abstract - mit.edu€¦ · abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 introduction !...

24
Abstract

Upload: others

Post on 19-Jul-2020

16 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

� ��������� �� ��� � � ��� �� ������

����������� �� ����� � ��� ����

�� ������∗ �� ���� ���†

�������� �� ����

������ �����

�������� ������ ����� ����

������� �� ��� ������

����� ������� ���� ���������� �� �����

Abstract

��� ������ �� � ����� �� ���� ��� ��� ������ ����� �� �� ���

��� � ������ ����� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ������� ���

����� ������ ���� �� ������� ���� ����� �� �� �� �� ������

��� � ������ �� �� �� ���� ��� ��� ���� � ����� ���� �� �����

������ ��� �� �� � ��� �� ���� �� ������ ����� ��� �� ��

���� �� ���� � ��� ���� � � ���� �� ����������� ��� ����

������ ��� � � �������� �� � �� �� �� �� ��� ���� �� �� ��� �

���� � �� ���� ��� ��������

∗������ ������� � � ���� �������� � ������ ���������†��� ���� ������ �� �� ��� � ������� ����� � !��� ������ "#$%&%' �������

()��* ������ ������ ���� ��+� ����� � ,���

Page 2: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

1 Introduction

� �������� �� ���!� �� ������� � ���� ����� �� ����"� �����������

����� � � ��� ���!!��!��� �����# ����$�! � �� �� ������� �����!��%

��� � � � ��������� ���� ������& ' � ����� �����(� �!���# ���%

������ � ��������"�� )� ����%������� � ����������� �� � �����# �!�#

�� !����# �� )� � � � ���� ����*�# ��(�� ��� �*����� )� � � ���� ������&

��� �!��� ��� )� ������ � ����� �� � � � ����� ����� �� ����

�� ������� ����������� �!�(��� �����& +�$� ��# � � ����� ��������!

