1

2

3

4

5

บทท 1 อสมการ

(Inequality) จดมงหมายของบทเรยน

1. เขยนประโยคเกยวกบจ านวนใหเปนอสมการได

2. แกอสมการเชงเสนตวแปรเดยวทก าหนดให และเขยนกราฟแสดงค าตอบได

3. ใชความรเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยวหาค าตอบของปญหาทก าหนดให

พรอมตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได

1. จากขอความทก าหนดให จงเปลยนเปนประโยคสญลกษณ

พรอมทงระบวาค าตอบ

1. จ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 เทำกบ -5

.......................................................................................................

2. จ ำนวนจ ำนวนหนงบวก 4 เทำกบ -5

.......................................................................................................

3. จ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 9 เทำกบ 0

.......................................................................................................

4. สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงบวก 5 เทำกบ 3

.......................................................................................................

5. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 เทำกบ 12

.......................................................................................................

6. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 2 เทำกบ 25

.......................................................................................................

7. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 1 เทำกบ 4

.......................................................................................................

8. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบสบเทำกบ 0

.......................................................................................................

9. จ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 มำกกวำ -5

.......................................................................................................

10. จ ำนวนจ ำนวนหนงบวก 4 มำกกวำหรอเทำกบ -5

.......................................................................................................

11. จ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 9 นอยกวำ 0

.......................................................................................................

12. สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงบวก 5 นอยกวำหรอเทำกบ 3

.......................................................................................................

13. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 ไมเทำกบ 12

.......................................................................................................

14. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 2 ไมเกน 25

.......................................................................................................

15. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 1 ไมถง 4

.......................................................................................................

16. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบสบไมเทำกบ 0

.......................................................................................................

17. สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 ไมมำกกวำ 25

.......................................................................................................

18. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 1 ไมนอยกวำ 9

.......................................................................................................

จำกค ำตอบของนกเรยนในขอท 1. ใหนกเรยนเตมค ำตอบท

ไดในตำรำง

ท ประโยคสญลกษณ เครองหมำย

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

จำกขอ 1-18 ใหนกเรยนแบงออกเปน 2 กลม พรอมทงให

เหตผลประกอบ

กลมท 1 ประกอบดวยขอ ................................................

ทงนเนองจำก ................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

กลมท 2 ประกอบดวยขอ ................................................

ทงนเนองจำก ................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

อสมกำร หมำยถง ...........................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

7

1. จากขอความทก าหนดให จงเปลยนเปนประโยคสญลกษณ

1. จ ำนวนจ ำนวนหนงมำกกวำ -5

.......................................................................................................

2. จ ำนวนจ ำนวนหนงนอยกวำ -3

.......................................................................................................

3. จ ำนวนจ ำนวนหนงทมำกกวำหรอเทำกบ -5

.......................................................................................................

4. จ ำนวนจ ำนวนหนงลบ 3 นอยกวำ 15

.......................................................................................................

5. สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงบวก 5 มำกกวำจ ำนวนจ ำนวน

หนงลบ 3

.......................................................................................................

6. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 2 นอยกวำ สองเทำของ

จ ำนวนจ ำนวนนน

.......................................................................................................

7. สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงนอยกวำสองเทำของจ ำนวน

จ ำนวนนนบวกสำม

.......................................................................................................

8. หำเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบสบมำกกวำ 0

.......................................................................................................

9. สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 5 ไมเทำกบจ ำนวนจ ำนวน

นนบวกสอง

.......................................................................................................

10. สองในสำมของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 10 นอยกวำหรอ

เทำกบจ ำนวนจ ำนวนนน

.......................................................................................................

11. สบเทำของผลบวกจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 3 มำกกวำ 13

.......................................................................................................

12. สำมเทำของผลตำงจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 2 นอยกวำหรอ

เทำกบ 15

.......................................................................................................

13. สองเทำของผลบวกจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 1 ไมเกน 13

.......................................................................................................

14. สองเทำของผลบวกจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 1 ไมถงหำเทำของ

จ ำนวนจ ำนวนนนลบ 20

.......................................................................................................

15. หำเทำของผลบวกจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 1 ไมถง 7

......................................................................................................

จงหำค ำตอบของอสมกำร x > 7

วธท า 6 > 7 ไมจรง

7 > 7 ไมจรง

8 > 7 จรง 8 เปนค ำตอบของอสมกำร

9 > 7 จรง 9 เปนค ำตอบของอสมกำร

10 > 7 จรง 10 เปนค ำตอบของอสมกำร

ดงนน ค ำตอบของ x > 7 คอ จ ำนวนจรงทกจ ำนวนทมำกกวำ 7

ตอบ จ ำนวนจรงทกจ ำนวนทมำกกวำ 7

2. ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบของอสมการตอไปน

1. x 5 ……………………………………………………………………………………….

.......................................................................................................

2. x 9 ……………………………………………………………………………………….

.......................................................................................................

3. x + 8 > x + 1 .........................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

4. y - 8 < y – 1 ..........................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

5. t + 8 > t + 10 .........................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

6. w - 8 > w – 1 ..........................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

จาก ขอ 1, 2 สรปไดวา

.......................................................................................................

.......................................................................................................

จาก ขอ 3, 4 สรปไดวา

.......................................................................................................

.......................................................................................................

จาก ขอ 5, 6 สรปไดวา

.......................................................................................................

.......................................................................................................

8

ค ำตอบของอสมกำรมค ำตอบเปนจ ำนวนจรงหลำย ๆ จ ำนวน

ดงนน เรำสำมำรถแสดงค ำตอบของอสมกำรบนเสนจ ำนวนไดดงน

1. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร x > -5

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนทมำกกวำ -5 เนองจำก -5 ไมใชค ำตอบจงจะเขยนวงกลม

ลอมรอบจดทแทน -5 ไว แสดงวำ -5 ไมใชค ำตอบ

2. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร x 2

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนทไมมำกกวำ 2 หรอจ ำนวนจรงทกจ ำนวนทนอยกวำหรอ

เทำกบ 2 เนองจำก 2 เปนค ำตอบจงจะเขยนวงกลมทบทบจดทแทน

2 ไว แสดงวำ 2 เปนค ำตอบ

3. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร x ≠ 1

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนทไมเทากบ 1 เนองจำก

.......................................................................................................

4. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร -4 < x < 3

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนทมากกวา -4 แตนอยกวา 3เนองจำก

.......................................................................................................

5. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร -2 x 3

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนตงแต -2 ถง 3 เนองจำก

.......................................................................................................

6. กรำฟแสดงค ำตอบของอสมกำร -3 < x < 2

กรำฟขำงตนแสดงค ำตอบของอสมกำร คอ จ ำนวนจรงทก

จ ำนวนระหวำง -3 กบ 2 เนองจำก ...............................................

3. จงเขยนกราฟแสดงค าตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1.) x 9

2.) x < 3

3.) -1 a

4.) x -2

5.) x 21

6.) x 4

7.) 3 < f < 8

8.) -3 < t 3

9.) 21 x 5

2. กรำฟแสดงค ำตอบในแตละขอตอไปน แสดงจ ำนวนใดบำง

1) .............................................................................................

2) .............................................................................................

3) .............................................................................................

4) .............................................................................................

5) .............................................................................................

9

จงตรวจสอบวำจ ำนวนทก ำหนดใหเปนค ำตอบของ

2-5x > 13 หรอไม

1) 3

วธท า 2-5x > 13

2-5(3) > 13 แทน x ดวย 3

2-15 > 13 รปอยำงงำย

-13 > 13 ไมจรง

ดงนน 3 ไมเปนค ำตอบของอสมกำร 2-5x > 13

2) -4

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

3) -5 .................................... .............................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

4) 5 .................................... .............................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

.................................................. ..................................................

1. จงตรวจสอบวำจ ำนวนทอยใน [ ] เปนค ำตอบของอสมกำรท

ก ำหนดใหหรอไม

1) 3x - 7 > -1 [2, 0, 5]

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

2) 2n – 3 5 [2, 3, -1]

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

3) 2y+1 < -3 [0, -2, 1]

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

4) mm4 5 [2, 0, -4]

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

10

(Using Addition Property of Inequality)

ให a , b และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆแลว

ถา a > b แลว a +c > b + c ; ถา a < b แลว a +c < b + c

เชน 3 > 1 แลว 3+5 > 1+5 -4 < 2 แลว -4 +4 < 2 + 4

8 > 6 0 < 6

ในท านองเดยวกน

ถา a b แลว a +c b + c;ถา a b แลว a +c b + c

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) x – 4 < 5

วธท า x – 4+4 < 5+4 น ำ 4 บวกเขำทงสองขำง

x < 9 รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบเปน x < 9 แทน x = 6

จะได 6 – 4 < 5

2 < 5 จรง

2) 12 a -5

วธท า 12+5 a-5+5 น ำ 4 บวกเขำทงสองขำง

17 a รปอยำงงำย

หรอ a 17

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบเปน 17 a แทน a = 20

จะได 12 20 - 5

12 15 จรง

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) x - 1 > 10 4) d - 2 -6

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

2) -1 < -4 + d 5) y-2 0.5

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

3) r – 9 0 6) 21y 5

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

....................................................... ..............................................

11

(Subtraction Property of Inequality)

ให a , b และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆแลว

ถา a > b แลว a -c > b-c ; ถา a < b แลว a - c < b - c

เชน 3 > 1 แลว 3-5 > 1-5 -4 < 2 แลว -4 - 4 < 2 - 4

-2 > -4 -8 < -2

ในท านองเดยวกน

ถา a b แลว a - c b – c ; ถา a b แลว a - c b - c

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) y + 5 < -7

วธท า y + 5 – 5 < -7 -5 น ำ 5 มำลบทงสองขำง

y < -12 รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ y < -12 แทน y = -15

-15 + 5 < -7 แทน y = -15

-10 < -7 จรง

2) g + 3 8

วธท า g + 3 – 3 8 - 3 น ำ 3 มำลบทงสองขำง

g 5 รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ g 5 แทน g =10

10 + 3 8 แทน g =10

13 8 จรง

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) w + 4 < 9 4) v + 1 -4

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

2) 53 + z - 5

2 5) 36 -4 + y

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

3) 3 > h + 7 6) 21y ≠ 4

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

................................................... ..............................................

12

เมอ c > o

(Multiplication Property of Inequality for c > 0)

ให a , b เปนจ ำนวนจรงใด ๆ และ c > 0

ถา a > b แลว ac > bc ; ถา a < b แลว a c < b c

เชน 3 > 1 แลว 35 > 15 -4 < 2 แลว -4 4 < 2 4

15 > 5 -16 < 8

ในท านองเดยวกน

ถา a b แลว a c b c ;ถา a b แลว ac b c

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 12x

วธท า 12x

2122x น ำ 2 มำคณทงสองขำง

2x รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ 2x แทน x = -4

124 แทน x = -4

12 จรง

2) 21

4t

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) 65

3d 3) 65.0

y

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

2) 32

3w 4) 3

g2

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

13

เมอ c < o

(Multiplication Property of Inequality for c < 0)

ให a , b เปนจ ำนวนจรงใด ๆ และ c < 0

ถา a > b แลว ac > bc ; ถา a < b แลว ac > bc

เชน 3 > 1 แลว 3(-5) < 1(-5) -4 < 2 แลว -4(-4)>2(-4)

-15 < -5 16 > -8

ในท านองเดยวกน

ถา a b แลว a c b c ; ถา ab แลว a c bc

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 13k

วธท า 13k

)3(1)3(3k น ำ 3 มำคณทงสองขำง

3k รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ 3k แทน x ดวย 3

133 แทน x ดวย 3

11 จรง

2) y536

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) 65

3d 3) 65.0

y

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

2) 32

3w 4) 3

g2

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

14

(Division Property of Inequality for c > 0)

ให a , b เปนจ ำนวนจรงใดๆและ c > 0

ถำ a > b แลว cb

ca ; ถำ a < b แลว c

bca

เชน 4 > 2 แลว 22

24 6 < 12 แลว

312

36

12

42 ในท านองเดยวกน

ถำ a b แลว cb

ca ; ถำ a b แลว c

bca

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 20d4

วธท า 20d4

420

4d4 น ำ 4 มำหำรทงสองขำง

5d รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ 5d แทน d ดวย 6

2064 แทน x ดวย 6

2024 จรง

2) 100d5

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) 10 2t 4) 2d < 12

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

2) 1.5d < 6 5) 3x 15

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

3) 16 > 3.2t 6) 7q 42

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

15

(Division Property of Inequality for c < 0)

ให a , b เปนจ ำนวนจรงใดๆและ c < 0

ถา a > b แลว cb

ca ; ถำ a < b แลว c

bca

เชน 4 > 2 แลว 22

24

6 < 12 แลว 312

36

12 42 ในท านองเดยวกน

ถำ a b แลว cb

ca ; ถำ a b แลว c

bca

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 8d4

วธท า 8d4

48

4d4

น ำ 4 มำหำรทงสองขำง

2d รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำกค ำตอบ 2d แทน d ดวย 5

854 แทน x ดวย 6

820 จรง

2) 15m3

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

1. จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ พรอมทงเขยน

กรำฟแสดงค ำตอบ

1) t210 4) -2d < 12

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

2) 6d5.1 5) 15x3

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

3) 16 > -3.2t 6) 42q7

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

………………………………………………….. …………………………………………………….

16

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 19a67

วธท า 7197a67 น ำ 7 มำลบทงสองขำง

12a6 รปอยำงงำย

612

6a6 น ำ 6 มำหำรทงสองขำง

2a รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำก 2a แทน a ดวย 3

19)3(67 แทน a ดวย 3

1925 จรง

2) 155c2

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

3) 144x3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

4) t275

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

5) 23n58

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

6) 1t3)2t(2

วธท า 1t34t2 สมบตกำรแจกแจง

14t รปอยำงงำย

4144t น ำ 4 มำลบทงสองขำง

5t รปอยำงงำย

)1(5)1(t น ำ 1 มำคณทงสองขำง

5t รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ เนองจำก 5t แทน t ดวย 5

1)5(3)25(2 แทน t ดวย 5

11 จรง

7) 6)4h(2

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

8) 8)7p(2p4 ………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

9) )7m4(2515 ………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

10) 2)b5(38 ………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

17

11) 11g415g6

วธท า g411g4g415g6 น ำ 4g มำลบทงสองขำง

1115g2 รปอยำงงำย

15111515g2 น ำ 15 มำบวกทงสองขำง

26g2 รปอยำงงำย

226

2g2 น ำ 2 มำหำรทงสองขำง

13g รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ ...............................................................................

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

12) b22712b3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

13) 5w22w3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

14) 9t5t3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

15) d517d4

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

16) )14m4(2)m4(3

วธท า 28m8m312 สมบตกำรแจกแจง

m828m8m8m312 น ำ 8m มำลบทงสองขำง

28m512 รปอยำงงำย

122812m512 น ำ 12 มำบวกทงสองขำง

16m5 รปอยำงงำย

516

5m5

น ำ 5 มำหำรทงสองขำง

513m รปอยำงงำย

ตรวจค าตอบ ...............................................................................

