algebra linear 3

Te c n o l o g i a s e m S i s t e m a s d e C o m p u t a ç ã o

Ve r s ã o e m P D F

2 . 3 . 1 . 1 I n t r o d u ç ã o a Ve t o r e s

2 . 3 . 1 . 2 O p e r a ç õ e s c o m Ve t o r e s

2 . 3 . 1 . 3 Ve t o r e s n o R 2

2 . 3 . 1 . 4 I g u a l d a d e e O p e r a ç õ e s

2 . 3 . 1 . 5 Ve t o r d e f i n i d o p o r d o i s p o n t o s

2 . 3 . 1 . 6 P r o d u t o E s c a l a r

2 . 3 . 1 . 7 Â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s

2 . 3 . 1 . 8 Pa r a l e l i s m o e O r t o g o n a l i d a d e d e d o i s Ve t o r e s

2 . 3 . 1 . 9 Ve t o r e s n o R 3

2 . 3 . 1 . 1 0 Ve t o r e s n o R n

2 . 3 . 1 . 1 1 E x e r c í c i o s

2 . 3 . 1 . 1 2 E x e r c í c i o s Te ó r i c o s

2 . 3 . 1 . 1 3 E x e r c í c i o s A P ´ S e A D ´ S

2 . 3 . 1 . 1 4 G l o s s á r i o

2 . 3 . 1 . 1 5 B i b l i o g r á f i a

2 . 3 . 1 . 1 5 . 1 B i b l i o g r á f i a d e l i v r o s

2 . 3 . 1 . 1 5 . 2 B i b l i o g r á f i a d a i n t e r n e t

2 . 3 . 1 . 1 5 . 3 B i b l i o g r á f i a d e DV D

2 . 3 . 1 . 1 6 G a b a r i t o

2 . 3 . 1 . 1 I n t r o d u ç ã o a V e t o r e s

O que são Vetores?A e t i m o l o g i a d a p a l a v r a Ve t o r p r o v é m d o v e r b o l a t i n o

v e h e r e , q u e s i g n i f i c a t r a n s p o r t a d o , l e v a d o . E s t e s i g n i f i c a d o

a p e s a r d e a p a r e n t e m e n t e s e m s e n t i d o é p e r t i n e n t e a a p l i c a ç ã o

m a t e m á t i c a , p o i s r e p r e s e n t a o s e g m e n t o o r i e n t a d o q u e t ê m

d i r e ç ã o , s e n t i d o e c o m p r i m e n t o .

O s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s q u e t ê m a m e s m a d i r e ç ã o , o

m e s m o s e n t i d o e o m e s m o c o m p r i m e n t o s ã o r e p r e s e n t a n t e s d e

1

2 . 3 . 1 V e t o r e s


u m m e s m o Ve t o r, c o n f o r m e v e m o s n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 : Ve t o r e s i g u a i s .

Pa r a e n t e n d e r m o s m e l h o r t e m o s q u e f a z e r m o s u m a d i s t i n ç ã o

e n t r e d o i s t i p o s d e g r a n d e z a s f í s i c a s e x i s t e n t e s : a s e s c a l a r e s e

a s v e t o r i a i s .

A s g r a n d e z a s f í s i c a s e s c a l a r e s ã o q u a n t i d a d e s q u e p o d e m

s e r e m r e p r e s e n t a d a s s o m e n t e p o r u m v a l o r n u m é r i c o , c o m o p o r

e x e m p l o ; m a s s a e p r e s s ã o .

A s g r a n d e z a s f í s i c a s v e t o r i a i s r e q u e r e m n ã o s o m e n t e u m

v a l o r n u m é r i c o , m a s t a m b é m u m a d i r e ç ã o e u m s e n t i d o p a r a

c o m p l e t a r e p r e s e n t a ç ã o . U m e x e m p l o d i s s o s ã o ; a v e l o c i d a d e , a

f o r ç a e o d e s l o c a m e n t o d e u m c o r p o .

Notação de Vetores

O s Ve t o r e s t e m s u a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m e t r i c a s e m e l h a n t e a

d e u m a f l e c h a n o s e s p a ç o s b i e t r i d i m e n s i o n a i s . A d i r e ç ã o e o

s e n t i d o d a f l e c h a r e p r e s e n t a a d i r e ç ã o e o s e n t i d o d o Ve t o r e o

c o m p r i m e n t o r e p r e s e n t a s u a m a g n i t u d e . A p a r t e o p o s t a a p o n t a

d a f l e c h a é d e n o m i n a d o d e p o n t o i n i c i a l d o Ve t o r e a p o n t a d a

f l e c h a , o p o n t o f i n a l . A s l e t r a s m i n ú s c u l a s e m n e g r i t o

s i m b o l i z a m o s Ve t o r e s ( p o r e x e m p l o ; a , k , v , w e x ) .

Q u a n d o t e m o s p o r e x e m p l o , u m p o n t o i n i c i a l d e u m Ve t o r v

2


e m A e o p o n t o f i n a l e m B , e n t ã o p o d e m o s r e p r e s e n t a r d a s

s e g u i n t e s f o r m a s c o n f o r m e f i g u r a 2 . 3 . 1 . 2 :

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 2 : Ve t o r e s r e p r e s e n t a d o d e d u a s f o r m a s .

Po d e m o s e s c r e v e r o s Ve t o r e s d e ℝ n u s a n d o a n o t a ç ã o :

v = ( v 1 , v 2 . . . v n )

E s t a é u m a f o r m a c h a m a d a d e ê n u p l a . E n t r e t a n o , u m Ve t o r e m ℝ n é n a s u a e s s e n c i a u m a l i s t a d e n n ú m e r o s ( o s c o m p o n e n t e s ) o r d e n a d o s d e u m a f o r m a e s p e c í f i c a e , p o r t a n t o , q u a l q u e r n o t a ç ã o q u e e x i b e o s c o m p o n e n e s d o Ve t o r n a s u a o r d e m c e r t a é u m a m a n e i r a c o r r e t a p a r a a n o t a ç ã o d e ê n u p l a . Po d e r i a m o s p o r e x e m p l o r e p r e s e n t a r a n o t a ç ã o a n t e r i o r d a s e g u i n t e f o r m a :

v = [ v 1 , v 2 . . . v n ]

q u e r e p r e s e n t a a f o r m a v e t o r - l i n h a , t a m b é m p o d e r i a m o s u t i l i z a r m o s a f o r m a v e t o r - c o l u n a c o m o e s t á a b a i x o :

3


Comprimento ou módulo de VetorO c o m p r i m e n t o o u m ó d u l o d e u m Ve t o r v = ( x , y , z ) é

r e p r e s e n t a d o e d e f i n i d o p o r :

O Vetor unitárioÉ o q u e t e m o m ó d u l o i g u a l a 1 , o u s e j a | v | = 1 .

