a természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk...

A Természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk elött, ésaz igaz bölcselet van megírva benne ... De nem olvashatjuk aztmásképp, csak ha elébb megtanuljuk a nyelvet s jeleket, mellyelíratott ...

Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök ésmás geometriai formák ...

G. Galilei, Il Saggiatore

Szimmetriák és csoportjaik

Bántay Péter

ELTE Elméleti Fizika Tanszék

Cél: csoportelméleti alapfogalmak megismerése.

Tematika

• Példák csoportokra• Az absztrakt csoportfogalom• Kombinatorikus csoportelmélet, permutációcsoportok• Szimmetriacsoportok a fizikában• Ábrázoláselmélet és invariánselmélet

Ajánlott irodalom

1 G. G. Hall: Alkalmazott csoportelmélet.2 W. Magnus, Obertinger: Csoportok és gráfjaik.3 H. Weyl: Szimmetria.4 H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai.5 Wigner Jenő: Csoportelméleti módszer a

kvantummechanikában.

Elemitulajdonságok

A háromszögszimmetriái

A szimmetriákrealizációiA szimmetriák mintkoordináta-transzformációk

A szimmetriák mintlineáris leképezések

A szimmetriák mintpermutációk

A szimmetriákalgebrája

Szabályossokszögek

Szabályostestek éspolitopok

Az egyenlőoldalú háromszög

Szerkesztés körzővel és vonalzóval.

Kitüntetett elemek:

• oldalak• csúcspontok• oldalfelező merőlegesek• középpont (súlypont)

Háromszög = oldalak által határolt véges síkidom =csúcspontok konvex burka.

Baricentrikus koordináták és alkalmazásaik (pl. fizikai kémia,ásványtan).

Elemitulajdonságok








Belső szögek mind megegyeznek és összegük 180◦.

Pons asinorum

Ha nem lennének egyenlők a szögek, akkor pl. a legnagyobbkitüntetett lenne, így a vele szemben lévő oldal is, de az egyesoldalakat csak a hosszuk jellemzi, ami pedig azonos.

Belső szögek egyenként 60◦-osak!

Középpontból csúcspontokhoz húzott egyenesek szöge 120◦.

Jellemzők egyenlősége a szimmetria jele!

Elemitulajdonságok








Szimmetria:

a sík olyan mozgása (izometriája, távolságtartó leképezése),amely a háromszög pontjainak halmazát önmagába képezi.

Csúcspontok kitüntetett pontok (konvex halmaz extremálispontjai), így szimmetriák csúcspontot csúcspontba képeznek.

Általában: kitüntetett elemek hasonló kitüntetett elemekbeképződnek.

Középpont (súlypont) egyértelműen meghatározott, ezértminden szimmetriának fixpontja.

Elemitulajdonságok








Izometriák

• eltolások (0 fixpont)

• forgatások (1 fixpont)• tükrözések (∞ fixpont)• fentiek kompozíciói

Tükrözések fixpontjai egy egyenest alkotnak, a tükrözéstengelyét; a tengely két oldalán lévő pontokat a tükrözéspáronként fölcseréli.

Eszerint a szimmetriák a háromszög középpontja körüliforgatások és az oldalfelező merőlegesekre vonatkozótükrözések.

Elemitulajdonságok








Izometriák

• eltolások (0 fixpont)• forgatások (1 fixpont)

• tükrözések (∞ fixpont)• fentiek kompozíciói



Elemitulajdonságok








Izometriák

• eltolások (0 fixpont)• forgatások (1 fixpont)• tükrözések (∞ fixpont)

• fentiek kompozíciói



Elemitulajdonságok








Izometriák

• eltolások (0 fixpont)• forgatások (1 fixpont)• tükrözések (∞ fixpont)• fentiek kompozíciói



Elemitulajdonságok








3

σ_1

C

1

σ_2

σ_3

2

Szimmetriák halmaza

D3 ={

1,C ,C2, σ1, σ2, σ3}

Elemitulajdonságok








A szimmetriák realizációi

Szimmetria: háromszög pontjainak önmagába való leképezése.

Más értelmezések ⇒ más realizációk.

1 Koordináta-transzformációk2 Lineáris leképezések (mátrixok)3 Permutációk

Elemitulajdonságok








Koordináta-transzformációkDescartes KR: középpont az origóban, 1-es csúcspont azy -tengelyen.

y

x

32

1

Elemitulajdonságok








Sík izometriája: (xy

)7→(

x ’(x , y)y ’(x , y)

)

koordináta-transzformáció, amelyre (x ’) 2 + (y ’) 2 = x2 + y2.

Például:σ1 :

(xy

)7→(−xy

)és

C :

(xy

)7→(−1

2x −√32 y√

32 x − 1

2y

)

Számolásokra alkalmas, hasznos a szimmetriák szorzatainakmeghatározásában. Nem egyértelmű, hiszen sokfélekoordinátázás lehetséges.

Elemitulajdonságok








Lineáris leképezések

Koordináta-transzformációk lineárisak, azaz elsőfokúak x -benés y -ban (konstans tag nélkül).

Sík: kétdimenziós lineáris tér R felett, bázisa {e1, e2}.

Lineáris transzformációk jellemzéséhez elegendő ismerni abázisvektorok képét

Ae1 = A11e1 + A12e2Ae2 = A21e1 + A22e2

vagyis az (A11 A12A21 A22

)valós elemű mátrixot!

Elemitulajdonságok








Például:σ1 =

(−1 00 1

)és

C =

(−1

2 −√32√

32 −1

2

)Általában (

A11 A12A21 A22

)=

(∂x ’∂x

∂x ’∂y

∂y ’∂x

∂y ’∂y

)

Lineáris leképezések kompozíciója: mátrixok szorzása.

Tömörebb, kevésbé redundáns jellemzés; szorzatok számolásaegyszerűbb mint általános koordinátatranszformációk esetén.Nem egyértelmű, mert sok különféle bázis választható a lineáristérben.

Elemitulajdonságok








PermutációkSzimmetria csúcspontot csúcspontba képez ⇒ csúcspontokhalmazának önmagára történő egy-egyértelmű leképezése(bĳekciója, permutációja).

Például:

σ1 :1 7→ 12 7→ 33 7→ 2

és C :1 7→ 22 7→ 33 7→ 1

Identikus leképezésnek az egységpermutáció felel meg.

A legtömörebb jellemzés: sok alkalmazás szempontjából alegalkalmasabb, de nem mindig elég informatív. Nemegyértelmű, hiszen többféleképpen jelölhetjük a csúcspontokat.

Elemitulajdonságok








A szimmetriák algebrája

Két szimmetria egymás utáni végrehajtása megint csakszimmetria ⇒ a szimmetriák halmazából nem vezet ki akompozíció művelete!

Szorzótábla (véges esetben)

◦ 1 C C2 σ1 σ2 σ3

1 1 C C2 σ1 σ2 σ3C C C2 1 σ3 σ1 σ2C2 C2 1 C σ2 σ3 σ1σ1 σ1 σ2 σ3 1 C C2

σ2 σ2 σ3 σ1 C2 1 Cσ3 σ3 σ1 σ2 C C2 1

Elemitulajdonságok








Az 1 identikus leképezés a kompozíció egységeleme, azazbármely a leképezésre

1 ◦ a = a ◦ 1 = a

Minden a szimmetriának létezik inverze, azaz egy olyan a-1

szimmetria, hogy

a ◦ a-1 = a-1 ◦ a = 1

a 1 C C2 σ1 σ2 σ3a-1 1 C2 C σ1 σ2 σ3

Szimmetriák bĳektív (egy-egyértelmű) leképezések, és a-1 az abĳekció inverz leképezése.

Elemitulajdonságok








Leképezések kompozíciója asszociatív művelet, azaz bármelya, b, c leképezésekre

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Kompozíció általában nem kommutatív, azaz nem igazfeltétlenül minden a, b leképezésre, hogy

a ◦ b = b ◦ a

Például

C ◦ σ1 = σ3 6= σ2 = σ1 ◦C és σ1 ◦ σ2 = C 6= C2 = σ2 ◦ σ1.

Elemitulajdonságok








1 Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amelytartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozícióműveletére, és tartalmazza minden elemének inverzleképezését.

2 Mátrixcsoport: mátrixok olyan halmaza, amelytartalmazza az egységmátrixot, zárt a mátrixszorzásműveletére, és tartalmazza minden elemének inverzét.

3 Permutációcsoport: adott véges halmaz permutációinakegy olyan halmaza, amely tartalmazza azegységpermutációt, zárt a kompozíció műveletére, éstartalmazza minden elemének inverz permutációját.

Feladat: ezen fogalmak közös gyökerének absztrahálása.

Lényeg: kétváltozós, asszociatív és egységelemes művelet,amelyre léteznek inverzek.

Elemitulajdonságok








Sokszögek

Szabályos sokszög: azonos hosszúságú oldalakkal rendelkezőkonvex síkidom (konvexitás fontos, pl. Salamon-csillag).

Gauss

Szabályos sokszög akkor és csak akkor szerkeszthető, hapáratlan prímtényezői mind egyszeres Fermat-prímek:2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 igen, de 7, 9, 11, 13, 14 nem.

Egy prímszám Fermat-prím, ha 22n+ 1 alakba írható.

Ismert Fermat-prímek: 3, 5, 17, 257, 65537.

Elemitulajdonságok








Kitüntetett elemek: középpont, csúcspontok, oldalfelezők.

Szimmetriák: a sík olyan mozgásai , amelyek a sokszögpontjainak halmazát önmagába képezik. Kitüntetett elemeketazonos típusú elemekbe képezik.

Középpont fix, és csúcspont csúcspontba, valamintoldalfelező oldalfelezőbe képződik

• n darab középpont körüli forgatás (2πn egész számútöbbszörösével)

• n darab tükrözés (oldalfelezőkre, illetve a középpontotvalamely csúcsponttal összekötő egyenesekre).

Szabályos n-szög szimmetriacsoportja: Dn az n-edfokúdiédercsoport, Cn a forgási szimmetriák alcsoportja.

Elemitulajdonságok








Szabályos politop

Hipersíkok által határolt konvex d dimenziós térrész, melynekaz egyes határoló hipersíkokkal vett metszetei egymássalegybevágó (d − 1) dimenziós szabályos politopok.

Kepler: végtelen d dimenziós politop (d-1) dimenziósszabályos csempézés (mozaik).

Elemitulajdonságok








Véges politop f -vektora: fk = k dimenziós lapok száma.

McMullen: fk ≤ Fk(d , n)

Euler-tétel:d−1∑k=0

(-1)k fk = 1 + (-1)d−1

Duális (reciprok) politopok.

Ha d = 2, akkor szabályos sokszögek.

d = 3 esetén szabályos (platonikus) testek: világ építőelemei.

Elemitulajdonságok








Elemitulajdonságok








d = 3

Név Schläfli-szimbólum f -vektortetraéder {3, 3} (4, 6, 4)

kocka {4, 3} (8, 12, 6) ↑oktaéder {3, 4} (6, 12, 8) ↓

dodekaéder {5, 3} (20, 30, 12) ↑ikozaéder {3, 5} (12, 30, 20) ↓négyzetrács {4, 4} (1, 2, 1)∞

háromszögrács {3, 6} (1, 3, 2)∞ ↑hatszögrács {6, 3} (2, 3, 1)∞ ↓

Elemitulajdonságok








A hiperkocka

Elemitulajdonságok








d = 4

Név Schläfli-szimbólum f -vektorszimplex {3, 3, 3} (5, 10, 10, 5)

hiperkocka {4, 3, 3} (16, 32, 24, 8) ↑kereszt-politop {3, 3, 4} (8, 24, 32, 16) ↓

120-cella {5, 3, 3} (600, 1200, 720, 120) ↑600-cella {3, 3, 5} (120, 720, 1200, 600) ↓24-cella {3, 4, 3} (24, 96, 96, 24)

kockarács {4, 3, 4} (1, 3, 3, 1)∞

d>4

Csak három szabályos politop: szimplex, hiperkocka éskereszt-politop.

Maradék-osztályok

Kvaterniók éshiperkomplexrendszerek

Pauli-mátrixok

Gyűrűk

Olyan kétműveletes struktúrák, amelyekben mindkétkétváltozós művelet (’összeadás’ és ’szorzás’) kommutatív,asszociatív és egységelemes (’nulla’ és ’egy’), az összeadásranézve léteznek inverzek, és a szorzás disztributív

a (b+c) = ab+ac

Példák:

• Z, Q, R, . . . számgyűrűk;• Mn(R) mátrixgyűrűk;• R [x1, . . . , xn] polinómgyűrűk.

Fontos szerepet játszanak az algebrai számelméletben ésgeometriában.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Tetszőleges R gyűrű elemei az összeadás műveletével additívcsoportot alkotnak.

Példák:

• egész számok additív csoportja (végtelen ciklikus csoport);• racionális számok additív csoportja (nagyon bonyolultszerkezetű);

• valós számok additív csoportja (egydimenziós eltolások).

R× = {x ∈R|xy = 1 valamely y ∈R-re} invertálható elemek aszorzás műveletével multiplikatív csoportot alkotnak.

Például: R× = R \ {0} és Z× = {±1}.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Maradékosztályok

Eukleidész: egész számok maradékos osztása.

Modulo n maradékosztály

Egész számok olyan halmaza, amelyeknek az n-nel való osztásimaradéka megegyezik.

nZ + k = {nx + k|x ∈Z}

Összesen n különböző maradékosztály (k = 0, 1, . . . n-1).

Maradékosztályok összege és szorzata úgyszinténmaradékosztály ⇒ Z/nZ maradékosztály-gyűrű.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Triviális maradékosztály: nZ.

Összeadás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, ésminden maradékosztálynak létezik additív inverze (ellentetje):maradékosztályok Z/nZ additív csoportja (véges ciklikus).

Szorzás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, denem minden maradékosztálynak létezik multiplikatív inverze,csak amelyekre k és n relatív prím (prímreziduumok).

(Z/nZ)× : prímreziduumok multiplikatív csoportja.

Számossága φ(n), az n-hez relatív prím pozitív egészek száma(Euler-féle φ-függvény).

Fontos számelméleti alkalmazások (Galois-elmélet).

Megjegyzés: szabályos n-szög akkor szerkeszthető, ha φ(n) a 2valamely hatványa.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Kvaterniók

számegyenes pontjai valós számokszámsík pontjai komplex számok

háromdimenziós tér pontjai ???

Hamilton (kanonikus formalizmus, Hamilton-elv, stb.), 1843.

???= képzetes kvaterniók!

Négydimenziós asszociatív, de nem kommutatív divizióalgebra.

Frobenius: valós számok felett nincs több asszociatívhiperkomplex rendszer (de léteznek az oktoniók!).

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Képzetes kvaterniók háromdimenziós vektorok.

Szorzat{

valósképzetes

része ={

skalárisvektoriális

szorzat!

Kvaternió-egységek szorzótáblája

i j ki -1 k -jj -k -1 ik j -i -1

Kvaterniócsoport: Q = {±1,±i,±j,±k}.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Pauli-mátrixokElektronspin komponensei (Pauli)

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 -ii 0

)σ3 =

(1 00 -1

)

Spúrjuk zérus, és minden sajátértékük valós (az egyik +1, amásik -1), vagyis hermitikusak (önadjungáltak).

Felbontási tétel

Bármely 2x2-es, spúrtalan hermitikus mátrix előállPauli-mátrixok valós együtthatós kombinációjaként.

Megjegyzés: minden Pauli-mátrix involutív (másodrendű), azaznégyzete az egységmátrix.

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Két különböző Pauli-mátrix szorzata a harmadik Pauli-mátrix±i-szerese:

σiσj = iεĳkσk

A szorzás antikommutatív, azaz (i 6= j)

σiσj = −σjσi

2x2-es egységmátrix

σ0 =

(1 00 1

)

Bármely 2x2-es hermitikus mátrix előáll a σi -k valóslineárkombinációjaként (i = 0, 1, 2, 3).

Maradék-osztályok


Pauli-mátrixok

Szorzótábla

σ1 σ2 σ3

σ1 σ0 iσ3 -iσ2σ2 -iσ3 σ0 iσ1σ3 iσ2 -iσ1 σ0

Kapcsolat kvaterniókkal:

i = iσ1 j = -iσ2 k = iσ3

a képzetes kvaternió-egységek.

Kvaterniók 2x2-es hermitikus mátrixok (valós rész = spúrfele).

A csoport-axiómák

Homo-, izo- ésautomorfizmus

Részcsoportokés mellék-osztályok

Faktorcsoport

Direkt szorzat

CsoportaxiómákElemek G halmaza és mult :G×G→G kétváltozós művelet(’szorzás’): mult(x , y)=x ?y , vagy csak xy (infix jelölés).

1 A művelet asszociatív, azaz bármely x , y , z∈G-re

x ? (y ? z) = (x ? y) ? z

2 Létezik egységelem, azaz olyan 1G ∈G , hogy

1G ? x = x ? 1G = x

minden x ∈G-re;3 Minden x ∈G-nek létezik x -1∈G inverz eleme, amelyre

x ? x -1 = x -1 ? x = 1G

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat



x ? (y ? z) = (x ? y) ? z


1G ? x = x ? 1G = x

minden x ∈G-re;

3 Minden x ∈G-nek létezik x -1∈G inverz eleme, amelyre

x ? x -1 = x -1 ? x = 1G

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat



x ? (y ? z) = (x ? y) ? z


1G ? x = x ? 1G = x

minden x ∈G-re;3 Minden x ∈G-nek létezik x -1∈G inverz eleme, amelyre

x ? x -1 = x -1 ? x = 1G

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Általánosítások

Félcsoportok, kvázicsoportok, kvantum-csoportok,szupercsoportok, .... kétdimenziós csoportok.

Csoport rendje = elemeinek számossága.

Véges és végtelen csoportok.

Abel-csoport: művelet kommutatív, azaz

x ? y = y ? x

minden x , y ∈G-re.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Homomorfizmusok

Matematikai struktúrák összehasonlítása speciális leképezéseksegítségével.

Például a geometriában folytonos, differenciálható,távolságtartó, stb. leképezések.

Homomorfizmus

Két csoport közötti művelettartó leképezés.

φ :G1→G2 leképezés a G1 csoportból a G2 csoportba akkorhomomorfizmus, ha φ(xy)=φ(x)φ(y) minden x , y ∈G1-re.

Izomorfizmus: bĳektív homomorfizmus.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

G1 és G2 izomorf, jelben G1 ∼= G2, ha létezik φ :G1→G2izomorfizmus (szükséges, hogy |G1|= |G2| legyen).

Izomorfizmus-elv (Steinitz)

Izomorf csoportok absztrakt csoportelméleti szempontbólazonosnak tekintendők.

Automorfizmus: egy csoportnak önmagával való izomorfizmusa.

Automorfizmusok kompozíciója szintén automorfizmus ⇒G csoport automorfizmusai egyAut(G) csoportot alkotnak!

Egyes számolások különösen egyszerűek lehetnek bizonyosspeciális típusu csoportokban ⇒ csoport-reprezentációk.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Részcsoport

Csoportelemek olyan részhalmaza, amely maga is csoportotalkot (zárt a csoportműveletre és az inverzképzésre).

H < G , ha minden x , y ∈H-ra xy -1∈H.

Példák: maga G , valamint az{1G}

triviális részcsoport.

X ⊆ G részhalmaz esetén 〈X 〉 a lekisebb olyan részcsoport,amely tartalmazza X -et (generátor-rendszer).

〈X 〉 =⋂

X⊆H<GH

Ha G-t generálja az X részhalmaz, akkor bármely φ :G→Hhomomorfizmust egyértelműen meghatároz az X -re valóleszűkítése.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Ciklikus részcsoportok

Egy (rész-)csoport ciklikus, ha egyelemű halmaz generálja.

Csoportelem rendje: generált ciklikus részcsoport számossága.

Struktúra-tétel

Minden végtelen ciklikus csoport izomorf az egész számokadditív csoportjával. Egy véges N-edrendű ciklikus csoportizomorf a modulo N maradékosztályok additív csoportjával.

Következmény: ha x ∈G egy n <∞ rendű csoportelem, akkor{1, x , x2, . . . , xn−1

}az x egymástól különböző hatványai,

egyben az x által generált 〈x〉 ciklikus részcsoport elemei.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

RészcsoporthálóRészcsoportok metszete maga is részcsoport ⇒részcsoportok hálót alkotnak.

Grafikus ábrázolás: Hasse-diagramm

D_3

1

<C>

<σ_2> <σ_3><σ_1>

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Mellékosztályok

Komplexus: csoportelemekből álló halmaz.

Komplexus-szorzás: XY = {xy |x ∈X , y ∈Y }.

Asszociatív, egységelemes művelet, de nincsenek inverzek.

Részcsoport szerinti mellékosztály

xH ={xy |y ∈H

}alakú részhalmaz valamely x ∈G és

H < G-re.

Triviális mellékosztály: maga H.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Mellékosztályok particionálják a csoportot: vagy diszjunktak,vagy megegyeznek, és uniójuk az egész csoport ⇒ egyazonmellékosztályba tartozni egy ekvivalenciareláció.

Bal- és jobboldali mellékosztályok: xH és Hx .

Részcsoport indexe: különböző (baloldali) mellékosztályainakszáma.

Lagrange-tétel

Bármely H < G részcsoportra |G | = [G :H] |H|.

Következmény: minden prímrendű csoport ciklikus.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Normális részcsoport

N<G normális részcsoport, ha xN =Nx minden x ∈G-re.

Alternatív elnevezések: invariáns részcsoport, normálosztó;jelölése N / G .

Kongruenciareláció: olyan ekvivalenciareláció a csoportelemekhalmazán, amely kompatibilis a csoportművelettel:

x1 ≡ y1x2 ≡ y2

}⇒ x1x2 ≡ y1y2

Minden kongruenciareláció ekvivalencia-osztályai valamelynormális részcsoport mellékosztályai, és fordítva.

Egyszerű csoport: csak két normális részcsoportja van (önmagaés a triviális).

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

FaktorcsoportMellékosztályok komplexus-szorzata szintén mellékosztály!

(xN) (yN) = x (Ny) N = (xy) N

Inverz mellékosztály: (xN)-1 =x -1N.

Normális részcsoport szerinti mellékosztályok csoportotalkotnak: G/N faktorcsoport.

C3 = {1,C ,C 2} / D3 és σ1C3 = {σ1, σ2, σ3}

D3/C3 C3 σ1C3

C3 C3 σ1C3σ1C3 σ1C3 C3

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

φ :G→H homomorfizmus{

képe φ(G)={φ(x) |x ∈G}magja ker φ={x ∈G |φ(x)=1H}

Homomorfizmus-tétel

Minden φ :G→H homomorfizmusra φ(G)<H és ker φ / G ,továbbá

φ(G) ∼= G/ ker φ

homomorf képek ←→ faktorcsoportok

Korrespondencia-tétel: egy-egyértelmű kapcsolat φ(G)részcsoportjai és G azon részcsoportjai között, amelyektartalmazzák ker φ-t.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Direkt szorzatokG1×G2 direkt szorzat elemei: (x1, x2) rendezett párok(Descartes-szorzat).

Művelet:(x1, x2) ? (y1, y2) = (x1 ? y1, x2 ? y2)

Kommutatív, asszociatív és egységelemes ’művelet’ csoportokizomorfizmus-osztályain.

Frobenius–Stickelberger-tétel

Minden véges Abel-csoport előáll prímhatványrendű ciklikuscsoportok direkt szorzataként, sorrendtől eltekintveegyértelműen.

Számelmélet alaptétele.

A csoport-axiómák



Faktorcsoport

Direkt szorzat

Szabadcsoportok

Generátorokés relációk

Algoritmikuskérdések

GAP

Kombinatorikus csoportelmélet

Csoportok algoritmikus vizsgálata.

Kombinatorikus (algebrai) topológia: sokaságok jellemzésealgebrai struktúrákkal

Szimpliciális felbontás, homológia- és homotópia-csoportok,Betti-számok, Euler–Poincaré-formula.

Homológia-csoportok általában végtelen (Abel-)csoportok.

Hogyan jellemezhető effektíven végtelen csoportok szerkezete?

”Szabad” csoportok homomorf képeiként!

Szabadcsoportok



GAP

Szabad csoportokKonstruktív vagy axiomatikus jellemzés.

Univerzalitás

Az F csoport szabad az X halmaz felett, ha bármely G csoportesetén minden φ :X→G leképezés egyértelműen kiterjeszthetőegy φ̂ :F→G homomorfizmussá.

Következmények:

1 az X feletti bármely két szabad csoport egymással izomorf(FX szabad csoport);

2 az X és Y feletti szabad csoportok akkor és csak akkorizomorfak, ha |X | = |Y |.

Szabadcsoportok



GAP

Szabad csoport rangja: rank FX = |X |.

Végtelen nem-kommutatív csoportok, kivéve F1 ∼= Z.

Konstruktív jellemzés (redukált szavak csoportja): kapcsolatmatematikai nyelvészettel.

Legyen a G csoport egy generátor-rendszere X⊂G , és φ :X→Ga beágyazás.Ekkor a φ̂ :FX→G homomorfizmus képe G .

Homomorfizmus-tétel miatt G ∼= FX/ ker φ̂.

Nielsen–Schreier-tétel

Szabad csoport minden részcsoportja szabad.

H < F esetén

rank H − 1 = [F : H] (rank F − 1)

Szabadcsoportok



GAP

PrezentációkX⊂G generátor-rendszer, φ̂ :FX→G homomorfizmus aφ :X→G beágyazás kiterjesztése, RX =ker φ̂ arelátor-részcsoport (Nielsen-Schreier miatt RX is szabadcsoport, de általában végtelen a rangja, kivéve ha G véges).

G csoport prezentációja

Olyan 〈X |R〉 pár, ahol X ⊂ G generálja G-t, és a legkisebbolyan normális részcsoportja FX -nek, amely még tartalmazza Rminden elemét, megegyezik az RX relátor-részcsoporttal.

Egyazon csoportnak sok különböző prezentációja van!

Ekvivalens prezentációk között a Tietze-transzformációkteremtenek kapcsolatot.

Szabadcsoportok



GAP

Véges prezentáció: mind X (generátorok halmaza), mind R(relátorok halmaza) véges.

Végesen prezentált csoportok kezelhetők algoritmikusan.

Példák:

1 〈x | xn〉 a Zn ciklikus csoport egy prezentációja;2 〈a, b | an, baba〉 a Dn diéder-csoport egy prezentációja;3⟨s, t | s2, t3, (st)3

⟩a D3 diéder-csoport másik

prezentációja;4⟨a, b | a-1b-1ab

⟩a Z× Z csoport egy prezentációja.

Szabadcsoportok



GAP

Algoritmikus kérdésekFeladat: G csoport egy 〈X |R〉 prezentációjának ismeretébenhatározzuk meg G tulajdonságait (elemek száma,kommutativitás, ciklicitás, ....).

Dehn-problémák

Adott 〈X |R〉 prezentáció esetén adjunk véges algoritmust akövetkező kérdések eldöntéséhez.

1 Szóprobléma: adott w ∈ FX beletartozik-e az RXrelátor-részcsoportba?

2 Konjugációs probléma: adott w1,w2 ∈ FX elemek eseténlétezik-e olyan u ∈ FX , hogy w1u ∈ uw2RX?

3 Izomorfia-probléma: az 〈Y |Q〉 prezentáció ekvivalens-e〈X |R〉-rel?

Szabadcsoportok



GAP

Novikov-Boone

Általában eldönthetetlen kérdések, azaz nem létezik ilyenalgoritmus!

Fentiek alapján a prezentáció ismeretében eldönthetetlen acsoport

• trivialitása• végessége• kommutativitása• stb.

Szabadcsoportok



GAP

AlgoritmusokDe! Futásidő szempontjából 1 év ≈ 106 év ≈ ∞.

Pragmatikus hozzáállás: addig fusson, amíg van hozzátürelmünk.

Legfontosabb algoritmusok

Knuth-Bendix: a szóprobléma (és egyben a konjugációsprobléma) megoldását szolgáltatja, amennyibenaz létezik;

Todd-Coxeter: az FX egy adott részhalmaza által generáltrészcsoport (baloldali) mellékosztályait sorolja fel(ha véges sok van);

Reidemeister-Schreier: részcsoport mellékosztályainakismeretében meghatározza a részcsoport egyprezentációját.

Szabadcsoportok



GAP

A GAP szoftver

http://www.gap-system.org

Diszkrét matematikai (főleg csoportelméleti) számolásokraalkalmas interpretált nyelv (de létezik hozzá compiler is).

Csoportok megadása

• prezentációval;• generáló permutációkkal;• generáló mátrixokkal;• csoportelméleti konstrukciókkal.

http://www.gap-system.org

Szabadcsoportok



GAP

Mátrix-csoportok

Csoport-ábrázolások

Ábrázolás- és invariánselmélet

Mátrix-csoportok


Mátrixcsoportok

Mátrixok

• egyszerű numerikus jellemzés• hatékonyan algoritmizálható műveletek(Karatsuba-szorzás)

• lineáris algebrai módszerek

Adott gyűrű feletti invertálható mátrixok csoportot alkotnak.

Invertálhatóság feltétele: determináns invertálhatósága!

Kapcsolat lineáris operátorokkal.

Mátrix-csoportok


A lineáris csoportok

GLn(R): R feletti n × n-es invertálható mátrixok csoportja.

Végtelen ha R is az, és csak n = 1 esetén kommutatív.

SLn(R): egységnyi determinánsú mátrixok részcsoportja.

Ha V egy lineáris tér az F test felett, akkor GL(V ) azinvertálható lineáris operátorok összesége, a V feletti általánoslineáris csoport.

GL(V ) ∼= GLdimV (F)

SL(V ) a speciális lineáris csoport, a térfogatörző operátorokcsoportja.

dimGLn (R) = n2

Mátrix-csoportok


Az unitér csoportok

Egy U mátrix unitér, ha adjungáltja megegyezik az inverzével(csak C felett értelmes)

U† = U -1

Unitér mátrixok szorzata is unitér ⇒ U(n) unitér csoport.

dimU(n) = n2

Az 1 determinánsú unitér mátrixok alkotják az SU(n) speciálisunitér csoportot, amely egyszerű (nincs nemtriviális homomorfképe).

Mátrix-csoportok


Unitér csoportok a fizikában

Fontos szerepet játszanak az elemi részecskék osztályozásában(’nyolcas út’, kvarkmodell) és az alapvető kölcsönhatásokleírásában (elektrogyenge elmélet, QCD).

Kvantumelméleti állapotleírás lineáris (szuperpozíció elve) +a valószínűségi amplitúdok megörződnek ⇒

Wigner tétele

Egy kvantumrendszer szimmetriái unitér vagy antiunitéroperátoroknak felelnek meg.

Antiunitér operátorok: időtükrözés!

Mátrix-csoportok


Az ortogonális csoportok

Bilineáris forma

Skalárértékű kétváltozós függvény egy lineáris téren, amelymindkét változójában lineáris.

Skalárszorzat: valós lineáris téren értelmezett szimmetrikusbilineáris forma.

Megfelelő bázis választása esetén minden skalárszorzat felírható

(x , y) =p∑

i=1xiyi −

n∑i=p+1

xiyi

normálalakban, ahol 0 ≤ p ≤ n (szignatúra).

Mátrix-csoportok


O(p, n − p) ortogonális csoport: (Ax ,Ay) = (x , y) feltételnekeleget tevő invertálható A operátorok összesége.

Egységnyi determinánsú mátrixok írják le az irányítástartótranszformációkat (forgatások) ⇒ SO(p, n − p) speciálisortogonális csoport.

dimSO(p, n − p) =

(n2

)=

n (n − 1)

2

Euklidészi tér szignatúrája (3, 0), míg Minkowski-térszignatúrája (1, 3), ezért

forgáscsoport = SO(3), Lorentz-csoport = SO(3, 1)

Mátrix-csoportok


A szimplektikus csoport

Szimplektikus forma: valós lineáris téren értelmezettantiszimmetrikus (’alternáló’) bilineáris forma.

Nemdegenerált szimplektikus forma csak páros dimenzióbanlétezhet.

Darboux tétele

Megfelelő bázis választása esetén minden 2n dimenziósszimplektikus forma

〈x , y〉 =n∑

i=1(xiyi+n − xi+nyi )

normálalakban írható fel.

Mátrix-csoportok


Az Sp(2n) szimplektikus csoportot olyan A invertálhatóleképezések alkotják, amelyekre

〈Ax ,Ay〉 = 〈x , y〉

(szimplektikus leképezés, ’kanonikus transzformáció’).

dim Sp(2n) = n (2n + 1)

Klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusában a kanonikusegyenletek szimmetriái szimplektikus leképezések (fázistérszimplektikus struktúrája).

Általában: sokaságok koérintőnyalábjának szimplektikusstruktúrája.

Mátrix-csoportok


Tenzorok

Fizikai tér szimmetriái lineáris koordináta-transzformációkkéntrealizálódnak ⇒ fizikai mennyiségek komponensei lineárisankeverednek KR-váltáskor (skalár, vektor, tenzor, ...)

A′i = TĳAj

Igaz Minkowski-térre is (relativitáselmélet), de nem igaz görbülttéridőre.

Kovariancia elve: természeti törvényt kifejező egyenlőségminkét oldala azonos tenzori rangú.

Curie-elv (irreverzibilis termodinamika): kereszteffektusok csakazonos tenzori rangú mennyiségek között.

Mátrix-csoportok


Szimmetrikuspolinomok

Newton-formulák

Invariánspolinomok

Fundamentálisinvariánsok

Syzygyk

Molien-képlet

Egyváltozós polinomok gyökei

Algebra alaptétele

Minden n-edfokú egyváltozós polinomnak pontosan n gyökevan a komplex számtest felett.

Ha f (x) gyökei α1, ..., αn, akkor

f (x) = A (x − α1) ... (x − αn)

valamely A komplex számra.

f (x) = An∑

k=0(-1)k sk(α1, ..., αn) xn−k


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

s0 = 1s1 = α1 + ...+ αn...

sn = α1...αn

Együtthatók a gyökök többváltozós homogén polinomjai

sk(λα1, ..., λαn) = λksk(α1, ..., αn)

Gyökök sorrendje nincs rögzítve ⇒ együtthatók a gyökökszimmetrikus polinomjai!

sk(απ1, ..., απn) = sk(α1, ..., αn)

minden π∈Sn permutációra.

Elemi szimmetrikus polinomok:

sk(x1, ..., xn) =∑

1≤i1<i2<...<ik≤nxi1xi2 ...xik


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Hatványösszegek:

pk(x1, ..., xn) =n∑

i=1xk

i

Szimmetrikus polinomok tetszőleges polinomja is szimmetrikus⇒ gyűrűt alkotnak!

Szimmetrikus polinomok alaptétele

Bármely n-változós szimmetrikus polinom előáll egyértelműenakár az s1, ..., sn elemi szimmetrikus polinomok, akár ap1, ..., pn hatványösszegek n-változós polinomjaként.

f (x1, ..., xn) = Sf (s1, ..., sn) = Pf (p1, ..., pn)


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Newton-formulák

Elemi szimmetrikus polinomok kifejezése hatványösszegeksegítségével (és fordítva).

s1 = p1s2 = (p2

1 − p2)/2s3 = (p3

1 − 3p1p2 + 2p3)/6...

Általábann∑

k=1(-1)k skpn−k = 0


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Invariáns polinomok

A∈GLn(C) invertálható n × n-es mátrix x ′1...

x ′n

= A

x1...

xn

f ∈C [x1, ..., xn] transzformáltja

f A(x1, ..., xn) = f(x ′1, ..., x ′n

)f invariáns polinom ha azonosan teljesűl

f A(x1, ..., xn) = f (x1, ..., xn)

Invariánsok összege és szorzata is invariáns ⇒ invariánsgyűrű.


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

G mátrixcsoport RG invariánsgyűrűje = elemekinvariánsgyűrűinek metszete.

Permutációs mátrixok: adott α∈Sn permutációra

Π(α)ĳ = δαji

Permutációs mátrixok Πn csoportja a Π:Sn→GLn(C)homomorfizmus képe.

f ∈C [x1, ..., xn] és α∈Sn esetén

f Π(α)(x1, ..., xn) = f (xα-11, ..., xα-1n)

Szimmetrikus polinomok = Πn invariánsai!


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Kovariánsok

n darab n-változós P1, ...,Pn∈C [x1, ..., xn] polinom olyanrendszere, hogy PA

1 (x1, ..., xn)...

PAn (x1, ..., xn)

= A

P1(x1, ..., xn)...

Pn(x1, ..., xn)

Triviális kovariáns: Pi = xi .

Kovariánsok összege is kovariáns, és kovariáns szorzatainvariánssal szintén ⇒ kovariánsok modulust alkotnak azinvariánsgyűrű felett.

Kovariánsok kompozíciója is kovariáns, és invariánskompozíciója kovariánssal egy új invariáns.


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Fundamentális invariánsok

Invariáns polinomok olyan halmaza, hogy minden invariánselőáll ezek polinomiális kifejezéseként (választhatók homogénpolinomoknak).

Bázis-tétel (Hilbert)

Véges (reduktív, stb.) komplex mátrixcsoportra létezikfundamentális invariánsok véges halmaza.

Véges G mátrixcsoport esetén létezik fundamentálisinvariánsoknak olyan rendszere, amelynek egyetlen tagjánakfoka sem haladja meg G rendjét (Noether tétele).


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Ha I1, ..., Ir jelöli a fundamentális invariánsokat, akkor minden finvariáns polinom előáll

f (x1, ..., xn) = Pf (I1, ..., Ir )

alakban, ahol Pf ∈C[x1, ..., xr ], de általában Pf nemegyértelmű!

Syzygyk: olyan Q∈C[x1, ..., xr ] polinomok, hogy

Q(I1, ..., Ir ) = 0

azonosan teljesűl.

Syzygy-tétel (Hilbert)

Legfeljebb n-edrendű syzygyk fordulhatnak elő.


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

A Hilbert–Poincaré-sor

HG(z) =∞∑

k=0hkzk

hk a lineárisan független k-adfokú homogén invariánsok száma.

Véges (reduktív, stb.) mátrixcsoportokra mindig racionálistörtkifejezés (polinomok hányadosa).

Ha d1, ..., dr jelöli a (homogén) fundamentális invariánsokfokszámait, akkor

HG(z) =P(z)

(1− zd1) (1− zd2) · · · (1− zdn )

ahol P(z) egy egész együtthatós polinom (syzygyket jellemzi).


Newton-formulák

Invariánspolinomok


Syzygyk

Molien-képlet

Πn Hilbert–Poincaré-sora

1(1− z) (1− z2) · · · (1− zn)

= 1 + z + 2z2 + 3z3 + . . .

Molien-formula

HG(z) =1|G |

∑g∈G

1det(1− zg)

Alapfogalmak

Direkt összegéstenzorszorzat

Reducibilitás

Karakterek

Definíció

A G csoport egy ábrázolása a V lineáris téren nem más, mintegy D :G→GL(V ) homomorfizmus.

Ábrázolás dimenziója = dimV .Ábrázolás alapteste = V skalárjainak teste (C, néha R).

Egy bázist választva V -ben, az egyes D(g) ábrázolásioperátorok mátrixukkal jellemezhetők (mátrixábrázolás).

D1 :G→GL(V1) és D2 :G→GL(V2) ábrázolások ekvivalensek,ha létezik invertálható A : V1→V2 lineáris leképezés, hogyminden g ∈G-re

AD1(g) = D2(g) A

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

PéldákD :D3→GL2(R) a háromszög szimmetriacsoportjának hatása akétdimenziós valós síkon (lásd első fejezet).

D(1) =

(1 00 1

)

D(σ1) =

(−1 00 1

)

D(C) =

(−1

2 −√32√

32 −1

2

)

Egységábrázolás

G tetszőleges, dimV =1, és minden g ∈G-re D(g)=1.

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

D1 :G→GL(V1) és D2 :G→GL(V2) ábrázolások

direkt összege

D1 ⊕ D2 :G→GL(V1 ⊕ V2)

g 7→ D1(g)⊕ D2(g)

tenzorszorzata

D1 ⊗ D2 :G→GL(V1 ⊗ V2)

g 7→ D1(g)⊗ D2(g)

dim(D1⊕D2)=dimD1+dimD2 és dim(D1⊗D2)=dimD1 dimD2

Ábrázolások ekvivalenciosztályai ezzel a két – kommutatív ésasszociatív – művelettel alkotják a fúziós gyűrűt.

D1 ⊗ (D2 ⊕ D3) = (D1 ⊗ D2)⊕ (D1 ⊗ D3)

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

W ⊂V invariáns altere a D :G→GL(V ) ábrázolásnak, haminden g ∈G-re D(g)W ⊂W (zérus altér és maga V triviálisanmindig invariáns). Egy ábrázolás reducibilis, ha léteziknemtriviális invariáns altere, ellenkező esetben irreducibilis.

Schur-lemma

Egy D :G→GL(V ) irreducibilis ábrázolás minden D(g)ábrázolási operátorával kommutáló A :V→V operátor azegységoperátor skalárszorosa.

Maschke tétele

A komplex számtest felett egy véges csoport minden ábrázolásafelbontható irreducibilisek direkt összegére, a sorrendtőleltekintve egyértelműen.

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

Burnside-tétel

Egy véges csoportnak csak véges sok irreducibilis ábrázolásavan (ekvivalencia erejéig), és ezek dimenzióinak négyzetösszegeegyenlő a csoport rendjével.

Abel-csoport esetén minden irreducibilis ábrázolásegydimenziós!

Irreducibilis dekompozíció: D =⊕

i niDi .

Fúziós szabályok: Di ⊗ Dj =⊕

k Nkĳ Dk .

Elágazási szabályok: (Di ) H =⊕

α Bαi Eα, ahol Eα jelöli a

H<G részcsoport irreducibilis ábrázolásait.

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

Ábrázolás karaktere

χD :G→ Cg 7→ Tr D(g)

Véges csoport két ábrázolása akkor és csak akkor ekvivalens, hakaraktereik megegyeznek!

Karakter additív és multiplikatív

χD1⊕D2 = χD1 + χD2 és χD1⊗D2 = χD1χD2

és χD(1) = dimD pozitív egész.

Karakter osztályfüggvény, azaz minden g , h∈G-re

χD(h-1gh

)= χD(g)

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

Ortogonalitási relációk

1|G |

∑g∈G

χi (g)χj(g) = δĳ

Irreducibilis dekompozíció: ha D =⊕

i niDi , akkorχD =

∑i niχi és

ni =1|G |

∑g∈G

χD(g)χi (g)

Fúziós szabályok: ha Di ⊗ Dj =⊕

k Nkĳ Dk , akkor

χi (g)χj(g) =∑

k Nkĳ χk(g), és

Nkĳ =

1|G |

∑g∈G

χi (g)χj(g)χk(g)

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

A D3 csoport

Karaktertábla

D3 {1} {σ1, σ2, σ3}{

C ,C2}

1 1 1 11∗ 1 -1 12 2 0 -1

Fúziós szabályok

⊗ 1 1∗ 21 1 1∗ 21∗ 1∗ 1 22 2 2 1⊕ 1∗ ⊕ 2

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

A Frobenius–Schur-indikátor

Valós ábrázolás: megfelelő bázisban minden mátrixelem valós.

Szükséges feltétel: karakter minden értéke valós.

Nem elégséges ⇒ pszeudo-valós ábrázolások.

Irreducibilis ábrázolásokra az indikátor

νi =1|G |

∑g∈G

χi(g2)

=

+1 valós0 komplex−1 pszeudo-valós

Alapfogalmak


Reducibilitás

Karakterek

Pontryagin-dualitás

Egydimenziós ábrázolások tenzorszorzata is egydimenziós ⇒kommutatív csoportot alkotnak a tenzorszorzásra nézve!

Abel-csoport egy ábrázolása irreduciblis ⇔ egydimenziós.

Pontryagin-duális: irreducibilis ábrázolások csoportja.

Minden véges Abel-csoport izomorf a Pontryagin-duálisával!

Végtelen Abel-csoportokra kompakt diszkrét.

a természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk...

Documents