algebra lineal, 8va edición bernard kolman & david r

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Bernard Kolman David R. Hill ÁLGEBRA LINEAL Octava edición ® www.FreeLibros.com

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  • Bernard Kolman David R. Hill

    LGEBRA L INEALOctava edicin

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  • LGEBRA LINEAL

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  • LGEBRA LINEALOCTAVA EDICIN

    Bernard KolmanDrexel University

    David R. HillTemple University

    Alfonso Bustamante AriasJefe del Departamento de Matemticas y Estadstica Universidad ICESI, Cali, Colombia

    Carlos Hernndez GarciadiegoInstituto de MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

    Jaime Kiwa KristalDepartamento de Ciencias Bsicas Instituto Tecnolgico de Ciudad Jurez

    Gustavo Preciado RosasDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

    Fabio Molina FocazzioPontificia Universidad Javeriana, Bogot, Colombia

    TRADUCCIN:Victor Hugo Ibarra Mercado Escuela de Actuara-Universidad Anhuac ESFM-IPN

    REVISIN TCNICA:

    MXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ECUADOR

    ESPAA GUATEMALA PANAM PER PUERTO RICO URUGUAY VENEZUELA

    Eddy Herrera DazaPontificia Universidad Javeriana,Bogot, Colombia

    Oscar Andrs Montao Carreo Pontificia Universidad JaverianaCali, Colombia

    Jorge Ivn Castao Universidad EAFIT Medelln, Colombia

    Conrado Josu Saller Universidad Tecnolgica Nacional Buenos Aires, Argentina

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  • Authorized translation from the English language edition, entitled Introductory linear algebra: an applied first course 8th ed., by Bernard Kolman andDavid R. Hill, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. All rights reserved. ISBN 0-13-143740-2

    Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Introductory linear algebra: an applied first course 8a ed., de Bernard Kolman y David R. Hill, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

    Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

    Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

    e-mail: [email protected] de desarrollo: Esthela Gonzlez GuerreroSupervisor de produccin: Enrique Trejo Hernndez

    Edicin en ingls:

    KOLMAN, BERNARD; HILL, DAVID R.

    lgebra lineal

    PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006

    ISBN: 970-26-0696-9

    rea: Universitarios

    Formato: 20 25.5 cm Pginas 760

    Executive Acquisitions Editor: George Lobell Editor-in-Chief: Sally Yagan Production Editor: Jeanne Audino Assistant Managing Editor: Bayani Mendoza de Leon Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Vice President/Director of Production and Manufacturing: David W.

    Riccardi Assistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael Bell Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Marketing Manager: Halee Dinsey Marketing Assistant: Rachel Beckman

    Art Drector: Kenny Beck Interior Designer/Cover Designer: Kristine Carney Art Director: Thomas Benfatti Creative Director: Carole Anson Director of Creative Services: Paul Belfanti Cover Image: Wassily Kandinsky, Farbstudien mit Angaben zur

    Maltechnik, 1913, Stdische Galerie im Lenbachhaus, Munich

    Cover Image Specialist: Karen SanatarArt Studio Laserwords Private Limited Composition; Dennis Kletzing

    OCTAVA EDICIN, 2006

    D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 5005 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico

    Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Nm. 1031.

    Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

    El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

    ISBN 970-26-0696-9

    Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06

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  • A la memoria de Lillie;para Lisa y Stephen

    B. K.

    Para SuzanneD. R. H.

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  • Prefacio xiAl estudiante xix

    1 Ecuaciones lineales y matrices 11.1 Sistemas lineales 11.2 Matrices 101.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 211.4 Propiedades de las operaciones con matrices 391.5 Transformaciones matriciales 521.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 621.7 La inversa de una matriz 911.8 Factorizacin LU (opcional) 107

    2 Aplicaciones de ecuaciones lineales y matrices (opcional) 1192.1 Introduccin a la teora de cdigos 1192.2 Teora de grficas 1252.3 Creacin de grficos por computadora 1352.4 Circuitos elctricos 1442.5 Cadenas de Markov 1492.6 Modelos econmicos lineales 1592.7 Introduccin a wavelets (ondeletas u onditas) 166

    3 Determinantes 1823.1 Definicin y propiedades 1823.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones 1963.3 Determinantes desde un punto de vista computacional 210

    4 Vectores en Rn 2144.1 Vectores en el plano 2144.2 n-vectores 2294.3 Transformaciones lineales 247

    vii

    CONTENIDO

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  • 5 Aplicaciones de vectores en R2 y R3 (opcional) 2595.1 Producto cruz en R3 2595.2 Rectas y planos 264

    6 Espacios vectoriales reales 2726.1 Espacios vectoriales 2726.2 Subespacios 2796.3 Independencia lineal 2916.4 Bases y dimensin 3036.5 Sistemas homogneos 3176.6 El rango de una matriz y sus aplicaciones 3286.7 Coordenadas y cambio de base 3406.8 Bases ortonormales en Rn 3526.9 Complementos ortogonales 360

    7 Aplicaciones de espacios vectoriales reales (opcional) 3757.1 Factorizacin QR 3757.2 Mnimos cuadrados 3787.3 Algo ms sobre codificacin 390

    8 Valores propios, vectores propios y diagonalizacin 4088.1 Valores propios y vectores propios 4088.2 Diagonalizacin 4228.3 Diagonalizacin de matrices simtricas 433

    9 Aplicaciones de valores propios y vectores propios (opcional) 4479.1 La sucesin de Fibonacci 4479.2 Ecuaciones diferenciales 4519.3 Sistemas dinmicos 4619.4 Formas cuadrticas 4759.5 Secciones cnicas 4849.6 Superficies cudricas 491

    10 Transformaciones lineales y matrices 50210.1 Definiciones y ejemplos 50210.2 El ncleo y la imagen de una transformacin lineal 50810.3 La matriz de una transformacin lineal 52110.4 Introduccin a fractales (opcional) 536

    viii Contenido

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  • 11 Programacin lineal (opcional) 55811.1 El problema de la programacin lineal; solucin geomtrica 55811.2 El mtodo smplex 57511.3 Dualidad 59111.4 Teora de juegos 598

    12 MATLAB para lgebra lineal 61512.1 Entrada y salida en MATLAB 61612.2 Operaciones matriciales con MATLAB 62012.3 Potencias de matrices y algunas matrices especiales 62312.4 Operaciones elementales por fila con MATLAB 62512.5 Inversas de matrices en MATLAB 63412.6 Vectores en MATLAB 63512.7 Aplicaciones de las combinaciones lineales en MATLAB 63712.8 Transformaciones lineales en MATLAB 64012.9 Resumen de comandos de MATLAB 643

    APNDICE A Nmero complejos A1A-1 Nmero complejos A1A-2 Nmeros complejos en lgebra lineal A9

    APNDICE B Instruccin adicional A19B-1 Espacios con producto interno (requiere conocimientos de clculo) A19B-2 Transformaciones lineales invertibles y compuestas A30

    Glosario para lgebra lineal A39

    Respuestas A45

    ndice I1

    Contenido ix

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  • xi

    PREFACIO

    Material incluidoEste libro presenta una introduccin al lgebra lineal y a algunas de sus aplicacionesimportantes. Est pensado para alumnos de nivel medio y avanzado, y cubre msmaterial del que se requerira para impartir un curso semestral o trimestral. Omitiendoalgunas secciones, es posible:abarcar en un semestre o en un trimestre los elementosesenciales del lgebra lineal (incluyendo los valores y vectores propios), ensear cmoutilizar la computadora en problemas de lgebra lineal, y dedicar algn tiempo a variasaplicaciones relacionadas con el tema. Si se toma en cuenta que existe gran cantidad deaplicaciones de lgebra lineal en disciplinas como matemticas, fsica, biologa, qumi-ca, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa y sociologa, no resulta exa-gerado afirmar que esta materia es una de las que ms impacto tendr en la vida de losestudiantes. Por otro lado, el contenido de esta obra puede utilizarse tambin en un cur-so de lgebra lineal con duracin de un ao, o para impartir un segundo curso del temacon hincapi en las aplicaciones. Al final del prefacio proponemos cierto ritmo para es-tudiar el material bsico. El nivel y el ritmo del curso se pueden modificar fcilmente,variando el tiempo que se invierta en el material terico y en las aplicaciones. Contarcon conocimientos de clculo diferencial e integral no es un requisito; sin embargo,se incluyen varios ejemplos y ejercicios en que se utilizan ciertos aspectos bsicos declculo, a los que aadimos la nota Requiere conocimientos de clculo.

    En el texto se subrayan los aspectos computacionales y geomtricos de la materia,manteniendo la abstraccin en un nivel mnimo. De acuerdo con lo anterior, en ocasio-nes omitiremos las demostraciones de algunos teoremas, difciles o poco provechosas,a la vez que ampliaremos su ilustracin mediante ejemplos. Las demostraciones tienenel nivel adecuado para el estudiante. Tambin hemos centrado nuestra atencin en lasreas esenciales del lgebra lineal; el libro no pretende describir la materia en formaexhaustiva.

    Novedades en la octava edicinNos complace mucho la amplia aceptacin que han tenido las primeras siete edicionesde esta obra. El xito alcanzado por el movimiento para la reforma del clculo realiza-do en Estados Unidos durante los ltimos aos, dio lugar a que se hayan comenzado agestar ideas para mejorar la enseanza del lgebra lineal. El grupo de estudio del pro-grama de lgebra lineal y otros de carcter similar han hecho varias recomendacionesen este sentido. Al preparar esta edicin, las hemos tomado en cuenta, as como las su-gerencias de profesores y estudiantes. Aunque realizamos muchos cambios en esta edi-cin, nuestro objetivo sigue siendo el mismo que en las anteriores:

    desarrollar un libro de texto que ayude al maestro a ensear y al estu-diante a aprender las ideas bsicas del lgebra lineal, as como a com-prender algunas de sus aplicaciones.

    Para lograrlo, esta edicin incluye las caractersticas siguientes:

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  • Se agregaron estas nuevas secciones:

    Seccin 1.5, Transformaciones matriciales: introduce, desde muy temprano, algu-nas aplicaciones geomtricas.

    Seccin 2.1, Introduccin a la teora de cdigos: junto con un material de apoyosobre matrices binarias que se presenta a lo largo de los primeros seis captulos,esta nueva seccin proporciona una introduccin a los conceptos bsicos de la teo-ra de cdigos.

    Seccin 7.3, Algo ms sobre codificacin: desarrolla algunos cdigos sencillos ysus propiedades bsicas relacionadas con el lgebra lineal.

    Se agreg ms material geomtrico.

    Tambin se aadieron ejercicios nuevos a todos los niveles. Algunos de ellos corres-ponden al tipo de respuesta abierta lo que permite explorar con ms amplitud untema y realizar nuevos hallazgos, mientras que otros son de desarrollo.

    Se agregaron ms ilustraciones.

    Se actualizaron los archivos M de MATLAB a versiones ms recientes.

    Al final de cada seccin se agreg un listado de trminos clave, lo que refleja nues-tro inters en desarrollar an ms las habilidades de comunicacin.

    En las preguntas de falso/verdadero se pide al estudiante que justifique su respuesta,lo que da una oportunidad adicional para exploracin y redaccin.

