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Te c n o l o g i a s e m S i s t e m a s d e C o m p u t a o

2.3.1 VetoresVe r s o e m P D F 2 . 3 . 1 . 1 I n t r o d u o a Ve t o r e s 2 . 3 . 1 . 2 O p e r a e s c o m Ve t o r e s 2 . 3 . 1 . 3 Ve t o r e s n o R 2 2.3.1.4 Igualdade e Operaes 2 . 3 . 1 . 5 Ve t o r d e f i n i d o p o r 2.3.1.6 Produto Escalar 2 . 3 . 1 . 7 n g u l o d e d o i s Ve t o r e s 2 . 3 . 1 . 8 Pa r a l e l i s m o e O r t o g o n a l i d a d e d e d o i s Ve t o r e s 2 . 3 . 1 . 9 Ve t o r e s n o R 3 2 . 3 . 1 . 1 0 Ve t o r e s n o R n 2.3.1.11 Exerccios 2 . 3 . 1 . 1 2 E x e r c c i o s Te r i c o s 2.3.1.13 Exerccios APS e ADS 2.3.1.14 Glossrio 2.3.1.15 Bibliogrfia 2.3.1.15.1 Bibliogrfia de livros 2.3.1.15.2 Bibliogrfia da internet 2.3.1.15.3 Bibliogrfia de DVD 2.3.1.16 Gabarito dois pontos

2 . 3 . 1 . 1 I n t r o d u o a Ve t o r e sO que so Vetores?A vehere, etimologia que da palavra Ve t o r provm levado. do Este verbo latino significa pois transportado, o significado que tm

apesar de aparentemente sem sentido pertinente a aplicao matemtica, representa segmento orientado direo, sentido e comprimento. Os segmentos orientados que tm a mesma direo, o

mesmo sentido e o mesmo comprimento so representantes de

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Te c n o l o g i a s e m S i s t e m a s d e C o m p u t a o

u m m e s m o Ve t o r, c o n f o r m e v e m o s n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 .

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 1 : Ve t o r e s i g u a i s .

Pa r a e n t e n d e r m o s m e l h o r t e m o s q u e f a z e r m o s u m a d i s t i n o entre dois tipos de grandezas fsicas existentes: as escalares e as vetoriais. As grandezas fsicas escalare so quantidades que podem serem representadas somente por um valor numrico, como por exemplo; massa e presso. As grandezas fsicas vetoriais requerem no somente um

valor numrico, mas tambm uma direo e um sentido para completa representao. Um exemplo disso so; a velocidade, a fora e o deslocamento de um corpo.

Notao de VetoresO s Ve t o r e s t e m s u a r e p r e s e n t a o g e o m e t r i c a s e m e l h a n t e a de uma flecha nos espaos bi e tridimensionais. A direo e o s e n t i d o d a f l e c h a r e p r e s e n t a a d i r e o e o s e n t i d o d o Ve t o r e o comprimento representa sua magnitude. A parte oposta a ponta da flecha flecha, o d e n o m i n a d o d e p o n t o i n i c i a l d o Ve t o r e a p o n t a d a ponto final. As letras minsculas em negrito

s i m b o l i z a m o s Ve t o r e s ( p o r e x e m p l o ; a , k , v , w e x ) . Q u a n d o t e m o s p o r e x e m p l o , u m p o n t o i n i c i a l d e u m Ve t o r v

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Te c n o l o g i a s e m S i s t e m a s d e C o m p u t a o

em A e o ponto final em B, ento podemos representar das seguintes formas conforme figura 2.3.1.2:

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 2 : Ve t o r e s r e p r e s e n t a d o d e d u a s f o r m a s .