Vetor NuloTo d o o u q u a l q u e r p o n t o d o e s p a ç o r e p r e s e n t a o Ve t o r z e r o

( o u Ve t o r N u l o ) , q u e t e m a s u a i n d i c a ç ã o r e p r e s e n t a d a p o r 0 .

Vetor Simétrico (ou oposto)Pa r a t o d o Ve t o r n ã o n u l o v , t e m o s u m Ve t o r c o r r e s p o n d e n t e

s i m é t r i c o ( - v ) , q u e p o s s u e o m e s m o m ó d u l o , a m e s m a d i r e ç ã o , n o e n t a n t o t e m o s e n t i d o o p o s t o d e v , v e j a m o s n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 3 . a b a i x o .

2 . 3 . 1 . 3 : Ve t o r S i m é t r i c o .

Vetores ColinearesS ão d o i s Ve t o r e s u e v , q u e p o s s u e m a m e s m a d i r e ç ã o , o u

s e j a , u e v s ã o d i t o s c o l i n e a r e s s e t i v e r e m r e p r e s e n t a n t e s A B e C D c o n t i d o s e m u m a m e s m a r e t a o u e m u m c o n j u n t o d e r e t a s p a r a l e l a s , c o m o n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 4 .

2 . 3 . 1 . 4 : Ve t o r e s C o l i n e a r e s .

4


Vetores CoplanaresO s Ve t o r e s n ã o n u l o s u e v , q u e p o s s u e m r e p r e s e n t a n t e s A B

e C D c o n t i d o s a u m m e s m o p l a n o , d e n o m i n a m o s Ve t o r e s C o p l a n a r e s . Pa r a d e m o n s t r a ç ã o d e Ve t o r e s C o p l a n a r e s v e j a m o s a f i g u r a 2 .3 . 1 . 5 .

2 . 3 . 1 . 5 : Ve t o r e s C o p l a n a r e s .

2 . 3 . 1 . 2 O p e r a ç õ e s c o m V e t o r e s

Soma entre dois VetoresU m a m a n e i r a p r á t i c a p a r a c a l c u l a r m o s a s o m a e n t r e d o i s

Ve t o r e s é c o n s t r u i r m o s u m p a r a l e l o g r a m o . C o l o c a - s e o s d o i s Ve t o r e s c o m a m e s m a o r i g e m . Fa z - s e o p a r a l e l o g r a m o e a s o m a d e s s e s Ve t o r e s é a d i a g o n a l d e s t e p a r a l e l o g r a m o .

S e t i v e r m o s d o i s Ve t o r e s u e v e m ℝ n , p o r e x m p l o ;

u = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) e v = ( b 1 , b 2 , . . . , b n )

A s u a s o m a , d e n o m i n a d a p o r u + v é e x p r e s s a d a s e g u i n t e f o r m a ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) .

Propriedades da Adiçãoa . A s s o c i a t i v a : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) .

b . C o m u t a t i v a : u + v = v + u .

c . E x i s t e u m ú n i c o v e t o r n u l o 0 t a l q u e , p a r a t o d o Ve t o r v , s e t e m :

v + 0 = 0 + v = v .

5


d . Pa r a t o d o v e t o r v , e x i s t e u m ú n i c o v e t o r - v ( v e t o r o p o s t o d e v ) t a l q u e :

v + ( - v ) = - v + v = 0

Subtração entre dois Vetores D a d o s d o i s Ve t o r e s u e v e n t ã o a s u b t r a ç ã o e n t r e u e v é

d a d o p e l a s o m a :

u + ( - v ) .

G r a f i c a m e n t e , a d i f e r e n ç a d e d o i s Ve t o r e s u e v é o b t i d a f a z e n d o - s e c o m q u e u e v t e n h a m a m e s m a o r i g e m . A d i f e r e n ç a d e Ve t o r e s n ã o é c o m u t a t i v a : u – v ≠ v – u .

Po d e m o s v e r i f i c a r g r a f i c a m e n t e p o r d i f e r e n ç a d e p o n t o s n o c a s o a t r a v é s d a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 6 .

2 . 3 . 1 . 6 : S u b t r a ç ã o e n t r e d o i s Ve t o r e s

Multiplicação de um número real por um Vetor D a d o u m Ve t o r v ≠ 0 e u m n ú m e r o r e a l k , c h a m a - s e p r o d u t o

d o n ú m e r o r e a l k ≠ 0 p e l o Ve t o r v . O Ve t o r u = k . v , t a l q u e :

a . M ó d u l o : | v | = | k . v | = | k | . | v |

b . D i r e ç ã o : u e v t e m a m e s m a d i r e ç ã o .

c . S e n t i d o : S e k > 0 e n t ão u e v t e m o m e s m o s e n t i d o . S e k < 0

6


e n t ã o u e v t e m s e n t i d o s c o n t r á r i o s .

O b s e r v a ç ã o : s e k = 0 o u v = 0 e n t ão u = 0 . S e k = - 1 e n t ã o u = - v , l o g o - v é o Ve t o r S i m é t r i c o d e u . Ve j a m o s u m e x e m p l o n a f i g u r a 2 .3 . 1 . 7 .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 7 : U s o d e n ú m e r o s r e a i s s o b r e Ve t o r e s .

Propriedades da multiplicação por um número real

S e j a m u e v d o i s Ve t o r e s q u a i s q u e r e a e b n ú m e r o s r e a i s .

E n t ã o :

a . a ( b u ) = ( a b ) u ( p r o p r i e d a d e d e i g u a l d a d e )

b . ( a + b ) ( u ) = a u + b u ( p r o p r i e d a d e d i s t r i b u t i v a )

c . a ( u + v ) = a u + a v

d . 1 ( u ) = u

2 . 3 . 1 . 3 V e t o r e s n o ℝ 2

O c o n j u n t o ℝ 2 = ℝ x ℝ n = { ( x , y ) | x , y ∈ ℝ } é i n t e r p r e t a d o

g e o m e t r i c a m e n t e c o m o s e n d o o p l a n o c a r t e s i a n o X O Y . O n e s t e

c a s o s i g n i f i c a a o r i g e m d o s i s t e m a ( 0 , 0 ) , o u s e j a , t o d o Ve t o r A B

c o n s i d e r a d o n e s t e p l a n o t e m s e m p r e u m r e p r e s e n t a n t e , O P , c u j a

o r i g e m é a o r i g e m d o s i s t e m a e a o r i g e m d o s i s t e m a é o Ve t o r

N u l o . Ve m o s m e l h o r i s s o n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 8 .

