algebra Grile 2011 an 1 sem 1

Download algebra Grile  2011 an 1 sem 1

Post on 28-Jun-2015

141 views

Category:

Documents

9 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>Universitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Algebr 1 Disciplin obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore sptmnal, nvmnt de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. I.CONINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI 1.Structuri algebrice: Relaii funcionale, compunerea funciilor, proprieti. Relaii de echivalen, mulime factor. (I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula I, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 2004, Cap. I, pag.9-19) 2.Monoizi: legi de compoziie, monoid, submonoid, monoidul liber generat de o mulime, congruene pe un monoid, monoid factor, morfisme de monoizi, teorema fundamental de izomorfism. (I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula I, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 2004 Cap II pag. 22-41) 3.Grupuri: grup, subgrup, teorema lui Lagrange. Subgrup normal. Grup factor, teorema fundamental de izomorfism. Ordinul unui element ntr-un grup. Grupuri ciclice. Grupul permutrilor unei mulimi finite. (I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula I, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 2004, cap. III, pag. 42-88 ) 4.Inele, corpuri, algebre: inel, subinel, ideal. Morfisme de inele, teorema fundamental de izomorfism. Inele booleene, Corpuri, corpul fraciilor unui domeniu. Algebre, algebra metricelor, Algebra polinoamelor. Rdcini ale polinoamelor, corpul rdcinilor unui polinom. Corpuri finite. Teorema fundamental a algebrei. (I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula I, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 2004, cap. V, pag. 103-135) II. BIBLIOGRAFIEMINIMAL OBLIGATORIE 5.I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula I, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 2004 6.I.D. Ion, S. Brz, L. Tufan Lecii de algebr, Fascicula II, Editura Fundaiei Romnia de Mine, Bucureti, 20057.I.D.Ion, N.Radu Algebr, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1991 8.C.Nstsescu, C.Ni, C.Vraciu Bazele algebrei, Editura Academiei, Bucureti, 1986 ALGEBRA I Anul I, semestrul I Tematica examenului I. Stabiliti daca 1.Fie { }2 H n n N = , atunci H este submonoid al monoidului( ) , , 0 N+ ? 2.Daca { }2 1 H n n N = + , atunci H este submonoid al monoidului( ) , ,1 N ? 3.Fie( )2, ,0a bT R a b c Rc | | = `|\ ) multimea matricelor superior triunghiulare din( )2M R . Atunci ( )2T R nu este submonoid al monoidului( ) ( )2 2, , M R I 4.Aplicatia( )2: f M Z Z ,( ) A A f =este morfism de la monoidul( ) ( )2 2, , M Z I la monoidul ( ) , ,1 Z5.Fien Nsi ( ), ,1nZ monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n. Aplicatia :nf Z Z ,( ) a a f =este morfism de la monoidul( ) , ,1 Zla monoidul ( ), ,1nZ ? 6.Fie( ) e G , ,un grup. Pentru oriceG a , aplicatiileG Ga : ,ax xa= ) (siG Ga : , xa xa= ) (nu sunt bijective. 7.Fie( ) { } n n S Hn= = , atunciH nu este subgrup al lui nS . 8.Fie( ) e G , ,un grup finit siHun subgrup al luiG . Atunci [ ] H G H G : = . 9.Dacaeste element de ordin finit, atunci numarul natural notat cu( ) a ord , ( ) { } e a N k a ordk= =*minse numeste ordinul luia . 10.DacGeste grup finit, atunci orice elementG a are ordinul finit si( )ordG a ord . 11.Fie( ) e G , ,un grup finit siG n = . Atuncie an= ,G a . 12.Dat nS ,2 n , notam cu( ) Invnumarul perechilor( ) j i,cuj i . Vom spune ca( ) Investe numarul inversiunilor permutarii . 13.O permutare nS este paradaca( ) 1 = . 14.Opermutare nS este imparadaca( ) 1 = 15.Fie nS ,1 &gt; n i m = ...2 1oreprezentarealui caprodusdetranspozitii.Atunci numerelemi( ) Invau aceeasi paritate si deci( ) ( )m1 = . 