn } o alt baz n spaiul X .
Fie C matricea de trecere de la baza E la baza G.
Ecuaia caracteristic este : | AT I | = 0 .
B = CAC-1 BT = (CT)-1 AT CT.
Ecuaia caracteristic este : | BT I | = 0 .
| (CT)-1AT CT I | = | (CT)-1 AT CT (CT)-1 CT | = | (CT)-1 AT CT - (CT)-1 CT | =
= | (CT)-1 ( AT I ) CT | = | (CT)-1 | | AT I | | CT | = | AT I | = 0 .
CONSECIN :
Dac operatorul are n valori proprii diferite dou cte dou (spaiul X are dimensiunea n), atunci matricea operatorului U n baza { x1 , x2 , , xn } unde U( xi ) = i xi , ( i = 1, , n ) , este o matrice diagonal , avnd pe diagonal valori proprii .
DEMONSTRAIE :
Vectorul xi este un vector propriu corespunztor valorii proprii i , ( i = 1, , n ) .
1 2 3 n , i j , i j , i , j = 1, , n .
Matricea A este matricea operatorului U n baza { x1 , x2 , , xn } .
EXEMPLUL 2 :
Fie ,
, =( 1 )( 1 + ) = 0
pentru 1 = 1 :
U( x ) = x AT x = x
pentru 2 = - 1 :
U( x ) = - x AT x = - x
pentru 3 = 0 :
U( x ) = 0 AT x = 0
Fie x1 , x1 = ( 1 , 0 , 0 ) .
Fie x2 , x3 = ( 1 , -2 , 2 ) . Fie x3 , x3 = ( 2 , -1 , 0 ) .
Calculm matricea operatorului U n baza G :
IMPORTANA DIAGONALIZRII
Fie un polinom de gradul m , P ( ) = a0 + a1 +a2 2 + +am m .
Fie An ( K ) o matrice cu n linii i n coloane .
P ( A ) = a0 In + a1 A +a2 A2 + +am Am .
Dac A este o matrice diagonal :
Prin inducie demonstrm c :
Fie matricea B , de forma :
Dac A este o matrice diagonal , , atunci i B este o matrice diagonal , unde B = C-1AC .
DEMONSTRAIE :
B = C-1AC A = CBC-1
A2 = CBC-1 CBC-1 = CB2C-1Demonstrm prin inducie matematic faptul c An = CBnC-1 .
DEFINIIA 4.5.3.
Fie A Mn( K ) . Aceast matrice este diagonalizabil dac exist o matrice C ,
CMn( K ) , nesingular , cu determinantul diferit de zero , i exist o matrice diagonal B astfel nct A = C-1 B C .
DEFINIIA 4.5.4.
Matricele A i B Mn( K ) se numesc similare dac exist o matrice CMn( K )
astfel nct A = C-1 B C .
OBSERVAIE :
Relaia de similitudine este o relaie de echivalen .
DEFINIIA 4.5.5.
Fie (X,K) un spaiu vectorial de dimensiune n , i fie un operator liniar . Operatorul U este diagonalizabil dac exist n X o baz astfel nct matricea operatorului U n baza E s fie o matrice diagonal.
U( XE ) = AT XE , .
PROPOZIIA 4.5.4.
Fie un operator liniar i subspaiul propriu corespunztor valorii proprii . Atunci .
DEMONSTRAIE :
Fie exist astfel nct y = U( x ) .
Din rezult c U( x ) = x . Deci y = x .
OBSERVAIE :
X este un invariant al operatorului U .
PROPOZIIA 4.5.5.
Fie un operator liniar , dim X = n .
Fie subspaii proprii corespunztoare valorilor proprii 1 ,
2 , , p , diferite dou cte dou ( ) .
Fie ( i = 1 , , p ) .
Atunci :
1) 1) este un sistem de vectori liniar independeni .
2) 2) .
