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A. Teta APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Sistemi unidimensionali a.a. 2016/17 1

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Page 1: A. Teta APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Sistemi …

A. Teta

APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE

Sistemi unidimensionali

a.a. 2016/17

1

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INDICE

1. Introduzione pag. 32. Conservazione dell’energia e riduzione alle quadrature 43. Equilibrio e stabilita 64. Moti periodici 85. Moti asintotici 126. Stime di periodo 157. Moti non limitati 207. Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi 23

2

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1 Introduzione

Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sotto l’azione di una forza f direttalungo una retta γ e dipendente solo dalla posizione del punto materiale su γ. Fissato l’assedelle x lungo γ, l’equazione del moto lungo gli assi y, z e banale (cioe my = mz = 0) mentrequella lungo l’asse x si scrive:

mx = f (x) (1)

Supponiamo per semplicita f ∈ C1, cosicche vale il teorema di esistenza e di unicita locale dellasoluzione t→ x(t) di (1) per ogni scelta dei dati iniziali

x(0) = x0, x(0) = v0 x0, v0 ∈ R (2)

Vogliamo allora studiare il moto lungo l’asse x descritto dalla (1). In alcuni casi semplici (peres. f(x) = −kx, k > 0) la soluzione di (1) si trova esplicitamente per ogni scelta dei dati iniziali.Tuttavia nella maggioranza dei casi non e possibile trovare la soluzione esplicita ed e quindiimportante elaborare dei metodi per studiare alcune delle proprieta delle soluzioni di (1) senzaconoscerne la forma esplicita. E questo l’argomento della cosiddetta “analisi qualitativa” dellesoluzioni. Esempi di proprieta interessanti delle soluzioni che studieremo sono: l’esistenza e lastabilita degli equilibri, l’esistenza di soluzioni periodiche, il periodo di una soluzione periodica,etc. . .

3

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2 Conservazione dell’energia e riduzione alle quadrature

Sia V una primitiva della forza f cambiata di segno, cioe una funzione di classe C2 tale che

V ′(x) = −f(x) (3)

La funzione V si dice energia potenziale o semplicemente potenziale associato alla forza f. Eevidente che, data f, il potenziale V e definito a meno di una costante arbitraria che non haalcun significato fisico. Nelle applicazioni tale costante viene fissata imponendo che il potenzialeV si annulli all’infinito oppure in qualche punto di riferimento x0, scelto in modo da semplificarei calcoli.L’equazione (1) si riscrive

mx = −V ′(x) (4)

Definiamo energia associata all’equazione (4) la funzione

H(x, x) =1

2mx2 + V (x) (5)

Proposizione 2.1. L’energia H(x, x) e un integrale primo (o costante del moto) di (4).

Dimostrazione. Sia t→ x(t) una soluzione di (4). Allora

d

dtH(x(t), x(t)) =

∂xH(x(t), x(t))x(t) +

∂xH(x(t), x(t))x(t) =

= V ′(x(t))x(t) +mx(t)x(t) = 0 (6)

X

Come vedremo, la conservazione dell’energia e l’ingrediente fondamentale per lo studio dellesoluzioni di (4). Se (x0, v0) e un dato iniziale, indichiamo con E il valore corrispondentedell’energia, cioe E = H(x0, v0).Osserviamo innanzitutto che dalla conservazione dell’energia risulta che i punti x ∈ R accessibilial moto sono quelli per cui V (x) ≤ E. In particolare i punti x ∈ R per cui V (x) = Ecorrispondono ad una velocita nulla e si dicono quindi punti di arresto o di inversione del moto.Inoltre dalla (5), per ogni soluzione t→ x(t) di (4) si ha:

x(t) = ±√

2

m(E − V (x(t))) (7)

4

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Se accade che il potenziale V e limitato dal basso, cio esiste una costante positiva B tale cheper ogni x ∈ R

V (x) ≥ −B (8)

allora da (7) si ha

|x(t)| ≤ |x0|+∫ t

0

ds

√2

m(E − V (x(s)) ≤ |x0|+ t

√2

m(E +B) (9)

Dalla stima (9) risulta allora che comunque si fissa T > 0, la soluzione di (4) esiste per ognitempo t ≤ T , si ha cioe esistenza globale della soluzione.Vediamo ora come dalla (7) si puo ridurre il moto alle quadrature (si dice che il moto e ridottoalle quadrature se il calcolo di t → x(t) si riduce al calcolo di un integrale definito di unafunzione nota).Il primo passo fissare il segno nella (7), dove naturalmente il + corrisponde ad un motoprogressivo ed il − ad un moto retrogrado.Consideriamo prima il caso in cui v0 > 0. Siccome x(t) e una funzione continua, allora pertempi piccoli sara x(t) > 0 e quindi nella (7) si sceglie il segno +. Tale scelta si mantiene finoal primo istante in cui la velocita si annulla.Se si ha v0 < 0, in maniera analoga si sceglie il segno − nella (7) fino al primo istante in cui lavelocita si annulla.Nel caso in cui risulti v0 = 0 occorre controllare il segno della forza f.Se f(x0) > 0, allora x(0) > 0 e quindi x(t) e crescente per tempi piccoli. Ne segue che x(t) epositiva per tempi piccoli e nella (7) si sceglie il segno +.Se f(x0) < 0, analogamente si sceglie il segno −.Se infine abbiamo f(x0) = 0 allora vuol dire che (x0,0) e una configurazione di equilibrio per (4)e quindi la soluzione e semplicemente x(t) = x0, ∀t > 0.Con le considerazioni precedenti possiamo risolvere l’ambiguita di segno in (7) ed integrarel’equazione. Per fissare le idee, consideriamo v0 > 0; si ha allora dalla (7)

