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Abstraction des trajectoires
d'un système continu en un automate
temporisé
S3: Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets (25 mai 2004)
Application au diagnostic d'un procédé de digestion anaérobie
A. Hélias
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Plan de l’exposéContexte, objectifs
Formalisme
Discrétisation
Conclusions, perspectives
Cadre théorique
D’un système EDO à un automate temporisé
Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie
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Contexte (1)
UPR GREEN
Gestion des Déchets Organiques,Cirad-Tera Réunion
François Guerrin
Gestion des REssources renouvelables et de l’ENvironnement
Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement
Equipe Automatique,INRA Narbonne
Jean-Philippe Steyer
LBE-INRA
Projet Telemac (www.ercim.org/telemac)
Projet Comore contrôle et modélisation
de ressources renouvelables Olivier Bernard
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Contexte (2)Les effluents d’élevage
Elevages dans les « Hauts »
Cultures dans les « Bas »N:3100 T
N:7850 TN:6000 T
Importation
Cultures majoritaires
Elevages majoritaires
Zones mixtes
Zone non agricoles ou non étudiées
5
1 unité = 1 modèle
Modèle discret des possibilités d’épandages
Conduites des culturesRéglementation
stock stock
Approche
Discrétisation
Modèle continu
possible / impossible[début, fin] / avec une autre unité
Modèles dans le même formalisme
?model-checker
Autres Contextes
13 UP, 35 UC
n UP
1 UC…
Stock
Stock
Stock
Stock
UPn
UP2
UP1
UT
Approvisionnement d’unités de transformation d’effluent
Réseaux d’exploitations
43
porcs
volailles
maïs
c. à s. coupec. à s. replant.
friche/ exp.maraîchage
Scénario (1)
36
Temps(jours)
Objectif defertilisation
Absence detransfert
01porcs
volailles
maïs
c. à s. coupec. à s. replant.
friche/ exp.maraîchage
UP UC
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Partie continue modèle discret Formalisme : l’automate temporisé Procédure d’abstraction
Une modélisation continue/discrète
Domaine développé depuis 1990De nombreux formalismesFortes connexions entre les différentes approches
Permet la simulation mais limité au niveau de l’analyse
modulairedynamique générique
Les systèmes dynamiques hybrides
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Particularités
Modèles continus imprécis
Seuils par connaissance experte
Procédure « à la demande »
Utilisation d’intervalles
Etats qualitatifs du système
Selon la propriété à vérifier
Formalisme discret à temps continu
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Plan de l’exposéContexte, objectifs
Formalisme
Discrétisation
Conclusions, perspectives
Cadre théorique
D’un système EDO à un automate temporisé
Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie
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L’automate temporisé (Alur et Dill, 1994)
inv (X) inv (X)
garde reinit {X}
gardereinit {X}
Synchronisation Discontinuités par réinitialisation Associations de contraintes
a
s0 s1
b
1 2# | # |c c x x y # , , , ,
Les horloges :
Modularité : composition d’automates
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Exemple Gestion des horaires sur un lieu de travail :
a ; x 4h ; y 0
y 2h
b ; y 1h
s0 s1
s0 : Présence sur le lieu de
travails1 : Pause de la mi-journée
Au moins 4 heures de présence avant la pause
Entre 1 et 2 heures de pause
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Produit d’automates Deux personnes partent au même moment mais retournent sur le lieu de travail séparément
a ; x1 4 ; y1 0 a ; x2 4 ; y2 0
y1 2s1 s2
b ; y1 1
s3 s4
y2 2
c ; y2 1
Réalisé automatiquement
s1,s3 a ; x1 4 ; x2 4 ; y1 0 ; y2 0
s2,s4y1 2y2 2
s1,s4
s3,s2c ; y2 1
c ; y2 1 b ; y1 1
b ; y1 1
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Model-checking (TCTL)Système réel
Comportements du système
à vérifier
Modèle du système
Spécifications defonctionnement
Vérificationpar model-checking
Contre-exemple
Propriétévérifiée
Quand
Atteignabilité : depuis l’état de départ, le système peut-il atteindre un état vérifiant une propriété p1 ?
