เล่ม 18 เร อง การแยกต วประกอบพห นามด กร...
TRANSCRIPT
1
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
2
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม สาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม 5 รหสวชา ค 20205 ชนมธยมศกษาปท 3 จดท าขนเพอใชแกปญหาเรองผลสมฤทธทางการเรยน และใชประกอบการเรยนการสอนเพอเปนแนวทางในการศกษา เรอง การแยกตวประกอบของพหนามใหดยงขนไป โดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามประกอบดวยนวตกรรมทงหมด 5 เลม ดงน เลมท 1 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง เลมท 2 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง เลมท 3 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสอง สมบรณ
เลมท 4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปน จ านวนเตม เลมท 5 การแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ ผจดท าขอขอบพระคณ นายพชรน ภชย ผอ านวยการโรงเรยนหนองไผ และผทรงคณวฒ
ทกทานเปนอยางสง ทไดกรณาใหค าชแนะและเสนอขอคดเหนในการจดท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามเลมนใหส าเรจลลวงไปดวยด สรตนชย พรมเทา
ก
ค ำน ำ
3
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
หนา
ค าน า ก สารบญ ข การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 1 ค าชแจงส าหรบคร 2 ค าชแจงส าหรบนกเรยน 3 แผนผงการจดกจกรรมการเรยนร 4 จดประสงคการเรยนร 5 แบบทดสอบกอนเรยน 6 4 ใบความร 8 แบบฝกทกษะท 1 22 แบบฝกทกษะท 2 26 แบบฝกทกษะท 3 29 แบบฝกทกษะท 4 33 แบบฝกทกษะท 5 34 แบบฝกทกษะท 6 36 แบบทดสอบหลงเรยน 40 บรรณานกรม 42 ภาคผนวก 43 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน/หลงเรยน 44 เฉลยแบบฝกทกษะท 1 45 เฉลยแบบฝกทกษะท 2 47 เฉลยแบบฝกทกษะท 3 49 เฉลยแบบฝกทกษะท 4 51 เฉลยแบบฝกทกษะท 5 52 เฉลยแบบฝกทกษะท 6 54 ตารางบนทกคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร 57
สารบญ
ข
4
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
1. ขอแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม เลมท 1
เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง สาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ใชคกบแผนการจดการเรยนรท 2 – 3 เวลา 2 ชวโมง 2. สวนประกอบของแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของ พหนาม
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง ประกอบดวยเอกสาร ดงน
2.1 การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2.2 จดประสงคการเรยนร 2.3 ขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2.4 แบบทดสอบกอนเรยน 2.5 แบบฝกทกษะท 1 – 6 2.6 แบบทดสอบหลงเรยน 3. สวนประกอบของแบบฝกทกษะคณตศาสตร ( แบบฝกทกษะท 1 – 6 )
3.1 ใบความร / แบบฝกทกษะคณตศาสตร 3.2 เฉลยแบบฝกทกษะคณตศาสตร 3.3 เกณฑการใหคะแนน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม
เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง โดยใชสมบตการแจกแจง
1
5
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
1. ครผสอนศกษาสาระการเรยนรและการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม โดยละเอยด ดงน
1.1 ศกษาคมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 1.2 ศกษาขอแนะน าส าหรบครผสอน 1.3 จดเตรยมสอและกจกรรมตามล าดบการใชกอน – หลง
1.4 ศกษาค าชแจงในการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอน 2. จดเตรยมหองเรยนใหเออตอการจดกจกรรมการเรยนการสอนตามความเหมาะสมของ
เนอหาทเรยน ความเรยบรอยของสอ 3. กอนการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครผสอนชแจงใหนกเรยนเขาใจบทบาทของ
ตนเอง แนะน าขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร แนวปฏบตในระหวางด าเนนกจกรรมการเรยนการสอน
4. ครควรกระตนใหนกเรยนทกคนมสวนรวมในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เพอเปนการฝกใหนกเรยนรจกท างานรวมกน
5. ครผสอนควรดแลนกเรยนขณะท าแบบฝกอยางใกลชดพรอมประเมนทกษะคณตศาสตร กระบวนการและคณลกษณะอนพงประสงค
6. หลงจากนกเรยนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร ครบตามขนตอนแลว ครเฉลยกจกรรมรวมกบนกเรยน
7. ครผสอนบนทกผลการประเมนทกดาน
ค ำชแจงส ำหรบคร
2
6
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
1. นกเรยนอานค าชแจงของแบบฝกทกษะคณตศาสตรและปฏบตตามล าดบขนตอน 2. นกเรยนอานจดประสงคการเรยนร 3. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอวดความรพนฐานของนกเรยน 4. นกเรยนศกษาใบความร ใหเขาใจ กรณทมขอสงสยใหนกเรยนปรกษาครผสอน 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะท 1 – 6 6. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอวดผลการเรยนรของนกเรยน
ค ำชแจงส ำหรบนกเรยน
3
7
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
อานค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร
ค าชแจงส าหรบคร/ส าหรบนกเรยน
แผนผงการจดกจกรรมการเรยนร แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม สาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 23201
ชนมธยมศกษาปท 3
ศกษาสาระและมาตรฐานการเรยนร/เปาหมายการเรยนร
4
ท าแบบทดสอบกอนเรยน
ศกษาใบความร
ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร
ท าแบบทดสอบหลงเรยน
ท าแบบทดสอบผานเกณฑศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมตอไป
ท าแบบทดสอบไมผานเกณฑ
ยอนกลบไปศกษาเนอหาใหม
8
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
แบบทดสอบกอนเรยน
แยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจงได
ผลการเรยนร
5
จดประสงคการเรยนร
เมอเรยนจบแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง แลวนกเรยนสามารถ 1. ดานความร แยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจงได 2. ดานทกษะ
2.1 นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 2.2 นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2.3 นกเรยนมความสามารถในการสอสาร สอความหมาย
3. ดานคณธรรม จรยธรรมและคณลกษณะอนพงประสงค 3.1 นกเรยนมระเบยบวนย 3.2 นกเรยนมความรอบคอบ 3.3 นกเรยนมความรบผดชอบ 3.4 นกเรยนมความซอสตย
9
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
1. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 2x
ก. (x + 2) ข. x(x + 2) ค. x(x3 + 2) ง. x2(x + 2)
2. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 4x2 – 20x ก. (4x + 2)2 ข. x2(x + 20) ค. 4x(x – 5) ง. 4x2(x + 2)
3. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 4x2 – 6x ก. 2x(– 2x – 3) ข. x2(x + 6) ค. 2x(x – 5) ง. 2x2(x + 2)
4. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 15x2 + 12x ก. 4x(– 3x – 3) ข. 4x2(x + 3) ค. 2x(x + 5) ง. 3x(– 5x + 4)
5. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 5x + 6 ก. (x + 2)(x + 3) ข. (x + 3)(x + 3) ค. 3x(x + 5) ง. (x + 1)(x + 2)
1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน 2. แบบทดสอบนเปนแบบเลอกตอบใหนกเรยนท าเครองหมาย ในกระดาษค าตอบทตรงกบขอ ก ข ค และ ง ทถกทสดเพยงขอเดยว
ค าชแจง
6
10
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
6. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 16x3y3 – 24x4y ก. 8x3y(2y2 – 3x) ข. 6x3y(2y2 – 3x) ค. 4x3y(2y2 – 3x) ง. 2x3y(2y2 – 3x)
7. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – x – 20 ก. (x – 4)(x + 5) ข. (x – 3)(x + 4) ค. (x + 3)(x – 4) ง. (x + 4)(x – 5)
8. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – 10x + 21 ก. (x – 2)(x + 5) ข. (x – 3)(x – 7) ค. 2x(x + 5) ง. (x + 1)(x + 6)
9. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 2x + 1
ก. (x + 1)(x + 1) ข. (x + 1)(x + 2) ค. (x + 1)(x + 3) ง. (x + 1)(x + 4)
10. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 8x2 – 14x + 3 ก. (4x + 1)(2x + 3) ข. (4x – 1)(2x – 3) ค. (4x + 3)(2x + 1) ง. (4x – 3)(2x – 1)
7
11
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ใบความร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง
โดยใชสมบตการแจกแจง
การแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสอง การแยกตวประกอบของพหนาม เปนการเขยนพหนามทก าหนดใหในรปการคณกนของพหนามทมดกรต ากวาตงแต 2 พหนามขนไป หรอเปนการเขยนพหนามทก าหนดใหในรปทงายกวา เชน
1) 2x + 10 = 2(x + 5) จะเหนวา 2 และ x + 5 เปนพหนามทหารดวย 2x + 10 ไดลงตวเรยก 2 และ x + 5 วาตวประกอบของ 2x + 10
2) x2 + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4) จะเหนวา x + 2 และ x + 4 เปนตวประกอบของ x2 + 6x + 8 เพราะสามารถหาร x2 + 6x + 8 ไดลงตว ส าหรบวธการแยกตวประกอบของพหนามมวธการหาไดหลายแบบ ซงแตละวธจะกลาวในหวขอตาง ๆ ตอไปน
8
12
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1 การแยกตวประกอบโดยใชสมบตการแจกแจง สมบตการแจกแจง ถา a , b และ c แทนจ านวนเตมใด ๆ แลว a(b + c) = ab + ac หรอ (b + c)a = ba + ca เชน 2(x + 5) = 2x + 10 , (x - y)3x = 3x2 – 3xy แตถาเขยนใหมเปน ab + ac = a(b + c) หรอ ba + ca = (b + c)a เชน 2x + 10 = 2(x + 5) , 3x2 – 3xy = (x - y)3x เรยกวา การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม โดยเรยก a วาตวประกอบรวมของ ab และ ac หรอตวประกอบรวมของ ba และ ca
การหาตวประกอบรวม
นกเรยนลองพจารณาการหาตวประกอบรวมตอไปน ตวอยางท 1 จงหาตวประกอบรวมของ 12x2 และ 18x3 ขนท 1 แยกตวประกอบตวเลขใหอยในรปการคณ กนของจ านวนเฉพาะ และแยกตวแปรใหอยในรปการคณเชนเดยวกน ขนท 2 จากนนวงกลมตวประกอบททงสองตวมรวมกน ขนท 3 น าตวประกอบรวมทไดมาคณกน หมายเหต: การหาตวประกอบรวมในสวนทเปนจ านวนเตม นกเรยนสามารถหาโดยใชวธหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ได ตวอยางท 2 จงหาตวประกอบรวมของ 5x2 และ 15x วธท า แยกตวประกอบของ 5x2 = (5)(x)(x) และ 15x2 = (3)(5)(x) ตวประกอบรวมของ 5x2 และ 15x คอ (5)(x) = 5x
ตวอยางท 3 จงหาตวประกอบรวมของ 14x3 8x2 และ 10x วธท า แยกตวประกอบของ 14x2 = (2)(7)(x)(x) 8x2 = (2)(2)(2)(x)(x) และ 10x = (2)(5)(x) ตวประกอบรวมของ 14x3 , 8x2 และ 10x คอ (2)(x) = 2x
วธท า แยกตวประกอบของ 12x2 = (2)(2)(3)(x)(x) และ18x2 = (2)(3)(3)(x)(x)(x)
ตวประกอบรวมของ 12x2 และ 18x3
คอ (2)(3)(x)(x) = 6x2
ดงนน ตวประกอบรวม คอ 6𝑥2
9
13
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ในการแยกตวประกอบพหนาม เราสามารถใชสมบตการแจกแจงในการดงตวประกอบรวมของแตละนพจนในพหนามได ลองพจารณาตวอยางการแยกตวประกอบตอไปน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ 12x2+60x ขนท 1 หาตวประกอบรวมของ 12x2+ 60x ขนท 2 ใชสมบตการแจกแจงดงตวประกอบรวมออกมานอกวงเลบ ขอสงเกต : 12x2 เปนตวประกอบรวมของ 12x2 และ 60x เราจงตองดง 12x2 ออกมานอกวงเลบ
