หน่วยที่ 6 โนดโวล์ทเตจ · 2018-06-26 · 162 i 1 i 2 3 r 1 e...

162

1I2I

3I

1R

1E 2E2R

3R

4R

5RAV BV

CV

4I5I

Ω21R

Ω62 =R

Ω43R

1V

C

A2

2V

A71I2I

3I

แบบทดสอบกอนเรยน

หนวยท0 6 วธแรงดนโนด

จงเลอกคาตอบท/ถกท/สดเพยง 1 ขอ

1. ข:นตอนแรกของวธแรงดนโนด คอ ขอใด

ก. สมมตและกาหนดทศทางกระแส ข. สารวจจานวนโนดแลวกาหนดลงในวงจร

ค. เขยนสมการ แรงดนโนด ง. แกสมการหาคาตวแปรท/ตองการ

จากวงจรในรปท/ 1 จงใชตอบคาถาม ขอ 1 – 2

รปท/ 1 ใชตอบคาถาม ขอ 1 – 2

2. สมการ KCL ท/โนด คอขอใด

ก. ข.

ค. ง.

3. ใชกฎของโอหมแทนคา ไดเปนขอใด

ก. ข.

ค. ง.




ก. ข.

ค. ง.

AV

312 III += 213 III +=

321 III += 213 III =-

3I

3

BA3 R

VVI -=

3

BA3 R

VVI +=

3

A3 R

VI =3

B3 R

VI =

1V

A712 =- II 21A7 II +=

21 A7 II =+ 12 A7 II =+

163

-+

=2R

V3gV

OV

1R

0in =I

a

c

b

Wk1

Wk2Wk9LR

LI

5. มคาเทาใด

ก. 15 V ข. 8 V

ค. 10 V ง. 13 V


ก. 15 V ข. 8 V

ค. 10 V ง. 13 V


ก. 0.5 A ข. 1 A

ค. 1.5 A ง. 2 A

จากวงจรในรปท/ 3 ใชสาหรบคาถามขอ 8 – 10

รปท/ 3 วงจรสาหรบคาถามขอ 8 – 10

8. สมการ KCL ท/จด a คอขอใด

ก. ข.

ค. ง.


ก. 4 V ข. 9 V

ค. 10 V ง. 18 V


ก. 3 mA ข. 1 A

ค. 10 mA ง. 1 mA

1V

2V

2I

21 0 II =+ L2 0 II =+

21 II -= L21 III =+

OV

LI

164

หนวยท0 หนวยท0 66 วธแรงดนโนดวธแรงดนโนด

สาระสาคญ

วธแรงดนโนด เปนการวเคราะหวงจรไฟฟาท/มจานวนลปหลายๆลป โดยจะหาแรงดน ณ จด

ใดๆ บนจดหรอโนดในวงจร ข:นตอนท/สาคญคอ กาหนดจดหรอโนดลงบนวงจร แลวสมมตทศทางของ

กระแส จากน:นเขยนสมการ KVL แตละจดหรอโนด ข:นตอนสดทายคอแกสมการหาคาตวแปรท/

ตองการทราบโดยใชดเทอรมแนนตและแมททรกซ

เน=อหาสาระ

6.1 วธแรงดนโนด

6.2 การเขยนสมการแรงดนโนด

6.3 การวเคราะหวงจรไฟฟาดวย วธ แรงดนโนด

จดประสงคการเรยนร

จดประสงคท0วไป เพ/อใหผเรยนมความรและเขาใจในเร/อง :

6.1 วธแรงดนโนด

6.2 การเขยนสมการแรงดนโนด ในวงจรไฟฟาและวงจรอเลกทรอนกส

6.3 การวเคราะหวงจรไฟฟา และวงจรอเลกทรอนกส ดวย วธ แรงดนโนด

จดประสงคเชงพฤตกรรม หลงจากเรยนจบหนวยเรยนน:แลว ผเรยนควรมความสามารถดงน:

6.1 อธบายข:นตอน ของ วธแรงดนโนด ได

6.2 เขยนสมการแรงดนโนด ในวงจรไฟฟาและอเลกทรอนกส ได

6.3 วเคราะหวงจรไฟฟาและวงจรอเลกทรอนกส ดวย วธ แรงดนโนด ได

165


วธการของการวเคราะหแบบใดๆ ของวงจรท/มจานวณลปหลายๆ ลป และหาแรงดน ณ จดใดๆ

บนจดเช/อมตอในวงจร เรยกวา วธแรงดนโนด โนด หมายถง จดเช/อมตอในวงจร วธแรงดนโนด เปน

พ:นฐาน ในการหาแรงดน ณ จดแตละจดในวงจรโดยการนา กฎกระแสของเคอรชอฟฟมาประยกตใช

โนดแตโนดจะตองมสาขาท/เช/อมตอกน ไมนอยกวา 2 สาขา จานวนสมการในวธแรงดนโนดจะนอย

กวา จานวนสมการในวธ กระแสเมช อย 1 สมการ เสมอ

6.1 วธแรงดนโนด (Node Voltage Method) รายละเอยดของโนด ม ดงน:

โนด (Node) คอ จดตอในวงจรไฟฟาท/มจานวนสาขาของวงจรตออยต:งแต 2 สาขาข:นไป

โนดหลก (Principal Node) หรอจดเช/อมตอ คอจดในวงจรไฟฟาท/มจานวนสาขาของวงจรท/

ตออยต:งแต 3 สาขาข:นไปมาตอรวมกน

โนดเปรยบเทยบ (Reference Node) หรอจดอางอง ซ/งจะกาหนดใหจดเช/อมตอใดจดหน/งเปน

จดอางองกได แตโดยท/วไปแลวจะเลอกจดอางองท/ตอรวมอยกบกราวด (Ground) เสมอ เพราะงายตอ

การพจารณาและคานวณ

แรงดนโนด (Node Voltage) คอ ความแตกตางของระดบแรงดนท/จดใดๆ กไดในวงจร เม/อ

นาไปเปรยบเทยบกบจดอางอง

ข=นตอนการใช วธแรงดนโนด จะพจารณาเปนข:นๆ ดงน:

1. สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/งจะมท:งโนดตอเช/อม (โนดหลก) และโนด

อางอง การพจารณาแรงดนโนดจะใหระดบของแรงดนไฟฟาท/โนดตอเช/อม มคาสงกวาระดบแรงดนท/

โนดอางอง

2. สมมตและกาหนดทศทางของกระแสไฟฟาท/โนดตอเช/อม การกาหนดทศทางของกระแสไฟฟา

ท/โนดเช/อมตอ จะกาหนดใหกระแสไฟฟาไหลเขาหรอไหลออกกได โดยใชหลกธรรมชาตพจารณา ถา

คาท/คานวณวเคราะหออกมาเปนคาลบ แสดงวา นกเรยนกาหนดทศทางตรงขามกบความเปนจรง

3. เขยนสมการ แรงดนโนด ในแตละโนดหลก แลวแทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎ

ของโอหม ลงใน สมการ แรงดนโนด

4. ปรบปรง พฒนาสมการ จากข:นตอนท/ (3) โดยใชวธ ของสมการเชงเสน แลวแกระบบสมการ

หาคาตวแปรท/ตองการทราบคา โดยใช กฎของ คราเมอร หรอ วธสมการเชงเสน ถาวงจรท/กาลง

วเคราะหน:น ม โนดหลกโนดเดยว

166

1R

1E 2E2R

3R

4R

5R

1I2I

3I

1R

1E 2E2R

3R

4R

5RAV BV

CV

4I5I

6.2 การเขยนสมการ แรงดนโนด ในวงจรไฟฟาและวงจรอเลกทรอนกส

ในหนวยท/ 5 นกเรยนไดศกษา วธการประยกตใช KVL มาแลวในวธกระแสเมช ในหนวยน:

นกเรยนจะไดศกษา การประยกตใช KCL ซ/งเปนข:นตอนท/สาคญ ของวธแรงดนโนด

(ก) วงจรไฟฟา 3 ลป (ข) การกาหนด โนด และทศทางกระแส

รปท/ 6.1 วงจรไฟฟา 3 ลป 2 โนดหลก

จาก ข:นตอนการใช วธแรงดนโนด ท/ไดกลาวมาแลว รายละเอยดการใช วธแรงดนโนดมดงน:

ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง และ เปนโนดตอเช/อม และ

เปนโนดอางอง ดงรปท/ 6.1 (ข)

ข:นตอนท/(2) สมมตและกาหนดทศทางของกระแสไฟฟาไหลเขา – ออก ท/โนดตอเช/อม ดงรปท/ 6.1 (ข)

ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในแตละโนดหลก ไดดงน:

สมการ KCL ท/โนด :

แทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎของโอหม ลงใน สมการ KCL ท/โนด

จากกฎของโอหม

; โนดอางอง = 0

ดงน:น โนด : …………………(1)



จากกฎของโอหม

ดงน:น โนด : …………………(2)

AV BV CV

AV 321 III +=

AV

1

A11 R

VEI -=

2

A2

0R

VI -=

3

BA3 R

VVI -=

AV3

BA

2

A

1

A1

RVV

RV

RVE -

+=-

BV 543 III +=

BV

3

BA3 R

VVI -=

4

B4

0R

VI -=

5

2B5 R

EVI +=

BV5

2B

4

B

3

BA

REV

RV

RVV +

+=-

167

V151E

W3

V122E

W2

1I

W12I

V151E

W= 31R

V122E

W= 22R

W13R

A

D

3I

ข:นตอนท/(4) ปรบปรง พฒนาสมการ จากข:นตอนท/ (3) โดยใชวธ ของสมการเชงเสน แลวแกระบบ

สมการหาคาตวแปรท/ตองการทราบคา โดยการ แทนคาตวแปร ตวตานทาน แรงดน จากน:น เขยนให

อยในรป สมการเมตรกซ แลวใช กฎของคราเมอร แกสมการ หาคาแรงดน และ

6.3 การวเคราะหวงจรไฟฟา และวงจรอเลกทรอนกส ดวย วธ แรงดนโนด

วธแรงดนโนด สามารถนาไปประยกตใชในการวเคราะห หาคาแรงดน ณ จดเช/อมตอใดๆ บน

วงจรไฟฟา หรอ วงจรอเลกทรอนกส เม/อทราบคา แรงดน ณ จดน:น แลว การจะหากระแสไฟฟาหรอ คา

กาลงงานท/โหลด ตวน:น กทาไดไมยาก โดยใหนกเรยน ต:งใจศกษาจากตวอยาง ดงตอไปน:

จากตวอยางท/ 5.1 ซ/งเปนการวเคราะห หาคาการแสไฟฟาท/ไหลผานตวตานทานแตละตว ดวย

วธกระแสเมช ในหนวยน: เปนการวเคราะหดวยวธแรงดนโนด

ตวอยางท0 6.1 จากวงจรในรปท/ 6.2 จงวเคราะหหา กระแสไฟฟาท/ไหลผานตวตานทานแตละตวดวย วธ

แรงดนโนด

(ก) วงจรไฟฟา 2 ลป (ข) แสดงทศทางกระแส และ โนดหลก – โนดอางอง

รปท/ 6.2 วงจรไฟฟาสาหรบตวอยางท/ 6.1

วธทา

ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง A เปนโนดตอเช/อม และ D เปนโนด

อางอง ดงรปท/ 6.2 (ข)


ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก(A) ไดดงน:


แทนคา กระแสท/สมมตข:นมาโดยใชกฎของโอหม ลงในสมการ KCL ท/โนด A

จากกฎของโอหม ( หมายถงแรงดนท/โนด A)

AV BV

AV 213 III +=

1

A11 R

VEI -= AV

2

A22 R

VEI -=

3

A3

0R

VI -=

168

ดงน:น ท/โนด A : …………………(1)

ข:นตอนท/(4) ปรบปรง พฒนาสมการ จากข:นตอนท/ (3) โดยใชวธ ของสมการเชงเสน

แทนคา ความตานทานแตละตว และแรงดน ลงในสมการ(1)