7


F i g u r a 2 . 3 . 1 . 8 : Ve t o r d e s e g m e n t o A B c o m Ve t o r r e f e r e n t e n o p o n t o d e o r i g e m d e s e g m e n t o O P .

Vetores representados por segmentos de retas orientados com origem na origem do sistema

C a d a Ve t o r d o p l a n o é d e t e r m i n a d o p e l o p o n t o e x t r e m o d o s e g m e n t o , o u s e j a é f o r m a d o p e l a s s u a s c o m p o n e n t e s . D e s t a f o r m a , o p o n t o P ( x , y ) ∈ ℝ 2 e s t á a s s o c i a d o a o Ve t o r v = O P e e s c r e v e - s e v = ( x , y ) c o n f o r m e n a f i g u r a f i g u r a 2 .3 . 1 . 9 .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 9 : Ve t o r c o m o r i g e m n a o r i g e m d o s i s t e m a .

2 . 3 . 1 . 4 I g u a l d a d e e O p e r a ç õ e s

Igualdade

D o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , s ã o i g u a i s s e , e

s o m e n t e s e , x 1 = x 2 e y 1 = y 2 .

E s c r e v e - s e u = v e p o d e m o s d e n o m i n a r d e Ve t o r e s

e q u i v a l e n t e s .

E x e m p l o 2 . 3 . 1 . 2 :

8


a . O s Ve t o r e s u = ( 1 , 2 ) e v = ( 1 , 2 ) s ã o i g u a i s .

b . S e j a m u = ( x - 1 , 3 ) e v = ( 3 , 2 y - 1 ) .

D e t e r m i n e x e y d e t a l f o r m a q u e u = v .

U s a n d o a d e f i n i ç ã o :

x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 ⇒ x = 4

3 = 2 y - 1 2⇒ y = 3 + 1 2⇒ y = 4 ⇒ y = 4 / 2 ⇒ y = 2

Operações

S e j a m o s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) e ∈ ℝ .

D e f i n e - s e :

a . u + v = ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )

b . u = ( x 1 , y 1 ) = ( x 1 , y 1 )

E x e m p l o 2 . 3 . 1 . 3 :

S e j a m u = ( 1 , - 2 ) e v = ( 2 , 3 ) .

Ve j a m o s a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m e t r i c a n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 0 .

9


F i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 0 : O p e r a ç õ e s c o m Ve t o r e s .

2 . 3 . 1 . 5 V e t o r d e f i n i d o p o r d o i s p o n t o sC o n s i d e r e m o s o Ve t o r A B d e o r i g e m n o p o n t o A ( x 1 , y 1 ) e

e x t r e m i d a d e B ( x 2 , y 2 ) . E n t ã o o Ve t o r p o d e s e r e s c r i t o n a f o r m a :

A B = O B – OA

Lo g o :

A B = ( x 2 , y2 ) – ( x 1 , y1 ) = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 )

N a f i g u r a 2 .3 . 1 . 1 1 é d e m o n s t r a d o t a l s i t u a ç ã o .

F i g u r a 2 .3 . 1 . 1 1 : Ve t o r A B = O B - OA .

10


E s t a o p e r a ç ã o é u t i l i z a d o p a r a q u e p o s s a m o s c r i a r u m v e t o r s i m i l a r a o v e t o r A B , n o e n t a n t o c o m s u a o r i g e m n a o r i g e m d o s i s t e m a , c o n f o r m e o e x e m p l o 2 . 3 . 1 . 4 n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 2 d e m o n s t r a .

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 4 :

S e A ( - 1 , 2 ) e B ( 2 , 1 ) , e n t ã o :

A B = B – A = ( 2 - ( - 1 ) , 1 - 2 ) = ( 3 , - 1 )

A c o m p a n h e m o s o e x e m p l o v e n d o a f i g u r a 2 .3 . 1 . 1 2 .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 2 : Ve t o r d e f i n i d o p o r u m p o n t o s e a t r a v é s t a m b é m n a o r i g e m d o s i s t e m a .

O v e t o r d e c o r v e r m e l h a é o r i g i n á r i o d o v e t o r d e c o r a z u l e e s t á d e f i n i d o p e l o p o n t o d e o r i g e m d o s i s t e m a e o p o n t o d e c o r d e n a d a s ( 3 , - 1 ) .

2 . 3 . 1 . 6 P r o d u t o E s c a l a r

D e f i n i ç ã o

C h a m a - s e p r o d u t o e s c a l a r d e d o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) e r e p r e s e n t a - s e p o r u . v o u “ u , v ” a o n ú m e r o r e a l :⟨ ⟩

u . v = ( x 1 , y 1 ) . ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 . x 2 + y1 . y 2 )

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 5 :

11


S e j a u = ( - 1 , 2 ) e v = ( 2 , 3 ) .

E n t ã o :

u . v = ( - 1 ) . 2 + 2 . 3 = - 2 + 6 = 4

M ó d u l o d e u m Ve t o r

O m ó d u l o d e u m Ve t o r v = ( x , y ) , r e p r e s e n t a d o p o r | v | é u m n ú m e r o r e a l n ã o n e g a t i v o , d a d o p o r :

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 6 :

S e j a v = ( 2 , - 3 ) , e n t ã o :

D a d o u m Ve t o r A B c o m e x t r e m i d a d e s n o s p o n t o s A ( x 1 , y 1 ) e B ( x 2 , y 2 ) . O m ó d u l o d o Ve t o r A B é d a d o p o r :

q u e é a d i s t â n c i a e n t r e o s p o n t o s A e B .

Ve t o r U n i t á r i o

Q u a n d o | v | = 1 , d i z e m o s q u e o Ve t o r é u n i t á r i o .

12


Po d e m o s o b t e r p a r a c a d a Ve t o r v ≠ 0 o Ve t o r u n i t á r i o u f a z e n d o :

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 7 :

S e j a v = ( 2 , - 3 ) e n t ã o | v | = √ 1 3 .

