Sham_D20112056089

PPGPJJ SEMESTER 2 SESI 2013/2014

SMU 3053 ALJABBAR ASAS

TUGASAN 1

DISEDIAKAN OLEH

NAMA NO. ID NO. TELEFON

SHAMSUDIAR BINTI SUDIN D20112056089 0194586369

KUMPULAN : UPSI 02 (A132 PJJ)

NAMA TUTOR E-LEARNING: DR. MOHD FAIZAL NIZAM LEE BIN ABDULLAH

TARIKH SERAH: 28.03.2014

PEMARKAHAN

2

Sham_D20112056089

Tugasan 1 :

1a) Ada tiga kaedah utama bagi mencari penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan

kuadratik yang telah anda pelajari. Bincangkan kelebihan (advantage) dan kekurangan

(disadvantage) bagi setiap kaedah.

Kaedah pertama bagi menyelesaikan persamaan kuadratik ialah kaedah pemfaktoran. Bagi

mencari penyelesaian bagi persamaan kuadratik dengan menggunakan kaedah pemfaktoran,

kita perlu menggunakan Prinsip Hasil Darab Sifar. Oleh itu satu persamaan A.B = 0 adalah

benar jika dan hanya jika A=0 atau B=0 atau kedua-duanya sifar. Kaedah ini mudah untuk

dijalankan walau bagaimanapun penggunaan kaedah ini adalah terhad. Ia boleh digunakan

apabila persamaan adalah bersamaan dengan sifar.

Contohnya:

a) x2 + x -6 = 0

( x + 3) ( x -2 ) = 0

Oleh itu mengikut prinsip hasil darab sifar ini bermakna,

X + 3 = 0 oleh itu X= - 3. Manakala X- 2 = 0 makan x = 2.

Walau bagaimanapun terdapat juga situasi di mana persamaan yang diberikan tidak

bersamaan dengan sifar, contohnya:

b) ( 2x -1 ) ( x + 3 ) = 9. Bagi situasi ini, sebelum menyelesaikan menggunakan kaedah

pemfaktoran ia perlu di kembangkan terlebih dahulu dan menjadikan persamaan ini

bersamaan dengan sifar, baharullah ia boleh difaktorkan.

Kaedah yang kedua yang boleh digunakan ialah dengan menggunakan Rumus Kuadratik.

Sebagaimana yang dimaklumkan dalam penggunaan kaedah yang pertama tadi iaitu

pemfaktoran, di mana bukan semua persamaan kuadratik dapat difaktorkan. Penggunaan

Rumus Kuadratik merupakan suatu kaedah yang bersesuaian. Penggunaan rumus ini dapat

menyelesaikan hampir semua jawapan bagi persamaan kuadratik. Rumus kuadratik yang

digunakan ialah :

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

3

Sham_D20112056089

Penyelesaian bagi suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ( di mana a ≠ 0 )

Contoh penyelesaian bagi x2 – 3x + 1 = 0

Di mana a = 1, b = -3 dan c = 1.

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(1)

2(1)

𝑥 =3 ± √9 − 4

2

𝑥 =3 ± √5

2

𝑥 =3 ± 2.24

2

𝑥 =3+ 2.24

2

𝑥 =5.24

2

𝒙 = 𝟐. 𝟔𝟐

Atau 𝑥 =3− 2.24

2 , 𝑥 =

0.76

2 , 𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟖

Walau bagaimanapun bukan semua persamaan kuadratik dapat diselesaikan menggunakan

rumus. Contoh penyelesaian bagi 3x2 – 6x + 7 = 0.

𝑥 =−6±√62−4(3)(7)

2(3)

x =−6±√36−84

6

x =−6±√−48

6

x =−6±√−48

6

4

Sham_D20112056089

memandangkan √−48 maka tiada penyelesaian dapat dilakukan. Kerana √−48 tidak wujud

iaitu bukan nombor nyata. Lantaran itu persamaan kuadratik 3x2 – 6x + 7 = 0 tidak dapat

diselesaikan menggunakan rumus.