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

17) )3x2(7)4x(6

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

18) t45)3t(3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

19) )2g(56g3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

20) k215)k2(3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

18

จงหำค ำตอบของอสมกำรตอไปน

1) 183m5 4) 82x4

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

2) h3115 5) 14)2h(2

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

3) 10)2x(4 6) )13n(3416

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

7) d517d4 10) s4616s3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

8) m54m32 11) y215)y2(3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

9) )6z3(24z2 12) )3p(27p9

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

19

จงหำค ำตอบของอสมกำรแลวตรวจสอบค ำตอบ

พรอมทงเขยนกรำฟแสดงค ำตอบ

1) 15r4

วธท า 5r4 และ 15r

55r54 5155r r1 และ 4r

2) 71x23

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

3) 15x36

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

4) 131n37

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

5) 53f4 หรอ 17f2

วธท า 53f4 หรอ 17f2

3533f4 7177f2

8f4 6f2

48

4f4 2

62f2

2f หรอ 3f

6) 37x2 หรอ 54x3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

7) 91b4หรอ71b3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

8) 111c6หรอ134c3

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

………………………………………………. ……………………………………………………

20

นกเรยนเคยแกปญหำเกยวกบสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว

มำแลวในกำรแกโจทยปญหำเกยวกบอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยวก

สำมำรถท ำไดในท ำนองเดยวกนโดยมขนตอนดงน

วเครำะหโจทยเพอหำวำโจทยก ำหนดอะไร

มำให และใหหำอะไร

ก ำหนดตวแปรแทนสงทโจทยใหหำหรอสง

ทเกยวของกบสงทโจทยใหหำ

เขยนอสมกำรตำมเงอนไขของโจทย

แกอสมกำรเพอหำค ำตอบ

ตรวจสอบค ำตอบทไดกบเงอนไขของโจทย

จ ำนวนจ ำนวนหนงรวมกบ 1 ใน 3 ของผลบวกจ ำนวน

นนกบ 5 แลวยงนอยกวำ 7 จงหำจ ำนวนดงกลำว

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

1) สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงนอยกวำสองเทำของจ ำนวน

จ ำนวนนนบวกสำม

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

2) สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 5 ไมเทำกบจ ำนวนจ ำนวน

นนบวกสอง

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

3) สองในสำมของจ ำนวนจ ำนวนหนงลบดวย 10 นอยกวำหรอ

เทำกบจ ำนวนจ ำนวนนน

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

21

4) สำมเทำของจ ำนวนเตมบวกจ ำนวนหนงมำกกวำ 15 แตไมเกน 9

จงหำจ ำนวนเตมบวกนนไดแกจ ำนวนใดบำง

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

5) อำนหนงสอเลมหนง วนแรกอำนได 2/5ของเลม วนตอมำอำนได

อก 25 หนำ รวมสองวนอำนหนงสอไดมำกกวำครงเลม จงหำวำ

หนงสอเลมนมจ ำนวนหนำอยำงมำกกหนำ

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

6) ปญญำมเหรยญบำทมำกกวำเหรยญหำบำทอย 12 เหรยญ ถำ

นบเปนจ ำนวนเงนแลวไมต ำกวำ 300 บำท จงหำวำมเหรยญหำบำท

อยำงนอยกเหรยญ

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

7) ถำสองเทำของจ ำนวนเตมบวกจ ำนวนหนงมำกกวำ 20 อยไมถง

6 จ ำนวนดงกลำวเปนจ ำนวนใดไดบำง

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

22

8) รปสเหลยมผนผำรปหนงมอตรำสวนของควำมกวำงตอควำมยำว

เปน 3 : 5 และมควำมยำวรอบรปไมนอยกวำ 48 เซนตเมตร รป

สเหลยมผนผำรปนมพนทอยำงนอยเทำไร

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

9) จ ำนวนนกเรยนชนมธยมศกษำปท 3 หอง ก นอยกวำจ ำนวน

นกเรยนหอง ข แตไมเกน 6 คน 2/3ของนกเรยนหอง ก มำกกวำ

1/ 2ของนกเรยนหอง ข แตไมเกน 5 คน จงหำวำจ ำนวนนกเรยนหอง

ก เปนจ ำนวนใดไดบำง

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

10) ในโรงเรยนแหงหนง เมอรบนกเรยนเพมอก 220 คน แลวม

จ ำนวนนกเรยนในโรงเรยนยงไมถง 800 คน จ ำนวนนกเรยนทมอย

เดม จะมอยำงมำกทสดกคน

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

11) จ ำนวนทมำกทสดทท ำให 2 เทำของผลบวกของจ ำนวนนนกบ 12

มคำไมเกน 40 คอขอใด

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

23

12) มสมและมะมวงในอตรำสวนสองตอสำม ตอมำขำยสมไป 300

ผล ปรำกฏวำเหลอผลไมทงสองชนดไมถง 600 ผล เดมมผลกผล

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

13) แบงเงนใหด ำและแดง โดยด ำไดรบ 1 ใน 3 ของจ ำนวนนน และ

แดงไดรบมำกกวำด ำ 50 บำท เมอรวมเงนทแบงใหทงสองคน

ปรำกฏวำยงไมเกน 400 บำท ด ำไดรบอยำงมำกทสดกบำท

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

14) สวนแหงหนงปลกเงำะไว 500 ตนปรำกฏวำน ำทวมเงำะตำยไป

ท ำใหเงำะตำยไปท ำใหเหลอตนเงำะไมถง 100 ตน จงหำวำเงำะตำย

ไปอยำงนอยกตน

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

15) สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงเมอเพมอก 3 จะมคำนอยกวำ

สองเทำของจ ำนวนนลบดวย 4 จ ำนวนนมคำเทำใด

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

24

16) กำนดำซอเสอจำกรำนคำแหงหนงโดยใชเงนไป 1 ใน 3 ของเงน

ทงหมด เปนคำอำหำร 1 ใน 6 ของเงนทซอเสอ ถำกำนดำมเงนกลบ

บำนมำกกวำ 275 บำท กำนดำน ำเงนไปอยำงนอยกบำท

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

17) สำมในหำของเงนจ ำนวนหนง เมอหกออกดวยหนงในสำมของ

เงนจ ำนวนนนแลวมคำไมถง 200 บำท จงหำวำเงนจ ำนวนนนมคำ

เทำใด

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

18) สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงรวมกบ 80 กยงนอยกวำ 100

อสมกำรนคอขอใด

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

19) วนแรกสนทรอำนหนงสอไปไดจ ำนวนหนงของเลม วนตอมำอำน

ไดอก 20 หนำ แตเมอรวมกนแลวจ ำนวนหนำทอำนทงหมดแลวเขำ

อำนไดไมถง 200 หนำ จงหำวำสนทรอำนหนงสอวนแรกไดอยำง

มำกทสดกหนำ

วธท า (S.1) โจทยก ำหนด ............................................................

.............................................. ......................................................

.......................................................................................................

โจทยใหหำ .......................................................................

(S.2) ให x แทนจ ำนวนจ ำนวนหนง

(S.3) ................................................................................

(S.4) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

(S.5) ..................................... .....................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

.............................................. ......................................................

25

แนวขอสอบเรอง อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค ำตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว

1) สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงมำกกวำ 27 ตรงกบขอใด

ก. 27x3

ข. 27x3

ค. 27x3

ง. 27x3

2) เจดเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงรวมกบสองเทำของจ ำนวนจ ำนวน

นนมคำไมเกน 36 ตรงกบขอใด

ก. 36x2x7

ข. 36x2x7

ค. 36x2x7

ง. 36x2x7

3) หำเทำของผลบวกของเลขจ ำนวนหนงกบหกมำกกวำหรอเทำกบ

32 ตรงกบขอใด

ก. 32)6x(5

ข. 32)6x(5

ค. 32)6x(5

ง. 32)6x(5

4) ครงหนงของจ ำนวนทนอยกวำ x อย 5 มคำไมเกน 24 ตรงกบขอ

ใด

ก. 245x21

ข. 245x21

ค. 24)5x(21

ง. 24)5x(21

5) สองเทำของเลขจ ำนวนหนงมคำไมถงครงของ 10 ตรงกบขอใด

ก. 10x2

ข. 10x2

ค. 1021x2

ง. 1021x2

6. ผลตำงของหนงในสำมของจ ำนวนหนงมคำไมนอยกวำ 12 ตรงกบ

ขอใด

ก. 123x6

ข. 123x6

ค.

ง. 1273x

7) ครงหนงของจ ำนวนซงนอยกวำ x อย 4 มคำไมนอยกวำ 20 ตรง

กบขอใด

ก. 204x21

ข. 204x21

ค. 20)4x(21

ง. 20)4x(21

8) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. จ ำนวนทกจ ำนวนทมำกกวำ -2 แตไมเกน 2

ข. จ ำนวนทกจ ำนวนตงแต -2 ถง 2

ค. จ ำนวนทกจ ำนวนทอยระหวำง -2 และ 2

ง. จ ำนวนทกจ ำนวนทนอยกวำ 2 แตไมนอยกวำ -2

9) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. 3x

ข. 3x

ค. 3x

ง. 3x

10) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. 4x1

ข. 4x1

ค. 4x1

ง. 4x1

11) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. 4x3

ข. 3x3 1273x

26

ค. 3x3

ง. 3x3

12) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. 4x

ข. 4x

ค. 4x

ง. 4x

13) กรำฟทก ำหนดใหแสดงจ ำนวนใด

ก. 0x

ข. 0x

ค. 0x

ง. ก และ ข ถก

14) ค ำตอบของอสมกำร 9x47x3 ตรงกบขอใด

ก. 16x

ข. 16x

ค. 16x

ง. 16x

15) ค ำตอบของอสมกำร x3)x1015(53 ตรงกบขอใด

ก. 1x

ข. 1x

ค. 1x

ง. 1x

16) ค ำตอบของอสมกำร x3135x3 ตรงกบขอใด

ก. 3x

ข. 2x

ค. 3x

ง. 4x

17) ค ำตอบของอสมกำร 1x213x ตรงกบขอใด

ก. 4x

ข. 4x

ค. 7x

ง. 4y

18) ค ำตอบของอสมกำร 32

64x

42x ตรงกบขอใด

ก. 5x

ข. 6x

ค. 7x

ง. 8x

19) ค ำตอบของอสมกำร x108)x24(6 ตรงกบขอใด

ก. 8x

ข. 8x

ค. 8x

ง. 8x

20) ค ำตอบของอสมกำร 12)5x(84 ตรงกบขอใด

ก. 2x

ข. 2x

ค. 4x

ง. 4x

21) ค ำตอบของอสมกำร 3x114

x1 ตรงกบขอใด

ก. 110x

ข. 60x

ค. 120x

ง. 50x

22) ค ำตอบของอสมกำร 0.001 (1-x) > 1 – x ตรงกบขอใด

ก. x > 0

ข. x < 1

ค.x > 1

ง. ไมมค ำตอบ

23) ค ำตอบของ x5)x3(2)x23(3 ตรงกบขอใด

ก. 5x

ข. 5x

ค. 5x

ง. 5x

24) ค ำตอบของ )2x7(311)3x2(4 ตรงกบขอใด

ก. 1x

ข. 1x

ค. 2x

ง. 2x

25) ค ำตอบของอสมกำร 25

3x

6x

9x2 ตรงกบขอใด

ก. 18x

ข. 36x

ค. 45x

ง. 54x

27

26) ค ำตอบของ 65x2

61x34

x4 ตรงกบขอใด

ก. 3x ข. 2x

ค. 0x ง. 5x

27) ค ำตอบของอสมกำร 1410x

103x7 ตรงกบขอใด

ก. 14x

ข. 14x

ค. 3x

ง. 4x

28) ค ำตอบของอสมกำร 272x57 ตรงกบขอใด

ก. 5x1

ข. 5x1

ค. 1x3

ง. 1x5

29) ค ำตอบของอสมกำร 142x34 ตรงกบขอใด

ก. 4x2

ข. 4x2

ค. 4x2

ง. 4x2

30) ค ำตอบของอสมกำร 2x - < 3x + 1 < 7 + x ตรงกบขอใด

ก. -4 < x < 3

ข. 1 < x < 3

ค. -2 < x < 3

ง. -1 < x < 3

31) ในโรงเรยนแหงหนง เมอรบนกเรยนเพมอก 220 คน แลวม

จ ำนวนนกเรยนในโรงเรยนยงไมถง 800 คน จ ำนวนนกเรยนทมอย

เดม จะมอยำงมำกทสดกคน

ก. 570

ข. 579

ค. 580

ง. 581

32) จ ำนวนทมำกทสดทท ำให 2 เทำของผลบวกของจ ำนวนนนกบ

12 มคำไมเกน 40 คอขอใด

ก. 14

ข. 13

ค. 8

ง. 7

33) มสมและมะมวงในอตรำสวนสองตอสำม ตอมำขำยสมไป 300

ผล ปรำกฏวำเหลอผลไมทงสองชนดไมถง 600 ผล เดมมผลกผล

ก. มำกกวำ 180 ผล

ข. นอยกวำ 180 ผล

ค. มำกกวำ 900 ผล

ง. นอยกวำ 180 ผล

34) แบงเงนใหด ำและแดง โดยด ำไดรบ 1 ใน 3 ของจ ำนวนนน และ

แดงไดรบมำกกวำด ำ 50 บำท เมอรวมเงนทแบงใหทงสองคน

ปรำกฏวำยงไมเกน 400 บำท ด ำไดรบอยำงมำกทสดกบำท

ก. 174

ข. 175

ค. 524

ง. 525

35) สวนแหงหนงปลกเงำะไว 500 ตนปรำกฏวำน ำทวมเงำะตำยไป

ท ำใหเงำะตำยไปท ำใหเหลอตนเงำะไมถง 100 ตน จงหำวำเงำะตำย

ไปอยำงนอยกตน

ก. 399

ข. 400

ค. 401

ง. 402

36) สำมเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงเมอเพมอก 3 จะมคำนอยกวำ

สองเทำของจ ำนวนนลบดวย 4 จ ำนวนนมคำเทำใด

ก. นอยกวำ -7

ข. มำกกวำ -7

ค. นอยกวำ 7

ง. มำกกวำ 7

37) กำนดำซอเสอจำกรำนคำแหงหนงโดยใชเงนไป 1 ใน 3 ของเงน

ทงหมด เปนคำอำหำร 1 ใน 6 ของเงนทซอเสอ ถำกำนดำมเงนกลบ

บำนมำกกวำ 275 บำท กำนดำน ำเงนไปอยำงนอยกบำท

ก. 450

ข. 451

ค. 455

ง. 460

38) สำมในหำของเงนจ ำนวนหนง เมอหกออกดวยหนงในสำมของ

เงนจ ำนวนนนแลวมคำไมถง 200 บำท จงหำวำเงนจ ำนวนนนมคำ

เทำใด

ก. ไมมำกกวำ 750 บำท

ข. ไมเกน 750 บำท

ค. มำกกวำ 750 บำท

ง. ไมถง 750 บำท

28

39) สองเทำของจ ำนวนจ ำนวนหนงรวมกบ 80 กยงนอยกวำ 100

อสมกำรนคอขอใด

ก. x + 30 < 50

ข. 2x + 30 < 100

ค. 2x – 80 < 100

ง. 2x + 80 > 100

40) วนแรกสนทรอำนหนงสอไปไดจ ำนวนหนงของเลม วนตอมำอำน

ไดอก 20 หนำ แตเมอรวมกนแลวจ ำนวนหนำทอำนทงหมดแลวเขำ

อำนไดไมถง 200 หนำ จงหำวำสนทรอำนหนงสอวนแรกไดอยำง

มำกทสดกหนำ

ก. นอยกวำ 180 หนำ

ข. 179 หนำ

ค. 180 หนำ

ง. นอยกวำ 200 หนำ

41) จ ำนวนเตมคสองจ ำนวนเรยงตดกนแลวมผลบวกนอยกวำ 60

แลวจ ำนวนทนอยมคำเทำไร

ก. 27x1

ข. 29x1

ค. 27x

ง. 29x

42) สำมในสของเงนจ ำนวนหนง เมอหกออกดวยสำมในหำของเงน

จ ำนวนนมคำไมถง 225 จงหำวำเงนจ ำนวนนมคำเทำใด

ก. ไมถง 1,500 บำท

ข. ไมนอยกวำ 1,500 บำท

ค. มำกกวำ 1,500 บำท

ง. มำกกวำ 2,000 บำท

43) เมอจนเรยนอยชน ม.2 สอบไดคะแนนมำกกวำอยชน ม.1 อย 10

คะแนน แตเมอเขำอยชน ม.2 สอบไดคะแนนไมเกน 50 คะแนน

อยำกทรำบวำเมออยชน ม.1 จนสอบไดคะแนนมำกทสดเทำไร

ก. 40

ข. 44

ค. 48

ง. 50

44) ถำดำนของสำมเหลยมเปน 3 นวและ 4 นว จงหำควำมยำวของ

ดำนทสำมทท ำใหรปสำมเหลยมรปนเปนรปสำมเหลยมมมแหลม

ก. 0 < x < 5

ข. 2 < x < 5

ค. 1 < x < 7

ง. ไมมค ำตอบ

45) อสมกำร )4x(21)1x4(3)2x3(2

710 ม

ค ำตอบตรงกบขอใด

ก. 2x ข. 4x

ค. 112x ง. 11

4x

46) ถำ yx และ 1c ขอใดไมถกตอง

ก. cycx

ข. cycx

ค. cy

cx

ง. cycx

47) ค ำตอบของอสมกำร x2x ตรงกบขอใด

ก. 41x

ข. 2x

ค. 4x

ง. 41x

ใหนกเรยนสงเกตการแกอสมการตอไปนแลว

ตอบค าถามขอ 5048

กำรแกอสมกำร )14m4(2)m4(3

วธท า 28m8m312 สมบตกำรแจกแจง

m828m8m8m312 ............(48)..........