    Al repaso acumulativo de los primeros diez captulos se agregaron 25 preguntas defalso/verdadero.

    Adems se aadi un glosario, caracterstica totalmente nueva en esta edicin.

    EjerciciosLos ejercicios se agrupan en tres clases. Los de la primera, Ejercicios, son de rutina. Enla segunda, Ejercicios tericos, incluimos los que cubren las lagunas de algunas demos-traciones y amplan el material tratado en el texto. Algunos de ellos piden una solucinoral. En esta era de la tecnologa, es particularmente importante escribir con cuidado yprecisin, y estos ejercicios ayudarn al estudiante a mejorar esta habilidad, adems deelevar el nivel del curso y plantear retos a los alumnos ms dotados y con ms inters.La tercera clase, Ejercicios con MATLAB (ML) consta de ejercicios preparados por Da-vid R. Hill para resolverse con ayuda de MATLAB o de algn otro paquete de softwarematemtico.

    Las respuestas a los ejercicios numricos impares y los ejercicios ML aparecen alfinal del libro. Al trmino del captulo 10 se da un repaso acumulativo del material b-sico de lgebra lineal presentado hasta all, el cual consiste en 100 preguntas de falso/verdadero (las respuestas se dan al final del texto).

    PresentacinLa experiencia nos ha enseado que los conceptos abstractos deben presentarse de ma-nera gradual y basarse en fundamentos firmes. Por lo tanto, comenzamos el estudio dellgebra lineal con el tratamiento de las matrices como simples arreglos de nmeros quesurgen de manera natural en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, un problemafamiliar para el estudiante. En cada nueva edicin nos hemos preocupado por perfec-cionar los aspectos pedaggicos de la exposicin. Las ideas abstractas se han equilibradocuidadosamente, y acentan los aspectos geomtricos y de clculo de la materia.

    xii Prefacio

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  • TemarioEl captulo 1 aborda las matrices y sus propiedades. La seccin 1.5 Transformacionesmatriciales, nueva en esta edicin, proporciona una introduccin a este importantetema. Este captulo consiste en dos partes: en la primera se analizan las matrices y lossistemas lineales; en la segunda se comentan las soluciones de sistemas lineales. El ca-ptulo 2, cuyo estudio es opcional, est dedicado al anlisis de aplicaciones de ecuacio-nes lineales y matrices en reas como la teora de cdigos, la creacin de grficos porcomputadora, la teora de grficas, los circuitos elctricos, las cadenas de Markov, losmodelos lineales en economa, y las wavelets. En la seccin 2.1, Introduccin a la teo-ra de cdigos tambin nueva en esta edicin, se desarrollan los fundamentos pa-ra introducir un poco de material de la teora de cdigos. Para mantener la discusin deestos temas en un nivel elemental, ha sido necesario abundar en detalles tcnicos. El ca-ptulo 3 presenta brevemente las propiedades bsicas de las determinantes. El captulo 4plantea el tema de los vectores en Rn, adems de explicar los vectores en el plano yofrecer una introduccin a las transformaciones lineales. El captulo 5, cuya lectura esopcional, proporciona una oportunidad de explorar algunos de los muchos conceptosgeomtricos relacionados con vectores en R2 y R3; por conveniencia, limitamos nuestraatencin a las reas de producto cruz en R3, y rectas y planos.

    En el captulo 6 llegamos a un concepto ms abstracto, el de espacio vectorial. Laabstraccin en este captulo se maneja con ms sencillez una vez que se ha cubierto elmaterial sobre vectores en Rn. El captulo 7 (opcional) presenta tres aplicaciones de es-pacios vectoriales reales: la factorizacin QR, mnimos cuadrados y, en la seccin 7.3,Algo ms sobre codificacin nueva en esta edicin, una introduccin a algunos c-digos sencillos. El captulo 8, que versa sobre valores propios (eigenvalores) y vectorespropios (eigenvectores), constituye el punto culminante del curso, y ahora se presentaen tres secciones para facilitar la enseanza; en este captulo se desarrolla cuidadosa-mente la diagonalizacin de matrices simtricas.

    El captulo 9, de estudio opcional, aborda diversas aplicaciones de valores y vecto-res propios. stas incluyen sucesiones de Fibonacci, ecuaciones diferenciales, sistemasdinmicos, formas cuadrticas, secciones cnicas y superficies cudricas. El captulo 10cubre las transformaciones lineales y matrices. La seccin 10.4 (opcional), Introduc-cin a fractales, analiza una aplicacin de ciertas transformaciones no lineales. El ca-ptulo 11 (opcional) se ocupa de la programacin lineal, una importante aplicacin dellgebra lineal. La seccin 11.4 presenta las ideas bsicas de la teora de juegos. El ca-ptulo 12 proporciona una breve introduccin a MATLAB (abreviatura de MATRIX LA-BORATORY), un paquete de software muy til para realizar clculos de lgebra linealen computadora (vea la descripcin ms adelante).

    El apndice A presenta de manera breve pero completa los nmeros complejos ysu uso en lgebra lineal. El apndice B toca otros dos temas avanzados del lgebra li-neal: los espacios con producto interno, la composicin de transformaciones lineales ylas transformaciones lineales invertibles.

    AplicacionesCasi todas las aplicaciones son completamente independientes; pueden abordarse des-pus de terminar todo el material introductorio de lgebra lineal en el curso, o bienestudiarse tan pronto como se termine de desarrollar el material necesario para una apli-cacin en particular. En el caso de la mayora de las aplicaciones se da una Vista pre-liminar de una aplicacin en lugares adecuados de libro, cuyo propsito es indicarcmo proporcionar una aplicacin inmediata del material que se acaba de estudiar. Eldiagrama que aparece al final de este prefacio proporciona los requisitos de cada una delas aplicaciones, y la Vista preliminar de una aplicacin ser til para decidir cul apli-cacin estudiar y cundo hacerlo.

    Prefacio xiii

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  • Algunas de las secciones en los captulos 2, 5, 7, 9 y 11 tambin pueden utilizarsecomo proyectos independientes para los estudiantes. La experiencia en el aula a partirde este enfoque ha demostrado una reaccin favorable de los estudiantes. Por lo tanto,el profesor puede ser muy selectivo, tanto en la eleccin del material como en el mto-do de estudio de estas aplicaciones.

    Material al final de los captuloCada captulo contiene un resumen de Ideas clave para el repaso, un conjunto de ejer-cicios complementarios (las respuestas de todos los ejercicios impares aparecen al finaldel libro), y un examen del captulo (todas las respuestas aparecen al final del libro).

    Software MATLABAunque los ejercicios ML pueden resolverse usando diferentes paquetes de software, anuestro juicio MATLAB es el ms apropiado para este propsito. MATLAB es un paquetede software verstil y poderoso, cuya piedra angular son sus capacidades para lgebralineal. MATLAB incorpora rutinas de clculo de calidad profesional, muy tiles en lge-bra lineal. El cdigo de programacin de MATLAB est escrito en lenguaje C, y ha idomejorando en cada nueva versin del software. MATLAB est disponible de The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760, [(508) 653-1415], direccin de co-rreo electrnico: [email protected]; este libro no incluye el programa ni las ru-tinas de comandos desarrolladas para la resolucin de los ejercicios ML. La versin deMATLAB para el estudiante incluye tambin una versin de Maple, proporcionado asuna capacidad de clculo simblico.

    El captulo 12 de esta edicin incluye una breve introduccin a las capacidades deMATLAB para resolver problemas de lgebra lineal. Aunque MATLAB permite la creacinde programas para implementar muchos algoritmos matemticos, es preciso aclarar queen este libro no se pide al lector que escriba programas, sino simplemente que use MATLAB(o algn otro paquete de software comparable) para resolver problemas numricos es-pecficos. Aproximadamente 24 archivos (M) han sido desarrollados para que el alumnolos utilice con los ejercicios ML en este libro; el material correspondiente est disponi-ble en el sitio Web de Prentice Hall, www.pearsoneducacion.net/kolman. Estosarchivos M estn diseados para transformar muchas de las capacidades de MATLAB enfuncin de las necesidades del curso. Esto proporciona una herramienta pedaggica quepermite al estudiante razonar los pasos para la resolucin de un problema, dejando aMATLAB la responsabilidad de realizar clculos que, por su complejidad, podran resul-tar tediosos. Sin duda, ste es el papel ideal de MATLAB (o de cualquier otro paquete desoftware) al iniciar un curso de lgebra lineal. Por otra parte, la introduccin a una po-tente herramienta como MATLAB al inicio de la carrera universitaria, abre el camino aotros tipos de software que sern de gran ayuda para el estudiante en cursos posterio-res, especialmente en ciencias e ingenieras.

    Material complementarioManual de soluciones para el profesor (0-13-143742-9). Contiene las respuestas a to-dos los ejercicios de nmero par, y soluciones a todos los ejercicios tericos est dispo-nible en ingls (slo para el profesor) solictelo al representante de Pearson Educacin.

    xiv Prefacio

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  • Lecturas obligatorias para comprender las aplicacionesSeccin 2.1 Material sobre bits en el captulo 1

    Seccin 2.2 Seccin 1.4

    Seccin 2.3 Seccin 1.5

    Seccin 2.4 Seccin 1.6

    Seccin 2.5 Seccin 1.6

    Seccin 2.6 Seccin 1.7

    Seccin 2.7 Seccin 1.7

    Seccin 5.1 Seccin 4.1 y Captulo 3

    Seccin 5.2 Secciones 4.1 y 5.1

    Seccin 7.1 Seccin 6.8

    Seccin 7.2 Secciones 1.6, 1.7, 4.2, 6.9

    Seccin 7.3 Seccin 2.1

    Seccin 9.1 Seccin 8.2

    Seccin 9.2 Seccin 8.2

    Seccin 9.3 Seccin 9.2

    Seccin 9.4 Seccin 8.3

    Seccin 9.5 Seccin 9.4

    Seccin 9.6 Seccin 9.5

    Seccin 10.4 Seccin 8.2

    Secciones 11.1-11.3 Seccin 1.6

    Seccin 11.4 Secciones 11.1 11.3

    A los usuarios de las ediciones anteriores:

    Durante los 29 aos de vida de las siete ediciones anteriores de esta obra, el libro seha utilizado principalmente para el curso de lgebra lineal de segundo ao de licen-ciatura. Este curso cubri lo bsico de lgebra lineal y utiliz el tiempo extra dispo-nible para el estudio de aplicaciones seleccionadas del tema. En esta nueva edicinno hemos cambiado el fundamento estructural para la enseanza del material esen-cial de lgebra lineal. Por lo tanto, este material puede ensearse exactamente dela misma manera que antes. La ubicacin de las aplicaciones, con mayor cohesiny unificada con propsitos pedaggicamente estratgicos, junto con nuevas aplica-ciones y otros materiales, facilitar sin duda la imparticin de un curso ms rico yms variado.