DEMONSTRAIE :
1) 1) , sunt liniar independeni .
, sunt liniar independeni .
, sunt liniar independeni .
(1) (1)
xi sunt vectori proprii sau xi = .
xi = este imposibil deoarece .
sunt vectori liniar independeni relaia (1) poate avea loc numai dac ij = 0 .
2) Fie i x = x2 + + xp , unde , , x - x2 - - xp = este o combinaie liniar cu coeficieni diferii de zero .
ntruct , x2 , , xp sunt liniar independeni ()
combinaia liniar nu poate avea loc dect dac x = .
OBSERVAIE:
, .
Fie A Mn( K ) . Fie 0 o valoare proprie corespunztoare matricei A . Deci 0 este soluie a ecuaiei .
DEFINIIA 4.5.6.
Dac 0 are ordinul de multiplicitate m , atunci m se numete ordinul de multiplicitate algebric.
DEFINIIA 4.5.7.
Fie . Atunci r se numete ordinul de multiplicitate geometric.
PROPOZIIA 4.5.6.
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = n . Fie un operator liniar . Fie 0 o valoare proprie a operatorului U cu ordinul de multiplicitate algebric m i fie . Atunci : r m .
DEMONSTRAIE :
Fie E = { e1 , , er } o baz n subspaiul . Completm aceast baz n modul urmtor : E = { e1 , , er } { er+1 , , en } , astfel nct E s fie baz n X .
U( ei ) = 0 ei , i = 1 , , r .
.
U( er+1 ) = ar+1,1 e1 + + ar+1,r er + ar+1,r+1 er+1 + + ar+1,n en
.
U( en ) = an1 e1 + + anr er + anr+1 er+1 + + ann en
OBSERVAIE :
A este matricea operatorului U corespunztoare bazei E completate astfel:
E ={ e1 , , er }{ er+1 , , en } . Ecuaia caracteristic este : .
0 este o rdcin multipl de ordinul cel puin r . Deci : r m .
EXEMPLUL 3 :
, , .
1 = 2 = 3 = 1 m = 3 .
U( x ) = 1*x .
DEFINIIA 4.5.7.
Un corp K se numete algebric nchis dac o ecuaie algebric cu coeficieni din K , de gradul n , are n rdcini n K .
PROPOZIIA 4.5.7.
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = n , iar K este un corp algebric nchis . Fie un operator liniar . Presupunem c U are valorile proprii :
1 multipl de ordinul m1
..
p multipl de ordinul mp
Sunt echivalente afirmaiile :
(1) (1) U este un operator diagonalizabil .
(2) (2) n X exist o baz format din vectorii proprii ai lui U .
(3) (3) ri = mi ( i = 1 , , p ) .
(4) (4) .
DEMONSTRAIE :
(1) (2)
Din ipotez este adevrat c U este diagonalizabil exist E = { e1 , , en } o baz din X astfel nct matricea operatorului U n aceast baz este diagonal .
U( e1 ) = 1 e1
.. n X exist o baz format din vectorii proprii ai
U( en ) = n en lui U .
(2) (3)
Presupunem (2) adevarat : n X exist o baz format din vectorii proprii ai operatorului U .
unde Ei este o mulime format din vectori liniar independeni din spaiul , i = 1 , , p .
Cardinalul mulimii Ei , notat card Ei , reprezint numrul vectorilor din Ei .
card Ei ri mi
.
Aceast relaie nu poate avea loc dect cu egalitate ri = mi , i = 1 , , p .
Presupunem (3) adevrat : ri = mi , i = 1 , , p .
Fie o baz n spaiul , i = 1 , , p . Vectorii din aceast baz sunt vectori proprii din i sunt liniar independeni .
deci n X exist o baz format din vectorii proprii
ai operatorului U .
(3) (4)
Presupunem c ri = mi , i = 1 , , p .
Din propoziia 4.5.5. rezult c .
Deci este adevrat c .