16.Daca1 &gt; n , atunci( ) { } 1 = =n nS A nu este un subgrup de ordin 2! n al lui nS . 17.Fie( ) e G , ,un grup. Un subgrupNal grupuluiGse numete subgrup normal al luiGdacaG a ,N x N axa 1. 18.( ) ( )2 2SL R GL R , unde( ) ( ){ }2 21 SL R X M R X = = ? 19.Daca( ) e G , ,este un grup atunci subgrupul unitate{ } e = 1iGsunt subgrupuri normale ale lui G . 20.Daca( ) e G , ,este grup abelian atunci orice subgrupHal luiG nu este subgrup normal. 21.Un grup( ) e G , ,se numete simplu daca are cel puin doua elemente si nu are subgrupuri normale diferite de{ } e = 1siG . 22.Orice grupGde ordinp ,pnumar prim,nu este simplu. 23.Daca5 n , atunci grupul altern nAeste simplu. 24.Daca3 n , grupul altern nAeste generat de ciclurile de ordin 3. 25.Fie( ) e G , ,i( ) e G ,doua grupuri. O aplicatieG G f :se numeste morfism de la grupulGla grupulGdaca) ( ) ( ) ( y f x f xy f =oricare ar fiG y x , . 26.Un inel comutativRcu0 1 si cu divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel integru 27.Inelul( ) , , Z+ al numerelor intregi nu este domeniu de integritate. 28.Daca( ) +, , Reste un inel, atunci R x avem0 0 0 = = x x . 29.Daca( ) +, , Reste un inel, atunci daca1 &gt; R , atunci0 1 . 30.Daca( ) +, , Reste un inel, atunci( ) ( ) xy y x y x = = i( )( ) xy y x = oricare ar fiR y x , . 31.Daca( ) +, , Reste un inel, atunci( ) xz xy z y x = i( ) zx yx x z y = oricare ar fiR z y x , , . 32.Daca( ) +, , Reste un inel, atunci dacaRnu are divizori ai lui zero, iarxz xy =sauzx yx =cu 0 x , atunciz y = . 33.( )2M Z nu este subinel al inelului ( )2M R ? 34.DacReste un inel. Atunci ( ))`|||</p> <p>\|= R c b acb aR T , ,02 nu este subinel al inelului( ) R2M , 35.MulimeaSa irurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului al irurilor de numere reale. 36.Daca n N i { }I nZ nq q Z = = atunci I este ideal al lui Z? 37.DacaI R , atunci I este subgrup al grupului ( ) , , 0 R +? 38.Dacn iar, , ,na nbI a b c dnc nd | | = ` |\ ) , atunciI nu este ideal bilateral al luiR . 39.Aplicaia:nf Z Z , este morfism surjectiv de la inelul( ) , ,1 Zla inelul( ), ,1nZ ? . 40.Aplicatia( )2: f M Z Z , A A f) ( =,unde ( )2a cA M Zb d| |= |\ , a cAb d| |= | |\ ,nueste morfism surjectiv de inele? 41. FieR R f :un morfism de inele, atunci) ( f Kereste ideal bilateral al luiR , iar) Im( feste subinel al luiR . 42.DacR R f :este un morfism de inele, atunci ) (~ ) Im(f KerRf . 43.Fie( )2M nZmultimea matricelor patrate cu coeficienti in nZ. Daca( ) ( )2 2:nf M Z M Z este morfismul cu actiunea |||</p> <p>\|=|||</p> <p>\||||</p> <p>\|d cb ad cb af avem( ) ( )2Ker f M nZ =i( ) ( )2Imnf M Z = ? 44.( )2 nM Z nu este ideal bilateral al lui( )2M Z ? 45.Daca, m n Nsunt prime ntre ele, atunci inelul mnZnu este izomorf cu produsul direct al inelului mZcu inelul nZ ? 46.FieKiKdoua corpuri. O aplicatieK K f :se numeste morfism (izomorfism) de corpuri daca este morfism (izomorfism) de laKlaKconsiderate ca inele. 47.Un domeniu de integritate finit este corp. Inelul ( ), ,pZ + este corp daca si numai daca p este numar prim? 48.DacR esteundomeniudeintegritateexistuncorpcomutativK ,numitcorpulfraciilorlui R , astfel nctReste subinel al luiKi pentru oriceK x existR b a , ,0 bastfel nct 1 = ab x . 49. ( ) ( )2 2, ,0x yT Z xyz Z M Zz | | = `|\ )este o Z-subalgebr a Z-algebrei( )2M Z ? 50.DacReste un domeniu de integritate, atunci[ ] X Reste domeniu de integritate i ( ) ( ) ( ) g grad f grad fg grad + =oricare ar fi[ ] X R g f , ,0 f ,0 g . 51.,a bK a b Rb a | | = `|\ ) este corp in raport cu adunarea si inmulirea matricelor i K C ? 52.DacaM M f :este un morfism bijectiv de monoizi iar 1 feste inversa aplicatieif , atunci 1 feste morfism bijectiv de la monoidul( ) e M , ,la monoidul( ) e M , , . 