วธท า หาตวประกอบรวมของ 12x2และ60x 12x2 = (2)(2)(3)(x)(x) และ 60x2 = (2)(2)(3)(5)(x) หาตวประกอบรวมของ 12x2และ60x คอ (2)(2)(3)(x) = 12x
ดงนน 12x2+ 60x = (12x)(x) + (12x)(5) = 12x(x + 5) ตอบ 12x2+ 60x = 12x(x + 5)
10
ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ 5xy + 6x2 วธท า หาตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 5xy = (5)(x)(y) และ 6x2 = (2)(3)(x)(x) ตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 คอ x ดงนน 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x) = x(5y +6x) ตอบ 5xy + 6x2 = x(5y +6x)
ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ 12y2z + 20yz วธท า หาตวประกอบรวมของ 12y2z และ 20yz 12y2z = (2)(2)(3)(y)(y)(z) และ 20yz = (2)(2)(5)(y)(z) ตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 คอ (2)(2)(y)(z) = 4yz ดงนน 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5) = 4yz(3y + 5) ตอบ 12y2z + 20yz = 4yz(3y + 5)
14
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ ab – 2ac + bc – 2c2 วธท า ab – 2ac + bc – 2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)
= a(b – 2c) + c(b – 2c) = (b – 2c)a + (b – 2c)c
= (b – 2c)(a + c) ตอบ ab – 2ac + bc – 2c2 = (b – 2c)(a + c) ขอสงเกตตวอยางน 1. ใชคณสมบตการเปลยนหมและสมบตกำรสลบท 2. a , c เปนตวประกอบรวม 3. b – 2c เปนตวประกอบรวม
ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ -7x2y2 + xy วธท า หาตวประกอบรวมของ 7x2y2 และ xy 7x2y2 = (7)(x)(x)(y)(y) และ xy = (x)(y) ตวประกอบรวมของ 7x2y2 และ xy คอ xy ดงนน -7x2y2 + xy = (xy)(-7xy) + (xy)(1) = xy(-7xy + 1) ตอบ -7x2y2 + xy = xy(-7xy + 1)
ขอควรระวง 1. ตวประกอบรวมทน าออกมานอกวงเลบตองเปนตวประกอบรวมทมากทสด 2. ถายงมตวประกอบเหลออยตองน าออกมาใหหมด 3. ในการแยกตวประกอบของพหนามทมหลายพจนอาจตองใชสมบตการสลบท และสมบตการเปลยนหมประกอบดวย นอกจากจะใชสมบตการแจกแจงแลว ดงตวอยางท 5
11
15
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
การแยกตวประกอบพหนามดกรสองตวแปรเดยว
พหนามดกรสองตวแปรเดยว คอ พหนามทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงท a ≠ 0 และ x เปนตวหาร
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a=1, b และ c เปนจ านวนเตมท c ≠ 0
พจารณาการคณพหนามตอไปน (x +p)(x + q) = x2 + px + qx + pq = x2 + (p + q)x + pq เมอเทยบกบรป ax2 + bx + c จะพบวา b = p + q และ c = pq นนคอ พหนาม ax2 + bx + c จะสามารถแยกตวประกอบไดเปน (x + p)(x + q)
เมอ p + q = b และ pq = c ยกตวอยางพหนามดกรสองตวแปรเดยว เชน x2 + 4x + 6 (a = 1 , b = 4 , c = 6) 3x2 - 8x + 1 (a = 3 , b = -8 , c = 1) m2 - 16 (a = 1 , b = 0 , c = -16) -y2 + 2y - 7 (a = -1 , b = 2 , c = -7)
ในการแยกตวประกอบพหนามดกรสองตวแปรเดยว ทอยในรป ax2 + bx + c แบงออกเปน 2 กรณ คอ กรณ a= 1 และกรณ a ≠ 1
① กรณ a= 1 , c ≠ 0
ในเมอการแยกตวประกอบกคอวธท ายอนกลบของการคณ ดงนน ใหนกเรยนพจารณาการคณของพหนามตอไปน (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) +(x + 2)(3) (กระจาย 𝑥 + 2 เขาไปคณกบ𝑥 และ 3) = (x2 + 2x) + (3x + (2)(3)) (น า 𝑥 และ 3 เขาไปคณในวงเลบ)
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3) (สมบตการเปลยนหมการบวก) = x2 + (2+3)x + (2)(3) = x2 + 5x + 6
สงเกตเหนวา พจนกลางเกดจากการบวกของ 2 กบ 3 และพจนหลงเกดจากการคณของ 2
กบ 3 สรปเปนวธแยกตวประกอบไดวา ตองหาจ านวนเตมสองจ านวนทบวกกนไดพจนกลาง และคณกนไดพจนหลง ใหนกเรยนลองพจารณาตวอยางตอไปน
12
16
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8
ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2+ 6x + 8 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ 6
แยกตวประกอบของ 8 หาผลบวกของตวประกอบ
1,8 -1,-8 2,4
-2,-4
8 () -9 ()
6 () -6 ()
ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 6 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2+ 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) ขอสงเกต ทงพจนกลางของพจนหลงของพหนามเปนบวก ดงนน ตวประกอบทไดจงเปนบวกทงหมด แตถาพจนหลงหรอพจนกลางหรอทงสองพจนไมเปนบวก ใหนกเรยนสงเกตตวอยางถดไป
ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ x2 + 2x - 3
ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 + 2x – 3 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ 2
แยกตวประกอบของ -3 หาผลบวกของตวประกอบ
1, -3 -1, 3
1 + (-3) = -2 () (-1) +3 = 2 ()
ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2+ 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน
x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )
ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมบวกคณจ านวนเตมลบ ได จ านวนเตมลบ แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก
(+3)(-1) = (-3)
ใสเครองหมายเหมอนกน
12
17
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30 ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ -11
แยกตวประกอบของ 30 หาผลบวกของตวประกอบ