CAPITOLUL 5
FUNCIONALE PTRATICE
5.1. Noiunea de funcional ptratic
Fie (X,R) un spaiu vectorial , dim X = n .
DEFINIIA 5.1.1.
Funcia este o funcional liniar dac oricare ar fi x1 , x2 care aparin lui X i oricare ar fi 1 , 2 care aparin lui R , atunci :
f ( 1 x1 + 2 x2 ) = 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) .
E = { e1 , e2 , , en } , ai = f ( ei ) , i = 1 , , n .
Din capitolul 2 , subcapitolul Funcionale biliniare , cunoatem urmtoarele :
Fie (X,R) , dim X = n i fie (Y,R) , dim Y = m .
Funcionala biliniar are proprietile :
1. 1. Oricare ar fi 1 , 2 R , x1 , x2 X , y Y ,
f ( 1 x1 + 2 x2 , y ) = 1 f ( x1 , y ) + 2 f ( x2 , y ) .
2. 2. Oricare ar fi 1 , 2 R , y1 , y2 Y , x X ,
f ( x ,1 y1 + 2 y2 ) = 1 f ( x , y1 ) + 2 f ( x , y2 ) .
n cazul n care Y = X , . Atunci apar urmtoarele modificari :
A ( aij ) , aij = f ( ei , ej ) , i , j = 1 , , n , .
DEFINIIA 5.1.2.
Funcionala biliniar f ( x , y ) este simetric dac f ( x , y ) = f ( y , x ) , oricare ar fi x , y X .
DEFINIIA 5.1.3.
Prin diagonala produsului cartezian nelegem :
.
DEFINIIA 5.1.4.
Se numete funcional ptratic , restricia unei funcionale biliniare simetrice la diagonala produsului cartezian .
a11 x12 + 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + +
+ 2 a1n x1 xn + a22 x22 + 2 a23 x2 x3 + + 2 a2n x2 xn + + ann xn2 . ( aij = f ( ei , ej ) ) .
DEFINIIA 5.1.5.
V ( x ) este strict pozitiv definit dac V ( x ) > 0 , oricare ar fi x X .
DEFINIIA 5.1.6.
V ( x ) este semipozitiv definit dac V ( x ) 0 , oricare ar fi x X .
DEFINIIA 5.1.7.
V ( x ) este strict negativ definit dac V ( x ) < 0 , oricare ar fi x X .
DEFINIIA 5.1.8.
V ( x ) este seminegativ definit dac V ( x ) 0 , oricare ar fi x X .
DEFINIIA 5.1.9.
V ( x ) este nedefinit dac exist x X astfel nct V ( x ) 0 i exist y X astfel nct V ( y ) 0 .
Se pune problema dac exist o baz G = { g1 , g2 , , gn } astfel nct n aceast baz ( baz canonic ) , V ( x ) = 1 x12 + 2 x22 + + n xn2 .
5.2. Metoda Gauss pentru determinarea formei canonice a unei funcionale ptratice i determinarea bazei
Fie (X,R) un spaiu vectorial , dim X = n , E = { e1 , e2 , , en } .
Fie o funcional biliniar simetric .
A ( aij ) , aij = f ( ei , ej ) , i , j = 1 , , n , .
Presupunem c exist indicele i ( 1 i n ) astfel nct aii este diferit de zero. Presupunem c a11 diferit de zero . Lum separat termenii care conin componenta x1 i vom scrie astfel :
a11 x12 + 2 a12 x1 x2 + + 2 a1n x1 xn = =
=.
Deci unde V1 ( x ) nu conine pe x1 .
Notm :
Astfel , V ( y ) = a11 y12 + b22 y22 + 2 b23 y2 y3 + + bnn yn2 .
Aplicm acelai procedeu lui V1 i dup n pai , obinem forma canonic a funcionalei .