28m512 รปอยำงงำย

122812m512 ...........(49)..........

16m5 รปอยำงงำย

516

5m5

..........(50)..........

513m รปอยำงงำย

48) จำกกำรแกอสมกำรขำงตนใชสมบตในขอใด

ก. สมบตกำรลบ ข. สมบตกำรบวก

ค. สมบตกำรคณ ง. สมบตกำรหำร

49) จำกกำรแกอสมกำรขำงตนใชสมบตในขอใด

ก. สมบตกำรลบ ข. สมบตกำรบวก

ค. สมบตกำรคณ ง. สมบตกำรหำร

50) จำกกำรแกอสมกำรขำงตนใชสมบตในขอใด

ก. สมบตกำรลบ ข. สมบตกำรบวก

ค. สมบตกำรคณ ง. สมบตกำรหำร

************************************

29

บทท 2 ความนาจะเปน

(Probability) จดมงหมายของบทเรยน

1. บอกผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนไดจากการทดลองสม และบอกผลลพธของ

เหตการณทก าหนดใหได

2. หาความนาจะเปนของเหตการณจากการทดลองสมทผลลพธแตละตวมโอกาส

เกดขนเทา ๆ กนได

3. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนในเหตการณไดอยางสมเหตสมผล

4. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนประกอบการตดสนใจในสถานการณตาง ๆ ได

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

20

หมำยถง กำร

ทดลองหรอกำรกระท ำซงทรำบผลลพธทไดจำกกำรทดลองนน

อำจจะเปนอะไรไดบำงแตไมสำมำรถระบไดแนชดวำ ในกำรทดลอง

แตละครงจะเกดผลลพธอะไรจำกผลลพธทงหมดเหลำนน เชน

กำรโยนเหรยญ 1 เหรยญผลลพธคอ หว, กอย แตไม

สำมำรถบอกไดจะออกอะไร

กำรโยนลกเตำ 1 ลก ผลลพธคอ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แตไม

สำมำรถบอกไดจะออกหนำอะไร

แตถำกำรกระท ำหรอกำรทดลองใดทเรำทรำบผลลพธ

แนนอน ไมถอวำเปนกำรทดลองสม เชน น ำ 2 มำบวกกบ 3

ผลลพธจะได 5

คอ ผลทงหมดท

เกดขนจำกกำรทดลองหนง ๆ ใชสญลกษณ “S” แทน แซมเปลสเปซ

และใช “n(S)” แทน จ ำนวนของแซมเปลสเปซทเกดขนทงหมด

จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ

(n(S)) ของกำรทดลองสมท

ก ำหนดใหตอไปน

1) โยนเหรยญหำบำท 1 ครง

S คอ H, T

n(S) คอ 2

2) โยนเหรยญหำบำท 2 เหรยญ

S คอ (H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T)

n(S) คอ 4

จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ

(n(S)) ของกำรทดลองสมท

ก ำหนดใหตอไปนโดยใชแผนภมตนไม

1) ครอบครวหนงมบตร 2 คน

S คอ ชช, ชญ, ญช, ญญ

n(S) คอ 4

จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ

(n(S)) ของกำรทดลองสมทก ำหนดใหตอไปนโดยใชแผนภมตนไม

1) ถงใบหนงมหนงยำงสแดง (R) สขำว (W) และสน ำเงน (B)

อยำงละเสน ทกเสนมขนำดเทำกน หยบหนงยำงขนมำ 1 เสน แลวด

วำเปนสอะไรแลวใสคน เขยำถงและหยบหนงยำงขนมำอกครง

S คอ (R,R),(R,W),(R,B),(W,R),(W,W),(W,B),(B,R),(B,W),(B,B)

n(S) คอ 9

จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ

(n(S)) ของกำรทดลองสมท

ก ำหนดใหตอไปนโดยใชแผนภมตนไม

1) ในกำรโยนเหรยญบำท 1 อน 3 ครง

S คอ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

n(S) คอ 8

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

21

1. จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ (n(S)) ของกำร

ทดลองสมทก ำหนดใหตอไปน (ตวอยำงท 1)

1) ครอบครวมบตรหนงคน

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

2) กำรแขงขนวอลเลยบอลระหวำงสแดงและสเหลอง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

3) กำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

4) หยบลกปงปอง 1 ลก จำกถงทมลกปงปอง 5 สไดแก สแดง ส

เหลอง สเขยว สขำวและสมวง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

5) หยบสลำก 1 ใบ จำกกลองทมหมำยเลข 1, 2, 3, 4, …, 20

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

6) ในกำรสอบวชำคณตศำสตรครงหนงม 10 คะแนน

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

7) หยบอกษร 1 ตวจำกค ำวำ “FIVE”

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

8) หยบอกษร 1 ตวจำกค ำวำ “EIGHT”

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

9) โยนเหรยญบำท 1 อน 3 ครง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

1. จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ (n(S)) ของกำร

ทดลองสม ทก ำหนดใหตอไปน โดยใชแผนภมตนไม (ตวอยำงท 2, 3)

1) โยนเหรยญหำบำท 2 อน 1 ครง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

2) ตรวจสอบหลอดไฟ 2 หลอดวำดหรอไมด

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

3) ถงใบหนงมหนงยำงสด ำ (B) สชมพ (P) และสเหลอง (Y) อยำงละ

เสน ทกเสนมขนำดเทำกน หยบหนงยำงขนมำ 1 เสน แลวดวำเปนส

อะไรแลวใสคน เขยำถงและหยบหนงยำงขนมำอกครง

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

4) สมหยบสลำก 2 ใบ จำกถงใบทหนงทมสลำกหมำยเลข 3 และ 5

และถงใบทสองมสลำกหมำยเลข 1, 7, 9

S คอ .............................................................................................

n (S) คอ ……….

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

22

1. จงหำแซมเปลสเปซ (S) และจ ำนวนแซมเปลสเปซ (n(S)) ของกำร

ทดลองสมทก ำหนดใหตอไปน โดยใชแผนภมตนไม (ตวอยำงท 4)

1) ท ำขอสอบแบบถกผด 3 ขอ

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

2) ครอบครวหนงมบตร 3 คน

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

3) โยนลกเตำ 1 ลก 2 ครง

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

4) มสลำกทเขยนหมำยเลข 1, 2, 4 อยในกลองละ 1 หมำยเลข สม

หยบสลำกโดยก ำหนดเงอนไขในกำรหยบดงน

4.1) หยบสลำกพรอมกน 2 ใบ

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

4.2) หยบ 2 ใบ โดยหยบทละใบไมใสคน

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

4.3) หยบ 2 ใบ โดยหยบทละใบแลวใสคน

S คอ .............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

n (S) คอ ……….

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

23

หมำยถง สงทเรำสนใจในกำร

ทดลองสมครงหนง ๆ ใชสญลกษณ “E” แทน เหตกำรณทเรำสนใจ

และใช “n(E)” แทนจ ำนวนเหตกำรณทเรำสนใจ

ในกำรโยนเหรยญบำท 1 อน 2 ครง จงหำ

เหตกำรณและจ ำนวนเหตกำรณตอไปน

1) ไดเหรยญหนำเหมอนกน

วธท า )T,T(),H,T(),T,H(),H,H(คอS

)T,T(),H,H(คอE

2)E(n 2) ไดเหรยญหนำหวอยำงนอย 1 เหรยญ

วธท า )T,T(),H,T(),T,H(),H,H(คอS

)H,T(),T,H(),H,H(คอE

3)E(n

3) ไดเหรยญหนำกอยอยำงนอย 1 เหรยญ

)T,T(),H,T(),T,H(),H,H(คอS

)T,T(),H,T(),T,H(คอE

3)E(n

ในกำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง จงหำเหตกำรณและ

จ ำนวนเหตกำรณตอไปน

1) ลกเตำขนแตมค

วธท า 6,5,4,3,2,1คอS

E คอ 2, 4 , 6 n(E) = 3

2) ลกเตำขนแตมเปนจ ำนวนเฉพำะ

วธท า 6,5,4,3,2,1คอS

E คอ 2 , 3 , 5 n(E) = 3

3) ลกเตำขนแตมท 3 หำรลงตว

………………………………………………….. …………………………………………………

………………………………………………….. …………………………………………………

4) ลกเตำขนแตมทมำกกวำ 4

………………………………………………….. …………………………………………………

………………………………………………….. …………………………………………………

1. ในกำรโยนเหรยญหำบำท 1 อน 2 ครง จงหำเหตกำรณและ

จ ำนวนของเหตกำรณตอไปน

1) เหรยญขนหวอยำงนอย 1 ครง

2) เหรยญขนหว 2 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

3) เหรยญขนหวและกอยเทำกน

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

4) เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

2. ในกำรโยนเหรยญหำบำท 1 อน 3 ครง จงหำเหตกำรณและ

จ ำนวนของเหตกำรณตอไปน

1) เหรยญขนหวอยำงนอย 1 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

2) เหรยญขนหว 2 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

3) เหรยญขนหวและกอยเทำกน

4) เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

3. ในกำรโยนเหรยญบำท 1 อน 3 ครง จงหำเหตกำรณและจ ำนวน

ของเหตกำรณตอไปน

1) ออกกอย 1 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

2) ออกหวนอยกวำออกกอย

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

3) ออกกอยมำกกวำ 2 ครง

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

4) เหรยญขนหนำเหมอนกน

S คอ.............................................................................................

E คอ.......................................................................... n (E) = .....

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

24

1. ในกำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณตอไปน

S คอ...............................................................................................

1.1) ลกเตำขนแตมไมนอยกวำ 3

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.2) ลกเตำขนแตมคหรอจ ำนวนเฉพำะ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.3) ลกเตำขนแตมคหรอแตมมำกกวำ 4

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2. ในกำรทอดลกเตำ 2 ลก 1 ครง จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณตอไปน

S คอ..............................................................................................

.......................................................................................................

2.1) ผลรวมของแตมเปน 8

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.2) ผลรวมของแตมหำรดวย 3 ลงตว

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.3) ผลรวมของแตมไมเกน 6

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.4) ผลรวมของแตมไมต ำกวำ 9

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.5) ผลรวมของแตมเปน 5

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.6) แตมทงสองหนำเปนจ ำนวนเฉพำะ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.7) ผลรวมของแตมเปน 4 หรอ 5 หรอ 6

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.8) ผลรวมของแตมอยำงมำกทสดคอ 5

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

1. ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณตอไปน

S คอ...............................................................................................

1.1) เปนชำยอยำงนอย 1 คน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.2) เปนชำยมำกกวำเปนหญง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.3) เปนหญงลวน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.4) บตรคนโตเปนผชำย

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.5) มบตรทเปนหญงทง 2 คน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.6) มคนโตเปนชำย คนสดทองเปนหญง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2. ครอบครวหนงมบตร 3 คน จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณตอไปน

S คอ..............................................................................................

.......................................................................................................

2.1) เปนชำยทงสำมคน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.2) เปนชำย 2 คน เปนหญง 1 คน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.3) เปนชำยอยำงนอย 1 คน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.4) เปนชำยและหญงเทำกน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.5) บตรชำยมำกกวำบตรหญง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

2.6) เปนหญงลวน

E คอ ............................................................................... n(E)=……

…………………………………………………………………………………………

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

25

1. หยบลกปงปอง 1 ลกจำก ถงใบหนงมลกปงปองขนำดเทำกน เปนส

เขยว (G) 4 ลก สด ำ (B) 3 ลก และสมวง (P) 1 ลก จงหำเหตกำรณ

และจ ำนวนของเหตกำรณตอไปน

S คอ..............................................................................................

1.1) ไดลกปงปองสเขยว

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.2) หยบไดลกปงปองสด ำ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.3) ไดลกปงปองสมวง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1.4) หยบไดลกปงปองสสมหรอสด ำ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2. หยบสลำก 1 ใบ จำกถงใบหนงมสลำก 10 ใบ เปนหมำยเลข 1 ถง

10 จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของเหตกำรณตอไปน

S คอ..............................................................................................

2.1) ไดหมำยเลขท 5 หำรลงตว

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2.2) ไดหมำยเลขมำกกวำ 7

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2.3) ไดหมำยเลขทเปนจ ำนวนเฉพำะ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

2.4) ไดหมำยเลขท 2 และ 3 หำรลงตว

E คอ ............................................................................... n(E)=……

3. หยบลกปงปอง 1 ลกจำก ถงใบหนงมลกปงปองขนำดเทำกน เปน

สแดง (R) 7 ลก สฟำ (B) 3 ลก สเหลอง (Y) 2 ลก จงหำเหตกำรณ

และจ ำนวนของเหตกำรณตอไปน

S คอ..............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

3.1) ไดลกปงปองสแดง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

3.2) หยบไดลกปงปองสเหลอง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

3.3) ไดลกปงปองสแดงหรอเหลอง

E คอ ............................................................................... n(E)=……

3.4) หยบไดลกปงปองสแดงและสฟำ

E คอ ............................................................................... n(E)=……

1. กลองใบหนงมลกปงปองอย 3 ลก สขำว (W) สแดง (R) และสมวง

(P) สมหยบปงปองมำ 2 ลก โดยหยบครงละลก แลวไมใสคน จงหำ

เหตกำรณและจ ำนวนของเหตกำรณทจะหยบไดลกปงปองสขำวตำม

ดวยสแดง

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

2. มเลขอย 5 ตว คอ 1, 2, 3, 4, 5 จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณทจะสรำงเลข 3 หลก ไมซ ำกนและมคำไมเกน 200

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

3. กลองใบหนงมลกบอลสแดง (R) ขำว (W) น ำเงน (B) และสมอยำง

ละ 1 ลก หยบลกบอลออกจำกกลอง 2 ลก โดยหยบทละลกและใส

คนกอนหยบลกท 2 หำเหตกำรณและจ ำนวนของเหตกำรณทไมไดส

สม

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

4. กลองใบหนงมลกบอลขนำดเดยวกน 6 ลก เปนสด ำ (B) 2 ลก

ขำว (W) 3 ลก สม (O) 1 ลก หยบลกบอลออกจำกกลองอยำงสมมำ

2 ลก โดยหยบทละลกแลวไมใสคน จงหำเหตกำรณและจ ำนวนของ

เหตกำรณทหยบแลวไดลกบอลสด ำและขำวตำมล ำดบ

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

26

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณใด ๆ คอ อตรำสวนระหวำง

จ ำนวนสมำชกของเหตกำรณ (n(E)) ตอจ ำนวนแซมเปลสแปซ (n(S))

ใชสญลกษณ “P(E)” แทนควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เขยนไดดงน

ควำมนำจะเปน = จ ำนวนของเหตกำรณ/ จ ำนวนแซมเปลสเปซ

หรอ )S(n)E(n)E(P

1. ส ำหรบทกๆเหตกำรณ E แลว 1)E(P0

2. ถำ 1E เปนเหตกำรณทเกดขนแนนอนแลว 1)E(P 1

3. ถำ 2E เปนเหตกำรณทไมเกดขนแนนอนแลว 0)E(P 2

4. ถำ E เปนเหตกำรณทจะไมเกดเหตกำรณ E แลว

)E(P1)E(P

ในกำรโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหำควำมนำจะเปน

ตอไปน

S คอ HH, HT, TH, TT 4)S(n

1) เหรยญขนหวทงสองเหรยญ

วธท า E คอ HH

1)E(n

จำก )S(n)E(n)E(P

41

)E(P

2) เหรยญขนหวอยำงนอย 1 เหรยญ

วธท า E คอ HH, HT, TH

3)E(n

จำก )S(n)E(n)E(P

43

)E(P

3) เหรยญขนหนำเหมอนกน 4) เหรยญขนหวอยำงนอย 1 เหรยญ

วธท า E คอ HH,TT วธท า E คอ HT,TH

2)E(n 2)E(n

จำก )S(n)E(n)E(P )S(n

)E(n)E(P

21

42)E(P 2

142)E(P

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. ในกำรโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหำควำมนำจะเปน

S คอ..............................................................................................

n(S) = ..........

