Actividades complementarias

Actividades complementarias

44

11 Cálculo de probabilidades Propuesta A

1. Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras. Se considera el experimento aleatorio consistente en extraer tres bolas de la urna, sucesivamente y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B1 = “la primera bola es blanca”, B2 = “la segunda bola es blanca” y B3 = “la tercera bola es blanca”.

a) Expresa con ellos el suceso A = “las bolas extraídas en primero y en tercer lugar son blancas, y la extraída en segundo lugar, no”.

b) Calcula la probabilidad del suceso C = “las tres bolas son del mismo color”.

c) Si las dos primeras son blancas, ¿cuál es la probabilidad de que la tercera sea roja?

2. De los 120 alumnos de 2.º de Bachillerato de un instituto, el 40% son chicos; de ellos, la tercera parte ha elegido Matemáticas como asignatura optativa, mientras que de las chicas la ha elegido la mitad. Si se elige al azar un alumno de 2.º de Bachillerato de ese instituto, calcula la probabilidad de que esa persona:

a) Sea chico o eligiera Matemáticas como optativa.

b) Eligiera Matemáticas como optativa.

c) Sea chica sabiendo que eligió Matemáticas.

3. Sean dos sucesos A y B tales que ( ) 0,45P A = , ( ) 0,4P B = y ( ) 0,65P A B = . Determina razonadamente las

siguientes probabilidades:

a) ( )P A B b) ( )P A B c) ( )P A B d) ( )( )P A B A

4. La probabilidad de que una persona que entra en una librería adquiera un periódico es de 0,4, y la de que adquiera una revista es de 0,3. Sabiendo que la probabilidad de que adquiera ambas es de 0,2, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Que adquiera alguna publicación de las citadas.

b) Que no adquiera ninguna.

c) Que adquiera únicamente un periódico.

5. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a limón y 3 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y, hasta extraerlos de la bolsa, no se sabe de qué sabor son. Si se extraen tres caramelos al azar:

a) Calcula, de forma razonada, la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja; luego, uno con sabor a fresa, y por último, uno con sabor a limón.

b) Calcula, de forma razonada, la probabilidad de que sean de tres sabores distintos.

6. Dentro de una promoción para intentar que aumenten las ventas de una marca concreta de cereales se incluye la fotografía de un jugador de fútbol en cada paquete. Hay 10 fotografías distintas y existe idéntica probabilidad de encontrar cada fotografía en cualquier paquete de cereal. Si Carlota compra cuatro paquetes de cereales:

a) Halla la probabilidad de que las cuatro fotografías sean distintas.

b) De los 10 jugadores cuyas fotografías están en los paquetes, sus preferidos son Alan y Bob. Halla la pro-babilidad de que encuentre al menos la foto de uno de sus jugadores preferidos en esos cuatro paquetes.

7. En una fábrica de microchips, las máquinas A, B y C producen, respectivamente, el 30%, el 50% y el 20% del total. Las pruebas de control de calidad indican que el 1%, el 3% y el 5% de la producción de las máquinas es defectuosa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, elegido un microchip al azar, este resulte defectuoso?

b) Si hemos elegido un microchip y resulta defectuoso, calcula la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A.

c) Si el microchip elegido resulta bueno, calcula la probabilidad de que provenga de la máquina C.

MATERIAL FOTOCOPIABLE

Actividades complementarias

45

Propuesta B

1. Una bolsa A contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Otra bolsa B contiene 4 bolas rojas y dos verdes.

a) Si se extraen dos bolas al azar de la bolsa A, sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de extraer 0, 1 ó 2 bolas rojas.

b) Se extraen dos bolas al azar de la bolsa B. Dibuja un diagrama de árbol que represente esta información e incluya la probabilidad de cada suceso, y calcula la probabilidad de extraer 0, 1 ó 2 bolas verdes de dicha bolsa.

c) Si se tira un dado equilibrado de seis caras y se obtiene 1 ó 6, se extraen dos bolas de la bolsa A. En caso contrario, dos bolas de la bolsa B. Calcula la probabilidad de que se extraigan dos bolas rojas. Sabiendo que se han extraído dos bolas rojas, halla la probabilidad de que haya salido un 1 o un 6 al tirar el dado.