Dac aii = 0 , oricare ar fi i = 1 , , n , vom face notaia urmtoare :
x1 = y1 + y2 ; x2 = y1 y2 ; x3 = y3 ; ; xn = yn .
Astfel , vom obine forma :
EXEMPLUL 1 :
V ( x ) = 2 x12 + x22 x32 + 6 x1 x2 8 x1 x3 + 2 x2 x3
(1) ,
reprezint o funcional n forma canonic .
Care este baza din spaiul vectorial X n care funcionala ptratic V are forma canonic (1) ?
, unde C ( cij ) este matricea de trecere de la baza E la baza G ( G este baza n care funcionala ptratic are forma canonic ) .
;
Fie baza G baza n care vom determina forma canonic a funcionalei ptratice V ,
G = { g1 , g2 , , gn }
Calculm vectorii acestei baze :
Matricea B a funcionalei V n baza G este : .
5.3. 5.3. Metoda Jacobi pentru determinarea formei canonice a funcionalei ptratice
V ( x ) = 2 x12 + x22 x32 + 6 x1 x2 8 x1 x3 + 2 x2 x3
Notm : , , , .
Deci , obinem : .
ntr un spaiu exist mai multe baze n care funcionala poate fi adus la forma canonic , deci forma canonic obinut prin metoda Gauss difer de cea obinut prin metoda Jacobi .
Metoda Jacobi se poate aplica numai dac toi minorii principali ai matricei A sunt nenuli .
METODA JACOBI LA CAZUL GENERAL
Fie spaiul vectorial (X,R) , dim X = n , E = { e1 , e2 , , en } .
Fie o funcional biliniar simetric .
Fie A( aij ) matricea funcionalei f n baza E .
TEOREMA 5.3.1.
Fie o funcional ptratic , unde A( aij ) este matricea funcionalei V n baza E . Dac toi minorii principali ai matricei A sunt nenuli ,
( r = 1 , ,n ) i ,
atunci exist o baz G = { g1 , g2 , , gn } n care matricea B a funcionalei V este diagonal i
.
OBSERVAIE :
n baza G , .
DEMONSTRAIE :
Vom construi baza G astfel :
g1 = 11 e1
g2 = 21 e1 + 22 e2
..
(1)gi = i1 e1 + i2 e2 + + ii ei
gn = n1 e1 + n2 e2 + + nn en
Vom determina scalarii ij din condiiile :
(2) k = 1 , , n , i = 1 , ,k-1
k = 1
f( g1 ,e1 ) = 1 f( 11 e1 , e1 ) = 1 11 f( e1 , e1 ) = 1 11 a11 = 1
. ( din ipotez , a11 este diferit de zero ) .
k = 2
a12 = a21
, .
Analog demonstrm i pentru 1 k n , iar sistemul (2) are soluia urmtoare :
, unde
n baza G astfel determinat , matricea B a funcionalei ptratice V este de forma:
, .
pentru i < j :bij = f( gi , gj ) = f( i1 e1 + + ii ei , gj ) = i1 f( e1 , gj ) + +
+ ii f( ei , gj ) = i1 f( gj , e1 ) + + ii f( gj , ei ) .
Din sistemul (2) , rezult c pentru i < j , bij = 0 .
pentru i = j :bii = f( gi , gj ) = f( i1 e1 + + ii-1 ei-1 + ii ei , gi ) =
= .
, .
EXEMPLUL 1 :
V ( x ) = 2 x12 + x22 x32 + 6 x1 x2 8 x1 x3 + 2 x2 x3
, , ,
g1 = 11 e1
g2 = 21 e1 + 22 e2
g3 = 31 e1 + 32 e2 + 33 e3
pentru k = 1 :
f( g1 , e1 ) = 1 f( 11 e1 , e1 ) = 11 f( e1 , e1 ) = 11 a11 = 211 = 111 = .
pentru k = 2 :
pentru k = 3 :
.