จะได …………………(1)

สมการท/(1) จะพบวาเปนเศษสวน และ ครน. คอ นา ซ/งเปน ครน. ของสมการ(1) คณ สมการ(1)

จะได

จดรปสมการ

ดงน:น

เม/อทราบคาแรงดน ณ จด A แลว ตอไป กใชกฎของโอหม หาคากระแสไฟฟา ท/ไหลผาน ตวตานทาน

แตละตว ดงน:

.....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ

จากวงจร กระแสท/ไหลผาน คอ

กระแสท/ไหลผาน คอ

กระแสท/ไหลผาน คอ เทากนกบวธกระแสเมช

จากตวอยางน: นกเรยนจะพบวา วธแรงดนโนด จะใชสมการนอยกวา วธกระแสเมช อย หน/ง

สมการเสมอ คอ ถา วงจรใดๆ มจานวน n ลป วธกระแสเมช จะใชสมการ เทากบจานวนลป หรอ n

สมการ แตถาใชวธแรงดนโนด จานวนสมการจะเปน n – 1 สมการ ดงเชน ตวอยางท/ 6.1 ซ/งมจานวน

2 ลป ทาใหมจานวนโนดเปน 1 โนด หรอ 1 สมการ ทาใหการแกสมการงายข:น การแกสมการท/มเพยง 1

สมการ กใชวธของ การแกสมการเชงเสน ท/นกเรยนไดทบทวนมาแลว ในหนวยท/ 1 น/นเอง

2

A2

1

A1

3

A

RVE

RVE

RV -

+-

=

21 , EE

W-

+W-

=W 2

V123V15

1AAA VVV

W6 W6

WW-

+W

W-=W

W 2)6)(V12(

3)6)(V15()6(

1AAA VVV

AAA 3V362V306 VVV -+-=

V66326 AAA =++ VVV

V6611 A =V

V611V66

A ==V

1

A11 R

VEI -=

A33V9

3V6V15

1 =W

=W-

=\ I

2

A22 R

VEI -=

A32V6

2V6V12

2 =W

=W-

=\ I

A61V60

3

A3 =

W=

-=

RVI

1R A31 =I

2R A32 =I

3R A63 =I

169

W= 4701R

V5.41E

V72E

W6802R

W= 3303R

Wk14R

W=1005R

1I2I

3I

1R

1E 2E2R

3R

4R

5RAV BV

CV

4I5I

ตวอยางท0 6.2 จากวงจรในรปท/ 6.3 จงวเคราะหหา กระแสไฟฟาท/ไหลผานตวตานทานคา ดวย

วธแรงดนโนด

(ก) วงจรไฟฟา 3 ลป (ข) แสดงทศทางกระแส และ โนดหลก – โนดอางอง

รปท/ 6.3 วงจรไฟฟา สาหรบตวอยางท/ 6.2

วธทา


เปนโนดอางอง ดงรปท/ 6.3 (ข)


ข:นตอนท/(3 – 1) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก ไดดงน:



จากกฎของโอหม , ; โนดอางอง = 0 และ

ดงน:นท/ โนด : .........................(1.1)

ข:นตอนท/(4 – 1) ปรบปรง พฒนาสมการ จากข:นตอนท/ (3 – 1) โดยใชวธ ของสมการเชงเสน

แทนคา ความตานทานแตละตว และแรงดน ลงในสมการ(1.1)

จะได


นา 1,000 คณ :

หรอ .........................(1)

ข:นตอนท/(3 – 2) เขยนสมการแรงดนโนด ในโนดหลก ไดดงน:



W330

AV BV CV

AV

AV 321 III +=

AV

1

A11 R

VEI -=

2

A2

0R

VI -=

3

BA3 R

VVI -=

AV3

BA

2

A

1

A1

RVV

RV

RVE -

+=-

1E

W-

+W

=W-

330680470V5.4 BAAA VVVV

0330330680470470

V5.4 BAAA =W

+W

-W

-W

-W

VVVV

4705.4)

3301()

3301

6801

4701( BA =-++ VV

3B

3A

333 1057.9)1003.3()1003.31047.110127.2( ----- ´=´-´+´+´ VV

57.9)03.3()03.347.1127.2( BA =-++ VV

57.903.363.6 BA =- VV

BV

BV 543 III +=

BV

170

จากกฎของโอหม , และ

ดงน:น ท/โนด : …………………(2.1)


แทนคา ความตานทานแตละตว และแรงดน ลงในสมการ(2.1)


นา 1,000 คณ : …………………(2)

นาสมการ (1) และ (2) มาเขยนใหอยในรป สมการเมตรกซ ดงน:

หา :

หา :

หา :

ดงน:น

และ

กระแสท/ไหลผานตวตานทานคา กคอ

ดงน:น

.....................ตอบ

3

BA3 R

VVI -=

4

B4

0R

VI -=

5

2B5 R

EVI +=

BV5

2B

4

B

3

BA

REV

RV

RVV -

+=-

2E

W--

+W

=W

-100

V)7(1000330

BBBA VVVV

1007

1001000330330BBBA =---VVVV

1007)

1001

10001

3301()

3301( BA =++- VV

07.0)10101011003.3()1003.3( B333

A3 =´+´+´-´ ---- VV

07.001403.000303.0 BA =- VV

7003.1403.3 BA =- VV

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é---

7057.9

03.1403.303.363.6

B

A

VV

D )03.3)(03.3()03.14)(63.6(03.1403.303.363.6

---+=--

=D

838.831809.90189.93 -=+-=D

AVD )03.3)(70()03.14)(57.9(03.147003.357.9

A ---+=--

=DV

833.771.21226.134A =+-=DV

BVD )57.9)(03.3()70)(63.6(7003.357.963.6

B -+==DV

103.435997.281.464B =-=DV

mV928838.83833.77A

A -=-

=DD

=VV

V19.5838.83103.435B

B -=-

=DD

=VV

W330 3I

W---

=-

=330

V)19.5(V928.0

3

BA3 R

VVI

mA9.12330

V262.43 =

W=\ I

171

Ω21R

Ω62 =R

Ω73R

1V

C

A4

2V

A1

1I

2I3I

4I

5I

Ω21R

Ω73R

1V

C

A4

2V

A1

Ω62 =Rตวอยางท0 6.3 จากวงจรในรปท/ 6.4 จงวเคราะหหาแรงดน ดวย วธแรงดนโนด

(ก) วงจรไฟฟาท/มแหลงกาเนดกระแส (ข) แสดงทศทางกระแส

รปท/ 6.4 วงจรสาหรบตวอยางท/ 6.3

วธทา


เปนโนดอางอง ซ/งโจทยกาหนดมาใหแลว





จากวงจร , และ

ดงน:นท/ โนด : .........................(1.1)