    Prefacio xv

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  • Agradecimientos

    Nos complace expresar nuestro agradecimiento a las siguientes personas, que revisaronexhaustivamente el manuscrito de la primera edicin: William Arendt, University ofMissouri, y David Shedler, Virginia Commonwealth University. En la segunda edicin:Gerald E. Bergum, South Dakota State University; Jame O. Brooks, Villanova Univer-sity; Frank R. DeMeyer, Colorado State University; Joseph Malkevitch, York Collegede la City University de New York; Harry W. McLaughlin, Rensselaer Polytechnic Ins-titute; y Lynn Arthur Steen, St. Olafs College. De la tercera edicin: Jerry Goldman,DePaul University; David R. Hill, Temple University; Allan Krall, The PennsylvaniaState University en University Park; Stanley Lukawecki, Clemson University; DavidRoyster, The University of North Carolina; Sandra Welch, Stephen F. Austin State Uni-versity; y Paul Zweir, Calvin College.

    De la cuarta edicin: William G. Vick, Broome Community College; Carrol G.Wells, Western Kentucky University; Andre L. Yandl, Seattle University; y LanceL. Littlejohn, Utah State University. De la quinta edicin: Paul Been, Indiana Univer-sity-South Bend; John Broughton, Indiana University of Pennsylvania; Michael Ge-rahty, University of Iowa; Philippe Loustaunau, George Mason University; WayneMcDaniels, University of Missouri; y Larry Runyan, Shoreline Community College.De la sexta edicin: Daniel D. Anderson, University of Iowa; Jrgen Gerlach, Rad-ford University; W. L. Golik, University of Missouri en St. Louis; Charles Heuer, Con-cordia College; Matt Insall, University of Missouri en Rolla; Irwin Pressman, CarletonUniversity; y James Snodgrass, Xavier University. De la sptima edicin: Ali A. Dad-del, University of California-Davis; Herman E. Gollwitzer, Drexel University; JohnGoulet, Worcester Polytechnic Institute; J. D. Key, Clemson University; John Mitchell,Rensselaer Polytechnic Institute; y Karen Schroeder, Bentley College.

    De la octava edicin: Juergen Gerlach; Radford University; Lanita Presson, Uni-versity of Alabama, Huntsville; Tomaz Pisanski, Colgate University; Mike Daven,Mount Saint Mary College; David Goldberg, Purdue University; y Aimee J. Ellington,Virginia Commonwealth University.

    Agradecemos tambin a Vera Pless, de la University de Illinois en Chicago, por surevisin crtica del material acerca de teora de cdigos.

    Tambin queremos dar las gracias a las siguientes personas, por la ayuda que brin-daron en ciertas partes del manuscrito: Thomas I. Bartlow, Robert E. Beck y MichaelL. Levitan, de Villanova University; Robert C. Busby, Robin Clark, el finado CharlesS. Duris, Herman E. Gollwitzer, Miltin Schwartz y el finado John H. Staib, de DrexelUniversity; Avi Vardi, Seymour Lipschutz, Temple University; Oded Kariv, Technion,Israel Institute of Technology; William F. Trench, Trinity University; y Alex Stanoye-vitch, University of Hawaii; y nuestro agradecimiento, asimismo, a todos los maestrosy estudiantes de Estados Unidos y de otros pases, que han compartido con nosotros susexperiencias con el libro y nos han ofrecido tiles sugerencias.

    Las diversas sugerencias, los comentarios y las crticas de estas personas han me-jorado mucho la obra. Para todos, una sincera expresin de gratitud.

    Agradecemos tambin a Dennis R. Kletzing, de la Stetson University, quien reali-z la tipografa de todo el original del Manual de soluciones para el estudiante y delManual de respuestas. Dennis encontr varios errores y obr milagros en muy pocotiempo. Fue un placer trabajar con l.

    Nuestra gratitud a Dennis Kletzing, de la Stetson University, y a Nina Edelman yKathy OHara, de la Temple University, por preparar el Manual de soluciones para elestudiante.

    Tambin debemos agradecer a Nina Edelman, Temple University, quien junto conLilian Brady, hicieron una lectura crtica de las galeras, y a Blaise deSesa por su ayudaen la edicin y la verificacin de las soluciones a los ejercicios.

    xvi Prefacio

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  • Por ltimo, una sincera expresin de agradecimiento a Jeanne Audino, editora deproduccin, quien con paciencia y experiencia gui este libro desde su concepcin has-ta su publicacin; a George Lobell, editor ejecutivo, y a todo el equipo de Prentice Hallpor su entusiasmo, inters y cooperacin constantes durante las etapas de concepcin,diseo, produccin y mercadeo de esta edicin.

    Bernard [email protected]

    David R. [email protected]

    Prefacio xvii

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  • AL ESTUDIANTE

    Es muy probable que este curso sea muy diferente a cualquier otro de matemticas quehaya estudiado hasta ahora, por lo menos en dos sentidos importantes. Primero, esposible que constituya su primera experiencia en materia de abstraccin; en segundolugar, es un curso de matemticas que puede tener gran impacto en su vocacin profe-sional.

    A diferencia de otros cursos de matemticas, ste no le dar una serie de tcnicasaisladas de clculo para resolver ciertos tipos de problemas. En lugar de ello, desarro-llaremos un ncleo de material, denominado lgebra lineal, introduciendo ciertas defi-niciones y creando procedimientos para la determinacin de propiedades y la demos-tracin de teoremas. Esta ltima es una habilidad que toma tiempo dominar, por lo queal principio slo esperamos que lea y entienda las comprobaciones que se incluyen en ellibro; conforme avance en el curso, sin embargo, ser capaz de realizar algunas demos-traciones sencillas por su propia cuenta. Poco a poco lo introduciremos a la abstraccin,aunque manteniendo la exigencia a este respecto en el mnimo, e ilustrando ampliamen-te cada idea abstracta con ejemplos numricos y aplicaciones. Si bien har muchosclculos, el objetivo de casi todos los problemas no es solamente obtener la respuestacorrecta, sino que entienda y explique cmo obtener la respuesta e interpretar el re-sultado.

    El lgebra lineal se utiliza diariamente para resolver problemas en otras reas dematemticas, fsica, biologa, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa ysociologa. Entre las aplicaciones que utilizan lgebra lineal estn la transmisin de in-formacin, el desarrollo de efectos especiales en pelculas y vdeo, la grabacin de so-nido, el desarrollo de motores (o mquinas) de bsqueda en Internet, y el anlisiseconmico. Como podr ver, el lgebra lineal nos afecta profundamente. En este librose incluyen aplicaciones seleccionadas y, si hay tiempo suficiente, algunas de ellas po-drn abordarse con ms amplitud a lo largo del curso. Adems, muchas de las aplica-ciones pueden usarse como proyectos de estudio autodidacta.

    Hay tres tipos de ejercicios en esta obra: primero, los ejercicios computacionales.Estos ejercicios, as como sus nmeros han sido cuidadosamente seleccionados de ma-nera de casi todos ellos pueden realizarse fcilmente a mano. Cuando se le pida que uti-lice lgebra lineal en aplicaciones reales, encontrar que el tamao de los problemas esmucho ms grande, y que los nmeros involucrados no siempre son sencillos. ste noes un impedimento, ya que es casi seguro que emplee algn tipo de software para resol-verlos. Una muestra de este tipo de programas se provee para el tercer tipo de ejercicios,diseados para resolverse por medio de una computadora y MATLAB, una poderosaherramienta de software que tiene como base las matrices y que se utiliza ampliamenteen la industria. La segunda categora est compuesta por ejercicios tericos. En algunos

    xix

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  • de stos es probable que se le pida demostrar un resultado o analizar una idea. La ca-pacidad de obtener una respuesta no siempre es suficiente en el mundo actual; muchasveces se le pedir que prepare un informe en donde se analice la solucin y se justifi-quen los pasos que le llevaron a ella, as como interpretar los resultados.

    Estos tipos de ejercicios le darn experiencia en la redaccin de textos relaciona-dos con las matemticas; esta disciplina utiliza palabras, no slo smbolos.

    Recomendaciones para aprender lgebra lineal Lea el libro lentamente, y tenga lpiz y papel a mano. Quiz tenga que leer una

    seccin en particular ms de una vez. Detngase a verificar los pasos marcadoscon verifique en el texto.

    Asegrese de realizar su tarea de manera oportuna. Si espera hasta que los proble-mas le sean explicados en clase, no aprender a resolverlos por usted mismo. Auncuando no pueda terminar un problema, intntelo: de esta manera le ser ms fcilcomprenderlo cuando se le analice en clase. Tal vez le sea til trabajar con otrosestudiantes el material cubierto en clase y algunos problemas de tarea.

    Asegrese de preguntar tan pronto como algo no le quede claro. Cuando se cons-truye una casa, lo primero que se coloca son los cimientos; el estudio del lgebralineal sigue el mismo principio: en este curso cada idea abstracta tiene como ba-se una serie de conceptos desarrollados previamente. Si alguno de tales conceptosle resulta confuso o sencillamente incomprensible, sus conocimientos sern insu-ficientes para entender las ideas subsecuentes.

    Haga uso de los recursos pedaggicos que proporciona este libro. Al final de ca-da seccin se presenta una lista de trminos clave; al final de cada captulo se ofre-ce una lista de ideas clave para repasar, ejercicios complementarios y un examendel captulo. Al final de los primeros diez captulos (que completan el ncleo delmaterial de lgebra lineal de que se compone el curso) se hace un repaso que con-siste en 100 preguntas de falso/verdadero, en las que le pedimos que justifique surespuesta. Por ltimo, al final del libro aparece un glosario de trminos relaciona-dos con el lgebra lineal.

    Estamos seguros de que su esfuerzo por aprender lgebra lineal se ver ampliamente re-compensado en otros cursos y a lo largo de su carrera profesional.

    Le deseamos mucho xito en su estudio del lgebra lineal.

    xx Al estudiante

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  • LGEBRA LINEAL

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  • 1.1 SISTEMAS LINEALES

    Una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales y socia-les, as como en ingeniera y en ciencias fsicas, tienen que ver con ecuaciones que re-lacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuacin del tipo

    ax = b,que expresa la variable b en trminos de la variable x y la constante a, se denominaecuacin lineal. Aqu se utiliza la palabra lineal porque la grfica de la ecuacin ante-rior es una lnea recta. De manera anloga, la ecuacin

    a1x1 + a2x2 + + anxn = b, (1)que expresa b en trminos de las variables x1, x2, . . . , xn y las constantes conoci-das a1, a2, . . . , an, se denomina ecuacin lineal. En muchas aplicaciones se nos dan by las constantes a1, a2, . . . , an y se nos dice que debemos determinar los nme-ros x1, x2, . . . , xn, denominados incgnitas, que satisfacen la ecuacin (1).

    Una solucin de una ecuacin lineal (1) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . ,sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn se sus-tituyen en (1).

    En consecuencia, x1 = 2, x2 = 3 y x3 = 4 es una solucin de la ecuacin lineal6x1 3x2 + 4x3 = 13,

    ya que

    6(2) 3(3) + 4(4) = 13.sta no es la nica solucin para la ecuacin lineal dada, ya que x1 = 3, x2 = 1 y x3 =7 tambin lo es.

    De manera ms general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1,x2, . . . , xn al que podemos llamar simplemente sistema lineal, es un conjunto dem ecuaciones lineales, cada una con n incgnitas. Un sistema lineal puede denotarse sinproblema mediante

    C A P T U L O

    ECUACIONES LINEALESY MATRICES

    1

    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

    ......

    ......

    am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm .

    (2)

    1

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  • Los dos subndices, i y j, se utilizan como sigue. El primer subndice, i, indica que es-tamos trabajando con la i-sima ecuacin, mientras que el segundo subndice, j, estasociado con la j-sima variable xj. As, la i-sima ecuacin es

    ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi.En (2), las aij son constantes conocidas. Dados los valores de b1, b2, . . . , bm, queremosdeterminar los valores de x1, x2, . . . , xn que satisfagan cada ecuacin en (2).

    Una solucin del sistema lineal (2) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . , sn,que tiene la propiedad de que cada ecuacin en (2) se satisface cuando x1 = s1, x2 = s2,. . . , xn = sn se sustituyen en (2).

    Para encontrar las soluciones del sistema lineal, usaremos una tcnica denominadamtodo de eliminacin. Esto es, eliminamos algunas de las incgnitas sumando unmltiplo de una ecuacin a otra ecuacin. Casi todos los lectores habrn tenido algunaexperiencia con esta tcnica en cursos de lgebra en niveles bsicos, aunque lo ms se-guro es que haya sido con la restriccin de hacerlo con sistemas lineales en los que m= n, es decir, sistemas lineales con tantas ecuaciones como incgnitas. En este cursoampliaremos este panorama, poniendo en prctica el mtodo citado tratando con siste-mas en los que tenemos m = n, m n y m n. En realidad, existe una gran cantidadde aplicaciones en que m n. Si nuestro problema involucra dos, tres o cuatro incg-nitas, solemos escribir x, y, z y w. En esta seccin utilizaremos el mtodo de elimina-cin como se estudi en cursos bsicos, y en la seccin 1.5 lo haremos de maneramucho ms sistemtica.

    EJEMPLO 1 El director de un fondo de inversin tiene $100,000 para invertir. Las reglas del fondoestablecen que la inversin debe hacerse tanto en certificados de depsito (CD), como alargo plazo. El objetivo del director es obtener un rendimiento de $7,800 sobre las in-versiones al cabo de un ao. Los CD elegidos tienen un rendimiento de 5% anual, mien-tras que el bono ofrece 9% al ao. El director determina cmo sigue la cantidad x quedebe invertir en los CD, y la cantidad y que dedicar a comprar bonos:

    Como la inversin total es de $100,000, debemos tener x + y = 100,000. Toda vezque el rendimiento deseado es de $7,800, obtenemos la ecuacin 0.05x + 0.09y = 7,800.Por lo tanto, tenemos el sistema lineal

    (3)

    Para eliminar x, sumamos (0.05) veces la primera ecuacin a la segunda, para obtener

    en donde la segunda ecuacin no tiene trmino x; en otras palabras, hemos eliminadola incgnita x. Despus despejamos y en la segunda ecuacin, para obtener

    y = 70,000,y sustituyendo y en la primera ecuacin de (3), obtenemos

    x = 30,000.Para comprobar que x = 30,000, y = 70,000 es una solucin de (3), verificamos que es-tos valores de x y y satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema lineal dado. Enconsecuencia, el director del fondo debe invertir $30,000 en los CD y $70,000 en bo-nos a largo plazo.

    x + y = 100,0000.04y = 2,800,

    x + y = 100,0000.05x + 0.09y = 7,800.

    2 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

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  • EJEMPLO 2 Considere el sistema lineal

    (4)

    Nuevamente decidimos eliminar x. Para ello, sumamos (2) veces la primera ecuacina la segunda, y obtenemos

    cuya segunda ecuacin no tiene sentido. Esto significa que la solucin del sistema li-neal (4) es el conjunto vaco; en trminos prcticos, podemos decir que el sistema notiene solucin, es un conjunto vaco. Podramos haber obtenido la misma conclusinobservando que en (4) el lado izquierdo de la segunda ecuacin es igual a dos veces ellado izquierdo de la primera ecuacin, pero el lado derecho de la segunda ecuacin noes dos veces el lado derecho de la primera ecuacin.

    EJEMPLO 3 Considere el sistema lineal

    (5)

    Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que da por resultado

    (6)

    Despus eliminamos y como sigue, con ayuda de la segunda ecuacin en (6). Multipli-camos la tercera ecuacin de (6) por para obtener

    Luego intercambiamos la segunda y tercera ecuaciones, lo que nos da

    (7)

    Ahora sumamos 7 veces la segunda ecuacin a la tercera, para obtener

    Al multiplicar la tercera ecuacin por 110

    , tenemos

    (8)

    x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4

    z = 3.

    x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4

    10z = 30.

    x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4

    7y 4z = 2.

    x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2

    y + 2z = 4.

    15 ,

    x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2 5y 10z = 20.

    x + 2y + 3z = 62x 3y + 2z = 143x + y z = 2.

    x 3y = 70x + 0y = 21

    x 3y = 72x 6y = 7.

    Sec. 1.1 Sistemas lineales 3

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  • Sustituyendo z = 3 en la segunda ecuacin de (8), encontramos que y = 2. Al susti-tuir estos valores de z y y en la primera ecuacin de (8), obtenemos x = 1. Para com-probar que x = 1, y = 2, z = 3 es una solucin de (5), verificamos que estos valoresde x, y y z satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema. En consecuencia, x = 1,y = 2, z = 3 es una solucin para el sistema lineal. La importancia del procedimien-to radica en el hecho de que los sistemas lineales (5) y (8) tienen exactamente las mis-mas soluciones. El sistema (8) tiene la ventaja de que puede resolverse con muchafacilidad, dando los valores anteriores para x, y y z.

    EJEMPLO 4 Considere el sistema lineal

    (9)

    Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y obtenemos

    (10)

    Despejamos y en la segunda ecuacin en (10) para obtener

    y = z 4,donde z puede ser cualquier nmero real. Entonces, con base en la primera ecuacin de(10),

    Por lo tanto, una solucin para el sistema lineal (9) es

    x = r + 4y = r 4z = r,

    donde r es cualquier nmero real. Esto significa que el sistema lineal (9) tiene un n-mero infinito de soluciones. Cada vez que asignamos un valor a r, obtenemos otra so-lucin para (9). En consecuencia, si r = 1, entonces

    x = 5, y = 3 y z = 1es una solucin, mientras que si r = 2, entonces

    x = 2, y = 6 y z = 2

    es otra solucin.

    EJEMPLO 5 Considere el sistema lineal

    (11)

    x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26.

    x = 4 2y + 3z= 4 2(z 4) + 3z= z + 4.

    x + 2y 3z = 4 3y + 3z = 12.

    x + 2y 3z = 42x + y 3z = 4.

    4 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

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  • Una vez ms, para eliminar x sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y(3) veces la primera ecuacin a la tercera, obteniendo

    x + 2y = 106y = 24y = 4.

    Multiplicando la segunda ecuacin por y la tercera por (1), tenemosx + 2y = 10

    y = 4 (12)y = 4,

    que tiene las mismas soluciones que (11). Al sustituir y = 4 en la primera ecuacin de(12), obtenemos x = 2. Por lo tanto, x = 2, y = 4 es una solucin para (11).

    EJEMPLO 6 Considere el sistema lineal

    (13)

    Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que nos da

    x + 2y = 106y = 24y = 10.

    Al multiplicar la segunda ecuacin por y la tercera por (1), obtenemos el sis-tema

    x + 2y = 10y = 4 (14)y = 10,

    que no tiene solucin. Como (14) y (13) tienen las mismas soluciones, concluimos que(13) no tiene solucin.

    Estos ejemplos sugieren que un sistema lineal puede tener una solucin (es decir,una nica solucin), no tener solucin, o un nmero infinito de soluciones.

    Hemos visto que el mtodo de eliminacin consiste de la realizacin repetida de lasoperaciones siguientes:

    1. Intercambiar dos ecuaciones.2. Multiplicar una ecuacin por una constante diferente de cero.3. Sumar un mltiplo de una ecuacin a la otra.

    No es difcil demostrar (ejercicios T.1 a T.3) que el mtodo de eliminacin propor-ciona otro sistema lineal que tiene exactamente las mismas soluciones que el sistemadado. El nuevo sistema lineal puede resolverse despus sin dificultad.

    16

    x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 20.

    16

    Sec. 1.1 Sistemas lineales 5

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  • Como quiz haya notado, hasta el momento, hemos descrito el mtodo de elimina-cin nicamente en trminos generales, de manera que no hemos indicado regla algunapara seleccionar las incgnitas que sern eliminadas. Antes de proporcionar una descripcinsistemtica del mtodo de eliminacin en la siguiente seccin, hablaremos del conceptode matriz, lo que nos ayudar a simplificar en gran medida nuestra notacin, permitin-donos desarrollar herramientas para resolver muchos problemas importantes.

    Considere ahora un sistema lineal con las incgnitas x y y;

    a1x + a2y = c1 (15)b1x + b2y = c2.

    La grfica de cada una de estas ecuaciones es una lnea recta, que denotamos median-te l1 y l2, respectivamente. Si x = s1, y = s2 es una solucin del sistema lineal (15), en-tonces el punto (s1, s2) pertenece a ambas rectas, l1 y l2. De manera recproca, si elpunto (s1, s2) est en ambas rectas, l1 y l2, entonces x = s1, y = s2 es una solucin parael sistema lineal (15). (Vea la figura 1.1.) En consecuencia, hemos llegado a las mismastres posibilidades mencionadas, siguiendo una alternativa geomtrica:

    1. El sistema tiene una solucin nica; esto es, las rectas l1 y l2 se intersecan exacta-mente en un punto.

    2. El sistema no tiene solucin; es decir, las rectas l1 y l2 no se intersecan.

    3. El sistema tiene un nmero infinito de soluciones; en otras palabras, las rectas l1 yl2 coinciden.

    Figura 1.1

    Ahora, consideremos un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas, x, yy z:

    (16)

    La grfica de cada una de estas ecuaciones es un plano, y se denota con P1, P2 y P3,respectivamente. Como en el caso de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos in-cgnitas, el sistema lineal en (16) puede tener una solucin nica, no tener solucin otener una infinidad de soluciones. Estas situaciones se ilustran en la figura 1.2. Paracomprender de forma ms concreta algunos de los casos posibles, piense en que las pa-redes (planos) de una habitacin se intersecan en un nico punto: una esquina de la ha-bitacin; de esta manera, el sistema lineal tiene una solucin nica. Ahora piense en losplanos como si se tratara de las pginas de un libro. Cuando el libro se sostiene abier-to, tres de sus pginas se intersecan en una lnea recta (el lomo); en este caso, el siste-ma lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Por otra parte, cuando se cierra ellibro, aparentemente las tres pginas son paralelas y no se intersecan, por lo que pode-mos decir que el sistema lineal no tiene solucin.

    a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3.

    6 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    y

    x

    (b) No hay solucin

    l1l2

    y

    x

    (a) Una nica solucin

    l1

    l2

    y

    x

    (c) Una infinidad de soluciones

    l1

    l2

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  • EJEMPLO 7 (Planeacin de produccin) Un fabricante produce tres tipos diferentes de productosqumicos: A, B y C. Cada producto debe pasar por dos mquinas de procesamiento:X y Y. La manufactura del producto requiere los tiempos siguientes en las mquinas X y Y:

    1. Una tonelada de A requiere 2 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.

    2. Una tonelada de B requiere 3 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.

    3. Una tonelada de C requiere 4 horas en la mquina X y 3 horas en la mquina Y.

    La mquina X est disponible durante 80 horas a la semana, y la mquina Y puede uti-lizarse 60 horas a la semana. Como la gerencia no quiere que las costosas mquinas Xy Y estn ociosas, le gustara saber cuntas toneladas debe manufacturar de cada pro-ducto, de modo que las mquinas se utilicen a su capacidad total. Daremos por sentadoque el fabricante puede vender todos los productos que se manufacturen.