Réponse bornée : atteignabilité dans un temps contraint ? KRONOS (http://www-verimag.imag.fr/TEMPORISE/kronos/)
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Moments d’atteignabilité
Existence d’une horloge non réinitialisée dans l’automate
Résolution par programmation linéaire (min et max)
min f(x), max f(x) A.x b
-- Trace #1 -- < 0, X=Y>--- A_B --->< 1, 1<=X and X<=2 and X=Y>--- B_C --->< 2, 1<=X and Y<=3 and X=Y>
-- Trace #2 -- < 0, X=Y>--- --->< 2, Y<=3 and X=Y>
Kronos [-allpath -FULLDFS]...
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Plan de l’exposéContexte, objectifs
Formalisme
Discrétisation
Conclusions, perspectives
Cadre théorique
D’un système EDO à un automate temporisé
Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie
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Système continu
0 0
( , )
( )
f
t
0 0 0, ( ) ( ) ( )i i ii t t t
, , j j jt j t t t
Imprécisions sur les entrées et l’état initial
et définis de telle sorte que chaque enveloppe de chaque intervalle d’entrée soit affectée selon son influence sur la valeur des dérivées
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Double système
0 0
0 0
( , )
( )
( , )
( )
f
t
f
t
, , ( ) ( ) ( )i i it i t t t
t
i
Propriété
Coopérativité (Smith 1995)
Alternative : maillage
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Partition de l’espace d’état
1
3
2
1
3
2
l1,2
l1,3
l3,2
l2,3l2,2
l3,3
li,1
1
3
2
l1,2
l1,3
l3,2
l2,3l2,2
l3,3
li,1
Division de l’espace en cellules
Seuils sur les variables d’états
Etat discret : franchissement de seuil orienté
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Franchissement d’un seuil
maxxminx
"w" "v"s1 s2
- Sens de franchissement selon le signe des dérivées
- Date au plus tôt, garde de l’arc- Date au plus tard, invariant du sommet précédent
t
vi i
maxmin
i
t
v
ii
maxmin
i
" " si
" " si
min
min
v
v
vF
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Cas Particuliers
"v"
"0"
vx
vx
t
vi
i
v
0t
i
v
w
t
w
vi
i
vw
0t
i
v w
"v"
"0"
wx
"w"
vx w
x
vx
Premier franchissement de seuil
Deux seuils successifs
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Cas Particuliers
t
w
v
i
i
0t
i
v w
"v"
"0"
"w"
wx
vx
t
vi
i
0t
i
v
"0"
"v"wx
Non franchissement d’un seuil
Chaque enveloppe franchit un seuil différent
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Cas Particuliers
t
vii
0t
i
1v
2v
3v
1v
"v2"
1vx
"0"x
1v
"v1"
x 2v
3vx
x 2v
t
v
i
i
0t
i
v
"v"
"0"x t0
"v"x
v
t0x
vx
t0x
Plusieurs franchissements d’un même seuil
Espace d’état initial supérieur non compris dans une cellule
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Evolution du système dans deux dimensions
1
v
w2
i
i
1
v
w2
i i
1
v
w2
i i
w
x
v
x
"v,w"
"0,0"x v
x w
"v,0"x w
"0,w"x v
w
x
v
x "v"
"0"
x v
v
x
"0"
x w
w
x
"w"
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Continu DiscretPour chaque dimension
seuils franchissables à t0
Pour chaque borne
simulation
seuils franchissables
Sommets
sens
Propositions
instants
min Arcs et gardes
max Invariants
Produit des automates : A1 A2 … An
Automate temporisé de la dynamique continue imprécise
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temps(jours)
N total(kg)
volume(m3)
x 169
s4
x 243s2
x 132
x 267s3
x 154
x 206s1
"0"
"75"
"90"
"100"
Exemple: stock de lisier
10090
75
132154
169206
243267temps
(jours)
N total(kg)
volume(m3)
s2
x 141
x 162s1
"0"
"300"
162141
300
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Automate temporisé
s1,1
s2,1
s3,1
s4,1
s4,2
s2,2
s1,2
s3,2
"0,0 "
"100,300"
"90,300"
"75,300"
"0,300" "75,0"
"90,0"
"100,0"
x 162
x 162
x 162
x 162
x 206
x 243
x 267
x 132 x 141
x 141
x 141 x 154
x 169 x 141
x 132 x 154
x 169
x 169
s4
x 243s2
x 132
x 267s3
x 154
x 206s1
"0"
"75"
"90"
"100"
s2
x 141
x 162s1
"0"
"300"
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Plan de l’exposéContexte, objectifs
Formalisme
Discrétisation
Conclusions, perspectives
Cadre théorique
D’un système EDO à un automate temporisé
Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie
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La digestion anaérobie
Hyd
roly
se e
t A
cid
ogén
èse
Mét
han
ogén
èse
Acé
togé
nès
e
CH4+CO2 CH4
Acétate CO2+H2
bactériesméthanogènes
hydrogénophiles
bactériesméthanogènesacétoclastes
Macromolécules
Acides organiques, Alcools, ...