1, 30 -1, -30 2, 15 -2, -15 3, 10 -3, -10 5, 6
-5, -6
1 + 30 = 31 () (-1) + (-30) = -31 ()
2 + 15 = 17 () (-2) + (-15) = -17 ()
3 + 10 = 13 () (-3) + (-10) = -13 ()
5 + 6 = 11 () (-5) + (-6) = -11()
ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2 - 11x + 30 = (x - 6)(x - 5) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน
x2-11x + 30 = (x - 6)( x - 5 )
ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมลบ ได จ านวนเตมบวก แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก
(-6)(-5) = (+30)
ใสเครองหมายเหมอนกน
13
18
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
(-7)(+2) = (-14)
ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ x2 - 5x - 14
ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 - 5x – 14 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ -5
แยกตวประกอบของ -14 หาผลบวกของตวประกอบ
1, -14 -1, 14 2, -7 -2, 7
1 + (-14) = -13 () (-1) + 14 = 13 ()
2 + (-7) = -5 () (-2) + 7 = 5 ()
ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2 - 5x – 14 = (x - 7)(x + 2) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน
x2 - 5x – 14 = (x - 7)( x + 2 )
ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมบวก ได จ านวนเตมลบ แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก จากขอสงเกต นกเรยนสามารถแยกตวประกอบทอยในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1 รวดเรวขน โดยหาตวประกอบเฉพาะคาสมบรณของ c โดยมมเงอนไขดงน กรณ 1 หาผลบวกของตวประกอบ ทเกดจากการแยกตวประกอบของคาสมบรณของ c เมอ 1) b และ c เปนจ านวนเตมบวก 2) b เปนจ านวนเตมลบ c เปนจ านวนเตมบวก เนองจากขอ 1)และ2) p และ q เปนเครองหมายเดยวกน เมอหาผลบวกจะมคาเทากบคาสมบรณของ b กรณ 2 หาผลตางของตวประกอบ ทเกดจากการแยกตวประกอบของคาสมบรณของ c โดยใหจ านวนทมคามากกวาเปนตวตง เมอ 1) b เปนจ านวนเตมบวกและ c เปนจ านวนเตมลบ 2) b และ c เปนจ านวนเตมลบ เนองจากขอ 1)และ 2) p และ q เปนเครองหมายทแตกตางกน เมอน ามาลบกนโดยคาทมากกวาตงจะมคาเทากบคาสมบรณของ b พจารณาตวอยางตอไปน
ใสเครองหมายเหมอนกน
14
19
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ใสเครองหมายเหมอนกน
ใสเครองหมายเหมอนกน
ใสเครองหมายเหมอนกน
ใสเครองหมายเหมอนกน
จากตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8
วธท า x2+ 6x + 8 = (x + 4)( x + 2 )
ตอบ x2+ 6x + 8 = (x + 4)( x + 2)
จากตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ x2 + 2x - 3
วธท า x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )
ตอบ x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )
จากตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30
วธท า x2- 11x +30 = (x - 6)( x - 5 )
ตอบ x2- 11x +30 = (x - 6)( x - 5 )
จากตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ x2 - 5x - 14
วธท า x2- 5x - 14 = (x - 7)( x + 2 )
ตอบ x2- 5x - 14 = (x - 7)( x + 2)
แยกตวประกอบของ |−14|
หาผลตางโดยตวมากเปนตวตง
1,14 2,7
14-1=13 ()
7-2=5 ()
(+4)(+2) = (+8)
แยกตวประกอบของ |30| หาผลบวก
1,30 2,15 3,10 5,6
30+1=31 ()
15+2=17 ()
10+3=13 ()
6+5=11 ()
แยกตวประกอบของ |8| หาผลบวก
1,8 2,4
1+8=9 () 2+4=6 ()
(+3)(-1) = (-3)
(-6)(-5) = (+30)
แยกตวประกอบของ |−3|
หาผลตางโดยตวมากเปนตวตง
1,3 3-1=2 ()
15
(-7)(+2) = (-14)
20
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ตวประกอบของ 2
ตวประกอบของ 6
② กรณ a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0
พจารณาการแยกตวประกอบพหนาม 2x2 + 7x + 6 โดยพหนามนจะสามารถแยกไดเปน 2 วงเลบ ดงแผนภาพ
(…..x + ……)(…..x + ……)
แยกตวประกอบของ 2 คอ 1,2 แยกตวประกอบของ 6 คอ 1,6 และ 2,3 แสดงวา สามารถแยกได 4 รปแบบ คอ
(x + 1)(2x + 6) (x + 6)(2x + 1) (x + 2)(2x + 3) (x + 3)(2x + 2)
รปแบบทจะเปนการแยกตวประกอบทถกตอง คอ ผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบ 7x
(x + 1)(2x + 6) 2x + 6x = 8x (x + 6)(2x + 1) 12x + x = 13x (x + 2)(2x + 3) 4x + 3x = 7x (x + 3)(2x + 2) 6x + 2x = 8x
คทถกตองคอ คท 3 ดงนน 2x2 + 7x + 6 = (x + 2)(2x + 3)
แยกตวประกอบของ 2
แยกตวประกอบของ 6
16
21
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
2 1 2 3
2
6
2 1 3 2
4
2 1 3 2 3
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 มอกวธ โดยพจารณาจากตวอยาง การแยกตวประกอบของ 2x2 + 7x + 6 ดงน ขนตอนท 1 แยกตวประกอบของ 2 และ 6 ดงภาพ รปแบบท 1 2x2 + 7x + 6 รปแบบท 2 2x2 + 7x + 6
ขนตอนท 2 หารปแบบทเกดจากการแยกตวประกอบแลวผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ 7 ดงภาพ
รปแบบท1 2x2 + 7x + 6 2+6=8 ซงไมเทากบ 7 ()
รปแบบท2 2x2 + 7x + 6 3+7 = 7 ()
2 1 2 3
ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ 5x2 – 16x + 3 วธท า เนองจาก 5x2 – 16x + 3 = (5x ……)(x ….…)
ดงนนสามารถแยกได (5x – 3)(x – 1) – 3x – 5x = – 8x (5x – 1)(x – 3) – x – 15x = – 16x
ตอบ นนคอ 5x2 – 16x + 3 = (5x – 3)(x – 1)
17
22
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
3 2
(+)(+) = (+)
2 1
3
4 ()
ขนตอนท 3 ท าการแยกตวประกอบ โดย ใส x ใสเครองหมาย และเวนวางดงภาพ
2x2 + 7x + 6 = (......x + …… )(…x +…….)