Matricea B a funcionalei ptratice V are forma :
5.4. Legea ineriei
TEOREMA 5.4.1.
Numrul coeficienilor pozitivi i numrul coeficienilor negativi din forma canonic a unei funcionale ptratice V( x ) nu depinde de alegerea bazei canonice .
( Deci , coeficienii pozitivi i coeficienii negativi sunt invariani ai funcionalei ptratice .)
DEMONSTRAIE :
Fie spaiul vectorial (X,R) , dim X = n .Fie bazele canonice E i G din spaiul vectorial X , astfel nct :
E = { e1 , e2 , , en } xE = ( x1 , x2 , , xn )T
G = { g1 , g2 , , gn } yG = ( y1 , y2 , , yn )T
n baza E : , i > 0 , i = 1 , , m1
j > 0 , j = m1+1 , , n1
n baza G : , i > 0 , i = 1 , , m2
j > 0 , j = m2+1 , , n2
Deci funcionala ptratic are n baza E , m1 coeficieni pozitivi i n1 m1 coeficieni negativi . ( Nu am scris n ci n1 , pentru c exist posibilitatea ca anumii coeficieni s fie nuli . )
Trebuie s demonstrm c m1 = m2 i n1 = n2 .
Demonstraia o vom face prin reducere la absurd . Presupunem contrariul i anume m1 > m2 .
Fie subspaiul X1 = Sp ( { e1 , , em1 } ) , X1X , dim X1 = m1 .
Fie subspaiul X2 = Sp ( { gm2+1 , , gn } ) , X2X , dim X2 = m1 .
Fie .
dim X1 + dim X2 = m1 + n m2 D conine i vectori nenuli .
Fie ,
Dar > 0 i < 0 este absurd . Astfel , rezult c m1 m2 .
m1 = m2 .
Analog , presupunnd c m1 < m2 , obinem m1 m2 .
Asemntor demonstrm c n1 = n2 .
DEFINIIA 5.4.1.
Se numete indice de inerie a formei ptratice V ( rangul formei ptratice V ) , numrul total de termeni ce apar ntr o form canonic .
DEFINIIA 5.4.2.
m1 = m2 se numete indicele pozitiv de inerie al funcionalei ptratice V
( adic numrul termenilor pozitivi dintr o form canonic ) .
DEFINIIA 5.4.3.
n1 = n2 se numete indicele negativ de inerie al funcionalei ptratice V .
OBSERVAIE :
Dac m1 = n1 , atunci toi coeficienii funcionalei ptratice V n forma canonic sunt pozitivi , deci funcionala V este pozitiv definit .
REGULA LUI SYLVESTER :
Pentru ca o matrice simetric A( aij ) s determine o funcional ptratic pozitiv definit , este necesar i suficient ca toi minorii principali s fie strict pozitivi .
r = 1 , , n .CAPITOLUL 6
SPAII NORMATE . SPAII METRICE
6.1. 6.1. Norm ; distan
Fie (X,K) un spaiu vectorial , dim X = n , K = R sau K = C .
DEFINIIA 6.1.1.
se numete norm dac :
1) 1) || x || 0 , oricare ar fi x X , || x || = 0 x = 2) 2) || x || = | | || x || , oricare ar fi x X , K
3) 3) || x + y || || x || + || y || , oricare ar fi x , y X
DEFINIIA 6.1.2.
Un spaiu vectorial peste care s a definit o norm se numete spaiu vectorial normat .
EXEMPLUL 1 :
X = Rn , K = R
|| x || = , x R , x = ( x1 , , xn )T .
Fie X o mulime nevid . ( X poate fi i un spaiu vectorial )
DEFINIIA 6.1.3.
se numete metric sau distan , dac :
1) 1) d( x , y ) = d( y , x ) , oricare ar fi x , y X2) 2) d( x , y ) 0 , oricare ar fi x , y X i d( x , y ) = 0 x = y3) 3) d( x , y ) d( x ,z ) + d( z , y ) , oricare ar fi x , y , z X
EXEMPLUL 2 : 6.2. 6.2. Operatori ortogonali
Fie (X,K) un spaiu euclidian , dim X = n , iar un operator liniar .