Kaedah yang ketiga ialah dengan melengkapkan kuasa dua. Penggunaan kaedah ini

juga membantu dalam menyelesaikan persamaan kuadratik namun ia melibatkan pengiraan

yang panjang. Contoh penyelesaian adalah seperti berikut:

Bagi menyempurnakan kuasa dua, pekali bagi x2 adalah positif dan bernilai 1.

ax2 + bx + c = 0

𝑎 [ 𝑥2 + 𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎 ] = 0

𝑎 [( 𝑥2 + 𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+ 𝑐

𝑎 ] = 0

Contoh penyelesaian, x² + 6x + 8 = 0. Oleh itu , a = 1, b = 6 dan c = 8.

1[𝑥 2 + 6𝑥 + 8] = 0

1 [ 𝑥 2 + 6

1𝑥 +

8

1 ] = 0

1 [( 𝑥2 + 6

2(1))

2

− (6

2(1))

2

+ 8

1 ] = 0

1 [( 𝑥 2 + 3)2 − (3)2 + 8 ] = 0

( x + 3)2 – 9 + 8 = 0

( x + 3 )2 -1 = 0

( x + 3 )2 = 1

X + 3 = ± 1

X = -3 ± 1 , x = -2 atau -4.

1(b) (i) Suatu polinomial p(x) dibentuk dengan tiga faktor iaitu ( x+1), (x-5) dan (ax +b). Jika

polinomial tersebut mempunyai nilai 10 apabila x=0 dan mempunyai baki -35 apabila

dibahagi dengan 2x-3, cari nilai a dan b.

5

Sham_D20112056089

𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 5)(𝑎𝑥 + 𝑏)

X = 0, P(x) = 10

𝑃(𝑥)

2𝑥 − 3= −35

X = 0, P(x) = 10

Oleh itu,

(𝑥 + 1)(𝑥 − 5)(𝑎𝑥 + 𝑏) = 10

((𝑜) + 1)((0) − 5)(𝑎(0) + 𝑏) = 10

(1)(−5)(𝑏) = 10

−5𝑏 = 10

𝑏 =10

−5 ,

𝒃 = −𝟐

𝑃(𝑥)

2𝑥 −3= −35 … 2𝑥 − 3 = 0, oleh itu 𝑥 =

3

2

Masukkan 𝑥 =3

2 dalam P(x),

𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 5)(𝑎𝑥 + 𝑏) = -35

𝑃(32⁄ ) = (3

2⁄ + 1)(32⁄ − 5)(𝑎(3

2⁄ ) − 2) = −35

(32⁄ + 1)(3

2⁄ − 5)(𝑎(32⁄ ) − 2) = −35

(5

2) (−

7

2) ((

3

2𝑎) − 2) = −35

(−35

4) ((

3

2𝑎) − 2) = −35

((3

2𝑎) − 2) = −35(−

4

35)

(3

2𝑎) = 4 + 2

𝑎 = 6 (2

3) oleh itu a = 4. Daripada persamaan , a= 4 dan b= -2

1(b) (ii) Jika x-2 adalah suatu faktor bagi polinomial 3x3-mx2-6x +8, cari nilai m. Seterusnya

selesaikan persamaan 3x3-mx2-6x +8 = 0.

6

Sham_D20112056089

𝑃(𝑥) = 3𝑥3 – 𝑚𝑥 − 6𝑥 + 8

Memandangkan (𝑥 − 2) adalah faktor bagi P(x) maka

(𝑥 − 2) = 0 oleh itu x =2. Masukkan x=2 dalam P(x).

𝑃(2) = 3𝑥3 –𝑚𝑥² − 6𝑥 + 8 = 0

3(2)3 –𝑚(2)² − 6(2) + 8 = 0

3(8) –4𝑚 − 12 + 8 = 0

24 – 4 − 4𝑚 = 0

20 = 4𝑚

20/4 = 𝑚

𝟓 = 𝒎

selesaikan persamaan 3x3-mx2-6x +8 = 0.

Oleh itu, 3𝑥3 − 5𝑥² − 6𝑥 + 8 = 0 menggunakan pembahagian panjang dengan

faktornya iaitu (𝑥 − 2)

3𝑥² + 𝑥 − 4

(𝑥 − 2)√3𝑥³ − 5𝑥² − 6𝑥 + 8

− 3𝑥³ − 6𝑥²

𝑥² − 6𝑥 + 8

− 𝑥² − 2𝑥

−4𝑥 + 8

− (−4𝑥) + 8

(𝑥 − 2)(3𝑥2 + 𝑥 − 4) = 0

(𝑥 − 2)(3𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 0

Penyelesaian:

𝑥 − 2 = 0 , oleh itu x = 2.