Lo g o :

P r o p r i e d a d e s d o P r o d u t o E s c a l a r

D a d o s q u a i s q u e r Ve t o r e s u , v e w e R , t e m - s e :α ∈

a . u . u > 0 p a r a u ≠ 0 e u . u = 0 u = 0 .⇔

b . u . v = v. u ( c o m u t a t i v a )

c . u . ( v + w ) = u . v + u . w ( d i s t r i b u t i v a )

d . ( u . v ) = ( . u ) . v = u . ( . v )α α α

O b s e r v a ç ã o : D a s p r o p r i e d a d e s ( a ) e ( b ) o b t e m o s q u e :

| u . v |2 = | u | + 2 u . v + | v |2

13


Po r q u e d e f a t o :

| u + v |2 = ( u + v ) . ( u + v )

= u . ( u + v ) + v. ( u + v )

= u . u + u . v + v. u + v. v

= | u | 2 + 2 u . v + | v | 2

2 . 3 . 1 . 7 Â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s

O â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s u = OA e v = O B, n ã o n u l o s , é o â n g u l o ( t h e t a ) f o r m a d o p e l a s s e m i - r e t a s OA e OB, o n d e 0 ≤ θ θ ≤ π . S e g u e a b a i x o f i g u r a 2 .3 . 1 . 1 3 c o m o r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a .

F i g u r a 2 .3 . 1 . 1 3 : Â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s .

C á l c u l o d o Â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s

S e j a m o s Ve t o r e s n ã o n u l o s u e v. O â n g u l o f o r m a d o p o r u e vθ p o d e s e r c a l c u l a d o p e l a f ó r m u l a :

A f i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 4 a p r e s e n t a o Ve t o r u – v p a r a c á l c u l o d o â n g u l o d e d o i s Ve t o r e s .

F i g u r a 2 .3 . 1 . 1 4 : Ve t o r e s u - v p a r a c á l c u l o d o â n g u l o .

D e f a t o : a p l i c a n d o a l e i d o s c o - s e n o s a o t r i â n g u l o A B C , t e m o s :

a . | u - v | 2 = u 2 + v 2 - 2 u . v c o s

14


M a s s a b e m o s q u e :

b . | u - v |2 = | u | 2 - 2 u . v + | v |2

C o m p a r a n d o ( a ) e ( b ) , o b t e m o s :

| u | 2 - 2 u . v + | v |2 = | u | 2 + | v | 2 - 2 u . v c o s θ

Lo g o :

u . v = | u | . | v | . c o s θ

D a í :

C o m o v a l o r d o s c o s c a l c u l a d o e n t ã o o â n g u l o p o d e s e rθ θ d e t e r m i n a d o .

N o t e q u e 0 0 ≤ ≤ π .θ

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 8 :

S e j a u = ( 2 , 2 ) e v = ( 0 , - 2 ) . D e t e r m i n e o â n g u l o e n t r eθ Ve t o r e s u e v.

15


R e s o l u ç ã o :

Te m o s q u e :

A s s i m :

Lo g o

2 . 3 . 1 . 8 Pa r a l e l i s m o e Or t o g o n a l i d a d e d e d o i s Ve t o r e s

Ve t o r e s Pa r a l e l o s

D i z e m o s q u e d o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) s ã o p a r a l e l o s ( o u C o l i n e a r e s ) , s e e x i s t e u m n ú m e r o r e a l . t a l q u e :α

u = . v ( x 1 , y 1 ) = ( x 2 , y 2 ) = ( x 2 , y 2 )α ⇔ α α α

Lo g o x 1 = y1 = α

x 2 y 2

16


E s t a r e l a ç ã o s i g n i f i c a q u e d o i s Ve t o r e s s ão p a r a l e l o s s e s u a s c o m p o n e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 9 :

O s Ve t o r e s u = ( - 3 , 2 ) e v = ( 6 , - 4 ) s ã o p a r a l e l o s p o i s :

- 3 / 6 = 2 / - 4 = - 1 / 2

o u s e j a , u = - 1 / 2 . v

Ve j a m o s a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m e t r i c a d e s t e r e s u l t a d o n a f i g u r a a b a i x o 2 .3 . 1 . 1 5 .

F i g u r a 2 .3 . 1 . 1 5 : E x e m p l o d e p a r a l e l i s m o .

Ve t o r e s O r t o g o n a i s

D o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) s ã o o r t o g o n a i s ( u v ) , s e o⊥ â n g u l o p o r e l e s f o r m a d o s é d e 9 0 ° , o u s e j a , c o s = 0 . D aθ θ d e f i n i ç ã o d e â n g u l o t e m o s :

A s s i m , u v s e u . v = 0 . Ta m b é m d i z e m o s q u e d o i s Ve t o r e s s ã o⊥ o r t o g o n a i s s e p e l o m e n o s u m d e l e s é o Ve t o r n u l o . Po r t a n t o , u v⊥

u . v = 0 .⇔

E x e m p l o 2 .3 . 1 . 1 0 :

17


O s Ve t o r e s u = ( 1 , 2 ) e v = ( - 2 , 1 ) s ã o o r t o g o n a i s . D e f a t o :

u . v = ( 1 , 2 ) . ( - 2 , 1 ) = 1 . ( - 2 ) + 2 . 1 = 0

Lo g o a b a i x o n a f i g u r a 2 .3 . 1 . 1 6 e r e p r e s e n t a d o d e f o r m a g e o m e t r i c a o e x e m p l o .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 6 : R e p r e s e n t a ç ã o g e o m e t r i c a d e v e t o r e s o r t o g o n a i s .

2 . 3 . 1 . 9 Ve t o r e s n o R 3

O c o n j u n t o R 3 = R x R x R = { ( x , y, z ) | x , y, z R } é i n t e r p r e t a d o∈ g e o m e t r i c a m e n t e c o m o s e n d o o e s p a ç o c a r t e s i a n o t r i d i m e n s i o n a l OX Y Z . N e s t e e s p a ç o , o p o n t o P ( x , y, z ) i n d i v i d u a l i z a o Ve t o r v = O P e e s c r e v e - s e v = ( x , y, z ) .

A o r i g e m d o s i s t e m a O ( 0 , 0 , 0 ) r e p r e s e n t a o Ve t o r n u l o . O Ve t o r s i m é t r i c o d e v = ( x , y, z ) é o Ve t o r - v = ( - x , - y, - z ) .

N a f i g u r a 2 .3 . 1 . 1 7 a b a i x o t e m o s a r e p r e s e n t a ç ã o d e u m v e t o r n o R 3 .

F i g u r a 2 .3 . 1 . 7 : Ve t o r n o R 3 .

P r o p r i e d a d e s d o Ve t o r n o R 3

a . D o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) s ã o i g u a i s s e , e s o m e n t e s e , x 1 = x 2 , y 1 = y 2 e z 1 = z2 .

