ใบความรู้ที่ ใบความรู้ที่6 3.1 ......55...
TRANSCRIPT
ใบความรท 6 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน1
การแกโจทยปญหาทางคณตศาสตรจะตองด าเนนการอยางเปนระบบเปนกระบวนการ จงจ าเปนตองด าเนนการตามขนตอนอยางเครงครด เพอใหไดมาซงค าตอบทมประสทธภาพรวมทงการแกปญหาทหลากหลาย ขนตอนในการแกโจทยปญหาม 4 ขนตอน ดงน
ใบความรท 3.1 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน
1. ขนท าความเขาใจปญหา
2. ขนวางแผนแกปญหา
3. ขนด าเนนการตามแผน
4. ขนตรวจสอบค าตอบ
?
?
?
55
ในการแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสน จะตองด าเนนการอยางสรปดงน 1. อานโจทยใหเขาใจวา โจทยตองการสงใดและก าหนดสงใดหรอเงอนไขใดบาง 2. ก าหนดตวแปรขนมา 2 ตว เพอแทนในสงทตองการหรอสงทเกยวของ และสรางระบบสมการเชงเสนจากเงอนไขของโจทย แลวจงเลอกวธการแกระบบสมการจากทไดเรยนมาแลว 3. ลงมอคดค านวณตามแผนในขนท 2 เพอใหไดค าตอบของปญหาตามตองการ 4. ตรวจสอบค าตอบจากเงอนไขของโจทย
56
จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ และผลตางเทากบสบ จงหาจ านวนสองจ านวนนน วธท า โจทยตองการ จ านวนสองจ านวน โจทยก าหนด จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ และผลตางเทากบสบ
ให x แทน จ านวนทหนง y แทน จ านวนทสอง
จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ 20yx
จ านวนสองจ านวนมผลตางเทากบสบ 10yx 20yx
10yx
300x2
จาก 30x2 จากสมการท 1 + สมการท 2
15x น า 2 มาหารทงสองขาง 20yx สมการท 1 2015 y แทน 15x 5y น า 15 มาลบทงสองขางของสมการ
ตรวจสอบ จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบยสบ 20515 จรง จ านวนสองจ านวนมผลตางเทากบสบ 10515 จรง ดงนน จ านวนทหนง คอ 15 และจ านวนทสอง คอ 5
การตรวจค าตอบเพอใหแนใจวาค าตอบทไดนน
เปนค าตอบทถกตองหรอไม
ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย
ไมควรตรวจจากสมการทสรางขน อาจมขอผดพลาด
ไดนะจะ
57
ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย
วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 100 ขา วนยเลยงเปดและสนขอยางละกตว วธท า โจทยตองการ วนยเลยงเปดและสนขอยางละกตว โจทยก าหนด วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 100 ขา
ให x แทนจ านวนเปด y แทนจ านวนสนข
วนยนบจ านวนเปดและสนขทเลยงไวทงหมดเปน 46 ตว 46yx
นบขาของเปดและสนขได 100 ขา 100y4x2 สมการท 1 คณดวย 2
จากโจทย สมการท 2 -
46yx 82y2x2 100y4x2 100y4x2 18y20
จาก 18y2 สมการท 1 + สมการท 2
9y น า 2 มาหารทงสองขาง
46yx สมการท 1 469x แทน 9y 37x น า 9 บวกทงสองขาง
ตรวจสอบ เปดม 37 ตวและสนขม 9 ตว รวมสตวเลยงทงหมดเปน 46 ตว จรง เปดม 37 ตว ม 74 ขา และสนขม 9 ตว ม 36 ขา รวมทงหมด 100 ขาจรง ดงนน วนยเลยงเปดไวจ านวน 37 ตว และเลยงสนขไว 9 ตว
58
แสวงมเหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ เปนเงน 40 บาท แสวงมเหรยญบาทกเหรยญ วธท า โจทยตองการ แสวงมเหรยญบาทกเหรยญ โจทยก าหนด แสวงมเหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ เปนเงน 40 บาท
ให x แทนจ านวนเหรยญบาท y แทนจ านวนเหรยญหาบาท
เหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 20 เหรยญ 20yx
เหรยญบาทและเหรยญ 5 บาท เปนเงน 35 บาท 40y5x สมการท 1 คณดวย 5
จากโจทย สมการท 2 -
20yx 100y5x5 40y5x 40y5x
60x4
จาก 60x4 สมการท 1 + สมการท 2
15x น า 4 มาหารทงสองขาง
ตรวจสอบ มเหรยญบาท 15 เหรยญ และมเหรยญหาบาท 5 เหรยญ รวมเปน 20 เหรยญ จรง มเหรยญบาทเปนเงน 15 บาท และมเหรยญหาบาทเปนเงน 25 บาท รวมเปน 40 บาท จรง ดงนน แสวงมเหรยญบาท 15 เหรยญ
ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย
59
จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132 จงหาจ านวนจ านวนน วธท า โจทยตองการ จ านวนจ านวนหนง โจทยก าหนด จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132
ให x แทนตวเลขในหลกสบ y แทนตวเลขในหลกหนวย
เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 6 6yx ผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 132
