ชุดการเรียนพัฒนาทักษะทาง ... · 2016-03-10 ·...

1

ชดการเรยนพฒนาทกษะทางคณตศาสตรรายบคคล ชดท 7 เรอง อนกรมเลขคณต

แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5

เปนสอการสอนทจดท าขนเพอกระตนใหนกเรยนน าความรและแสวงหาความรทเกยวกบคณตศาสตร เพอกอใหเกดแนวคดใหมหรอการสรางองคความรใหมจากความรทมอยเดม สามารถเขาใจกบสงตาง ๆ ทพบในชวตประจ าวนไดอยางถกตองและรวดเรว ในการด าเนนการจดกจกรรมครงน ไดมงเนนใหนกเรยน เปนผลงมอปฏบตดวยตนเอง รจกการท างานเปนทมตลอดจนสรางความตระหนก การวเคราะหถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได ซงผสอนจะท าหนาทเปนเพยงผใหค าปรกษาและขอเสนอแนะตาง ๆ เพอให การด าเนนกจกรรมบรรลไปดวยด

แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม ฉบบน ไดจดท าไวทงหมด 8 ชด ดงน

ชดท 1 ล าดบและพจนของล าดบ ชดท 2 บทนยามล าดบเลขคณต ชดท 3 ล าดบเลขคณต ชดท 4 บทนยามล าดบเรขาคณต ชดท 5 ล าดบเรขาคณต ชดท 6 บทนยามอนกรม ชดท 7 อนกรมเลขคณต ชดท 8 อนกรมเรขาคณต

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม จะเปนประโยชนตอผเรยน ครผสอน และเปนสวนหนงในการจดการเรยนการสอนเพอใหนกเรยนมความสนใจและอยากทจะเรยนรคณตศาสตรมากยงขน

ธราภรณ กนหา

เรอง หนา ค าชแจง 1 ล าดบขนตอนการใชแบบฝกเสรมทกษะส าหรบนกเรยน 2 สาระส าคญและตวชวด 3 แบบทดสอบกอนเรยน เนอหา 5 แบบฝกท 1 7 แบบฝกท 2 10 แบบฝกท 3 11 แบบฝกท 4 12 แบบทดสอบหลงเรยน 13 บรรณานกรม 14 ภาคผนวก 15

1 แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร ชดท 1 เรอง ล าดบและพจนของล าดบ

แบบฝกเสรมทกษะทางคณตศาสตรใชเวลาเรยน 120 นาท โดยนกเรยนควรอานค าชแจง ใหเขาใจกอนเรยนแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร ดงน

1. นกเรยนอานสาระส าคญ และตวชวดในแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร 2. นกเรยนอานสาระส าคญ และจดประสงคเชงพฤตกรรม ในแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร 3. นกเรยนศกษาเนอหาและท าแบบฝกลงในแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร 4. นกเรยนตรวจสอบความถกตองของแบบฝกในค าเฉลยทายเลม 5. นกเรยนท าแบบประเมนผลหลงเรยนพรอมตรวจสอบความถกตองจากค าเฉลย

“เดกดตองมความซอสตย”

ค าชแจง


ล าดบขนตอนการใชแบบฝกเสรมทกษะส าหรบนกเรยน

ขนท 1 ศกษาค าชแจง

ขนท 2 ทดสอบกอนเรยน

ขนท 4 ท าแบบฝก

ขนท 5 ทดสอบหลงเรยน

ความขยนน ามาซงความส าเรจคะ

ขนท 3 ศกษาเนอหาและตวอยาง


แบบทดสอบกอนเรยน

ชดท 1 เรอง ล าดบและพจนของล าดบ ค าชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย x ลงในชอง ใตตวอกษร ก , ข , ค และ ง ทเปนค าตอบ ทถกทสดเพยงค าตอบเดยวบนกระดาษค าตอบในสมดแบบฝกทกษะใชเวลาท าแบบทดสอบ 20 นาท