t(x) =

∫ x

x0

dx′√2m

(E − V (x′))(10)

dove t(x) rappresenta il tempo impiegato dal punto materiale per andare da x0 a x, con x taleche V (x) < E e x > x0. Siccome

dt

dx=

1√2m

(E − V (x))> 0 (11)

allora la (10) puo essere invertita e la sua inversa t → x(t) e il moto richiesto fino al primoistante in cui la velocita si annulla.

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3 Equilibrio e stabilita

Come e noto, una configurazione di equilibrio per un sistema meccanico e una configurazionein cui la velocita e nulla e la posizione e uno zero della forza. Quindi, se il sistema e postoin una configurazione di equilibrio a t = 0 allora vi rimane ∀t > 0. Consideriamo il sistemaunidimensionale

mx = −V ′(x) (12)

che si riscrive equivalentemente come sistema del primo ordine nel piano posizione-velocita,detto piano delle fasi {

x = v

v = −V ′(x)m

(13)

Definendo z ≡ (x, v) ∈ R2 la (13) si puo scrivere

z = F (z), F (z) ≡ F (x, v) =

(v,−V

′(x)

m

)(14)

Dunque F e il campo vettoriale associato a (13). Per un fissato dato iniziale (x0, v0), indichiamocon (x(t;x0, v0), v(t;x0, v0)) la corrisponente soluzione di (13). Ricordiamo quindi le definizionidi equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.

Definizione 3.1. Una configurazione di equilibrio per il sistema (13)(o equivalentemente per (12))e la coppia (x, 0), tale che V ′(x) = 0.

Definizione 3.2. La configurazione di equilibrio (x, 0) per il sistema (13) e stabile se ∀ε >0 ∃δ(ε) > 0 tale che se (x0, v0) e un dato iniziale che soddisfa |x0 − x| + |v0| < δ(ε) allora|x(t;x0, v0)− x)|+ |v(t;x0, v0)| < ε per ogni t ≥ 0.

Definizione 3.3. La configurazione di equilibrio stabile (x, 0) per il sistema (13) si dice asin-toticamente stabile se ∃ η > 0 tale che se |x0 − x|+ |v0| < η allora

limt→∞|x(t;x0, v0)− x| = lim

t→∞|v(t;x0, v0)| = 0 (15)

La sfera di centro x e raggio η si dice bacino di attrazione.

Dal teorema di Lyapunov discende la seguente proposizione.

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Proposizione 3.1. (Teorema di Lagrange-Dirichlet). Sia (x, 0) di equilibrio per il si-stema (13), con V ∈ C2, e sia inoltre x un punto di minimo stretto per V. Allora (x, 0) estabile.

Dimostrazione. Si consideri la funzione G(x, v) = 12mv2 + V (x)− V (x). E immediatto veri-

ficare che in un intorno di (x, 0) risulta G ≥ 0 e G(x, v) = 0 se e solo se (x, v) = (x, 0). Inoltreper la conservazione dell’energia si ha

d

dtG(x(t), v(t)) = 0 (16)

Quindi G e una funzione di Lyapunov per il sistema (13) relativa alla configurazione (x, 0) e ilteorema e provato.

X

Osserviamo che una notevole proprieta dei sistemi meccanici conservativi e che non esistonoequilibri asintoticamente stabili. Siano infatti H(x, v) l’energia di (13), (x, 0) un punto asinto-ticamente stabile per (13) e (x0, v0) tale che |x0 − x| + |v0| < η, dove η e il raggio del bacinodi attrazione. Allora H(x0, v0) = H(x(t;x0, v0), v(t;x0, v0)). Passando questa eguaglianza allimite per t → ∞ si ha H(x0, v0) = H(x, 0). Quindi H(x, v) sarebbe costante nella palla dicentro (x, 0) e raggio η ma questo e un assurdo.

La seguente proposizione fornisce un criterio sufficiente per l’instabilita.

Proposizione 3.2. Sia (x, 0) di equilibrio per (13) e supponiamo che esista ε∗ > 0 tale cheV ′(x) < 0 per ogni x ∈ (x, x + ε∗] (oppure, equivalentemente tale che V ′(x) > 0 per ognix ∈ [x− ε∗, x ). Allora (x, 0) e instabile.