แทนคา ความตานทานแตละตว ลงในสมการ(1.1)

จะได

นา คณ ( เปน ครน. ของสมการ(1.1))

ดงน:น


หรอ .........................(1)




จากวงจร , และ

ดงน:นท/ โนด : .........................(2.1)

21 , VV

1V 2V CV

1V

1V 321 III +=

1V

A11 =I1

12 R

VI =2

213 R

VVI -=

1V2

21

1

1A1RVV

RV -

+=

W-

+W

=62

A1 211 VVV

W6 W6

W-

W+W

W=W6

)()6(2)()6()6A)(1( 211 VVV

2113V6 VVV -+=

214V6 VV -=

2V

2V 543 III +=

1V

A45 =I3

24 R

VI =2

213 R

VVI -=

2V A43

2

2

21 +=-

RV

RVV

172


แทนคา ความตานทานแตละตว ลงในสมการ(2.1)

จะได

นา คณ ( เปน ครน. ของสมการ(2.1))

ดงน:น


หรอ .........................(2)

นาสมการ (1) และ (2) มาเขยนใหอยในรป สมการเมตรกซ ดงน:

หา :

หา :

หา :

ดงน:น .....................ตอบ

และ .....................ตอบ

A476221 +W

=W- VVV

W42 W42

A)4)(42(7)42(

6)()42( 221 W+

WW=

W-

WVVV

V168677 221 +=- VVV

21 137V168 VV -=

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é--

1686

13714

2

1

VV

D )1)(7()13)(4(13714

---+=--

=D

45752 -=+-=D

1VD )1)(168()13)(6(1316816

1 ---+=--

=DV

90168781 =+-=DV

2VD )6)(7()168)(4(168764

2 -+==DV

630426722 =-=DV

V245901

1 -=-

=DD

=VV

V14456302

2 -=-

=DD

=VV

173

-+

Non-inverting Input(+)

Inverting Input(-)

+Vcc

-Vee

Out put

-+

Vd = 0-+

01 =I

02 =I

03 ¹I

-+

2R

IV

OV

1R

-+ 0in =I

-+

a

c

d

b

-+

1I

2R

2I

IV

OV

1R

-+ 0in =I

-+

a

c

d

b

ออปแอมป (Operational Amplifier)

ออปแอมป (Operational Amplifier) เปนวงจรอเลกทรอนกส ท/ถกบรรจไวในตวถงในรปแบบ

ไอซ นาไปใชงานไดสะดวกโดยการตออปกรณเพ/มอก 2 – 3 ตว สญลกษณของออปแอมป แสดงดงรป

ท/ 6.5 ข:วใชงานหลกๆ ของออปแอมป มดงน: ข:วอนพตม 2 ข:ว คอ ข:วอนพตกลบเฟส (Inverting Input)

ข:วอนพตไมกลบเฟส (Non – inverting Input) ข:วเอาตพต ข:วตอแหลงจายไฟบวก (Vcc) และข:วตอ

แหลงจายไฟลบ (Vee)

(ก) สญลกษณของออปแอมป (ข) แสดงคณสมบตในอดมคต

รปท/ 6.5 สญญลกษณและคณสมบตในอดมคตของออปแอมป

คณสมบตในทางอดมคต ท/สาคญสาหรบกาวเคราะหวงจรออปแอมป ม 2 คณสมบต คอ

1. กระแสไหลเขาท/ข:วอนพตท:ง 2 มคาเทากบ 0 A

2. แรงดนตกครอม ข:วอนพตท:ง 2 เทากบ 0 V

การวเคราะหวงจรออปแอมป มหลายวธ ดวยกน ในหนวยน: จะเนนวเคราะหดวย วธ แรงดนโนด

ตวอยางท0 6.4 จากวงจรในรปท/ 6.6 จงวเคราะหหาแรงดนเอาตพต ดวย วธแรงดนโนด

(ก) วงจรขยายไมกลบเฟส (ข) การกาหนดทศทางกระแสจากคณสมบตทางอดมคต


วธทา วเคราะหวงจรเบ:องตน จากคณสมบตทางอดมคตของออปแอมป จะพบวา

1) แรงดนท/ ข:วอนพตบวก(+) กบข:วอนพตลบ(–) เทากบ 0 V ดงน:นจด a และ b เปนจด

เดยวกน(เสมอนเปนจดเดยวกน)

2) แรงดน ณ จด bc มคาเทากบ แรงดนอนพต

OV

IV

174

-+

1I

=2R

2I

gV

OV

1R

0in =I

a

c

d

b

W1

W2

W9LR

LI-+

=2R

gV

OV

1R

0in =I

a

c

d

b

W1

W2

W9LR

LI

3) กระแส ไหลลงจาก จด b มา จด c เน/องจากจด c เปนกราวด

4) กระแส ไหลลงจาก จด d มา จด b เน/องจาก มศกยสงกวา

ตอไปเปนการเปนการวเคราะหตามข:นตอนของวธแรงดนโนด

ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง จด b เปนโนดตอเช/อม และจด c เปน

โนดอางอง ซ/งโจทยกาหนดมาใหแลว


ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก จด b ไดดงน:

สมการ KCL ท/โนด b :

แทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎของโอหม ลงใน สมการ KCL ท/โนด b

จากวงจร และ

ดงน:นท/ โนด b :