......................................................................................................... 1. ขอใดเปนการเขยนล าดบ ก. 1+2+3 ข. 1-2-3 ค. 1,2,3 ง. 1.2.3 2. ขอใดเปนการเขยนพจนทวไปของล าดบทเปนจ านวนคบวก ก. 2,4,6,8 ข. 2+4+6+8+... ค. a = 2n ง. an = 2n 3. สญลกษณแทนพจนแรกของล าดบคอขอใด ก. a1 ข. 1 ค. 1a ง. a 4. ขอใดเปนล าดบจ ากด ก. 5,6,7 ข. 1+2+3 ค. an = 2n ง. an = 2n + 2 5. ขอใดเปนล าดบอนนต ก. 6,7,8, ข. an = 3 + n ค. 3+3+3+...+3 ง. 4+5+6+...+100

ตงใจท าขอสอบนะจะ


6. สองพจนถดไปของล าดบ 1, 3, 7, 13, 21, … ตรงกบขอใด ก. 30, 43 ข. 31, 43 ค. 30, 42 ง. 31, 42 7. จงหาวา 8 เปนพจนท 11 ของล าดบในขอใด ก. 2, 3, 4, 3, 6, 3, … ข. 1, 2, 4, 7, … ค. -2, -1, 0, 1, 2, … ง. 22, 20, 18, 16, … 8. ล าดบ 32 nan เขยนในรปแจงพจนไดตรงกบขอใด ก. 1, 3, 6, 9,… ข. 0, 3, 5, 7, … ค. -1, 1, 3, 5, … ง. -5, -3, -1, 0, … 9. ล าดบ 2, 6, 10, 14, … เขยนในรปพจนทวไปไดตรงกบขอใด ก. 34 nan ข. 34 nan ค. 24 nan ง. 24 nan 10. พจนทวไปของล าดบจ ากด 5

1 , 74 , 9

7 , 1110 , 13

13 คอขอใด (ค 4.1 ม.4-6/4)

ก. an 14n 2 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ข. an 32n 2 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ค. an 12n 1 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ง. an 23n 1 2n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}


ใสใจการเรยนสกนด ชวตจะสดใส

หลงจากนกเรยนศกษาแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรนแลวนกเรยนสามารถ 1. เขยนล าดบในรปแจกแจงพจน เมอก าหนดล าดบรปพจนทวไปใหได 2. เขยนล าดบในรปพจนทวไป เมอก าหนดล าดบรปแจกแจงพจนใหได

บทนยาม ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอเซตของจ านวนเตมบวกและเขยนเรยงล าดบได ดงน f(1),f(2),f(3)...,f(n) เรยก f(1) วา พจนท 1 เขยนแทนดวย a1 f(2) วา พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 f(3) วา พจนท 3 เขยนแทนดวย a3

f(n) วา พจนท n เขยนแทนดวย an

สาระส าคญ

ตวชวด


บทนยาม ล าดบ (Sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ตวแรก หรอ

เซตของจ านวนเตมบวกและเขยนเรยงล าดบได ดงน f(1),f(2),f(3)...,f(n) เรยก f(1) วา พจนท 1 เขยนแทนดวย a1

f(2) วา พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 f(3) วา พจนท 3 เขยนแทนดวย a3 f(n) วา พจนท n เขยนแทนดวย an ล าดบ (Sequence) ถกก าหนดใหม 2 แบบ คอ

1. ฟงกชนทมโดเมน (Domain) เปนเซตของจ านวนเตมบวก ( ) ตวแรก เรยกวา “ล าดบจ ากด (Finite Sequence)”

2. ฟงกชนทมโดเมน (Domain) เปนเซตของจ านวนเตมบวก ( ) เรยกวา “ล าดบอนนต (Infinite Sequence)”

บางครงเรากเรยก f(n) วาพจนทวไป (general term) เขยนแทนดวย an หรอจะเรยก f(n) วา พจน (term) ท n ดวยเชนกน

นยามและพจนของล าดบ


ตวอยางท 1 น าเงนไปฝากออมสนโดยฝากเดอนแรก 50 บาท เดอนถดไปเพมขนเดอนละ 50 บาท ทกเดอนเปนเวลา 1 ป เขยนตารางแสดงจ านวนเงนทฝากในแตละเดอนไดดงตาราง เดอนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

จ านวนเงน 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 จากตารางความสมพนธระหวางเดอนทฝาก กบจ านวนเงนทฝากเปนฟงกชน โดเมน เปน {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} เรนจ เปน {50,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600} ดงนนเขยนเปนล าดบไดดงน (เขยนเรนจนนเอง)