1.1) เหรยญอนแรกขนหว 1.2) เหรยญอนหลงขนกอย

1.3) ไมเกดกอยทงสองเหรยญ 1.4) เหรยญขนหว 2 เหรยญ

หรอ กอย 2 เหรยญ

2. ในกำรโยนเหรยญ 1 อน 3 ครง จงหำควำมนำจะเปนท

S คอ..............................................................................................

n (S) = ..........

2.1) ขนกอยอยำงนอย 2 ครง 2.2) เหรยญขนกอย

อยำงนอย 1 ครง

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.3) ขนหวอยำงนอย 1 ครง 2.4) เหรยญขนกอย 2 ครง

หว 1 ครง

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.5) เหรยญออกกอย 1 ครง 2.6) เหรยญออกหว

และออกกอยเทำกน

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

3. โยนเหรยญ 3 เหรยญพรอมกน 1 ครง จงหำโอกำสทไดหวในครง

ท 2 และกอยในครงท 3

........................................................ .............................................

........................................................ .............................................

........................................................ .............................................

........................................................ .............................................

........................................................ .............................................

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

27

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. จอยชวนเพอน 3 คน ไปหวหน แตยงไมไดรบค ำตอบทแนนอนวำ

จะไปหรอไมไป จงหำควำมนำจะเปนทจอย จะมเพอนไปเทยวทะเล

อยำงนอยหนงคน

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2. ถำสมครอบครวทมบตรสองคนมำครอบครวหนงจงหำควำม

นำจะเปนท

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.1) มบตรชำยอยำงนอย 1 คน

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.2) มบตรชำย 1 คน บตรหญง 1 คน

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.3) คนแรกเปนชำย คนทสองเปนหญง

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.4) มบตรชำยมำกกวำบตรหญง

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. ทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ..............................................................................................

n (S) = ..........

1.1) ลกเตำขนแตมค 1.2) ลกเตำขนแตม

เปนจ ำนวนเฉพำะ

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

1.3) ลกเตำขนแตมคและแตมค 1.4) ขนแตมมำกกวำ 2

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

1.5) ลกเตำขนแตม 2 และ 3 1.6) ขนแตม 7

หำรลงตว

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2. ทอดลกเตำ 2 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ..............................................................................................

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………

n (S) = ..........

2.1) ไดแตมเหมอนกน 2.2) ผลรวมของแตมเปน 5

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.3) ผลรวมของแตมเปน 10 2.4) ผลรวมของแตมเปน 2

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

2.5) ผลรวมของแตมนอยกวำ 9 2.6) ไดเลขคทง 2 ลก

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

……………………………………………………. …………………………………………..

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

28

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. ถงใบหนงมลกแกวขนำดเทำกนสขำว 4 ลก สแดง 1 ลก สฟำ 3

ลก และสเหลอง 2 ลก ถำสมหยบลกแกว 1 ลก จงหำควำมนำจะ

เปนตอไปน

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

1.1) ไดลกแกวสแดง

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.2) ไดลกแกวสเหลอง

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.3) ไดลกแกวสขำว

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.4) ไดลกแกวสเหลองหรอสฟำ

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2. มลกบอล 15 ลก เขยนหมำยเลข 1 ถง 15 ลกละ 1 จ ำนวน ถำสม

หยบครงละ 1 ลก จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2.1) ไดจ ำนวนทม 2 หลก

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2.2) ไดจ ำนวนมำกกวำ 2 แตนอยกวำ 8

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2.3) จ ำนวนทนอยกวำ 5 แตนอยกวำ 10

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2.4) ไดลกบอลทมตวเลขเปนจ ำนวนเฉพำะ

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

3. มบตรหมำยเลข 0 ถงหมำยเลข 100 หมำยเลขละ 1 บตร สมหยบ

มำ 1 บตร จงหำควำมนำจะเปนทจะพบบตรหมำยเลขค และ 15

หำรลงตวเปนเทำไร

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

4. มสลำก 20 ใบ เขยนเบอร 1 ถง 20 สลำกทงหมดอยในกลอง สม

หยบขนมำ 1 ใบ จงหำควำมนำจะเปนทจะไดเบอรทหำรดวย 2 หรอ

7 หำรลงตว

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

5. มสลำก 20 ใบ เขยนเบอร 1 ถง 20 สลำกทงหมดอยในกลอง สม

หยบขนมำ 1 ใบ จงหำควำมนำจะเปนทจะไดเบอรทหำรดวย 2 และ

7 หำรลงตว

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

6. กลองใบหนงมบตรอย 1,000 ใบ ใบละ 1 หมำยเลข ตงแต 000

ถง 999 สมหยบมำ 1 ใบ จงหำควำมนำจะเปนทจะไดบตรทม

หมำยเลขเรยงกน

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

7. ในกำรสอบคณตศำสตรแบบเลอกตอบ 20 ขอ ขอละ 1 คะแนน ผ

ทสอบผำนตองไดคะแนนตงแต 60% ขนไป จงหำควำมนำจะเปน

นกเรยนคนหนงจะสอบไมผำน ถำท ำขอสอบโดยกำรสม

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

29

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. หยบไพ 1 ใบ จำกไพส ำรบหนง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.1) หยบไดไพโพแดง 1.2) หยบได A

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.3) หยบไดไพสด ำ 1.4) หยบไดไพ K ขำวหลำมตด

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.5) หยบไดไพแตม K 1.6) หยบไดไพแตม 5 หรอ 6

หรอไพดอกจก

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

1.7) หยบไดไพ 2 ดอกจก 1.8) หยบไดไพ J หรอ Q ดอก

และ Q โพด ำ จกหรอโพแดง

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2. สมหยบตวอกษร 1 ตว จำกค ำวำ “EIGHT” จงหำควำมนำจะเปนท

สมเลอกไดพยญชนะ

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

3. เน แนนและว สำมพนองยนเขำแถวถำยรป จงหำควำมนำจะเปน

ทเนจะยนตดกบแนน

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

4. ถำน ำนำย A, B และ C มำเขำแถวเปนเสนตรง จงหำควำมนำจะ

เปนทนำย B จะยนอยหวแถวเสมอ

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

5. กลองใบหนงมลกบอลขนำดเดยวกน 5 ลก เปนสด ำ 3 ลก สเขยว

2 ลก หยบลกบอลออกจำกลองนอยำงสม 2 ลก โดยหยบลกแรก

แลวไมใสคน จงหำควำมนำจะเปนทจะไดลกบอลสเดยวกน

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

6. ถงใบหนงมลกแกวสขำว แดงและสมอยำงละหนงลก สมหยบ

ลกแกวมำ 2 ลกโดยหยบทละลกแลวใสคน จงหำควำมนำจะเปนได

ลกแกวสแดงอยำงนอยหนงลก

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

30

จงหาความนาจะเปนตอไปน

1. ถงใบหนง มลกแกวขนำดเดยวกน 3 ส เปนสขำว 12 ลก สแดง 8

ลก และสเขยว 4 ลก คละอยในถง สมหยบขนมำ 1 ลก ควำมนำจะ

เปนทจะไดลกแกวสแดงเปนเทำใด

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

2. กลองใบหนงมลกบอลสขำวสขำว 4 ลก สแดง 5 ลก และสน ำเงน

6 ลก หยบลกบอลอยำงสมออกจำกกลอง 1 ลก จงหำควำมนำจะ

เปนทจะไดลกบอลสขำวหรอสแดงเปนเทำใด

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

3. ในกำรเลอกตวเลข 2 ตว จำกตวเลข 5 ตว คอ 1, 2, 3, 4, 5 โดย

เลอกทละตวและไมใหซ ำกน ควำมนำจะเปนทจะไดตวเลข 2 ตว ทม

ผลบวกเปน 6 เปนเทำใด

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

4. นกเรยนทงหมดม 15 คน ม 12 คนชอบคณตศำสตรและ 10 คน

ชอบภำษำไทย ถำสมนกเรยนมำ 1 คน จงหำควำมนำจะเปนทจะได

นกเรยนทชอบวชำคณตศำสตรอยำงเดยว

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

5. มนกเรยน 50 คน ชอบฟตบอล 26 คน ชอบเปตอง 14 คน และ

ชอบทงสองอยำง 4 คน ถำสมนกเรยนมำ 1 คน ควำมนำจะเปนทจะ

ไดนกเรยนทไมชอบทงสองชนดเปนเทำใด

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

6. นกเรยนทงหมดม 18 คน ม 14 คนชอบดหนงไทย ม 10 คนชอบด

หนงจน สมเลอกนกเรยน 1 คนจงหำควำมนำจะเปนทจะไดนกเรยนท

ชอบดหนงไทยอยำงเดยว

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

…………………………………………………… ………………………………………………

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

31

กำรตดสนใจเหตกำรณบำงอยำงอำศยเพยงควำมนำจะเปน

อยำงเดยวคงท ำใหตดสนใจยำก สงทใชประกอบกบคำของควำม

นำจะเปนในกำรตดสนใจคอ ผลตอบแทนของกำรเกดเหตกำรณนน

ซงเรำหำไดจำกคำคำดหมำย

1. ถำคำคำดหมำยเปนบวก แสดงวำเรำมโอกำสไดเปรยบคแขงขน

2. ถำคำคำดหมำยเปนลบ แสดงวำเรำมโอกำสเสยเปรยบคแขงขน

3. ถำคำคำดหมำยเทำกบศนย แสดงวำเรำกบคแขงขนมโอกำส

ไดเปรยบเสยเปรยบเทา ๆ กน

สลำกบนดนสองตวมรำงวลหนงรำงวลใหส ำหรบผซอ

ทถกรำงวลคอบำทละ 60 บำท จงหำคำคำดหมำย จำกกำรซอ

สลำกบนดนสองตวน

S คอ 00, 01, 02, …, 99 n(S)=100

ควำมนำจะเปนทจะถกสลำกบนดนสองตว คอ 100

1

ควำมนำจะเปนทจะไมถกสลำกบนดนสองตว คอ10099

ผลตอบแทนทไดเทากบ 60 ผลตอบแทนทเสยเทากบ -1

คำคำดหมำย = (ผลตอบแทน ควำมนำเปนทจะเกด)

+ (ผลเสยควำมนำจะเปนทไมเกด)

)10099

1()100

160(คาคาดหมาย

10099

10060

100

39

คำคำดหมำยเปนลบ แสดงวำผซอสลำกบนดน จะ

เสยเปรยบผขำยสลำก ตอบ

1. ดวงเลนพนนโยนเหรยญกบเดน โดยโยน 3 เหรยญพรอมกน

1 ครง ถำเหรยญทโยนออกหวทงสำมเหรยญ เดนตองจำยเงนใหดวง

10 บำท แตถำออกอยำงอนแลว ดวงตองจำยเงนใหเดน 1 บำท ถำม

กำรเลนกำรพนนโยนเหรยญไปเรอย ๆ หลำย ๆ ครง นกเรยนคดวำ

ดวงหรอเดนจะไดเงนมำกกวำกน

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

2. ผถกรำงวลเลขทำยสองตวของสลำกกนแบงรฐบำลจะไดรบเงน

2,000 บำท คำคำดหมำยทจะถกรำงวลเลขทำยสองตว เมอซอ

สลำกกนแบงรฐบำล 1 ใบ รำคำ 80 บำท เปนเทำใด

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

3. ฟองชวนเมองโยนลกเตำ 1 ลก 1 ครง โดยตกลงวำ ถำเมองโยน

ลกเตำหงำยแตมมำกกวำ 4 เมองจะไดรบเงน 10 บำท แตถำเมอง

โยนลกเตำหงำยแตมนอยกวำ 5 เมองจะเสยเงนใหฟอง x บำท ถำ

ทงฟองและเมองไมมใครไดเปรยบเสยเปรยบในครงน จงหำคำ x

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

32

แนวขอสอบเรอง ความนาจะเปน

ค าสง ใหนกเรยนเลอกค ำตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว

1. โยนเหรยญบำท 1 อน 3 ครง จงหำควำมนำจะเปนทจะไดหวอยำง

นอย 2 ครง เทำกบเทำใด

ก. 1/8

ข. 1/4

ค. 3/8

ง. 1/2

2. ในกำรโยนทเทยงตรง 1 เหรยญ 2 ครงจงหำควำมนำจะเปนท

เหรยญจะออกหว 1 ครง

ก. 3/4

ข. 1

ค. 1/4

ง. 1/2

3. ครอบครวหนงมบตร 5 คน เปนชำยลวน โอกำสบตรคนท 6 จะ

เปนชำยเปนเทำใด

ก. 1/2

ข. 5/6

ค. 3/4

ง. 2/3

4. นกเรยนคนหนงท ำขอสอบแบบถกผด 3 ขอ โดยวธเดำ จงหำ

ควำมนำจะเปนทเขำจะเดำถกอยำงนอย 2 ขอเทำกบเทำใด

ก. 1/8

ข. 1/4

ค. 1/2

ง. 2/3

5. ทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณทจะได

แตมมำกกวำ 6 เปนเทำใด

ก. 0

ข. 1/3

ค. 1/2

ง. 2/3

6. โยนเหรยญ 1 อน และทอดลกเตำ 1 ลก โอกำสทเหรยญออกหว

แตลกเตำหงำยแตมไมเกน 3 เปนเทำใด

ก. 1/4

ข. 1/3

ค. 1/2

ง. 3/4

7. โยนเหรยญ 1 อน และทอดลกเตำ 1 ลกพรอมกน ควำมนำจะเปน

ทเหรยญจะหงำยหวและลกเตำขนแตมคเปนเทำใด

ก. 1/2

ข. 1/3

ค. 1/4

ง. 1/5

8. ทอดลกเตำ 2 ลก พรอมกน 1 ครง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ

ทจะไดผลตำงของแตมเปน 3 เทำกบขอใด

ก. 5/36

ข. 1/6

ค. 7/36

ง. 2/9

9. โยนลกเตำ 2 ลก พรอมกน 1 ครง โอกำสทจะมลกหนงขนแตม 1

อกหนงไมขนแตม 1 เปนเทำใด

ก. 1/6

ข. 2/9

ค. 5/18

ง. 1/3

10. โยนลกเตำ 2 ลก 1 ครง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณทไดผล

รวมของแตมลกเตำเปนจ ำนวนเฉพำะเปนเทำใด

ก. 13/36

ข. 7/18

ค. 5/12

ง. 4/9

11. หยบตวอกษร 1 ตว จำกค ำวำ “PROBLEM” ควำมนำจะเปนท

หยบไดตวอกษรทเปนพยญชนะคอขอใด

ก. 2/7

ข. 3/7

ค. 4/7

ง. 5/7

12. สมหยบอกษร 1 ตว จำกค ำวำ “COMPUTER” ควำมนำจะเปนท

จะหยบไดสระเปนเทำใด

ก. 1/8

ข. 1/4

ค. 3/8

ง. 1/2

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

33

13. หยบลกปงปอง 1 ลก จำกกลอง ซงมลกปงปองสแดง 4 ลก ส

ขำว 6 ลก ควำมนำจะเปนทจะไดลกปงปองสขำวเทำกบเทำใด

ก. 1/10

ข. 2/5

ค. 3/4

ง. 3/5

14. โอกำสทจะหยบเลขโดด 1 ตว จำกตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9

แลวไดเลขคเปนเทำใด

ก. 2/5

ข. 1/2

ค. 3/4

ง. 3/5

15. มสลำกอย 10 ใบ แตละใบเขยนตวเลข 0 ถง 9 ไวใบละตว ถำสม

หยบขนมำ 1 ใบ ควำมนำจะเปนทไดสลำกทเขยนตวเลขทมคำ

มำกกวำ 6 เทำกบขอใด

ก. 1/5

ข. 3/10

ค. 2/5

ง. 1/2

16. บตรจ ำนวนหนงมหมำยเลขก ำกบอยบตรละ 1 หมำยเลข ตงแต

1,200 ถง 2,200 สมหยบมำ 1 ใบ โอกำสทจะไดบตรทลงทำยดวย

00 เปนเทำใด

ก. 10/1001

ข. 11/1001

ค. 11/1000

ง. 1/100

17. เลอกจ ำนวนเตมตงแต 20 ถง 50 หนงจ ำนวน ควำมนำจะเปนท

จะเปนจ ำนวนคหรอหำรดวย 7 ลงตว เปนเทำไร

ก. 12/20

ข. 12/31

ค. 15/31

ง. 17/31

18. มสลำกหมำยเลข 20 ถง 40 ใบละหนงหมำยเลข โอกำสจะได

สลำกหมำยเลขท 8 หำรลงตว แต 3 หำรไมลงตว เปนเทำใด

ก. 2/21

ข. 1/7

ค. 1/10

ง. 3/20

19. มหมำยเลข 0 ถง 50 หมำยเลขละหนงใบ สมหยบมำหนงใบ

ควำมนำจะเปนทจะไดหมำยเลขท 3 หรอ 7 หำรลงตวเปนเทำใด

ก. 22/51

ข. 11/25

ค. 21/50

ง. 7/17

20. มหมำยเลข 1 ถง 50 หมำยเลขละหนงใบ สมหยบขนมำหนงใบ

ควำมนำจะเปนทจะไดหมำยเลขท 6 หรอ 8 หำรลงตวเปนเทำใด

ก. 3/25

ข. 6/25

ค. 9/25

ง. 12/25

จ. 4/17

21. ทอดลกเตำ 2 ลกหนงครง จงหำควำมนำจะเปนทผลรวมของ

ลกเตำทงสองมำกกวำ 10

ก. 1/12

ข. 1/9

ค. 5/36

ง. 1/6

22. จำกกำรเลนเกมหมนลกศร 2 ครง ควำมนำจะเปนทลกศรจะตก

อยบนหมำยเลขทเปนจ ำนวนคทงสองครง (เมอแตละชองมพนท

เทำกน) เทำกบเทำใด

ก. 3/25

ข. 6/25

ค. 9/25

ง. 12/25

จ. 4/25

23. ควำมนำจะเปนทจะไดรบค ำตอบจำกนกเรยนชน ม.3 ทง 3 คน

วำเคยไปเทยวทสนำมบนสวรรณภมเปนเทำไร

ก. 1/4

ข. 1/8

ค. 9/25

ง. 12/25

24. ถำหยบไพ 1 ใบ จำกไพ 1 ส ำรบ โดยไมด ควำมนำจะเปนของ

เหตกำรณทจะหยบได K เทำกบเทำใด

ก. 1/52

ข. 1/26

ค. 1/13

ง. 1

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

34

25. ในกำรดงไพหนงใบ ออกจำกไพหนงส ำรบ ควำมนำจะเปนทจะ

ได 10 คอเทำใด

ก. 1/52

ข. 1/26

ค. 1/13

ง. 4/13

26. กลองใบหนงมลกแกวสแดง 3 ลก สขำว 3 ลก และสเหลอง 3

ลก สมหยบลกแกวออกมำจำกกลอง 1 ลก จงหำควำมนำจะเปนท

จะไดลกแกวสขำว

ก. 3/5

ข. 1/8

ค. 1/3

ง. 3/8

27. ถงใบหนง มลกแกวขนำดเดยวกน 3 ส เปนสขำว 12 ลก สแดง

8 ลก และสเขยว 4 ลก คละอยในถง สมหยบขนมำ 1 ลก ควำม

นำจะเปนทจะไดลกแกวสแดงเปนเทำใด

ก. 1/12

ข. 1/6

ค. 1/3

ง. 1/2

28. กลองใบหนงมลกบอลสขำวสขำว 4 ลก สแดง 5 ลก และสน ำ

เงน 6 ลก หยบลกบอลอยำงสมออกจำกกลอง 1 ลก จงหำควำม

นำจะเปนทจะไดลกบอลสขำวหรอสแดงเปนเทำใด

ก. 1/3

ข. 2/3

ค. 3/5

ง. 4/5

29. ถงใบหนงมลกแกวสขำว 6 ลก สสม 3 ลก สน ำเงน 1 ลก แดง 1

ลก หยบอยำงสม 1 ลก

ควำมนำจะเปนทจะไดสสมเปนเทำใด

ก. 1/3

ข. 1/11

ค. 3/11

ง. 8/11

30. มปำกกำอย 3 ดำม เปนปำกกำสด ำ สแดงและสน ำเงน สมหยบ

มำ 1 ดำมสงเกตดสแลววำงกลบทเดม ท ำเชนนซ ำ ๆ กน 3 ครง

ควำมนำจะเปนทครงท 1 ครงท 2 เปนปำกกำสเดยวกน ครงท 3

เปนสอนเปนเทำใด

ก. 1/3

ข. 2/3

ค. 1/9

ง. 2/9

31. กลองใบหนงมสลำก 8 ใบ บนสลำกเขยนเลขโดด 1 ถง 8 ก ำกบ

ไว ใบละหนงตวถำสมหยบขนมำ 2 ใบ โดยหยบทละใบแลวใสคน

กอนหยบใบทสอง ควำมนำจะเปนทจะไดตวเลข 2 ตวทมผลคณเปน

จ ำนวนทเปนก ำลงสองสมบรณ เทำกบเทำใด

ก. 1/8

ข. 11/64

ค. 3/36

ง. 3/14

32. ในกำรเลอกตวเลข 2 ตว จำกตวเลข 5 ตว คอ 1, 2, 3, 4, 5

โดยเลอกทละตวและไมใหซ ำกน ควำมนำจะเปนทจะไดตวเลข 2 ตว

ทมผลบวกเปน 6 เปนเทำใด

ก. 3/20

ข. 1/5

ค. 1/4

ง. 3/10

33. กำรทดลองหนง กระท ำโดยเขยนตวเลข 0,1,2,3 ใสกระดำษทม

ขนำดเทำกนแลวพบใสกลองสมหยบขนมำ 2 ใบพรอมกน ควำม

นำจะเปนผลรวมของตวเลขบนกระดำษมำกกวำ 3 เปนเทำใด

ก. 1/3

ข. 1/2

ค. 2/3

ง. 3/4

34. เขยนตวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ใสกระดำษทมขนำดเทำกนแลวพบใส

กลองสมหยบขนมำ 2 ใบพรอมกน ควำมนำจะเปนทตวเลขบน

กระดำษเปนจ ำนวนคทงสองใบ เปนเทำใด

ก. 1/3

ข. 1/2

ค. 2/3

ง. 3/4

จ. 3/10

35. กลองใบหนงมถงเทำอย 3 ค หยบถงเทำ 2 ขำง โดยหยบทละ

ขำง ควำมนำจะเปนทจะไดถงเทำถกคกนเทำกบเทำใด

ก. 1/5

ข. 2/5

ค. 3/5

ง. 4/5

ชอ .............................................................................................. เลขท ............ ชน ม. 3/........... http://boonnum.wordpress.com/

35

36. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก สขำว 2 ลก สมหยบขนมำ

พรอมกน 2 ลก ควำมนำจะเปนทจะไดลกบอลสเดยวกนเปนเทำใด

ก. 1/5

ข. 2/5

ค. 3/5

ง. 4/5

37. นกเรยนทงหมดม 15 คน ม 12 คนชอบคณตศำสตรและ 10 คน

ชอบภำษำไทย ถำสมนกเรยนมำ 1 คน จงหำควำมนำจะเปนทจะได

นกเรยนทชอบวชำคณตศำสตรอยำงเดยว

ก. 12/15

ข. 1/3

ค. 7/15

ง. 2/3

38. มนกเรยน 50 คน ชอบฟตบอล 26 คน ชอบเปตอง 14 คน และ

ชอบทงสองอยำง 4 คน ถำสมนกเรยนมำ 1 คน ควำมนำจะเปนทจะ

ไดนกเรยนทไมชอบทงสองชนดเปนเทำใด

ก. 3/25

ข. 4/25

ค. 1/5

ง. 7/25

39. นกเรยนทงหมดม 18 คน ม 14 คนชอบดหนงไทย ม 10 คนชอบ

ดหนงจน สมเลอกนกเรยน 1 คนจงหำควำมนำจะเปนทจะไดนกเรยน

ทชอบดหนงไทยอยำงเดยว

ก. 14/18

ข. 10/18

ค. 1/2

ง. 4/9

40. ครใหนกเรยน 4 คน คอ แดง เขยว ขำว และด ำเขำแถวถำยรป

โอกำสทแดงจะยนอยรมเสมอ

เปนเทำใด

ก. 1/2

ข. 1/3

ค. 1/4

ง. 3/4

41. นกเรยนกลมหนงม 50 คน สำยตำสน 30 คน ถนดมอซำย 15

คน มนกเรยนสำยตำสนและถนดมอซำยอย 5 คน ถำสมมำ 1 คน

ควำมนำจะเปนไมสำยตำสนและไมถนดซำยเปนเทำใด

ก. 1/7

ข. 1/6

ค. 1/5

ง. 1/4

42. มบตรดละครอย 5 ใบ ใบละ 200 บำท จ ำนวน 1 ใบ ใบละ 150

บำท จ ำนวน 2 ใบ ใบละ 100 บำท จ ำนวน 2 ใบ ถำสมหยบบตร

ขนมำ 1 ใบจงหำควำมนำจะเปนทจะไดบตรรำคำมำกกวำ 100 บำท

ตรงกบขอใด

ก. 3/5

ข. 1/2

ค. 1

ง. 1/5

43. ควำมนำจะเปนทจะไดจ ำนวนนบทนอยกวำ 100 จำกกำรจด

ตวเลข 0, 1, 2 โดยไมซ ำกน เทำกบเทำใด

ก. 0

ข. 1/5

ค. 3/5

ง. 11/15

44. ในกำรโยนลกเตำ 1 ลก จ ำนวน 300 ครง ไดผลลพธดงน

แตม 1 2 3 4 5 6

จ ำนวน 10 44 36 40 45 125

ควำมนำจะเปนทจะเปนจะขนแตม 5 เปนเทำไร

ก. 1/125

ข. 6/125

ค. 3/20

ง. 4/7

45. ผลกำรสอบวชำคณตศำสตรชน ม.3 ของโรงเรยนแหงหนงผล

ปรำกฏดงน

เกรด 0 1 2 3 4

จ ำนวนนกเรยน 18 31 48 40 23

ถำเลอกนกเรยนอยำงสมมำ 1 คน ควำมนำจะเปนทจะไดนกเรยน

สอบไดเกรด 2 หรอ 3 เปนเทำใด

ก. 0.25

ข. 0.30

ค. 0.42

ง. 0.55

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

จบแลวครบ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

36

บทท 3 สถต

(Statistics) จดมงหมายของบทเรยน

1. ก าหนดประเดนและเขยนขอค าถามเกยวกบปญหาหรอสถานการณตาง ๆ รวมทง

ก าหนดวธการศกษาและเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสม

2. น าเสนอขอมลในรปแบบทเหมาะสมได

3. หาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลทไมไดแจกแจงความถ และ

เลอกใชไดอยางเหมาะสม

4. อาน แปลความหมาย และวเคราะหขอมลจากการน าเสนอ

5. ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนประกอบการตดสนใจในสถานการณ

ตาง ๆ ได

6. อภปรายถงความคลาดเคลอนทอาจจะเกดขนไดจากการน าเสนอขอมลทางสถต

37

ปจจบนเรำมกไดยนค ำวำ สถตอยเสมอ และคนมกเขำใจ

ผดวำ สถต คอ ขอมลทไดบนทกไว เชน สถตวง 100 เมตร ของโลก

คอ 9.83 วนำท แตในควำมเปนจรงสถตม 2 ควำมหมำย คอ

1. สถต

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

2. สถต

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

กำรเรยนวชำสถต เปนกำรเรยนสถตในควำมหมำยท 2 ซง

จะเปนประโยชนในกำรด ำเนนงำนในดำนตำง ๆ ในชวตประจ ำวน ซง

สถตจะชวยในกำรตดสนใจอยำงมระบบและมเหตผล โดยมขนตอน

ตำง ๆ ทง 4 ขนตอน ในสถตมควำมหมำยกวำง ๆ ดงน

1. กำรเกบรวบรวมขอมล

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

2. กำรน ำเสนอขอมล

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

3. กำรวเครำะหขอมล

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

4. กำรตควำมหมำยขอมล

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ในกระบวนกำรของกำรตควำมหมำยของขอมล สำมำรถ

ตควำมหมำยได 2 ลกษณะ ซงท ำใหสถตแบงเปน 2 ประเภท ดงน

1. สถตเชงบรรยำย

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

2. สถตเชงอำงอง

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

จะเหนไดวำกระบวนกำรทำงสถตจะเกยวของกบขอมล

ตลอดเวลำ จำกกระบวนกำรแรกจนกระบวนกำรสดทำย ซงขอมลท

เกบรวบรวมมำไดนน แบงตำมลกษณะของขอมลเปน 2 ชนด คอ

1. ขอมลเชงคณภำพ คอ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

2. ขอมลเชงปรมำณ คอ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

กำรเกบรวบรวมขอมล ขอมลทเกบรวบรวมมำไดจะตอง

เปนขอมลทถกตองและมควำมนำเชอถอ จงจะท ำใหกระบวนกำร

ทำงสถตมประโยชนอยำงแทจรง ขอมลเหลำนนจะมควำมนำเชอถอ

มำกนอยเพยงใด ขนอยกบแหลงทมำของขอมลนนดวย ซงเรำ

สำมำรถจ ำแนกขอมลตำมแหลงทมำได 2 ลกษณะ คอ

1. ขอมลปฐมภม คอ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

2. ขอมลทตยภม คอ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

38

1. จำกกำรสอบถำมอำยของคนกลมจ ำนวน 20 คน ไดอำยดงน

18 24 16 17 20 20 24

23 19 18 17 21 22 24

24 24 21 20 20 22

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถตอไปน แลวตอบค ำถำม

อำย (ป) จ ำนวนคน

16 17 18 19 20 21 22 23 24 รวม

1) คนทมอำยต ำสดมกคน ...................

2) คนทมอำยสงทสดมกคน .............................

3) คนทมอำย 20 ปมกคน .................................

4) คนทมอำยมำกกวำ 20 ปคดเปนรอยละเทำใด .......................

2. จำกขอมลในขอ 1 สรำงตำรำงแจกแจงควำมถโดยใหอนตรภำค

ชนแรกเปน 16-18 ป แลวตอบค ำถำม

อำย รอยขด จ ำนวนคน 16-18 19-21 22-24

รวม 1) คนทมอำย 16-18 ปมกคน ............................

2) คนทมอำย 19-21 ปมกคน .............................