2. En una clase, el 60% de los alumnos aprueban Matemáticas, el 50% aprueban Historia y el 80% aprueban alguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Apruebe las dos asignaturas.

b) Apruebe Historia y suspenda Matemáticas.

c) Suspenda las dos asignaturas.

d) Apruebe Historia habiendo aprobado Matemáticas.

3. Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados perfectamente equilibrados y los sucesos A = “obtener al menos un seis en uno de los dados” y B = “obtener un uno sólo en uno de los dados”. Determina las siguientes probabilidades.

a) ( )P A b) ( )P B c) ( )P A B d) ( )P A B e) ( )P A B

4. La probabilidad de obtener cara con una moneda trucada es de 1

3.

Si lanzamos la moneda 5 veces, calcula la probabilidad de obtener:

a) 5 caras.

b) 2 caras y 3 cruces.

5. El 40% de los habitantes de una ciudad lee habitualmente el periódico y el 30% tiene por costumbre leer algún libro. Sabiendo que el 20% tiene ambos hábitos, halla la probabilidad de que al elegir una persona al azar de esa ciudad:

a) Tenga alguno de esos hábitos.

b) No tenga ninguno de ellos.

c) Acostumbre a leer libros, sabiendo que es un lector habitual de periódicos.

6. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 25 personas, de las cuales el 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer al azar, y si sale cruz, selecciona a un hombre, también al azar.

Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés.

7. En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C, que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras.

a) Obtén de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música.

b) Si al poner la radio no escuchamos música, halla cuál es la probabilidad de que esté sintonizada la emisora B.

MATERIAL FOTOCOPIABLE

Actividades complementarias

Actividades complementarias

46

Soluciones propuesta A

1. a) 1 2 3A B B B=

b) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3C B B B R R R N N N=

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3( )P C P B B B P R R R P N N N= + + =

7 6 5 3 2 1 216 90

12 11 10 12 11 10 1320 55= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = =

c) ( )3 1

32

10P R B B =

2.

a) ( ) ( ) ( ) ( )P V M P V P M P V M= + − =

48 52 16 84 7

120 120 120 120 10= + − = =

b) ( ) 52 13

120 30P M = =

c) ( )36

( ) 912052( ) 13

120

P H MP H M

P M= = =

3. a) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −

( ) ( )0,65 1 0,45 0,4 P A B = − + −

( ) 0,3P A B =

b) ( ) ( ) ( ) 0,55 0,3 0,25P A B P A P A B= − = − =

c) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

P B A P B P A BP A B

P B P B

−= = =

0,4 0,3 1

0,4 4

−= =

d) ( )( ) ( ) 0,55P A B A P A= =

4. a) ( ) ( ) ( ) ( )P P R P P P R P P R= + − =

0,4 0,3 0,2 0,5= + − =

b) ( ) ( ) ( )1 1 0,5 0,5P P R P P R P P R= = − = − =

c) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,2 0,2P P R P P P P R= − = − =

5. a) ( ) ( ) ( ) ( )P N F L P N P F N P L N F= ⋅ ⋅ =

10 3 5 25

18 17 16 816= ⋅ ⋅ =

b) Hay 3! = 6 formas distintas de extraerlos de tres sabores distintos (NFL, NLF, FNL, FLN, LNF, LFN), y cada una de ellas tiene la misma probabilidad (calculada en el apartado anterior).

Por tanto,

( ) 25 253 sabores distintos 6

816 136P = ⋅ =

6. a) ( )1 2 3 4P F F F F =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 4 1 2 3P F P F F P F F F P F F F F= ⋅ ⋅ ⋅ =

9 8 7 631

10 10 10 125= ⋅ ⋅ ⋅ =

Si se hace calculando casos favorables y casos posibles, se tiene que el número de casos posibles es VR10, 4, mientras que el de casos favorables es V10, 4. Por tanto,

( ) 10,4

410,4

10 9 8 7 634 fotos distintas

10 125

VP

VR

⋅ ⋅ ⋅= = =

b) Este suceso, F, es el contrario de no obtener ninguna de las fotografías de sus jugadores favoritos, F . Por tanto,