50,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600 หรอ 50,100,150,...,600 (ใชจด 3 จด แทนจ านวนทตองการละไว) เรยก 50 วาพจนท 1 เขยนแทนดวย a1 นนคอ a1 = 50 = 50*1 100 วาพจนท 2 เขยนแทนดวย a2 นนคอ a2 = 100 = 50*2 150 วาพจนท 3 เขยนแทนดวย a3 นนคอ a3 = 150 = 50*3 600 วาพจนท 12 เขยนแทนดวย a12 นนคอ a12 = 600 = 50*12

นอกจากนจะเขยนโดยบอกในรป พจนทวไปพรอมทงระบสมาชกโดเมน เนองจาก เงนฝากแตละเดอนเกดจาก 50 คณ เดอนทฝาก ดงนน พจนทวไป an = 50n เมอ n = 1,2,3,…,12 ***** ล าดบทได เปนล าดบจ ากด

ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ตวแรก เรยกวา ล าดบจ ากด *** จ างายๆวา ถาสามารถนบไดวามทงหมดกพจนเรยกล าดบจ ากด *** *** หรอ สงเกตจากพจนสดทายจะไมมจด หรอ จลภาค ตอทาย ***


ตวอยางท 2 แบคทเรยขยายพนธโดยการแบงตวจากหนงตวเปนสองตว ทก ๆ หนงวนาทไปเรอย ๆ ถาเดมมแบคทเรย 1 ตว เขยนตารางแสดงจ านวนแบคทเรยในแตละวนาทไดดงน

วนาทท 1 2 3 4 ... จ านวนแบคทเรย 2 4 8 16 ...

จะเหนวา ความสมพนธระหวางเวลาเปนวนาท กบจ านวนแบคทเรยในแตละวนาทเปน

ฟงกชนทม โดเมน เปน {1,2,3,4,...} เรนจ เปน {2,4,8,16,...} ดงนนเขยนล าดบไดดงน (เขยนเรนจนนเอง) 2,4,8,16,... จะสงเกตพบวาแบคทเรย 1 ตว แบงตวเปน 2 หรอ จ านวนวนาทสดทายคณสอง

ดงนน วนาทท n กจะม 2 คณกน n ตว หรอ 2n

เราจงเขยนล าดบอกรปแบบหนง ม an หรอพจนทวไป (general term) ไดดงน 2,4,8,16,…,2n,… หรอ 2,4,8,16,…,an = 2n,… เรยก 2 วา พจนท 1 เขยนแทนดวย a1 นนคอ a1 = 2 = 21 4 วา พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 นนคอ a2 = 4 = 22 8 วา พจนท 3 เขยนแทนดวย a3 นนคอ a3 = 8 = 23 2n วา พจนท n เขยนแทนดวย an นนคอ an = 2

n = 2n ***** ล าดบทได เปนล าดบอนนต

ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เรยกวา ล าดบอนนต *** สงเกตงายๆ ถามจด 3 จด ตอทายล าดบ นนแหละ เรยกวา ล าดบอนนต ***


เปรยบเทยบระหวาง ตวอยางท 1 และ ตวอยางท 2

- ตวอยางท 1 ตวอยางท 2 โดเมน {1,2,3,4,5,6,...,12} {1,2,3,...} เรนจ {50,100,150,...,600} {2,4,8,...} เขยนล าดบ 50,100,150,...,600 2,4,8,... รปแบบพจนทวไป an = 50n เมอ 1,2,3,…,12 an = 2n

(ไมตองระบคา n วาเปนเลขอะไร) เรยก ล าดบจ ากด ล าดบอนนต ตวอยางของล าดบจ ากด ตวอยางของล าดบอนนต 1,2,3,...,15 3,6,9,12,... -5,-4,-3,-2,-1 -1,-2,-3,-4,-5,...,-n,…

1n21

na ; n = 1,2,3,…,10 n

12nna

ถาเขยนในรป an ถาเขยนในรป an จะบอก n คออะไร จะไมบอก n คออะไร

โดเมนของฟงกชน คอ เซตของสมาชกตวหนาของทก

คอนดบในฟงกชน f เขยนแทนดวย Df

เรนจของฟงกชน คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกค

อนดบในฟงกชน f เขยนแทนดวย Rf


แบบฝกท 1

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง แตละขอตอไปนใหสมบรณ

1. นายปอตงใจจะปลกตนไมใหเตมพนทสวนหลงบาน โดยวนแรกปลกได 3 ตน วนถดไป จะปลกตนไมเพมขนวนละ 1 ตน เมอเวลาผานไป 7 วน นายปอปลกตนไมเตมสวน เขยนตารางแสดงจ านวนตนไมทปลกในแตละวนไดดงตาราง