P o d e m o s e s c r e v e r o s Ve t o r e s d e n u s a n d o a n o t a o : v = ( v1, v2 ... vn ) E s t a u m a f o r m a c h a m a d a d e n u p l a . E n t r e t a n o , u m Ve t o r em n na sua essencia uma lista de n nmeros (os componentes) ordenados de uma forma especfica e, portanto, q u a l q u e r n o t a o q u e e x i b e o s c o m p o n e n e s d o Ve t o r n a s u a ordem certa uma maneira correta para a notao de nupla. Po d e r i a m o s p o r e x e m p l o r e p r e s e n t a r a n o t a o a n t e r i o r d a seguinte forma: v = [ v1, v2 ... vn ] qu e re pr e s e nt a a fo r ma ve t o r- li nha , t a mb m u t i liz a r mo s a fo r ma vet o r- co lu na co mo e st a ba ixo : poderiamos

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Te c n o l o g i a s e m S i s t e m a s d e C o m p u t a o

Comprimento ou mdulo de VetorO comprimento ou mdulo de um representado e definido por: Ve t o r v = (x, y, z)

O Vetor unitrio o que tem o mdulo igual a 1, ou seja | v | = 1.

Vetor NuloTo d o o u q u a l q u e r p o n t o d o e s p a o r e p r e s e n t a o Ve t o r z e r o ( o u Ve t o r N u l o ) , q u e t e m a s u a i n d i c a o r e p r e s e n t a d a p o r 0 .

Vetor Simtrico (ou oposto)P a r a t o d o Ve t o r n o n u l o v , t e m o s u m Ve t o r c o r r e s p o n d e n t e simtrico (- v), que possue o mesmo mdulo, a mesma direo, no entanto tem o sentido oposto de v, vejamos na figura 2.3.1.3. abaixo.

2 . 3 . 1 . 3 : Ve t o r S i m t r i c o .

Vetores ColinearesS o d o i s Ve t o r e s u e v , q u e p o s s u e m a m e s m a d i r e o , o u seja, u e v so ditos colineares se tiverem representantes AB e CD contidos em uma mesma reta ou em um conjunto de retas paralelas, como na figura 2.3.1.4.

2 . 3 . 1 . 4 : Ve t o r e s C o l i n e a r e s .

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Vetores CoplanaresO s Ve t o r e s n o n u l o s u e v , q u e p o s s u e m r e p r e s e n t a n t e s A B e C D c o n t i d o s a u m m e s m o p l a n o , d e n o m i n a m o s Ve t o r e s C o p l a n a r e s . P a r a d e m o n s t r a o d e Ve t o r e s C o p l a n a r e s v e j a m o s a figura 2.3.1.5.

2 . 3 . 1 . 5 : Ve t o r e s C o p l a n a r e s .

2 . 3 . 1 . 2 O p e r a e s c o m Ve t o r e sSoma entre dois VetoresUma maneira prtica para calcularmos a soma entre dois Ve t o r e s c o n s t r u i r m o s u m p a r a l e l o g r a m o . C o l o c a - s e o s d o i s Ve t o r e s c o m a m e s m a o r i g e m . F a z - s e o p a r a l e l o g r a m o e a s o m a d e s s e s Ve t o r e s a d i a g o n a l d e s t e p a r a l e l o g r a m o . S e t i v e r m o s d o i s Ve t o r e s u e v e m n , p o r e x m p l o ; u = (a1, a2, ..., an) e v = (b1, b2, ..., bn) A sua soma, denominada por u + v expressa da seguinte forma (a1+b1, a2+b2, ..., an + bn).

Propriedades da Adioa. Associativa: (u+v) + w = u + (v+w). b. Comutativa: u+v = v+u. c . E x i s t e u m n i c o v e t o r n u l o 0 t a l q u e , p a r a t o d o Ve t o r v , s e tem: v + 0 = 0 + v = v.

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d . Pa r a t o d o v e t o r v , e x i s t e u m n i c o v e t o r - v ( v e t o r o p o s t o d e v ) tal que: v + (-v) = - v + v = 0

Subtrao entre dois VetoresD a d o s d o i s Ve t o r e s u e v e n t o a s u b t r a o e n t r e u e v dado pela soma: u + (-v). G r a f i c a m e n t e , a d i f e r e n a d e d o i s Ve t o r e s u e v o b t i d a fazendo-se com que u e v tenham a mesma origem. A diferena d e Ve t o r e s n o c o m u t a t i v a : u v v u . Po d e m o s v e r i f i c a r g r a f i c a m e n t e p o r d i f e r e n a d e p o n t o s n o caso atravs da figura 2.3.1.6.