DEFINIIA 6.2.1.
Operatorul U este ortogonal dac < U( x ) , U ( y ) > = < x , y > , oricare ar fi x ,y X .
Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz ortonormal n spaiul vectorial X .
, < ei , ej > = 0 , oricare ar fi , i , j = 1 , , n
< ei , ei > = 1 , deci || ei || = 1 , oricare ar fi i , j = 1 , , n
Din relaiile de mai sus obinem :
< ei , ej > = ij = .
OBSERVAIE :
Conform teoremei GrammSchmidtt , dintro baz oarecare se poate obine o baz ortogonal . mprind fiecare vector al acestei baze ortogonale cu propria sa norm obinem o baz ortonormal .
TEOREMA 6.2.1.
Fie (X,R) un spaiu euclidian , dim X = n . Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz ortonormal . Fie un operator ortogonal i fie A( aij ) matricea operatorului U n baza E . Atunci : AAT = AT A = In .
DEMONSTRAIE :
Din ipotez tim c baza E = { e1 , e2 , , en } este ortonormal , deci vectorii bazei E verific relaia : < ei , ej > = ij , oricare ar fi i , j = 1 , , n .
( vezi definiia matricei unui operator ) , .
Din ipotez , este ortogonal < U( x ) , U ( y ) > = < x , y > , oricare ar fi x ,y X .
, .
TEOREMA 6.2.2.
Fie (X,R) un spaiu euclidian , dim X = n . Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz ortonormal . Fie un operator ortogonal . Fie A matricea operatorului U n baza E . Atunci :
1) 1) Operatorul U conserv norma .
2) 2) Operatorul U conserv distana dintre doi vectori ( U este izometric ) .
3) 3) Valorile proprii reale ale operatorului U sunt + 1 sau 1 .
DEMONSTRAIE :
1) 1) .
2) 2) d( U( x ) , U( y ) ) = || U( x ) U( y ) || = || U( x y ) || = || x y || = d( x , y )
3) 3) Fie R o valoare proprie a operatorului U , deci U( x ) = x
EXEMPLUL 1 : Operatori ortogonali pe spaii unidimensionale :
Fie X un spaiu euclidian , dim X = n . Fie E = { e } o baz a lui X . Fie un operator ortogonal
Din teorema 6.2.2. rezult c 1 = 1 , 2 = -1 , deci U( e ) = 1e i U( e ) = -1e
EXEMPLUL 2: Operatori ortogonali pe spaii bidimensionale :
Fie X un spaiu euclidian real , dim X = 2 . Fie E = { e1 , e2 } o baz n X . Fie un operator ortogonal . ( E este o baz ortonormal. )
Fie A matricea operatorului U n baza E , .
Din teorema 6.2.1. rezult c | A | =
| A | = 1 ad cb = 1 | AT | = 1
det A = 1 a2 + c2 = 1 exist un unghi astfel nct a = cos i c = sin .
6.3. 6.3. Operatori autoadjunci
Fie (X,R) , K = R sau K = C , un spaiu euclidian .
Fie un operator liniar .
DEFINIIA 6.3.1.
Operatorul U este autoadjunct dac < U( x ) , y > = < x , U( y ) > , oricare ar fi vectorii x , y X .
PROPOZIIA 6.3.1.
Fie (X,C) un spaiu euclidian , dim X = n , un operator autoadjunct. Atunci : < U( x ) , y > R , oricare ar fi x , y X .
DEMONSTRAIE :
< U( x ) , y > = < x , U( y ) > = < U( x ) , y > R .
PROPOZIIA 6.3.2.
Dac operatorul este autoadjunct , atunci valorile sale proprii sunt reale .