วนท 1 2 3 . . . 7 จ านวนตนไม 3 4 5 . . . 9

โดเมน เปน ............................................................................................................................. .......... เรนจ เปน .......................................................................................................... ............................. ดงนนเขยนล าดบไดเปน.............................................................................................................. ...............

พจนท 1 เขยนแทนดวย a1 นนคอ a1 =………………….. พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 นนคอ a2 =………………….. พจนท 3 เขยนแทนดวย a3 นนคอ a3 =………………….. พจนท 7 เขยนแทนดวย a7 นนคอ a7 =…………………..

***** ล าดบทก าหนดให เปนล าดบ.............................................

2. ดรมน าเงนไปฝากธนาคารออมสน โดยเดอนแรกฝาก 50 บาท เดอนตอไปฝากเพมเดอนละ 15 บาท ทกเดอน ซงเขยนตารางแสดงจ านวนเงนฝากนแตละเดอนไดดงน

เดอนท 1 2 3 4 . . . จ านวนเงนฝาก 50 65 80 95 . . .

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................ ....

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................... .............................................................

....................................................................................................................................................................

พรอมแลว เรมท า แบบฝกท 1 เลยครบ !


3. ไมกองหนงวางซอนกนเปนชนๆ แตละชนมไมมากกวาชนทอยถดไป 3 ทอน โดยทชนแรกมไมอย จ านวน 11 ทอน เขยนตารางแสดงจ านวนไมในแตละชนไดดงน

ชนท 1 2 3 4 . . . จ านวนไม 11 14 17 20 . . .

....................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................... .........

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

.................................................................................................. ..................................................................

....................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................... 4. แบคทเรยขยายพนธโดยการแบงตวจากหนงตวเปน 3 ตว ทก ๆ หนงวนาท จนครบ 6 วนาท ถาเดมมแบคทเรย 1 ตว เขยนตารางแสดงจ านวนแบคทเรยในแตละวนาทไดดงน

วนาทท 1 2 3 4 5 6 จ านวนแบคทเรย 1 3 9 27 81 243

....................................................................................................................................................................

........................................................................................................................ ............................................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................... ...........................

....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................... ..........

....................................................................................................................................................................


ตวอยางท 3 ก าหนดฟงกชน f(x) = x + 1 จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3 และ 4 จาก f(x) = x + 1 และ Df = {1, 2, 3, 4} จะได f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 f(3) = 3 + 1 = 4 f(4) = 4 + 1 = 5 เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ดงนน f(x) = x + 1 จงเปนล าดบ ซงสามารถเขยนใหมไดเปน 2, 3, 4, 5

ตวอยางท 4 ก าหนดฟงกชนจงหาคาของ f(x) =

x-2x

เมอโดเมนมคา 1, 2, 3, 4, ..., n

จาก f(x) = x-2x

และ Df = {1, 2, 3, 4,...,n}

จะได f(1) = 1-21

= -1

f(2) = 2-22

= 0

f(3) = 3-23

= 13

f(4) = 4-24

= 12

f(n) = n-2n

= n-2n

เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ดงนน f(x) =

x-2x

จงเปนล าดบซงสามารถเขยนใหมไดเปน -1,0, 13

,12

,…,n-2n



ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปน ใหสมบรณ

1. ก าหนดฟงกชน f(x) =2x – 1 จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3 และ 4 …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………..

2. ก าหนดฟงกชน f(x) =

จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3, . . ., 8

…………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………..

งายกวาทคดไวละซ


3. ก าหนดฟงกชน f(x) = 2 - 3x จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3, 4, . . . …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..


จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3 และ 4

…………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………..

เกงจงเลยครบ...