หรอ .....................ตอบ

ซ/งเทอม กคอ อตราการขยายของวงจรน/นเอง จากสมการ

ตวอยางท0 6.5 จากวงจรในรปท/ 6.7 จงวเคราะหหา ดวย วธแรงดนโนด ถา



1I

2I OV IV

21 0 II =+

1

I1 R

VI =2

IO2 R

VVI -=

2

IO

1

1

RVV

RV -

=

2

O

2

I

1

1

RV

RV

RV

=+

O221

1111 VRRR

V ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ+

O221

111 VRRR

V =÷÷ø

öççè

æ+

I2

2

1

2O V

RR

RRV ÷÷

ø

öççè

æ+=

I1

2O 1 V

RRV ÷÷

ø

öççè

æ+=

÷÷ø

öççè

æ+1

1

2

RR

÷÷ø

öççè

æ+== 1

1

2

I

OV R

RVVA

LI V10cos12 tVg =

175

+-

2R

IVOV

1R

-+ 0in =I

-+

a

c

b1I

2I

+-

2R

IVOV

1R

-+ 0in =I

-+

a

c

b

วธทา ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง จด b เปนโนดตอเช/อม และจด c

เปนโนดอางอง ซ/งโจทยกาหนดมาใหแลว


ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก จด b ไดดงน:

สมการ KCL ท/โนด b : และ

แทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎของโอหม ลงใน สมการ KCL ท/โนด b


ดงน:นท/ โนด b :

หรอ

แทนคา :

ดงน:น

.....................ตอบ


(ก) วงจรขยายกลบเฟส (ข) การกาหนดทศทางกระแสจากคณสมบตทางอดมคต


21 II = gVV =bc

11 R

VI g=

2

O2 R

VVI g-=

2

O

1 RVV

RV gg -

=

2

O

21 RV

RV

RV gg =+

O221

111 VRRR

Vg ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ+

O221

11 VRRR

Vg =÷÷ø

öççè

æ+

gVRR

RRV ÷÷

ø

öççè

æ+=

2

2

1

2O

gVRRV ÷÷

ø

öççè

æ+= 1

1

2O

21 , RR gg VVV 3112

O =÷÷ø

öççè

æ+

WW

=

W==

9V)t10cos12(3

L

OL R

VI

At10cos49

Vt10cos36L =

W=\ I

OV

176

1I 2I

W12LV

4I-+

=2R

gV

OV

1R

0in =I

a

c

d

b

W1

W2

W9LRLI

W1

3R

4R

-+

=2R

gV

OV

1R

0in =I

a

c

d

b

W1

W2

W9LRLI

W=13R

4R

3I

W12 LV

วธทา วเคราะหวงจรเบ:องตน จากคณสมบตทางอดมคตของออปแอมป จะพบวา

1) แรงดนท/ ข:วอนพตบวก(+) กบข:วอนพตลบ(–) เทากบ 0 V ดงน:นจด a และ c เปนจดเดยวกน

ซ/งตอลงกราวด (ดงน:น จด a เปนกราวดเสมอน)

2) กระแส ไหลลงจาก มา จด a เน/องจาก มศกยสงกวา จด a

3) กระแส ไหลลงจาก มา จด a เน/องจาก มศกยสงกวา จด a

ตอไปเปนการเปนการวเคราะหตามข:นตอนของวธแรงดนโนด

ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง จด a เปนโนดตอเช/อม และจด c เปน

โนดอางอง ซ/งโจทยกาหนดมาใหแลว


ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก จด a ไดดงน:

สมการ KCL ท/โนด a : หรอ

จากวงจร และ ซ/ง

ดงน:นท/ โนด a :

.....................ตอบ

ซ/งเทอม กคอ อตราการขยายของวงจรน/นเอง จากสมการ

เคร/องหมายลบขางหนาหมายถง กลบเฟส 180 องศา


ถา



1I IV IV

2I OV OV

021 =+ II 21 II -=

1

a11 R

VVI -=

2

aO2 R

VVI -= 0a =V

2

O

1

1

RV

RV

-=

O21

1 )( VRRV

-=

11

2O V

RRV ÷÷ø

öççè

æ-=\

÷÷ø

öççè

æ-

1

2

RR

÷÷ø

öççè

æ-==

1

2

I

OV R

RVVA

LV

Vt10cos4=gV

177

วธทา ข:นตอนท/ (1) สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/ง จด a เปนโนดตอเช/อม และจด c

เปนโนดอางอง


ข:นตอนท/(3) เขยนสมการ แรงดนโนด ในโนดหลก จด a ไดดงน:

สมการ KCL ท/โนด a : และ

แทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎของโอหม ลงใน สมการ KCL ท/โนด a


ดงน:นท/ โนด a :

หรอ

แทนคา :

สมการ KCL ท/โนด d :

แทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎของโอหม ลงใน สมการ KCL ท/โนด d


ดงน:นท/ โนด d :

แทนคาตวตานทานลงไป

นา คณตลอดสมการ :

:

แทนคา

....................ตอบ

21 II = gVV =ac

11 R

VI g=

2

O2 R

VVI g-=

2

O

1 RVV

RV gg -

=

2

O

21 RV

RV

RV gg =+

O221

111 VRRR

Vg ÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ+

O221

11 VRRR

Vg =÷÷ø

öççè

æ+

gVRR

RRV ÷÷

ø

öççè

æ+=

2

2

1

2O

gVRRV ÷÷

ø

öççè

æ+= 1

1

2O

21 , RR gg VVV 4113

O =÷÷ø

öççè

æ+

WW

=

L43 III +=

4

L4

3

LO3 ,

RVI

RVVI =

-=

L

LL R

VI =

L

L

4

L

3

LO

RV

RV

RVV

+=-

W+

W=

W-

4121LLLO VVVV

W+

W+

W=

W 14121LLLO VVVV

W12 LLLLO 1612312 VVVVV =++=

OL 1612VV =\ gVV 4O =

gVV ,O Vt10cos441612)4(

1612

L ´´== gVV

Vt10cos12Vt10cos161612

L =´=\ V

178

สรปสาระสาคญ

วธแรงดนโนด (Node voltage method) เปนวธการการวเคราะหวงจรไฟฟา และวงจร

อเลกทรอนกส โดยการนา กฎกระแสของเคอรชอฟฟมาประยกตใช โนด หมายถง จดเช/อมตอในวงจร

โนดแตโนดจะตองมสาขาท/เช/อมตอกน ไมนอยกวา 2 สาขา

โนดหลก (Principal Node) หรอจดเช/อมตอ คอจดในวงจรไฟฟาท/มจานวนสาขาของวงจรท/

ตออยต:งแต 3 สาขาข:นไปมาตอรวมกน

โนดเปรยบเทยบ (Reference Node) หรอจดอางอง แตโดยท/วไปแลวจะเลอกจดอางองท/ตอ

รวมอยกบกราวด (Ground) เสมอ

แรงดนโนด (Node Voltage) คอ ความแตกตางของระดบแรงดนท/จดใดๆ กไดในวงจร เม/อ

นาไปเปรยบเทยบกบจดอางอง

สรปข:นตอนการใช วธแรงดนโนด มดงน:

1. สารวจ จานวนของโนด กาหนดลงในวงจร ซ/งจะมท:งโนดตอเช/อม (โนดหลก) และโนด

อางอง

2. สมมตและกาหนดทศทางของกระแสไฟฟาท/โนดตอเช/อม การกาหนดทศทางของกระแสไฟฟา

ท/โนดเช/อมตอ จะกาหนดใหกระแสไฟฟาไหลเขาหรอไหลออกกได

3. เขยนสมการ แรงดนโนด ในแตละโนดหลก แลวแทนคา กระแสท/สมมตข:นมา โดยใชกฎ

ของโอหม ลงใน สมการ แรงดนโนด

4. ปรบปรง พฒนาสมการ จากข:นตอนท/ (3) โดยใชวธ ของสมการเชงเสน แลวแกระบบสมการ

หาคาตวแปรท/ตองการทราบคา

179

V51E

W=11R

V102E

W= 33R

W52R

A

Ω21R

Ω12 =R

Ω43R

1V

C

A7

2V

A14

Ω41R

Ω12 =R

Ω43R

1V

C

A4

2V

A8I

W=11R

V111E

V72E

W12R

W=13R

W14R

W=15R1V 2V

แบบฝกหด


1. จากวงจรในรปท/ 6.10 จงหาคาแรงดนไฟฟาท/จด A และกระแสไหลผานตวตานทานคา

ตอบ

รปท/ 6.10 วงจรสาหรบแบบฝกหดขอท/ 1

2. จากวงจรในรปท/ 6.11 จงหาคาแรงดนไฟฟา ตอบ


3. จากวงจรในรปท/ 6.12 จงหาคาแรงดนไฟฟา และ กระแสไฟฟา

ตอบ และ


4. จากวงจรในรปท/ 6.13 จงหาคา แรงดนไฟฟา ตอบ


W2

A088.1,V43.5A == IV

21 , VV V4,V12 21 == VV

21 , VV I

V16,V16 21 == VV A0=I

21 , VV V4,V5 21 == VV

180

W= 21R

V11E

A2

W32R

W= 83R

W24R

1V 2V3V

W= 71R

V91E

W12R

W= 33R

W35R

1V 2V 3VW=14R

OV

-+

=2R

V12gV

-

+

OV

1R

0in =I

Wk2

Wk3LR

LI

Wk6

Wk6

A

B

C

D

Wk2

=AR

BR

5. จากวงจรในรปท/ 6.14 จงหาคา แรงดนไฟฟา และ

ตอบ ,



ตอบ ,


7. จากวงจรในรปท/ 6.16 จงหาคา และ ตอบ ,


21 , VV 3V

V3,V1 21 == VV V33 -=V

21 , VV 3V

V2,V9 21 == VV V33 =V

OV LI V12O =V mA4L =I

181

+-

W= k22R

V11V

OVW= k11R 1I

2I

V32V

LI

Wk5LR

W= k43R

3I

+-

W= k42R

gV

1OV

W= k21R

1I

2I

+-

A

2OV

OI

Wk6LR

W= k33R

3I

W= k94R

4I

B C D

E

+-

2R

1V

OV

1R 1I

2I

A2V

3R 3I

OR

4I

3V

8. จากวงจรในรปท/ 6.17 จงหาคากระแสไฟฟา ตอบ


9. จากวงจรในรปท/ 6.18 จงหาคา ถา ตอบ


10. จากวงจรในรปท/ 6.19 จงหาคา ในเทอมของ ตวตานทาน และแรงดน และ

ตอบ


LI mA2L -=I

OI Vt3000sin2g =V mAt3000sin2O =I

OV ,1V 2V 3V

÷÷ø

öççè

æ++-=

3

3

2

2

1

1OO R

VRV

RVRV

182

1I2I

3I

1R

1E 2E2R

3R

4R

5RAV BV

CV

4I5I

Ω21R

Ω62 =R

Ω43R

1V

C

A2

2V

A71I2I

3I

แบบทดสอบหลงเรยน


จงเลอกคาตอบท/ถกท/สดเพยง 1 ขอ

1. ข:นตอนแรกของวธแรงดนโนด คอ ขอใด

ก. สมมตและกาหนดทศทางกระแส ข. แกสมการหาคาตวแปรท/ตองกา

ค. เขยนสมการ แรงดนโนด ง. สารวจจานวนโนดแลวกาหนดลงในวงจร




ก. ข.

ค. ง.

3. ใชกฎของโอหมแทนคา ไดเปนขอใด

ก. ข.

ค. ง.




ก. ข.

ค. ง.

AV

321 III += 213 III +=

312 III += 213 III =-

3I

3

BA3 R

VVI +=

3

BA3 R

VVI -=

3

A3 R

VI =3

B3 R

VI =

1V

A712 =- II 21 A7 II =+

21A7 II += 12 A7 II =+

183

-+

=2R

V3gV

OV

1R

0in =I

a

c

b

Wk1

Wk2Wk9LR

LI


ก. 15 V ข. 8 V

ค. 13 V ง. 10 V


ก. 15 V ข. 8 V

ค. 13 V ง. 10 V


ก. 1.5 A ข. 1 A

ค. 0.5 A ง. 2 A

จากวงจรในรปท/ 3 ใชสาหรบคาถามขอ 8 – 10

รปท/ 3 วงจรสาหรบคาถามขอ 8 – 10

8. สมการ KCL ท/จด a คอขอใด

ก. ข.

