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ACCIONES BASICAS DE CONTROL


Un controlador automático, compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero ó a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.


Los controladores industriales se clasifican, de acuerdo con sus acciones de control:

• Todo o nada (2 posiciones, on-off)

• Proporcional

• Proporcional + Integral

• Proporcional + Derivativo

• Proporcional + Integral + Derivativo (PID)


Configuración de un sistema de control automático en lazo cerrado.


Para ejemplificar las acciones de control, se usará el modelo de un motor de c.d.

En donde

es la velocidad en rad/sec

es el voltaje de alimentación en volts

5004008.510

8000)()(

2

sssus

)(s

)(su


Para poder apreciar las acciones de control, analizaremos en lazo abierto el comportamiento del motor, alimentadolo con su voltaje máximo de 20 volts.


Control Dos posiciones

(Todo o nada, on-off, Bang-Bang)

El dispositivo corrector final tiene solamente 2 posiciones o estados de operación. Si la señal de error es positiva, el controlador envía el dispositivo corrector final a una de las 2 posiciones. Si la señal de error es negativa, el controlador envía el dispositivo corrector final a la otra posición.


Supongamos que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t).

Si U1=-U2, y U1=U0, entonces

0)(,2

0)(,1)(

tepara

tepara

U

Utu

))(()( 0 tesignUtu


Aplicando un control Todo Nada para mantener la velocidad del motor en

segrad

10

))((20)( tesigntu


Se observa que la velocidad llega al valor deseado y se conserva ahí, al igual que el error se conserva en cero. Pero el voltaje de control para lograr esto presenta unas oscilaciones de frecuencia infinita, la cual no puede ser implementada por ningún actuador ó dispositivo corrector final. Ahora se verá un dispositivo corrector final que pueda implementar un frecuencia finita.


Para ello, es necesario saber que todos los actuadores todo o nada tienen una pequeña zona de actuación o brecha diferencial, la cual está definida como el más pequeño rango de valores medidos que debe atravesar para hacer que el actuador vaya de una posición a la otra


El actuador que consideraremos será una configuración de transistores que servirán para manipular el voltaje alimentado al motor. Como se sabe, el transistor requiere de un cierto voltaje en su base para poder ser encendido, por lo tanto, la señal de error tendrá que superar este nivel para poder encender los transistores adecuados. Suponiendo que se necesita 1V para la base.


Concluciones:

• El control todo nada sólo sirve para manejar actuadores de dos posiciones.

• La desventaja es que los actuadores se desgastan muy rápido.

• En la realidad con este controlador siempre se obtienen pequeñas oscilaciones alrededor del valor deseado.


En general, cuando el sitio de conmutación de la variable dependiente depende no solo del valor de variable independiente, sino también de su dirección de aproximación, decimos que existe histéresis.


Control Proporcional

El dispositivo corrector final no es forzado a tomar una de dos posiciones disponibles. En lugar de esto, tiene un rango continuo de posiciones posibles. La posición exacta que toma es proporcional a la señal de error. En otras palabras, la salida de bloque controlador es proporcional a su entrada.


Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es

o en Laplace

)()( teKtu p

)()( sEKsU p


Del diagrama en lazo cerrado obtenemos

80005004008.510

8000..

2p

pKss

KTF


Desde el punto de vista del error de estado estable, la planta con controlador en lazo abierto no tiene integradores, por lo tanto, presentará un error finito. Esto indica que con el control proporcional siempre habrá un offset.

Desde el punto de vista del controlador, porque el error no es cero?

Analizando el límite del error en el infinito


El error queda definido como:

Escogiendo un valor arbitrario de Kp=10.

598.1110

pee K

e

588.0eee


Haciendo zoom para apreciar el offset


Se observa que se cumple aproximadamente con los propósitos del control con altas ganancias. Por otro lado, en un instante de tiempo, el voltaje llega a ser de 100 volts, en donde el voltaje máximo es de 20 volts, para esto se dispone de un bloque de saturación para limitar la salida, tal y como sería en la realidad.