ตวยางท 5 จงหา 4 พจนแรกของล าดบ 1nn21

na แลวเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

วธท า พจนทวไป 1nn21

na

ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4 ใหสงเกตต าแหนงทเปนตว n

พจนท 1 a1 = 1 1 1 1 12

พจนท 2 a2 = 1 2 2 1 32

พจนท 3 a3 = 1 3 3 1 62

พจนท 4 a1 = 1 1 1 1 102

ดงนน 4 พจนแรกของล าดบน คอ 1,3,6,10

และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ 1,3,6,10,…, 1nn21

ตวยางท 6 จงหา 4 พจนแรกของล าดบ an = (-1)n (

) แลวเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

วธท า พจนทวไป an = (-1)n (

)

ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4 ใหสงเกตต าแหนงทเปนตว n

พจนท 1 a1 = (-1)1 (

) = (-1) (

) =

พจนท 2 a2 = (-1)2 (

) = (1) (

) =

พจนท 3 a3 = (-1)3 (

) = (-1) (

) =

พจนท 4 a1 = (-1)4 (

) = (1) (

) =

ดงนน 4 พจนแรกของล าดบน คอ

,

,

,

และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ

,

,

,

, . . . , (-1)n (

)

ขยนเรยนคณตสกนด ชวตจะกาวไกล



ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหสมบรณ

1. จงหา 4 พจนแรกของล าดบ an = 2nn+1 พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = (-1)n+1 พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………

พรอมแลว เรมท า แบบฝกท 3 เลยครบ

!


3. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = n2 (

) พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………

งายแบบนตงใจเรยน ตงแตแรกกด


ตวอยางท 7 จงหาพจนทวไปของล าดบ 65,

54,

43,

32,

21

วธท า จะเหนวาเปนล าดบจ ากด เพราะม 5 พจนดวยกน (โจทยเปนล าดบจ ากด)

พจนท 1 a1 = 11

121

พจนท 2 a2 = 12

232

พจนท 3 a3 = 13

343

พจนท 4 a4 = 14

454

พจนท 5 a5 = 15

565

สงเกตตามลกศร an จะสมพนธกบเศษสวน เกดจาก n + 1 ดงนน พจนทวไป คอ an = n

n+1 เมอ n = 1,2,3,4,5

ตวอยางท 8 จงหาพจนทวไปของล าดบ 1115,

912,

79,

56,

33

วธท า จะเหนวาเปนล าดบจ ากด เพราะม 5 พจนดวยกน (โจทยเปนล าดบจ ากด)

พจนท 1 a1 = 12(1)

3(1)33

พจนท 2 a2 = 12(2)

3(2)56

พจนท 3 a3 = 12(3)

3(3)97

พจนท 4 a4 = 12(4)

3(4)912

พจนท 5 a5 = 12(5)

3(5)1115

สงเกตตามลกศร an จะสมพนธกบเศษสวน เกดจาก n + 1

ดงนน พจนทวไป คอ an = 12(n)

3(n)

เมอ n = 1,2,3,4,5

ถาเปนล าดบจ ากดตองบอก ดวยวาเปนเลขอะไรบาง




1. ก าหนดให an = 2 4 6 8, , ,2 3 4 5 จงตอบค าถามในชองวาง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ก าหนดให an = 227,

524,

821,

1118,

1415 จงตอบค าถามในชองวาง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………


3. ก าหนดให an = 143-,

120,

103,

86,


…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………


1013,

1110,

127,


…………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………


แบบทดสอบหลงเรยน

ชดท 1 เรอง ล าดบและพจนของล าดบ ค าชแจง ใหนกเรยนกาเครองหมาย x ลงในชอง ใตตวอกษร ก , ข , ค และ ง ทเปนค าตอบ ทถกทสดเพยงค าตอบเดยวบนกระดาษค าตอบในสมดแบบฝกทกษะใชเวลาท าแบบทดสอบ 20 นาท

......................................................................................................... 1. ขอใดเปนการเขยนล าดบ ก. 1+2+3 ข. 1-2-3 ค. 1,2,3 ง. 1.2.3 2. ขอใดเปนการเขยนพจนทวไปของล าดบทเปนจ านวนคบวก ก. 2,4,6,8 ข. 2+4+6+8+... ค. a = 2n ง. an = 2n 3. สญลกษณแทนพจนแรกของล าดบคอขอใด ก. a1 ข. 1 ค. 1a ง. a 4. ขอใดเปนล าดบจ ากด ก. 5,6,7 ข. 1+2+3 ค. an = 2n ง. an = 2n + 2 5. ขอใดเปนล าดบอนนต ก. 6,7,8, ข. an = 3 + n ค. 3+3+3+...+3 ง. 4+5+6+...+100