DEMONSTRAIE :
Fie o valoare proprie a operatorului U U( x ) = x .
, deoarece || x ||2 este real .
PROPOZIIA 6.3.3.
Fie un operator autoadjunct . Fie 1 , 2 dou valori proprii reale diferite . Fie i subspaiile proprii corespunztoare valorilor proprii 1 i 2 . Atunci .
DEMONSTRAIE :
Fie x U( x ) = 1 x , x .
Fie y U( y ) = 2 y , y . ( )
< U( x ) , y > = < x , U( y ) > < 1 x , y > = < x , 2 y > 1 < x , y > = < x , y > 1 < x , y > = 2 < x , y > ( 1 2 ) < x , y > 1 2 < x , y > = 0 .
MATRICE HERMITIAN
Fie , aij C , i , j = 1 , , n .
Fie , .
DEFINIIE :
Dac A = A* , atunci matricea A se numete matrice hermitian .
EXEMPLUL 1 :
.
OBSERVAIE : dac A este o matrice de numere reale , atunci A = A* dac A = AT.
TEOREM :
Fie (X,C) un spaiu euclidian , dim X = n . Fie un operator autoadjunct . Fie E = { e1 , e2 , , en } o baz ortonormal . Fie A( aij ) matricea operatorului U corespunztoare bazei E . Atunci A este o matrice hermitian .
6.4. 6.4. Metoda transformrilor ortogonale pentru determinarea formei canonice a unei funcionale ptratice
Fie (X,R) un spaiu euclidian , dim X = n , iar E = { e1 , e2 , , en } o baz n
spaiul X .
Fie A( aij ) matricea funcionalei o funcional biliniar simetric .
, x = ( x1 , , xn )T .
A este o matrice simetric A = AT U( x ) = AT x = A x = x .
U este un operator autoadjunct U( x ) = A x = xT AT = xT A .
V( x ) = f( x , x ) = < xT A , x > = < U( x ) , x >
Presupunem c det A este diferit de zero .
tim c U are valori proprii reale distincte .
formeaz o baz ortogonal .
Fie B matricea operatorului U n baza G , B( bij ) i , j = 1 , , n .
, unde i , j = 1 , , n .
Considerm baza ortonormal H = { h1 , h2 , , hn } .
Fie D matricea operatorului U corespunztoare bazei H .
.
xH = ( 1 , , n )T , .
CAPITOLUL 7
PRINCIPIUL CONTRACIEI
7.1. Principiul contraciei
Fie ( X,d ) un spaiu metric . Fie .
DEFINIIA 7.1.1.
irul ( xn ) este convergent n metric dac oricare ar fi > 0 , exist N( ) astfel nct oricare ar fi n N( ) , d( xn , x0 ) < .
DEFINIIA 7.1.2.
irul este ir Cauchy n metric dac oricare ar fi > 0 , exist N( ) astfel nct oricare ar fi n N( ) , oricare ar fi p N* , d( xn+p , xn ) < .
Caz particular : X = R d( x , y ) = || x y || = | x y |
DEFINIIA 7.1.3.
Spaiul metric ( X,d ) se numete spaiu metric complet dac orice ir Cauchy este convergent .
OBSERVAIE : Rn este un spaiu metric complet .
Un ir de puncte din Rn este convergent dac i numai dac n irul componentelor sale, fiecare component este convergent ctre componenta corespunztoare a limitei .
DEFINIIA 7.1.4.
Fie ( X,d ) un spaiu metric .
O aplicaie se numete contracie dac exist un numr real astfel nct d(T(x) , T(y) ) d( x , y ) , oricare ar fi x , y X .
DEFINIIA 7.1.5.
se numete coeficient de contracie .