ค. ง.


ก. 4 V ข. 10 V

ค. 9 V ง. 18 V


ก. 3 mA ข. 1 mA

ค. 10 mA ง. 1 A

1V

2V

2I

21 II -= L2 0 II =+

21 0 II =+ L21 III =+

OV

LI

184

เอกสารอางอง

มงคล ทองสงคราม. (2540). ทฤษฎวงจรไฟฟา 1. กรงเทพฯ : หจก. ว.เจ.พร:นต:ง.

มงคล ทองสงคราม. (2543). การวเคราะหวงจรไฟฟา 1. กรงเทพฯ : บรษท รามาการพมพจากด.

มนส ประสงค. (2546). คณตศาสตร 2. กรงเทพฯ : ศนยสงเสรมวชาการ.

ไมตร วรวฒจรรยากล. (2545). ทฤษฎวงจรไฟฟา เลม 2. พมพคร: งท/ 4. กรงเทพฯ : บรษท ส. เอเชยเพรส

(1989) จากด.

มนตร ศรปรชญานนท , ธนศกดf อรณไพร. (2558). ออปแอมปและลเนยรไอซ. กรงเทพฯ : บรษท ซ

เอดยเคช/น จากด(มหาชน).

บณฑต บวบชา.(2540). ทฤษฎและการวเคราะหวงจรไฟฟา 1. กรงเทพฯ : หจก. สานกพมพฟสกส

เซนเตอร.

ประทม ฉ/าโสฬส. (2549). วเคราะหวงจรไฟฟา. กรงเทพฯ : บรษท สานกพมพเอมพนธ จากด.

นภทร วจนเทพนทร. (2550). การประมวลผลสญญาณดวย ออปแอมปและลเนยรไอซ. กรงเทพฯ :

บรษท สกายบกส จากด.

Alan Jeffrey. ESSENTIALS OF ENGIEERING MATHEMATICS. Singapore. Chapman & Hall. 1992.

Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. Second

Edition Singapore. McGraw-Hill. 2004.

David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn. Electric circuit analysis. (2 rd . Ed.),

Simon & Schuster Asia Pte Ltd., Singapore. Prentice-Hall International, Inc. 1996.

Kenneth Hardy. Linear Algebra For Engineers and Scientists. Pearson Prentice-Hall. Upper

Saddle River. New Jersey, 2005.

Thomas L. Floyd . Principles of Electric Circuits Conventional Current Version. 7th. Ed. New

Jersey. Prentice-Hall. 2003.

William H. Hayt, JR. Jack E. Kemmerly. Engineering Circuit Analysis. (5 th Ed.) Singapore.

McGraw-Hill. 1993.

185

ภาคผนวก

- เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

- เฉลยแบบฝกหดทายหนวย

186

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

1. ข 2. ค 3. ก 4. ข 5. ง 6. ค 7. ก 8. ก 9. ข 10. ง

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1. ง 2. ก 3. ข 4. ค 5. ค 6. ง 7. ค 8. ค 9. ค 10. ข

187

V51E

W=11R

V102E

W= 33R

W52R

A

1I2I 3I

Ω21R

Ω12 =R

Ω43R

1V

C

A7

2V

A14 1I2I

3I

เฉลยแบบฝกหด


1. จากวงจรในรปท/ 6.10 จงหาคาแรงดนไฟฟาท/จด A และกระแสไหลผานตวตานทานคา

ตอบ


KCL ท/โนด :

นา คณตลอดเพ/อกาจดเศษสวน :

ดงน:น .....................ตอบ

2. จากวงจรในรปท/ 6.11 จงหาคาแรงดนไฟฟา ตอบ


KCL ท/โนด :

นา คณตลอด :

…………………(1)

W5

A088.1,V43.5A == IV

AV 213 III +=

Ω5Ω1V5

Ω3V10 AAA VVV

+-

=-

W15

AAA 3V75155V50 VVV +-=-

AAAA 235315V75V50 VVVV =++=+

23V125

A =V

V43.5A =V

A088.15V43.5

Ω5A

1 =W

==VI

21 , VV V4,V12 21 == VV

1V 21A14 II +=

Ω1Ω2A14 211 VVV -

+=

W2 211 22V28 VVV -+=

V2823 21 =- VV

188

Ω41R

Ω12 =R

Ω43R

1V

C

A4

2V

A8I

1I 2I

KCL ท/โนด :


…………………(2)

เขยนในรปสมการเมตรกซไดดงน:

ดงน:น .....................ตอบ

และ .....................ตอบ

3. จากวงจรในรปท/ 6.12 จงหาคาแรงดนไฟฟา และ กระแสไฟฟา

ตอบ และ

รปท/ 6.12 (ก) วงจรสาหรบแบบฝกหดขอท/ 3

KCL ท/โนด : หรอ


…………………(1)

KCL ท/โนด :


2V A732 += II

A7Ω4Ω1221 +=

- VVV

W4 V2844 221 +=- VVV

V2854 21 =- VV

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é--

V28V28

5423

2

1

VV

78155423

Δ -=+-=--

=

8456140528228

Δ 1 -=+-=--

=V

2811284284283

Δ 2 -=-==V

V12784

ΔΔ 1

1 =--

==VV

V4728

ΔΔ 2

2 =--

==VV

21 , VV I

V16,V16 21 == VV A0=I

1V 0A4A8 1 =--+ II II -= 1A4

W-

-W

=44

A4 211 VVV

W4 121V16 VVV +-=

212V16 VV -=

2V 2A4 II +=

W+

W-

=44

A4 212 VVV

W4 212V16 VVV +-=

189

W=11R

V111E

V72E

W12R

W=13R

W14R

W=15R1V 2V

1I2I 3I

4I 5I

…………………(1)