ตงใจท าขอสอบนะจะ


6. สองพจนถดไปของล าดบ 1, 3, 7, 13, 21, … ตรงกบขอใด ก. 30, 43 ข. 31, 43 ค. 30, 42 ง. 31, 42 7. จงหาวา 8 เปนพจนท 11 ของล าดบในขอใด ก. 2, 3, 4, 3, 6, 3, … ข. 1, 2, 4, 7, … ค. -2, -1, 0, 1, 2, … ง. 22, 20, 18, 16, … 8. ล าดบ 32 nan เขยนในรปแจงพจนไดตรงกบขอใด ก. 1, 3, 6, 9,… ข. 0, 3, 5, 7, … ค. -1, 1, 3, 5, … ง. -5, -3, -1, 0, … 9. ล าดบ 2, 6, 10, 14, … เขยนในรปพจนทวไปไดตรงกบขอใด ก. 34 nan ข. 34 nan ค. 24 nan ง. 24 nan 10. พจนทวไปของล าดบจ ากด 5

1 , 74 , 9

7 , 1110 , 13

13 คอขอใด (ค 4.1 ม.4-6/4)

ก. an 14n 2 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ข. an 32n 2 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ค. an 12n 1 3n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

ง. an 23n 1 2n

เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}


บรรณานกรม

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร : ส านกพมพไทยวฒนาพานช, 2551. กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพมหานคร : ครสภา, 2553. คณาจารยส านกพมพฟสกสเซนเตอร. โครงการต าราเรยนคมอเตรยมสอบ ม.5. กรงเทพมหานคร :

ฟสกสเซนเตอร, 2550. ณรงค ปนนม และคณะ. คมอเตรยมสอบคณตศาสตรรวม ม.4-5-6. กรงเทพมหานคร : ภมบณฑต, 2546. ทรงวทย สวรรณธาดา. ขยนกอนสอบ คณตศาสตร ม.5. กรงเทพมหานคร : ซ.แอนด.เอน.บค, 2551. ธวชชย บญเลศ. ลยโจทยคลงขอสอบคณตศาสตร ม. ปลาย . กรงเทพมหานคร : ซายน เซนเตอร, 2551. วนจ วงศรตนะ. คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.4-5-6. นนทบร : ไทเนรมตกจ อนเตอร โปรเกรสชฟ, มปป. เสนห ผดงญาต, สมาล ชาญมหาพน และธนต ชาญมหาพน. คมอคณตศาสตรเพมเตม ม.5 เลม 1. กรงเทพมหานคร : ซายน เซนเตอร, มปป.


ภาคผนวก


เฉลยแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร แบบฝกท 1 เรอง ล าดบและพจนของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง แตละขอตอไปนใหสมบรณ

1. นายปอตงใจจะปลกตนไมใหเตมพนทสวนหลงบาน โดยวนแรกปลกได 3 ตน วนถดไป จะปลกตนไมเพมขนวนละ 1 ตน เมอเวลาผานไป 7 วน นายปอปลกตนไมเตมสวน เขยนตารางแสดงจ านวนตนไมทปลกในแตละวนไดดงตาราง

วนท 1 2 3 . . . 7 จ านวนตนไม 3 4 5 . . . 9

โดเมน เปน ...........{ 1 , 2 , 3 , . . . , 7 }....................................................................................... เรนจ เปน ...........{ 3 , 4 , 5 , . . . , 9 }......................................................................................... ดงนนเขยนล าดบไดเปน........... 3 , 4 , 5 , . . . , 9.............................................................. ...............

พจนท 1 เขยนแทนดวย a1 นนคอ a1 =………3………….. พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 นนคอ a2 =………4………….. พจนท 3 เขยนแทนดวย a3 นนคอ a3 =………5………….. พจนท 7 เขยนแทนดวย a7 นนคอ a7 =………9…..……..

***** ล าดบทก าหนดให เปนล าดบ.............ล าดบจ ากด....................

2. ดรมน าเงนไปฝากธนาคารออมสน โดยเดอนแรกฝาก 50 บาท เดอนตอไปฝากเพมเดอนละ 15 บาท ทกเดอน ซงเขยนตารางแสดงจ านวนเงนฝากนแตละเดอนไดดงน

เดอนท 1 2 3 4 . . . จ านวนเงนฝาก 50 65 80 95 . . .