18


b . D a d o s u = ( x 1 , y 1 , z1 ) e v = ( x 2 , y2 , z 2 ) e R . E n t ã o :α ∈

u + v = ( x 1 + x 2 , y1 + y 2 + z 1 , z2 ) u = ( x 1 , y1 ,α α z 1 ) = ( x 1 , y 1 , z1 ) .α α α

c . S e A ( x 1 , y 1 , z 1 ) e B ( x 2 , y2 , z2 ) s ã o d o i s p o n t o s q u a i s q u e r n o e s p a ç o , e n t ã o :

A B = ( x 2 - x 1 , y2 - y1 , z 2 - z 1 )

d . P r o d u t o e s c a l a r :

u . v = x 1 . x 2 + y 1 . y 2 + z 1 . z 2

e . M ó d u l o d o Ve t o r v = ( x , y, z ) é d a d o p o r :

| v | = √ ( x 2 + y 2 + z 2 )

f . S e u e v s ã o Ve t o r e s n ã o - n u l o s e é o â n g u l o f o r m a d o p o rθ e l e s , e n t ã o :

g . S e j a m u = ( x 1 , y1 , z 1 ) e v = ( x 2 , y 2 , z2 )

19


g 1 . u â ˆ ¥ v s e , e s o m e n t e s e , x 1 = y 1 = z 1 .

x 2 y 2 z 2

g 2 . u v s e , e s o m e n t e s e , x 1 . x 2 + y 1 . y 2 + z 1 . z 2 = 0 .⊥

2 . 3 . 1 . 1 0 Ve t o r e s n o R n

O c o n j u n t o R n = R x R x R " c o m R n v e z e s " = { ( x 1 , x 2 , . . . . . x n ) | x i ∈ R }

S e u e v s ã o Ve t o r e s d o R n , e n t ã o e l e s s ã o r e p r e s e n t a d o s p o r : u = ( x 1 , x 2 , . . . . . x n ) e v = ( y 1 , y 2 , . . . . . y n ) .

S e j a R e n t ã o d e f i n e - s e :α ∈

a . u = v, s e e s o m e n t e s e , x i = y i , p a r a i = 1 , 2 , . . . , n .

b . u + v = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . . , x n + y n ) .

c . u = ( x 1 , x 2 , . . . . . x n ) .α

d . u . v = ( x 1 . y 1 + x 2 . y 2 + . . . . + x n . y n ) .

e . | v | = √ ( u . u ) = √ ( x 2 1 + x 2 2 + . . . . + x 2 n ) .

2 . 2 . 2 . 1 1 E x e r c í c i o s

1 . D e se n h e o s s e g u i n t e s p o n t o s e m ℝ 2 .

20


( a ) ( 2 , - 1 ) . ( b ) ( - 1 , 2 ) . ( c ) ( 3 , 4 ) .

( d ) ( - 3 , - 2 ) . ( e ) ( 0 , 2 ) . ( f ) ( 0 , - 3 ) .

S o l u ç ã o :

2 . E s b o c e u m s e g m e n t o o r i e n t a d o e m ℝ 2 r e p r e s e n t a n d o c a d a u m d o s Ve t o r e s s e g u i n t e s .

( a ) u 1 = - 2 . ( b ) u 2 = 3 . 3 4

( c ) u 3 = - 3 . ( d ) u 4 = 0 . - 3

- 3

S o l u ç ã o :

21


3 . Determine o ponto final do Vetor -2 com ponto inicial em (3,2). 5

Fa ç a u m d e s e n h o .

S o l u ç ã o : O p o n t o f i n a l é ( 1 , 7 )

4 . E n c o n t r e u + v, u – v, 2 u e 3 u - 2 v s e :

( a ) u = ( 2 , 3 ) , v = ( - 2 , 5 ) .

22


S o l u ç ã o :

u + v = ( 2 , 3 ) + ( - 2 ,5 ) = ( 0 , 8 )

u – v = u + ( - v ) = ( 2 , 3 ) + ( 2 , - 5 ) = ( 4 , - 2 )

Ve j a a f i g u r a a b a i x o p a r a u m m e l h o r e n t e n d i m e n t o .

2 u = 2 ( 2 , 3 ) = ( 4 , 6 )

3u-2v = 3(2,3) -2(-2,5) = (6,9) - (-4,10) = (6,9) + (4,-10) = (10,-1)

( b ) u = ( 0 , 3 ) , v = ( 3 , 2 ) .

S o l u ç ã o :

u + v = ( 0 , 3 ) + ( 3 , 2 ) = ( 3 , 5 )

u – v = u + ( – v ) = ( 0 , 3 ) + ( - 3 , - 2 ) = ( - 3 ,1 )

2 u = 2 ( 0 , 3 ) = ( 0 , 6 ) =

23


3 u - 2 v = 3 ( 0 , 3 ) - 2 ( 3 , 2 ) = ( 0 , 9 ) - ( 6 , 4 ) = ( 0 , 9 ) + ( - 6 , - 4 ) = ( - 6 , 5 )

( c ) u = ( 2 , 6 ) , v = ( 3 , 2 ) .

S o l u ç ã o :

u + v = ( 2 , 6 ) + ( 3 , 2 ) = ( 5 , 8 )

u – v = u + ( – v ) = ( 2 , 6 ) + ( - 3 , - 2 ) = ( - 1 , 4 )

2 u = 2 ( 2 , 6 ) = ( 4 , 1 2 )

3u-2v = 3(2,6) -2(3,2) = (6,18) -(6,4) = (6,18) +(-6,-4) = (0,14)

5 . S e j a m u = ( 1 , 2 ) , v = ( - 3 , 4 ) , w = ( w 1 , 4 ) e x = ( - 2 , x 2 ) . E n c o n t r e w 1 e x 2 t a i s q u e

( a ) w = 2 u . ( b ) 3 x = v. ( c ) w + x = u . 2

S o l u ç õ e s :

( a ) w = 2 u ⇒ ( w 1 , 4 ) = 2 (1 , 2 ) ⇒ ( w 1 , 4 ) = ( 2 , 4 ) ⇒ w 1 = 2

( b ) 3 x = v ⇒ 3 (-2,x2) = (-3,4)⇒ (-6 , 3 x2) = (-3,4)⇒ (-3, 3 x2) = (-3,4) ⇒ 2 2 2 2 2

3 x 2 = 4 ⇒ 3x2 = 4.2 ⇒ 3x2 = 8 ⇒ x2 = 82 3

( c ) w + x = u ⇒ ( w 1 , 4 ) + ( - 2 , x 2 ) = ( 1 , 2 )

⇒ w 1 - 2 = 1 ⇒ w 1 = 1 + 2 ⇒ w 1 = 3 .

⇒ 4 + x 2 = 2 ⇒ x 2 = 2 - 4 ⇒ x 2 = - 2 .

6 . E n c o n t r e o c o m p r i m e n t o d o s s e g u i n t e s Ve t o r e s :

( a ) ( - 2 ,3 ) . ( b ) ( 3 , 0 ) .