3) คนทมอำย 22-24 ปมกคน .............................

3. ในกำรสอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนชน ม.3 ของโรงเรยนแหง

หนงไดคะแนนดงน

12 10 20 18 16 5 9 14

8 20 19 7 17 6 11 14

15 20 13 12 20 19 14 10

12 17 7 15 19 8 4 10

15 13 6 5 12 11 18 10

จำกคะแนนสอบขำงตน จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ โดยใหอนตร

ภำคชนแรกเรมจำก 2-7 แลวตอบค ำถำม

1. นกเรยนทไดคะแนน 2-7 มกคน ...........................

2. นกเรยนทไดคะแนน 14-19 มกคน .......................

3. นกเรยนทไดคะแนน 20-25 มกคน ......................

4. นกเรยนสวนใหญไดคะแนนอยในชวงใด ...............

4. ควำมสงของนกเรยนชน ม.3 โรงเรยนแหงหนง จ ำนวน 20 คน ม

ควำมสงเปนเซนตเมตรดงน

136 140 152 158 149 168 170

152 165 161 134 158 150 167

145 176 174 178 147 153

จำกควำมสงของนกเรยนทก ำหนดให สรำงตำรำงแจกแจงควำมถ

โดยใหอนตรภำคชนแรกเรมจำก 134-138 แลวตอบค ำถำม

1) นกเรยนทมควำมสง 134-138 เซนตเมตร มกคน …………………

2) นกเรยนทมควำมสง 149-153 เซนตเมตร มกคน ………………..

3) นกเรยนทมควำมสง 174-178 เซนตเมตร มกคน …………………

4) นกเรยนสวนใหญมควำมสงอยในชวงใด ……………………..

5. ใหนกเรยนบอกควำมหมำยหรอค ำก ำจดควำมของค ำตอไปน

1) ควำมถ หมำยถง …………………………………………………………………………

2) พสย หมำยถง …………………………………………………………………………….

3) อนตรภำคชน หมำยถง ………………………………………………………………

4) ควำมกวำงของอนตรภำคชน หมำยถง ……………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

5). ขอบบนและขอบลำง หมำยถง ……………………………………………………

………………………………………………………………………………..…………………………

6) จดกงกลำงชน หมำยถง ……………………………………….…………………….

…………………………………………………………………………………………………………..

7) กำรหำควำมกวำงของอนตรภำคชน ……………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………..

39

ในกำรสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหมควำมกวำงของอนตร

ภำคชนทกชนเทำกนมวธกำรสรำง ดงน

1. หำคะแนนต ำสด คะแนนสงสด

2. แลวหำพสย

3. หำควำมกวำงของอนตรภำคชนจำก

ควำมกวำง = พสย / จ ำนวนชน

4. เรยงล ำดบอนตรภำคชนแตละอนตรภำคชนจำกคะแนน

นอยไปคะแนนมำก โดยใหคะแนนนอยทสดอยในชนต ำสด และ

คะแนนมำกทสดอยในชนสงสด และใหแตละอนตรภำคชนมควำม

กวำงของชวงคะแนนเทำกบควำมกวำงของอนตรภำคชนในขอท 3

4. สรำงตำรำงแจกแจงควำมถ โดยแบงออกเปนอนตรภำค

ชน (ชวงคะแนน) รอยขดและควำมถ

5. บนทกรอยคะแนนของแตละอนตรภำคชน และนบรอยขด

แตละชนเพอรวมเปนควำมถ

1. จำกขอมลขำงลำง เปนอำยของคนกลมหนง จ ำนวน 40 คน ดงน

18 15 12 26 22 15 26 21

16 25 19 23 25 19 23 18

21 22 15 16 24 14 20 23

21 17 21 20 14 15 18 26

16 26 22 13 19 19 26 24

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 5 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน ขอบลำงและขอบบน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน

รวม -

2. น ำหนกของนกเรยนชน ม.3 หองหนง จ ำนวน 30 คน เปน

กโลกรมไดดงน

71 58 47 56 51 50 50

47 55 45 45 40 42 49

50 55 59 46 54 57 44

40 55 42 45 44 80 55

60 47

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 6 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน รวม -

3. น ำหนกของนกเรยนชน ม.3 หองหนง จ ำนวน 40 คน เปน

กโลกรมไดดงน

38 64 50 32 44 25 49

49 46 40 47 36 48 52

44 58 26 38 53 21 34

65 46 49 42 47 35 40

35 61 45 35 42 50 56

45 48 56 53 28

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 5 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน รวม -

40

4. น ำหนกของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยนชลกนยำนกล จ ำนวน

........ คน เปนกโลกรมไดดงน

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 6 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน

รวม - 5. สวนสงของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยนชลกนยำนกล จ ำนวน

........ คน เปนเซนตเมตรไดดงน

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 6 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน รวม -

6. คะแนนสอบกลำงภำคเรยนวชำคณตศำสตร ประจ ำภำคเรยนท

2/............... ของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยนชลกนยำนกล

จ ำนวน ........ คน มดงน

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

จงสรำงตำรำงแจกแจงควำมถ ใหม 6 อนตรภำคชน และหำจด

กงกลำงชน

1) คะแนนสงสด คอ ............... คะแนนต ำสด คอ ..............

2) พสย ......................................................................................

3) ควำมกวำงของอนตรภำคชน ......................................................

…………………………………………………………………………………………………………..

อนตรภำคชน รอยขด ควำมถ (f) จดกงกลำงชน รวม -

41

ฮสโทแกรม เปนกำรน ำเสนอขอมลจำกตำรำงแจกแจง

ควำมถมำเขยนเปนกรำฟแทง โดยใหควำมยำวของแทงสเหลยมมม

ฉำกแทนควำมถ และควำมกวำงของแทงสเหลยมมมฉำกแทนควำม

กวำงของอนตรภำคชน

วธสรำงฮสโทแกรมและรปหลำยเหลยมของควำมถ

1. หำจดกงกลำงชนของแตละอนตรภำคชน

2. ลำกเสนตรงจำกจดกงกลำงชนของแตละอนตรภำคชน ให

ตงฉำกกบแกน X หรอแกนนอน ซงแทนคะแนน

3. แกน Y หรอแกนตงแทนควำมถ

4. ใชเสนตรงทลำกจำกจดกงกลำงชนของแตละอนตรภำคชน

เปนควำมสงและแนวกลำง

5. สรำงรปสเหลยมมมฉำกใหควำมกวำงของแตละรปเทำกบ

ควำมกวำงของอนตรภำคชน

1. จำกตำรำงแจกแจงควำมถตอไปน จงสรำงฮสโทแกรมและรป

หลำยเหลยมของควำมถ

คะแนน ความถ ขอบลาง-ขอบบน จดกงกลางชน

13-17 3

18-22 4

23-27 2

28-32 1

รวม 10 - -

2. จำกตำรำงแจกแจงควำมถตอไปน จงสรำงฮสโทแกรมและรป

หลำยเหลยมของควำมถ

คะแนน ความถ ขอบลาง-ขอบบน จดกงกลางชน 5-9 4

10-14 6 15-19 9 20-24 6 25-29 5 รวม - -

3. จงสรำงฮสโทแกรมและรปหลำยเหลยมของควำมถของตำรำง

แจกแจงควำมถ จำกตำรำงแสดงสวนสงของนกเรยน

ความสง(เซนตเมตร) จ านวน (คน)

120-124 4

125-129 6

130-134 12

135-139 18

140-144 8

145-149 2

42

4. จำกกำรส ำรวจพนททอยอำศยของประชำกรในซอยตำง ๆ ของ

ถนนสำยหนงจ ำนวน 150 หลงคำเรอน ทมพนทไมเกน 100 ตำรำง

วำ จงสรำงฮสโทแกรมและรปหลำยเหลยมของควำมถ

พนท (ตารางวา) จ านวนหลงคาเรอน 21-30 11 31-40 18 41-50 40 51-60 32 61-70 25 71-80 10 81-90 8 91-100 6 รวม 150

5. จำกกำรส ำรวจน ำหนกของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยน

ชลกนยำนกล จ ำนวน ........ คน ดงตำรำง

จงสรำงฮสโทแกรมและรปหลำยเหลยมของควำมถ

อนตรภำคชน ควำมถ ขอบลำง-ขอบบน จดกงกลำงชน

รวม - -

6. จำกกำรส ำรวจสวนสงของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยน

ชลกนยำนกล จ ำนวน ........ คน ดงตรำรำงน จงสรำงฮสโทแกรม

และรปหลำยเหลยมของควำมถ

อนตรภำคชน ควำมถ ขอบลำง-ขอบบน จดกงกลำงชน

รวม - -

7. จำกกำรส ำรวจคะแนนสอบกลำงภำคเรยนวชำคณตศำสตร ภำค

เรยนท 2/ ......... ของนกเรยนชน ม.3/.......... โรงเรยนชลกนยำนกล

ดงตำรำงดำนลำง จงสรำงฮสโทแกรม รปหลำยเหลยมของควำมถ

และเสนโคงของควำมถ

อนตรภำคชน ควำมถ ขอบลำง-ขอบบน จดกงกลำงชน

รวม - -

43

คอ ตวเลขทเปนตวแทนของขอมลกลมนน ๆ ทดทสด ในกำรพจำรณำหรอตดสนใจบำงอยำง เชน โรงเรยนหนง

อยำกทรำบวำ นกเรยน ม.3 ของโรงเรยนตวเองหองใดมควำมสำมำรถในกำรเรยนวชำคณตศำสตรมำกทสด กำรพจำรณำ โดยกำรน ำคะแนน

สอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนทกคนในแตละหองมำดยอมเกดควำมสบสนในกำรตดสนใจ เพรำะนกเรยนแตละหองมนกเรยนหลำยคนวธ

พจำรณำทด คอ หำคำกลำง ซงเปนตวแทนของนกเรยนแตละหองมำพจำรณำวำหองใดมคำกลำงของคะแนนวชำคณตศำสตรสงทสด หอง

นนกควรจะมควำมสำมำรถในวชำคณตศำสตรมำกทสด

)

คำเฉลยเลขคณต หำไดจำกผลบวก

ของขอมลทงหมดหำรดวยจ ำนวนขอมล

เขยนแทนดวย X อำนวำ เอกซบำร

กำรหำคำเฉลยเลขคณตในกรณท

ขอมลไมไดแจกแจงควำมถ

Nx...xxx

X N321

Nx

X

มธยฐำน คอ คำทอยกงกลำงของ

ขอมลทงหมด เมอเรยงขอมลจำกคำนอย

ทสดไปหำคำมำกทสด หรอคำมำกทสด

ไปหำคำนอยทสด

ฐำนนยม หมำยถง คะแนนทซ ำกน

มำกทสดในขอมลชดนน หรอมควำมถ

สงสดในขอมลชดนน

จงหาคาเฉลยเลขคณต (Mean) มธยฐาน (Median)และฐานนยม (Mode)

1. จำกขอมล 10, 11, 12, 12, 13 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

2. จำกขอมล 5, 6, 6, 9 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

3. ขอมล 5, 3, 8, 7, 6, 5, 5, 9, 0, 3 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

44

4. ขอมล 7, 8, 8, 9, 9, 9, 11, 12, 12 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

5. ขอมล 3, 5, 1, 7, 2, 4, 5 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

6. ขอมล 6, 8, 4, 7, 4, 9, 5, 5, 6 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

7. ขอมล 3, 2, 4, 3, 2, 1, 4 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

8. คะแนนสอบของนกเรยน 10 คน เปนดงน 6, 2, 7, 8, 5, 9, 4, 3, 7, 7 จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

45

9. น ำหนกของนกเรยน 5 คน ดงน 42, 36, 40, 44, และ 43 กโลกรม จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

10. ควำมสงของนกเรยนกลมหนง 11 คน ดงน 138, 145, 162, 141, 154, 139, 143, 141, 140, 133 และ 138 เซนตเมตร จงหำ

คำเฉลยเลขคณต ( X )

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

11. จำกขอมล 3x, x, 2x, 4x, 8, 4x มคำเฉลยเปน 6 จงหำ

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

12. 2x-5, 4x+3, 3x-2, 5x+4, x+1, 4x และ x+2 มคำเฉลยเลขคณตเปน 9 จงหำ

มธยฐำน (Med)

ฐำนนยม (Mod)

46

คาเฉลยรวม หมายถง คาเฉลยของทกกลมยอย

ค ำนวณไดจำก

k321kk332211รวม n...nnn

Xn...XnXnXnX

จงตอบค ำถำมตอไปน

1. นกเรยนหองหนงมนกเรยนชำย 10 คน และมน ำหนกเฉลย 50

กโลกรม นกเรยนหญงจ ำนวน 15 คน มน ำหนกเฉลย 45 กโลกรม

นกเรยนหองนมน ำหนกเฉลยเทำใด

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

2. นกเรยนหองหนงมนกเรยนชำย 20 คน และมน ำหนกเฉลย

60 กโลกรม นกเรยนหญงจ ำนวน 18 คน มน ำหนกเฉลย

46 กโลกรม นกเรยนหองนมน ำหนกเฉลยเทำใด

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

3. กลมตวอยำง 3 กลมมคำเฉลยแตละกลม 3, 5, 7 และมจ ำนวน

ตวอยำง 5, 10 และ 15 ตำมล ำดบ จงหำคำเฉลยเลขคณต

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

4. กลมตวอยำง 3 กลมมคำเฉลยแตละกลม 7, 9, 10 และมจ ำนวน

ตวอยำง 10,5 และ 20 ตำมล ำดบ จงหำคำเฉลยเลขคณต

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

5. นกเรยนหองหนงมนกเรยนชำย 10 คน ไดรบเงนคำอำหำรเฉลย

คนละ 27.50 บำท และนกเรยนหญง 15 คน ไดรบเงนคำอำหำร

เฉลยคนละ 28.80 บำท จงหำวำนกเรยนหองนไดรบเงนคำอำหำร

เฉลยคนละเทำไร

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

6. ใน 8 วน สมปองเกบเงนใสกระปกออมสนได 180 บำท ในวนท 9

สมปองจะเกบเงนใหไดเทำไร คำเฉลยเพมขนอก 5 บำท

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

7. นกเรยนหองหนงม 20 คน คำเฉลยเลขคณตของน ำหนกคอ 45

กโลกรม ตอมำมนกเรยนลำออกไป 1 คน ท ำใหคำเฉลยเลขคณต

ของน ำหนกลดลงไป 0.2 กโลกรม นกเรยนทลำออกไปมน ำหนกก

กโลกรม

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

................................................... ..................................................

……………………………………………………………………………………………………..

47

เสนโคงควำมถใชแสดงลกษณะกำรกระจำยของขอมล

ม 3 แบบไดแก

1) เสนโคงปกต (Normal curve/Bell-shaped curve)

2) เสนโคงเบขวำ (Positively Skewed Curve)

3) เสนโคงเบซำย (Negatively Skewed Curve)

สงเกตวำเสนโคงแตละแบบ จะบอกถงต ำแหนงคำเฉลยท

แตกตำงกนดวย

โคงปกตมลกษณะดงน

1. โคงมลกษณะสมมาตร

คาเฉลย = ฐานนยม = มธยมฐาน

2. จดทสงทสดของโคงจะอยทคำเฉลย

1. กำรตรวจสอบอำยกำรใชงำนของแบตเตอรยหอหนงตอกำรชำรท

ไฟหนงครง ปรำกฏวำ มกำรแจกแจงปกต คำเฉลยเลขคณตเทำกบ

80 ชวโมง และสวนเบยงเบนมำตรฐำนเทำกบ 12 จงหำ

1) จ ำนวนเบตเตอรทมอำยกำรใชงำนระหวำง 68-92 ชวโมง

มกเปอรเซนต

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

2) จ ำนวนเบตเตอรทมอำยกำรใชงำนนอยกวำ 56 ชวโมง มก

เปอรเซนต

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

2. โรงงำนแหงหนง ตองกำรผลตเขมมดใหมควำมยำวตงแต 1.27 นว

ถง 1.33 นว หลงจำกผลตได 5,000 ตว แลวน ำมำตรวจสอบ พบวำ

มคำเฉลย 1.30 นว สวนเบยงเบนมำตรฐำน 0.02 ถำควำมยำวของ

เขมมดมกำรแจกแจงปกต จงหำ

1) จ ำนวนเขมมดทมควำมยำวตำมโรงงำนตองกำร

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

2) มเขมมดทไมไดตำมควำมยำวทตองกำรหรอไม

ถำม มกตว

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

.................................................. ................................................