132)xy10()yx10( หรอ 12yx
6yx 12yx 180x2 จาก 18x2 จากสมการท 1 + สมการท 2 9x รปอยางงายน า2 มาหารทงสองขาง 12yx สมการท 2 12y9 แทน 9x 3y น า 9 มาลบทงสองขาง
ตรวจสอบ ตวเลขในหลกสบคอ 9 ตวเลขในหลกหนวยคอ 3 ตางกนอย 6 จรง จ านวนนนคอ 93 จ านวนทสลบหลกคอ 39 รวมกนได 132 จรง ดงนน จ านวนสองหลกคอ 93
ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย
60
เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า จงหาอายของแดงและด าในปจจบน วธท า โจทยตองการ หาอายของแดงและด าในปจจบน โจทยก าหนด เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า
ให x แทน อายปจจบนของแดง y แทน อายปจจบนของด า นนแสดงวา เมอ 10 ปทแลว แดงมอาย x-10 ป ด ามอาย y-10 ป อก 10 ปขางหนา แดงมอาย x+10 ป ด ามอาย y+10 ป
เมอ 10 ปกอน แดงมอายเปน 3 เทาของอายด า )10y(310x หรอ 20y3x
อก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า )10y(210x หรอ 10y2x 10y220y3 สมการท 1 เทากบ สมการท 2
1020y น า 2y มาลบทงสองขาง
30y น า 20 มาบวกทงสองขาง
20y3x สมการท 1 20)30(3x แทน 30y 70x รปอยางงาย
เพราะฉะนน ปจจบนแดงมอาย 70 ป และด ามอาย 30 ป ตรวจสอบ
เมอ 10 ปทแลวแดงมอาย 60 ป และด ามอาย 20 ป แดงมอายเปน 3 เทาของด า จรง อก 10 ปขางหนาแดงมอาย 80 ป และด ามอาย 40 ปแดงมอายเปน 2 เทาของอายด า จรง ดงนน ปจจบนแดงมอาย 70 ป และด ามอาย 30 ป
ตองตรวจจากเงอนไขของโจทย
61
รปสเหลยมผนผารปหนง มดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร และสองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง จงหาความกวางและความยาวของรปสเหลยมผนผารปน วธท า โจทยตองการ หาความกวางและความยาวของรปสเหลยมผนผา โจทยก าหนด รปสเหลยมผนผารปหนง มดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร และสองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง
ให x แทน ความยาวดานกวางมหนวยเปนเซนตเมตร y แทน ความยาวดานยาวมหนวยเปนเซนตเมตร
ดานยาวยาวเปนสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร )5x(3y หรอ 15x3y สองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตรจะเปน 5 เทาของดานกวาง
x5)2y(2 x5)2y(2 สมการท 2
x5)215x3(2 แทน 15x3y x5)13x3(2 รปอยางงาย x526x6 สมบตการแจกแจง 026x น า 5x มาลบทงสองขาง 26x น า 26 มาบวกทงสองขาง
15x3y สมการท 1
15)26(3y แทน 26x 63y รปอยางงาย เพราะฉะนน ดานกวางยาว 26 เซนตเมตร และดานยาวยาว 63 เซนตเมตร
ตรวจสอบ ดานยาวยาว 63 เซนตเมตร และสามเทาของผลตางของดานกวางกบ 5 เซนตเมตร คอ
63)526(3 เทากนจรง สองเทาของผลบวกของดานยาวกบ 2 เซนตเมตร คอ 130)263(2 และ5 เทาของดานกวาง คอ 130)26(5 เทากนจรง ดงนน รปสเหลยมผนผารปนมดานกวางยาว 26 เซนตเมตร และดานยาวยาว 63 เซนตเมตร
62
ใบความรท 6 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน1 1. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 1) 1) จ านวนสองจ านวนมผลบวกเทากบสบหา และผลตางเทากบสามสบเอด จงหาจ านวนสองจ านวนนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) ถาสองเทาของจ านวนแรกรวมกบสเทาของจ านวนหลงเทากบ 42 และสองเทาของจ านวนแรกลบดวยสองเทาของจ านวนหลงเทากบ -6 จงหาจ านวนทงสองจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) ก าหนดจ านวนสองจ านวนซงผลตางของสามเทาของจ านวนแรกกบหนงในสของจ านวนหลง มคาเทากบ 84 และหนงในหาของผลบวกของสองจ านวนนมคาเทากบ 29 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
แบบฝกท 3.1 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน
63
4) ก าหนดจ านวนสองจ านวนซงผลตางของสองเทาของจ านวนแรกกบหนงในสามของจ านวนหลงมคาเทากบ 45 และหนงในสของผลบวกของสองจ านวนนมคาเทากบ 17 จงหาจ านวนทงสองจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 2) 1) สมพรนบจ านวนไก และแมวทเลยงไวทงหมดเปน 110 ตว แตถานบขาของไกและแมวได 240 ขา สมพรเลยงไกและแมวอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) วนยนบจ านวนเปด และสนขทเลยงไวทงหมดเปน 215 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 460 ขา วนยเลยงเปดกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