3x + 4 = 0, oleh itu x = -4/3

x -1 = 0, oleh itu x = 1.

7

Sham_D20112056089

2(a) Bincangkan kepentingan pendaraban matriks dalam kehidupan seharian dengan

memberikan contoh-contoh yang relevan.

Jawapan :

Kehidupan seharian kita melibatkan banyak maklumat dan data-data. Contohnya kehidupan

seharian kita melibatkan bayaran bil-bil, pengurusan kewangan, pembelian barangan dan lain-

lain lagi. Sehubungan itu, melalui penggunaan matriks kita dapat menyusun data dengan lebih

baik lagi. Malahan sewaktu kita ingin menyemak atau memeriksa maklumat yang telah kita

perolehi adalah lebih baik dan kemas. Lantaran itu, penggunaan pendaraban matriks dalam

kehidupan seharian kita ialah bagi membantu memudahkan proses menjumlahkan sesuatu

permasalahan secara berperingkat-peringkat.

Contoh 1:

Kadar penggunaan air ialah 200 liter pertama berjumlah RM 0.255. Manakala bagi 100 liter

berikutnya ialah RM0.355. Sekiranya En. Ali menggunakan 265 liter bagi bulan Mac.

Berapakah jumlah bayaran En. Ali bagi bulan Mac.

Penyelesaian;

Kadar penggunaan , G [ 200 65 ]

Kadar Bayaran, B [ 0.2550.355

]

Kadar bayaran En. Ali bagi bulan Mac ialah ;

GB [ 200 65][ 0.2550.355

]

= [ 51 + 23.08]

= RM 74.08

Contoh 2:

Kedai Burger Ria telah menghasilkan burger dan memasarkannya seperti jadual berikut .

Berapakah jumlah jualan

JENIS BURGER HARGA JUALAN JUMLAH GERAI

Burger Benjo ( A ) RM 1.30 206, 470, 215 X, Y, Z

Burger Ayam ( B ) RM 1.70 163, 534, 414 X, Y, Z

Burger Daging ( C) RM 1.80 305, 208, 279 X, Y, Z

8

Sham_D20112056089

Jumlah jualan ialah:

1.3 [ 206470215

] + 1.7 [ 163534414

] + 1.8 [ 305208279

]

= [ 267.8611

279.5] + [

277.1907.8703.8

] + [ 549

374.4502.2

]

= [ 267.8 + 277.1 + 549611 + 907.8 + 374.4

279.5 + 703.8 + 502.2

]

= [ 1093.91893.21485.5

]

Jumlah jualan = jualan Benjo + Jualan Burger Ayam + Jualan Burger Daging

= RM 1093.9 + RM 1893.2 + RM 1485.5

= RM 4472.60.

Selain daripada jumlah jualan, melalui pendaraban matriks juga kita boleh mencari jumlah

jualan bagi setiap gerai.

2(b) Tunjukkan matriks A = [ 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] memenuhi persamaan A² - (a + d) A + (ad –bc) I = 0, di

mana a , b, c dan d adalah nombor nyata, I adalah matriks identiti 2x2 dan 0 adalah matriks

sifar 2 x 2.

Diketahui bahawa A = [ 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] dan I ialah [1 00 1

]

Buktikan bahawa , 𝐴² − ( 𝑎 + 𝑑)𝐴 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝐼 = 0

𝐴² − ( 𝑎 + 𝑑)𝐴 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝐼

= [ 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] ² − ( 𝑎 + 𝑑) [𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) [1 00 1

]

= [ 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] [𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] − ( 𝑎 + 𝑑) [𝑎 𝑐𝑏 𝑑

] + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) [1 00 1

]

= [ 𝑎² + 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 + 𝑑²

] − [𝑎² + 𝑎𝑑 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 𝑎𝑑 + 𝑑²

] + [𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 0

0 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ]

= [ 𝑎² + 𝑏𝑐 − 𝑎² − 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑐 − 𝑐𝑑 + 0𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑑 + 0 𝑏𝑐 + 𝑑² − 𝑎𝑑 − 𝑑² + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

]

