a quoi servent les méthodes numériques...a quoi servent les méthodes numériques ? plan du cours...
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A quoi servent les méthodes numériques ?
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Plan du cours de méthodes numériques
Comment interpoler une fonction ?
Comment intégrernumériquement une fonction ?
Comment dérivernumériquement une fonction ?
Comment résoudre numériquement un problème auxvaleurs initiales ?
Comment résoudre numériquement un problème auxconditions frontières ?
Et les équations non-linéaires ?
Comment résoudre numériquementune équation différentielle ordinaire ?
Et les méthodes itératives ?
Comment approximerune fonction ?
Comment résoudre numériquement une équation aux dérivées partielles ?
Comment résoudre numériquementune équation aux dérivées partielles ?
c
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Problèmes non linéaires
Questions Convergence vers une racineCandidat initialEncadrement
Méthodes numériques itératives Méthode de bissectionMéthode du point fixeMéthode de Newton-Raphson … qui devrait converger
vers une racine
Suite de candidats…
Fonction non linéaire
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Exemple simple
b
p
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Avec scipy, c’est très facile…from math import expfrom scipy.optimize import fsolve
f = lambda x : exp(x) - 2.0 - xprint(fsolve(f,-1))
bash-3.2$ python solve.py[-1.84140566]
¥E TMoi?
. l kC i
q n- i b
p
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Exempleplus réaliste
explosif fusant charge 3 inclinaison 249
déplacement 4559
Distance entre l’explosion etla cible
😐 😐
iii.i i .
.
Ai v . 1
CIBLE!
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Comment prédire ou prévoir f ?
Trajectoire de l’obus = solution d’une équation différentielle ordinaireParamètres à tenir en compte :
Charge de poudre, type d’obus, Usure du tube (change après chaque coup !)Calibrage de l’obusier (différent pour chaque pièce !)Position calculée de la pièce d’artillerie (travail de topographie)Position estimée de la cible (observateur avancé)Vents dominants, humidité de l’airRotation de la terre
On obtient donc f(x) en utilisant ode45…
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Evidemment entre modèle et réalité…
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Méthodes itératives
La séquence converge si on peut trouver C et rr = taux de convergence
r=1 taux de convergence linéairer=2 taux de convergence quadratique
C constante positive et inférieure à l’unité
taux de convergence
ERREURA l'ITERATION i
1.
• p| CANDIDAT iSOLUTION
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Est-il important de converger rapidement ?
Obusier tirant sur l’obusier adverse…
Observateur avancé ajustant le tir(espérance de vie très limitée en général…)
Obusier adverse tentant de vous détruire au même
moment…
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La technique de bissection est une méthode d'encadrement
A UDELAD E L ACIBLE
|P
f l ÷: Ili .µ O N SERA
DEVANT L A CIBLE
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Exemple pour la méthodede bissection…
f = lambda x : x * sin(x) - 1
| b iI l
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Programme pythondef bissect(a,b,f,tol,nmax):n = 0; delta = (b-a)/2if (f(a)*f(b) > 0) :raise RuntimeError('Bad initial interval’)
while (abs(delta) >= tol and n <= nmax) :delta = (b-a)/2; n = n + 1;x = a + deltaif (f(x)*f(a) > 0) :a = x
else :b = x
if (n > nmax) :raise RuntimeError('Too much iterations')
return x
•(b-aka b
d f if
I1 - '
pd l rb
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Une fioriture numérique…
x = a + (b-a)/2
x = (a+b)/2…ou…
>>> import numpy as np>>> b = np.finfo(float).max>>> a = b - 10**300>>> (a+b)/2inf>>> a + (b-a)/21.7976931298623156e+308>>> (b-a)/24.999999900185599e+299
⇒ ! :- y ,
L io n
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Et le résultat…
On observe un taux de convergence linéaire…
x = 1.0000000e+00 (Estimated error 1.0000000e+00 at iteration 1)x = 1.5000000e+00 (Estimated error 5.0000000e-01 at iteration 2)x = 1.2500000e+00 (Estimated error 2.5000000e-01 at iteration 3)x = 1.1250000e+00 (Estimated error 1.2500000e-01 at iteration 4)x = 1.0625000e+00 (Estimated error 6.2500000e-02 at iteration 5)x = 1.0937500e+00 (Estimated error 3.1250000e-02 at iteration 6)x = 1.1093750e+00 (Estimated error 1.5625000e-02 at iteration 7)x = 1.1171875e+00 (Estimated error 7.8125000e-03 at iteration 8)x = 1.1132812e+00 (Estimated error 3.9062500e-03 at iteration 9)x = 1.1152344e+00 (Estimated error 1.9531250e-03 at iteration 10)x = 1.1142578e+00 (Estimated error 9.7656250e-04 at iteration 11)x = 1.1137695e+00 (Estimated error 4.8828125e-04 at iteration 12)x = 1.1140137e+00 (Estimated error 2.4414062e-04 at iteration 13)x = 1.1141357e+00 (Estimated error 1.2207031e-04 at iteration 14)x = 1.1141968e+00 (Estimated error 6.1035156e-05 at iteration 15)x = 1.1141663e+00 (Estimated error 3.0517578e-05 at iteration 16)x = 1.1141510e+00 (Estimated error 1.5258789e-05 at iteration 17)x = 1.1141586e+00 (Estimated error 7.6293945e-06 at iteration 18)
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Taux de convergence linéaire
c
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Problèmeauxconditionsaux limites
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Première idée :Méthode du tir
C’est la technique de l’artilleurTechnique d'ajustement par essais et erreurs… et une méthode d'encadrement
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Pour la trajectoire d’un vrai obus…
def f(u):
friction = 0.1 * sqrt(u[1]*u[1]+u[3]*u[3])mass = 1
dxdt = u[1]dudt = (- friction *u[1])/mass dydt = u[3] dvdt = (-9.81 - friction * u[3])/mass
return array([dxdt,dudt,dydt,dvdt])
v x2
-
mdaf.lt) ---80¥ r ,m
mff.ch---my-80¥}de--v
d t
ftp..jo/m y = a F Ë
c .% #Y
} ( L I
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Ajustonsla puissance du tir…
Utilisons la technique bissection pour ajuster la vitesse initiale de l’obus.
→AVECbeaucoupD EPOUDRE!
J GRAND
a v e cp e u
/ D EPOUDRE- A
✓ = v c a s⑦ Û peti t°
V o = Û ni-0
CIBLEA ) a -My¥ 5 !-
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Ajustonsla puissance du tir…
Utilisons la technique bissection pour ajuster la vitesse initiale de l’obus.
µCIBLE!
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Ajustonsl’angle du tir… Utilisons la technique bissection pour
ajuster l’inclinaison du tube.
µ
&E
p →×
CIBLE× = 3 5 :-)
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Equation de Blasius
f6)f-Yo)f-"(o)
f-'(5)= 1
↳•
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Seconde idée :Différences finies
C’est la vision satellitaireSynthèse globale des conditions limites par la résolution d'un système d'équations
fcxl.ee#f:i::t
- a
÷ËËi Mw . -
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Il est alors nécessaire de résoudre un système…
Système linéaire si f linéaire en uSystème non-linéaire si f non-linéaire en u
CONDITIONA U
CL "En"☹
(& CONDITION
E N X m
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Exemple (linéaire)
Solution analytique
Deux constantes à choisir pour satisfaireles deux conditions aux limites !
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Problème numérique
X = linspace(a,b,n)h = (b-a)/(n-1)
b = array([0,*ones(n-2),0])A = spdiags([b,-2*b,b],[-1,0,1],n,n)/(h*h)B = copy(X); B[0] = Ua; B[-1] = Ub
U = spsolve(A.T + eye(n,n),B)
💔
SOLVE SPDI.MS
/SPARSE= CREUX : - )
=
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Et hop, un joli résultat :-)
a = 0, b = 10u(a) = 1, u(b) = 5
a - 5
→ 1
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Un autre joli résultat :-(
a = 0, b = piu(a) = 1, u(b) = 5
X + A c o rG )+ Brink)
m ' (a)= 0
s u (n)= O
O M
f l1 → a - S
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Est-ce que cela marche toujours ?
a = 0, b = 10u(a) = 1, u(b) = 5Problème bien posé : une solution unique
a = 0, b = piu(a) = 0, u(b) = piProblème mal posé : infinité de solutions !
a = 0, b = piu(a) = 1, u(b) = 5Problème mal posé : pas de solution !Les solutions obtenues n’ont aucun sens !
c
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Problèmes non linéaires
Questions Convergence vers une racineCandidat initialEncadrement
Méthodes numériques itératives Méthode de bissectionMéthodes du point fixeMéthode de Newton-Raphson … qui devrait converger
vers une racine
Suite de candidats…
Fonction non linéaire
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Méthode du point fixe
On reformule le problème…
Il existe plein de possibilités de choix pour g !
× "1 = g (xi)
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Méthode du point fixe
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Comment « bien » définir g à partir de f ?
C’est une bonne question…On va s’y intéresser d’ici peu
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Interprétation géométrique
Intuitivement, on observe quela méthode converge si |g’(x)| < 1
I LD
4 1 . . - - -
D,
g..--à------;)
"J| : i
: i- i
.k .
