Agregace rizik

SAV 10. 11. 2006

Iva JustováIva Justová

Iman – Conoverova metoda

ObsahObsah

• Úvod• Míry asociace• IC metoda

Základní myšlenka Teoretické odvození Algoritmus Referenční rozdělení

• Metoda normální kopuly• Srovnání IC metody a metody normální kopuly• Praktický příklad• Závěr – odkazy

ÚvodÚvod

• Kvantifikace celkového rizika Formulace modelů korelovaných rizik Kombinace modelů korelovaných rizik Parametrizace modelu korelovaných rizik

• Užití IC metody v tomto procesu Vzorky z marginálních rozdělení → kombinace → požadovaná

korelační struktura

• Stephen J. Mildenhall Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On

The Iman-Conover Method

Míry asociaceMíry asociace

• Lineární (Pearsonův) korelační koeficient Dostatečné pro normální rozdělení Normalizační transformace

• Pořadová (Spearmanova) korelace

Lineární korelace pořadí vzorku• Kendallovo tau

• Invariantní vůči striktně monotónním transformacím Maximum pro neklesající funkce

•

)()(

),Cov(),(

YX

YXYX

))((1 XFY

)2/1)()(2/1)((E12),( YFXFYX YXS

gfZgYZfX ,),(),(

)arcsin())(),((),arcsin())(),(( 262 YXYX S

ji

jijinnYX YYXXYXFYX )])(sgn[(1),(E4),( )1(2

, ,S

IC metodaIC metoda

• Základní myšlenka Máme dva vzorky X a Y n hodnot ze známých marginálních

rozdělení a požadovanou korelaci ρ Určíme vzorek n x 2 z dvourozměrného referenčního rozdělení

s lineární korelací ρ Přeuspořádáme vzorky X a Y tak, aby měly stejné pořadí jako

vzorek z referenčního rozdělení Výsledkem je vzorek z dvourozměrného rozdělení s příslušnými

marginály a stejným pořadovým korelačním koeficientem jako dvourozměrné rozdělení s lineárním korelačním koeficientem ρ

• Rozšíření do více dimenzí• Pořadová a lineární korelace bývají podobné → výstup má

přibližně požadovanou korelační strukturu

IC metodaIC metoda

• Výhody Jednoduchý algoritmus k určení vzorku z referenčního rozdělení Efektivní i v MS Excel Nezáleží na typu vstupních marginálních rozdělení Výsledný vzorek obsahuje stejné hodnoty jako vstupní, pouze jinak

spárované

• Vitale´s Theorem Nechť U a V jsou dvě libovolné náhodné veličiny. Potom existuje

posloupnost funkcí S1, S2, … taková, že (U,SnU) konverguje v distribuci k (U,V) pro .

… cyklická permutacennn TFTGS ,1n

IC metoda – Teoretické odvozeníIC metoda – Teoretické odvození

• M(n x r) Matice n vzorků z r-rozměrného rozdělení Sloupce nekorelované s nulovým průměrem a jednotkovou

směrodatnou odchylkou Kovarianční matice = korelační matice = n-1M´M = I

• S(r x r) Požadovaná pozitivně definitní korelační matice Choleskiho rozklad S = C´C

• T = MC Průměr ve sloupcích = 0, směrodatná odchylka = 1 Korelační matice = S (n-1T´T = n-1C´M´MC = C´C = S)

• IC metoda spočívá v přeměně M (snadná simulace) v T (požadovaná korelační struktura S)

IC metoda – Teoretické odvozeníIC metoda – Teoretické odvození

• Tvorba matice M Vytvoříme sloupec matice M a r-krát ho nakopírujeme Hodnoty ve sloupcích náhodně permutujeme → nezávislost

• Skóry → tvar výsledného vícerozměrného rozdělení• Normální skóry

Simulace N(0,1), úprava na nulový průměr a jednotkovou směrodatnou odchylku

Stratifikovaný výběr z N(0,1) Nulový průměr Polovina hodnot

1,0,...,, 211 iin anaaa

)...,,( 1 naa

)( 11

n

iia

IC metoda – Teoretické odvozeníIC metoda – Teoretické odvození

• Korelační matice M bude rovna I jen přibližně• E = n-1M´M korelační matice M

E singulární → permutace ve sloupcích matice M

• Choleskiho rozklad E = F´F• T = MF-1C

Sloupce nulový průměr Kovarianční matice

• Referenční rozdělení T má přesně korelační strukturu S

SCC

CFFFFC

CEFFC

CMFMFCTT 1

´

´´´

´´

´´´´

11

11

111 nn

IC metoda – AlgoritmusIC metoda – Algoritmus

• Vstup Matice X(n x r) n vzorků z každého z r marginálních rozdělení Požadovaná korelační matice S