    Para resolver este problema, denotamos con x1, x2 y x3, respectivamente, el nme-ro de toneladas de productos A, B y C que se fabricarn. El nmero de horas que la m-quina X ser utilizada es

    2x1 + 3x2 + 4x3,que debe ser igual a 80. Por lo tanto, As tenemos que

    2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.De manera similar, el nmero de horas que emplear la mquina Y es 60, por lo que te-nemos

    2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Desde el punto de vista matemtico, nuestro problema consiste en determinar los valo-res no negativos de x1, x2 y x3 tales que

    2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.

    Este sistema lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Siguiendo el mtodo delejemplo 4, vemos que todas las soluciones estn dadas por

    x1 = 20 x32

    x2 = 20 x3x3 = cualquier nmero real tal que 0 x3 20,

    Sec. 1.1 Sistemas lineales 7

    Figura 1.2

    (a) Una nica solucin

    P1

    P2

    (c) Una infinidad de soluciones(b) No hay solucin

    P3

    P2

    P1

    P3P1

    P3

    P2

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  • toda vez que debemos tener x1 0, x2 0 y x3 0. Cuando x3 = 10, tenemosx1 = 5, x2 = 10, x3 = 10

    mientras que

    cuando x3 = 7. Observe que una solucin es tan buena como la otra. Ninguna es me-jor, a menos que se nos diera ms informacin o se nos plantearan algunas restric-ciones.

    x1 = 132 , x2 = 13, x3 = 7

    8 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    En los ejercicios 1 a 14, resuelva el sistema lineal dado por me-dio del mtodo de eliminacin.

    15. Dado el sistema lineal

    2x y = 54x 2y = t,

    (a) determine un valor de t para que el sistema tenga unasolucin.

    (b) determine un valor de t para que el sistema no tengasolucin.

    (c) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarseen la parte (b)?

    16. Dado el sistema lineal

    2x + 3y z = 0x 4y + 5z = 0,

    (a) verifique que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1 es una solucin.(b) verifique que x2 = 2, y2 = 2, z2 = 2 es una solucin.(c) x = x1 + x2 = 1, y = y1 + y2 = 1 y z = z1 + z2 = 1

    es una solucin del sistema lineal?

    (d) 3x, 3y, 3z, donde x, y y z son como en la parte (c), esuna solucin del sistema lineal?

    17. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin

    18. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodode eliminacin

    19. Existe un valor de r tal que x = 1, y = 2, z = r sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo

    2x + 3y z = 11x y + 2z = 7

    4x + y 2z = 12.

    4x = 82x + 3y = 1

    3x + 5y 2z = 11.

    2x + y 2z = 53y + z = 7

    z = 4.

    Trminos claveEcuacin linealIncgnitasSolucin de una ecuacin linealSistema lineal

    Solucin de un sistema linealMtodo de eliminacinSolucin nica

    Sin solucinInfinidad de solucionesManipulacin de un sistema lineal

    1.1 Ejercicios

    1. x + 2y = 83x 4y = 4.

    2. 2x 3y + 4z = 12x 2y + z = 5

    3x + y + 2z = 1.3. 3x + 2y + z = 2

    4x + 2y + 2z = 8x y + z = 4.

    4. x + y = 53x + 3y = 10.

    5. 2x + 4y + 6z = 122x 3y 4z = 153x + 4y + 5z = 8.

    6. x + y 2z = 52x + 3y + 4z = 2.

    7. x + 4y z = 123x + 8y 2z = 4.

    8. 3x + 4y z = 86x + 8y 2z = 3.

    9. x + y + 3z = 122x + 2y + 6z = 6.

    10. x + y = 12x y = 53x + 4y = 2.

    11. 2x + 3y = 13x 2y = 3

    5x + 2y = 27.

    12. x 5y = 63x + 2y = 15x + 2y = 1.

    13. x + 3y = 42x + 5y = 8

    x + 3y = 5.

    14. 2x + 3y z = 62x y + 2z = 83x y + z = 7.

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  • 20. Existe un valor de r tal que x = r, y = 2, z = 1 sea una so-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo

    21. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.2.

    22. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-mente en los tres planos que se muestran en cada inciso dela figura 1.3.

    Figura 1.3

    23. Una refinera produce gasolina con azufre y sin azufre. Pa-ra producir cada tonelada de gasolina sin azufre 5 minutosen la planta mezcladora y 4 minutos en la planta de refina-cin, mientras que cada tonelada de gasolina con azufre re-quiere 4 minutos en la planta mezcladora y 2 minutos en laplanta de refinacin. Si la planta mezcladora est disponi-ble 3 horas y la de refinacin 2 horas, cuntas toneladasde cada tipo de gasolina deben producirse de modo que lasplantas operen a toda su capacidad?

    24. Un fabricante produce dos tipos de plsticos: regular y es-pecial. La produccin de cada tonelada de plstico regularrequiere dos horas en la planta A y 5 horas en la planta B;para producir cada tonelada de plstico especial se necesi-tan 2 horas en la planta A y 3 horas en la planta B. Si laplanta A est disponible 8 horas diarias y la planta B 15horas al da, cuntas toneladas de cada tipo de plsticopueden producirse diariamente de modo que ambas plantasse utilicen al mximo de su capacidad?

    25. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades decarbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unida-des de protenas, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbo-hidratos. Por su parte, cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 2 unidadesde carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente25 unidades de protenas, 24 unidades de grasa y 21 unida-des de carbohidratos, cuntas onzas de cada tipo de ali-mento deben utilizarse?

    26. Un fabricante produce reveladores de pelcula de 2, 6 y 9minutos. La fabricacin de cada tonelada del revelador de2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 minutosen la planta B. Para manufacturar cada tonelada del revela-dor de 6 minutos son necesarios 12 minutos en la planta A y12 minutos en la planta B. Por ltimo, para producir cadatonelada del revelador de 9 minutos se utiliza 12 minutosla planta A y 12 minutos la planta B. Si la planta A estdisponible 10 horas al da y la planta B 16 horas diarias,cuntas toneladas de cada tipo de revelador de pelculapueden producirse de modo que las plantas operen a todasu capacidad?

    27. Suponga que los tres puntos (1,5), (1, 1) y (2, 7) estnen la parbola p(x) = ax2 + bx + c.(a) Determine un sistema lineal de tres ecuaciones con tres

    incgnitas que deba resolverse para determinar a, b y c.

    (b) Resuelva el sistema lineal que obtuvo en la parte (a)para a, b y c.

    28. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; elsegundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fi-deicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual,respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento totalfue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?

    3x 2z = 4x 4y + z = 5

    2x + 3y + 2z = 9.

    Sec. 1.1 Sistemas lineales 9

    P3

    P2

    P1

    (a)

    P1P3

    P2

    (b)

    (c)

    P3

    P1 P2

    Ejercicios tericos

    T.1. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al intercam-biar dos ecuaciones en (2) tiene exactamente las mismassoluciones que (2).

    T.2. Demuestre que el sistema lineal obtenido al remplazar unaecuacin en (2) por un mltiplo constante de la ecuacindiferente de cero, tiene exactamente las mismas solucionesque (2).

    T.3. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al remplazaruna ecuacin en (2) por ella misma ms un mltiplo de otra

    ecuacin en (2) tiene exactamente las mismas solucionesque (2).

    T.4. El sistema lineal

    ax + by = 0cx + dy = 0

    siempre tiene solucin para cualesquiera valores de a, b, cy d?

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  • 1.2 MATRICES

    Si analizamos el mtodo de eliminacin descrito en la seccin 1.1, observaremos lo si-guiente. Al realizar los pasos necesarios, slo modificamos los nmeros que aparecenjunto a las incgnitas x1, x2, . . . , xn. En consecuencia, podramos buscar una forma deescribir un sistema lineal sin tener que mantener las incgnitas. En esta seccin defini-remos un objeto, una matriz, que nos permite hacer precisamente eso: escribir sistemaslineales de una manera compacta que facilite la automatizacin del mtodo de elimina-cin en una computadora, dndonos un procedimiento rpido y eficaz para determinarlas soluciones. Su uso, sin embargo, no nos proporciona solamente la oportunidad decontar con una notacin conveniente, sino tambin como veremos a continuacinresolver sistemas de ecuaciones lineales y otros problemas computacionales de manerarpida y eficiente, desarrollando operaciones sobre las matrices y trabajando con ellasde acuerdo con las reglas que cumplen. Por supuesto, como debe hacer cualquier bue-na definicin, la del concepto de matriz no slo permite mirar de otra forma los proble-mas existentes, sino que, adems, da lugar a muchas nuevas preguntas, algunas de lascuales estudiaremos en este libro.

    DEFINICIN Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn nmeros reales (o complejos)ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales:

    La i-sima fila de A es

    La j-sima columna de A es

    Diremos que A es m por n (que se escribe m n). Si m = n, decimos que A es unamatriz cuadrada de orden n, y que los nmeros a11, a22, . . . , ann forman la diagonalprincipal de A. Nos referimos al nmero aij, que est en la i-sima fila (rengln) y laj-sima columna de A, como el i, j-simo elemento de A, o la entrada (i, j) de A, y so-lemos escribir (1) como

    A = [aij].Para simplificar, en este libro restringiremos nuestra atencin (salvo en el apndi-

    ce A) al anlisis de las matrices cuyas entradas son nmeros reales. Sin embargo, tambinse estudian las matrices con entradas complejas, mismas que tienen gran importanciaen muchas aplicaciones.

    a1 ja2 j

    ...am j

    (1 j n).

    ai1 ai2 ain (1 i m);

    A =

    a11 a12 a1 j a1na21 a22 a2 j a2n...

    ... ... ...ai1 ai2

    columna j

    (rengln) ifila

    ai j ain...

    ......

    ...am1 am2 am j amn

    .

    10 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    (1)

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  • EJEMPLO 1 Sean

    Entonces, A es una matriz de 2 3 con a12 = 2, a13 = 3, a22 = 0 y a23 = 1; B es unamatriz de 2 2, con b11 = 1, b12 = 4, b21 = 2 y b22 = 3; C es una matriz de 3 1,con c11 = 1, c21 =1 y c31 = 2; D es una matriz de 3 3; E es una matriz de 1 1, y Fes una matriz de 1 3. En D, los elementos d11 = 1, d22 = 0 y d33 = 2 forman la dia-gonal principal.

    Por conveniencia, en los ejemplos y ejercicios ilustrativos de los captulos 1 a7 centramos gran parte de nuestra atencin en matrices y expresiones que slo tienennmeros reales. Por otra parte, aunque aparecen en algunos ejemplos de los captulos 8 y9, es en el apndice A donde puede encontrarse una introduccin a los nmeros com-plejos y a sus propiedades, as como ejemplos y ejercicios que muestran cmo se utili-zan estos nmeros en lgebra lineal.