53.Pentrumonoidulmultimeaelementelorinversabiledineste ,undes-anotatcu( ) n a, celmaimaredivizorcomunalnumerelor intregiasin . 54.Orice grup( ) e G , ,de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo 3. 55.Daca( ) e G , ,este un grup,G a , aplicatiaG G : ( )1 = axa xeste bijectiva . 56.Aplicatia: f C R + , 2 2) ( b a z z z z f + = = =dacaib a z + = , este morfism de la grupul ( ), , C+ la grupul ( ), , R++ ? 57.Dac( ) e G , ,i( ) e G , ,sunt dou grupuri, aplicaiaG G f : ,e x f = ) (este morfism de grupuri . 58.Fie( ) e G , ,i( ) e G , ,dou grupuri iG G f :un morfism de grupuri. Atunci e e f = ) (i( ) ( )1 1) ( = x f x f , oricare ar fiG x . 59. Grupurile( ) , , 0 + i( ) , , 0 + sunt izomorfe60.Grupurile ( )*, ,1 i ( )*, ,1 nu sunt izomorfe61.Grupurile( ) , , 0 + i ( )*, ,1+ nu sunt izomorfe62.Pentru orice, xy R se defineste legea de compozitie ( )* lnx yx y e e = + . Multimea solutiilor ecuatiei( ) * * 0 x x x =este 63.Pe Z definim legea de compozitie* 6 6 42 x y xy x y = + . Suma elementelor simetrizabile in raport cu aceast lege este 64.Pe R este definita legea de compozitie* 3 3 x y xy x y m = + + + . Egalitatea( ) 2*3 *4 175 =are loc pentru 65.Fie grupul( )10, Z + . Cate subgrupuri are acest grup ? 66.Fie grupul( )12, Z + . Cate grupuri factor are acest grup ? 67. Afirmatia este adevrat[ ] :GGHH= 68. Cate morfisme exista de la grupul( ) , Q +la grupul( ) , Z+? 69.Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente. Cate functii definite pe M cu valori in N exista ? 70.Fie M si N dou multimi finite avand m, respectiv m elemente. Cate functii bijective definite pe M cu valori n N exista ? 71.Fie M si N dou multimi finite avand m, respectiv n elemente,m n . Cate functii injective definite pe M cu valori in N exista ? 72. Pe multimea numerelor naturale considerm operatia algebricnm n m = . Atunci operatia este asociativ si nu este comutativ? 73.Fiez C ,i z = , atunci ord(i)=? 74.Dacm Ni mimz+=2sin2cos, atunci ord(z)=? 75. Dac1 z i C= + , atunci ord(z)=? 76. Fie grupul ( ) 4, , 0 Z +i43 Z , atunci? 77.DacR y x , ,0 x ,0 y , avem spunem cReste inel fr divizori ai lui zero? 78.Elementul zero al inelului 8Z Z este? 79.Elementul unitate al inelului 8Z Z este( ) 1 , 1 ? 80.In inelul 8Z Z , produsul direct al inelului( )8, , Z + cu inelul( ) , , Z+ , avem( ) ( ) 5, 3 3, 7 + =? 81. Astfel n inelul 8Z Z , produsul direct al inelului( )8, , Z + cu inelul( ) , , Z+ , avem( ) ( ) 5, 3 3, 7 =? 82.Fie( )2R M Z =i 0,0aI a b Zb | | = `|\ ), atunciIeste ideal la stanga al luiRi nu este ideal la dreapta? 83.Fie( )2R M Z =i 0 0, J a b Za b | | = `|\ ) atunci J este ideal la stanga al lui R sieste idealla dreapta al lui R? 84.FieR R f :un morfism de inele,atunci feste injectiv dac i numai dac 85. Fie. S se calculeze( ) 3 f . 86. Fie. S se determine catulimpartirii lui fla 87.Dac( )2a bAc d| |= |\ M Zi( ) bc ad X d a X f + + =2 din , atunci ? 88.FieRun inel astfel incatx x =6,R x . Stabilti daca? 89.FieRun inel astfel incatx x =6,R x . Stabilti daca? II. Probleme cu grad mediu de dificultate 1.Functia( ) ( ) ( )2 2: 0, 2, 2 ,1xf f xx =+ este injectiv si nu este surjectiv? 2.Cte morfisme de monoizi exist de la ( )*, Z la( ) , N+? 3.Pe R se defineste legea de compozitie astfel* , , x y ax by c xy R = + + unde, , a b c R . Calculati suma 2 2 2S a b c = + +stiind c acest lege de compozitie admite elementul neutru3 e = 4.Se consider inelul( ) ,*, Z unde* 22 2 2x y x yx y xy x y= + + = + + + , xy Z . Fie T numrul divizorilor lui zero ai acestui inel. Atunci T= 5.Grupul( )20, Z Z +este finit generat, dar nu este ciclic. 6.Fie permutarea 6123456,512436S | | = |\ . Determinati ordinul permutrii 2. 7. Fie G un grup cu 6 elemente.Atunci G este ntotdeauna izomorf cu grupul( )6, Z + ? 