El control proporcional tiene una ventaja importante sobre el control todo o nada. Elimina la constante oscilación alrededor del valor de referencia. Con esto proporciona un control de la planta más preciso, y reduce el desgaste y rotura de actuadores mecánicos.

Pero la desventaja es que si la planta no posee integradores, siempre habrá un offset.


Proporcional + Integral

Este controlador es la suma de una acción proporcional y una integral. Se ha visto que la acción proporcional nos acerca al valor deseado, y la acción integral nos lleva exactamente al valor deseado.

Entonces para que combinar ambas acciones, y no sólo usar una acción integral?


Para ver las diferencias, se simula la planta con un integrador con ganancia de 10.


Se observa que la respuesta del integrador es relativamente lenta, es decir, se alcanza el estado estable muy lentamente. Además se presentan pequeñas oscilaciones que en algunas plantas no serian deseables.

Por otro lado, la respuesta proporcional, aunque sólo se acerca a la referencia, su respuesta es rápida y no presenta oscilaciones.


Es por eso que se combinan ambas acciones para tener los beneficios de una respuesta rápida sin oscilaciones de una acción proporcional y una respuesta que nos lleve exactamente al valor deseado de una acción integral.

A este controlador también se le conoce como: proporcional-reposicionador.


Esta acción se define como:

cuya función de transferencia es:

t

i

pp dtte

T

KteKtu

0

)()()(

)1

1()()(

sTK

sEsU

ip


en donde Ti es el tiempo integral. El inverso de Ti se conoce como velocidad de reajuste, la cual nos da la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control.

Diagrama a bloques del controlador PI


con Ti=0.1


Se aprecia una respuesta rápida sin oscilaciones y que alcanza el valor deseado.

Pero esto es el caso ideal, hay que agregar el efecto de los actuadores (transistores) agregando un elemento de saturación con límites de 20 y -20.


Proporcional + derivativo

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define

y la función de transferencia esdt

tdeTKteKtu dpp

)()()(

)1()()(

sTKsEsU

dp


Td es la constante de tiempo derivativo. La acción de control derivativa se le llama aveces como control de velocidad. Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de velocidad hace avanzar el efecto de la acción proporcional. La acción derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, pero amplifica las señales de ruido. Nunca se usa sola, y es útil sólo en los transistorios.


Para Td=0.5


Se observa que debido a que el error es en un inicio relativamente muy alto, el control, practicamente se dispara debido a la acción derivativa. Después el error decae suavemente, y el efecto derivativo decae también. Al final queda el efecto proporcional que sólo se aproxima a la referencia.

Agregando el efecto de saturación.


Se observa que se presenta prácticamente el mismo comportamiento anterior, sólo que con más transitorios notorios debidos a la acción derivativa.

PID

Proporcional + Integral + Derivativo

Aún cuando el control proporcional-integral es adecuado para la mayoría de las situaciones de control, no es adecuado para todas las situaciones. Hay algunos procesos que presentan problemas de control muy difíciles que no pueden manejarse con un control PI.

PID

Específicamente, hay dos características de procesos, para los cuales no es suficiente un PI:

• Cambios muy rápidos en la carga

• Retardos de tiempo grandes entre la aplicación de la acción correctora y el aparecimiento de los resultados de dicha acción en la variable medida.

PID

En los procesos en que se presente alguno de estos casos, la mejor solución puede ser un control PID.

Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales.

La ecuación de un PID está dada por:

dttde

TKdtteT

KteKtu dp

t

i

pp

)()()()(

0

PID

la función de transferencia es

y su diagrama a bloques es

)1

1()()(

sTsT

KsEsU

di

p

PID

Observamos que en general el control PID cumple con los objetivos deseados, aunque este se apreciaría mejor en un una planta con dinámicas de retardos y cambios rápidos.

A continuación se agrega el efecto de saturación del dispositivo corrector final.

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