Dimostrazione. Sia ε∗ > 0 tale che V ′(x) < 0 per x ∈ (x, x+ε∗]. E allora sufficiente mostrareche comunque piccolo si fissi δ > 0 esiste un dato iniziale (x0, v0), con |x0 − x| + |v0| < δ,ed un tempo t1 < ∞ tali che risulti |x(t1)− x| + |v(t1)| > ε∗. Fissato δ, sia allora v0 = 0e x0 tale che |x0 − x| < δ e x0 ∈ (x, x + ε∗). Il moto corrispondente a queste condizioniiniziali e progressivo e il tempo t1 per andare da x0 a x + ε∗ e finito. Questo vuol dire che|x(t1)− x|+ |v(t1)| > |x(t1)− x| = ε∗ e questo prova l’instabiltita. Il caso in cui V ′(x) > 0 perogni x ∈ [x− ε∗, x) si tratta analogamente e quindi la proposizione e provata.

X

7

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4 Moti periodici

In questo paragrafo analizzeremo sotto quali condizioni il moto unidimensionale risulta perio-dico e troveremo una formula per il periodo.Ricordiamo che il moto t→ x(t) si dice periodico se esiste T > 0 tale che

x(t+ T ) = x(t) ∀t ≥ 0 (17)

Il piu piccolo numero T > 0 per cui la (17) e soddisfatta si dice periodo del moto. Consideriamocome esempio un potenziale del tipo indicato in figura

fig. 1

Sia E il valore dell’energia fissato come in figura. Dal grafico risulta che l’equazione V (x) = Eammette tre soluzioni x1, x−, x+.Se scegliamo la posizione iniziale x0 ∈ [x−, x+] allora il moto avviene nell’intervallo [x−, x+] edinoltre la velocita sara diversa da zero quando x(t) ∈ (x−, x+) e sara nulla se x(t) = x±Si osservi che dalla figura risulta V ′(x−) < 0, V ′(x+) > 0 cosicche la forza f e diretta lungo lex positive per x = x− e lungo le x negative per x = x+.In queste condizioni e ragionevole aspettarsi che un moto che parte da x0, per esempio convelocita positiva, raggiunga il punto x+ con velocita nulla (punto di invesione) e da qui ripartacon velocita negativa sotto l’azione della forza f (x+).

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Quindi il moto raggiunge x− con velocita nulla e da qui riparte con velocita positiva sottol’azione di f (x−) e cosı di seguito. In definitiva ci si aspetta un moto periodico che oscilla trax− e x+. E precisamente questo il contenuto della seguente proposizione.

Proposizione 4.1. Si consideri il sistema unidimensionale mx = −V ′(x), con V ∈ C2, sia(x0, v0) un dato iniziale e sia E = H(x0, v0) il corrispondente valore dell’energia.Assumiamo che l’equazione E = V (x) ammetta due soluzioni x− < x+, con V ′(x±) 6= 0 e taliche V (x) < E per ogni x ∈ (x−, x+). Assumiamo inoltre che x0 ∈ [x−, x+].Allora il moto corrispondente al dato iniziale (x0, v0) e periodico con periodo

T (E) =√

2m

∫ x+

x−

dx′√E − V (x′)

(18)

Dimostrazione. Si noti innanzitutto che, come nell’esempio in figura 1, il moto avviene in[x−, x+], con x± unici punti di inversione. Inoltre V e decrescente in un intorno destro di x− ecrescente in un intorno sinistro si x+, cosicche V ′(x−) < 0 e V ′(x+) > 0.Consideriamo, per fissare le idee x(0) = x0 ∈ (x−, x+) e x(0) = v0 > 0 (gli altri casi si trattanoanalogamente). Si ha allora un moto progressivo descritto da

x(t) =

√2

m(E − V (x(t))) (19)

per t ∈ (0, t1), dove t1 e il primo istante in cui il punto materiale raggiunge il punto di inversionex+.Mostriamo allora che t1 <∞. Integrando l’equazione (19) si ha

t1 =

√m

2

∫ x+

x0

dx′√E − V (x′)

(20)

La funzione integranda nell’equazione (20) e regolare (di classe C2) in tutto l’intervallo diintegrazione tranne nell’estremo x+, laddove il denominatore si annulla e si ha quindi unasingolarita.Facciamo allora vedere che si tratta di una singolarita integrabile. Fissiamo η > 0 sufficiente-mente piccolo in modo che risulti

V ′(x) > 0 ∀x ∈ [x+ − η, x+] (21)

e sviluppiamo V con la formula di Taylor al primo ordine in [x+ − η, x+] e con punto inizialex+

V (x) = V (x+) + V ′(ξ)(x− x+) x ∈ [x+ − η, x+] (22)

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dove ξ e un punto interno all’intervallo (x+ − η, x+). Sia inoltre

m1 ≡ minx∈[x+−η,x+]

V ′(x) > 0 (23)