ขนตอนท 4 น าตวเลขมาใสในชองวาง โดยใหเอาตวเลขทมผลคณทมากกวาใสในวงเลบแรก ผลคณทนอยกวาใสวงเลบหลง
2x2 + 7x + 6 = (1 x + 2 )(2 x + 3 )
ตอบ 2x2 + 7x + 6 = (x + 2)(2 x + 3 )
นกเรยนสามารถการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 รวดเรวขนโดยมมเงอนไขดงน กรณ 1 หาผลบวกของผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ b เมอ 1) b และ c เปนจ านวนเตมบวก 2) b เปนจ านวนเตมลบ c เปนจ านวนเตมบวก กรณ 2 หาผลตางของผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ b โดยคาทมากวาเปนตวตง เมอ 1) b เปนจ านวนเตมบวกและ c เปนจ านวนเตมลบ 2) b และ c เปนจ านวนเตมลบ พจารณาตวอยางตอไปน
18
23
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
5 1
1 3
1
15() 1+15=16()
3 4
2 1
8()
3
8-3=5()
2 3
4 1
12()
2
12-2=10()
จากตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ 5x2 – 16x + 3 วธท า เนองจาก 5x2 – 16x + 3 = (1 x - 3 )(5 x - 1 )
ตอบ 5x2 –16x + 3 = (x - 3 )(5x - 1)
ตวอยางท 7 จงแยกตวประกอบของ 12x2 + 5x – 2 วธท า เนองจาก 12x2 + 5x – 2 = (3 x + 2 )(4 x – 1 )
ตอบ 12x2 + 5x – 2 = (3 x + 2 )(4 x – 1 )
ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ 6x2– 10x – 4 วธท า เนองจาก 6x2 – 10x – 4 = (2 x – 4 )( 3 x + 1 )
ตอบ 6x2 – 10x – 4 = (2 x – 4 )( 3 x + 1 ) หรอ 6x2 – 10x – 4 = 2(x – 2 )( 3 x + 1 )
19
24
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
3 (-1)
2 4
(-2)
12() 12+(-2)=10()
3 4
5 1
20()
3
20-3 =17()
ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ –3x2 + 10x + 8 วธท า เนองจาก
-3x2 + 10x + 8 = ((-1) x + 4 )(3 x + 2 )
ตอบ -3x2 + 10x + 8 = (-x + 4 )(3x + 2) หรอ -3x2 + 10x + 8 = (-1)(x - 4 )(3x + 2) = (x - 4 )(-3x - 2)
ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ 5 – 17y – 12y2 วธท า เนองจาก 5 – 17y – 12y2 = – 12y2 – 17y + 5 = (–1)(12y2 +17y – 5)
12y2 + 17y - 5 = (3 y + 5 )( 4 y – 1 )
ดงนน (–1)(12y2 +17y – 5) = (–1)(3 y + 5 )( 4 y – 1) = (-3 y - 5 )( 4 y – 1) หรอ = (3 y + 5 )( -4 y + 1) ตอบ 5 – 17y – 12y2 = (-3 y - 5 )( 4 y – 1) หรอ 5 – 17y – 12y2 = (3 y + 5 )( -4 y + 1)
20
25
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
แบบฝกทกษะท 1
จงแยกตวประกอบของ 2xy – 4x2 ตวอยาง
วธท า หาตวประกอบรวมของ 2xy และ 4x2
2xy = (2))(x)(y) และ 4x2 = (2)(2)(x)(x) ตวประกอบรวมของ 2xy และ 4x2 คอ 2x ดงนน 2xy – 4x2 = 2xy – 4x2 = (2x)(y) – (2x)(2x) = 2x(y – 2x) ตอบ 2xy – 4x2 = 2x(y – 2x)
จงแยกตวประกอบของ 10x + 4 1
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
21
26
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ 14y + 26z
2
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
จงแยกตวประกอบของ 15x2y + 5x
3
จงแยกตวประกอบของ 9y2z2 + 6yz
4
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
22
27
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ – 4x2 – 6x
5
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
จงแยกตวประกอบของ x2 – 5x
6
จงแยกตวประกอบของ 6xy – 8xy2
7
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
23
28
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ 21x3y2 – 28x2y3
8
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
24
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
วธท า …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..
…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..
จงแยกตวประกอบของ 33z2 – 11yz
10
จงแยกตวประกอบของ x2 + 13x
9
29
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
จงแยกตวประกอบของ 4y3 – 24y2 + 4y วธท า ตวประกอบรวมของ 4y3, 24y2 และ 4y คอ 4y 4y3 – 24y2 + 4y = (4y)(y2)– (4y)(6y) + (4y)(1) = 4y(y2 – 6y + 1) ตอบ 4y3 – 24y2 + 4y = 4y(y2 – 6y + 1)
ตวอยาง
หาตวประกอบรวม 4y3= (4)(y)(y)(y) 24y2=(4)(6)(y)(y) 4y =(4)(y) ตวประกอบรวม คอ 4y
กระดาษทด
จงแยกตวประกอบของ x2 + x2y + x วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
2
จงแยกตวประกอบของ a3 – 5a2b + a2 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
3
แบบฝกทกษะท 2
จงแยกตวประกอบของ x3 + xy – x วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
1
25
30
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ x3y – x2y + 2xy วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
7
26
จงแยกตวประกอบของ 7ab3 – 5a2b + a3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
4
จงแยกตวประกอบของ 6y3 + 9y2 – 18y วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
5
จงแยกตวประกอบของ 2x5 – 6x4y + 2x3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
6
31
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ x2y5 + x2y + x2 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
8
จงแยกตวประกอบของ 6a2 + 16a2b + a3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
9
จงแยกตวประกอบของ 4a6 – 8a2b + a4 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..