bactéries hydrolytiques hydrolyse enzymatique
bactéries acidogènes
bactéries homoacétogènes
Monomères
bactéries acétogènes
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Pilote du LBE-INRA
Echangeur de chaleur
Température
Systèmede
dilution
pH
Biogaz
Sortie
pH
Réacteur
en lit fixe
de 1 m3
Eaux usées
Eau
NaOH
Réchauffeur
Membrane d’UF Analyseur COT
Capteur titrimétrique(AT, AP, AGVtot, Bic)
SpectromètreInfraRouge
(DCOs, COT, AGVtot, AGVC3, AT, AP, CO2d)
TOC = 2.35
Spectromètre UV(DCOs, COT, AGVtot)
CH4/CO2
H2
Débitde gaz
Pression
Débit derecirculationDébit
d'alimentation
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Pilote du LBE-INRA
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Bernard et al, 2001 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 3 2 2
CO 4 1 1 5 2 2
in
in
in
in
X D X
X D X
S D S S k X
S D S S k X k X
Z D Z Z
C D C C q k X k X
2
2
2
6 2 COCO
T CO
k X Pq
P P
max
1
11 1
1 S
S
S K
max
2
22 2 2
22 S
i
S
SS K
K
Monod Haldane
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Simplifications les biomasses sont considérées constantes l’inhibition du taux de croissance de X2 par la production d’AGV n’est pas prise en compte
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 3 2 2
4 1 1 2 2
in
in
in
in P
S D S S k X
S D S S k X k X
Z D Z Z
C D C C k X k X
2
2
CO5 6
T COP
Pk k k
P P
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Coopérativité Jacobienne:
11 1
1
1 22 1 3 2
1 2
1 24 1 2
1 2
0 0 0
0 0
0 0 0
0P
D k XS
k X D k XS S
D
k X k X DS S
2CO 5
5 6T
P k
P k k
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Encadrement
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 3 2 2
4 1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 3 2 2
4 1 1 2 2
in
in
in
in P
in
in
in
in P
S D S S k X
S D S S k X k X
Z D Z Z
C D C C k X k X
S D S S k X
S D S S k X k X
Z D Z Z
C D C C k X k X
2
2
+1 2
6 2 2CO
1 2
6 2 2CO
DCO
DCO
C
Tgaz
T
C
Tgaz
T
S k S
Pq k X
P P
S k S
Pq k X
P P
![Page 33: Abstraction des trajectoires d'un système continu en un automate temporisé S 3 : Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070309/551d9dc0497959293b8e0b73/html5/thumbnails/33.jpg)
Seuils sur les variables
S1
0
S2
0 50 100normale élevée critique
Z0 100faible élevée
C0 75faible élevée
DCO0 2 10faible élevée critique5normale
qGaz0 200 400faible normal élevé
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Relations
DCO normale, S2 normale, et qGaz normal : fonctionnement normal du réacteur,
DCO faible : sous charge, une plus grande quantité de matière organique pourrait être traitée,
DCO élevée : le réacteur n’arrive pas à traiter l’ensemble de la matière organique, une pollution se retrouve en sortie,
DCO critique : une pollution importante se retrouve en sortie.