8.Fie( )3, S grupul permutarilor de ordin 3 si H un subgrup cu 3 elemente al acestui grup. Cte elemente are grupul factor 3/ S H? 9.Fie multimea { }51 U z Cz = = . Cte elemente are aceast multime ? 10.Functia( )2007 2005: , 4 2 f R Rf x x x = +este bijectiv ? 11.Cte morfisme de monoizi exist de la( ) , Q +la( ) , Q +? 12.Se consider inelul( ) ,*, Z unde* 33 3 12x y x yx y xy x y= + = + , xy Z . Fie[ ] P Z X polinomul care are drept rdcini elementele inversabile ale inelului si coeficientul dominant egal cu unu. Notm cu S suma ptratelor elementelor inversabile. Atunci S=? 13.Grupul( )15, Z +esteciclic? 14.Fie permutarea 6123456,512436S | | = |\ .Stabiliti ordinul permutrii 1 . 15.Fie multimea { }71 U z Cz = = . Cte elemente are aceast multime ? 16.Considerm multimea numerelor reale si relatia binar definit pe aceast multime astfel: ( ) { }, , , 3 xy xy Rx y x y = = + =Atunci relatia este reflexiv si nu este tranzitiv? 17. Fie 2 3, 0: , ( )7 , 0x xf R Rf xxx =&gt;.Atunci f este injectiv ? 18.Fie: , ( )2xf Z Z f x</p> <p> =</p> <p>, unde prin[ ] qse ntelege partea ntreag a numrului q. Atunci f este surjectiv? 19.Fie: f A B si: g B C dou functii surjective. Atuncig f este surjectiv? 20.Fie M o multime cu 3 elemente. Cte legi de compozitie se pot defini pe M ? 21.Fie un grup G si x un element de ordin finit din G. Daca m, n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile , atunci? 22.Fie permutarea are descompunerea ? 23.Fie permutarea are descompunerea? 24. Fie. Stabiliti dacaface casa fie un grup abelian 25. Fie. Daca atunci avem grup abelian? 26. Care sunt elementele inversabile ale inelului ? 27.Legea de compozitie. Gasiti elementul neutru. 28. Legea de compozitie Gasiti elementul neutru . 29.Legea de compozitie. Gasiti elementul neutru. 30.Legea de compozitie admite ca elementsimetric pe ? 31. Fie legea de compozitie , unde.Solutiile ecuatieisunt ? 32.Se considera multimea pe care se defineste lege de compozitie ,gasiti elementul neutru? 33.Se considera multimea pe care se defineste lege de compozitie ,gasiti elementul simetrizabil? 34.Fie Determinai mulimea elementelor sale inversabile,. 35.Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (i.e. g compus cu f) este crescatoare? 36.Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile : AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8}; {3,9}B= ; AB={1}, determinati multimileA si B . 37.Se considera multimea G={ 2 b a + | a,bQ, a2 + b2 0}, care impreuna cu operatia de inmultire formeaza un grup abelian.Determinati inversul lui2 7 6 + . 38.Daca G e grup si H1, H2 subgrupuri ale sale, atunci H1H2 nu poate fi subgrup al lui G? 39.Daca definim aZ + bZ ={x+y | x aZ, y bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi, atuncideterminati 25Z + 20Z. 40.Se considera elementul)57sin( )57cos( i z + =apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe (C*,.,1). Atunci determinati ordinul lui z . 41.Se considera elementul) 7 sin( ) 7 cos( i z + =apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe (C*,.,1). Determinati ordinul lui z . 42. Daca (C*,.,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10 ale acestui grup exista ? 43. Se considera permutarea S10 , |||</p> <p>\|=9 6 2 8 10 7 4 1 5 310 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . Gasti ordinul permutarii. 44.Se considera permutarile , S5, |||</p> <p>\|=5 1 2 4 35 4 3 2 1 , |||</p> <p>\|=3 1 4 5 25 4 3 2 1. Determinati permutarea x S3 cu proprietatea ca x o = . 45.Se considera permutarile , S4, . Sa se rezolve ecuatia 46.Se considera permutarea S5, |||</p> <p>\|=5 1 2 4 35 4 3 2 1 . Atuncideterminati 120 . 47.Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiind multimea numerelor rationale) la (Z,+) (Z fiind multimea numerelor intregi) putem defini ? 48.Cu cine este izomorf grupul multiplicativ ( +,*R ) (unde prin*+R am notat multime...</p>