    Las matrices de 1 n o n 1 tambin se denominan un n-vectores, y lo denota-remos mediante letras minsculas en negritas. Cuando se sobreentienda el valor de n,nos referiremos a los n-vectores slo como vectores. En el captulo 4 analizaremos losvectores a detalle.

    EJEMPLO 2

    Si todas las entradas de un n-vector son iguales a cero, se denota con 0.

    Observe que si A es una matriz de n n, los renglones de A son matrices de 1 n.El conjunto de todos los n-vectores con entradas reales se denota con Rn. De manera si-milar, el conjunto de todos los n-vectores con entradas complejas se denota medianteCn. Como se indic anteriormente, en los primeros siete captulos de este libro trabaja-remos casi por completo con vectores en Rn.

    EJEMPLO 3 (Despliegue de valores en forma de tabla) La matriz siguiente proporciona las dis-tancias entre las ciudades indicadas (en millas terrestres).

    EJEMPLO 4 (Produccin) Suponga que un fabricante tiene cuatro plantas, en cada una de las cua-les se manufacturan tres productos. Si denotamos con aij el nmero de unidades del pro-ducto i elaboradas por la planta j en una semana, la matriz de 4 3

    Producto 1 Producto 2 Producto 3

    Planta 1 560 340 280Planta 2 360 450 270Planta 3 380 420 210Planta 4 0 80 380

    Londres

    Londres 0 785 3,469 5,959Madrid 785 0 3,593 6,706Nueva York 3,469 3,593 0 6,757Tokio 5,959 6,706 6,757 0

    Nueva York TokioMadrid

    u = 1 2 1 0 es un 4-vector y v = 11

    3

    es un 3-vector.

    A = 1 2 31 0 1 , B =1 42 3 , C =

    112

    ,D =

    1 1 02 0 13 1 2

    , E = 3 , F = 1 0 2 .

    Sec. 1.2 Matrices 11

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  • proporciona la produccin semanal del fabricante. Por ejemplo, en una semana, la plan-ta 2 produce 270 unidades del producto 3.

    EJEMPLO 5 La tabla siguiente, en donde se lista el factor de congelacin del viento, muestra cmouna combinacin de la temperatura y la velocidad del viento hace que un cuerpo sesienta ms fro que la temperatura real. Por ejemplo, cuando la temperatura es de 10 Fy el viento es de 15 millas por hora, el cuerpo pierde la misma cantidad de calor que laque perdera si la temperatura fuera de 18 F sin viento.

    Esta tabla puede representarse como la matriz

    EJEMPLO 6 Con el sistema lineal considerado en el ejemplo 5 de la seccin 1.1,

    podemos asociar las matrices siguientes:

    En la seccin 1.3, llamaremos A a la matriz de coeficientes del sistema lineal.

    DEFINICIN Una matriz cuadrada A = [aij], en donde cada trmino fuera de la diagonal principal esigual a cero, es decir, aij = 0 para i j, es una matriz diagonal.

    EJEMPLO 7

    son matrices diagonales.

    G = 4 00 2 y H =3 0 00 2 0

    0 0 4

    A =1 22 2

    3 5

    , x = xy

    , b = 104

    26

    .

    x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26,

    A = 5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 45

    20 17 24 31 39 46 53

    .

    F

    15 10 5 0 5 10mph

    5 12 7 0 5 10 1510 3 9 15 22 27 3415 11 18 25 31 38 4520 17 24 31 39 46 53

    12 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

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  • DEFINICIN Una matriz diagonal A = [aij], en donde todos los trminos de la diagonal principal soniguales, es decir, aij = c para i = j y aij = 0 para i j, es una matriz escalar.

    EJEMPLO 8 Las siguientes son matrices escalares:

    Los motores de bsqueda para localizacin y recuperacin de informacin en In-ternet, utilizan matrices para seguir el rastro de las ubicaciones en donde sta se en-cuentra, el tipo de informacin que se halla en cada ubicacin, las palabras clave queaparecen en ellas, e incluso la manera en que los sitios Web se vinculan entre s conotros. En gran medida, la eficacia de Google estriba en la manera en que utiliza lasmatrices para determinar cules sitios estn referenciados en otros sitios. Esto es, en lu-gar de mantener de manera directa el rastro del contenido de la informacin de una p-gina Web real o de un tema de bsqueda individual, la estructura de la matriz de Googledetermina las pginas Web que coinciden con el tema de bsqueda, y luego presentauna lista de tales pginas en un orden de importancia.

    Suponga que existen n pginas Web accesibles durante cierto mes. Una manerasencilla de comprender las matrices que conforman el esquema de Google, consiste enimaginar una matriz A de n n, denominada matriz de conectividad, la cual slo con-tiene ceros al principio. Para construir las conexiones se procede como sigue. Cuandose detecta que el sitio Web j est vinculado con el sitio Web i, la entrada aij se hace iguala uno. Como n es muy grande su valor se calculaba en alrededor de 3 mil millonesen diciembre de 2002, casi todas las entradas de la matriz de conectividad A son ce-ro. (Las matrices como sta se denominan esparcidas, ralas o poco densas.) Si la fila(rengln) i de A contiene muchos unos, significa que existen muchos sitios vinculadosal sitio i. El software que controla el motor de bsqueda de Google considera que lossitios que estn vinculados con muchos otros son ms importantes (en otras palabras,les da una calificacin ms alta). Por lo tanto, tales sitios apareceran al principio de lalista de resultados de bsqueda que generara Google cuando el usuario solicitara temasrelacionados con la informacin del sitio i. Ya que Google actualiza su matriz de conec-tividad cada mes, n aumenta con el paso del tiempo, al agregarse nuevos enlaces y si-tios.

    La tcnica fundamental que utiliza Google para calificar los sitios, emplea con-ceptos de lgebra lineal que estn fuera del alcance de este curso. Informacin adicio-nal sobre el tema puede encontrarse en las fuentes siguientes.

    1. Berry, Michael W. y Murray Browne. Understanding Search EnginesMathematicalModeling and Text Retrieval. Filadelfia: Siam, 1999.

    2. www.google.com/technology/index.html

    3. Moler, Cleve. The Worlds Largest Matrix Computation: Googles Page Rank Is anEigenvector of a Matrix of Order 2.7 Billion, MATLAB News and Notes, octubre de2002, pginas 12-13.

    En matemticas, siempre que se presenta un nuevo objeto es preciso definir cuan-do dos de ellos son iguales. Por ejemplo, en el conjunto de todos los nmeros raciona-les, decimos que los nmeros y son iguales, aunque no se representen de la mismamanera. Lo que tenemos en mente es la definicin segn la cual es igual a cuandoad = bc. De acuerdo con esto, tenemos la siguiente definicin.

    DEFINICIN Dos matrices de m n, A = [aij] y B = [bij], son iguales si aij = bij, 1 i m, 1 j n, es decir, si los elementos correspondientes son iguales.

    cd

    ab

    46

    23

    I3 =1 0 00 1 0

    0 0 1

    , J = 2 00 2 .

    Sec. 1.2 Matrices 13

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  • EJEMPLO 9 Las matrices

    son iguales si w = 1, x = 3, y = 0 y z = 5.

    A continuacin definiremos varias operaciones que producirn nuevas matrices apartir de otras. Estas operaciones son tiles en las aplicaciones que involucran matrices.

    SUMA DE MATRICES

    DEFINICIN Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m n, la suma de A y B da por resultado lamatriz C = [cij] de m n, definida por

    cij = aij + bij (i i m, 1 j n).Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B.

    EJEMPLO 10 Sean

    Entonces

    Observe que la suma de las matrices A y B slo se define cuando A y B tienen elmismo nmero de filas (renglones) y el mismo nmero de columnas; es decir, slocuando A y B son del mismo tamao.

    establecemos la convencin, al escribir A + B entendemos que A y B tienen el mis-mo tamao.

    Hasta el momento, la suma de matrices slo se ha definido para dos matrices. Enocasiones, sin embargo, nuestro trabajo exigir que sumemos ms de dos matrices. Elteorema 1.1 de la seccin siguiente muestra que la suma de matrices satisface la propie-dad asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. En la seccin 1.4 se consideran ms pro-piedades de las matrices, mismas que son similares a que satisfacen los nmeros reales.

    EJEMPLO 11 (Produccin) Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunaspartes artes de cada uno se elaboran en la fbrica F1, ubicada en de Taiwn, y despusse terminan en la fbrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada producto constade los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en dlares) decada fbrica pueden describirse mediante las matrices F1 y F2 de 3 2:

    14 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    A =1 2 12 3 4

    0 4 5

    y B =1 2 w2 x 4y 4 z

    A = 1 2 42 1 3 y B =0 2 41 3 1 .

    F1 =

    Costo de manufactura

    Costo de embarque

    32 4050 8070 20

    Modelo AModelo BModelo C

    A + B = 1 + 0 2 + 2 4 + (4)2 + 1 1 + 3 3 + 1 =1 0 03 2 4 .

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  • La matriz F1 + F2 proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cadaproducto. As, los costos totales de un producto del modelo C son $200 y $40, respec-tivamente.

    MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

    DEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n y r es un nmero real, el mltiplo escalar de A porr, rA, es la matriz B = [bij] de m n, donde

    bij = raij (i i m, 1 j n).

    Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r.

    Si A y B son matrices de m n, escribimos A +(1)B como A B, y denomina-mos a esto diferencia de A y B.

    EJEMPLO 12 Sean

    Entonces

    EJEMPLO 13 Sea p = [18.95 14.75 8.60] un 3-vector que representa los precios actuales de tresartculos almacenados en una bodega. Suponga que el almacn anuncia una venta endonde cada uno de estos artculos tiene un descuento de 20 por ciento.

    (a) Determine un 3-vector que proporcione el cambio en el precio de cada uno de lostres artculos.

    (b) Determine un 3-vector que proporcione los precios nuevos de los artculos.

    Solucin (a) Como el precio de cada artculo se reduce 20%, el 3-vector

    proporciona la reduccin de los precios para los tres artculos.

    (b) Los precios nuevos de los artculos estn dados mediante la expresin

    Observe que esta expresin tambin puede escribirse como

    p 0.20p = 0.80p.

    Sec. 1.2 Matrices 15

    F2 =

    Costo de manufactura

    Costo de embarque

    40 6050 50

    130 20

    Modelo AModelo BModelo C

    A = 2 3 54 2 1 y B =2 1 33 5 2 .

    A B = 2 2 3 + 1 5 34 3 2 5 1 + 2 =0 4 81 3 3 .

    0.20p = (0.20)18.95 (0.20)14.75 (0.20)8.60= 3.79 2.95 1.72

    p 0.20p = 18.95 14.75 8.60 3.79 2.95 1.72= 15.16 11.80 6.88 .

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  • Si A1, A2, . . . , Ak son matrices de m n y c1, c2, . . . , ck son nmeros reales, enton-ces una expresin de la forma

    c1A1 + c2A2 + + ckAk (2)

    se denomina combinacin lineal de A1, A2, . . . , Ak, y c1, c2, . . . , ck se llaman coe-ficientes.