จะได .....................ตอบ

และ .....................ตอบ

ดงน:น .....................ตอบ

4. จากวงจรในรปท/ 6.13 จงหาคา แรงดนไฟฟา ตอบ


KCL ท/โนด :


…………………(1)

KCL ท/โนด :


…………………(2)


21 2V16 VV +-=

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é-

-V16V16

2112

2

1

VV

3142112

Δ =-=-

-=

481632216116

Δ 1 =+=-

=V

481632161162

Δ 2 =+=-

=V

V16348

ΔΔ 1

1 ===VV

V16348

ΔΔ 2

2 ===VV

A04V0

4V16V16

421 =

W=

W-

=W-

=VVI

21 , VV V4,V5 21 == VV

1V 321 III +=

Ω1Ω1Ω1V11 2111 VVVV -

+=-

Ω1 2111V11 VVVV -+=-

V113 21 =-VV

2V 453 III =+

Ω1Ω1V7

Ω12221 VVVV

=-

+-

Ω1 2221 V7 VVVV =-+-

V73 21 =+- VV

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é-

-V7V11

3113

2

1

VV

190

W= 21R

V11E

A2

W32R

W= 83R

W24R

1V 2V3V

1I

2I

3I 4I

จะได .....................ตอบ

และ .....................ตอบ


ตอบ ,


จากวงจร .....................ตอบ

KCL ท/โนด :


.....................ตอบ

KCL ท/โนด :


.....................ตอบ

8193113

Δ =-=-

-=

4073337111

Δ 1 =+=-

=V

32112171113

Δ 2 =+=-

=V

V5840

ΔΔ 1

1 ===VV

V4832

ΔΔ 2

2 ===VV

21 , VV 3V

V3,V1 21 == VV V33 -=V

V11 =V

2V 32 A2 II =+

Ω3A2

Ω2V1 22 VV

=+-

Ω6 22 2V123V3 VV =+-

22 32V15 VV +=

V35V15

2 ==\ V

3V 51 A2 II +=

Ω2A2

Ω8V1 33 VV

+=-

Ω8 33 4V16V1 VV +=-

3515 V=-

V35V15

3 -=-

=\ V

191

W= 71R

V91E

W12R

W= 33R

W35R

1V 2V 3VW=14R

1I

2I

3I

4I

5I


ตอบ ,


จากวงจร .....................ตอบ

KCL ท/โนด :


…………………(1)

KCL ท/โนด :


…………………(2)


จะได .....................ตอบ

และ .....................ตอบ

21 , VV 3V

V2,V9 21 == VV V33 =V

V91 =V

2V 321 III +=

W-

+=-

1Ω1Ω7V9 3222 VVVV

Ω7 3222 777V9 VVVV -+=-

32 715V9 VV -=

3V 543 III =+

Ω33V9

Ω13332 VVVV

=W-

+-

Ω3 3332 V933 VVVV =-+-

32 53V9 VV +-=

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é-

-V9V9

53715

3

2

VV

54217553715

Δ =-=-

-=

10863455979

Δ 2 =+=-

=V

1622713593915

Δ 3 =+=-

=V

V254108

ΔΔ 2

2 ===VV

V354162

ΔΔ 3

3 ===VV

192

OV

-+

=2R

V12gV

-

+

OV

1R

0in =I

Wk2

Wk3LR

LI

Wk6

Wk6

A

B

C

D

Wk2

=AR

BR

1I 2I

+-

W= k22R

V11V

OVW= k11R 1I

2I

V32V

LI

Wk5LR

W= k43R

3IA

7. จากวงจรในรปท/ 6.16 จงหาคา และ ตอบ ,


จากวงจร และกฎการแบงแรงดน และ

KCL ท/โนด B :


.....................ตอบ

ดงน:น .....................ตอบ

8. จากวงจรในรปท/ 6.17 จงหาคากระแสไฟฟา ตอบ


KCL ท/โนด A :


OV LI V12O =V mA4L =I

V6V)12(k6k6

k6A =

W+WW

=V BA VV =

021 =+ II

0k2kΩ2

OAA =W-

+VVV

kΩ2 0OAA =-+ VVV

OA2 VV =

V12V)6(2O ==\ V

mA4k3V12

L

OL =

W==

RVI

LI mA2L -=I

321 III -=+

W-=

W+

k4k2kΩ1O21 VVV

kΩ4 O21 24 VVV -=+

)24( 21O VVV +-=

193

+-

W= k42R

gV

1OV

W= k21R

1I

2I

+-

A

2OV

OI

Wk6LR

W= k33R

3I

W= k94R

4I

B C D

E

ดงน:น .....................ตอบ

9. จากวงจรในรปท/ 6.18 จงหาคา ถา ตอบ



KCL ท/โนด C :

ดงน:น .....................ตอบ

]V)3(2V)1(4[O +-=V

V10]V)6(V)4[(O =+-=V

mA2k5V10

L

OO -=

W-

==RVI

OI Vt3000sin2g =V mAt3000sin2O =I

21 II -=

W-=

W k4k21Og VV

gg1O 2)(k2k4 VVV -=WW

-=

43 II -=

W-=

W k9k32O1O VV

1O1O2O 3)(k3k9 VVV -=WW

-=-

gg1O2O 6)2(33 VVVV =--=-=

mA3000sin2k6

V)3000sin2(6

L

2OO tt

RVI =

W==

194

+-

2R

1V

OV

1R 1I

2I

A2V

3R 3I

OR

4I

3V

10. จากวงจรในรปท/ 6.19 จงหาคา ในเทอมของ ตวตานทาน และแรงดน และ

ตอบ



.....................ตอบ

OV ,1V 2V 3V

÷÷ø

öççè

æ++-=

3

3

2

2

1

1OO R

VRV

RVRV

4321 IIII -=++

O

O

3

3

2

2

1

1

RV

RV

RV

RV

-=++

÷÷ø

öççè

æ++=-\

3

3

2

2

1

14O R

VRV

RVRV

หน่วยที่ 6 โนดโวล์ทเตจ · 2018-06-26 · 162 i 1 i 2 3 r 1 e...

Documents