10
27
32
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ตวอยาง
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
แบบฝกทกษะท 3
จงแยกตวประกอบของ 2x2 – 2xy + 3x – 3y วธท า 2x2 – 2xy + 3x – 3y = (2x2 – 2xy)+(3x – 3y) = 2x(x – y)+3(x – y) = (2x + 3)(x – y) ตอบ 2x2 – 2xy + 3x – 3y = (2x + 3)(x – y)
จงแยกตวประกอบของ 4x + xz + 4y + yz
1
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
จงแยกตวประกอบของ p2 + pq + 3p + 3q
2
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
28
33
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ 36am +45an –28m–35n
4
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
จงแยกตวประกอบของ mn – n – m + 1
3
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
จงแยกตวประกอบของ na + 3b + nb + 3a
5
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
29
34
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ ab2 – cd2 – 6a + 6c
7
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
จงแยกตวประกอบของ a2 – 2b – 5a3 + 10ab
8
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
จงแยกตวประกอบของ xy – st – xt + sy
6
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
30
35
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ n2m + n2p – 8m – 8p
9
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
31
จงแยกตวประกอบของ 2x3 – x + 14x2 – 7
10
วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………
36
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนสองจ านวนทสอดคลองกบค าถามตอไปนใหถกตอง (10 คะแนน )
ค าถาม ค าตอบ ตวอยาง อะไรเอย คณกนได – 12 แตบวกกนได 4 – 2 และ 6 1. อะไรเอย คณกนได 28 แตบวกกนได 11 2. อะไรเอย คณกนได 16 แตบวกกนได 10 3. อะไรเอย คณกนได – 6 แตบวกกนได 5 4. อะไรเอย คณกนได – 21 แตบวกกนได 4 5. อะไรเอย คณกนได – 50 แตบวกกนได – 5 6. อะไรเอย คณกนได 18 แตบวกกนได – 9 7. อะไรเอย คณกนได 32 แตบวกกนได -12 8. อะไรเอย คณกนได – 8 แตบวกกนได 2 9. อะไรเอย คณกนได – 36 แตบวกกนได 5 10. อะไรเอย คณกนได – 49 แตบวกกนได 0
แบบฝกทกษะท 4
32
37
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + x – 20
แบบฝกทกษะท 5
x2 + 4x + 3
1.
y2 + 6y + 5
2.
x2 + 2x + 1 3.
m2 + 6m + 8
4.
ตวอยาง
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า x2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)
ตอบ x2 + x – 20 = (x – 4)(x + 5)
แยกตวประกอบของ |20|
หาผลตาง
1,20 2,10 4,5
20-1=19 () 10+2=8 () 5-4=1()
กระดาษทด
(+5)(-4)=(-20)
33
38
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
x2 – 12x + 53
5.
x2 – 8x + 15
6.
x2 – 16x + 60
7.
x2 + 8x – 9
8.
x2 – 6x – 16
9.
x2 + 2x – 15
10
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..
34
39
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
15-2=13()
3 2
1 5
2
15()
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 13x – 5 วธท า เนองจาก
6x2 – 13x – 5 = (2 x - 5 )( 3 x + 1 )
ตอบ 6x2 – 13x – 5 = (2 x – 5)(3x + 1)
แบบฝกทกษะท 6
จงแยกตวประกอบของ 2y2 + 5y + 2
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
1.
35
40
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ 6y2 – 13y + 5
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
2.
36
จงแยกตวประกอบของ 3x2 – 20x – 7
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
3
4 จงแยกตวประกอบของ 8y2 + 10y – 3
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
41
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
จงแยกตวประกอบของ 4m2 + 3m – 7
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
จงแยกตวประกอบของ 24t2 + 19t + 2
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
5
6
7 จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 7x – 3
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
37
42
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
8
9
10
จงแยกตวประกอบของ 12x2 – 7x + 1
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
จงแยกตวประกอบของ 10 – 19x – 15x2
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
จงแยกตวประกอบของ – 2 x2 + 7x + 15
วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..
38
43
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
1. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 3x
ก. x(x + 3) ข. x2(x + 3) ค. x(x3 + 3) ง. (x + 3)2
2. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 5x2 – 20x ก. (5x + 2)2 ข. x2(x – 20) ค. 5x(x + 2) ง. 5x(x – 4)
3. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 6x2 – 4x ก. 2x(3x – 2) ข. 2x(– 3x – 2) ค. 2x(3x – 4) ง. 2x2(x + 2)
4. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 16x2 + 18x ก. 2x(– 8x + 9) ข. 4x2(4x + 3) ค. 2x(8x + 9) ง. 4x(4x + 3)
แบบทดสอบหลงเรยน
ค ำชแจง
1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน 2. แบบทดสอบนเปนแบบเลอกตอบ ใหนกเรยนท าเครองหมาย ในกระดาษค าตอบทตรงกบขอ ก ข ค และ ง ทถกทสดเพยงขอเดยว
39
44
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
5. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8 ก. 2x(x + 4) ข. (x + 2)(x + 4) ค. (x + 4) (x + 4) ง. (x + 1)(x + 8)
6. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 15x3y3 – 20x4y ก. 3x3y(5y2 – 4x) ข. 5x3y(3y2 – 4x) ค. 5x3y3(3 – 4x) ง. 3x3y3(5 – 4x)
7. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – x – 30 ก. (x – 5)(x + 6) ข. (x – 4)(x + 5) ค. (x + 5)(x – 6) ง. (x + 4)(x – 5)
8. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – 10x + 24 ก. (x – 4)(x – 6) ข. (x – 3)(x – 7) ค. (x + 3)(x + 7) ง. (x + 4)(x + 6)
9. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 4x + 4 ก. (x + 4)(x + 4) ข. (x + 1)(x + 4) ค. (x + 2)(x + 4) ง. (x + 2)(x + 2)
10. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 6x2 – 11x + 3 ก. (3x – 1)(2x – 3) ข. (3x + 1)(2x + 3) ค. (3x + 3)(2x + 1) ง. (3x – 3)(2x – 1)
40
45
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
โชคชย สรหาญอดม. แบบทดสอบคณตศาสตร ม.3 เลม 1 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพฯ: เดอะบคส,2552.