S2 normale : risque de surcharge organique très faible,
Z élevée et S2 élevée : risque de surcharge organique faible,
Z élevée et S2 critique : risque de surcharge organique,
Z faible et S2 élevée : risque de surcharge organique important,
Z faible et S2 critique : risque de surcharge organique très important.
qGaz faible : valorisation du biogaz peu importante,
C élevée et qGaz élevé : production de gaz normale,
C élevée et qGaz critique : production de gaz normale, difficulté possible lors de sa valorisation (la composition du biogaz risque d’être altérée),
C faible et qGaz élevé : production de gaz problématique, difficulté lors de sa valorisation (i.e., sa composition risque d’être modifiée),
C faible et qGaz critique : production de gaz problématique, risque important lors de sa valorisation.
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Prévision des entrées sur 4 jours
0 24 48 72 960
0.02
0.04
0.06
0.08
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10152025
0 24 48 72 9650
100
150
0 24 48 72 960
100
200
300
0 24 48 72 960
20
40
60
mm
ol eq
H+.
L-1
mm
ol eq
H+.
L-1
gD
CO
. L-
1
mm
ol eq
acé
tate.
L-1S1in S2in
Zin Cin
D
temps (h)
temps (h)
2
2
1
10.04 0,2 .0.04 0,3 .
CO
CO
D P mmol LD P mmol L
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Simulation
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10
25
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200
400
600
gD
CO
. L-
1
mm
ol.h
-1
0 24 48 72 960
75
200
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100
270
mm
ol eq
H+.
L-1
mm
ol eq
H+.
L-1
0 24 48 72 96050
100
250
0 24 48 72 960
3
6
9
12
gD
CO
. L-
1
mm
ol eq
acé
tate.
L-1
S1 S2
Z C
DCO qGaz
temps (h) temps (h)
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Vérification
DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?
Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions
2,0 5,0 6,0 2,1 2,2 5,2 5,3 6,2 6,30 l l l x l l l l l l
Exemple :118 atteignables
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Vérification
S1
0
S2
0 50 100normale élevée critique
Z0 100bas élevée
C0 75bas élevée
DCO0 2 10bas élevée critique5normale
qgaz
0 200 400bas normal élevée
2,1l
2,1l 2,2
l2,2l 2,3
l2,3l 2,4
l2,4l
3,1l
3,1l 3,2
l3,2l 3,3
l3,3l
4,1l
4,1l 4,2
l4,2l 4,3
l4,3l
5,1l
5,1l 5,2
l5,2l 5,3
l5,3l 5,4
l5,4l 5,5
l5,5l
6,1l
6,1l 6,2
l6,2l 6,3
l6,3l 6,4
l6,4l
![Page 39: Abstraction des trajectoires d'un système continu en un automate temporisé S 3 : Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070309/551d9dc0497959293b8e0b73/html5/thumbnails/39.jpg)
Vérification
DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?
Entre [24 49] et [84 96] heures
Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions
2,0 5,0 6,0 2,1 2,2 5,2 5,3 6,2 6,30 l l l x l l l l l l
Exemple :
Prévoir le fonctionnement du systèmes (avec prise en compte d’imprécisions)Opérations de maintenance à réaliser
118 atteignables
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Plan de l’exposéContexte, objectifs
Formalisme
Discrétisation
Conclusions, perspectives
Cadre théorique
D’un système EDO à un automate temporisé
Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie
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Système continu modèle discret
Prise en compte des imprécisions :plusieurs éléments (entrées, état initial) sont
estimés par des intervalles
que deux systèmes EDO extrémaux,
définition de seuils sur les variables d’état
connaissance experte,
états discrets : franchissements des seuils
construction automatique,
1 automate pour chaque dimension
produit des automates,
Partition de l’espace d’état :
« à la demande »
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Limites et perspectives
Limites :
le système oscille autour d’une valeur de seuil
le nombre de seuils définis est élevé (e.g.,
supérieur à la centaine)
approximations des instants de franchissement
Perspectives
modéliser les différents sous-systèmes du pilote
(e.g., système de régulation de la température,
bac de dilution en amont, capteurs…)
seuils flous
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Merci