Investeşte în oameni !

FONDUL SOCIAL EUROPEAN

Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013

Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”

Numărul de identificare al contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821

Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti

Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de

pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA

Curs: 3. Elemente de geometrie. Reprezentari in plan. Vectori .

Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M12

Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir

1

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

2

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Sistem de coordonate reprezint ă o modalitate prin care oric ărui punct i se asociaz ă în mod unic o mul țime ordonat ă de numere reale, numite coordonatele acelui punct.

Sistem de coordonate cartezian

Sistem de coordonate polar

3

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Sistemul de coordonate carteziene este folosit pentr u a determina în mod unic un punct în plan prin dou ă numere, numite de regul ă abscisa și ordonata punctului.

Bidimensional Tridimensional

4

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Sistemul de coordonate polare•este un sistem de coordonate bidimensional•fiecărui punct din plan i se asociază

•un unghi•o distanță.

Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situații în care relația dintre două puncte este mai ușor de exprimat în termeni de distanțe și direcții (unghiuri);

5

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Reprezentarea unui punct insistem cartezian xOy

-cu originea în punctul O(0;0)-cu sensurile pozitive ale axelorindicate prin săgeţi (axaorizontală a absciselor sens dela stânga la dreapta și axaverticală a ordonatelor cusensul de jos în sus)- fiecărui punct M din planulxOy îi corespund în acest reperdouă coordonate cartezienenotate M(x,y).

M(5,4)

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

O(0,0)1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

C1(x>0,y>0)C2(x<0,y>0)

C3(x<0,y<0) C4(x>0,y<0)

x

y

6

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Reprezentarea unei drepte inreper cartezian xOy

-cu un capat în punctul O(0;0)si cu celalalt capat in M(5,9)

M(5,4)

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

O(0,0)1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

C1(x>0,y>0)C2(x<0,y>0)

C3(x<0,y<0) C4(x>0,y<0)

x

y

7

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Drepte in plan

8

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Reprezentarea unui punct insistem polar

In sistemul de coordonate polar,pozitia unui punct P fata deorigine este descrisa prinspecificarea distantei r si aunghiului α dintre linia r sidirecţia pozitiva a axei x, numitaaxa polara. Coordonatele polareale punctului P sunt P(r,α), unde

r 0, [0,2 )≥ α ∈ π

9

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Reprezentarea unei drepte insistem polar

10

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Conversia între coordonate polare și coordonate carteziene

Convertire din coordonate polare in coordonate carteziene

x r cos

y r sin

= α= α

Convertire din coordonate carteziene in coordonate polare

2 2 yr x y =arctg , x 0 , pentru cadranele I si IV

x = + α >

Distanta intre doua puncte definite prin coordonate carteziene (x1, y1), (x2, y2) este

( ) ( )2 2

1 2 1 2d x x y y= − + −

Distanta intre doua puncte definite prin coordonate polare (r1, α 1), (r2, α 2)

2 21 2 1 2 1 2d r r 2 r r cos( )= + − ⋅ ⋅ ⋅ α − α

11

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Exerci țiul 1. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0), B(1,-1).

Exerci țiul 2. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 şi apoi faţă de punctul B(-1,-4).

Exerci țiul 3. Să se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijlocul segmentului AB si ca A(2.4).

Exerci țiul 4. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0.

12

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Exerci țiul 5. Să se determine pentru care distanta dintre punctele A(2,m) si B(-m,-2) este egala cu

Exerci țiul 6. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2). Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentului AC.

Exerci țiul 7. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, п/2), (1, 3п/4), (2, -п/3).

Exerci țiul 8. Transformati in coordonate polare ecuatia

Exerci țiul 9. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei

2 2x y 9+ =

21 cos

r= + θ

4 2

13

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Vectorul este determinat de :Marime: segmentul [AB]Directie: in susSens: de la A la B sau de la B la A

este segment legat sau vector

se numeste norma vectorului si reprezinta d(A,B)

Vectorul de norma 1 se numeste versor.

Vectori in plan

A

B

ABuuur

AB

ur

14

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Vectorii de norma 1 se numesc vers ori. Oxy este sistem de axe ortogonale

Vectori in plan

i si jr r

y

j

i

u

A

B M

xO

Definirea vectorului u din plan u i x j y= ⋅ + ⋅r rr

15

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Vectori in plan

y

j

i

A

xB

B

xO

xA

yA

yB

Definirea vectorului AB B A B AAB i (x x ) j (y y )= ⋅ − + ⋅ −

r r

16

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Operatii cu vectori in plan

Modulul unui vector u 2 2u i x j y u x y= ⋅ + ⋅ ⇒ = +r rr r

Suma a doi vectori u si v 1 1

2 2

1 2 1 2

u i x j y

v i x j y

u v (x x ) i (y y ) j

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

+ = + ⋅ + + ⋅

r rr

r rr

r rr r

Conditia de paralelism 1 12, 2

2 2

x yu v pt x y 0

x y⇔ = ≠r r

Conditia de perpendicularitate 1 2 1 2u v x x +y y =0 ⊥ ⇔ ⋅ ⋅r r

Produs scalar, intre doi vectori care formează unghiul θ

u v u v cos⋅ = θr r

Produs scalar a doi vectori perpendiculari u v 0⋅ =r r

17

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Operatii cu vectori in plan

u i 2 j a= ⋅ + ⋅r rr

v i 3 j (a 2)= ⋅ + ⋅ −r rr

Exercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind ca vectorii sunt coliniari.

u 3 i 2 j= − ⋅ + ⋅r rr

v 5 i j= ⋅ −r rr

5 u 3 v⋅ + ⋅r r

Exercitiul 2. In reperul cartezian (O,i,j) se considera vectorii

Să se determine coordonatele vectorului

.

u 4 i 9 j= ⋅ + ⋅r rr

v 3 i 2 j= ⋅ +r rr

u v⋅r rv u⋅r r

u u⋅r rv v⋅r r

Exercitiul 3. Calculati produsul scalari si produsul vectorial dintre vectorii

18

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Vectori in spatiu

Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distanta dintre aceste doua puncte. Daca P(a,b,c) si P’(a’,b’,c’) sunt doua puncte din spatiul tridimensional R3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cu .

Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P la P’.

.

u (a a ',b b ',c c ')= − − −

19

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Operatii cu vectori in spatiu

.

Adunarea vectorilor ( )zu x,y,=r si

( )x’. zv y’, ’=r

u v (x x ',y y',z z')+ = + + +r r

Multiplicarea cu un scalar a vectorului ( )zu x,y,=r

cu (cx,cy,cz)=r

20

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Exerci țiul 1. Să se determine produsul scalar al vectorilor w1 și w2.Comentați rezultatul obținut :

.

1 22 5 si 10 4 3w i j w i j k= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅v v v v v

Exerci țiul 2. Să se determine produsul vectorial al vectorilor w1 și w2.

1 23 2 si 5 3w i j w j k= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅v v v v

Exerci țiul 3. Să se determine produsul mixt al vectorilor w1, w2 și w3.

1 2 34 3 ; 2 6 2 si 2 2w i j w i j k w i k= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅v v v v v v v

Exerci țiul 4. Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta:

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2w w xw w w x w w w x w⋅ = ⋅ = ⋅r r r r r r r r r