นพพร แหยมแสง. หนงสอเรยนคณตศาสตรเพมเตม ม.3 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ : แมค,2555. บาลานซ (ตวเตอรหม) และ นพรตน กลชมตร. รวมโจทยขอสอบ “คณตศาสตร” ม.ตน. กรงเทพฯ: ท.เค. พรนตง,2554. ฝายวชาการพบซ. ยอดคณตศาสตร ม.ตน ชดท 1. กรงเทพฯ : เยลโลการพมพ, 2553. พรรณ ศลปะวฒนานนท. สอเสรมทกษะเพอมาตรฐานการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม 3 เลม 1. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร, 2549 พพฒนพงศ ศรวศร.ตวโจทยเตรยมสอบคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1. กรงเทพ ฯ : ส านกพมพนพนธ,2557. ยพน พพธกล. ชดกจกรรมพฒนาการคดวเคราะหคณตศาสตรเพมเตม ม.3 เลม 1. กรงเทพฯ :
บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว) จ ากด, 2550. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรเพมเตม เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3. กรงเทพ ฯ : โรงพมพ
สกสค. ลาดพราว, 2555. สเทพ จนทรสมบรณ. สอเสรมการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม.3 เลม 1. กรงเทพฯ :
เดอะบคส, 2550.
บรรณำนกรม
41
46
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ภาคผนวก
42
47
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
กอนเรยน 1. ข 6. ก 2. ค 7. ง 3. ก 8. ข 4. ง 9. ก 5. ก 10. ข
หลงเรยน 1. ก 6. ข 2. ง 7. ค 3. ข 8. ก 4. ก 9. ง 5. ข 10. ก
43
48
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
เฉลยแบบฝกทกษะท 1
วธท า 10x + 4 = 2(5x + 2) ตอบ 2(5x + 2)
10x + 4
วธท า 14y + 26z = 2(7y + 13z) ตอบ 2(7y + 13z)
14y + 26z
วธท า 15x2y + 5x = 5x(3xy + 1) ตอบ 5x(3xy + 1)
15x2y + 5x
วธท า 9y2z2 + 6yz = 3yz(3yz – 2) ตอบ 3yz(3yz – 2)
9y2z2 + 6yz
1
3
2
4
44
49
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
วธท า – 4x2 – 6x = – 2x(2x + 3) ตอบ – 2x(2x + 3)
– 4x2 – 6
วธท า 6xy – 8xy2 = 2xy(3 – 4y)
ตอบ 2xy(3 – 4y)
6xy – 8xy2
วธท า x2 – 5x = x(x – 5) ตอบ x(x – 5)
x2 – 5x
วธท า 21x3y2 – 28x2y3= 7x2y2(3x – 4y) ตอบ 7x2y2(3x – 4y)
21x3y2 – 28x2y3
วธท า x2 + 13x = x(x + 13) ตอบ x(x + 13)
x2 + 13x
วธท า 33y2 – 11yz = 11y(3y – z) ตอบ 11y(3y – z)
33z2 – 11yz
5 6
8 7
9 10
45
50
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
เฉลยแบบฝกทกษะท 2
x3 + xy – x วธท า x3 + xy – x = x(x2 + y – 1) ตอบ x(x2 + y – 1)
x2 + x2y + x วธท า x2 + x2y + x = x(x – xy + 1) ตอบ x(x – xy + 1)
1 2
a3 – 5a2b + a2 วธท า a3 – 5a2b + a2 = a2(a – 5 + 1) ตอบ a2(a – 5 + 1)
7ab3 – 5a2b + a3 วธท า 7ab3 – 5a2b+ a3 = a(7b2 – 5ab + a2) ตอบ a(7b2 – 5ab+a2)
3 4
6y3 + 9y2 – 18y วธท า 6y3 + 9y2 – 18y = 3y(x2 + 3y – 6) ตอบ 3y(x2 + 3y – 6)
2x5 – 6x4y + 2x3 วธท า 2x5 – 6x4y + 2x3 = 2x3(x2 – 3xy + 1) ตอบ 2x3(x2 – 3xy + 1)
5 6
x3y – x2y + 2xy วธท า x3y – x2y + 2xy = xy(x2 – x + 2) ตอบ xy(x2 – x + 2)
x2y5 + x2y + x2 วธท า x2y5 + x2y + x2 = x2(y5+ y + 1) ตอบ x2(y5 + y + 1)
7 8
46
51
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
6a2 + 16a2b + a3 วธท า 6a2 + 16a2b + a3 = a2(6 + 16b + a) ตอบ a2(6 + 16b + a)
4a6 – 8a2b + a4 วธท า 4a6 – 8a2b + a4 = a2(4a4 – 8b + a2) ตอบ a2(4a4 – 8b + a2)
9 10
47
52
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
เฉลยแบบฝกทกษะท 3
mn – n – m + 1 36am + 45an – 28m – 35n 3 4
วธท า = (mn – n) – ( m – 1) = n(m – 1) – ( m – 1) = (m – 1)( n – 1) ตอบ (m – 1)( n – 1)
วธท า = (36am + 45an) – ( 28m + 35n) = 9a(4m + 5n) – 7( 4m + 5n) = (4m + 5n)( 9a – 7) ตอบ (4m + 5n)( 9a – 7)
4x + xz + 4y + yz
p2 + pq + 3p + 3q 2 1
วธท า = (4x + xz) + (4y + yz) = x(4 + z) + y(4 + z) = (4 + z)(x + y) ตอบ (4 + z)(x + y)
วธท า = (p2 + pq) + (3p + 3q) = p(p + q) + 3(p + q) = (p + q)( p + 3) ตอบ (p + q)( p + 3)
48
53
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
n2m + n2p – 8m – 8p 2x3 – x + 14x2 – 7
a2 – 2b – 5a3 + 10ab ab2 – cd2 – 6a + 6c
9 10
8 7
วธท า = (n2m + n2p) – (8m + 8p) = n2(m + p) – 8(m + p) = (m + p)(n2 – 8) ตอบ (m + p)(n2 – 8)
วธท า = (2x3 – x) + (14x2 – 7) = x(2x2 – 1) + 7(2x2 – 1) = (2x2 + 1)(x + 7) ตอบ (2x2 + 1)(x + 7)
วธท า = (ab2 – cd2) – (6a – 6c) = b2(a – c) – 6(a – c) = (a – c)(b2 – 6) ตอบ (a – c)(b2 – 6)