Naturalmente per ogni x ∈ [x+ − η, x+] risulta

E − V (x) = V ′(ξ)(x+ − x) ≥ m1(x+ − x) (24)

cosicche

t1 =

√m

2

∫ x+−η

x0

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x+

x+−η

dx′√E − V (x′)

≤√m

2

∫ x+−η

x0

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x+

x+−η

dx′√m1(x+ − x−)

(25)

Gli ultimi due integrali della (25) sono chiaramente finiti e quindi t1 <∞ e si puo scrivere

x(t1) = x+ x(t1) = 0 (26)

Siccome per ipotesi f(x+) < 0, sappiamo che a partire da t = t1 inizia una fase di motoretrogrado descritto da

x(t) = −√

2

m(E − V (x(t))) (27)

per ogni t ∈ (t1, t2), dove t2 e il primo istante in cui il punto materiale raggiunge il punto diinversione x−. Dalla (27) risulta ovviamente

t2 − t1 = −√m

2

∫ x−

x+

dx′√E − V (x′)

(28)

Procedendo come nel caso di t1, e facile mostrare che risulta t2 <∞ e si puo scrivere

x(t2) = x− x(t2) = 0 (29)

Siccome per ipotesi f(x−) > 0, sappiamo che a partire da t = t2 inizia una fase di motoprogressivo descritto da

x(t) =

√2

m(E − V (x(t)) (30)

10

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per ogni t ∈ (t2, t3), dove t3 e il primo istante in cui il punto materiale raggiunge di nuovo ilpunto di inversione x+ e cosı via. Quindi il punto materiale compie continue oscillazioni trax+ ed x−, raggiungendo tali punti con velocita nulla. Verifichiamo che si tratta di un motoperiodico. Sia T ∈ (t2, t3) il primo istante in cui il punto raggiunge la posizione iniziale x0.Risulta ovviamente

x(T ) = x0 x(T ) = v0 (31)

Quindi per t = T la posizione e la velocita del moto t → x(t) coincidono con le condizioniiniziali soddisfatte per t=0. Per il teorema di unicita per le equazioni differenziali ordinarierisulta

x(t+ T ) = x(t) ∀t ∈ [0, T ] (32)

Il discorso si ripete per t = 2T , per t = 3T e cosı via, quindi si puo concludere che

x(t+ T ) = x(t) ∀t ≥ 0 (33)

cioe il moto e periodico di periodo T , dove

T =

√m

2

∫ x+

x0

dx′√E − V (x′)

−√m

2

∫ x−

x+

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x0

x−

dx′√E − V (x′)

=

=

√m

2

∫ x+

x−

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x+

x−

dx′√E − V (x′)

(34)

La (34) e la formula cercata per il periodo e questo conclude la dimostrazione della proposizione.

X

Esercizio. Verificare che nel caso V (x) = 12kx2, k > 0, (oscillatore armonico) si hanno moti

periodici per ogni valore positivo dell’energia e calcolare il periodo.

Esercizio. Verificare che nel caso V (x) = 14x4 il moto e periodico per ogni E > 0 e calcolare il

limite del periodo per E → 0 e per E →∞.

11

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5 Moti asintotici

In questo paragrafo studieremo il caso in cui il valore dell’energia E e tale che l’equazioneE = V (x) ha una soluzione x tale che V ′(x) = 0 = f(x). In altri termini x e una posizione diequilibrio del sistema.Faremo vedere che il moto di avvicinamento al punto di equilibrio diventa sempre piu lentocosicche tale punto non viene mai raggiunto. Tali tipi di moto si dicono asintotici (oppure ameta asintotica).Come esempio si consideri la figura 2, dove risulta asintotico il moto corrispondente all’energiaE e posizione iniziale x0 (si noti che V ha un punto di flesso in x).

fig. 2

Proposizione 5.1. Si consideri il sistema unidimensionale mx = −V ′(x), con V ∈ C2, sia(x0, v0) un dato iniziale e sia E = H(x0, v0) il corrispondente valore dell’energia.Assumiamo che l’equazione E = V (x) ammetta una soluzione x, con V ′(x) = 0. Supponiamoinoltre che x0 < x, V (x) < E, ∀x ∈ [x0, x) e v0 > 0.

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Allora il moto corrispondente al dato iniziale (x0, v0) e asintotico, cioe

limx→x

t(x) = limx→x

√m

2

∫ x

x0

dx′√E − V (x′)

=∞ (35)

Dimostrazione. E chiaro che siamo nel caso di un moto progressivo di avvicinamento al puntox, descritto da

x(t) =

√2

m(E − V (x(t)) (36)

Inoltre t(x) nella (35) indica il tempo impiegato per andare da x0 a x, con x0 < x. Osserviamoche esiste η > 0 tale che V ′′(x) non e identicamente nulla in [x− η, x] (in caso contrario le duecondizioni V (x) = E, V ′(x) = 0 implicherebbero V (x) = E per x ∈ [x − η, x]). Sviluppiamoallora V con la formula di Taylor al secondo ordine in [x− η, x], con punto iniziale x

