정수론: 중간고사

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학번:

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1. 다음 주어진 정리를 이용하여 40을 원소로 가지는 원시적 피타고라스 삼중쌍(PPT)을 모두 찾아라:

정리: (x, y, z)가 PPT이면

(a) s > t ≥ 1

(b) gcd(s, t) = 1

(c) (s, t)는 (짝수,홀수) 또는 (홀수,짝수)

를 만족하는 자연수 쌍 (s, t)가 존재하여

x = 2st, y = s2 − t2, z = s2 + t2

으로 나타낼 수 있다.

2

2. 다음에 답하시오.

(a) 삼각수란 무엇인가? 그리고 삼각수 세 개를 쓰시오.

(b) 완전수란 무엇인가? 그리고 가장 작은 완전수를 쓰시오.

(c) 페르마의 마지막 정리를 쓰시오.

(d) 페르마 소정리를 쓰시오.

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3. p가 5이상의 소수이면 p2 + 2는 합성수임을 보여라.

4. 소수들을 곱하는 순서를 무시하면 어떤 자연수 n을 소수들의 곱으로 표현하는 방법이 유일함을증명하여라.

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5. 합동방정식 6x ≡ 15 (mod 21)을 풀어라.

6. 모든 정수 n ≥ 1에 대하여 27 | 25n+1 + 5n+2 임을 증명하여라.

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7. 다음에 대해 답하시오.

(a) Carmichael number(카마이클 수)의 정의를 쓰시오.

(b) 자연수 n이 Carmichael number이면 n이 소수/합성수 중 어떤 것인지에 대해 어떤 결론을내릴 수 있는가? (이유도 쓰세요.)

(c) 자연수 n이 Carmichael number이 아니면 n이 소수/합성수 중 어떤 것인지에 대해 어떤결론을 내릴 수 있는가? (이유도 쓰세요.)

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8. 다음을 증명하여라:

소수 p와 정수 계수의 다항식 f(x) = adxd + ad−1x

d−1 + ...+ a0(d ≥ 1, p - ad)에 대하여,f(x) ≡ 0 (mod p) 는 최대 d개의 서로 다른 해를 가진다.

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