EXEMPLUL 1 :
X = R , d( x , y ) = | x y |
T( x ) = x ,
d( T( x ) , T( y ) ) = d( x , y ) = | x y | = | x y | = d ( x , y )
TEOREMA 7.1.1. ( Principiul contraciei )
Fie ( X , d ) un spaiu metric complet . Atunci pentru orice contracie de forma : , exist un punct u X astfel nct T( u ) = u i acest punct este unic .
DEMONSTRAIE :
existena :
Fie x0 X . Definim xn = T( xn-1 ) , n = 1 , 2 , , r = d( x0 , x1 ) .
d( x1 , x2 ) = d( T( x0 ) , T( x1 ) ) d( x0 , x1 ) = r d( x1 , x2 ) r
d( x2 , x3 ) = d( T( x1 ) , T( x2 ) ) d( x1 , x2 ) = 2 r d( x2 , x3 ) 2 r
d( xn , xn+1 ) = d( T( xn-1 ) , T( xn ) ) d( xn-1 , xn ) = n r d( xn , xn+1 ) n r
Oricare ar fi n N , oricare ar fi p N* obinem relaia :
d( xn , xn+p ) d( xn , xn+1 ) + d( xn+1 , xn+2 ) + + d( xn+p-1 , xn+p )
n r + n+1 r + + n+p-1 r = n r ( 1 + + + p ) =
= ( pentru c 1 p < 1 )
Rezult astfel c .
1. 1. r = 0 d( x0 , x1 ) = 0 x0 = x1 T( x0 ) = x1 = x0 u = x0 .
2. 2. r > 0
n = 0 oricare ar fi > 0 , exist N( ) astfel nct n N( )
.
xn este ir Cauchy .
ntruct ( X,d ) este un spaiu metric complet, rezult c irul este convergent .
Notm xn = u d( xn , u ) = 0 .
0 d( T( x ) , T( u ) ) d ( xn , u )
Dac trecem la limit relaia de mai sus , cnd , vom obine :
d( T( x ) , T( u ) ) = 0 T( u ) = u .
unicitatea :
Presupunem c exist u , v X , , astfel nct .
d( u , v ) = d( T( u ) , T( v ) ) d( u , v ) Deci d( u , v ) = 0 u = v , ceea ce reprezint o contradicie . Aceasta nseamn c punctul fix este unic .
DEFINIIA 7.1.6.
Punctul u X este un punct fix al contraciei dac T( u ) = u .
Cu aceast definiie , principiul contraciei se mai poate enuna astfel :
ntr un spaiu metric complet , ( X, d ) , pentru , ecuaia T( u ) = u are o singur soluie .
7.2. 7.2. Metoda aproximaiilor succesive
Metoda aproximaiilor succesive reprezint o metod de rezolvare a ecuaiilor i a sistemelor de ecuaii prin alegerea convenabil a unei contracii .
Fie x0 o aproximaie iniial a soluiei ecuaiei f( x ) = 0 .
Determinm , considerm irul xn = T( xn-1 ) , n = 1 , 2 , i determinm coeficientul de contracie .
Pentru a obine o precizie dinainte cerut a rdcinii ecuaiei f( x ) = 0 , precizia fiind , vom determina cel mai mic numr natural n N pentru care :
EXEMPLUL 1 :
S se determine rdcinile ecuaiei x3 + 12 x 1 = 0 n intrevalul [0 , 1] cu patru zecimale exacte .
Cu irul lui Rolle artm c n intervalul [0 ,1] avem o rdcin i numai una
( R , d ) este un spaiu metric complet , d( x , y ) = | x y | .
x3 + 12 x 1 = 0 x ( x2 + 12 ) = 1 x =
Fie , - vom arta c este o contracie .
x0 = 0
x1 = T( x0 ) = T( 0 ) =
r = d( x0 , x1 ) = | x0 - x1 | =
Pentru a obine rdcina cu patru zecimale exacte ne oprim dup n pai ( n iteraii ) , unde n este cel mai mic numr natural pentru care :
Relaia este adevrat pentru n = 2 .
.
PAGE 2