9

Sham_D20112056089

= [ 𝑎² + 𝑏𝑐 − 𝑎² − 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑐 − 𝑐𝑑 + 0𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑑 + 0 𝑏𝑐 + 𝑑² − 𝑎𝑑 − 𝑑² + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

]

= [ 0 00 0

]

= 0,

Oleh itu terbukti 𝑨² − ( 𝒂 + 𝒅)𝑨 + (𝒂𝒅 − 𝒃𝒄)𝑰 = 𝟎

3(a)(i) Hasil tambah ketakterhinggaan bagi satu siri geometri ialah 3

4, dan hasil tambah dua

sebutan pertama ialah 2

3. Dapatkan sebutan pertama, a dan nisbah sepunya, 𝑟 ( 𝑟 < 0).

Seterusnya dapatkan sebutan kesepuluh bagi siri tersebut.

Diberi , 𝑠∞ = 3

4 dan 𝑠2 =

2

3

Dicari, sebutan pertama (a) dan nisbah sepunya (r).

𝑠∞ =

34

𝑎

1 − 𝑟=

3

4

𝑎 = 3

4 (1 − 𝑟 )

𝑠2 =

23

𝑎 ( 1 − 𝑟²)

1 − 𝑟=

2

3

𝑎 ( 1−𝑟)(1+𝑟)

1−𝑟=

2

3

𝑎( 1 + 𝑟) = 2

3

Masukkan ke dalam

𝑎( 1 + 𝑟) = 2

3

3

4(1 − 𝑟)( 1 + 𝑟) =

2

3

(1 − 𝑟)( 1 + 𝑟) = 2

3 𝑋

4

3

1

2

1 2

2

10

Sham_D20112056089

1 + 𝑟 − 𝑟 − 𝑟² = 8

9

1 − 8

9= 𝑟²

1

9= 𝑟² , r = ± 1/3. Oleh sebab ( r < 0 ) maka r = -1/3

Masukkan r = -1/3 ke dalam persamaan

𝑎 = 3

4 (1 − 𝑟 )

𝑎 = 3

4 (1 − (−

1

3 )

𝑎 = 3

4 (

4

3 )

𝑎 = 12

12

𝒂 = 𝟏

Sebutan ke sepuluh T10.

𝑇𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

𝑇10 = (1)(−1

3)10−1

𝑇10 = (−1

3)9

𝑻𝟏𝟎 = −𝟏

𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑

1

11

Sham_D20112056089

3(a)(ii) Masa yang diambil antara lantunan pertama hingga kembali ke lantai adalah T1. Masa

antara lantunan kedua dan ketiga adalah T2 dengan T2= 0.7T1. Masa antara lantunan

seterusnya adalah 0.7 kali masa lantunan sebelumnya. Tentukan Tn iaitu masa pada lantunan

ke –n. Jelaskan pengertian S3 = T1 + T2 + T3. Seterusnya cari Sn.

Hitung tempoh yang diperlukan untuk bola itu berhenti melantun jika diberi T1 = 1.5

Masa lantunan ke – n.

Diketahui bahawa lantunan pertama , a = T1

Lantunan kedua , T2 = 0.7T1 dan

Lantunan seterusnya ialah 0.7 kali masa lantunan sebelumnya.

Oleh itu, susunan lantunan adalah seperti berikut;

T1, 0.7T1, 0.7T2, 0.7T3, 0.7T4 …………….

Sebutan ke –n, Tn = arn-1

Tn = (T1) (0.7)n-1

Tn = 0.7n-1T1

Pengertian S3 = T1 + T2 + T3 merupakan hasil tambah tiga lantunan pertama iaitu T1, T2

dan T3 ataupun ia juga disebut sebagai hasil tambah 3 sebutan pertama.

Cari Sn. Diketahui bahawa a = T1 dan r = 0.7

𝑆𝑛 = 𝑎 ( 1 − 𝑟𝑛 )

1 − 𝑟

𝑆𝑛 = 𝑇1 ( 1 − 0.7𝑛 )

1 − 0.7

𝑺𝒏 = 𝑻𝟏 −𝟎.𝟕𝒏 𝑻𝟏

𝟎. 𝟑

12

Sham_D20112056089

Hitung tempoh bola berhenti melantun iaitu pada 𝑆∞.