    EJEMPLO 14 (a) Si

    entonces es una combinacin lineal de A1 y A2. Por medio de lamultiplicacin por un escalar y la suma de matrices, podemos calcular C:

    (b) 2[3 2] 3[5 0] + 4[2 5] es una combinacin lineal de [3 2], [5 0] y[2 5]. Puede calcularse (verifquelo) para obtener [17 16].

    (c)

    LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

    DEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n, la matriz de n m, donde

    es la transpuesta de A. En consecuencia, las entradas en cada fila de AT son las entra-das correspondientes en la columna de A.

    EJEMPLO 15 Sean

    aTi j = a ji (1 i n, 1 j m)

    AT = aTi j

    C = 3A1 12 A2

    16 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    A1 =0 3 52 3 4

    1 2 3

    y A2 = 5 2 36 2 31 2 3

    ,

    C = 30 3 52 3 4

    1 2 3

    12

    5 2 36 2 31 2 3

    =

    52 10 272

    3 8 21272 5 212

    .

    0.5 146

    + 0.4 es una combinacin lineal de0.14

    0.2

    146

    y0.14

    0.2

    .0.460.43.08

    .Puede calcularse para obtener (verifquelo)

    A = 4 2 30 5 2 , B =6 2 43 1 2

    0 4 3

    , C = 5 43 2

    2 3

    ,D = 3 5 1 , E =

    213

    .

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  • Entonces

    MATRICES DE BINARIAS (OPCIONAL)En gran parte de nuestro trabajo con lgebra lineal utilizaremos matrices y vectores cu-yas entradas son nmeros reales o complejos. Por lo que los clculos, como combinacioneslineales, se determinan utilizando propiedades de las matrices y la aritmtica estndar debase 10. Sin embargo, el continuo desarrollo de la tecnologa de cmputo ha trado alprimer plano el uso de la representacin binaria (base 2) de la informacin. En casi to-das las aplicaciones de cmputo, como juegos de vdeo, comunicaciones mediante fax,transferencia electrnica de dinero, comunicaciones satelitales, DVD o la generacin demsica en CD, la matemtica subyacente es invisible y por completo transparente parael espectador o el usuario. La informacin codificada en representacin binaria est tanextendida y desempea un papel tan importante que estudiaremos brevemente algunasde sus caractersticas. Iniciaremos con un anlisis general de la suma y multiplicacinbinarias, y luego hablaremos de una clase especial de matrices binarias, que tiene un lu-gar clave en la teora de la informacin y la comunicacin.

    La representacin binaria de la informacin slo utiliza dos smbolos, 0 y 1. La in-formacin est codificada en trminos de 0 y 1 en una cadena de bits*. Por ejemplo, enlenguaje binario, el nmero decimal 5 se representa mediante la cadena 101, que se in-terpreta en trminos de base 2 como sigue:

    5 = 1(22) + 0(21) + 1(20).Los coeficientes de las potencias de 2 determinan la cadena de bits, 101, que pro-

    porciona la representacin binaria de 5.Al igual que utilizamos aritmtica de base 10 cuando tratamos con nmeros reales

    y complejos, en otros escenarios empleamos aritmtica de base 2, es decir, aritmticabinaria. La tabla 1.1 muestra la estructura de la suma binaria, y la tabla 1.2 la estructu-ra de la multiplicacin binaria.

    Las propiedades de la aritmtica binaria permiten la representacin de combinacio-nes de nmeros reales en forma binaria, suele estudiarse en cursos bsicos de cienciasde la computacin, o en cursos de matemticas finitas o discretas. No desviaremosnuestra atencin para analizar tales temas en este momento. En cambio, nuestro objeti-vo se centrar en un tipo particular de matrices y vectores cuyas entradas son dgitos bi-narios. Esta clase de matrices y vectores es importante en el estudio de la teora de lainformacin y en el campo de matemticas de cdigos de correccin de errores (tam-bin llamado teora de codificacin).

    Tabla 1.1

    + 0 10 0 1

    1 1 0

    Tabla 1.2

    0 10 0 0

    1 0 1

    Sec. 1.2 Matrices 17

    AT = 4 02 5

    3 2

    , BT = 6 3 02 1 44 2 3

    ,CT = 5 3 24 2 3 , D

    T = 35

    1

    , y ET = 2 1 3 .

    *Un bit es un dgito binario (del ingls binary digit); esto es, un 0 o un 1.

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  • DEFINICIN Una matriz binaria de m n, es una matriz en que todas las entradas son bits. Estoes, cada una de sus entradas es ya sea 0 o 1.

    Un n-vector (o vector) binario es una matriz de 1 n o de n 1, todas cuyas en-tradas son bits.

    EJEMPLO 16

    EJEMPLO 17

    Las definiciones de suma de matrices y multiplicacin por un escalar se aplicantambin a las matrices binarias, siempre y cuando utilicemos aritmtica binaria (de ba-se 2) para todos los clculos, y 0 y 1 como nicos escalares posibles.

    EJEMPLO 18 Por medio de la definicin de la suma de matri-

    ces y con ayuda de la tabla 1.1, tenemos

    Las combinaciones lineales de matrices binarias o n-vectores binarios son muy f-ciles de calcular con ayuda de las tablas 1.1 y 1.2, si se toma en cuenta el hecho de quelos nicos escalares son 0 y 1.

    EJEMPLO 19

    De acuerdo con la tabla 1.1, tenemos que 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 0. Por lo tanto, elinverso aditivo de 0 es 0 (como es usual), y el inverso aditivo del 1 es 1. De aqu que,para calcular la diferencia de matrices binarias A y B, procedemos como sigue:

    Como podemos ver, la diferencia de matrices binarias no aporta nada nuevo a las rela-ciones algebraicas entre matrices binarias.

    A B = A + (inverso de 1) B = A + 1B = A + B.

    c1u1 + c2u2 + c3u3 = 1 10 + 001 + 1

    11

    = 10 +00 +

    11

    = (1 + 0) + 1(0 + 0) + 1= 1 + 10 + 1 =

    01 .

    Sean c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, u1 = 10 , u2 =01 y u3 =

    11 . Entonces

    A + B =1 + 1 0 + 11 + 0 1 + 1

    0 + 1 1 + 0

    =0 11 0

    1 1

    .

    Sean A =1 01 1

    0 1

    y B =1 10 1

    1 0

    .

    v =

    11001

    es un 5-vector binario, y u = 0 0 0 0 es un 4-vector binario.

    A =1 0 01 1 1

    0 1 0

    es una matriz binaria de 3 3.

    18 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    Las matrices binarias tambin se llaman matrices booleanas.

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  • Trminos clave

    Sec. 1.2 Matrices 19

    MatrizFilas (renglones)ColumnasTamao de una matrizMatriz cuadradaDiagonal principal de una matrizElemento (o entrada) de una matrizij-simo elementoentrada (i, j)

    n-vector (o vector)Matriz diagonalMatriz escalar0, vector ceroRn, el conjunto de todos los n-vectoresGoogle

    Matrices igualesSuma de matricesMltiplo escalar

    Mltiplo escalar de una matrizDiferencia de matricesCombinacin lineal de matricesTranspuesta de una matrizBitMatriz binaria (o booleana)Matriz triangular superiorMatriz triangular inferior

    1.2 Ejercicios

    1. Sean

    y

    (a) Cules son los valores de a12, a22, a23?

    (b) Cules son los valores de b11, b31?

    (c) Cules son los valores de c13, c31, c33?

    2. Si

    determine a, b, c y d.

    3. Si

    determine a, b, c y d.

    En los ejercicios 4 a 7, sean

    4. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:

    (a) C + E y E + C (b) A + B(c) D F (d) 3C + 5O(e) 2C 3E (f) 2B + F

    5. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indicaen cada caso:

    (a) 3D + 2F(b) 3(2A) y 6A

    (c) 3A + 2A y 5A(d) 2(D + F) y 2D + 2F(e) (2 + 3)D y 2D + 3D(f) 3(B + D)

    6. De ser posible, calcule:

    (a) AT y (AT)T

    (b) (C + E)T y CT + ET(c) (2D + 3F)T(d) D DT(e) 2AT + B(f) (3D 2F)T

    7. De ser posible, calcule:

    (a) (2A)T

    (b) (A B)T

    (c) (3BT 2A)T

    (d) (3AT 5BT)T

    (e) (A)T y (AT)(f) (C + E + FT)T

    8. La matriz es una combinacin lineal de las matri-

    ces ? Justifique su respuesta.

    9. La matriz es una combinacin lineal de las

    matrices ? Justifique su respuesta.

    10. Sean

    Si es un nmero real, calcule I3 A.

    A =1 2 36 2 35 2 4

    y I3 =1 0 00 1 00 0 1

    .

    1 00 1

    y1 00 0

    4 10 3

    1 00 1

    y1 00 0

    3 00 2

    A = 2 3 56 5 4 , B =

    435

    ,

    C = 7 3 24 3 5

    6 1 1

    .

    a + b c + dc d a b =

    4 610 2

    ,

    a + 2b 2a b2c + d c 2d =

    4 24 3 ,

    A = 1 2 32 1 4

    , B =1 02 1

    3 2

    ,C =

    3 1 34 1 52 1 3

    , D = 3 22 4

    ,

    E =2 4 50 1 4

    3 2 1

    , F = 4 52 3

    ,

    y O =0 0 00 0 0

    0 0 0

    .

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  • Los ejercicios 11 a 15 tienen que ver con matrices binarias.

    11. Sean

    Calcule cada una de las expresiones

    siguientes:

    (a) A + B (b) B + C (c) A + B + C(d) A + CT (e) B C.

    12. Sean

    Calcule cada una de las expresiones siguientes:

    (a) A + B (b) C + D (c) A + B + (C + D)T(d) C B (e) A B + C D.

    13. Sea

    14. Sea u = [1 1 0 0]. Determine el 4-vector v tal que u + v = [1 1 0 0].

    15. Sea u = [0 1 0 1]. Determine el 4-vector v tal que u + v = [1 1 1 1].

    A + B = 0 00 0

    .

    A + C = 1 11 1

    .

    (a) Determine B de manera que

    (b) Determine C de manera que

    A = 1 00 0

    .

    D = 0 01 0

    .

    A + 1 01 0

    , B = 1 00 1

    , C = 1 10 0

    , y

    C =1 1 00 1 1

    1 0 1

    .A =

    1 0 11 1 00 1 1

    , B =0 1 11 0 1

    1 1 0

    , y

    20 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    T.1. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matricesdiagonales es una matriz diagonal.

    T.2. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matrices es-calares es una matriz escalar.

    T.3. Sea

    (a) Calcule A AT.

    (b) Calcule A + AT.(c) Calcule (A + AT)T.

    T.4. Sea 0 la matriz de n n tal que todas sus entradas soncero. Demuestre que si k es un nmero real y A es unamatriz de n n tal que kA = O, entonces k = 0 o A = O.

    T.5. Una matriz A = [aij] se denomina triangular superior siaij = 0 para i > j. Se llama triangular inferior si aij = 0para i < j.

    Matriz triangular superior(Los elementos que estn debajo de la diagonal

    principal son cero.)

    Matriz triangular inferior(Los elementos que estn arriba de la diagonal principal son cero.)

    (a) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares superiores es una matriz triangularsuperior.

    (b) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares inferiores es una matriz triangular in-ferior.

    (c) Demuestre que si una matriz es al mismo tiempotriangular superior y triangular inferior, entonces esuna matriz diagonal.