V (x) = V (x) +1

2V ′′(ξ)(x− x)2 (37)

dove ξ e punto interno all’intervallo (x− η, x). Sia inoltre

k ≡ maxx∈[x−η,x]

|V ′′(x)| > 0 (38)

Naturalmente per ogni x ∈ [x− η, x] risulta

E − V (x) = −1

2V ′′(ξ)(x− x)2 ≤ k

2(x− x)2 (39)

cosicche si ha

t(x) =

√m

2

∫ x−η

x0

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x

x−η

dx′√E − V (x′)

≥√m

2

∫ x−η

x0

dx′√E − V (x′)

+

√m

2

∫ x

x−η

dx′√k2

√(x′ − x)2

(40)

Nella (40) l’integrale da x0 a x−η e chiaramente finito mentre l’ultimo integrale diverge quandox→ x e questo conclude la dimostrazione della proposizione.

X

13

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Si osservi che in maniera analoga si studia il caso in cui il dato iniziale soddisfi x0 > x, V (x) < E

∀x ∈ (x, x0] e v0 = −√

2m

(E − V (x0)) ed inoltre V ′′(x) < 0 ∀x ∈ (x, x+ η].

Esercizio. Si consideri il caso V (θ) = gR

(1 − cos(θ)), θ ∈ (−π, π] (pendolo semplice) e sideterminino i valori dell’energia per cui si hanno moti asintotici e quelli per cui si hanno motiperiodici.

Esercizio. Si consideri il caso V (x) = x3 e si determini esplicitamente il moto asintotico chesi ha per E = 0 e x0 < 0, v0 > 0.

Esercizio. Si consideri il caso V (x) = −x2 + x4 e si determini il moto per x0 = 1, v0 = 0.(Suggerimento: utilizzare

∫dx 1

x√

1−x2 = log x2+2√

1−x2 )

14

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6 Stime di periodo

Abbiamo visto, con la proposizione 4.1, sotto quali condizioni un moto unidimensionale eperiodico e abbiamo ricavato una formula per il periodo T (E) (la (18)). Il calcolo esplicitodel valore di T (E) non e in generale possibile ma si possono elaborare semplici metodi perfornire una stima inferiore e superiore. L’idea base si ricava dalla seguente proposizione.

Proposizione 6.1. Assumiamo le ipotesi della proposizione 4.1 e consideriamo V1, V2 (nonnecessariamente continue) tali che

V1(x) ≤ V (x) ≤ V2(x) ≤ E ∀x ∈ [x−, x+] (41)

Allora

√2m

∫ x+

x−

dx′√E − V1(x′)

≤ T (E) ≤√

2m

∫ x+

x−

dx′√E − V2(x′)

(42)

La dimostrazione e lasciata come esercizio.

Osserviamo che la stima (42) e utile solo quando i due integrali in (42) sono calcolabili espli-citamente ed inoltre l’integrale contenente V2 e finito. Nelle applicazioni quindi si scelgonogeneralmente per V1 e V2 tratti di rette o parabole. Un esempio di stima e fornito dallaseguente proposizione.

Proposizione 6.2. (Stima con il metodo delle parabole). Assumiamo le ipotesi della pro-posizione 4.1 e supponiamo inoltre che V ′′(x) > 0 per ogni x ∈ [x−, x+] (e quindi esiste un unicox ∈ (x−, x+) tale che V ′(x) = 0). Allora

π

(√m

B+

+

√m

B−

)≤ T (E) ≤ π

(√m

A+

+

√m

A−

)(43)

doveA± ≡ min

x∈[x,x±]V ′′(x) B± ≡ max

x∈[x,x±]V ′′(x)

Dimostrazione. Senza perdita di generalita poniamo x = 0, V (0) = 0 e cominciamo con lostimare l’integrale

T1(E) =√

2m

∫ x+

0

dx√E − V (x)

(44)

15

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Definiamo le due parabole (si veda la figura 3)

Ps(x) =A+

2x2 + E − A+

2x2

+ (45)

Pi(x) =B+

2x2 + E − B+

2x2

+ (46)

fig. 3

Entrambe la parabole passano per il punto (x+, E), hanno l’asse delle ordinate come asse disimmetria e la concavita rivolta verso l’alto. Definiamo quindi la funzione

F ≡ Ps − V (47)

Risulta F (x+) = 0 ed inoltre, facendo uso dello sviluppo di Taylor al primo ordine di V ′ in[0, x+], si ha

F ′(x) = P ′s(x)− V ′(x) = A+x− (V ′(0) + V ′′(ξ)x) = A+x− V ′′(ξ)x ≤ 0 (48)

16

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Quindi per ogni x ∈ [0, x+] si ottiene

F (x) = F (x+) +

∫ x

x+

F ′(z)dz = −∫ x+

x

F ′(z)dz ≥ 0 (49)

Possiamo allora concludere che

Ps(x) ≥ V (x) ∀x ∈ [0, x+] (50)