Diketahui bahawa T1 / a = 1.5 dan r= 0.7

𝑆∞ = 𝑎

1 − 𝑟

𝑆∞ = 1.5

1 − 0.7

𝑆∞ = 1.5

0.3

𝑺∞ = 𝟓

3(b)(i) Jelaskan bagaimana anda mengembangkan ungkapan ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )𝑛

Kebiasaannya ungkapan binomial adalah satu polinomial yang mengandungi dua sebutan.

Oleh itu bagi mengembangkan ungkapan berikut, saya menggantikan b + c = y. Oleh itu

ungkapan yang baru dibentuk oleh saya ialah:

( 𝑎 + 𝑦 )𝑛 di mana y ialah b + c.

Bagi ungkapan ( 𝑎 + 𝑦 )𝑛 perkembangannya ditulis seperti berikut:

( 𝑎 + 𝑦 )𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑛 𝑎𝑛−1𝑦+. . .+𝑛 𝐶𝑟𝑎𝑛−𝑟𝑦𝑟+. . . +𝑛 𝑎𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛

Pekali bagi 𝑎𝑛−1𝑦𝑟 ialah 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!

(𝑛−𝑟)!𝑟! . Simbol (

𝑛𝑟

) juga digunakan mewakili pekali

binomial 𝑛𝐶𝑟.

Seterusnya bagi ungkapan y iaitu b+ c pula.

( 𝑏 + 𝑐 )𝑛

( 𝑏 + 𝑐 )𝑛 = 𝑏𝑛 + 𝑛 𝑏𝑛−1𝑐+. . . +𝑛 𝐶𝑟𝑏𝑛−𝑟𝑐𝑟+. . . +𝑛 𝑏𝑐𝑛−1 + 𝑐𝑛

Seterusnya memasukkan kedua-dua persamaan di dalam satu persamaan. Walau

bagaimanapun ia merupakan suatu persamaan yang panjang. Lantaran itu bentuk berikut

boleh digunakan.

13

Sham_D20112056089

(𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑥𝑘𝑎𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )𝑛

( 𝑎 + 𝑦 )𝑛 di mana y ialah b + c.

(𝑎 + 𝑦)𝑛 = ∑ (𝑛𝑘

)𝑎𝑘𝑦𝑛−𝑘𝑛

𝑘=0

Bagi ( b + c )n pula ialah

(𝑏 + 𝑐)𝑛 = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑏𝑘𝑐𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

Oleh itu , ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )𝑛

(𝒂 + (𝒃 + 𝒄))𝒏 = ∑ (𝒏

𝒌) 𝒂𝒌 ⌈∑ (

𝒏

𝒌) 𝒃𝒌𝒄𝒏−𝒌]

𝒏

𝒌=𝟎

⌉

𝒏−𝒌

𝒏

𝒌=𝟎

3(b)(ii) Kembangkan ( 1 + 2

𝑥− 𝑥 2)

4

dalam kuasa dua menaik x.

(1)4 + (2

𝑥− 𝑥2)

4

= 1 + [( 40

) (2

𝑥 )

4

(−𝑥)2+0 + ( 41

) ( 2

𝑥)

3

(−𝑥)2+1 + ( 42

) (2

𝑥)

2

(−𝑥)2+2 + (43

) (2

𝑥)

1

(−𝑥)2+3

+ (44

) (2

𝑥)

0

(−𝑥)2+4 ]

= 1 + [(1) (16

𝑥 4 ) (−𝑥)2 + (4) (

8

𝑥 3) (−𝑥)3 + (6) (

4

𝑥 2) (−𝑥)4 + (4) (

2

𝑥 1) (−𝑥)5

+ (1)(2

𝑥) (−𝑥)6]

14

Sham_D20112056089

= 1 + [(16

𝑥 4 ) (−𝑥)2 + (

32

𝑥 3) (−𝑥)3 + (

24

𝑥 2) (−𝑥)4 + (

8

𝑥1) (−𝑥)5 + (

2

𝑥) (−𝑥)6]

= 1 + [(−16

𝑥 2 ) + (−

32

𝑥) + (−24𝑥)2 + (−8𝑥)4 + (−2𝑥)5]

= 𝟏 − (𝟏𝟔

𝒙𝟐) − (

𝟑𝟐

𝒙) − 𝟐𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟓