a tabu search heuristic for the generalized assignment problem

17
Theory and Methodology A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem Juan A. D õaz 1 , Elena Fern andez * Dpt. d'Estad õstica i Investigaci o Operativa, Universitat Polit ecnica de Catalunya, Pau Gargallo 5, 08028 Barcelona, Spain Received 18 August 1998; accepted 20 March 2000 Abstract This paper considers the generalized assignment problem GAP). It is a well-known NP-hard combinatorial opti- mization problem that is interesting in itself and also appears as a subproblem in other problems of practical impor- tance. A Tabu search heuristic for the GAP is proposed. The algorithm uses recent and medium-term memory to dynamically adjust the weight of the penalty incurred for violating feasibility. The most distinctive features of the proposed algorithm are its simplicity and its ¯exibility. These two characteristics result in an algorithm that, compared to other well-known heuristic procedures, provides good quality solutions in competitive computational times. Com- putational experiments have been performed in order to evaluate the behavior of the proposed algorithm. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Generalized assignment problem; Metaheuristics; Tabu search; Local search 1. Introduction The generalized assignment problem GAP) is a well-known NP-hard combinatorial optimization problem. It considers a situation in which n jobs have to be processed by m agents. The agents have a capacity expressed in terms of a resource which is consumed by job processing. The decision maker seeks the minimum cost assignment of jobs to agents such that each job is assigned to exactly one agent subject to the agents' available capacity. Assignment of jobs to computers in a computer network, storage space allocation, design of com- munication networks with node capacity con- straints, scheduling variable-length television commercials into time slots, etc., are examples of practical applications for the GAP. It also appears as a subproblem in many real-life problems such as vehicle routing, plant location, ¯exible manufac- turing systems and resource scheduling. In this paper, we propose a Tabu search algo- rithm for the GAP. Two distinctive features of this algorithm have to be remarked: its simplicity and ¯exibility. These two characteristics result in an algorithm that provides good quality solutions European Journal of Operational Research 132 2001) 22±38 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. Tel.: +34-93-4016948; fax: +34-93- 4015855. E-mail addresses: [email protected] J.A. D õaz), ele- [email protected] E. Fern andez). 1 Partially supported by grant 110598/110666 from Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog õa CONACYT), M exico. 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 1 0 8 - 9

Upload: juan-a-diaz

Post on 04-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

������ �� ������� �

� ���� ������ ��������� ��� ��� ��������� ���� ����� �������

���� �� ����� �� ����� ���������

���� ����������� � ����������� �������� ���������� ����������� �� ������� �� ������ �� ��� � !������� "���

!����"� �# �� ��� �$$#% ������� &' ���� &'''

��������

���� ����� �������� ��� ��������� ���� ����� ������� ()�*+� ,� �� � -���./��-� #�$%�� ������������� ����.

�������� ������� ���� �� ���������� �� ������ �� ���� ������� �� � ���������� �� ����� �������� �� ��������� �����.

������ � ���� ������ ��������� ��� ��� )�* �� �������� ��� �� ������ ���� ������ �� �����.���� ������ ��

���������� �0��� ��� -�� �� �� ��� ������� ������� ��� "������� ������������ ��� ���� ��������"� �������� �� ���

������� �� ������ ��� ��� ���������� �� ��� 1�2�������� ����� �-� ��������������� ������ �� �� �� ������ ����� �������

�� ����� -���./��-� ��������� ���������� ���"��� �� 3������ ��������� �� ���������"� ������������� ������ 4��.

���������� �2��������� ��"� ���� �������� �� ���� �� �"������ ��� ����"��� �� ��� ������� �� ������� � &''�

����"��� 5������ 6�7� ��� �� ��� �����"��

&��'����( )��������� ���� ����� �������% �������������% ���� ������% 8���� ������

� ���� ������

��� ��������� ���� ����� ������� ()�*+ �� �-���./��-� 9*.��� ������������� �������������������� ,� �������� � ��������� �� -���� � 0�����"� �� �� �������� �� ) � ����� ��� � ���� ��"�� �������� �2������ �� ����� �� � �������� -���� ��������� �� 0�� ��������� � ��� ������� ��/�����/� ��� ������� ���� ���� ����� �� 0��� ��

� ���� ���� ���� ���� 0�� �� ���� �� �� �2����� ���� ��� ���0��� �� ��� � ����: �"������� ������������� ����� �� 0��� �� ��������� �� � �����������-��/� ����� � ����� ����������� ��� � �� ���.���������� ���-��/� -��� ��� �������� ���.��������� �������� "�������.��� �� ����"���������������� ���� ���� ������ ����� ��� �2������ ����������� ������������ ��� ��� )�*� ,� ���� ��������� � ���������� �� ���� ����.���� �������� ���� ��"������ ������ � ����� ��������� 1�2���� �������.����� ������� �� �������� �������� �

,� ���� ������ -� ������� � ���� ������ �� �.����� ��� ��� )�*� �-� ��������"� �������� �� ������ ������ ��"� �� �� �����/�; ��� ���������� ��1�2�������� ����� �-� ��������������� ������ �� ���� ������ ���� ���"��� �� 3������ ���������

�������� ������� �� <���������� !������� �=& (&''�+ &&>=#---�����"�������?������?�-

4���������� ������� ����; @=A.$=.A'�B$A#% ��2; @=A.$=.

A'�C#CC�

�$)�� ��������( 0����D���������� (���� �����+� ���.

��D���������� (�� ���������+�� *�������� �������� �� ���� ��'C$#?��'BBB ���� 4����0�

9������� � 4������ � ������� ��� (4<9�4E�+� ��2����

'=FF.&&�F?'�?G . ��� ����� ������ � &''� ����"��� 5������ 6�7� ��� �� ��� �����"��

*,,; 5 ' = F F . & & � F ( ' ' + ' ' � ' # . $

Page 2: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

���� ��� ���������"� -��� ����� -���./��-� ���.������ ����������

��� 1�2������� �� ������� ���� �-� �������; ������� �� ����������� ������ ���� ������� ���� ��.��-�� ��� ������ �� �2����� ��� ���������� ����.�����: ����� �� �� �����"��� ���H� ��0����"���������� ����� ��� ������� ��� ���������: ����� ������� � �� ������ ��������� ���������� �������������� �"�� ��� ������ � �� ��� ��"�� �� 1�2��������� ���� �������� ���������� ���� �����-��� -������ ��"� ���� ��������� ��� �� ������ �� ���.�����"��� ������� ��� ��������?���������� ������������ ������ � ��� ������ ���� ��� ��� ��� )�*�� ����� ������� (��� I�B�&C>&FJ+� �� �2����������� ��� ��� �K������ �� ���� �� ��� �������� ���������� �� 3��������"��� �������� �� ������ ������� �� ��� ��������� �� � ������ ��� ����������������� ��� �3����� ������ ���� ������� ��.������� ��� � ��� �� 1�2������� �� ��� ���������

<�� �� ������ �������� � ���H� ��0����"��������� ���� ������� � ������� ���� ���������-��� ���������� ���������� ��� -�� �� �"�� �� ����������� �� ���������� ����� ������� �� ���������� �� ��� ������� � ������� ��� ��� ����������� ����������� �� E� ���� �� ��� I&CJ�-���� ��� ������ ��������� �� ���� �0���� ����.��������� ������� �� ��� ������ �� ��� ���"�������������� L�-�"��� �� ��� �������� ��� ���H���0����"� �������� ����� � ������� ���� ����� �� �� ���������� ���� ������ ��/�� ���� �� ���� ���������� ���� �� �����"� �� ���� � ����������� ���������.���� �� �����.���� ������ ��� �.0����� ��� ������� -�� ��� ��� ����������� ������� �-� ������ ���������� ������� �� �� ��.0����"� �������� ���� �� ������������ ������ �������� ��� ��� � �� ��� ������� ���� �� �� ����� ���� -������"� �� ���������� ������ ������������ ��������� ���� -���� ��� �� �2����� ������2 ��� �.������ ����������� -������ �� ��� ���� ��� �� �"��� ������ ������� �� ������ �������� �����.����� �� ����� ��� ��0����"� �������� ���� ������� ������ ��������

��� ����������� �� ��� ������� �� ������������� ��� ��"�� �� ������ �� ������2 ��� �.������ ����������� ����� �� ��� ����� ��� �� ��.������� �K��� �� ��� �"����� ���� �� ��� ������������� �� ������������ ���� -��� ��� ��� ����������������� ���� ��� �2����� (��� ��������� ����� ��

�-�� ��� ��������+ �� -��� ��� ��� .���������� ��������� �������� -���� �� ��� ����(��� ���� ������: ���3�����+ ���� ��� ��� �������.H������ �� �"����H������ �������

��� ������ �� �� �� ������ -���� ��� ������������ � �� ���� �� (�+ �2������ ��� � ����� �� ������������� ���������: ����� �� (�+ ���������������� ��� ��0����"� �������� �� ��� ��� � �� ����������

��� ������� �� ������ ��� ���� ����� ���K����� ���� �� �������� �������� �"������� ��6������ <!.������� (%���(**)��)��)������+*,�-*����-*����.��%�)�+ �� �� E� ���� ������� (%���(**'''$���)����+����$����,�*�����*��+� ,� ������� ���� ������� �� ����� -���./��-� �2����� ������ ������� �� ����� ������� ��IF��B�&��&C�&FJ�

��� ������� ���"� ���� ��� ����������� �� ����� ������ �� �����/���� ����� �� ������� �� �.3������ ��������� �� ����� ������������� ������

���� ����� �� �� ����� �� �����-�; �� 5������ &� ���� ��� ��� )�* �� �"�� �� � ����2�����!)�* ���� -��� �� ��� ����� ���� ��� ����� ����������� 5������ =� ��"��-� �������� ������ ������ )�* ���� �� ��� ����������� ��� ���� ��������������� ��� ��� )�* �� �2������ �� ����� ��5������ A; ��� ������� ����������� ��� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ������ ������������ ��� ������ �� ���� �������� 5������ A ������������ ��� ��������� ��� ���������� �0����� ��� ������� ���������� ,� 5������ C� �������.������ ������� ��� �������� �� ��� ���������� ������� �� ����� �2����� �� �������� ��.������ 5������ B ������� ���� ����������� �������/��

� ��� �� ��

8�� � � ��� � � � ��� �� ��� ��� �� � ���� ��� � ��� � � � � �� ��� ��� �� 0���� � ������ ���� ����� ������ ����������� ��� ��� )�* �� ��� ���.��-�� ;

�)�*� ��� � �����

���

���� ���

����

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� &=

Page 3: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

����

�� � � � � � � �&����

���� � � �� � � � �=�

�� � �'� �� �� � � � � � � �A�-���� � �� ��� ���� ����� ���� �� 0�� , �� � ��� ���� ��� �������� ��3���� ��� ��������� 0�� , ��� ��� �� �� � �� ��� �"������� �������� �� � ��� ���������� "�������� �� ��� ��� �� � �� 0�� , �� ���� ���� � ��� �� ' �����-���� 4���������� (&+� �� �����-��� ��� ���� ������ ��������� �� ��� "�������������� ���� ���� 0�� �� ���� �� �� �2����� ��� � ����4���������� (=+ ������ ���� ��� �������� �"�������.����� �� � ���� ��� ��� �2�����

,� ��� ��������� ��� ���� ����� ����� ��"����� �2������ �� ����� �� ����� ���� ���� �����

�� � � � ����

-���� ��� � ����� � � � �� �� ��� ���� �� ������� ���� ����� ��� 0�� ,� �� ��� �� ���������� ����� ������"� ���� ����� ���� �� 0�� , �� � ��� � -���������� �� ��� ���� ���� ����� ����� ��� ��� �� �����:� ����-� ���� ����������� ��� ����� -����0��� ��"� �� �� ���� �� �� � �"�� � ���� ������.������ -��� ��� ���� ����� ����� ��"� �K�������� �� ��� ��� "������ 0���� ����� ��� ��0����"��������� ��� �� ��-������ ��

��� � � � �������

���

����

� ��

-���� � � ��� ���� ���������� � H2� ���� �.

���� ���� -���� ��� �� �� �������� 5���� & ���������� -� ��� ����"� �� ���� (�+ �� ���������� �����-�� �3��"����� ��0����"� ��������;

��� � �����

���

����� �� �

����� ���� ��� ������ -� ������� � ����2� ���.�������� ��� ��� )�* �� -���� ��� �������� ���.�������� (=+ ��� ����� �� � ������� ���� ���� �� ��� ��0����"� ��������;

�!)�*� ��� � �����

���

���� � � ���

����

�� � � � � � � �&�

�� � �'� �� � � � � �� � � � �A�

��� ���� � �� ��� ��0����"� �������� �"������� ���������������� �� ��� ��������� �� !)�*� -��� ��.����� �� ����������� (=+ �� )�*� ,� ��/�� ��� ����

� � �����

���

-���� �� � ��2���� ���� � �� '� �������� ��������� �� -���� ��� �������� �� � ��� � �� "�������� � �"�� ��������� ��� ��������� � �� � ��������������

��� ������� ��� ��������� !)�* ��� ��2��2������� ,� ��� ����������� �� ��� )�* ���.�������� (=+ ��� M�N����: ��� �������� ���� ��� ������� �� ���H��� ��� ���� ������ ����� �������������� ���H�� �������� ��������� �� � ������ �����-�� ���� O��� �2������ ��� ��� ����� �� � �"���������� �� � ��������� ���� ������ ���������� ��� ������ �� �������� ��������� ���� ������ ��"������ �� ������� "��� ��- ����� ���������� ������ ��� ������� �� ��������� "��� 3���/��� ����� -�����- 3������ ���������� <� ��� ����� ���� ����-�� ���� "�������� �� ����������� ��� �-� �"���� ��;H���� �� ������� ��� �2������� �� ��"�� ���� ��� ����������2 ���� �� �� �����-��� �� ��3����� 5��.��� �� �"�� ��� ������ � �� ��� ��"�� �� 1�2��������� ���� ��� �� ����� �� ��� ���������: ����� ����� �2������ ��� �"������ ���� ����������� ��� ��������� �� ��������� ����� � � ������� ���� ����� ��0����"� ��������� 7�������� �� ����������� ������-� �� ��"���� ������ -��/� ��� ��� )�* ��/���� ���� ������ �������� �������� �� I�BJ� ���7�5 ������� �� E� ���� �� ��� I&FJ� ��� 7�5-��� �������� ������ �������� �� I&BJ �� ����0������ ����� �������� ������� �� I&CJ� L�-.�"��� ����� ����������� ���� ��� �� ��� �-� �����2�������- ��� ���� � ������ ��������� ����� �� ���������� ���� ��� ������ ���� �� ��������� 9�����;���� �������� ��������� �� !)�*� �������� ����.����� �� )�* (����� ���� ���H�� ����������� (=++ �����-��� ��������� ���� �� �� ��������� �K������-��� ������� �� ��� ��������� O� ������� ����������� ��������� �� !)�* �3����� ��������"� ��

&A /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 4: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

����� �� ����� ���������� ���� �� ������� �2�������� 5������ A�&�

� ������ ����

,� ���� �������� -� ������� � ����� ��"��- ���������� ������ ���� �� ���������� ��� )�*� ������������"� ��������� �� ����� ������ ��� ������ �� IBJ �� �� I&�J�

�2��� ������ ��� ��� )�* �K�� ���� ��������� �� ��� -�� ��� ��-�� ����� ��� ������������� ����� ��� ���"� ���� ����2������ �� ������� ����� ����������� (����������� (&++� ���/������/ ����������� (����������� (=++ �� ��� ��.�� ������ ��������� �� ��� "�������� (�����������(A++� 5�� I=��#�&'�&&>&AJ�

8�� �.���� ��������� �� ��� )�* ��"� �������/�� �� ����� �� �����2����� ������ ������2��� ������ ��"� ���� ���"� �� �� �K����"� ��������.���� ��������� -���� ��� �������� ���.�������� ��� ������ ��K����� 8� ��� ��� ����2.������ ��"� ���� ������� �� I&�$��=>�C��FJ�

<���� ����� �� ��������� ������ ������ �����"��� �� 3������ �������� ��������� ��� ������ �� ��� ���������� ��� ��� )�*�

������� �� ���� I�$J ������� � �-� �������������� ����� �L� ,� ��� H��� ����� �� ��������������� �� ���������� ���� � ���� �������� ��������� ��� M�����������: �� ���� ��� 0�� , ��� ��� �� ,� ��� ����� ����� ��� ������� �������� �������"� ���� � ������ ����� �2���� � ���������

4�������� IAJ �������� � ��������� ���� �����.������� � "������� �������� �������� �� ���� ������� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���������������� �� ���� �� ��� ������ �� "��� ��.�3�������� (������+ �� ��� /������/ ��������� ��.������� �� ��� �������� ������������ ,� ���������"�� ��� 8* ����2����� �� ��� )�*� ����� "��.���� "��� ���3�������� ��� ���� /������/ ���.������� ��� �����H� �� �� �� ��� ���������������� ������� ��������� ����� �� ������� "��� ��.�3�������� ��� �� �������� <��� ��� ������������ H������� ��� "�������� -��� "���� � ��� H2��� ��� �������� �� ���� � ��� �0����� ,� � ���.�� ����� 5������� �������� �� ������ �� ���"���� ����� ��������

����� �� !���� I�J �"����� � 7������������ 5����� L�������� (7�5L+ ��� ��� )�*��-� ������ ��� ��������� ,� ��� H��� ������ ��������� �������� �� ��� 8* ��-�� ���� ��� ��.������ � �����.����� �������"� ��H������ ���.����� �� �������� �� ��� ����� ������ ������������� ��"�� �� � 0�� ���� ��� � ��� �� ����������� �� �������� �-�� ��"�� ���-��� 0��� ��.�� �� �� �K����� � ���� ��� �������� ���� �����H������ ���������

����/ I&AJ �������� � ��������� �������� ������ ��� ������ ��� ������ ����2����� �� ��� )�*�,� �� �� �������"� ����� -���� �������� �� ����������� ,� ��� H��� ���� ��� M�������: "�������� �������"� (� "������� �� �������� ������� ���� � �+� ,� ��� ����� ���� ��� 8*.����2����� �����"�� ����� ��� ���� ���� ��� "�������� -���"���� � ��� H2�� O��� ��� 8* ���� ���������H������� �� �����"����� ����� ���� �������� ���-����� ����� �� 0��� �� �������

4�������� �� ��� ICJ ����������� ��� )�* �� � �������������� �������� � ��������� �������� ������ ���� ������������� �� �������� ���� ���������������� � �������� ���� ����� ������� �� 0��� ���� � ���� ��� ���� � ���� ������� ��� ����������"�� � /������/ ������� �� -���� ��� ���N.������ ��� ������� ���� ��� "����� �� ��� "���.����� �� ��� 8*.����2������ 5���� ���� ������� ��� �������� � ��� ������ �������� �� ��� �������� ��� ��� "��������� ����� � ��� ������������������ �������� �� ������ �� �����"� �����-�� ����� L�������� ��������� ��� �� ���� ������������ ���� ��� ��� ������ �������������� �� ������ ���� ��� ������� ��������

<���� I&�J �������� � ����� ��������� 5�?�5-���� �������� 5������� �������� �� ����������� ,� ���� � �. ��������� ��������� -������������ ��- � �������� ��� �� ������ �� �������������� ��� ���� ��������� ��� 5�?�5 �� �������� ����� ����� ������� �� �������� ��� ���.��������� ����������� ������ � �� ���� ������ -������ ��������� �������� ����������� ���� ���.��������� ������ ������ �� ��� -����� ��������-��/ �� ��������� �������� �� ����� �������� �� ����������� ����"��� �� ��� �����������"������ ���� � ���� ������ �� ������ �� ���������� ��� )�*� 6���� ��� ����� 5�?�5 �� ������� ������ �� ������� ��� � ���3�����.����

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� &C

Page 5: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

������ ���� ������ ����������� ��� ��� �"��.��H������ ���������

� ������ �� ������ ()�+ ��� ��� )�* �� ���.���� �� 6������ �� 4�� �� IFJ� ,����� �� ���� ������� �������������� ��� ��� ���������� ���� ��� ��.���������� "����� �� ���� �� ��������� �� ��� ��� � ����� ���� �� ��������� ������� ��� � ��� ��-���� ���� 0�� �� ���� ��� �������>��H����� �����"��������� ��� ��� �� ��� -��� ����� �������� ������������ ���������� ����� ���� ���� ���������� ������"�� ���������� � �-�.����� ��������������"����� �������� �� ���� ���; �� ��� H�������� ���� �������� ����� �� ����"�� ����������� �������� ��� ��H����� ������ ��� ����� ���������� �� �����"� ��� ���� (H�����+ �� ��� ��������-������ ������� "������� ��� �������� ������������

8� ��� �� ��� I�BJ �������� � ���� ������ ��. ������ ��� ��� �������"�� ���� ����� �������)�* ���� �� �0������ ������� )�* �K������� )�* �� ���� � ���� ��� ������� ���/� ���K����� �N������ ��"���� �� �0������ ����� �� ������� ��� ������� ������������ ���� ���.����� ��� ��� �������� �� ������ ��"�� �� ���������� ������2 �� ��-����� ��"��� ������� �.����� ���� ����� �� � ��� .���� ������ ���.������ ��� ��� -����� ��� �����-��/ �� ����������� ���� � ������ �� ����������� ������ ��������-� �������� ����� �� ����� ��� ��������>���.�������� ������� �� ����

E� ���� �� ��� I&FJ ��"� �������� � 7������������ 5����� �� ������ 7�5 ��� ��� )�*� ��������������� �� �����"� ��� �� ���H� ����� ���-�� ��� �������� -���� ���� ��"�� ��� ���.���� �� ���� �� �"�� ������ � ��� ����� ��������-� ��� ������ �� "���� ���������� ���������������� ��� ��0����"� �������� �� �������� ���"������ �������� �� ��� � ����� ,� E� ���� �� ���I&BJ� � �������� ������ ��������� �� ��������� ������ �������� ��� ����������� �� ���� �� ��.���"� ��� ����������� �� ��� 7�5 �� ������ I&FJ�

5������������� �� ��� -��/� E� ���� �� ��� I&CJ��"� ������� � ���� ������ �� ������ -�����0������ ������ ��� ��� �� ������ ���� ������2�� ��-����� ��"��� ��� �� ������ ��������� �������� ���-��� "����� �� �������� �� ������������ ���� ���� �� ��������� ��������� ��� �.0����� ��� ��������� ���� -�� ��� ��� ������� ������ ��� ��0����"� ���������

� ���� ������

,� ���� �������� -� ������� ��� ������������ ��� ���� ������ �� ������ ��� ��� )�*������� ��� �������� �������������� �� ��������5����� ��� ��� ������� ���������� �� �������������� ��"�� ��� ��������� ����� � ������ ������������� ������ ���� ������� ��� ������ ����������� ���-��� �������� �� ���������� ����.����� �� �2������� �������� ��� ����������������� ��� �����.���� ������ �� ��� ���3�����.���� ������ ���������� �� ��� �� ������ ����������

���� ������� �������� �� )��"�� I��J ��I�&J� �2������ � ���������� �� ���������� ��� �����.�� ��� ������� ���"�� � ,� ����; (�+ 1�2���������� ����������% (�+ �� ��������� ����������� �������� �� �� ��� ���� -��� ��� ����������������� �� �H�� ���� ������������ �� ����.������ �������� �� (�+ ������ �� ���������� ��.��������� ��� �K����� ���� ����� ���� ��������� ��� �� ������ ��� ��� �������H������ ���"����H������ �� ��� ������ �������� ,�� ��-�� ������ �� ��� ��� �� �����"� ������ -���� ����� ��� ���� ��� ������ ������� �� �"����������� ���������� �� �� ������ ����.������� ��.�������� ��� ��� �� �����.���� ������ ������.����� � ���� �� � �����"� ������ ���� ����� ����/� �� ��"�� ���0��� �� ��� ����������������� �� ���� ������������� ���� ��������������� ��� �� ���"��� ������ �� ���������� �����.��� �H�� ����� �� � ���� ���� ������������ ����������� ���������� ,������H������ �� �"����H.������ ������ ��� ��� ������� �� ����� �� ��� .���� ������� ,������H������ ������ ��� �2������������� ������������ ���� �������� -���� �"��.��H������ ������ ��� ������� � ��� ������ �� �2.����� ��"����� �� �����

9�4� "��������

� �������� � ��� ���� )�* �� !)�* �� ���.������� -��� � "����� �� � ��������� -���� ��� +����������� �� ��� � ��� �� -���� 0�� + �� ���� �������

�� ���� � � � ����� -���� � � � � � � ��� �� � ��

&B /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 6: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

9� � #���%-��%��� ���������� �� ��������� )��%$���)

)�"�� ��� ��� " �� �������� ��������� ��� �������������� �������� � ��� ������� ����������H���� ��� ���� �������� � � �� � ��� �� � ����������� ���� �� ���� ����� ��� M�����: �� �� O���"� �������� �-� ������ ��������� ��� �����������������; ����� �� �-��� )�"�� � �������� �� �������� ��� �������� ������� �� �H�� �� �� ��� ��� ����������� ���� ��� �� ������� �� ������ ��� ���0�� ���� ��� � ��� �� ������� (��� �� � �+�

��������� � ����� � � � � �

����� � � ���� �

� �� �� �

� � � � �� ���

��� �-�� ��� �������� ��-��� �� ��� ��� �� ����.����� ���� ��� �� ������� �� ��������� �� ������� ������ �� �-� 0���� ��� ������ ���� �� ���K����� � ���� (��� �� � &+�

��-����� � ����� � � � � �

������ & � � � �� �� �& �

���� ��� �& � �

&� �� � �

� � � �� �� &��

,� �� ��������� �� ���� ���� ���� -��� ���� �-����"�� ��� ��� ��� ��������� ��"� � ������� �����.����� ,� ����������� ��������� ��"� � H2� �������� 0��� ���� �� �� ���� � ���� <� ��� ����� ��������� ��"�� ��� ���� ���������"� �� ����� �� �����.������� ��� ����� ������� -� ��"� ���� � ������ � ��-�� �� ��� ������� ��������� -������ � ���� 1�2���� �������

� ��� ���� ��������� ��������� �� � ��� ������� ��� �������� � �������� ���� � �"�� ��� �.������� ��� �����-�� ����� �H�� ��� ������������������ ��� �� ��� ���� ������ ����������.����;� �"�� �� ������ � ��-�� ���� ��� ��� ����.����"�

��� �������� ����������� ��� ��� ������� ���� ����� � � ���� � � � � ����

0��� ��� �������� �� �������� "����� �� ���� ��� � �"�� 0�� ,� ����� �� �-�� ��"�� ���

�� � &� 5-�� ��� ��������

�� � �� 5���� ��� ��������

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� &F

Page 7: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

�"������ �� ��� ���� ��������� ��"� -��� ��.����� �� ��0����"� �������� ��� �� ��������� ����� 0���

� ��� ������� ��������� ��������� ����� �� ������� ��������� ��"� ��� ��� 0�� ���� �������������"�� ��� ��0����"� �������� "���� ���� ������ ���������� ��� ������� ��"�� ��� �� ����.����

� <����-���� �� ��� ��� 0��� ��"� ���� ����������� ���� �� ��� ��������� ��"�� �����"� ��0��.��"� �������� ���� ��� ��������� ��"� -��� �����-��� ��������� �� ������� �� ���������

9� �4� 3�)�+�(�+ 9��� ���� ����� ��� �������� ��� ����.

��� �� ��� ��������� ������ ��� �2������� �������,� �� ���������� �� ���� ���� ����� ��� ������ �� H��������"�� � �� ���� ����� ���� � ������� �2����������� ������� ��"�� �� �������� �� ���� ����������,� �� �� ��� �������� �� H� �� �����"�� ��"�-��� ������� �� ��0����"� �������� ��� ������ ���0��� ��"� ���� ���������

(&+ �� ������ ��������� ���� ��� ���"������� �� ��� ������ �� ��� �� ��� ��0����"��������� ��� �� �� �������� �� �"�� �� ������������� ��� �������� ��� ��� )�*� ���� ��� ��� ���.��� �� 8� ��� �� ��� I�BJ� -���� ��� ������ � �� ��������� �� ��� ��-��� ����������� ����� � �3��������"� ��������� -���� ��/�� ������ ����������������� �� ���� ������ 9������ ��� ���� �������� E� ���� �� ��� I&FJ� -���� ��� ������ ������ ����� �� ���� ���� ���� ����������� �� �������� ,�E� ���� �� ��� I&CJ ��� �0������ ����� ��"�� � ���������� ��������� ���� �������� �������������� ���������� ������ � ���� ���� ��� ������ ��-��� ���.���������

(=+ ,� ��� ���� �� �����"� ���� -��� ��� ���"���������� ������ �� �������� �� �"�� �� ����� ��"��-��� ������� �� �-�� ��"�� �� "��� "����� <������� ��� ������� ���� ��/�� ���� �� ���� ��������� �� ��� ���H� ��0����"� �������� ���� ��������-� ��� ��������� ������� �� ��� "������ �����.����� �� ���� � ����� ��������� �� �� ��"� �K��.��� ������� �� 0��� ���� �� �� ���� � ���� �� � ���� �2���� ���� ��� ��� ������ �� I&FJ -���� ����� ���� ������2 ��� ������� ��������� �������� �� ������ � ��-��� ,� ���� -��/� �� ���� �"������������ � ����� ��"� �� ����� �� ���� ����

�-�� ��"�� ��� �������� ����� ����������� �� ��.��"����

9�5� "������� ����������

�� �������� ���"������� ��� ��0����"� ����������� �� ��� ����2� ����������� !)�* ������� �������� �� �"������ ��� "�������� �� ��� � ����:�������� ����������� ��� ��� �K����� ��������� ��!)�*� ���� ������� ���� �� �� ��� ����

� � �����

���

-���� � �� � ������� ���������� 5���� ��� "���� ��� �� ���� ��� �������� ��������� �� ��� )�*� ��0��.��"� �������� ��� �� !)�* ���"��� ��� ��� �����"�������� ��� ��� ���� ��������� �� � ���H��"������� ��� ���������� ���������� ���� ���H��"�������� �� ����� -��� ��� (���"������ �������+����� �� ��"����� ��� ��� ������ ��-��� �������� �� ����������� -��� ����� -��� ������������ �-�� ���� ���� ������ ���������� �������.�� ��0����"� �������� ��� ������� ��� �� ������ ����"� � ������ �� ����������� ����"��� ���� ����������������� ���-��� �������� �� ���������� ����.������

,� ���� �����2�� ��� -�� �� ���� �� �� ��� ���.�������� "�������� �������� �� ����� � ������� ���� ��������� ��� ������� -��� �� �3��������� ���� ���.���� ���������� ���-��� ����������� �� 1�2��������,� ��� �� ������ ���� �� ��� ���������� ��.����� �� ��� �2��������

� �� � � � ������������������� ��

-���� ������ �� ��� ������ �� ���������� ����������� )�* ������� ���� ��� ���� ����� ������������ �� � �� � ��������� ���� "����� �� �2����������� �� ���� ��������

��� ���"� �2�������� ��� �� ���������� ������� �� ������������ � �������.���� �������������� �� � �����.���� ������ ��� �� ������� ��������� � �� ��� ������� ��� � �� ��� �������

��� ��������� ����� ��� �2�������� ���� -� ����� ��� �����-�� ; ��� ������ ������ � �� ��� �� �.����� ������ �� ��� ���������� �� � -��� �2�����.���� �� ��� ���������� ���������: ������ ��� ����

&# /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 8: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

������� -� ������� ���� "��������� �� ��� "���� ���� ������ � ���������� ����� �� �������� "������������ ���� ������� ��� ������ �� ������� ��.����� �� � ������� ��������� ��� � ������ �� ����.������� ,� ����� -���� �� ����-� ��� ����� ����������"� ��������� �� �� ������� -��� ������� ������ ������ ������ ��� � �"�� �� ��� "���� �� ���� �� �� ���� � �� ������������ � ��� 9��� ����� ����� ���"����� �� � -��� ��-��� �� ������ �� �3��� �� ���� �-��� ���� �������� -��� �� ��� ��������� ���� ����� ���� ����� ���������� ��� ����������� L�-�"����"�� �� ���� ����� ��� ����� ����� �� ��� �����"����/�� ��� �������� �� � �� �� "��� ������ ,� �������� ������ � �� ����� (�� ���������+ ��������� (�� ��� �������� + ��� ���������� ���� �� �� ���3������ �� ��� ��������� "����� ����� ��������� ��������������

,�� �� ��� ���"� �2��������� � -��� H2� �� �� ���"���� �� � -��� ���� �� H2� ���� ��� ��� ���.����� �� ��� ������� �� ��� ������ -��� ��� ����/�� ���� �������� O��� � � &� ��� �2��������������� �� "��� ������� �� ��� ��� ��� �� I�'J ���!����� *������� -��� ���������� ����� ������������ <����"�� ��-�"��� ���� -��� ��� "������ � �� H2�� ���� �������.���� ������ �� ����

��� "���� ���� �� �� � ��1������ �������������� ��� ���� �� ��� ������� ��� �� �� ��� "���� ��� ��� ��� �� ��� ��� � �� "�������� ��� �� ����������-��� ���� ���������� ��������� ��� "����� �� ������� ����������� ��� ���� �� �������� �� � �� ������ ���

�� ��� "����� �� �� 5���� ���� �� ��� ���� ����������� ��������� -��� �� ����������� ����� "������� � ��� �� �"� ������� �:� �� "��� "����� 4��.��3������� � �����.���� ������ ��������� ������� ����������� �� ��� �� �� �������� �����������"� ���� ���� -��� � ������� ���� �� ��������?������� ��� �� O��� ���� �� ��� ��� "���� �� � ����������� �� ������� ��� ������ ���� ��� ������������� �� � �"�� ����� <����-���� ��� "���� ��� �� �������� ���� ��� ������ ��-��� ��� ���.����� ����� ��� �� ��� ���� ���� �2������ � ������� "�������� �� � �� �2������� ������� �� �"������ ���� �� �� ��� ������� ,� ����������� -������ ���� �������� �������� /��-� �� ��� ��� ������� �����"� ��� ��� ���� �'' ����������� ��� "������ � �� �������� �� '�''C �"��� �' ���������� ����� ���- ������ �������� �� ����� ���� ���� � ��- ������������ �������� �� ����� ��� "���� �� � �� ����� ����� "���� &�

9�9� "%���$���) )�)��� �%��

�� � = �������� ��� �����.���� ������ ����� ����� �� ������� ��� �����.���� ������ ����������� ���� ������ ������������ 1�2���� ��������������� �� ����� ��"�� �� ���� �� �"�� ���."������ "����� ���������� ���� ������ �� ��������� � "�� ��������:� ���������� ���� ��� �����.�� ���� ���� ����� �� �����

�� � =� 5����.���� ������ ������

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� &$

Page 9: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

��� ���������� -� ��"� �������� ��� ��� ��.�� ������ �� 0��� �� � ����� ���� ��� ������������ ����� ����� ��� � ������ ���� 0�� , �� ��.�� �� �� � ��� �� ,� ��� �������������� �� ���������� ��� ��� )�* ���� �� ����� ���������� ���������� ��� ��� ��������� �� �� ������� �� �����2� ����������� ,� ����� -���� ����� ����������-��� �� ����.����"� ���� � �"�� ������ �� ��.��������� ��� �����H������ � �����2 : �� ��� ������� ��� ������� ���������� ��� ��� ������ ��.�������� ,� ���� � �"�� ��������� +� � 0�� , ��.�� �� �� � ��� �� �� ������ ��� ����� ��� ����������"�� ��� ���� ���� � �� ��������� -��� �� ���������� ��� ��2� � ����������� ���� ��� �� � � �� ��.���� ��� ���� ��������� ������ ��� -���� ��� ��.������� ���� � -��� ������ ����.����"�� ,� ��� ������ �-�� ��"�� ���� ��� ���� �� ������ �� ����.����"� �� ��� �����2 :� ���� ��� �-� ���� ���������� �������� �� �� ��� ��� -��� ��� �� ��� ���

!������.���� ������ �� ���� � ���� �.����� ���� �������� ��� ��������� � �� �������������� -����� � ��� � ������ ���2��

� ������ ���������� ��������� �� ��� �� ��.���� � ���� ����������� ��� � ��"�� ,�� ����� ���.������ ��� ��"�� � �������� �������� ������ ������� ���� �������� /��-� �� ��� -��� �� ����������� ��"� �� ������� �� ���������

�� ������ ��� �����.���� ������ ����� �� ���.������ ����� � H2� ������ �� ���������� -�����������"������

9��� ;���$���) )�)��� �%��

8�� .���� ������ ��������� ��� ��� -�������� �����-��/ �� ���� ������ �� ������� ��������� -��� � �� ��� ��"�� �� 1�2������� �� ���� �������"� �� ����� �������H������ ��?�� ����� �."����H������� ��� ���� �� ��� .���� ������ �� ������� �������� �� � ������� ������ �� ����� ����.������ <�� �5 �� ������ ���� � ���3�����.���������� ������� ����� ��� �������H������ �� �."����H������ ��������� ��� ���3����� �����2 .������� ��� ������ �� ����� ���� 0�� , ��� �������� �� �� � ��� � �� ��� ����� ������ �� ���������"����� �� �� ���� ������

��� �������H������ ����� ����"��� ��� ���� ��.������ ���� �� ��� �� H2�� ��� ������� ���� �.

����� �� 0��� �� � ���� -��� � ���3����� �� �� �����#CP� ���� ���� ������ ��� �� �������� M ��: �"�� ����; H���� ���� ��� ���� ������� �� ��� ������������ ���� �� ���� 5����� �� ���� ������ ������ �� ��� ��������� ������� �� ��� ������ ������"� ���� ������� ���� ����� �� ����� ���� ��.����� ���� ��"� ��� ���� ���� � ��� � ��� ��.��� �� ����� ��2�� ���� ���� ������ �� �3��"������� ������ ��� ���� �� ��� ������� �"�� ���� ����������� "�������� ��� ��� �� ��� "���� �� <��� ����H2�� ������� H������� ��� �����.���� ����������� �������� ��� ��� �������� ����� )�* -������ ��H2� 0��� �� �0���� � ����: �����������

,� ��� �"����H������ ������ ��� ���3�����.���� ������ �� ���� ��� ��� �� � �K����� -������ ���� �����2 � �� ������� �� ��� �����2 �� ��9�- ��� �������� �� ��� �����2 .� ��� �� "��-� ����������� ��� �������� ��� ���� ���3���� ���� �.����� �� 0��� �� � ����� ���� �� ��� �� ������� ���� ���� ������ ���� ��"� ����� ���� ��������� �� ������� � ����� ���� ������ ���� ��"����� ���3������ ���� ��� �����2 � �� �� �� ������3����� �����2 ��� ��� ����/�� ��������� ���.�� ���� ����� �� �� ������ �� ������� � �������� �� � ��1����� ��"�� �� ���� �� ������ ����.����� -��� �K����� ���������� ���� ��� ���� ��.����� �� �� ���� ������ ����� ��������� ������"��� ��� ��� ���� ���� �����2 � �� ����"��� ����� �����.���� ������ ����� ����������� <�� �2.�������� ��� ���-� ���� ���� �"����H������ �������� �K����"� ����� �K����� �� � 3������ ������������� ��� ���� ������� �� ���� ����� ��� �������������� ����� � ����� ������ �� ���������� ����� �"����H������ ������

�� � A ������ ��� ������� ���� ������ �� �.������ ,� ������ -��� ��� ����������� �� ��� �����.���� ������ ����� �� �����"� ��� ������� ��������������� ���� ��� �L ��������� ������� ��������� �� ���� I�$J� ����� � ����� ���� �����.����� ���-��� �������H������ �� �"����H������������ �� �������� ���� � �����������

� ������������� �������

����� �K����� ���� �� �������� ��"� ���� ����� ���� ��� ������� ���� ������ �� ������� ���H��� �-� ���� �� �������� ��� �������� �"������� ��

=' /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 10: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

6������ <!.������� (%���(**)��)��)��������+*,�-*����-*����.��%�)�+� ��� ���� ��� �� �������� ���������� �"������� �� E� ���� ������� (%���(**'''$���)����+����$����,�*)�)-���*�����*��*+�

��� H��� ���� 5�� �������� B' M�����.����:��2��������� ��������� ����� �������� -������ �� ���� ��� ��� ����������� ��������� �� 4��.������ �� ��� ICJ� ��� 5������� �������� ����������5� �� 4�������� IAJ �� -��� �� ��� ����� 5���.���� �������� ?���� ������ ��������� 5�?�5 ����� ���� ������ ��������� �5 ������� �� <����I&�J� ��� ���� �������� �� ���� ��� ��"� ��� ���.��-�� ���������������;�� ��� ������ �� � ���� ) �� ��� �� C� # �� �'�&� ��� ����� � � ��� �� ��� �� =� A� C �� B �� �.

������� ��� ������ �� 0��� ��=� �� "����� ��� ���� ��� ������� ���� � �������

����������� ��C� &C��A� � "����� ��� ���� ��� ������� ���� � �������

����������� ���C� &C��C� ��� � "����� ��� ��� �� ��'�#������ ������� ���� �������� ��� �"�� ���� �& ����� (������������� H"� ��������+� ��� �� ���&� �����.�� �� ��� ���� �� ��� ���� �������� �� �� ������ ������� ��

��� ����� ��� �� ��������� 5&� �������� &AM��� �.����: ������������ �������� ��� �� ����

��� )� ������� �� IFJ� ��� 7������� ����� 5������� ������ ������� �� I&FJ� ��� 7�5 -����������� ������ �������� �� E� ���� �� ��� I&BJ��� ��� �0������ ����� �������� ������� ��E� ���� �� ��� I&CJ� ��� ���� ��� �� ��������� 5=���������; = ���� 4 �������� -��� � � A''� = ����� �������� -��� � � A'' �� $ ���� � ����������� �� I&CJ� ���������� �� 5& �� 5= ����������� �� ���� �� ����� C� ��� �������� �� 5& �� 5=��� �"�� ���� H"� ������� ������� �� ��� -������ -��� �������;�� ���� �� �� ��� ���� ��� ������� ���� ��

������� ����������� ��C� &C�� � ��� ���� ���

����� �

���������� ��� 5� ��������

*������ ���� ) �

��� C �C

��& C &'

��= C &C

��A C ='

��C # &A

��B # =&

��F # A'

��# # A#

��$ �' ='

���' �' A'

���� �' C'

���& �' B'

�� � A� ���� ������ �� ������ ��� ��� )�*�

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� =�

Page 11: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

������� ���� �� ������� ��������������'� C'� �� � � '�B� ����� � �C '�A��-����

� � ��2���

��� ����

��

��

� � ������� � � �� � ���&� ���� 6� �� �� � ������� �� �� ���� � ����.

���� �� � �� ��� �� F'P �� ��� "���� �"�� ������� ��

=� ���� 4� �� �� � ������� �� �� ���� � ����.���� �� � � '�#

��� �����

A� ���� �� ,� ���� ���� �� ��� ���� ��� ����������� �� ������� ����������� ���� �''��� � ���� �� �� -���� � ��� ���� ��� ������.� ���� �� ������� ����������� ����'� �'��� � � '�#

��� �����

C� ���� ���� � �� �'� ���Q�������'� ����� � �'''��� � �'�Q�������'� ��� � � ��2�'�#���� ��

��������2��� � � ���

���� � �������� -��� ������� ���� ��� �����.��� ������ �� 8� ��� �� ��� I�BJ�

� ������ ���������� ���������� -��� ������� ����� ����?�������� ������������ �� ������ ��� ������� 6 �� 4 ��������� L�-�"�� ����� 6 �� 4�������� ��� ���� �N���� ���� ���� � ����� ����������� ����������� ��� �� ����� ����� � �� ��������� ��� /��-� �� �� ���� �N���� �� ���"��!������ ��� ���� � �������� ��� ��� �"�� �������� �L ��������� ������� ��� ������� "����� ����� ������

��� �2��������� ��"� ���� �������� �� � 5��5���� 5������ �'?=' -��� A L����5���� �� �''L� ���� ���� ��� ���������� ��� �� ������ ����� �� 4 ��� �� �� ��� ���� �� ��� ���� ��������=' ���� -��� ��������� ����� ���� ����� ��������-�� ����������: "����� -��� ���; ������ ���������H������ �� �"����H������ ����������� � � B%��� ���� ������� "����� ��� � ���� ���� � & �����2 � B� ��� ������� ��������� ��� ��� �����.���������� ����� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� ������� ��������� ,� ����������� ��� �������� �� 5������ ��������� ��� ���� ��� �� =C' ����������-������ �����"������ ��� ��� �.���� �������� ��

5& �� 5=� ��� ������� ��������� ��� ���� H2� ���C'' ���������� -������ �����"������

��� "���� �� � �� ��������� ��� �� �� 5������ -���� ������� "���� �� � ��� ��� �K��� �� ������� �� 3������ �������� ��������� �� �� ������� ��� ��� ��� ������� <��� � �������� �������� �� ����� ���"���� �� � �� ����� �� ��� "���� & �� �� �� ���������� ��/� "����� ���-��� & �� =� ,�� "���� �� ����� ��& �"��� ���� � ������ �������� �� ����� �������������� "���� �� � �� ���������� �� ��

��� ���� �� ��� B' �������� �� 5� ��� �����-�� "����� -��� �������;� �"��� � �������� � �"������ ���� ��� �������

"����� ����� ��='

������ � �����='�� �"��� � ����.�������� ����� ������ �

�='���

��������='�� �"��� � �2������� ����� ������� �

�='��� ���������='�

�� ������ ��� ������� �������� ��� ������� ���� ��� �� ��� �������� ������� ��� ������� ����� ��� ��� �2�������� ������� �� �������� ����� �������� ���� �� ����� ��� ���� �������� �� �������� ������ ���� ��� ������� � ���� ��� ����������"����

����������� ��� �����-�� "����� -��� �����.���� ��� ���� ������� ���� ( ��� �� ���&+;� �"��� � �������� � �"������ ���� ��� �������

"����� � ���� ��C

��� ������C�� �"��� � ����.�������� ����� ������ �

�C��� �������C�

� �"��� � �2������� ����� ������� ��C

��� ��������C������ & ���������� ���� ��������������� �� ��������� ��� ��� ���������� �� ��� �������.������ �2���������� O� ��"� ������ �� ������ �������� ���� ��� �2������ ��� ����������� ��"������� ����������� �� ��� ��� �� ������� �����.���� �� ��� .���� �������

������ = �� A ���- ��� ������� ������� -������ ���� ������ �� ������ (����� �5�+ ����������� �� 5�� !������ ��� ������� �� ��� ��.��� 5������� �������� ?���� ������ 5�?�5 ����� ���� ������ �5� ���������� ������� �� I&�J�� ���� �� ��� )� ������� �� 6������ �� 4��IFJ� ��� 5�?�5 �� �5�� ����� = ���-� ��� �"��� ��������� � �"������ ���� ������� �� ��� ������������ ���� ��� ���� �������� �"�� ��� ����������� �� ���� ���� (��� I&�J+� ��� ��� )� ����� �5� ����������� ���� ����� ���-� ��� �"��� ��������� � �"������� ���� ������� �� ����� ��/���"�� ��� ��� �2�������� �� ��� �������� �� ����

=& /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 12: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

����� ����� ��� ���� �� ��� ����������� ��� ���.��-�� �"��� �� �"�� ��� ����� �� �������� ��������� �� ����� =;� ����; )����� �"��� � �������� � �"������ ����

��������� �����; �"��� � �������� � �"������ ���� ����.

��� �� ��� ���� ��������� ������ 9����� �� �������� ��� -���� ��� ������� ��.

������ -�� ���� �� ����� ���������� A ���-� ��� �"��� � ����.�������� �����

������ �� ��� �"��� � �2������� ����� ������� ��� ����

������� ����� �� ��� ���� ���� �� ����.����� ����� ��� ������� �� �������

,� ��� �� ���� ���� ��� ���� ������ �� ���������"��� ��� ������� "����� ��� ��� ��� ��������� ,����� ����� �� ����������� 5�?�5 �� �5� �� ���3��"����� �� )�� O��� ������� �� ��� �"���������� ������� "����� �� ��"�� �2���� '�'=P ������������� �� ����������� ��� ��� ��������������

������ � ��� �"��� � ����.�������� ����� ���"��� � �2������� ����� ��� ��� ���������� �������� �2��������� -��� ������ ��� �� �K��������������� �� ���� �� ������ ���� ��� �5� ���"����� ����� �� ������ ��� �2������� �� (������ ����-� ���� ��� ��� ���������+�

O� ��2� ���- ��� ������� ������� ��� ���������� 5& �� 5=� O� ������� ��� ������� �� ��� ����/��-� �������� ��� ����� ��������� ���� ������-� �� ��� ���� ������ �� ����� C� ��� H"� ����4 ���������� ��� ���� � �������� �� ��2 ���� ���������� ���� "���� ���������� �� ��� ��������������� "���� ������� -��� ��� ������.��.���� �� ������ ������� �� 9���� I&'J� �������������� ��� ���/� -��� �� �������/� ��� �������� ���������� ��� ���� /��-� "����� ��� ���/��-� �� �� ������� �� ��"� ���� ��/�� ���� I#J�� ��� ���� �� ���� 6 ��������� �� ���� I&CJ ������ �������� ����� 4� � �� � ����������

9�-� ��� ���� �� ��� �������� ��� �����-�� "����� -��� �������;

����� &

�� �������: ���������������

5�?�5 �5� )� 67�5 �5()�*+ �5�4 �5

�"�� 5���� ��"� 2 2 2 2 2 2 2

5-�� ��"� 2 2 2 2 2 2 2

�0������ ����� 2 2

,������������ ����- ������ �� "����

���������� ���������

2 2 2 2

�"�� ��-��� �����������

��� ��������

2 2 2

<�0����"�

��������

��������� �������

�0�������

2 2

!������ ������ � ��� �' ��

���� ���� ������ �'' ��

8�� ����

������

��"����H������ 2 2 2 2

,������H������ 2

����� =

�"��� � �������� � �"������ ���� ������� ��� 5�

*������ ��� 5�?�5 �5� )� �5� ��� '�'' '�'' '�'' '�''

��& '�'' '��' '�'' '�''

��= '�'' '�'' '�'' '�''

��A '�'' '�'= '�'' '�''

��C '�'' '�'' '�'' '�''

��B '�'C '�'= '�'� '�'�

��F '�'& '�'' '�'' '�''

��# '��' '�'$ '�'C '�'�

��$ '�'# '�'B '�'' '�''

���' '��A '�'# '�'A '�'=

���� '�'C '�'& '�'' '�''

���& '��� '�'A '�'� '�''

���� '�&�' '�'F' '�''$ '�''A

����� '�'A '�'= '�'' '�''

9�� <������

���������

=$ AC B' B'

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� ==

Page 13: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

� �"��� � �������� � �"������ ���� ���� /��-���������� ������ �

�='��� ���� � ����='�

� �"��� � ����.�������� ����� ������ �� �"��� � �2������� ����� ������� ��� �� ��� ���� /��-� �������� "���� ��� ������� ��

������ C �� B ���- ��� ������� �������� 9�-��5� �� ������� �� ��� )� ������� �� 6�������� 4�� �� IFJ� �� ��� 7������� ����� 5����� -���6������� �� ������ 67�5 ������� �� E� ������ ��� I&BJ� �� ��� ���� ������ �� ������ ��� ���)�*� ����� �5(�)�*+� ������� �� 8�. ��� �� ��� I�BJ� �� �� ��� �0������ 4���� �� �.����� �5�4 ������� �� E� ���� �� ��� I&CJ�!������ ��� 67�5 �� �5()�*+ -��� ��/������ I&CJ�

��� ���� �������� ����� C ���-� ��� ���� "��.��� (-���+ �� ��� �"��� � �������� � �"���������� ��� ���� /��-� �������� (�����+ ���� -��� ����K����� ����������� ����� B ���-� ��� �"��� �����.�������� ������ ������ �� ��� �"��� � �2������������� ������� � ���� ����� ��� ������� �� �������

��� ������� ������� ���H�� ��� "������ �� ������������ ���� 6 ��������� -��� ������ ���"� ����� ���� /��-� "���� -�� ���� ��� ��� �������������� ��� ���� 4 �������� ��� ������� ������� �����/����; -� ������� ��� ���� /��-� ��.������ �� ���� ��������� �� ��� ��� ����� H"� ��.������� ��� ���� "���� �� �� ���� ���� ����� ���"�

��� ���� /��-� ��������� ��� �N����� �� ����.���� �� ���� � �� ��1���� �� ��� 3������ �� ���������� -� �������; ��� ���� �� ����� �������� -�������� ��� ���� /��-� "����� L�-�"��� ��� ������������ -��� ���� ���� A'' 0��� ��� ��������� ����� �� 3������� ������ � ��� ����������� �� ����� ������ �������� ��� ��� "��� ��� � ������������� ���� � ��������� ��� ���� �������� �� "�������� �� ��� ���� /��-� "����� �2������ ��� ���"��� ��� � ��������� �� A'' 0��� -���� ��� 3�������� ��� ��������� � ��� ���� �� �������� ��� "��.��� �� ��� �"��� � �"������� ���� ��� ���� /��-�"����� ���H�� ��� �� ����"��� �� �5�� 4��.����� �5� -��� ��� ����� ���������� -� ��� ������� ��� ��� ����� �� ��������� ��� �� ������ ���.�������� 67�5� �5()�*+ �� )� �� ����� ��3������ �� ��� ��������� �� �"��� � �"���������� ��� ���� /��-� "���� (��� ��� ������ ����������� ���� ������ ����� "�����+� ,� -� ��������5� -��� ��� �0������ 4���� �� ������� ��� 3�������� ��� ���� ��������� �� ������ ��� ���� ���� ������� �5�4 ��� ���� 4 �������� �� ��� ��������-��� ���� ���� A'' 0��� �� ����� � �� �� L�-.�"��� ��� ��� "��� ��� � ����� � �� � ��������-��� A'' 0���� �5� ���-� � ��� �� ������� �� �������������� �� ������� �� �5�4� ,� ����� ����� �"��� � �"������ ���� ��� ���� /��-� "�������� ������� �� �5�4 ��� �2������� �� �� ���

����� A

4*Q ����� ��� 5��

*������ ���� 5�?�5� �5�� )� � �5�

����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������

��� ���� '�&& ���� '�F= '�A' F&�=# '�'A ��'$

��& ���� '�$� ���� ��AA ��B# F$�$B '�'A ��A#

��= ���� ��#& ���� &�#C &��# #C�'B '�'# &�'C

��A ���� &�=& ���� A�#B A��B $&�=B '��= &�CA

��C ���� &�A# ���� =�$F C�C& �''�=B '�&& &�=#

��B ���� C�BF ���� #�#C �B�=B �='�'& '�A� =�C=

��F ���� �=�$F ���� �&�F& �'�CA �='�=A '�=C A�$&

��# ���� �$�C= ���� &&�$$ A$�$' �#A�A& &�=# F�BA

��$ ���� C�F= ���� �&��$ �=�#& �&$�=& '�FF =�F&

���' ���� �C�CC ���� �#�B& ==�F' �BF�BB ��'F C�$'

���� ���� =B�$B ���� =A�AB =&�B' �$=�'' ��C= #�'&

���& ���� BC�$B ���� AF�'F =$�'# &B'�=A ��#= �'�BF

� �����9�� �"���������4*Q ����� �� ������ �� � 7�R.#B'' ���������� 4*Q ����� �� ������ �� � 5������ )������� ,�� � !A''' (�'' L�+�4*Q ����� �� ������ �� � 5�� 5���� 5������ �'?=' -��� A L����5���� �'' L� (5*�4���$C &�=C+�

=A /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 14: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

������� ������ ������ �� �� ��� �������� ��� �"�.������ ��� ������

��� ����������� �� ����� B ������� �� ����������� �������� �� ��� �������� ����� �� ���� �� ����� �������� ���� ��� ����� ��������� �� �2����������������� �� �K����� ��������� �� � ���������� ������ ����� �� ������ �� ������ � ���� ������.

����� ,� I&CJ E� ���� �� ��� �"� �� �������� �� � ������ ���������� ������ ���� ����� �� ������ ����� ����� �� 67�5� �5()�*+ �� �5�4 �� ��'�� ��� ��� ���������� ������ ���� ����� �� ��.���� �� ��� ����� �� )�� ��/�� ���� ������� ������������������ �� ��� �������� -���� -� ��"��������� ��� ����� (5*�4���$C �� &�=C� �'' L�

����� C

6��� "����� �� �"��� � �"������ ���� ���� "����� ��� 5&� 5=�

*���� ) � 67�5 �5 ()�*+ )� �5�4 �5� 6��� /��-�

"����

6��� 6��� 6��� ����� 6��� ����� 6��� �����

6 C �'' ���� ���� �#A= '�=AFP ���� ���� �#A= '�'''P �#A=

6 �' �'' ���� ���� �A'F '�'F�P ���� ���� �A'F '�'''P �A'F

6 &' �'' ���� ���� ��BB '�'B$P ���� ���� ��BB '�'$FP ��BB

6 C &'' ���� ���� =CC= '�='�P ���� ���� =CC& '�''CP =CC&

6 �' &'' ���� ���� &#=� '�='#P ���� ���� &#&# '�'ABP &#&#

6 &' &'' ���� ���� &=A' '�'B'P ���� ���� &=A' '���=P &=A'

'��$=P '�'AAP

4 C �'' �$=� �$=� �$=� '�=F#P �$=� '�'''P �$=� '�'''P �$=��

4 �' �'' �A'& �A'= �A'= '�&#CP �A'& '�'''P �A'& '�'A=P �A'&�

4 &' �'' �&AA �&AA �&AA '�C�CP �&A= '�'''P �&A= '�&#AP �&A=�

4 C &'' =ACB =ACF =AC# '�&&$P =ACB '�'''P =ACF '�'=AP =ACB�

4 �' &'' &#'$ &#�& &#�A '�A#�P &#'B '�''FP &#'F '��'CP &#'B�

4 &' &'' &A'� &=$B &=$F '�B�$P &=$� '�'&CP &=$� '��=$P &=$�

4 �' A'' CB'C CB'# ���� ���� CC$F '�'''P CC$# '�'FFP CC$F

4 &' A'' AF$C AF$& ���� ���� AF#= '�'&�P AF#B '�&'�P AF#&

4 A' A'' A&C$ A&C� ���� ���� A&AC '�'&AP A&A# '�&&'P A&AA

'�A�#P '�''$P '��&=P

� C �'' B=C# B=#B B=F= '�BC#P B=CA '�'A�P B=CF '��B=P B=C=�

� �' �'' B=BF B=$# B=F$ ��&=FP B=CB '��BFP B=CC '�C��P B=A$

� &' �'' B&FC B&#= B&B$ ��BC&P B&�C '�=#FP B&&' '�$'CP B�$B

� C &'' �&FCC �&F## �&F$B '�BC&P �&FAA '�'&'P �&FAF '�'$=P �&FA=

� �' &'' �&A#' �&C�$ �&B'� ��C=BP �&AAC '�'FBP �&ACF '�&FFP �&A=B

� &' &'' �&AA' �&A�B �&AC& ��$#=P �&&FF '��BBP �&=C� '�##FP �&&BA

� �' A'' &C'=& &C�AC ���� ���� &A$FB '�'�FP &C'=$ '�&#AP &A$FA

� &' A'' &AF#' &A#F& ���� ���� &AB'A '�'&�P &AFAF '�$=BP &AB'A

� A' A'' &AF&A &AF&B ���� ���� &AAB' '�'A=P &AF'F ��AA�P &AACB

��&#BP '��'AP '�B��P

� C �'' �&B#� �&B#F ���� ���� �&B#� '�''=P �&B#� '�'A'P �&B#��

� �' �'' ��C#C ��BC' ���� ���� ��CFF '�'''P ��C#� '�'#FP ��CFF�

� &' �'' #A$$ #CCC ���� ���� #A=$ '�'CCP #AB' '�F'=P #A=B�

� C &'' &A$A& &C&'= ���� ���� &A$=' '�'''P &A$=� '�'&FP &A$='�

� �' &'' &==AB &=CBF ���� ���� &=='F '�''AP &==�# '���BP &=='F�

� &' &'' &&AFC &&F=C ���� ���� &&=F$ '�'&&P &&A&& '�AABP &&=F$�

� �' A'' AC#F# �F&�#C ���� ���� ACFAB '�''=P ACF#� '�'FFP ACFAB

� &' A'' AC'F$ �=F�C= ���� ���� AA##F '�'�FP AC''F '�BA#P AA##&

� A' A'' AA#$# B=BB$ ���� ���� AAC$B '�'BCP AA$&� ��&BBP AACF$

'�'�$P '�=F$P

� �����9�� �"���������S��-� �� �� ������� "������

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� =C

Page 15: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

�� #$ �+ �� �������� ���� -��� ��� ����.����������� �� ��� �������� �� ��������� �� I&CJ(5*�4���$C �� �&�=� ='' L� �� � )�+ -� ���.���� ���� ��� ���������� ������ �� �� ������ ����� ����� ����� �� �� ���� '�&� ��� ����� �.����� �� ����� B ��� ��� ������ ������ �����-������ ������� ��� ���������� ������� �������������� ���� ���������� ������� �� ��� �� �������� ��� ����� ��� ������� ���� ��� ����� ��3������ ��� ��� ������� ������ �� ���������� �2.������ ��� ��� $ ��������� -��� A'' 0��� -���� ���

����� ���� �� �� ��� ���� �� ��� ���� ����� ���5�4�

,� ��� ������� ��� ������� �� ������ C �� B���- ��� �������� �� ��� ��������� ��� �����������.���� �� ��� � �������� �� �������������� � � &' �� � � &'' -� ������ ��������� �� ������/���� 3������ ���� ������ ��� �������?����./��-� �� ��� "��� ����� �� ���� �� "��� ������������������ ����� (��/�� ���� ������� ������� �� ��� ��������+� ��� ��� "��� ��� � ��.�������� ��� �������� �� ����������� �� �5�4�

����� B

4*Q ����� ��� 5&� 5=�

*���� ) � 67�5� �5()�*+� )�� �5� �5�4�

������ ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������

6 C �'' ���� ���� �&B�$ &##�& ���� ���� �F�C $C�#

6 �' �'' ���� ���� ='�� &FB�' ���� ���� �'�B $F�&

6 &' �'' ���� ���� �$��C B�F�= ���� ���� AF�C �B'�'

6 C &'' ���� ���� A=$�C F$'�' ���� ���� F'�C ==$��

6 �' &'' ���� ���� B'#�A �'&F�A ���� ���� �CA�# =#$�#

6 &' &'' ���� ���� C�#�C �=&=�C ���� ���� &&&�F ABC�A

4 C �'' �C' �C' �=$�� ='&�A '�B �C' =�' #=�B

4 �' �'' �C' �C' �F'�B =$A�& =�' �C' &#�F �'=�=

4 &' �'' �C' �C' &F$�$ BB$�= &��B �C' BB�$ �='�F

4 C &'' ='' ='' C=��& #�'�� =�F ='' F$�C =�B��

4 �' &'' ='' ='' B&#�B �'AB�' �''�C ='' &�&�F A'=�'

4 &' &'' ='' ='' �'$C�$ �F$&�= �=F�A ='' &$��# A$#�=

4 �' A'' =''' =''' ���� ���� �'C�# ='' �=A#�# �#&'�'

4 &' A'' =''' =''' ���� ���� �='�A ='' �F�=�= &&=B�=

4 A' A'' =''' =''' ���� ���� �CF�B ='' &===�& =AA&�A

� C �'' �C' �C' =B$�$ C='�= B&�B �C' A=�B �'B�A

� �' �'' �C' �C' #F'�& �'$A�F �'F�& �C' #=�& �==�A

� &' �'' �C' �C' �FAB�� &�&B�� ����' �C' ��$�C �BF�A

� C &'' ='' ='' �BBC�$ �$A&�# $C�C ='' &&B�# =B=�&

� �' &'' ='' ='' &FB#�F =�#$�B �&$�& ='' &'C�' =$F�A

� &' &'' ='' ='' A#F#�A CCBC�� �&'�F ='' =A#�& C�C�B

� �' A'' =''' =''' ���� ���� �B�� ='' �$F$�B &=�'�'

� &' A'' =''' =''' ���� ���� #��= ='' &'=$��& &AA'��

� A' A'' =''' =''' ���� ���� �BC�& ='' &CF=�B =�&$�=

� C �'' �C' &'''' ���� ���� =$�$ �C' BB�C �&A�'

� �' �'' �C' &'''' ���� ���� =��B �C' ##�= �A#�&

� &' �'' �C' &'''' ���� ���� $'�A �C' �AB�= �$F�&

� C &'' ='' &'''' ���� ���� &'�' ='' &'A�F =C��A

� �' &'' ='' &'''' ���� ���� =A�� ='' &==�' =$B�A

� &' &'' ='' &'''' ���� ���� &'$�= ='' A&C�& C#C�=

� �' A'' =''' =''' ���� ���� &B'�F ='' A$&�C #$���

� &' A'' =''' =''' ���� ��� &�&�$ ='' FC'�= #FC�'

� A' A'' =''' =''' ���� ���� &�F�F ='' �'=C�C �&����

� �����9�� �"���������4*Q ����� �� ������ �� � 5�� Q���� & ���� &=''� ='' L� (5*�4���$C �&�=+ ���������� 4*Q ����� �� ������ �� � 5������ )������� ,�� � !A''' (�'' L�+ ���������4*Q ����� �� ������ �� � 5�� 5���� 5������ �'?=' -��� A L����5���� �� �'' L� (5*�4���$C &�=C+�

=B /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�

Page 16: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

L�-�"��� -� �����"� ���� ��� ���������� �� ����������� �� �� �� "���� ��� ��� �� ������ ������/�� �� ���������"� -��� �5�4 �"�� ��� ������ �� ���������� �����-� ��� ������� ����������H�� ��� ������� �� ��� ��������"� ������� �� ����������� ���� �������� �� ���� ���� ������ �������.���� ������ �� ������������� ����� �����0����"� �������� ���� ���� ��� �������

� ����������� �� �������

,� ���� ����� ��� )�* �� �������� �� � ���������� ��������� �������� �� �������� � ����2������������ ���� ����-� ��� ������ �� ����� �����������>����������� ������� ���� � ������� ������ ��������� � ������ �� ����������� ������ �� ������� �� ������ ���������� ���-��� �������� ������������ ��������� �� �� �"� ��� ������ � �� �����"�� �� 1�2�������� ��"����H������ �� �������H��.���� ������ ��� ��� ���� ���������� �� ����� �����3�����.���� ������� ��� �������� �� �������� "��� ������ �� ����� �� ��� ����� ����������; ������ �������� ���� ��� �2������ ��� ����� ��� ���2����� ��� ��� �������� �� ��� ��� �� �������� �����.���� ������� ,�� ��������"� ��������� ��� ��� �� ������ �� �����.���� ������ �� ��� ��� ������ "�� � ���H� ��0����"� ��������-���� �� ���������� ������ ���� �� �� ����� ����-� �����"� �� ���������� ������ ������������ ���.��� ��� ���� -���� ��� �� �2����� ������2��� ������� ����������� -������ �� ��� ���� ����� � "��� ������ ������� �� ������ ������������������ �� ����� ��� ��0����"� �������� ���� ���� ��� ������ ��������

��� ����������� �� ��� �� ������ ��� �����"������ -��� ����� �K����� ������� ���� ��������� �� ����� �2����� �� ��������

��� ������� ������� -��� ��� ������� �� �.����� ��� �����/����� ,� ������� -� ������ �� �3������ ��������� ���� ������ ��� �������?����./��-� �� ��� "��� ����� �� ����� L�-�"��� ��� ���"��� ��� � ���������� ��� �������� �� ������������� ��� �� ��� ������� ������� ,� ��� ��� ��������� ��3���� ������������� ����� ��� �2�������(��/�� ���� ������� ��� ���� �� ��� ���������+�,� ��� �������� ��� ���������� �� ��� ����������/�� �� ���������"� �"�� ��� ��� ��� �� ����������

����"��� -� �������� ���� ����� ������� ������ �� ��H������ �����"� �� �2������ ����������2 ��� �������� �� �� ��������� ���������������� ����� �� �2����� ��� ��� ������������ ���� ������ -� �����"� ���� ��� ������� ������������ 0������ ��� �������� �� ��� �������� �� ���� �����.���� �� �����.���� ������ �� �����.����� ���� ��� ��0����"� �������� ��� ���� ��������� �� ��� ���������� ���������: ������

�������� �������

������� ��� ������� �� ��� ��������� ����������� ����� "������� �������� -���� ��"� ����� �������"� ���� ������

�� �������

I�J �� ������ � !����� � �� ������ �������������

���������� �� ���������"� �������� ������ ��� ��� ����.

����� ���� ����� �������� ��� ����� 5������ A' (�$$A+

#B#>#$'�

I&J *� 6������ S� ���������� ,����"� 8� ��� ��� ��������.

����; �� ����������� �� ��� ��������� ���� ����� ����.

���� �������� ������� �� <���������� !������� AB (�$$'+

#A>$&�

I=J ���� 6������ ���� "�� 9����� � �������� �� ���� �����

���� ��2� ������ ��� ������ ��������� <���������

!������� 8������ & (�$#=+ AF>C&�

IAJ ��)� 4��������� 5�� *��������� ���������� �� ���������.

���� ������������ ��������� *�� ������� 4������ ,������.

��� 6����� S�������/� Q��"�������� 8��"��� 6�� ���� �$$'�

ICJ ��)� 4��������� � 5������� 8�9� "�� O�������"�� � ���

����������� ��������� ��� ��� ��������� ���� ����� ����.

���� �������� ������� �� <���������� !������� F& (�$$A+

�BF>�FA�

IBJ ��)� 4��������� 8�9� "�� O�������"�� � ���"�� ��

�� ������� ��� ��� ��������� ���� ����� �������� ����.

���� ������� �� <���������� !������� B' (�$$&+ &B'>&F&�

IFJ *�4� 4��� ���� 6������� � ������ �� ������ ��� ���

��������� ���� ����� �������� 4�������� T <��������

!������� &A (�$$F+ �F>&=�

I#J ���� ������ �� ���������� � ���� ������ ��������� ��� ���

��������� ���� ����� �������� ��������� !����� �!� $#?

'#� ����������� :����������� � ,�"���� ����� <������"��

Q��"������� *����������� � 4��������� �$$#�

I$J �8� ������� !� ���/����� 8�9� "�� O�������"�� �

���������� �0������� ����� ��� ��� ��������� ���� �.

���� �������� ��� ����� 5������ =& (�$#B+ �'$C>��'=�

I�'J � )������� )� 8������� !� 5�� ���� � ���� ������

��������� ��� ��� "������ ������ ������� -��� ����������

/�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85� =F

Page 17: A Tabu search heuristic for the generalized assignment problem

����� �� ���������� <��������� !������� AA (�$$B+

AB$>AFF�

I��J �� )��"��� ���� ������; *��� ,� <!5� ������� �� 4��.

����� � (�$#$+ �$'>&'B�

I�&J �� )��"��� ���� ������; *��� ,,� <!5� ������� ��

4������� & (�$$'+ A>=&�

I�=J � )�� ���� �6� !����-���� �� �����"� ��� ����

�� ������ ��� ��� ��������� ���� ����� �������� <���.

������ !������� =F (�$#$+ BC#>BB=�

I�AJ S�<� ���������� � 9������ � � ��- 8� ��� ��� ����2�����

�������� �� ��� ��������� ���� ����� �������� ������.

�� ������� �� <���������� !������� &F (�$#B+ =�=>=&=�

I�CJ ���� S��������� �� �K����"� ��� ������ �� ������ ��� ���

��������� ���� ����� �������� 4�������� T <���������

!������� B (�$F$+ �CC>�BA�

I�BJ � 8� ���� ��*� S����� ��8� )��������.7������ �� )��"���

���� ������ ��� ��� �������"�� ��������� ���� �����

�������� �������� ������� �� <���������� !������� #&

(�$$C+ �FB>�#$�

I�FJ 8���9� 8������ �)� 9������� !���2����� ���������� ��� �

��������� ���� ����� �������� �������� ������� ��

<���������� !������� $� (�$$B+ B''>B�'�

I�#J 5� �������� *� ����� �� �� ������ ��� ��� ���������

���� ����� �������� ��; ,� *������� � �� ��� 9����

,�<!5 4���������� L����� � )������� �$#��

I�$J 5� �������� *� ����� S������/ ��������; �� ������� ��

�������� ���������������� O����� 4���������� �$$'�

I&'J !�� 9����� 5��"�� ��� ��������� ��������� ���� �����

�������� ��������� !������ �$$#�

I&�J ,�L� <����� L��������� ��� ��� ��������� ���� �����

�������; 5������� �������� �� ���� ������ ��������.

��� <! 5������� �F (�$$C+ &��>&&C�

I&&J )��� !���� !�� 5����� � ������ �� ���� �� ������

��� ��� ��������� ���� ����� �������� �����������

*�� ������ # (�$FC+ $�>�'=�

I&=J �O�*� 5�"������ �� � ������.��.����� �� ������ ��� ���

��������� ���� ����� �������� <��������� !������� AC

(�$$F+ #=�>#A��

I&AJ ��� ����/� � ������ ����2����� ��������� ��� ��� ������.

��� ���� ����� �������� 9�"�� !������� 8� ������ =$

(�$$&+ �=F>�C��

I&CJ � E� ����� �� ,����/�� �� )��"��� �� �0������ �����

�������� ��� ��� ��������� ���� ����� �������� ������.

��� !����� $$'�=� ���������� �� ������ ����������

�� *������� )������ 5����� �� ,����������� S����

Q��"������� �$$$�

I&BJ � E� ����� �� E��� ����� �� ,����/�� � "������� ����

������ �� ������ -��� �������� ������ ��� ��� ���������

���� ����� �������� <����������� ����� �� 5���-���

�' (�$$#+ A�$>AA��

I&FJ � E� ����� �� E��� ����� �� ,����/�� � "������� ����

������ �� ������ ��� ��� ��������� ���� ����� ��������

��; 5� 7���� 5� �������� ,�L� <����� 4� !��������� (���+�

����.L���������; �"����� �� ����� �� 8���� 5�����

*���� �� ��� <������������ S��-�� ������� *����������

��������� �$$$� ��� AC$>AF��

=# /�0� ��1� �� 2��������1 * ������� /����� �. ��������� 3�����% 45 6 ��47 85