��� �)�� �)�� � �����������# � ��� � � � ���� ��� �� �����!����� ����&

' � ������! �����!����� �� )� �������� ��� $�� ����� ���������

�*���� ��� ��� ����(� ����� ,�� � ���)�� ����� $�� �������

�����)���� �������-# � � ����� �������� �� � � ������! ����� )�����

��� �����������# �� ���� )� ��������� )� � ����� ���� ���)�)�����

�����& .� �)��� ��*���� �� �����# $ ��� � � �������! � ���� �����#

��������� � � � ���� �� � � ��������� β � $����� �

Pn(i|Cn, β) ,�-

$ ��� Cn � � � � ���� �� �� ������%��/�� n# i ∈ Cn � � � �������� �

���� ���������� �� β ∈ RK � � ����� �� ���������& ����! � ��

β � ������� �����)���� $�� �0� f(x)# � � ��*���� �� ����� � ��(��

)�

Pn(i|Cn) =

∫β

Pn(i|Cn, β)f(β)dβ. ,1-

� ��������# � � /���� � ���� ����� ,�- � ���� � ���������� ��!��

,�2�- �����# )�� �� ����� ���� ���)�)����� ����� ,�� � �������"��

�*����� 3���� �����- � ��������& ��� ��! ������� �)��� 45 ����

�!� ,�� ��� ����� �������� ��$�� ������ �������# �677-# � � �� ��

��*���� �� �2� ����� ,��2�- � ��� )����� ������� ���� �������

� �/ �� � � ������! ��$�� �� �������� ����$�! ��� � � �������� ��

�� ����%8���� �������� �� �����*����� � � ������* ����� ��������

�� � �� ����� ,��# ���! ��� �� ��# ������ )� ������� ��

'���# 1555# 9�%�/� � �� ��&# 155�# +� �� �� �����# 1554# '���# 1554#

3���# 155:-&

Page 3: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

' � ������! ������� � )�� ���� �� )� ��� ����� �� �������

��� ������* ����������� � �����# �� � � � ����� �� � � ����

�� ��� �� ���� ,�&!& ��!�� �� ��&# �66;# +�# 9�������� �� ����/# 155<#

����� �� ��&# 155=- �� �����)����� ,�&!& 9��$��� �� �����# 155<#

����� �� ��&# 155<-# ����� � ���� ,�� +� �� ��&# 155�# 9�/ �� �� ��&# 1551#

9�������� �� ���>�!��# 155<-# ������� � ���� ,+� �� ����/# 155<-# ������

� ���� ,8������# 1554-# � ���� � ���� ,9��$��� �� ��&# 1555# +�# '���

�� ����/# 155<-# �� ��!���� �����! ,9 �� �� 8������# 1551-&

� �������� ��� � � � � ���� �� � ����(� �����)���� ��� � � ��%

��� ���������& ��������# ����� ����� �� ������ � � ����������

� �� � ������������ � ���� �� � � �����)���� ��� ���� �� ����� )���

� ����� ������� �� � � � �������� ��� �� ����� ���������& �

������)�� �*����� � � � 2����� �����)����# ��� � � ������� ��� ���

����������& +�# 9�������� �� ����/ ,155<- ���� $��! ������������

�� $����!�%��%��� �������� $ � ����� �����)���� ��� ��������&

��!���� ,�� ������- ���/ �� ����� �����)���� �� ������� � �� �

)�� � ���� ��� ���� �� �*����� )���& +� �� �* ��� ,155<- � �

�*����� �$ $��� � $��� ��!� �� ���������� �����)���� �� �����%

���� !� � ���!�� �����)����# $ �� ��� ��������� �� ��?��� �����

������� �)��� ���� ������� � ������� ����� �����&

.� ��� ����������� � �� ��! ��� � � !����%��%(� �� �������

����� ��� �� ����$ �� �� ���� ���� ������� �)��� � � ������� ��

� � ����� ��������� �����)����& ' �������# $� ������ � ��� )���

� �������������� ,�2�- ��� ���� �� ������ �� � !� � �����)���� �

����������� �� ��&

' � ���� �������������� ����!�� � � ������ ��� �� �����

���� ����������# ����������� �� ������������� �����& ����������

����� ��� � � ������ ������� ����� �� ������# �&!&# � � �2� �� � �

��2� �����& �� ����(� � ����� �������� �� ������� � ��)�� ��

��������� �� ���� ��������� �� � � � ��� �� ������ �� ����� ��

� ����� ���������& � ����������� ����� � ��� ������ �������� ��

� )��� � ����� �����*������ �� ��� /�� �� � � ������� �� �� ����%

�� ��� �� � � � � �������� �� ���������& � ����� !����� ��������

�� ����������� ��� �� � ��!� �� @��� ,�666-& �*����� �� �%

1

Page 4: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

���������� ��� ���� � � ������� ����*� ��� ����������� ��!����

,��!����# �� ������- �� ����� ��!�� ,��!����# 155<�-& ��������������

����� ��� � �)��� )��$�� ���������� �� ����������� �����& ' ��

�������� ���������� ������� ��/� � � ����(����� �� ��� ������� ��

�� )� � ����� ���)����� �� �������� ����)�� $ ��� ��� �� � � �����

����� �����������& � ���)�� ������������� ����� ��� ������� � ����

���� � � � A��� �� ����� ,�664- ��������# $ �� � )�� ������� �

� � ������� ����*� )� +���$��" ,�664-# ��!���� ,155<)- �� ��!����

,�� ������-& ��������������� ����� ��� �� )��� � ����� �����*�%

����� )�� �� ����� ���� �����*������ �� �����*����� ������

�� � ������& �2� ��� �� $��� ��������� )� ������ �� 2�� /�

,�6;7-& � � � �����# $� ������ � ���� �����*������ �� �����*����� �

�/�$ ����� �� ��� ��� ������� � �������������� � �����&

� � � �*� �����# $� �����)� � � !����� ��� �����!�& � ������ 4#

$� ��������� � � ��$�� �� � � ��� � �� ���� ����# $ ��� � � B����C

�����)���� � ����(�� �� /�$ � �� ���& .� ��� ����� � � ���

� ���� ���� � ������ :# $ ��� $� ��������� ����� �� � �� � � ���

��>��� � � ����� �����)����# �� ����� $ ��� �� ��� ��& �����

�������! � ������ <# $� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� �2� ��� ��

)��� � ��!���� ��������� � � � ������*&

2 Methodology

.� $�� �� ��� �� � ����� ��������� ω �� � ������� � ���� ����� �����$

� � ������ ��������� �����)����& .� ��)�� � � ��� )�� �����)���� $��

80� F �� ����� f&

' � ���� �����)���� ��� )� ��D���� ���� F& .� ����� � � ���� 80�

)� G �� �� ����� )� g& .� �� ��$���� � � �����)���� G � ���� ��

F �

G(ω) = Q(F(ω)),

$ ��� Q � � ������ ������ ���� [0, 1] �� [0, 1]& � �� # Q � � 80�

��� � ��� ���� ����)�� � � � ��� ���� ��& .� �� ��D�������� � � ��

4

Page 5: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

�*��� � � ����� g �

g(ω) = q(F(ω))f(ω).

' � �*� ��� � �� �����*����� q � � �������������� �� ��&

�����$�! 9���� ,155<-# $� ��� Lk )� ��������� ��!���� ���������

,�� ������*-# $ �� ���� � ��� ������ )�� ��� ������ � � � ���

���� ��& 0�(�!

qN(x) = 1 +

N∑k=1

δkLk(x), ,4-

$� �����*����� q )�

q(x) ≈ 1

Kq2

N(x),

$ ���

K =

∫+∞−∞ q2

N(F(ω))f(ω)dω ,:-

� � ������"�! ����� �� � �� � � ����� g ���!���� �� �& ������!

qN !������� ����� ���# � � �� g � � �����& .� ���� � � δkLk(x) �2�

���� �� N � � � ��)�� �� �� ����&

9���� ,155<- �$ � �� �� ����� � � � ��� ���� �� �� )� ��%

���*������ � � � $��& ' � �����*������ � �� ���� ��� � ���� ���%

�& ��!���� ��������� � � � ������ � ��(���� $ �� � ��� ��

�������� � ���$���& ��� ��������� �� � � ��������� ��������� �

��/��� �� ������ ���)��� $�� ���������� � ��������# �� ��/� �� ���

�� ������� � � ������"�! �����& �����# ��(�! z = F(ω) � � ��

ω = F−1(z) �� dz = f(ω)dω# $� $���� ,:- �

K =

∫1

0

q2N(z)dz =

∫1

0

(1 +

N∑k=1

δkLk(x))2dx = 1 +

N∑k=1

δ2k,

� � ��� �������� )��! �)����� ���� � � ��� ��������� �� � � �������%

��& � !���� ���� �� ?�*�)����� � �)����� �� �����*����� g# ������� $�� �

���� ��)�� �� ����# �� ?�*�)����� �� )� !�������� ������� )� ����!

���� ����# �� ������&

:

Page 6: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

���� �$ � �� β � � ��������� �� � ������� � ���� �����& ' �

���)�)����� ��� �������� � i �� )� � �� � � ���� �� C � !� � )�

Pn(i|Cn) =

∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)g(β)dβ,

$ ��� Pn(i|β, Cn) � � ����� ���� �����# �� � � � �������"�� �*�����

3���� ����� ,�������# �67;-& ' �#

Pn(i|Cn) ≈ 1

K

∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)q2

N(F(β))f(β)dβ

=1

K

∫1

0

Pn(i|F−1(z), Cn)q2N(z)dz,

$ ���# �!��# z = F(β)& ' � ���!��� � �����*������ )� ����%8����

��������# �� � � ���� F−1(z) �������� �� � � ���$ �� � � )�� ��%

���)����&

2�$# ���� � � ��� ���� �� � �� � � )�� �����)���� � � � ����

�����)����# $� � � f = g# $ �� ������ � �� q � ���������� � �� � �

� �� δk = 0# ��� ��� k � ,4-& ' � � � �����

Pn(i|Cn) =

∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)g(β)dβ, ,<-

� ���� ���� �� � � �����

Pn(i|Cn) =

∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)f(β)dβ. ,=-

9� ���������# ����� ,=- � � ������ ��� �� ����� ,<- $ ��� ���

������� ,�*���� � � �����- �� � � ��������� �����*������ �� q

��� �� �� 5& 8��������# � ��/��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ��

� ����������� �� ��� � � ��� ���� ��& �� LU � � � ��!��/��� ��� ��

� � ����� $�� ����� ,<-# �� LR � � � ��!��/��� ��� �� � � ����� $��

����� ,=-# � �# ���� H0 : f = g# � � ��/��� ��� ����� �������

−2(LR − LU)

<

Page 7: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

� χ2 �����)���� $�� N ��!��� �� �������# $ ��� N � � � ��)�� ��

���� �������� � � � ��������� �����*������&

2��� � �� � � ��)�� �� �2� ���� ��� )� � �� � �� ���& �%

�����! � � ��)�� �� �2� ���� ��/� � � �������� � ���� �� ����

!����� )�� ��� ������ � � ����� � � � ����& ��� �*������� ��������

����� � � � ����� �!!�� � �� 1 �� 4 �2� ���� !� � � ���!� ��!��� ��

?�*�)�����# $ �� ��� )� ����� ��� ��� ������# $ ��� � �2� ���� �

�� ��$�� ����� �� ��>��� � ���� ��� ���� ��&

3 Simulation study

.� (�� ��������� � � ������ � ���%�������� ����# � ����� �� ������

� � ��$�� ,� �� �# � � �)����� �� ��>��� ���� ���� ��- �� � � �"� ,� ��

�# � � ���� �� $ �� ���� ���� �� ��� ��>�����- �� � � ���& 9� ���%

�������� ����# $� ��� � �� $� � � ��� � �*���! ����)��# ��

��������� ����� ��������� $�� � �������(�� B����C ����� �� !������

�������� � ����&

' � ���� ���� � ���� � ����� � ���� �*�������# $ �� � ���� �� � �

0�� ���� �� ���� ����& ���� ���! ���������� ��� � � ���� ���

�������� � 9��!� �� ��& ,155:-& .� � � ������� � ����� � ���� �*�������

������! � ����� ���� )� )�& ' � �*��������� ���! � ������������

����� � �� �! ��� �% � ���� ��� �� ���� �� ���& 9� ���!# � � �����

�� ��� �� ���� ��D����� ��!� )��$�� � �� 155 0AA ��� ��� ,� �@�

≈ 7&< 0AA-&

��� ������� ���� 6 � ����# �� �� $ �� $� ��$�� � ��������

� ���� ������� � � � ��/ � �������& ������� $ � ������ ��

� ��� � � ������ �������� � $��� �*������ ���� � � �����& �� $���

��� ������ � �����& ' � ��� � �575 ������� $ � ������� ��� �

� ���!� �� 7&7 �%�������� � ���� ��� &

' � ���� ����� � ����(�� � � )���� ����� )��� � � � �����$�!

��� � ������- �� � ���� + �� � ���� � ���� ��� �� ��.�. � ����. ��� �

��� � �� � �� ��������� �� �� � �� ������� ��� � �. � ��� �� ���� �

=

Page 8: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

������� ������E

Ujnt = βTn''jnt + βC'8jnt + εjnt ,7-

$ ��� Ujnt � � � ������� �������� $�� �������� � j )� ��� ����� n ���

������ ��)�� t# βTn � � ����� ���Æ���� �����)���� ���� ��� ��%

���# βC � (*�� �� εjnt ��� �&�&�& �*����� ���� �����)����# � � ��

Pn(i|Cn = {i, j}, βTn) =∏

t

Pnt(i|Cn, βTn)

��

Pnt(i|Cn, βTn) = ��(Uint ≥ Ujnt) =eβTn��int+βC��int∑

k=i,j eβTn��knt+βC��knt

.

' � �������� � ���� $��� !������� ��! � ��� ������� �� %5&4

�� ���� ������� �����$�! ��� �� � ����� �� � ��!����� �����)����&

' �� �$� �����)���� $��� � �� �� � � � � ��� ��� �� ������

�� ��� �� � ��� �� $�� � � � ��!� �� ����%��� �����%�D � � � ����&

���� ����(�����# $�� ��� � 0AA �� ���� � �����# � � ����� ��%

���)���� �� ��� 5&< �� ������ �� ����� 5&1# $ ��� � � ��!�����

�����)���� �� ��� %� �� ������ �� ����� 5&= � � � �������!

����� �����)����&

� ����� �� �55 ���� �� � � )�� !������� ��� ��� B����C �����& .�

� � ������� � � ��� ��! �� �2� ����& .� � � ����� �$� ��� �%

��� ��E ,�- � � ���� �����)���� � ����� �� ,��- � � ���� �����)����

� ��!�����& ' � �������� � � )�� ���������� $�� �������� ��*�%

��� ��/��� ���# ��! � ����� �� <55 +���� ���$& ' � ��)�� �� ��>�����

����� � �������� � '�)�� �& �� � � 6<F �� �� �� ��(����# � � ���

���� �� � �� � � ���� �����)���� �� βT � ����� � ,������- ��>�����

6F �� � � ���� $�� � � (�� �����# �� ,���������- ��>����� �55F �� � �

���� $�� � � ���� �����& ' � ��� ���� �� � �� � � ���� �����)�%

��� �� βT � ��!����� � ,���������- ��>����� 66F �� � � ���� $�� � �

(�� �����# �� ,������- ��>����� <F �� � � ���� $�� � � ���� �����&

�/�� ��������� �� ����� � �� �� 01 2����� 3&&%4� �� �� �� �.����+� ��� ��

������ �� � �� ���

7

Page 9: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

H0

2����� ��!�����

6<F '��� ���E 2����� 6 66

'��� ���E ��!����� �55 <

66F '��� ���E 2����� � 7;

'��� ���E ��!����� ;; 5

'�)�� �E ��������� ����E ��)�� �� ��>����� $�� � �2� ����

.� ����"� � �� ����� � ���� ������ � ��!��� � �� 1# $ ���

� � �������� � �����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ������� � �������� ���

� � 4 × 100 �*�������& ��!��� � ������ � � ����� ��� ����! � � ���

���� �� � �� � � ���� �����)���� � � ����� ,���������! �� � � (��

����� � '�)�� �-# �� ��!��� 1 ������ � � ����� ��� ����! � � ���

���� �� � �� � � ���� �����)���� � � ��!�����& ' � � �� ��� ���

� � 6<F ��� � �$ ,4&;:# ���� � � χ2 �����)���� $�� �� ��!��� ��

�������-# � $��� � � � 66F ,=&=4-& �� � � 66F �� �� �� ��(����# � �

��)�� �� ���� ��>����� ����# � $��� � � � ��)�� �� ������� ��>�����#

� �������� � '�)�� �&

��� ��! )�� � � ��$�� �� � � �"� �� � � ��� ��� ��� !��� $ �

>�� �� �2� ���� � ���# $� � � ��� ������� � � ��� $�� �$� �2�

����& ' � ����� ��� �������� � '�)�� 1&

H0

2����� ��!�����

6<F '��� ���E 2����� 6 �55

'��� ���E ��!����� �55 4

66F '��� ���E 2����� : 66

'��� ���E ��!����� �55 5

'�)�� 1E ��������� ����E ��)�� �� ��>����� $�� 1 �2� ����

' � ��� ��� �� ������� ��� $��� � � �� ����������& ' � ��$��

�� � � ��� � ��� �! # ����$�! � �� ��>��� � ��� ���!� ��������� ��

���� ���# � � �� � � 66F �� �� �� ��(����& ' � ������ �"� ��� ��

;

Page 10: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

���

���

���

���

���

���

��

��

���

� � �� �� ��

��� ���

��� ������ ��� ���������

��!��� �E 0����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ��� �55 �*������� ����

H0GB���� �����C

��D�� ���� � � ����� �"� � )�� ��������& 8��������# �� ��� )�

����������� �� ������ � � �������� ���� � ��������&

4 Case study

.� �$ ����� � � ��� �� � � ���� ���� ��# ��! �!�� � � ����� ����(��%

��� ,7-& .� ��� � � ����� $�� �� �2� ����# $ ��� � � )�� �����)����

�� βT � � �����& ' � ����� �� � � �$� �������� ��� �������� � '�)�� 4&

' � ��/��� ��� ����� ,��- ��� �

−2(−4153.57 + 4150.14) = 6.86

�� � � H0 ���� �� � �� βT �����$ � ����� �����)���� �� )� ��>�����

�� � � 66F �� �� �� ��(����& 2��� � �� � � ���Æ���� δ1 �� � � �2� ����

� �!�(����� ��D���� ���� 5& � ���� �������� �� � � �������� ��%

���� �� � � ����� � � � (�� ����� �� �� g � � � ���� �$ �$� ��

� �� � �� ���/ ����� ������ ,�� ��!��� 4-& ����� ��# � � �������� 3''�

6

Page 11: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

���

���

���

���

���

���

��

��

���

� � �� �� ��

��� ���

��� ������ ��� ���������

��!��� 1E 0����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ��� �55 �*������� ����

H0GB���� ��!�����C

��� ����� ������& ' � �$ � �� ������� ��� ��� )� �������! � � �

����*�# �� � �� � ������ ��/��� ��� ����� ��� � ������&

βT ∼ f(x) = N(μ, σ2) βT ∼ g(x)

L = %:�<4&<7 %:�<5&�:

����& ���&���& t%��� ����& ���&���& t% ����

βC %5&4= 5&5� %1<&� %5&4< 5&5� %1<&4

μ(βT) 5&54 5&5� �&6 %5&�< 5&5= %1&7

σ(βT) 5&4: 5&5� 1:&: 5&4; 5&51 �=&1

δ1 5&1< 5&5; 4&4

3''� ,0AAH - 1<&44 1<&:6

'�)�� 4E '���! � ����� �����)����

.� �$ ��� � � ����� $�� �� �2� ����# $ ��� � � )�� �����)����

�� βT � ��!�����& ' � ����� �� � � �$� �������� ��� �������� �

'�)�� :&

�5

Page 12: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

���

���

���

���

���

�� ��� � �� �

g f ∼ N(0.03, 0.342)

��!��� 4E 8������� �� f �� g# f �����

' � �� ��� �

−2(−4304.32 + 4302.94) = 2.76

�� � � H0 ���� �� � �� βT �����$ � ��!����� �����)���� ���� )�

��>����� �� � � 6<F �� �� �� ��(���� �� �� � � �� � � ;<F �� ��& �

���� �������� �� � � ������ �� � � ��!����� � � � (�� ����� ��

�� g � � � ���� �$ � ��)�� ��D����� ,�� ��!��� : �� <-# �� � �

3''� � �)��� � � ��� $�� � � �$� �����& +�$� ��# � � δ1 ���������

�� � � ��!���� ��������� ������ �� )� �!�(����� ��D���� ���� "���#

$ �� ������� � �� � � ��� ����� )� ����"�� � ���� ������&

8��������# $� � � ��������� � � ��� $�� 1 �� 4 �2� ����& ' �

����� ��� ������� � '�)�� <# $ ��� $� ����� )� gN � � �����)���� �)%

����� $�� N �2� ����& .� �)��� � ���!� ����� ���� � � � ��/��� ���

$ � � ���� �2� ���� � �����& ���# � � � ���!� 3''� �!�(�����

� �!� )��$�� � � ����� $�� �� �� � � ����� $�� �$� ����& ' �

��/��� ��� ����� ��� ��� � � ����� $�� �$� ���� � � � ��������� �

−2(−4304.32 + 4263.57) = 81.50

��

Page 13: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

�(βT) ∼ f(x) = N(μ, σ2) βT ∼ g(x)

L = %:45:&41 %:451&6:

����& ���&���& t%��� ����& ���&���& t% ����

βC %5&:< 5&5� %4;&4 %5&:< 5&51 %1;&7

μ(βT) %1&<1 5&5< %:=&; %1&61 5&5= %:=&<

σ(βT) �&:4 5&5< 45&= �&<5 5&5: 4=&;

δ1 5&�: 5&5: 4&4

3''� ,0AAH - 45&:; 41&�4

'�)�� :E '���! � ��!����� �����)����

$ �� � ��� )���� � � <&66 � �� ��� �� � � 6<F �� ��# �� � � ��� )�%

��� � � 6&1� � �� ��� �� � � 66F �� ��& ' �������# $� ������� ��>��� � �

��!����� � � � ���& � ���� �������� ,��!��� = �� 7- ���������

$��� � � ���� �� � � ��>�����&

� � (�� ��� � � � �*�����# $� ��� ��"� � � ���� � �� � � ��/��� ���

$�� � � ����� �����)���� � ��� )����� � � $�� � � ��!�����# � �

� ��! � � ����� �����)���� � ��� ��>�����&

' � �!!�� � �� � � ����� ��! � )� ������(��& ' �������# $� �$

������� � ��D���� ����� ����(����� � � � ��� ���� ��& ' � ���� �

�� ������ � ����� � � � 3''� ����# � �!!���� )� '��� �� .��/

,155<-& ' � �����# ������� )� ��!���� ,�� ������-# � ��(�� �

ynt = 1

(βn < �

C2nt − C1nt

T1nt − T2nt

+ ηnt

).

�� �� )� $����� � � ������� )���� ����� ������� �����# $��

U1nt = λ � C2nt−C1nt

T1nt−T2nt+ ε1nt

U2nt = λβn + ε2nt

$ ��� �� � ����� $�� ��� �� �� !�������� � �� � � �������� � ���

��)���� �� � �� T1nt > T2nt ��� ��� �)�� ����& ���# $� ���� � ��

� ��� � � �������� �������� �# � �� � C1nt < C2nt# ��� ��� �)�� ����#

� � �� � � ��!���� �� � � ��!���� � � ��$�� ����� �& ' � �/�$

��������� βn � ���������� � � � ��!���� � �� � � 3���� �� '�� �� '���

�� �! �� ��� ����� n# �� λ � � ���� ���������&

�1

Page 14: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

��

� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��

g� (f) ∼ N(−2.92, 1.502)

��!��� :E 8������� �� f �� g# f ��!�����

.� ��� � � ����� $�� ��# �$� �� � ��� �2� ����# $ ��� � � )��

�����)���� ��� βn � �����& ' � ����� ��� �������� � '�)�� =& 2���

� �� � � ���� �� � � ��/��� ��� �)����� $�� � � �$ ����(����� ���

��� )����� � � � �� �)����� ��� �����&

���/�! �� � � ����� $�� �� �2� ����# � � ��/��� ��� ����� �������

−2(−3732.04 + 3730.01) = 4.06

$ �� � >�� �)� � � � 4&;: � �� ��� �� � � 6<F# ������! � $��/ ��>��%

���& �?���! ��! ��� � � �� �� �� 6=F !� � � � �� ��� �� :&11 $ �� �

�� ���� ��& ���� � � ������� �� � � �������� ���� � ������ 4#

$� ������ �� �� ��>��� � � ����� )��� � � � ���& .� ���� � � ���

������� $�� � � ����� $�� 1 �2� ����# $ ��� � � ��� ������� �

−2(−3732.04 + 3728.83) = 6.42

$ �� � >�� �)� � � � <&66 � �� ��� �� � � 6<F �� ��# )�� ��� �� ����

� � =&:: � �� ��� �� � � 6=F �� ��& ������# � � ��� $�� � ��� �2� ����

!� �

−2(−3732.04 + 3727.79) = 8.50

�4

Page 15: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

��

� ����� ���� ����� ����

g� (f) ∼ N(−2.92, 1.502)

��!��� <E 8������� �� f �� g# f ��!����� ,"���-

$ �� � >�� �)� � � � 7&;� � �� ��� �� � � 6<F �� ��# �� ���� � �

;&6< � �� ��� �� � � 67F �� ��& ' �������# � � $�� ���� ����# � � ���

�!!�� �� �� ��>��� � � ����� �����)���� � � � �����&

5 Conclusion

.� � � ������� � ��� �� )��� � � �������������� ,�2�- ���%

�(����� �� ��� �� � ����� ��������� �� � ������� � ���� ����� �����

�����$ � !� � �����)����&

' � �������� ���� �$ � �� � � ��� � $��� �)�� �� ����������

)��$�� ����� �� ��!����� $�� � �2� ���� ���& �� ��� �!!��

� �� �� � !��� �������� �� ���/ ��� � ��! ��� �! �� ��!��/��� ��� ��D�����

)����� ��>����! � �����)����&

.� � � ���������� � � ���������� �� � � ��� � �$� ��� �����&

� ��������� ����# $� ��>��� � � ����� $�� � �2� ����& ' � ��!�����

� �� ��>����� $�� � ���� )�� �� � ������� ��>����� $�� �$� ����& �� $�

������� � �� �� � !������� �����)�� �� ������ �$� �� � ��� �2� ���� �

����� �� ��� � � )�� �����)���� �!��� � �������� � � �� � � !�����

�:

Page 16: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

��

��

��

��

��

��

��

� ��� �� ��� ��

�(f) ∼ N(−2.52, 1.432)g1

g2

g3

��!��� =E 8������� �� f# g1# g2 �� g3# f ��!�����

� ���)��& ' ��� ��� ���� �� �������� � $ �� ��� �� �������� $��

>�� � �2� ����& +�$� ��# � ��� ��� �� )� ������ ���� � ��! ����

� � 1 �� 4 �2� ����&

' � (�� ��� ���� �$�� � �� � � �!�(��� ����� ���� � � �

��/��� ��� $�� � � ����� $�� � ����� �����)���� � �� ����� ��

������ � � �����)����# $ �� $� �������� ��>����� )� � � ���& �� $�

��� �� � ����� �� ����� ������(�����# $ �� ���� ��� � � ����� �

3''� ���� ����"�� � � � ���� ��� ����# � �!!���� )� ��!����

,�� ������-&

� � � ���# � � ��/��� ��� � ������������ ����� �� ������ � �� ��� ���%

��� �����& ��� ��� ��� $�� �# 1 �� 4 �2� ����# $� !�� � $��/

��>����� �� � � ����� ��! � � ����� ��� �� �� �� 6<F& �� $� �?���

� � �� �� ��! ��� � �!!���� )� � � �������� ����# $� ������� � �� � �

����� �����)���� ���� )� ��>����� ��� β# � � ��!���� � �� � � 3''�&

� ������# � � ��� $��/ $��� � �������� ����# �� $� � � �$

� ������� ���������� �� � � ��� �� ���� ����& �� �� ��>��� )�� �����

��# )� ������! ���� ���� ��� ?�*�)�����# �$ �$ � ���������� �����%

)���� ��� ����& �� $� )���� � � �� �� � � ��� ��$����� ���� ��� �������

�<

Page 17: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

��

��

��

��

��

��

��

� ���� ��� ���� ���

�(f) ∼ N(−2.52, 1.432)g1

g2

g3

��!��� 7E 8������� �� f# g1# g2 �� g3# f ��!����� ,"���-

����������&

� � � ������# �� $���� )� �������! �� ����� � � ��� ��� ���� � �

�� ����� ���������& � ����� ������� $���� ���� � ����! ���

��������� ����������& ' � ��)��� �� � � ������� ��� )� ��%

��"�� )�� � � � ��� �� �������� �� ���������� ����� ���������&

���# � � ��������� �� �� ����� ������ ��������� �����*������ ����

)� ����&

2��� � �� �� �� �� �� � � ����� ��� ���)��& 2�����# �� �� �����

� � �2� �*���� �� ��� )�� �����)���� � � $�� �� !������! � ���!��

����� �� ��� $�� !������ ?�*�)����� ����$�� ��� � � ��*�! �����)����&

� � � ����� �"� �� � � ��)�� �� �2� ���� ��� �� �(���# ��

����� ��� � �� � � ����� $���� )� ����)�� �� �����*�����! �� ����

��*�! �����)����& �����(����� �� ������� �� � � ��������� � � �

�)>��� �� �!��! ������ & 2��� �$� �� � �� � � ����� �D )��$�� �����

?�*�)����� �� ���� � ��(���! ��� ��$�� )� �������� )� � � �����&

�=

Page 18: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

A Appendix: Legendre polynomials

' � ��!���� ��������� L̂n(x) ��� ��(�� )�

L̂n(x) =

M∑m=0

(−1)m (2n − 2m)!

2nm!(n − m)!(n − 2m)!xn−2m

$ ��� M = n/2 �� M = (n − 1)/2# $ �� � �� � � ���!��& ' �� �� ���

)� ��(�� ������ ���#

L̂n(x) = ((2n − 1)xL̂n−1(x) − (n − 1)L̂n−2(x))/n,

$ ��� L̂0(x) = 1 �� L̂1(x) = x ,�� �)����$��" �� ���!�# �671# � ��&

; �� 11-& ' �� ��� ��� �!��� � [−1, 1] � � � �� � ��∫1

−1

L̂m(x)L̂n(x)dx = 0 �� m �= n.

� ��� ����*�# �� � ���� ����������� ��� � � ��������� �� )� ��� �!���

� [0, 1]# � � � ��!���� ��� ��(�� )� � 80�& ' �������# 9���� ,155<-

������ � � �����$�! �����������E

Ln(x) =√

2n + 1L̂n(2x − 1)

� � �� � �� ��� ��� ������ � [0, 1]# � �� �∫1

0

Lm(x)Ln(x)dx =

{0 �� m �= n

1 �� m = n.

' � ������ � ��(���� �� � �� ��������� ��������� � !� � )�

Ln(x) =

√4n2 − 1

n(2x − 1)Ln−1(x) −

(n − 1)√

2n + 1

n√

2n − 3Ln−2(x).

' � (�� ��������� ���

L0(x) = 1

L1(x) =√

3(2x − 1)

L2(x) =√

5(6x2 − 6x + 1)

L3(x) =√

7(20x3 − 30x2 + 12x − 1).

�7

Page 19: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

References

�)����$��"# �& �� ���!�# �& �& ,��- ,�671-& ������� �� ���������

���� ��������� ���� ��������� ������� ��� ������������ �����#

6� ��# 0� ��# 2�$ I��/&

��!��# �&# 9��!����# �&# 0� �)��!# �& �� 0����# J& ,�66;-&

��*�� ��!�� �������� �� � � ���� �� ��� �� ����# ��������

������ �!!"#�# @����� % $��/�! ����� ����& � ����)�� ��

���EHH����&�����&��!H�H�� H������H�66;�<& ���&

9�/ ��# �&# 9�%�/� �# �& �� �����!# �& �& ,1551-& ��������� �� ��!��

/���� �� ����� � ���� �������# ������������� �������� ������

1805E 7;K;<&

9�%�/� �# �&# 9�����# 0& �� .��/��# J& ,155�-& �����(�����# �����(��%

���# �� �������� �� � � ��!�� /���� ,�� ������� ��*�� ��!��-

�����# �������� ������# 0�������� �� 8� �� �!�����!# ��'#

8��)���!�# ��&

9 ��# 8& �& �� 8������# �& ,1551-& � ��(�� ��*�� ��!�� �����$��/

��� ������! �� ����� �� ����� ���������E ���������� �� �����%

����� �� ��!���� �����! ����� � � � �� ������� 9�� ����#

������������� �������� 36BE <64K=�=&

9����# +& J& ,155<-& ����%����������� ������! �� ������ � � �

��� ���� ��# $�� ���������� �� ������ ��*�� ����������� �"���

����� �� ������� ���)�)����� �����E �����(����� �� �������

�����# $���������� %�����& '���� (��)����&

9��������# �& �� ���>�!��# �& ,155<-& ����� � ���� ����� $�� �)���

�������# *��������)� �� ��� �� %���� ������������� ��������

(���������& $$$&���&� &

9��$���# 0&# 9�� # 0& �� '���# A& ,1555-& J��� ��*�� ��!�� �����

�� ����� �� �� ����� ��������� ��� �������� �%���� � ����# �����

��������� �������� *��� + 34E 4�<K44;&

�;

Page 20: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

9��$���# 0& �� �����# A& ,155<-& 3����! ���� �� �����)�����E ��%

�! � � � ����� ���� ���� �����! ����������# �������������

�������� *��� , 39,:-E 176K164&

9��!�# �&# �� �# 8&# 3�/# �& �� 9���# J& ,155:-& �� ��$ �� �����%

����� �*������� � 3�' ���� ���!# *��������)� �� ��� $�������

�������� (���������&

8������# �& ,1554-& �������) ,������ *�����)�� (�����# *�����)�� *����

������ ��� %������� �� ��� *�����)�� ���)���-���������� %������

��� .*�-%/# � 0 � ��# ���� ���� ������� �� '�� ���!�&

0����/# J& �& ,155�-& �0# ,� ��1������������ �����0 2��)��)�# '��%

)����/� 8������ ���# ����&

�������� ��$�� ������ ������� ,�677-& ��� �����!� ��� ��������! � �

����� ��� �$ �����������%��! !���# ����� ������3 *��1��� 4""��

$,�!5# �������� ��$�� ������ �������# ���� ����# 8�&

��!����# �& ,155<�-& �����(����� �� � ����� �� ������ � � ���� ��

��� �� ���� � �!# $������� �������� (���������&

��!����# �& ,155<)-& @�� ����� ��������� �� � � ���� �� ��� �� ����

� �!# $������� �������� (���������&

��!����# �& ,�� ������-& � ���!���! � � �����)���� �� � � ���� ��

��� �� ���� � �!# ������������� �������� *��� + &

������# �& �& �� 2�� /�# 0& .& ,�6;7-& ����%����������� ��*����

��/��� ��� ��������# $����������� 55,1-E 4=4K465&

�����# .& +&# +� ��# 0& �& �� ���# J& ,155=-& �������! ��� ��%

���!����� � � � ������ �� ��)�� �� �D��� � ��*�� ��!�� �����#

������������� �������� *��� + 40,�-E 7<K61&

+�# 9&# ��!��# �& �� �!���# �& ,155�-& �����������! ��� ��L ����

������� �� �������� � ���� ���������� � ����� � ���� ������! )�

��! � � ��*�� ��!�� �����# "�� ,����� ������) �� ��� �����

��������� �������� +����&

�6

Page 21: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

+� ��# 0& �� �����# .& ,1554-& ' � ��*�� ��!�� �����E � � ���� ��

��������# ������������� 30,1-E �44K�7=&

+�# �& �� �* ���# A& .& ,155<-& 0����)������ ������� � � �

����������� �� ����� ���� �����!�����# *��������)� �� ��� ��

%���� ������������� �������� (���������& $$$&���&� &

+�# �&# 9��������# �& �� ����/# J& ,155<-& �������� �� ���� �� ��� ��%

���� � �! ��! ��*�� ��!�� �����# ������������� �������� *���

, 39,4-E 11�K14=&

+�# �& �� ����/# J& ,155<-& ��*�� ��!�� �������! �� ������� � ����

� �����%������� ��!��# 6������ �� ,�� �������� ����)�����

11,1-E <6K=;&

+�# �&# '���# A& �� ����/# J& ,155<-& � � � �� �� ����(�� ���� ����%

��)� �����! ,��+�- ��� �� � � � �������� �� ��*�� ��!�� �����

��� � ���� � ����# ������������� �������� *��� , & ���� ����!#

�������� ��� ��)�������&

+���$��"# J& ,�664-& �������������� �������� �� � $��/ ���� ���� � ����

�����# 6������ �� $����������� 58E :6K75&

A���# �& �� �����# �& ,�664-& � ����� ������������� �������� ���

)���� ����� �����# $����������� 61,1-E 4;7K:11&

�������# 0& ,�67;-& �������! � � � ���� �� ��������� �������# �� �&

A������� �� ��3 ,��&-# %������ ����������� �����& ��� ����������� ���

������# 2��� %+�����# ��������# ��& 7<K6=&

�������# 0& �� '���# A& ,1555-& ��*�� �2� ����� ��� ������� ��%

���# 6������ �� ,������ $����������� 15,<-E ::7K:75&

��!�# �& �� @��� # �& ,�666-& 7������������ $�����������# 8��%

)���!� @� ����� ���&

�����# A& �&# .���# 8& �� I�# J& ,155<-& @�� ���! � � �����)����

�� �������L ��������� ��� ��� �� ���� �� �����)�����# $�����������

73,:-E �4=7K�4;1&

15

Page 22: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

'���# A& ,1554-& -������� (����� ������� ���� %���������# 8��)���!�

@� ����� ���& ���EHH����)&)��/����&���H)��/H� ����& ���&

'���# A& �� .��/# �& ,155<-& 0������ � ���� ����� � ���������

���� �� $����!�%��%��� ����# �� �& ������ �� �& ��)����

,��-# ,����������� �� ���������� ������� �� ��8���������� ���

�������� ���������# ' � ������� �� 2�%���/�� ���� �� ��%

�����# ����!��# ��& �K�=&

3���# �& �& ,155:-& .��� ��*�� ��!�� � �!� ��)� ������� �������M#

6������ �� �������� $�������� ��� *����& 38,4-E :54K:14&

1�

Page 23: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

��

(βT)

∼f(

x)

=N

(μ,σ

2)

βT

∼g

1(x

T∼

g2(x

T∼

g3(x

)

L�

��� ���!

��� !�"�

��!#��$%

��!#��!"

& ���

' ������

� �

& ���

' ������

� �

& ���

' ������

� �

& ���

' ������

� �

βC

� ��$

� (

��)��

� ��$

� !

�!)�%

� ��$

� (

��)�$

� ��$

� (

����"�

μ(β

T)

�!�$!

� $

��#�)

�!�"!

� #

��#�$

���!$

� �

�)#�"

���(#

� �

�"!�!)

σ(β

T)

(���

� $

� �#

(�$

� �

�#�)

(�!"

� !

$(�%

(�!#

� !

#��)

δ1

�(�

� �

���

� � %

� $

�(�$!

� � !

� )

� �("

δ2

(�!

�!$

��%#

(�!"

��!

�� %

δ3

� �(!

�(�

� �"!

*��'+,--.�/

� ��)

�!�(�

$!�)$

�#�$#

01�2���

!�%#

)(�$

)!� #

01�2��� (

%)�%�

%"��

01�2��� !

�$#

'�)��<E'���!���!����������)����$�� ����� �������

11

Page 24: Abstract - mit.edu€¦ · Abstract ∗ † ! "#$%&%' () * + , 1 Introduction ! " !!! # $ ! ! %

β∼

f(x)

=N

(μ,σ

2)

β∼

g1(x

∼g

2(x

∼g

3(x

)

L�

��%�!� �

��%� � (

��%!)�)�

��%!%�%"

& �

' ������

t� �

& �

' ������

t� �

& �

' ������

t� �

& �

' ������

t� �

λ

(�)

�(

���#

(�)

�(

���#

(�)

�(

���$

(�)

�(

���$

μ

�!�$

�(

�!)�$

�(�!

��

�!�"

�!

�%

�!

�(�

�#

�(�)

σ

�!�

�(

�!$�%

�!�!

�!

�((��

�!�#

��

�"��

�!�%

��

�#��

δ1

��

�(

���

�#

�(

$�

��

�(

!�%

δ2

�!

�(

(�)

� �(

�(

� �#

δ3

� �(

�(

�(�%

*��'

!#�$#

!%� )

!%�##

!%�%$

0-1

�� #

#��!

)�$

0-1(

!��#

����

0-1!

!� )

'�)��=E'���!�����������)����$�� ����� �������

14