64
3) ทกษณนบจ านวนเปดและสนขทเลยงไวทงหมดเปน 50 ตว แตถานบขาของเปดและสนขได 150 ขา ทกษณเลยงเปดและสนขอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) สมชายนบจ านวนนกเอยงและควายทอยกลางทงนามหมดเปน 9 ตว แตถานบขาของนกเอยงและควายได 22 ขา อยากทราบวามนกเอยงและควายอยางละกตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 3) 1) ด ามเหรยญบาท และเหรยญ 5 บาท อยในกระเปา ทงหมด 13 เหรยญ เปนเงน 37 บาท ด ามเหรยญบาท กเหรยญ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
65
2) อทยมเหรยญหาและเหรยญสบบาท อยในกระเปา ทงหมด 17 เหรยญ เปนเงนทงสน 135 บาท อทยมเหรยญหาและเหรยญสบบาทอยางละกเหรยญ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาท และฉบบละหาสบบาทอยในกระเปา ทงหมด 9 ฉบบ เปนเงน 300 บาท สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาทและฉบบละหาสบบาทอยางละเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาท และฉบบละหนงรอยบาทอยในกระเปา ทงหมด 20 ฉบบ เปนเงน 1,120 บาท สมชายมธนบตรฉบบละยสบบาทและฉบบละหนงรอยบาทอยางละเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
66
4. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 4) 1) จ านวนสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบมากกวาเลขโดดในหลกหนวยอย 2 และผลบวกของจ านวนนกบจ านวนทสลบหลกกบจ านวนเดมเปน 88 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) จ านวนหนงมสองหลกผลบวกของเลขโดดในหลกหนวยและหลกสบเทากบ 16 และสองเทาของจ านวนน มากกวาจ านวนทมตวเลขโดดสลบหลกกบจ านวนทก าหนดอย 61 จงหาจ านวนจ านวนน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) จ านวนหนงมสองหลก ซงผลบวกของเลขโดดในหลกหนวยและหลกสบเทากบ 11 และผลตางของเลขจ านวนนกบจ านวนทสบหลกกบจ านวนเดมเปน 45 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
67
4) จ านวนทมสองหลกจ านวนหนง เลขโดดในหลกสบรวมกบเลขโดดในหลกหนวยได 15 ถาสลบเลขโดดจากหลกหนวยไปอยทหลกสบ และเลขโดดจากหลกสบไปอยทหลกหนวย จะท าใหคาของตวเลขลดลง 9 จงหาผลคณของเลขโดดทงสองตวน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 5) 1) เมอ 10 ปทผานมา บดามอายเปน 4 เทาของบตร ถาใน 6 ป ขางหนาบดาจะมอายเปน 2 เทาของบตร จงหาอายปจจบนของบดาและบตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) เมอ 10 ปกอน สามารถมอายเปน 3 เทาของอายสมชาย แตอก 10 ปขางหนาแดงจะมอายเปน 2 เทาของอายด า จงหาอายของสามารถและสมชายในปจจบน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
68
3) เมอ 6 ปทแลว ทกษณมอายเปน 4 เทาของสมคร แตอก 6 ปขาง ทกษณมอายเปน 2 เทาของสมคร ปจจบนทกษณมอายกป ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) เมอ 6 ปทแลว บดามอายเปน 3 เทาของอายบตร ถาในอก 8 ปขางหนาบดามอายเปน 2 เทาของบตร ปจจบนบดามอายกป ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 6. จงแกโจทยปญหาระบบสมการเชงเสนตอไปน (ตวอยางท 6) 1) สวนสาธารณะแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา มดานยาวยาวเปน 3 เทาของดานกวาง ถาความยาวรอบสวนเปน 400 เมตร พนทของสวนสาธารณะนเปนเทาไร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
69
2) ทดนรปสเหลยมผนผาแปลงหนง มดานยาว ยาวกวาดานกวาง 8 เมตร และความยาวโดยรอบ 60 เมตร ทดนแปลงนมพนทกตารางเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) รปสามเหลยมรปหนง มมภายในสองมมรวมกนได 136 องศา แตขนาดของสองมมนตางกนอย 60 องศา จงหาขนาดของมมทงสองของรปสามเหลยม ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) รปสามเหลยมดานเทารปหนงมดานยาวคดเปนเซนตเมตรดงน 2yx ,
2yx2 และ yx อยากทราบวาเสนรอบรปของสามเหลยมรปนยาวเทาไร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................