( c ) ( - 4 , - 5 ) . ( d ) ( 3 , 2 ) .

S o l u ç õ e s :

( a ) ( - 2 ,3 ) ⇒ v = √ x 2 + y 2 ⇒ √ -2 2+ 3 2

⇒ √4 + 9 ⇒ √1 3

( b ) ( 3 , 0 ) ⇒ v = √ x 2 + y 2 ⇒ √3 2+ 0 2

⇒ √9 + 0 ⇒ 3

24


( c ) ( - 4 , - 5 ) ⇒ v = √ x 2 + y 2 ⇒ √ - 4 2+ ( - 5 ) 2

⇒ √1 6 + 2 5 ⇒ √4 1

( d ) ( 3 , 2 ) ⇒ v = √ x 2 + y 2 ⇒ √3 2+ 2 2

⇒ √9 + 4 ⇒ √1 3

7 . E n c o n t r e a d i s t â n c i a e n t r e o s s e g u i n t e s p a r e s d e p o n t o s :

( a ) ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) . ( b ) ( - 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) .

S o l u ç õ e s :

( a ) ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) = v = √ ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 ⇒ √ ( 3 - 2 ) 2 + ( 4 - 3 ) 2

⇒ √ ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 ⇒ √2

( b ) (-3,2),(0,1) = v = √(x2-x1)2+(y2-y1)2 ⇒ √(0-(-3))2+(1-2)2

⇒ √9+1 ⇒ √10

8 . E n c o n t r e , s e p o s s í v e l , e s c a l a r e s q u e n ã o s e j a m a m b o s n u l o s c 1 e c 2 t a i s q u e

c 1 1 + c 2 3 = 0 . 2 4 0

S o l u ç õ e s :

S e f i z e r m o s c 1 = 0 e c 2 = 0 l o g o t e r e m o s .

0 . 1 + 0 . 3 = 0 . 2 4 0

0 + 0 = 0 . 0 0 0

0 = 0 . 0 0

9 . E n c o n t r e u m Ve t o r u n i t á r i o c o m a m e s m a d i r e ç ã o e o m e s m o s e n t i d o q u e x .

( a ) x = ( 3 , 4 ) . ( b ) x = ( - 2 , - 3 ) .

S o l u ç õ e s :

( a ) Po d e m o s e n c o n t r a r o Ve t o r u n i t á r i o d e q u a l q u e r Ve t o r a t r a v é s d a f ó r m u l a :

25


u = v | v |

O módulo de (3,4) ⇒ |v |= √32+42 ⇒ |v |= √9+16 ⇒ |v |= √25 ⇒ |v |= 5

u = (3,4) ⇒ u = 3, 4 5 5 5

( b ) x = ( - 2 , - 3 ) ⇒ u = v ⇒ u = (-2,-3) | v | | ( - 2 , - 3 ) |

O m ó d u l o d e ( - 2 , - 3 ) ⇒ |v |= √-22+(-3)2 ⇒ |v |= √4+9 ⇒ |v |= √13

u = ( - 2 , - 3 ) ⇒ u = - 2 , - 3

√13 √13 √13

10. Encont re o co - seno do ângu lo ent re cada par de Ve tores u e v.

( a ) u = ( 1 , 0 ) , v = ( 0 , 1 ) . ( b ) u = ( - 3 , - 4 ) , v = ( 4 , - 3 ) .

( c ) u = ( 2 , 1 ) , v = ( - 2 , - 1 ) .

S o l u ç ã o :

( a ) u = ( 1 , 0 ) , v = ( 0 , 1 ) .

c o s θ = u . v | u | . | v |

c o s θ = ( 1 , 0 ) . ( 0 , 1 ) | ( 1 , 0 ) | . | ( 0 , 1 ) |

| ( 1 , 0 ) | ⇒ √12+02 ⇒ √12 ⇒ 1

|(0,1) | ⇒ √02+12 ⇒ √12 ⇒ 1

c o s θ = ( 0 , 0 ) 1 . 1

c o s θ = ( 0 , 0 ) 1

c o s θ = 0

( b ) u = ( - 3 , - 4 ) , v = ( 4 , - 3 ) .

26


c o s θ = u . v | u | . | v |

c o s θ = ( - 3 , - 4 ) . ( 4 , - 3 ) | ( - 3 , - 4 ) | . | ( 4 , - 3 ) |

| ( - 3 , - 4 ) | ⇒ √-32+(-4)2 ⇒ √9+16 ⇒ √25 ⇒ 5

|(4,-3) | ⇒ √42+(-3)2 ⇒ √16+9 ⇒√25 ⇒ 5

c o s θ = ( - 1 2 , + 1 2 ) 5 . 5

c o s θ = ( - 1 2 , + 1 2 ) 2 5

c o s θ = 0

( c ) u = ( 2 , 1 ) , v = ( - 2 , - 1 ) .

c o s θ = u . v | u | . | v |

c o s θ = ( 2 , 1 ) . ( - 2 , - 1 ) | ( 2 , 1 ) | . | ( - 2 , - 1 ) |

| ( 2 , 1 ) | ⇒ √22+12 ⇒ √4+1 ⇒ √5

|(-2,-1) | ⇒ √-22+(-1)2 ⇒ √4+1 ⇒√5

c o s θ = ( - 2 , - 1 )

√5.√5

c o s θ = ( 0 , 0 ) 1

c o s θ = - 1

1 1 . Q u a i s d o s Ve t o r e s :

u 1 = ( 1 , 2 ) u 2 = ( 0 , 1 ) u 3 = ( - 2 , - 4 )

u 4 = ( - 2 ,1 ) u 5 = ( 2 , 4 ) u 6 = ( - 6 , 3 )

27


( a ) S ã o o r t o g o n a i s ?