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Exemple × = K ¥3
× = × ? - 3 × + 1 + × = ×? - 2 × + 1
× =-Xs-13×+1 + ×= - ×
? + 9 × + 1
3
x . À
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Exemple
x = 0.347
|
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Une itération possible…
x = 0.347
- -
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Une implémentation possible…def iter(x,tol,nmax,g):n = 0; delta = float("inf")while abs(delta) > tol and n < nmax :n = n + 1xold = xx = g(x)delta = xold - xprint(" x = %21.14e (%d)" % (x,n))
return x
g = lambda x : (x**3 + 1)/3
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Essayons…x = 0.347
>>> print("Found x = ", iter(0.0,10e-3,50,g))x = 3.33333333333333e-01 (1)x = 3.45679012345679e-01 (2)x = 3.47102186947062e-01 (3)Found x = 0.3471021869470616
b
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Et en partant d’un autre point…
x = 0.347
>>> print("Found x = ", iter(1.5,10e-3,50,g))x = 1.45833333333333e+00 (1)x = 1.36716338734568e+00 (2)x = 1.18513797762971e+00 (3)x = 8.88195982531111e-01 (4)x = 5.66896932292182e-01 (5)x = 3.94061625221864e-01 (6)x = 3.53730562615967e-01 (7)x = 3.48086882210758e-01 (8)Found x = 0.3480868822107582 -
A
4 .
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Et encore plus loin…
x = 0.347
>>> print("Found x = ", iter(2.0,10e-3,50,g))x = 3.00000000000000e+00 (1)x = 9.33333333333333e+00 (2)x = 2.71345679012346e+02 (3)x = 6.65959007564967e+06 (4)x = 9.84512506785963e+19 (5)x = 3.18084464276016e+59 (6)x = 1.07276876343287e+178 (7)OverflowError: (34, 'Result too large’)
→
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Et de manière plus rigoureuse ?
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Pour les fonctions lipschitziennes…
X i n -X i = gtx.)-gtx,_ , )- - - -e u s | g.B ) (×
😐☺
p
l e ve l E K l e i l
lu i l e . I E h i k i l e!( →o u
( → N - L- D O
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Pour les fonctions lipschitziennes…
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Est-ce logique ?
Zone de convergence garantie : g’(x) = x2 dans l’intervalle –1, 1 !
Converge !
Converge par hasard
et par chance !
Diverge
•
:•
•
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D X-
f-( x ) = fa i t + (xp-a)f4) + (
😐
I f"G)- -
u dr
= OL O
× i i .1
f 'Gi) D x = - f (x i )
D X = - f (x..):÷÷÷÷*=÷÷
😐
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Méthode de Newton-Raphson
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Interprétation géométrique
Méthode de Newton-Raphson Le nouveau point est obtenu comme l'intersection de la tangente et de l'axe des abscisses
•
%A
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Taux de convergencede Newton-Raphson
e t 0 = f + e i f ' + e t¥¥ ! = fac) + CE
😉
t'G ) t
😐 😐
" " tu pf-e-eif-eif.FI= O -
l i tp = X - X ( +1=
😐
§-¥
☺
*
=☹
😐😐
f-
%e i f '
I
😉
e .
¥-7 !- e n = e t f4,7
=
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Newton-Raphson :Taux de convergence quadratique
Développement en série de Taylor
Propagation de l'erreur dans un schéma de Newton-Raphson
Convergence si cette constante est comprise entre [-1,1]…
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Méthode de la sécante
Evaluation numérique de f'
Deux estimations de f requises.Difficulté de sélectionner h…
Une idée particulièreUne seule estimation de f requise.Pas de paramètre à choisir !
/
§/-
:.
. ."///
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Quelle est la méthode qui converge le plus rapidement ?
Méthode de la sécanteMéthode de Newton-Raphson
Taux de convergence quadratique
Taux de convergence superlinéaire mais pas quadratique !
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Quelle est la méthode qui converge le plus rapidement ?
Méthode de la sécante1 itération revient à calculer
1 estimation de fMéthode de Newton-Raphson1 itération revient à calculer
1 estimation de f1 estimation de f'
Taux de convergence quadratique
Taux de convergence superlinéaire mais pas quadratique !
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Systèmes d’équations non-linéaires
Notation compacte :les vecteurs sont en gras.
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Que peut-on faire avec les systèmes ?
Méthodes numériques itératives Méthode de bissectionMéthodes du point fixeMéthode de Newton-Raphson
Robuste, converge toujours si on a un
intervalle de départ !
Mais pas généralisable aux
systèmes !
Généralisables de manière immédiate aux systèmes..Ne convergent que sous conditions…Nécessitent un candidat initial proche de la solution…