    T.6. (a) Demuestre que si A es una matriz triangular superior,entonces AT es triangular inferior.

    (b) Demuestre que si A es una matriz triangular inferior,entonces AT es triangular superior.

    T.7. Si A es una matriz de n n, cules son las entradas dela diagonal principal de A AT? Justifique su respuesta.

    T.8. Si x es un n-vector, demuestre que x + 0 = x.

    Los ejercicios T.9 a T.18 tienen que ver con matrices binarias.

    T.9. Haga una lista de todos los posibles 2-vectores binarios.Cuntos hay?

    T.10. Haga una lista de todos los posibles 3-vectores binarios.Cuntos hay?

    T.11. Haga una lista de todos los posibles 4-vectores binarios.Cuntos hay?

    a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0 0...

    ......

    . . ....

    ......

    .... . . 0

    an1 an2 an3 ann

    a11 a12 a1n0 a22 a2n0 0 a33 a3n...

    ......

    . . ....

    ......

    .... . .

    ...0 0 0 0 ann

    A =a b cc d ee e f

    .

    Ejercicios tericos

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  • T.12. Cuntos 5-vectores binarios hay? Cuntos n-vectoresbinarios existen?

    T.13. Haga una lista de todas las posibles matrices binarias de 2 2. Cuntas hay?

    T.14. Cuntas matrices binarias de 3 3 hay?T.15. Cuntas matrices binarias de n n existen?T.16. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON

    (los trminos de muchos aparatos electrnicos para apa-gado y encendido, respectivamente), y sea

    Determine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a OFF.

    T.17. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON, ysea

    Determine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unamatriz con cada entrada igual a ON.

    T.18. Un interruptor de luz normal tiene dos posiciones (o esta-dos) encendido y apagado. Suponga que la matriz binaria

    representa un conmutador de interruptores en donde 0 re-presenta apagado y 1 representa encendido.

    (a) Determine una matriz B tal que A + B represente elconmutador de interruptores con el estado de cada in-terruptor invertido.

    (b) Sea

    La matriz B del inciso (a) tambin invertir los es-tados del conmutador de interruptores representadopor C? Verifique su respuesta.

    (c) Si A es cualquier matriz binaria de m n que repre-senta un conmutador de interruptores, determine unamatriz binaria B de m n tal que A + B inviertatodos los estados de los interruptores en A. Justifiquepor qu B invertir los estados de A.

    C =1 10 0

    1 0

    .

    A =1 00 1

    1 1

    A = ON ON OFFOFF ON OFF

    OFF ON ON

    .

    A = ON ON OFFOFF ON OFF

    OFF ON ON

    .

    Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 21

    Para utilizar MATLAB en esta seccin, primero deber leer lassecciones 12.1 y 12.2, las cuales proporcionan informacin bsicaacerca del programa as como de las operaciones matriciales conel mismo. Le pedimos que siga con cuidado los ejemplos o ilustra-ciones de las instrucciones de MATLAB que aparecen en las secciones 12.1 y 12.2 antes de intentar realizar estos ejercicios.

    ML.1. Introduzca las siguientes matrices en MATLAB.

    Utilice los comandos apropiados de MATLAB para desple-gar lo siguiente:(a) a23, b23, b12.(b) fila1(A), columna3(A), fila2(B).(c) Escriba el comando format long de MATLAB y des-

    pliegue la matriz B. Compare los elementos de B in-dicados en el inciso (a) y los del despliegue actual.Observe que el comando format short despliega los

    valores redondeados a cuatro decimales. Restablezcael formato a format short.

    ML.2. Escriba el comando H = hilb(5) en MATLAB; (Observeque el ltimo carcter es un punto y coma, el cual sirvepara suprimir el despliegue del contenido de la matriz H;vea la seccin 12.1.). Para obtener ms informacin acercadel comando hilb, escriba help hilb. Utilice los coman-dos apropiados de MATLAB para hacer lo siguiente:(a) Determine el tamao de H.(b) Despliegue el contenido de H.(c) Despliegue el contenido de H como nmeros racio-

    nales.(d) Extraiga las tres primeras columnas como una matriz.(e) Extraiga las dos ltimas filas (renglones) como una

    matriz.

    Los ejercicios ML.3 a ML.5 emplean matrices binarias y los co-mandos complementarios descritos en la seccin 12.9.

    ML.3. Utilice bingen para resolver los ejercicios T.10 y T.11.ML.4. Utilice bingen para resolver el ejercicio T.13. (Sugeren-

    cia: una matriz de n n contiene el mismo nmero deentradas que un n2-vector.)

    ML.5. Resuelva el ejercicio 11 utilizando binadd.

    A = 5 1 23 0 1

    2 4 1

    ,

    B = 4 2 2/ 31/ 201 5 8.2

    0.00001 (9 + 4)/ 3

    .

    1.3 PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICESEn esta seccin presentaremos la operacin de multiplicacin de matrices. A diferenciade la suma, algunas de las propiedades de la multiplicacin de matrices la distinguen dela multiplicacin de nmeros reales.

    Ejercicios con MATLAB

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  • DEFINICIN El producto punto o producto interior de los n-vectores a y b es la suma de los pro-ductos de las entradas correspondientes. En consecuencia, si

    entonces

    (1)

    De manera similar, si a o b (o ambas) son n-vectores escritos como una matriz de 1 n,el producto punto a b est dado por (1). El producto punto de los vectores en Cn sedefine en el apndice A.2.

    El producto punto es una operacin importante que usaremos tanto en sta comoen secciones posteriores.

    EJEMPLO 1 El producto punto de

    es

    u v = (1)(2) + (2)(3) + (3)(2) + (4)(1) = 6.

    EJEMPLO 2 Sean a = [x 2 3] y Si a b = 4, determine x.

    Solucin Tenemos

    a b = 4x + 2 + 6 = 44x + 8 = 4

    x = 3. EJEMPLO 3 (Aplicacin: clculo de la calificacin promedio de un curso) Suponga que un pro-

    fesor utiliza cuatro notas para determinar la calificacin promedio que obtiene un estu-diante en un curso: cuestionarios, dos exmenes de una hora y un examen final. Cadauna de estas notas tiene una ponderacin de 10, 30, 30 y 30%, respectivamente. Si lascalificaciones de un estudiante son, en cada rubro, 78, 84, 62 y 85, podemos calcular elpromedio del curso haciendo

    y calculando

    w g = (0.10)(78) + (0.30)(84) + (0.30)(62) + (0.30)(85) = 77.1. As, el promedio del curso del estudiante es 77.1.

    w =0.100.300.30

    0.30

    y g =788462

    85

    b =41

    2

    .

    u = 123

    4

    y v = 232

    1

    a b = a1b1 + a2b2 + + anbn =n

    i=1ai bi .*

    a =

    a1a2...an

    y b =

    b1b2...

    bn

    ,

    22 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

    *Tal vez ya est familiarizado con esta til notacin, la notacin de suma. De cualquier manera, la analizare-mos con detalle al final de esta seccin.

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  • A B = ABm np p

    iguales

    m n

    MULTIPLICACIN DE MATRICESDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m p, y B = [bij] es una matriz de p n, el producto de

    A y B, que se denota mediante AB, es la matriz C = [cij] de m n, definida como

    (2)

    La ecuacin (2) dice que el i, j-simo elemento de la matriz producto es el produc-to punto de la i-sima fila, fili (A) y la j-sima columna, colj (B) de B; esto se muestraen la figura 1.4.

    ci j = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai pbpj=

    p

    k=1aikbk j (1 i m, 1 j n).

    Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 23

    Observe que el producto de A y B slo est definido cuando el nmero de filas deB es exactamente igual al nmero de columnas de A, como se indica en la figura 1.5.

    EJEMPLO 4 Sean

    Entonces

    AB = (1)( 2) + (2)(4) + ( 1)(2) (1)(5) + (2)(3) + (1)(1)(3)( 2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(3) + (4)(1)= 4 26 16 .

    A = 1 2 13 1 4 y B =2 54 3

    2 1

    .

    Figura 1.4 colj(B)b11

    bp1

    b21...

    b12

    bp2

    b22...

    b1j

    bpj

    b2j...

    b1n

    bpn

    b2n...

    . . .

    . . .

    . . .

    . . .

    . . .

    . . .

    fili(A)

    a11

    ai1

    am1

    a21...

    .

    .

    .

    a12

    ai2

    am2

    a22...

    .

    .

    .

    a1p

    aip

    amp

    a2p...

    .

    .

    .

    . . .

    . . .

    . . .

    . . .

    c11

    cm1

    c21...

    c12

    cm2

    c22...

    c1n

    cmn

    c2n...cij

    . . .

    . . .

    . . .

    = .

    pk = 1

    fili(A) . colj(B) = aik bkj

    Figura 1.5

    tamao de AB

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  • EJEMPLO 5 Sean

    Calcule la entrada (3, 2) de AB.

    Solucin Si AB = C, la entrada (3, 2) de AB es c32, que es fil3(A) col2(B). Ahora tenemos

    EJEMPLO 6 El sistema lineal

    puede escribirse (verifquelo) por medio del producto de matrices como

    EJEMPLO 7 Sean

    Si determine x y y.

    Solucin Tenemos

    Entonces2 + 4x + 3y = 12y = 6,

    por lo que x = 2 y y = 6. Las propiedades bsicas de la multiplicacin de matrices se estudiarn en la sec-

    cin siguiente. Por lo pronto, diremos que la multiplicacin de matrices requiere mu-cho ms cuidado que la suma, ya que las propiedades algebraicas de la multiplicacinde matrices difieren de las que satisfacen los nmeros reales. Parte del problema se de-be al hecho de que AB se define slo cuando el nmero de columnas de A es igual alnmero de filas de B. En consecuencia, si A es una matriz de m p y B es una matrizde p n, AB es una matriz de m n. Qu ocurre con BA? Pueden suceder cuatro si-tuaciones diferentes:

    1. Es posible que BA no est definido; esto pasar si n m.2. Si BA est definida, lo que significa que m = n, entonces BA es de p p, mientras

    que AB es de m m; de esta manera, si m p, AB y BA son de tamaos diferentes.

    AB = 1 x 32 1 1

    24y

    = 2 + 4x + 3y4 4 + y = 126 .

    AB = 126 ,

    A = 1 x 32 1 1 y B =24y

    .

    1 2 13 0 4

    xyz

    = 25 .

    x + 2y z = 23x + 4z = 5

    fil3(A) col2(B) = 0 1 2 41

    2

    = 5.

    A =1 2 34 2 1

    0 1 2

    y B = 1 43 12 2

    .

    24 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

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  • 3. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser iguales.4. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser diferentes.

    EJEMPLO 8 Si A es una matriz de 2 3 y B es una matriz de 3 4, AB es una matriz de 2 4,mientras que BA no est definida.

    EJEMPLO 9 Sean A de 2 3 y B de 3 2. Entonces AB es de 2 2, mientras que BA es de 3 3.

    EJEMPLO 10 Sean

    Entonces

    En consecuencia, AB BA.

    Uno se preguntara por qu la igualdad y la suma de matrices se definen de mane-ra natural, mientras que la multiplicacin de matrices parece mucho ms complicada.El ejemplo 11 nos prop