1. Vytvoříme sloupec skórů a upravíme, aby se směrodatná odchylka rovnala jedné

2. Zkopírujeme skóry r-krát → matice M

3. V každém sloupci matice M náhodně přeházíme hodnoty

4. Spočteme korelační matici E = n-1M´M

5. Určíme Choleskiho rozklad E, E = F´F

6. Určíme Choleskiho rozklad S, S = C´C

nia ni

i ...,,1),( 11

IC metoda – AlgoritmusIC metoda – Algoritmus

7. Spočteme matici T = MF-1C

8. Určíme matici Y přeuspořádáním každého sloupce matice X, aby pořadí hodnot ve sloupcích bylo stejné jako v matici T

• Výstupem je matice Y(n x r)

Sloupce jsou permutací odpovídajících sloupců matice X Korelační matice je přibližně S Pořadová korelační matice je stejná jako pro r-rozměrné

rozdělení s korelační maticí S

• Detailnější popis algoritmu na www.mynl.com/wp

IC metoda – Ilustrativní příkladIC metoda – Ilustrativní příklad

IC metoda – Ilustrativní příkladIC metoda – Ilustrativní příklad

Y =

IC metoda – Referenční rozděleníIC metoda – Referenční rozdělení

• Skóry Normální skóry (IC metoda) Exponenciální rozdělení Rovnoměrné rozdělení Libovolné rozdělení (průměr 0,

směrodatná odchylka 1)

• Choleskiho rozklad (IC metoda)• Simulace referenčního rozdělení

s danou korelační maticí Eliptická rozdělení (t rozdělení,

Laplaceovo rozdělení)

Metoda normální kopulyMetoda normální kopuly

• Vstupem je vektor rizik s marginálními distribučními funkcemi Fi a Kendallovými tau nebo pořadovými korelačními koeficienty

1. Určíme korelační koeficienty a Choleskiho rozklad na S = C´C

2. Generujeme r náhodných veličin z N(0,1)3. Položíme Z = YC4. Položíme 5. Položíme• Výstupem je vzorek

Marginální rozdělení Fi

Korelační matice je přibližně S

)(1iii uFX

),( jiSij XXr ),( jiij XX

)6/sin(2)2/sin( ijijij r

riZu ii ...,,1),(

)( ijS

)...,,( 1 rXX

)...,,( 1 rYYY

)...,,( 1 rXX

Srovnání IC a NC metodySrovnání IC a NC metody

• Podstata je podobná IC – matici X s marginály Fi přeuspořádáme podle matice T

s požadovanou korelační strukturou NC – vektor Z s přibližně požadovanou korelační strukturou

přetransformujeme, aby marginály byly Fi

• Metody si odpovídají pouze při použití normálních skórů a Choleskiho rozkladu v IC metodě

• IC metodu aplikujeme na daný vzorek z marginálního rozdělení, NC metoda vzorek generuje invertováním distribučních funkcí jako součást procesu

Srovnání IC a NC metodySrovnání IC a NC metody

• Referenční rozdělení má u IC metody přesně požadovanou korelační strukturu, u NC metody pouze přibližně

• Vzorky mají u IC metody pořadovou korelaci stejnou jako vzorek z referenčního rozdělení se správnou lineární korelací. Vzorky normální kopuly mají přibližnou lineární i pořadovou korelaci

• Vzorek z IC metody musí být brán jako celek (případně náhodné řádky), u NC metody má vzorek z každé iterace přibližně požadované rozdělení

• Obě metody uvažují pouze lineární závislost

Praktický příkladPraktický příklad

• Sdružené rozdělení agregovaných čistých (retained) a postoupených (ceded) škod při XL zajištění

Určení rozdělení čistých výsledků pojišťovny, kdy zajištění obsahuje variabilní prvky

• Marginální rozdělení Individuální škody

Pojistný limit 1 milion USD XL zajištění, priorita a = 200 000 USD, limit = 800 000 USD Výše škody má lognormální rozdělení, Počet škod má negativně binomické rozdělení

E(X) Hrubé Čisté Cedované

Výše škody 47 439 31 591 290 985,3

Počet škod 527 527 28,7

Agregace 25 000 000 16 648 209 8 351 790

2,9

Praktický příkladPraktický příklad

Agregované škody – posunuté Gamma rozdělení

• Korelační koeficient X, Y jsou komonotonické, nicméně R a C obecně nejsou

• IC metoda 10 000 pozorování čistých a postoupených škod Výstup – matice 10 000 x 2 vzorku z dvourozměrného rozdělení

),(...),(),( 11 NN YXYXCR

786,0),(

)E()E()Var(),Cov()E(),Cov(

)E())E((),Cov(

CR

YXNYXNCR

YXaYX

Praktický příkladPraktický příklad

ZávěrZávěr

• Software LAPACK (Linear Algebra PACKage)

Algebraické operace s maticemi, Choleskiho rozklad, … www.netlib.org/lapack

SCARE (Simulating, Correlated Aggregation and Risk Engine) IC metoda, kopuly, Choleskiho rozklad, … www.mynl.com/wp

• Literatura Stephen J. Mildenhall

Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method

Casualty Actuarial Society Winter Forum 2006, pages 103-203 www.mynl.com/wp

Děkuji za pozornost