โดเมน เปน ...........{ 1 , 2 , 3 , 4 , . . . }........................................................................................ เรนจ เปน ...........{ 50 , 65 , 80 , 95 , . . . }............................................................................... ดงนนเขยนล าดบไดเปน........... 50 , 65 , 80 , 95 , . . ............................................................................


***** ล าดบทก าหนดให เปนล าดบ.............ล าดบอนนต....................


3. ไมกองหนงวางซอนกนเปนชนๆ แตละชนมไมมากกวาชนทอยถดไป 3 ทอน โดยทชนแรกมไมอย จ านวน 11 ทอน เขยนตารางแสดงจ านวนไมในแตละชนไดดงน

ชนท 1 2 3 4 . . . จ านวนไม 11 14 17 20 . . .

โดเมน เปน ...........{ 1 , 2 , 3 , 4 , . . . }........................................................................................ เรนจ เปน ...........{ 11 , 14 , 17 , 20 , . . . }................................................................................ ดงนนเขยนล าดบไดเปน........... 11 , 14 , 17 , 20 , . . . .................................................................... .....


***** ล าดบทก าหนดให เปนล าดบ.............ล าดบอนนต.................... 4. แบคทเรยขยายพนธโดยการแบงตวจากหนงตวเปน 3 ตว ทก ๆ หนงวนาท จนครบ 6 วนาท ถาเดมมแบคทเรย 1 ตว เขยนตารางแสดงจ านวนแบคทเรยในแตละวนาทไดดงน

วนาทท 1 2 3 4 5 6 จ านวนแบคทเรย 1 3 9 27 81 243

โดเมน เปน ...........{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }............................................................................. ......... เรนจ เปน ...........{ 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243 }.............................................................................. ดงนนเขยนล าดบไดเปน........... 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243 ........................................................................

พจนท 1 เขยนแทนดวย a1 นนคอ a1 =……..…1…………... พจนท 2 เขยนแทนดวย a2 นนคอ a2 =………..3…….…….. พจนท 3 เขยนแทนดวย a3 นนคอ a3 =………..9……….….. พจนท 4 เขยนแทนดวย a4 นนคอ a4 =…….…27…..….….. พจนท 5 เขยนแทนดวย a5 นนคอ a5 =…….…81………….. พจนท 6 เขยนแทนดวย a6 นนคอ a6 =………243…..……..

***** ล าดบทก าหนดให เปนล าดบ.............ล าดบจ ากด....................



ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปน ใหสมบรณ

1. ก าหนดฟงกชน f(x) =2x – 1 จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3 และ 4 จาก f(x) = 2x – 1 และ Df = { 1, 2, 3, 4 }

จะได f(1) = 2(1) – 1 = 2 - 1 = 1 f(2) = 2(2) – 1 = 4 - 1 = 3 f(3) = 2(3) – 1 = 6 - 1 = 5 f(4) = 2(4) – 1 = 8 - 1 = 7 เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ดงนน f(x) = 2x – 1 จงเปนล าดบซงสามารถเขยนใหมไดเปน 1 , 3 , 5 , 7


จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3, . . ., 8

จาก f(x) =

และ Df = {1, 2, 3, 4,...,8}

จะได f(1) =

=

= -1

f(2) =

=

=

f(3) =

=

= 0

f(8) =

=

=

เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ดงนน f(x) =

จงเปนล าดบซงสามารถเขยนใหมไดเปน -1 ,

, 0 ,

,

งายกวาทคดไวละซ


3. ก าหนดฟงกชน f(x) = 2 - 3x จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3, 4, . . . จาก f(x) = 2 - 3x และ Df = { 1, 2, 3, 4, . . . }

จะได f(1) = 2 – 3(1) = 2 - 3 = -1 f(2) = 2 – 3(2) = 2 - 6 = -4 f(3) = 2 – 3(3) = 2 - 9 = -7 f(4) = 2 – 3(4) = 2 - 12 = -10

เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1 ดงนน f(x) = 2 - 3x จงเปนล าดบซงสามารถเขยนใหมไดเปน -1, -4, -7, -10, . . .