S o l u ç ã o :

Do i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) s ão o r t ogona i s ( u⊥ v ) , s e o ângu lo θ po r e l e s f o rmados é de 90 ° , ou s e j a , co s θ = 0 . Da de f i n i ção de ângu lo t emos :

co s θ = u . v | u | . | v |

A s s im , u⊥ v s e u . v = 0 . Também d i z emos que do i s Ve t o r e s são o r t ogona i s s e pe lo meno s um de l e s é o Ve t o r nu l o . Po r t an to , u⊥ v ⇔ u . v = 0 .

u1 .u2 ⇒ (1,2).(0,1) ⇒ (0+2) ⇒ 2

u1 .u3 ⇒ (1,2).(-2,-4) ⇒ (-2+(-8)) ⇒ -10

u1 .u4 ⇒ (1,2).(-2,1) ⇒ (-2+2) ⇒ 0

u1 .u5 ⇒ (1,2).(2,4) ⇒ (2+8) ⇒ 10

u1 .u6 ⇒ (1,2).(-6,3) ⇒ (-6+6) ⇒ 0

u2 .u3 ⇒ (0,1).(-2,-4) ⇒ (0+(-4)) ⇒ -4

u2 .u4 ⇒ (0,1).(-2,1) ⇒ (0+1) ⇒ 1

u2 .u5 ⇒ (0,1).(2,4) ⇒ (0+4) ⇒ 4

u2 .u6 ⇒ (0,1).(-6,3) ⇒ (0+3) ⇒ 3

u3 .u4 ⇒ (-2,-4).(-2,1) ⇒ (4+(-4)) ⇒ 0

u3 .u5 ⇒ (-2,-4).(2,4) ⇒ (-2+(-16)) ⇒ -18

u3 .u6 ⇒ (-2,-4).(-6,3) ⇒ (12+(-12)) ⇒ 0

u4 .u5 ⇒ (-2,1).(2,4) ⇒ (-4+4) ⇒ 0

u4 .u6 ⇒ (-2,1).(-6,3) ⇒ (12+3) ⇒ 15

Portanto os Vetores ortogonais são:

(u1 e u4) , (u1 e u6) , (u3 e u4) , (u3 e u6) e (u4 e u5)

( b ) T ê m a m e s m a d i r e ç ã o e o m e s m o s e n t i d o ?

A r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a d o s Ve t o r e s s e g u e a b a i x o p a r a f a c i l i t a r u m m e l h o r e n t e n d i m e n t o n a s s o l u ç õ e s ( b ) e ( c ) .

28


S o l u ç ã o :

Portanto os Vetores que têm a mesma direção e o mesmo sentido são:

(u1 e u5) e (u4 e u6)

( c ) T ê m a m e s m a d i r e ç ã o e s e n t i d o o p o s t o s ?

So lu ção :

Portanto os Vetores que têm a mesma direção e sentido opostos são:

(u1 e u3)

2 . 2 . 2 . 1 2 E x e r c í c i o s Te ó r i c o s

T. 1 . M o s t r e q u e p o d e m o s a s so c i a r a c a d a p a r d e n ú m e r o s r e a i s ( x , y ) u m p o n t o n o p l a n o .

S o l u ç ã o :

29


A t r a v é s d a s c o o r d e n a d a n o p l a n o c a r t e s i a n o e m q u e e x i s t e d u a s r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s , a a b c i s s a e a o r d e n a d a . C a d a r e t a p o d e s e r e s c a l o n a d a u s a n d o o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r e a i s , a s s i m s e e s c o l h e r m o s u m c o n j u n t o d e d o i s n ú m e r o s q u a l q u e r p o d e m o s f o r m a r u m p o n t o n o p l a n o c o n f o r m e f i g u r a a b a i x o u t i l i z a n d o o s n ú m e r o s 2 e 4 .

T. 2 . M o s t r e q u e u + ( - 1 ) . u = 0 .

S o l u ç ã o :

Pa r a u + ( - 1 ) u r e p r e s e n t a u + o v e t o r o p o s t o , o u s e j a ( - 1 ) . u t r a n s f o r m a o Ve t o r u e m Ve t o r o p o s t o d e u . E n t ã o p o r e x e m p l o s e t i v e r m o s u = ( 2 , 4 ) e a p l i c a r m o s a e x p r e s s ã o :

u + ( - 1 ) u = 0 , t e r e m o s

( 2 , 4 ) + ( - 2 , - 4 ) = 0

A f i g u r a a b a i x o r e p r e s e n t a o Ve t o r u = ( 2 , 4 ) e u = ( - 2 , - 4 ) .

30


T. 3 . M o s t r e q u e , s e x é u m Ve t o r n ã o - n u l o , e n t ã o

u = 1 . x x

é u m Ve t o r u n i t á r i o c o m m e s m a d i r e ç ã o e m e s m o s e n t i d o q u e x .

2 . 2 . 2 . 1 3 E x e r c í c i o s d e A D ´ S e A P ´ S

1 ) A P 1 _ 2 0 0 8 _ 2 . Considere o conjunto B = {v1, v2}, onde v1 = (1, 2, 3)

e v2 = (-5, 1, 1).

( a ) C a l c u l e o m ó d u l o d e v 1 .

S o l u ç ã o :

31


∣ v 1 = ∣ √ ( 1 2 + 2 2 + 3 2 ) = √ ( 1 + 4 + 9 ) = √ 1 4 .

( b ) C a l c u l e a d i s t â n c i a d ( v 1 , v 2 ) = ∣ v 1 - v 2 ∣

S o l u ç ã o :

d ( v 1 , v 2 ) = √ ( 5 - 1 ) 2 + ( 1 - 2 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 = √3 6 + 1 + 4 = √ 4 1 .

( c ) C a l c u l e o â n g u l o f o r m a d o p o r v 1 e v 2 .

S o l u ç ã o :

S e j a o â n g u l o e n t r e o s v e t o r e s v 1 e v 2 .

c o s ( θ ) = v 1 . v 2 ∣ v 1 .∣ ∣ v 2 ∣

D o i t e m ( a ) , ∣ v 1 = √ 1 4 .∣

∣ v 2 = ∣ √ ( - 5 ) 2 + 1 2 + 1 2 ) = √ ( 2 5 + 1 + 1 ) = √ 2 7 .

v 1 . V 2 = 1 . ( - 5 ) + 2 . 1 + 3 . 1 = - 5 + 2 + 3 = 0 .

c o s ( θ ) = 0 = 0 ⇒ θ = .√ 1 4 . √ 2 7 2

2 ) A D 1 _ 2 0 0 8 _ 2 . S e j a m u = ( 1 , - 2 , - 1 ) e v = ( 2 , 1 , 1 ) v e t o r e s d o R 3 .

( a ) D e t e r m i n e a p r o j e ç ã o o r t o g o n a l d e u s o b r e v ( P r o j v u )

S o l u ç ã o :

projvu = u.v .v = (1, -2, -1)(2, 1, 1) .(2, 1, 1) = -1 (2, 1, 1) = -1 , -1 , -1

| |v | |2 22+12+12 6 3 6 6

32


( b ) C a l c u l e a d i s t â n c i a e n t r e o s Ve t o r e s u e v.

S o l u ç ã o :

3 ) A D 1 _ 2 0 0 8 _ 1 . S e j a m u = ( 1 , - 2 , 3 ) e v = ( 2 , 5 , 4 ) .

( a ) D e t e r m i n e a p r o j e ç ã o o r t o g o n a l d e u s o b r e v ( P r o j u v )

( b ) C a l c u l e a d i s t â n c i a e n t r e o s Ve t o r e s u e v.

