algebra booleana claudia raibulet [email protected]
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EserciziEsercizi
Si determini qual e’ il maggiore tra i seguenti valori rappresentati in MS e poi anche in CA2:
• 00111 ? 10001
• 101 ? 11101
• 01010 ? 10101
Algebra booleanaAlgebra booleana Deve il suo nome a Boole che ne formalizzò le regole L’algebra booleana opera su variabili (“logiche” o
“booleane”) che possono assumere solamente due valori
1/0, vero/falso, on/off, chiuso/aperto
Il valore 1 è solitamente associato alla condizione logica vero (true, on, chiuso), mentre lo 0 è associato alla condizione logica falso (false, off, aperto)
Algebra booleanaAlgebra booleana E’ adatta per rappresentare “eventi binari”, cioè
condizioni che possono assumere solo due valori• Esempio
Una lampadina può essere accesa (a questa condizione si associa il valore 1 o vero) oppure spenta (valore 0 o falso).
Le funzioni che operano sulle variabili booleane sono dette funzioni booleane e possono produrre anch’esse solo i valori 0 e 1.
Algebra booleanaAlgebra booleana
Una funzione booleana F, funzione di variabili booleane, v1,v2,...,vn si indica:
Può essere definita in vari modi:
• uno di questi consiste nello specificare i valori di F per tutte le possibili combinazioni delle variabili da cui essa dipende. Tale elenco di combinazioni viene detto tabella della verità
),,,( 21 nvvvF
Algebra booleanaAlgebra booleana Esempio
F(v1,v2,v3) può essere definita come:
Ogni variabile booleana può assumere due valori, quindi, con n variabili si possono avere 2n possibili combinazioni
v3 v2 v1 F00
00
01
11
00
11
01
00
11
00
01
01
11
11
01
11
Algebra booleana - esercizioAlgebra booleana - esercizio Esempio di descrizione di un evento mediante una
funzione booleana Un allievo passa l’esame se si verifica almeno una delle
seguenti condizioni:o supera sia il compito di esonero sia la prova oraleo non supera l’esonero, ma è sufficiente alla prova scritta di un
appello regolare e supera la prova orale
• Si può assegnare ad ogni evento una variabile booleana:
a esonero
b scritto regolare
c prova orale
Algebra booleana - esercizioAlgebra booleana - esercizio Con 3 variabili booleane ci sono 8
(23) possibili combinazioni Si noti che per superare l’esame,
cioè S = 1, bisogna aver sostenuto e superato l’orale e l’esonero e/o lo scritto regolare
A stretto rigore di logica la condizione a = 0, b = 0, c = 1 non può verificarsi, in quanto si può accedere all’orale solo dopo aver superato una delle prove precedenti (o entrambe)
a b c S00
00
01
00
00
11
01
01
11
00
01
01
11
11
01
01
Operatori logiciOperatori logici Le variabili booleane possono essere combinate da
operatori logici Tali operatori restituiscono anch’essi un valore
logico Gli operatori sono:
• AND
• OR
• NOT
• NAND
• NOR
• …
ANDAND
Viene denotato dal simbolo • (da non confondere con il simbolo di prodotto aritmetico) e spesso sottinteso
Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:• 0 • 0 = 0
• 0 • 1 = 0
• 1 • 0 = 0
• 1 • 1 = 1
Il risultato è vero se entrambi gli operandi sono veri
OROR Viene denotato dal simbolo + (da non confondere
con il simbolo di addizione aritmetica) Si applica a due operandi e produce un valore in
accordo alle seguenti regole:• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 1
Il risultato è vero se almeno uno degli operandi è vero
NOTNOT Viene indicato con il simbolo sopra la variabile
da negare (es. ) Si applica ad un solo operando (operatore unario) e
produce un valore in accordo alle seguenti regole:o o
Il risultato è il valore opposto (la negazione) di quello dell’operando; ovvero, se l’operando è falso l’uscita è vera e viceversa
01
10
a
NANDNAND E’ equivalente ad un operatore AND negato
Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:
o 0 NAND 0 = 1o 0 NAND 1 = 1o 1 NAND 0 = 1o 1 NAND 1 = 0
Il risultato è falso se entrambi gli operandi sono veri
BABA ANDNAND
NORNOR E’equivalente ad un operatore OR negato
Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:
o 0 NOR 0 = 1o 0 NOR 1 = 0o 1 NOR 0 = 0o 1 NOR 1 = 0
Il risultato è vero se entrambi gli operandi sono falsi
___________
ORNOR BABA
EserciziEsercizi Dati i seguenti problemi, si chiede di scrivere la tabella
della verita’ dell’espressione logica che soddisfa le specifiche del problema, ricavare la funzione booleana corrispondente:
1. Una lampadina si accende quando si verifica almeno una delle seguenti condizioni:
– l’interruttore A e’ chiuso
– l’interruttore A non e’ chiuso, ma sono chiusi gli interruttori B e C
2. L’aria condizionata e’ funzionante quando si verificano tutte e tre le seguenti condizioni:
– i finestrini sono chiusi
– il treno e’ in movimento
– l’interruttore dell’aria condizionata e’ azionato
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini BitMaP - scomposizione (discretizzazione) dell'immagine in
elementi di informazione poi codificati • Matrice di punti detti pixel (Picture Element)
• Qualità caratterizzata dalla risoluzione (numero di pixel per unità di misura)
• Elevato spazio occupato in memoria per avere buone risoluzioni
• Non è possibile un'eccessivo ZOOM perché non si notano più dettagli, si notano solo i pixel
0 0 0 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 01 0 0
0 0 0 0 1 01 0 0
0 0 0 1 0 01 0 0
0 0 1 0 0 01 0 0
0 1 0 0 0 01 0 0
1 0 0 0 0 01 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini
BitMaP - codifica dei pixel (profondita’ colore)• 1 bit Immagine b/n
• 4 bit Immagine 16 Colori o Livelli Grigio
• 8 bit Immagine 256 Colori o Livelli Grigio
• 16 bit Immagine 64K Colori
• 24 bit Immagine 16M Colori (True Color)
• 32 bit Immagine 16M Colori + Alpha Channel
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini BitMaP: Formati di memorizzazione:
RAW: matrice dell'insieme di punti
TIFF(Tagged Image File Format): etichetteche descrivono proprietà seguite dai dati (24 bit,LZW, …)
GIF(Graphic Interchange Format): brevettocompuserve, possibile immagazzinare più immagini(schema di compressione LZW)
J FIF(J PEG File Interchange Format):implementa J PEG, presenza pixel trasparenti einterlacciamento
BMP(BitMaP): sviluppato da Microsoft e IBM perwindows ed OS/2 (non è compresso!)
PCX(PC Paintbrush): formato supportato danumerose applicazioni Microsoft (supporta RLE)
Formati compressi
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini Vettoriali: descrizione dell'immagine attraverso elementi
grafici di alto livello (progettazione meccanica, elettronica architettonica, …)
Circle 98 66 50Polyline 0 48 88 152 88 48 0 48
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini Vettoriali: codifica elementi di alto livello
• Figure geometriche semplici parametriche
• Rappresentazione compatta dell’informazione
• Indipendenza dal dispositivo di visualizzazione e dalla sua risoluzione
• Partano da un modello quindi e’ possibile avere un qualsiasi fattore di zoom
• Poco adatto a foto e immagini naturali, usato per la descrizione ad alto livello di informazione grafica
Conversione BitMaP – Vettoriali
• Facile da vettoriali a bitmap
• Complessa l’estrazione di elementi di alto livello dalle bitmap (sopratutto per immagini naturali)
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini Vettoriali: formati di memorizzazione
PostScript: formato brevettato da Adobe per larappresentazione dei documenti (linguaggio per stampanti)
EPS (Encapsuled PostScript): usato per trasferire disegni traapplicazioni PostScript
PDF (Portable Document File): usato per la descrizione didocumenti e immagini (include ps e navigazioneipertestuale)
DXF (Drawing Exchange Format): usato per il progettomeccanico (proprietario Autodesk)
IGES (Initial Graphics Exchange Specifications): datigeometrici e topologici realizzati con programmi 3D
Rappresentazione delle immaginiRappresentazione delle immagini
Tecniche di compressione:• Le immagini possono richiedere molto spazio per la loro
memorizzazione
Esempi di tecniche di compressione• 000000000011 10 volte 0, 2 volte 1
• Memorizzazione non di tutti i bit (riduzione di fedeltà rispetto all’originale ma spesso non è percepibile dall’occhio umano)
Elaborazione delle immaginiElaborazione delle immagini
Dopo la digitalizzazione un’immagine può essere modificata modificando la sequenza di bit che la rappresenta
Ad esempio• Modifica dei colori
• Eliminazione oggetti rappresentati o loro sostituzione
• Trasmissione criptata delle pay-TV
Codifica dei suoniCodifica dei suoniRappr. Analogica – analoga alla quantità fisica in esame; continuita’ nel tempo e continuita’ nelle ampiezze
Rappr. Digitale – Campionatura dell’onda sonora;Discretizzazione nel tempo, discretizzazionenelle ampiezze
Elaborazione dei suoniElaborazione dei suoni
Dopo la digitalizzazione ... come per le immagini è possibile• eliminare parte del suono (es. rumori di fondo)
• modificare il suono (es. voci distorte)
• ...