Analogamente si prova

Pi(x) ≤ V (x) ∀x ∈ [0, x+] (51)

Dalla (50) e dalla (51) si ricava (cfr la proposizione 6.1)

√2m

∫ x+

0

dx√E − Pi(x)

≤ T1(E) ≤√

2m

∫ x+

0

dx√E − Ps(x′)

(52)

Siccome ∫ x+

0

dx√E − Ps(x)

=

∫ x+

0

dx√A+

2(x2

+ − x2)=

√2

A+

∫ 1

0

dz√1− z2

=π√2A+

(53)

e analogamente ∫ x+

0

dx√E − Pi(x)

=π√2B+

(54)

otteniamo la stima di T1(E)

π

√m

B+

≤ T1(E) ≤ π

√m

A+

(55)

Per la stima dell’integrale

T2(E) =√

2m

∫ 0

x−

dx√E − V (x)

(56)

si procede in maniera analoga e si ottiene

π

√m

B−≤ T2(E) ≤ π

√m

A−(57)

Usando la (55) e la (57) si conclude la dimostrazione.

17

Page 18: A. Teta APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Sistemi …

X

Nel caso dell’oscillare armonico (cioe V (x) = 12kx2) e noto che il moto e sempre periodico di

periodo T = 2π√

mk

. D’altra parte se V e un generico potenziale che ha un minimo strettoin x = 0, con V ′′(0) > 0, allora il suo grafico vicino a x = 0 e vicino a quello dell’oscillatorearmonico. Quindi e lecito aspettarsi che i moti che avvengono vicino a x = 0 siano periodici

con periodo circa uguale a 2π√

mV ′′(0)

. E questo il contenuto della seguente proposizione.

Proposizione 6.3. (Piccole oscillazioni-Galileo). Si consideri il sistema unidimensionalemx = −V ′(x), con V ∈ C2, V (0) = V ′(0) = 0, V ′′(0) > 0. Allora esiste E0 > 0 tale che perogni E < E0 il moto di energia E e periodico e

limE→0

T (E) = 2π

√m

V ′′(0)(58)

Dimostrazione. Per la continuita di V ′′, sappiamo che esiste δ > 0 tale che V ′′(x) > 0 perogni x ∈ (−δ, δ). Inoltre

V ′(x) = V ′(0) +

∫ x

0

V ′′(z)dz =

∫ x

0

V ′′(z)dz (59)

quindi V ′(x) > 0 per ogni x ∈ (0, δ) e V ′(x) < 0 per ogni x ∈ (−δ, 0). Analogamente

V (x) = V (0) +

∫ x

0

V ′(z)dz =

∫ x

0

V ′(z)dz (60)

quindi V (x) > 0 per ogni x ∈ (0, δ) e per ogni x ∈ (−δ, 0).L’andamento qualitativo di V nell’intorno di x = 0 e mostrato in figura 4.

18

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fig. 4

Nell’intervallo (0, δ) la funzione V e strettamente crescente (quindi invertibile) e assume tuttii valori da 0 a V (δ). Quindi per ogni E ∈ (0, V (δ)) esiste un unico x+ ∈ (0, δ) tale cheE = V (x+).Analogamente per ogni E ∈ (0, V (−δ)) esiste un unico x− ∈ (−δ, 0) tale che E = V (x−).Sia E0 ≡ min {V (−δ), V (δ)}; allora per ogni E ∈ (0, E0) ci sono esattamente due soluzionix± ∈ (−δ, δ) dell’equazione E = V (x), con V ′(x±) 6= 0. Per la proposizione 4.1 il moto edunque periodico se scegliamo E ≤ E0 e x0 ∈ [x−, x+]. Se T (E) denota il periodo, per laproposizione 6.1 si ha la stima (43) e passando al limite per E → 0 si ha la tesi.

X

Esercizio. Stimare dal basso e dall’alto il periodo T (E), E > 0, del moto con il potenzialeV (x) = x4

4.

19

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7 Moti non limitati

Quando il potenziale V (x) tende a zero per |x| → ∞ e il dato iniziale corrisponde a E > 0 sonopossibili moti t→ x(t) non limitati, cioe tali che limt→∞ x(t) = ±∞. In questo caso e possibilecaratterizzare l’andamento asintotico del moto per t→∞.