48

แนวขอสอบเรอง สถต

ค าสง ใหนกเรยนเลอกค ำตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว

***************************************************

ใชขอมลตอไปนตอบค าถามขอ 1-3

ตำรำงแดงจ ำนวนเงนคำใชจำยอำหำรกลำงวนของนกเรยน

จ ำนวน 40 คน

อนตรภำคชน ควำมถ (คน)

11-20 2

21-30 8

31-40 14

41-50 9

51-60 7

รวม 40

1. ขอใดไมถกตอง

ก. ควำมถสงสดมคำเทำกบ 14

ข. ขอบบนของชนทมควำมถสงทสดเทำกบ 40.5

ค. จดกงกลำงของชนทมควำมถสงทสดเทำกบ 35

ง. ขอบลำงของชนทมควำมถสงทสดเทำกบ 30.5

2. ขอใดไมถกตอง

ก. ควำมกวำงของอนตรภำคชนเทำกบ 9

ข. ควำมถสะสมถงชนทมควำมถสงสดเทำกบ 24

ค. ขอบบนของชน 41-50 เทำกบ 50.5

ง. ขอบลำงของชน 51-60 เทำกบ 50.5

3. ควำมถสะสมถงชนททมควำมถเปน 9 ตรงกบขอใด

ก. 10

ข. 24

ค. 30

ง. 33

4. นกเรยนทงหมด 50 คน เปนนกเรยนหญง 30 คน เปนนกเรยน

ชำย 20 คน พบวำ น ำหนกเฉลยของนกเรยนหญงเปน 42 กโลกรม

และน ำหนกเฉลยของนกเรยนชำยเปน 48 กโลกรม แตทรำบ

ภำยหลงวำ มกำรจดบนทกน ำหนกผดพลำดดงน จดน ำหนกสมหญง

ขำดไป 5 กโลกรม และจดน ำหนกของสมชำยเกนไป 3 กโลกรม

น ำหนกเฉลยทแทจรงของนกเรยนหองนเปนเทำใด

ก. 42.46 กโลกรม

ข. 44.28 กโลกรม

ค. 44.44 กโลกรม

ง. 46.66 กโลกรม

5. ก ำหนดขอมล 6, 4, 2, 7, 8, 2 ขอใดถกตอง

ก. คำเฉลยนอยกวำมธยฐำน

ข. มธยฐำนมำกทสด

ค. ฐำนนยมนอยทสด

ง. ถกทกขอ

6. ผบกำรสอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนกลมหนง ผลปรำกฏ

ดงน 8, 9, 10, 7, 6, 5, 8, 8, 6, 7 คำกลำงทมำกทสดตรงกบขอใด

ก. คำเฉลย

ข. มธยฐำน

ค. ฐำนนยม

ง. เทำกนทกคำ

7. คะแนนรวมทงหมดของนกเรยนกลมหนงเปน 1,408 และคำเฉลย

เลขคณตเทำกบ 64 นกเรยนกลมนมกคน

ก. 20 คน

ข. 21 คน

ค. 22 คน

ง. 33 คน

8. ขอมลช ดหน งม ด งน 4, 9, 4, 13, 10, 10, 6, 4, 22, 12 ขอ ใด

เรยงล ำดบคำกลำงของขอมลจำกนอยไปมากไดถกตอง

ก. คำเฉลย, มธยฐำน, ฐำนนยม

ข. มธยฐำน, ฐำนนยม, คำเฉลย

ค. ฐำนนยม, คำเฉลย, มธยฐำน

ง. คำเฉลย, ฐำนนยม, มธยฐำน

9. ก ำหนดใหคำเฉลยเลขคณตของขอมล a, a+1, a+2, 8 คอ 6.5

มธยฐำนของขอมลชดนตรงกบขอใด

ก. 6

ข. 6.5

ค. 7

ง. 7.5

10. จนจรำสอบไดคะแนนเฉลยวชำคณตศำสตร 80 คะแนน จำก

กำรทดสอบ 9 ครง และในกำรทดสอบครงท 10 สอบได 70 คะแนน

คำเฉลยเลขคณตทง 10 ครงเปนเทำใด

ก. 73

ข. 75

ค. 77

ง. 79

49

11. นกเรยนหองหนงมนกเรยนชำย 24 คน นกเรยนหญง 16 คน

นกเรยนชำยมควำมสงเฉลย 168 เซนตเมตร นกเรยนหญงมควำมสง

เฉลย 152 เซนตเมตร นกเรยนหองนมควำมสงเฉลยกเซนตเมตร

ก. 158.40

ข. 159.60

ค. 160.80

ง. 161.60

12. ขอมลชดหนงเรยงจำกคำนอยไปหำมำกดงน 3, 3, 3, 3, a, 5, 5,

5, 6, 6, 6, b ถำฐำนนยมม 2 คำ และไมเทำกบ 6 คำเฉลยเลขคณต

เทำกบ 5 คำของ a และ b ตรงกบขอใด

ก. 3, 6

ข. 3, 10

ค. 5, 6

ง. 5, 10

13. ขอมลชดหนงเรยงคำจำกมำกไปนอย ดงน 20, 20, x, 15, 15,

12, 10, 10, 10, 8, 8, 4 ถำคำเฉลยมำกกวำมธยฐำนอย 1.5 แลว

คำ x ตรงกบขอใด

ก. 16

ข. 17

ค. 18

ง. 19

ใชขอมลตอไปน ตอบค าถามขอ 14-16

น ำหนกของนกเรยน 20 คน เปนดงน

45 48 50 52 49 51 53 47 60

56 55 62 49 58 51 65 44 46

50 52

14. พสยของน ำหนก ตรงกบขอใด

ก. 18

ข. 19

ค. 20

ง. 21

15. อนตรภำคชน 44- 50 มควำมถตรงกบขอใด

ก. 8

ข. 9

ค. 10

ง. 11

16. ถำสรำงตำรำงแจกแจงควำมถใหมอนตรภำคชนแรกเปน 44-48

จะมทงหมดกอนตรภำคชน

ก. 3

ข. 4

ค. 5

ง. 6

17. จำกกำรส ำรวจคำอำหำรกลำงวนของนกเรยนชำยจ ำนวน 12 คน

ใชเงนเฉลยคนละ 37 บำท และนกเรยนหญงจ ำนวน 18 คน ใชเงน

เฉลยคนละ 42 บำท นกเรยนทงหมดใชเงนเฉลยคนละกบำท

ก. 39

ข. 39.50

ค. 40

ง. 40.50

18. นกเรยน 3 คน มควำมสงเฉลย 156 เซนตเมตร มธยฐำน 155

เซนตเมตร และพสยเทำกบ 11 นกเรยนคนทสงทสดมควำมสงเทำไร

ก. 160

ข. 162

ค. 164

ง. 166

19. ขอมลชดหนงประกอบดวย 5, 5, 5, x, 8, 8, 8, 15, 15, 15 ถำ

คำเฉลยของขอมลชดนคอ 8.9 แลวฐำนนยมตรงกบขอใด

ก. 5

ข. 8

ค. 5, 8, 15

ง. ไมมฐำนนยม

ใชขอมลตอไปน ตอบค าถามขอ 20-22

คะแนนของนกเรยน 30 คน เปนดงน

50 68 45 72 81 56 86 91 42

74 73 63 91 53 48 77 66 69

84 89 92 39 83 58 69 75 40

51 75 58

20. พสยของขอมลชดนเปนเทำไร

ก. 50

ข. 51

ค. 52

ง. 53

21. ถำตองกำรสรำงตำรำงแจกแจงควำมถใหม 5 อนตรภำคชน

ควำมกวำงของแตละอนตรภำคชนควรเปนเทำไร

ก. 10

ข. 11

ค. 12

ง. 15

50

22. อนตรภำคชนใดมควำมถมำกทสด

ก. 39-49

ข. 50-60

ค. 61-71

ง. 72-82

จงใชขอมลน ตอบค าถามขอ 23-25

65 80 57 73 63 88 76

64 86 74 72 62 78 90

98 61 89 75 60 79 85

75 81 91 68 61 89 93

74 50 61 63 72 78 71

68 82 75 73 60

23. ขอมลทก ำหนดใหมพสยเทำกบเทำใด

ก. 36

ข. 43

ค. 45

ง. 48

24. ถำตองกำรสรำงตำรำงแจกแจงควำมถใหม 7 อนตรภำคชน แต

ละอนตรภำคชนจะมควำมกวำงเทำใด

ก. 5

ข. 6

ค. 7

ง. 8

25. ถำตองกำรสรำงตำรำงแจกแจงควำมถใหม 7 อนตรภำคชน

ขอบบนของชนแรกเปนเทำใด

ก. 57.5

ข. 56.5

ค. 55.5

ง. 54.5

26. ขอมลชดหนงประกอบดวย 12, 14, 15, 19, 16, 15, 18 ขอใด

ถกตอง

ก. คำเฉลยมคำนอยทสด

ข. ฐำนนยม = มธยฐำน

ค. ฐำนนยมมคำมำกทสด

ง. มธยฐำนมคำมำกทสด

27. ขอมลประกอบดวย 2x - 5, 4x + 3, 3x - 2, 5x + 4, x + 1, 4x

และ x + 2 มคำเฉลยเลขคณตเปน 9 แลวจะมมธยฐำนเทำกบเทำไร

ก. 4

ข. 5

ค. 7

ง. 9

28. นกเรยนหองหนงม 40 คน เปนนกเรยนชำย 20 คน นกเรยนชำย

มควำมสงเฉลยเปน 160 เซนตเมตร นกเรยนหญงมควำมสงเฉลย

เปน 155 เซนตเมตร จงหำควำมสงเฉลยของนกเรยนหองน เปน

เซนตเมตร

ก. 154.50

ข. 155.50

ค. 156.50

ง. 157.50

29. คำเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนงม 20 จ ำนวน พบวำม

คำเฉลย 20 ตอมำภำยหลงพบวำอำนคะแนนผดไป 2 จ ำนวนคอ

อำน 12 เปน 2 และอำน 10 เปน 20 แลวคำเฉลยเลขคณตทถกตอง

มคำเทำใด

ก. 20

ข. 20.1

ค. 20.2

ง. 20.3

30. สวนเบยงเบนมำตรฐำนจำกขอมล 2, 4, 6, 8, 10, 12 คอขอใด

ก. 3.5

ข. 3.6

ค. 3.7

ง. 3.8

51

บทท 4 ทกษะกระบวนการ

ทางคณตศาสตร จดมงหมายของบทเรยน

1. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหา

ในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม

2. บอกคาอตราสวนตรโกณมต ไซน โคไซน และแทนเจนตของมมทมขนาด 300, 450,

และ 600 ได

3. น าความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมตไปแกปญหาทก าหนดใหได

52

ก ำหนดให ABC DEF GHI ใหนกเรยนท ำ

กจกรรมตอไปน

1. ใหนกเรยนเตมค ำตอบทถกตอง

จำกรปท 1 ดำนประชดมม A ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมม A ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมมฉำกยำว ............. หนวย

จำกรปท 2 ดำนประชดมม D ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมม D ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมมฉำกยำว ............. หนวย

จำกรปท 3 ดำนประชดมม G ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมม G ยำว ............. หนวย

ดำนตรงขำมมมฉำกยำว ............. หนวย

2. จำกขอท 1. ใหนกเรยนหำอตรำสวนตอไปน

จำกรปท 1

ดำนประชดมม 𝐴

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐴

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐴

ดำนประชดมม 𝐴=

จำกรปท 2

ดำนประชดมม 𝐷

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐷

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐷

ดำนประชดมม 𝐷=

จำกรปท 3

ดำนประชดมม 𝐺

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐺

ดำนตรงขำมมมฉำก=

ดำนตรงขำมมม 𝐺

ดำนประชดมม 𝐺=

3. จำกขอท 2. จงเตมค ำตอบลงในตำรำง

อตรำสวน รปท 1

A

รปท 2

D

รปท 3

G

ดำนประชดมม

ดำนตรงขำมมมฉำก

ดำนตรงขำมมม

ดำนตรงขำมมมฉำก

ดำนตรงขำมมม

ดำนประชดมม

สรป ............................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

อตราสวนตรโกณมต

4

3

5

2.5

2

1.5

8

6

10

รปท 3

รปท 2

รปท 1

H

I

B

C

E

FD

A

G

53

ก ำหนดให ABC เปนรปสำมเหลยมมมฉำก ทมมม A

เปนมมแหลม ดงรป

จำกรปเรยก

a ( BC ) วำ ขำม

b ( AC ) วำ ชด

c ( AB ) วำ ฉำก

ฉากขาม

ca

Asin สวนกลบคอ ขามฉาก

ac

ecAcos

ฉากชด

cb

Acos สวนกลบคอ ชดฉาก

bc

Asec

ชดขาม

ba

Atan สวนกลบคอ ขามชด

ab

Acot

ใหนกเรยนตอบค ำถำมตอไปน

1. sin A = ……..

cos A = ……..

tan A = ……..

cosec A = …….

sec A = ……..

cot A = ……..

sin B = ……..

cos B = ……..

tan B = ……..

cosec B = …

sec B = ……..

cot B = ……..

2.

sin P = ……..

cos P = ……..

tan P = ……..

cosec P = …….

sec P = ……..

cot P = ……..

sin R = ……..

cos R = ……..

tan R = ……..

cosec R = …

sec R = ……..

cot R = ……..

3.

sin X = ……..

cos X = ……..

tan X = ……..

cosec X = …….

sec X = ……..

cot X = ……..

sin Y = ……..

cos Y = ……..

tan Y = ……..

cosec Y = …

sec Y = ……..

cot Y = ……..

4. sin A = …….. sin B = ……..

cos A = ……..

tan A = ……..

cosec A = …….

sec A = ……..

cot A = ……..

cos B = ……..

tan B = ……..

cosec B = …

sec B = ……..

cot B = ……..

5.

sin N = ……..

cos N = ……..

tan N = ……..

cosec N = …….

sec N = ……..

cot N = ……..

sin M = ……..

cos M = …….

tan M = ……..

cosec M = …

sec M = …….

cot M = ……..

6.

sin L = ……..

cos L = ……..

tan L = ……..

cosec L = …….

sec L = ……..

cot L = ……..

sin K = ……..

cos K = ……..

tan K = ……..

cosec K = …

sec K = ……..

cot K = ……..

เลขประจ าตวนกเรยน

A B C D E

7. ก ำหนดให tan Z=(A+2)/(D+3) จงหำ

sin Z = …….. cos Z = …….. tan Z = ……..

cosec Z = ……. sec Z = …….. cot Z = ……..

วธท ำ จำก tan Z = (A+2)/(D+3)

5

12

Q

R

P

8

10

Y

Z

X

40

50

K

J

L

24

7

N

OM

6

12

C

A

B

4

3

B

C A

B

C A

a c

b

54

8. ก ำหนดให tan Z=(A+18)/(D+20) จงหำ

sin Z = …….. cos Z = …….. tan Z = ……..

cosec Z = ……. sec Z = …….. cot Z = ……..

วธท ำ

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

9. ก ำหนดให cos Z = (A+B)/(D+8) จงหำ

sin Z = …….. cos Z = …….. tan Z = ……..

cosec Z = ……. sec Z = …….. cot Z = ……..