จงหาคาของ f(x) เมอโดเมนมคา 1, 2, 3 และ 4

จาก f(x) =

และ Df = { 1, 2, 3, 4 }

จะได f(1) =

=

=

f(2) =

=

=

f(3) =

=

=

f(4) =

=

=

เนองจาก f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก เรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1 ดงนน f(x) =

จงเปนล าดบซงสามารถเขยนใหมไดเปน -4 ,

, -2 ,

เกงจงเลยครบ...




1. จงหา 4 พจนแรกของล าดบ an =

พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

วธท า พจนทวไป an =

ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4

พจนท 1 a1 =

=

พจนท 2 a2 =

=

พจนท 3 a3 =

=

พจนท 4 a1 =

=

ดงนน 4 พจนแรกของล าดบน คอ 1, , ,

และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ 1, , , , . . . ,

2. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = (-1)n+1 พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

วธท า พจนทวไป an = (-1)n+1

ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4

พจนท 1 a1 = (-1)1+1

= (-1)2 = 1

พจนท 2 a2 = (-1)2+1

= (-1)3 = -1

พจนท 3 a3 = (-1)3+1

= (-1)4 = 1

พจนท 4 a1 = (-1)4+1

= (-1)5 = -1

ดงนน 4 พจนแรกของล าดบน คอ 1, -1 , 1 , -1 และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ 1, -1 , 1 , -1 , . . . , (-1)n+1


3. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน วธท า พจนทวไป an =

ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4, a5

พจนท 1 a1 =

= 2 - 2

= 0

พจนท 2 a2 =

= 4 - 2

= 2

พจนท 3 a3 =

= 8 - 2

= 6

พจนท 4 a1 =

= 16 - 2 = 14

พจนท 5 a5 =

= 32 - 2 = 30

ดงนน 5 พจนแรกของล าดบน คอ 0, 2 , 6 , 14, 32 และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ 0, 2 , 6 , 14, 32, . . . ,

4. จงหา 5 พจนแรกของล าดบ an = n2 (

) พรอมทงเขยนล าดบโดยการแจกแจงพจน

วธท า พจนทวไป an = n2 (

) ตองการหา 4 พจนแรก กคอ a1, a2, a3, a4

พจนท 1 a1 = (1)2 (

)

= 1(

) =

พจนท 2 a2 = (2)2 (

)

= 4(

) =

พจนท 3 a3 = (3)2 (

)

= 9(

) =

พจนท 4 a4 = (4)2 (

)

= 16(

) =

พจนท 5 a5 = (5)2 (

)

= 25(

) =

ดงนน 5 พจนแรกของล าดบน คอ , , ,

,

และสามารถเขยนโดยการแจกแจงพจน คอ , , ,

,

, . . . , n2

(

)

งายแบบนตงใจเรยน ตงแตแรกกด




1. ก าหนดให an = 2 4 6 8, , ,2 3 4 5 จงตอบค าถามในชองวาง

วธท า จะเหนวาเปนล าดบจ ากด เพราะม 4 พจนดวยกน

พจนท 1 a1 =

พจนท 2 a2 =

พจนท 3 a3 =

พจนท 4 a4 =

ดงนน พจนทวไป คอ an =

เมอ n = 1,2,3,4


524,

821,

1118,



พจนท 1 a1 =

พจนท 2 a2 =

พจนท 3 a3 =

พจนท 4 a4 =

พจนท 5 a5 =


เมอ n = 1,2,3,4,5


3. ก าหนดให an = 143-,

120,

103,

86,



พจนท 1 a1 =

พจนท 2 a2 =

พจนท 3 a3 =

พจนท 4 a4 =

พจนท 5 a5 =


เมอ n = 1,2,3,4,5


1013,

1110,

127,



พจนท 1 a1 =

พจนท 2 a2 =

พจนท 3 a3 =

พจนท 4 a4 =

พจนท 5 a5 =


เมอ n = 1,2,3,4,5


เปนยงไงบาง... ท าถกทกขอรปาวครบ

เฉลยแบบทดสอบ

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน – หลงเรยน

1. ค

2. ง

3. ก

4. ก

5. ข

6. ก

7. ง

8. ค

9. ข

10. ค

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน – หลงเรยน

ชุดการเรียนพัฒนาทักษะทาง ... · 2016-03-10 ·...

Documents