วธท า = (a2 – 2b) – (5a3 – 10b) = (a2 – 2b) – 5a(a2 + 2b) = (a2 – 2b)(1 – 5a) ตอบ (a2 – 2b)(1 – 5a)
xy – st – xt + sy na + 3b + nb + 3a 5 6
วธท า = (na + nb) + (3a + 3b) = n(a + b) + 3(a + b) = (a + b)(n + 3) ตอบ (a + b)(n + 3)
วธท า = (xy + sy) – (xt + st) = (xy + sy) – (xt + st) = (x + s)(y – t) ตอบ (x + s)(y – t)
49
54
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนสองจ านวนทสอดคลองกบค าถามตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
ค าถาม ค าตอบ 1. อะไรเอย คณกนได 21 แตบวกกนได 10 4 และ 7 2. อะไรเอย คณกนได 9 แตบวกกนได 10 2 และ 8 3. อะไรเอย คณกนได – 4 แตบวกกนได 3 -1 และ 6 4. อะไรเอย คณกนได -20 แตบวกกนได 8 -3 และ 7 5. อะไรเอย คณกนได – 50 แตบวกกนได – 5 5 และ10 6. อะไรเอย คณกนได 18 แตบวกกนได – 9 -3 และ-6 7. อะไรเอย คณกนได 27 แตบวกกนได 12 -4 และ-8 8. อะไรเอย คณกนได – 6 แตบวกกนได 1 -2 และ 4 9. อะไรเอย คณกนได – 56 แตบวกกนได 1 -4 และ 9 10. อะไรเอย คณกนได – 64 แตบวกกนได 0 -7 และ-7
เฉลยแบบฝกทกษะท 4
50
55
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
เฉลยแบบฝกทกษะท 5
x2 + 4x + 3 1.
y2 + 6y + 5 2.
x2 + 2x + 1 3.
m2 + 6m + 8 4.
x2 – 12x + 35
5.
x2 – 8x + 15 6.
วธท า x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3) ตอบ (x + 1) (x + 3)
วธท า y2 + 6y + 5 = (y + 1) (y + 5) ตอบ (y + 1) (y + 5)
วธท า x2 + 2x + 1 = ( x + 1 )( x + 1) ตอบ ( x + 1 )( x + 1)
วธท า m2 + 6m + 8 = ( m + 2 )( m + 4) ตอบ ( m + 2 )( m + 4)
วธท า x2 – 12x + 35 = ( x – 5 )( x – 7) ตอบ ( x – 5 )( x – 7)
วธท า x2 – 8x + 15 = ( x – 3 )( x – 5) ตอบ ( x – 3 )( x – 5)
51
56
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
x2 – 16x + 60 7.
x2 + 8x – 9 8.
x2 – 6x – 16 9.
x2 + 2x – 15
10
วธท า x2 – 16x + 60 = (x – 6)(x – 10) ตอบ (x – 6)(x – 10)
วธท า x2 + 8x – 9 = (x – 1)(x + 9) ตอบ (x – 1)(x + 9)
วธท า x2 – 6x – 16 = (x + 2)(x – 8) ตอบ (x + 2)(x – 8)
วธท า x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) ตอบ (x – 3)(x + 5)
52
57
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )
เฉลยแบบฝกทกษะท 6
1. จงแยกตวประกอบของ 2y2 + 5y + 2 วธท า 2y2 + 5y + 2 = (2y + 1)(y + 2) ตอบ (2y + 1)(y + 2)
2. จงแยกตวประกอบของ 6y2 – 13y + 5 วธท า 6y2 – 13y + 5 = (2y – 1)(3y – 5) ตอบ (2y – 1)(3y – 5)
3. จงแยกตวประกอบของ 3x2 – 20x – 7 วธท า 3x2 – 20x – 7 = (3x + 1)(x – 7) ตอบ (3x + 1)(x – 7)
4. จงแยกตวประกอบของ 8y2 + 10y – 3 วธท า 8y2 + 10y – 3 = (4y – 1)(2y + 3) ตอบ (4y – 1)(2y + 3)
53
58
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
6. จงแยกตวประกอบของ 24t2 + 19t + 2 วธท า 24t2 + 19t + 2 = (8t + 1)(3t + 2) ตอบ (8t + 1)(3t + 2)
5. จงแยกตวประกอบของ 4m2 + 3m – 7 วธท า 4m2 + 3m – 7 = (4m + 7)(m – 1) ตอบ ( 4m + 7)(m – 1)
7. จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 7x – 3 วธท า 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1) ตอบ (2x – 3)(3x + 1)
8. จงแยกตวประกอบของ 12x2 – 7x + 1 วธท า 12x2 – 7x + 1 = (4x – 1)(3x – 1) ตอบ (4x – 1)(3x – 1)
9. จงแยกตวประกอบของ 10 – 19x – 15x2 วธท า 10 – 19x – 15x2 = (– 5x + 2)(3x + 5) ตอบ (– 5x + 2)(3x + 5)
54
59
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
10. จงแยกตวประกอบของ – 2 x2 + 7x + 15 วธท า – 2 x2 + 7x + 15 = (– 2x – 3)(x – 5) ตอบ (– 2x – 3)(x – 5)
55
60
เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
เลม 1
แบบทดสอบ คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต กอนเรยน 10 หลงเรยน 10
แบบฝกทกษะท คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
รวม 60
เฉลย รอยละ
ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม
วชาคณตศาสตรเพมเตม ค23201 ชนมธยมศกษาปท 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร
เลมท 1 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง
ชอ.................................................................ชนมธยมศกษาปท 3/..........เลขท.................. โรงเรยน......................................อ าเภอ.........................จงหวด.........................................
56