Proposizione 7.1. Si consideri il sistema unidimensionale mx = −V ′(x), con V ∈ C2, sia(x0, v0) un dato iniziale e sia E = H(x0, v0) il corrispondente valore dell’energia.Assumiamo che:i) limx→∞ V (x) = 0,ii) E > 0 tale che l’equazione V (x) = E ammetta una soluzione x, con V ′(x) 6= 0,iii) V (x) < E per ogni x > x,iv) x0 ≥ x.Allora esiste t1 ≥ 0 tale che il moto corrispondente al dato iniziale (x0, v0) e progressivo perogni t > t1 e risulta

limt→∞

x(t) =∞ (61)

limt→∞

x(t) =

√2E

m≡ v+ (62)

x(t) = v+t+R(t) , con limt→∞

R(t)

t= 0 (63)

Dimostrazione. Osserviamo anzitutto che dalle ipotesi discende che deve necessariamenteessere V ′(x) < 0. Inoltre, se x0 = x (e quindi v0 = 0) allora sappiamo che il moto e sempreprogressivo per t > 0 ed e descritto dall’equazione

x(t) =

√2

m

√E − V (x(t)) (64)

Lo stesso accade se x0 > x e v0 > 0. Se x0 > x e v0 < 0 allora il moto e retrogrado pert ∈ (0, t1), dove t1 <∞ e l’istante in cui il moto raggiunge x, con x(t1) = 0. Dunque per ognit > t1 il moto e progressivo ed e descritto da (64). Per fissare le idee, consideriamo il casox0 > x, v0 > 0 (gli altri casi si trattano analogamente).Sappiamo che il moto e una funzione monotona crescente. Inoltre essa e una funzione nonlimitata. Infatti, se fosse |x(t)| < M , con M < ∞, allora un punto x > M non sarebbe mairaggiunto. Ma questo e assurdo perche da (64) sappiamo che e finito il tempo per andare dax0 ad un qualunque altro punto x > x0. Possiamo allora concludere che vale la (61).

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Tenuto conto di (61) e del fatto che V (x)→ 0 per x→∞, si ha inoltre

limt→∞

x(t) = limt→∞

√2

m

√E − V (x(t)) =

√2E

m(65)

e dunque vale la (62).Infine, posto R(t) ≡ x(t)− v+t, si ha

limt→∞

R(t)

t= lim

t→∞

1

t

(x0 +

∫ t

0

ds x(s)− v+t

)= lim

t→∞

(x0

t+

∫ 1

0

du x(tu)− v+

)(66)

Tenuto conto di (62), si ottiene anche la (63).

X

Si osservi che un risultato del tutto analogo a quello della proposizione 7.1 si ottiene nel casorisulti limx→−∞ V (x) = 0, V (x) < E per ogni x < x e la posizione iniziale sia x0 ≤ x.L’andamento per t → ∞ della funzione R(t) in (63) dipende dall’andamento di V (x) perx → ∞. Nel caso in cui il potenziale sia una funzione assolutamente integrable in (x0,∞)allora si puo dimostrare che R(t) tende ad una costante e quindi il moto tende ad un motouniforme per t→∞.

Proposizione 7.2. Assumiamo le ipotesi della proposizione 7.1, con v0 ≥ 0, e supponiamoinoltre che il potenziale sia assolutamente integrabile in (x0,∞). Allora

limt→∞|x(t)− (v+t+ x+)| = 0 (67)

dove

x+ = x0 −∫ ∞x0

dyV (y)√

E − V (y)(√

E − V (y) +√E) (68)

Dimostrazione. Tenuto conto che

x(t) = x0 +

∫ t

0

ds x(s) = x0 +

∫ t

0

ds

√2E

m+

∫ t

0

ds

(x(s)−

√2E

m

)

= x0 + v+t+

√2

m

∫ t

0

ds(√

E − V (x(s))−√E)

(69)

21

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possiamo scrivere

x(t)− v+t = x0 +

√2

m

∫ t

0

ds(√

E − V (x(s))−√E)

= x0 −√

2

m

∫ t

0

dsV (x(s))√

E − V (x(s)) +√E

(70)

Introduciamo il seguente cambio di variabile y = x(s) nell’ultimo integrale. Si noti che risulta

ds

dy=

(dy

ds

∣∣∣∣s=s(y)

)−1

=

(√2

m

√E − V (x(s))

∣∣∣∣s=s(y)

)−1

=

√m

2

1√E − V (y)

(71)

Quindi

x(t)− v+t = x0 −∫ x(t)

x0

dyV (y)√

E − V (y)(√

E − V (y) +√E) (72)

Basta ora passare al limite per t→∞ e si ottiene la tesi.

X

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8 Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi

Un’interessante descrizione qualitativa del moto di un sistema unidimensionale si ottiene stu-diando le cosiddette curve di livello dell’energia nel piano delle fasi. Fissato un valore Eammissibile per l’energia, la corrispondente curva di livello e definita da

ΓE =

{(x, v) ∈ R2 | 1

2mv2 + V (x) = E

}(73)

Osserviamo che

a) Per la conservazione dell’energia ogni soluzione o orbita t → (x(t), v(t)), corrispondente adun certo dato iniziale (x0, v0), giace sulla curva di livello ΓE0 , dove E0 = 1

2mv2

0 +V (x0). D’altraparte ogni curva di livello puo contenere piu di un’orbita.b) Le curve di livello sono simmetriche rispetto all’asse x.c) Gli equilibri del sistema (x, 0), con V ′(x) = 0, e quindi le corrispondenti orbite stazionariet→ (x, 0), sono rappresentate da punti sull’asse x.d) Le curve di livello sono regolari tranne che nei punti di equilibrio del sistema. Infattidall’equazione della curva di livello in forma implicita