2 . 3 . 1 . 6 : S u b t r a o e n t r e d o i s Ve t o r e s

Multiplicao de um nmero real por um VetorD a d o u m Ve t o r v 0 e u m n m e r o r e a l k , c h a m a - s e p r o d u t o d o n m e r o r e a l k 0 p e l o Ve t o r v . O Ve t o r u = k . v , t a l q u e : a. Mdulo: | v | = | k.v | = | k | . | v |

b. Direo: u e v tem a mesma direo. c. Sentido: Se k > 0 ento u e v tem o mesmo sentido. Se k < 0

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ento u e v tem sentidos contrrios. Observao: se k = 0 ou v = 0 ento u = 0. Se k = -1 ento u = - v , l o g o - v o Ve t o r S i m t r i c o d e u . Ve j a m o s u m e x e m p l o n a figura 2.3.1.7.

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 7 : U s o d e n m e r o s r e a i s s o b r e Ve t o r e s .

Propriedades da multiplicao por um nmero realS e j a m u e v d o i s Ve t o r e s q u a i s q u e r e a e b n m e r o s r e a i s . Ento: a. a(bu) = (ab)u (propriedade de igualdade) b. (a+b)(u) = au + bu (propriedade distributiva) c. a(u+v) = au + av d. 1(u) = u

2 . 3 . 1 . 3 Ve t o r e s n o

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O conjunto 2 = x n = {(x, y) | x, y } interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano XOY. O neste caso significa a o r i g e m d o s i s t e m a ( 0 , 0 ) , o u s e j a , t o d o Ve t o r A B considerado neste plano tem sempre um representante, OP, cuja o r i g e m a o r i g e m d o s i s t e m a e a o r i g e m d o s i s t e m a o Ve t o r N u l o . Ve m o s m e l h o r i s s o n a f i g u r a 2 . 3 . 1 . 8 .

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F i g u r a 2 . 3 . 1 . 8 : Ve t o r d e s e g m e n t o A B c o m Ve t o r r e f e r e n t e n o p o n t o de origem de segmento OP.

Vetores representados por segmentos de retas orientados com origem na origem do sistemaC a d a Ve t o r d o p l a n o d e t e r m i n a d o p e l o p o n t o e x t r e m o d o segmento, ou seja formado pelas suas componentes. Desta f o r m a , o p o n t o P ( x , y ) 2 e s t a s s o c i a d o a o Ve t o r v = O P e escreve-se v = (x,y) conforme na figura figura 2.3.1.9.

F i g u r a 2 . 3 . 1 . 9 : Ve t o r c o m o r i g e m n a o r i g e m d o s i s t e m a .

2.3.1.4 Igualdade e OperaesIgualdadeD o i s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , s o i g u a i s s e , e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. Escreve-se equivalentes. Exemplo 2.3.1.2: u = v e podemos denominar de Ve t o r e s

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a . O s Ve t o r e s u = ( 1 , 2 ) e v = ( 1 , 2 ) s o i g u a i s .

b. Sejam u = (x -1, 3) e v = (3, 2y - 1). Determine x e y de tal forma que u = v. Usando a definio: x 1 = 3 x = 3 + 1 x = 4

3 = 2y -1 2y = 3 + 1 2y = 4 y = 4/2 y = 2

OperaesS e j a m o s Ve t o r e s u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) e . Define-se: a. u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = ( x1+x2, y1+y2) b. u = (x1, y1) = (x1, y1) Exemplo 2.3.1.3: Sejam u = (1, -2) e v = (2, 3).

Ve j a m o s a r e p r e s e n t a o g e o m e t r i c a n a f

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