4 ) A D 1 _ 2 0 0 7 _ 2 . C o n s i d e r e d o i s Ve t o r e s n ã o n u l o s u e v d o I R n .

( a ) D e f i n a o r t o g o n a l i d a d e e n t r e o s Ve t o r e s u e v.

( b ) D e f i n a p a r a l e l i s m o e n t r e Ve t o r e s u e v.

( c ) D e f o n a c o m p r i m e n t o d e Ve t o r e s n o I R n .

5 ) A P 1 _ 2 0 0 7 _ 1 . Cons idere os Ve tores u = (1 , -2 , -3 ) , v = (2 , 3 , -1 ) e w = (3 , 2 , 1 ) .

( a ) Ve r i f i q u e m o s s e u e v s ã o p a r a l e l o s :

1 ≠ - 2 ≠ - 3 2 3 - 1

Lo g o u e v n ã o s ão p a r a l e l o s p o i s a s c o o r d e n a d a s n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s .

( b ) Ve j a m o s s e u e v s ã o o r t o g o n a i s :

u . v = 1 x 2 + ( - 2 ) x 3 + ( - 3 ) x ( - 1 ) = 2 - 6 + 3 = - 1 ≠ 0 ⇒ u n ã o é p e r p e n d i c u l a r a v.

( c ) Po r d e f i n i ç ã o , p a r a Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e v = ( x 1 , y 2 , z 2 ) ,

33


t e m o s q u e

d ( u , v ) = V ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2 .

A s s i m ,

d ( u , v ) = V ( 2 - 1 ) 2 + ( 3 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 1 - ( - 3 ) ) 2 = V 1 + 2 5 + 4 = V 3 0

Lo g o d ( u , v ) = u - v = V 3 0 .∣ ∣

d ) u = V ( 1∣ ∣ 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 3 ) 2 ) = V 1 4 .

w = V ( 3∣ ∣ 2 + 2 2 + 1 2 ) = V 1 4 .

u . w = 1 x 3 + ( - 2 ) x 2 + ( - 3 ) x 1 = 3 - 4 - 3 = - 4 .

S e j a o â n g u l o e n t r e o s Ve t o r e s u e w.

A s s i m , t e m o s c o s ( ) = v . w = - 4 = a r c c o s ⇒ - 2 . ∣u .∣ ∣w ∣ 14 7

( e ) p r o j v u = ( u , v ) , v = ( 1 , - 2 , - 3 ) . ( 2 , 3 , - 1 ) . ( 2 , 3 , - 1 ) = - 1 ( 2 , 3 ,

- 1 ) = - 1 , - 3 , - 1

( 2 , 3 , - 1 ) . ( 2 , 3 , - 1 ) 1 4 7 1 4 1 4

2 . 2 . 2 . 1 4 G l o s s á r i o

C o m p o n e n t e s d o Ve t o r : A p a l a v r a c o m p o n e n t e é d e r i v a d a d a s p a l a v r a s l a t i n a s c o , q u e s i g n i f i c a “ j u n t o ” , e p o n e r e , q u e s i g n i f i c a “ p ô r ” . U m Ve t o r é , p o r t a n t o , f o r m a d o p o r s u a s c o m p o n e n t e s p o s t a s u m a j u n t o d a o u t r a , o u s e j a s ã o o d o i s p o n t o s , o i n i c i a l e o f i n a l d e u m Ve t o r f o r m a d o p e l o s v a l o r e s ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) n a s c o o r d e n a d a s d o p l a n o c a r t e s i a n o .

34


E s c a l a r : O t e r m o e s c a l a r v e m d a p a l a v r a g r e g a s c a l a , q u e s i g n i f i c a “ e s c a d a” . O s d e g r a u s i g u a l m e n t e e s p a ç a d o s d e u m a e s c a d a s u g e r e m u m a e s c a l a , e , n a A r i t m é t i c a Ve t o r i a l , a m u l t i p l i c a ç ã o p o r u m a c o n s t a n t e a l t e r a a p e n a s a e s c a l a ( o u c o m p r i m e n t o e s e n t i d o ) d e u m Ve t o r. A s s i m , a s c o n s t a n t e s s ã o c o n h e c i d a s c o m o e s c a l a r e s .

Pa r a l e l o g r a m o : U m p a r a l e l o g r a m o é u m p o l í g o n o d e q u a t r o l a d o s ( q u a d r i l á t e r o ) c u j o s l a d o s o p o s t o s s ã o i g u a i s e p a r a l e l o s . Po r c o n s e g u i n t e , t e m â n g u l o s o p o s t o s i g u a i s . C h a m a d o s e u s l a d o s d e “ a” e ” b” , s e u p e r í m e t r o p o d e s e r c a l c u l a d o a t r a v é s d a f ó r m u l a P = 2 ( a + b ) .

Ve t o r : P r o v é m d o v e r b o l a t i n o v e h e r e : t r a n s p o r t a r, l e v a r. Ve t o r é o p a r t i c í p i o p a s s a d o d e v e h e r e , s i g n i f i c a n d o t r a n s p o r t a d o , l e v a d o . A p e s a r d e p r i m i t i v a e a t é b i z a r r a , a p a l a v r a Ve t o r é p e r t i n e n t e : o p o n t o A é “ t r a n s p o r t a d o ” a t é B .

2 . 3 . 1 . 1 5 B i b l i o g r a f i a

A u l a 0 1 s o b r e o t e m a Ve t o r e s d a d i s c i p l i n a d e Á l g e b r a L i n e a r d o c u r s o d e Te c n o l o g i a e m S i s t e m a s d e C o m p u t a ç ã o U F F / C e d e r j .

Ve n t u r i , J a c i r J . ( 1 9 4 9 ) Á l g e b r a Ve t o r i a l e G e o m e t r i a A n a l í t i c a . 9 º e d . B i b l i o t e c a C e n t r a l U F PR , C u r i t i b a , P R .

h t t p : / / p t . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / Pa r a l e l o g r a m o

Po o l e , D a v i d . Á l g e b r a L i n e a r. T h o m s o n

Ko l m a n , B e r n a r d . I n t r o d u ç ã o a Á l g e b r a L i n e a r c o m A p l i c a ç õ e s . 6 ª e d . E d i t o r a : LTC .

2 . 2 . 2 . 1 6 G a b a r i t o

35

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo


v 1

U = v 2

v 3

| v | = √ x 2 + y 2 + z 2

0 - 5 - 2 5 5 5

U = 1 7 2 5 5 1 7 5 5

4 1 7 0 0 1 7

36

algebra linear 3

Documents