วธท ำ

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

10. ก ำหนดให sin Z = (A+F)/(A+9) จงหำ

sin A = …….. cos A = …….. tan A = ……..

cosec A = ……. sec A = …….. cot A = ……..

วธท ำ

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

11. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

12. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

13. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

14. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

15. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

16. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

17. จงหำคำของตวแปรตอไปน

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

55

จงเตมค ำตอบทถกตอง

18.

sin 30 = ……

cos 30 = ……

tan 30 = ……

cosec 30 =

sec 30 = …

cot 30 =

Sin 60= …….

cos60= ……..

tan60= ……..

cosec60= …

sec60= ……..

cot60= ……..

19.

sin45= ……

cos45= …….

tan45= …….

cosec45=.....

sec45= ……

cot45 = …

20. จงหำคำของ

20.1) คำของ sin 60 + cos 30

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

20.2) คำของ cos 60 + cos 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

20.3) คำของ sin 30 + cos 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

20.4) คำของ tan 30 + tan 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

20.5) คำของ tan 30 + tan 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

21. จงหำคำของ

21.1) คำของ tan 60 - cos 30

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

21.2) คำของ cos 60 - sin 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

21.3) คำของ sin 30 - cos 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

21.4) คำของ sin 30 - tan 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

21.5) คำของ cos 30 - tan 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

22. จงหำคำของ

22.1) คำของ Asin 60 + Bcos 30

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

22.2) คำของ Ccos 60 + Dcos 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

22.3) คำของ Esin 30 + Acos 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

22.4) คำของ Btan 30 + Ctan 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

2

1

3

60

21

145

56

22.5) คำของ tan 30 + tan 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

23. จงหำคำของ

23.1) คำของ Dtan 60 - Ecos 30

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

23.2) คำของ Acos 60 - Csin 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

23.3) คำของ Bsin 30 - Ecos 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

23.4) คำของ Dsin 30 - Atan 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

23.5) คำของ Ccos 30 - Dtan 60

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

24. คำของ Acosec 30 + Bcot 60- Csec 30 + Dtan 45

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

25. จำกรปคำ x มคำเทำใด

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

26. จำกรปคำ H มคำเทำใด

....................................................... .........................................

....................................................... .........................................

....................................................... .........................................

....................................................... .........................................

....................................................... .........................................

27. จงหำคำของ Asin 30+ Bcos 60+Csec2 60-Dcosec 30

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

................................................. ..................................................

28. จงตอบค ำถำมตอไปน

28.1 ก ำหนดให tan Z=3/4 แลวจงหำ 2Dsin Z - Ecos Z

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

28.2 ก ำหนดให sin Z=3/5 แลวจงหำ DtanZ + EsecZ

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

28.3 ก ำหนดให cos Z=4/5 แลวจงหำ DcosecZ - EsecZ

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

57

29) ตนไมสง 6+2D เมตร ถกพำยพดล ำตนหกลงมำ ถำมมทยอด

ตนไมท ำมมกบพนดน 30จงหำระยะทำงระหวำงยอดไมกบโคน

ตนไม

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

30) สมชำยยนอยบนหนำผำสง 150+10B เมตร มองเหนเรอสอง

ล ำจอดอยในแนวเดยวกนกลำงทะเลมมทแนวสำยตำมองไปยงเรอ

ทงสองท ำมมกบเสนระดบมขนำด 30 องศำ และ 60 องศำ อยำก

ทรำบวำเรอทงสองล ำอยหำงกนเทำใด

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

31) ดำวยนหำงจำกตกหลงหนง 20+2C เมตร มองเหนยอดตกเปน

มมเงย และมองเหนยอดเสำธงบนยอดตกเปนมมเงย 60จงหำ

วำเสำธงสงกเมตร ( 73.13,53sin )

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

32) นำยทอมยนอยบนยอดประภำคำรแหงหนงซงสง 80+2E เมตร

ใชกลองสองทำงไกลมองไปเหนเรอประมงสองล ำจอดอยในแนว

เดยวกนกลำงทะเล มมทแนวสำยตำมองไปยงเรอทงสองล ำท ำกบ

เสนระดบมขนำด 30 องศำ และ 45 องศำ อยำกทรำบวำเรอทง

สองล ำอยหำงกนกเมตร ( 732.13,414.12 )

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

33) บนไดอนหนงยำว 50+2E ฟต พำดอยกบก ำแพง ปลำยบนได

ถงขอบก ำแพงพอด ถำบนไดท ำมม 60 องศำกบก ำแพง จงหำวำ

บนไดอยหำงจำกก ำแพงเทำใด

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

34) ถำ XYZ เปนรปสำมเหลยมมมฉำกท Z และ sin X=2/5 คำของ

(C+1) cos X และ (E+2)cos Y เปนเทำใด

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

58

จงหำค ำตอบของโจทยทก ำหนดและหำตวอกษรภำษำองกฤษ

ล ำดบทตรงกบค ำตอบ ของโจทย และเขยนตวอกษรทหำไดทงหมด

เปนประโยค พรอมแปลเปนภำษำไทย

โจทย ค าตอบ ตวอกษร

126 9 14 N

75% ของ 20

3

2 12

101 - 86

169

52 5

(7 5) - (4 3)

0.45 0.03

2 32

(11 11) 11

ประโยคทได คอ ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

แปลเปนภำษำไทย คอ ……………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

ใหนกเรยนแกปญหำโจทยตอไปน

1. ปรศนำตำชง

ตำชง 1 และ 2 เปนตำชงทสมดล อยำกทรำบวำจะตองใชรป

สเหลยมจตรสกรป จงท ำใหตำชง 3 สมดล

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

2. ลกบอล 9 ลก มน ำหนกเทำกน 8 ลก อกลกเบำกวำลกอน ๆ

เลกนอย ใหใชตำชงสองแขนและอนญำตใหชง ไดเพยง 2 ครง จะ

หำลกบอลทเบำกวำไดอยำงไร

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

59

ใหนกเรยนพจำรณำกำรเขยนกรำฟแสดงควำมสมพนธ

ระหวำงเวลำทใชเทน ำกบระดบน ำในภำชนะตำง ๆ โดยเทน ำดวย

อตรำคงท พรอมเตมค ำตอบและเขยนกรำฟ

1. เมอเทน ำลงในภำชนะรปปรซมสเหลยมดวยอตรำคงท ไดผลดง

ตำรำงตอไปน

เวลำ (วนำท) 0 1 2 3 4 5 …

ระดบน ำ (ซม.) 0 2 4 6 8 10 …

เขยนกรำฟแสดงควำมสมพนธระหวำงเวลำกบระดบน ำไดดงน

2. เมอเทน ำลงในภำชนะดงรป ดวยอตรำคงทใหนกเรยนเขยน

กรำฟแสดงควำมสมพนธระหวำงเวลำทผำนไป (วนำท) กบระดบ

น ำจำกกนภำชนะ (ซม.) อยำงครำว ๆ ไดดงน

เนองจำก .....................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

เนองจำก .....................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

เนองจำก .....................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

เนองจำก .....................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

ปรซมสเหลยม

60

ใหนกเรยนแกปญหำโจทยตอไปน

1. วเชยรน ำขวดเปลำขนำด 4 ลตร และ 3 ลตร เพอตวงน ำใหได

5 ลตร เขำจะท ำอยำงไร โดยใชเพยงขวดเปลำสองใบนเทำนน

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

2. จงเขยนคอนดบแสดงจ ำนวนน ำทมอยในขวดทงสอง เมอสมำชก

ตวแรกแทนปรมำณน ำ ในขวดขนำด 4 ลตร และสมำชกตวหลง

แทนปรมำณน ำในขวดขนำด 3 ลตร

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………

ก ำหนดรปแปดเหลยม ABCDEFGH มพนท 20 ตำรำงหนวย

ดงรปท 1

จงตดรปทก ำหนดให 4 ครง แลวน ำมำตอใหเปนรปสเหลยม

จตรส มพนท 20 ตำรำงหนวยเทำเดม

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

รปท 1

2 หนวย

2 หนวย

4 หนวย

4 หนวยA B

H G

F

C D

E

61

ก ำหนดรปสเหลยมจตรส JKLI มพนท 36 ตำรำงหนวย ดงรป

ท 1

จำกรปท 1 สเหลยมจตรส JKLI ลำก IM และ IN ซงแบงมม JIL

ออกเปน 3 มม ทมขนำดเทำกน แลว JM ยำวกหนวย

1. จะตองใชควำมรเรองใดบำง ส ำหรบแกปญหำน

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

2. จงแสดงวธแกปญหำ

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

ใหนกเรยนแกปญหำโจทยตอไปน

1 2 3 4 + 1 = 5 5 = 25

2 3 4 5 + 1 = 11 11 = 121

3 4 5 6 + 1 = 19 19 = 361

4 ….. ….. ….. + ….. = ….. ….. = ………

5 ….. ….. ….. + ….. = ….. ….. = ………

6 ….. ….. ….. + ….. = ….. ….. = ………

7 ….. ….. ….. + ….. = ….. ….. = ………

.

.

.

24 25 26 27 + 1 = A A

แลว A มคำเทำไร

....................................................................................................

....................................................................................................

อธบำยแนวคดในกำรแกปญหำ

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

รปท 1

N

MJ K

I L

62

ใหนกเรยนตอบปญหำตอไปน

รปท 4 มผลรวมของมมภำยในเปนกเทำของรปท 1

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

ใหเขยนเลขโดด 1, 2, 3 ลงในแตละชองวำง โดยเลขโดดใน

แนวนอนเดยวกน หรอแนวตงเดยวกน หรอแนวทแยงมมเดยวกน

จะตองไมซ ำกน

2

1

แลว A แทนจ ำนวนใด ................

ใหเขยนเลขโดด 1, 2, 3, 4 ลงในแตละชองวำง โดยเลขโดดใน

แนวนอนเดยวกน หรอแนวตงเดยวกน หรอแนวทแยงมมเดยวกน

จะตองไมซ ำกน

4

1

3 2

5

แลว B แทนจ ำนวนใด ................

ใหเขยนเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 ลงในแตละชองวำง โดยเลขโดด

ในแนวนอนเดยวกน หรอแนวตงเดยวกน หรอแนวทแยงมม

เดยวกน จะตองไมซ ำกน

3 4 5

2

4

แลว C แทนจ ำนวนใด ................

ผลรวมของมมภายใน =.........

รปท 1

A

C

B

ผลรวมของมมภายใน =.........

รปท 2

ผลรวมของมมภายใน =.........

รปท 3

ผลรวมของมมภายใน =.........

รปท 4

63

นกเรยนชำย 4 คน คอ เอ บ ซ และด มำจบคแลวชงน ำหนก

ไดดงน

เอกบบ มน ำหนก 84 กโลกรม

เอกบซ มน ำหนก 87 กโลกรม

เอกบด มน ำหนก 86 กโลกรม

บกบซ มน ำหนก 90 กโลกรม

บกบด มน ำหนก 89 กโลกรม

ซกบด มน ำหนก 92 กโลกรม

แลว เอ บ ซ และด มน ำหนกเฉลยเทำใด

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

ก ำหนดจด 3 จด ม 2 จด ทอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป

ก ำหนดจด 4 จด ม 3 จด ทอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป

ก ำหนดจด 5 จด ม 4 จด ทอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป

ก ำหนดจด 6 จด ม 5 จด ทอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป

สรางรปสามเหลยมได ........ รป

สรางรปสามเหลยมได ........ รป

สรางรปสามเหลยมได ........ รป

สรางรปสามเหลยมได ........ รป

64

นกเรยน 2 จบมอทกทำยกน แสดงได ดงรป

นกเรยน 2 จบมอทกทำยกน จ ำนวน 1 ครง

นกเรยน 3 จบมอทกทำยกน ดงรป

นกเรยน 3 จบมอทกทำยกน จ ำนวน 3 ครง

นกเรยน 4 จบมอทกทำยกน ดงรป

นกเรยน 4 จบมอทกทำยกน จ ำนวน ...... ครง

นกเรยน 5 จบมอทกทำยกน ดงรป

นกเรยน 5 จบมอทกทำยกน จ ำนวน ...... ครง

นกเรยน 6 จบมอทกทำยกน ดงรป

นกเรยน 6 จบมอทกทำยกน จ ำนวน ...... ครง

ใหนกเรยนตอบค ำถำมตอไปน

รปทเทำใด จะมรปสำมเหลยมทงหมดกรป

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

A B

AB

C

C

BD

A

C

D

E

AB

F

ED

C

BA

รปท 1

มรปสามเหลยม ....... รป

รปท 2

มรปสามเหลยม ....... รป

รปท 3

มรปสามเหลยม ....... รป

รปท 4

มรปสามเหลยม ....... รป

รปท 5

มรปสามเหลยม ....... รป

65

แนวขอสอบเรอง ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร

ค าสง ใหนกเรยนเลอกค ำตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว

***************************************************

จงใชภาพทก าหนดใหตอบค าถามขอ 1-3

1) จำกรป sin B มคำตรงกบขอใด

ก. 3/5 ข. 5/3

ค. 5/4 ง. 4/5

2) จำกรป cos A มคำตรงกบขอใด

ก. 3/5 ข. 5/3

ค. 5/4 ง. 4/5

3) จำกรป tan A มคำตรงกบขอใด

ก. 3/5 ข. 5/3

ค. 5/4 ง. 4/3

จงใชภาพทก าหนดใหตอบค าถามขอ 4-6

4) จำกรป sin R มคำตรงกบขอใด

ก. 5/12

ข. 5/13

ค. 12/13

ง. 12/5

5) จำกรป cos R มคำตรงกบขอใด

ก. 5/12

ข. 5/13

ค. 12/13

ง. 12/5

6) จำกรป tan P มคำตรงกบขอใด

ก. 5/12 ข. 5/13

ค. 12/13 ง. 12/5

7) ก ำหนดให 724

Atan จงหำ Acos

ก. 7/25

ข. 24/25

ค. 7/24

ง. 25/24

8) ก ำหนดให 178Acos จงหำ Atan

ก. 5/17

ข. 17/8

ค. 15/8

ง. 8/15

9) ก ำหนดให 106

Asin จงหำ Atan

ก. 4/5

ข. 5/3

ค. 3/5

ง. 3/4

10) จำกรปจงหำคำ x เมอ cos55 = 0.574

ก. 8.6

ข. 8.8

ค. 9.0

ง. 9.2

12) sin 300 + cos 600 มคำเทำใด

ก. -2

ข. -1

ค. 0

ง. 1

13) sin 300 + tan 600 มคำเทำใด

ก. 2321

ข. 231

ค. 2231

ง. 221

66

14) 60tan45sin มคำเทำใด

ก. 2323

ข. 2322

ค. 232

ง. 2322

15. ถำ cos A = 0.8 แลว tan A + sin A ตรงกบขอใด

ก. 6/9

ข. 3/ 20

ค. 27/ 20

ง. 20/ 27

16) ก ำหนดให 815tan แลว eccoscos มคำเทำใด

ก. 8/ 17

ข. 8/ 15

ค. 17/ 15

ง. 15/ 17

17) จงหำคำของ 60tan45sec45tan 222

มคำเทำใด

ก. 2

ข. 4

ค. 5

ง. 6

18) ตนไมสง 6 เมตร ถกพำยพดล ำตนหกลงมำ ถำมมทยอดตนไม

ท ำมมกบพนดน 30 จงหำระยะทำงระหวำงยอดไมกบโคนตนไม

ก. 3

ข. 34

ค. 33

ง. 32

19) บนไดอนหนงยำว 50 ฟต พำดอยกบก ำแพง ปลำยบนไดถง

ขอบก ำแพงพอด ถำบนไดท ำมม 60 องศำกบก ำแพง จงหำวำ

บนไดอยหำงจำกก ำแพงเทำใด

ก. 310

ข. 315

ค. 320

ง. 325

20) จำกรปทก ำหนดให จงหำคำของมม X

ก. 30o

ข. 60o

ค. 45o

ง. 50o

************************************************************************************************************

************************************************************************************************************