8 8 8 8( ) 1 ( ) 1

10 10 10 10P F P F= − = − ⋅ ⋅ ⋅ =

44 369

15 625

= − =

7.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P A P D A P B P D B= ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) 0,003 0,015 0,010 0,028P C P D C+ ⋅ = + + =

b) ( ) ( ) ( )( )

0,3 0,01

0,028

P A P D AP A D

P D

⋅= = =

0,003 3

0,028 28= =

c) ( ) ( ) ( )( )

0,2 0,95

1 0,028

P C P D CP C D

P D

⋅= = =−

0,190 95

0,972 486= =

Matemáticas

(M)

No matemáticas

M( )

Total

Varón (V) 16 32 48

Mujer (H) 36 36 72

Total 52 68 120

0,3

0,2

0,5

0,01

0,99

0,03

0,97

0,05

0,95

D

D

D

D

D

D

A

B

C

Actividades complementarias

47

Soluciones propuesta B

1. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 30 rojas

5 4 10P P V V P V P V V= = ⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 2 31 roja

5 4 5 4 5P P R V V R= = ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 12 rojas

5 4 10P P R R P R P R R= = ⋅ = ⋅ =

b)

( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 20 verdes

6 5 5P P R R P R P R R= = ⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 4 81 verde

6 5 6 5 15P P R V V R= = ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 12 verdes

6 5 15P P V V P V P V V= = ⋅ = ⋅ =

c)

La probabilidad de que se extraigan 2 bolas rojas es:

( ) ( ) ( )2 rojas 1 6 2 rojas AP P P B= ⋅ +

( ) ( )2 3 4 5 2 rojas BP P B+ ⋅ =

1 1 2 2 3

3 10 3 5 10= ⋅ + ⋅ =

La probabilidad de que haya salido un 1 o un 6 es:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 61 6

( )

P R RP R R

P R R= =

2 2 116 5 4

3 910

⋅ ⋅= =

2. a) ( ) ( ) ( ) ( )P M H P M P H P M H= + −

( ) ( ) ( ) ( )P M H P M P H P M H = + − =

0,6 0,5 0,8 0,3= + − =

b) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,2P H M P H P M H= − = − =

c) ( ) ( ) 1 0,8 0,2P M H P M H= = − =

d) ( ) ( )( )

0,3 1

0,6 2

P H MP H M

P M= = =

3. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 11

1 6 6 1 6 6 16 6 36

P A P P P= − = − = − ⋅ =

b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1P B P P P= = + =

1 5 5 1 5

6 6 6 6 18= ⋅ + ⋅ =

c) ( ) ( ){ } ( ) 2 11, 6 , 6, 1

36 18A B P A B= = =

d) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + − =

11 5 1 19

36 18 18 36= + − =

e) ( ) ( ) ( ) 5 1 4 2

18 18 18 9P A B P B P A B= − = − = =

Dado que el espacio muestral consta solo de 36 sucesos elementales {(1, 1), …, (6, 6)}, puede hacerse también contando los casos favorables y los casos posibles.

4. a) ( )P C C C C C =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

1 1

3 243P C P C P C P C P C

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

b) 2 35 1 2

(2 caras, 3 cruces)2 3 3

P = =

8 8010

243 243= ⋅ =

5. a) ( ) ( ) ( ) ( )P P L P P P L P P L= + − =

0,4 0,3 0,2 0,5= + − =

b) ( ) ( )________

1 ( ) 1 0,5 0,5P P L P P L P P L= = − = − =

c) ( ) ( ) 0,2 1

( ) 0,4 2

P L PP L P

P P= = =

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P I P C P MI P X P HI= ⋅ + ⋅ =

1 10 1 7 41

2 15 2 10 60= ⋅ + ⋅ =

7. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P M P A P M A P B P M B= ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) 1 1 1 1 1 21

3 3 2 3 2 3P C P M C+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

b) ( ) ( ) ( )( )

1 13 2

1 ( )

P B P M BP B M

P MP M

⋅⋅= = =

−

1 116 6

2 1 21

3 3

= = =−

R

V

R

V

R

V

B

46

35

25 4

5

15

26

A

B

R

VR

V

D

R

V

R

V

14

34

25

35

46

26

24

24

R

VR

V

35

25 4

5

15

13

23

0,3

0,3

0,2

0,2

M

H

M�H