G(x, v) =1

2mv2 + V (x)− E = 0 (74)

si ricava che i punti singolari sono quelli per cui

∂G

∂x=∂G

∂v= 0 (75)

D’altra parte ∂G∂x

= V ′(x) e ∂G∂v

= mv e quindi i punti singolari coincidono con gli equilibri.e) Ogni orbita periodica e percorsa in senso orario.f) Un punto del piano delle fasi non puo appartenere a due orbite distinte (per il teorema diunicita della soluzione di un’equazione differenziale ordinaria).g) Due curve di livello ΓE, ΓE′ diffeomorfe sono qualitativamente equivalenti, cioe il numero e lecaratteristiche delle orbite contenute in esse sono uguali. Nascono invece differenze qualitativequando il valore dell’energia coincide con il valore del potenziale in un punto critico.

Si supponga allora assegnato un potenziale V ∈ C2 e il sistema mx = −V ′(x). Per analizzarequalitativamente le orbite si puo procedere nel seguente modo.

1. Si studia e si disegna il grafico del potenziale V determinando in par-ticolare i punti critici xi di V .

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2. Si considerano i valori qualitativamente significativi dell’energia, cioe ivalori E tali che E = V (xi) e quelli per cui V (xi) < E < V (xi+1); sidisegnano quindi con le linee tratteggiate le rette y = E;

3. Per ciascun valore significativo dell’energia si disegna la corrispondentecurva di livello nel piano delle fasi (x, v) e si classificano tutte le orbitesu di essa contenute. In particolare per ciascuna orbita va specificatose e:

• una posizione di equilibrio, stabile o instabile; una tale orbita erappresentata da un punto sull’asse x;

• un’orbita periodica, indicando i relativi punti di inversione ed ilperiodo; si osservi che un’orbita periodica e rappresentata da unacurva chiusa e regolare;

• un’orbita a meta asintotica verso un equilibrio instabile x (separa-trice), calcolando l’equazione delle tangenti nel punto instabile; siosservi che un’orbita a meta asintotica e sempre una curva apertalimitata o non limitata;

• un’orbita aperta e non limitata per t→ ±∞, cioe tale che |x(t)| →∞ per t → ±∞; nel caso di orbite non limitate va calcolata lavelocita limite (se esiste).

Per esemplificare quanto abbiamo detto consideriamo il caso del potenziale V (x) = −2x2 + x4,il cui grafico ha l’andamento mostrato in figura 5.

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fig. 5

I livelli di energia qualitativamente interessanti sono in questo caso i valori Ei, i=1,. . . ,4, conE1 = −1, −1 < E2 < 0, E3 = 0 ed E4 > 0. Discutiamo i vari casi separatamente.

1) E = E1

L’energia corrisponde al valore del potenziale in due punti di minimo stretto x1 = −1, x2 = 1.La curva di livello contiene quindi due orbite che coincidono con le corrispondenti configurazionidi equilibrio stabile (vedi figura 6)

ΓE1 = (−1, 0), (1, 0)

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fig. 6

2) E = E2

In questo caso siamo nelle ipotesi della proposizione 4.1 e quindi si hanno due possibili motiperiodici intorno ai punti x1 e x2. I punti di inversione dei due moti xi, i=3,4,5,6 si trovanorisolvendo l’equazione E2 = V (x) e il periodo dei due moti puo essere stimato. La curva dilivello contiene quindi due orbite γ1 e γ2; tali orbite sono curve chiuse e regolari contenenti ipunti (-1,0) e (1,0) rispettivamente (figura 7)

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ΓE2 = γ1 ∪ γ2

fig. 7

3) E = E3

Il valore dell’energia coincide con il valore del punto di massimo x = 0, corrispondente ad unaposizione di equilibrio instabile. Per la proposizione 5.1 si hanno anche due moti asintotici di

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avvicinamento alla posizione di equilibrio e con due punti di inversione x7 = −√

2 e x8 = −√

2.Quindi la curva di livello contiene tre orbite di cui una e la configurazione di equilibrio instabile(0,0) e due sono orbite asintotiche γ3 e γ4, che sono due curve limitate e aperte. Tale curva dilivello contenente un equilibrio instabile si dice separatrice. In forma esplicita, la separatrice ecostituita dai due rami

v = ±√

2

m

√2x2 − x4

Sviluppando al primo ordine nell’intorno di x = 0 si trova v = ± 2√mx, che sono le equazioni

delle tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile. In definitiva si ha (figura 8)

ΓE3 = (0, 0) ∪ γ3 ∪ γ4

fig. 8

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4) E = E4

Per questo valore delll’energia siamo di nuovo nelle ipotesi della proposizione 4.1 e quindi si haun moto periodico con punti di inversione x9 e x10, soluzioni di E4 = V (x), e periodo che puoessere stimato. La curva di livello contiene quindi una sola orbita γ5; tale orbita e una curvachiusa e regolare (figura 9)

fig. 9

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