a probabilistica 1a parte

PUC SP - FEA

ESTATISTICA PROBABILISTICA

(Primeira Parte)

Apostila para os cursos de:

ADMINISTRAÇÃO E COMUNICAÇÃO

Professor Everaldo Montesi Medeiros

Professor Everaldo 2

Primeira Parte:

Capitulo 1

Teoria das Probabilidades

Técnicas de Contagem

Teorema de Bayes

Capitulo 2

Distribuições de Probabilidades

Esperança Matemática ou Valor Esperado


Capitulo 1 Teoria das Probabilidades

Conceito As probabilidades são usadas para demonstrar a chance de

ocorrência de um determinado evento. Foram desenvolvidas três abordagens

para a determinação de valores e definição de probabilidades. São elas:

1. Enfoque Clássico (a priori); 2. Enfoque da Freqüência Relativa (a posteriori); 3. Enfoque Subjetivo (Feeling).

Enfoque Clássico

E conhecido como calculo a “a priori”, pois podemos determinar os resultados

antes de observada qualquer amostra do evento.

Formula Básica:

Exemplo:

Qual a probabilidade de retirarmos um REI de um baralho de 52 cartas em uma

única oportunidade?

A probabilidade de não ocorrência do evento:

%31,925248

52411)(

baaXP

P ( x ) = a

a + b

Onde :

P ( x ) = Probabilidade de ocorrência do evento;

a = numero de casos favoráveis;

b = numero de casos desfavoráveis.

P ( x ) = a

a + bP ( x ) =

a

a + b

a

a + b

Onde :




Onde :




P ( x ) = 4

4 + 48

Observação : Probabilidade de “Não Ocorrência”(INSUCESSO)

P ( não x ) = a

a + b1 -

P ( x ) = 4

52

1

13=

P ( x ) = 4

4 + 48P ( x ) =

4

4 + 48

4

4 + 48


P ( não x ) = a

a + b1 -


P ( não x ) = a

a + b1 -P ( não x ) =

a

a + b1 - a

a + b

a

a + b1 -

P ( x ) = 4

52

1

13=P ( x ) =

4

52

1

13=


Enfoque da Freqüência Relativa E baseado na proporção das vezes que ocorre um resultado favorável em um

determinado numero de observações (amostra).

Exemplo:

Foram coletados dados para 10.000 adultos em uma determinada região do

país. Desse total foram selecionadas 100 pessoas que apresentaram taxas de

colesterol acima do nível normal.

Determinar a probabilidade de “uma pessoa” escolhida ao acaso, apresentar

taxas elevadas de colesterol.

Enfoque Subjetivo E uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de ocorrência de um

determinado evento (feeling; conhecimento; experiência...). Não tem

embasamento científico.

P ( x ) = a

a + b P ( x ) = 100

100 + 9900

0,01 ou 1%

P ( x ) = a

a + bP ( x ) =

a

a + b

a

a + b P ( x ) = 100

100 + 9900P ( x ) =

100

100 + 9900

100

100 + 9900

0,01 ou 1%0,01 ou 1%

Exemplo : • Prognostico de uma greve;• Recuperação de um doente;• Previsão das decisões do Governo.




1. A expressão de Probabilidade P(x) Probabilidade de ocorrência do evento em analise em um determinado

experimento.

2. Intervalo de Variação

Menor Valor = ZERO

Indica que o evento e impossível. Probabilidade infinitamente pequena.

Maior Valor = HUM

Indica que o evento vai ocorrer com toda certeza.

3. Experimento aleatório E aquele cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando

repetido em condições uniformes.

4. Espaço amostral (s) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento.

Exemplo:

Observações de recém-nascidos

s = M; F

Lançamento de uma moeda

s = K; C

Lançamento de duas moedas

s = KK ; CC ; KC ; CK

Portanto, ZERO P ( x ) HUMPortanto, ZERO P ( x ) HUM

Observação:

Em um dado experimento um evento pode ou não ocorrer.

Portanto, P ( x ) + p ( não x ) = HUM

Observação:

Em um dado experimento um evento pode ou não ocorrer.

Portanto, P ( x ) + p ( não x ) = HUM


5. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral (s)

6. Diagrama de Venn (ou de Euler) É relacionado com a teoria dos conjuntos em matemática e tem a finalidade de

tornar mais fácil a visualização dos elementos.

7. Evento Simples É o evento formado pôr apenas um elemento de S.

Exemplo:

Masculino ou Feminino;

(KK ; CC ; KC ; CK) duas moedas isoladamente.

8. Evento Composto É aquele formado pôr dois ou mais elementos de S.

Exemplo:

Pelo menos uma cara (K) no lançamento de duas moedas;

(KK ; KC ; CK) três elementos de S.

Obtenção de um n.º par no lançamento de um dado;

(2, 4, 6) três elementos de S.

9. Evento Certo Ocorre em todas as realizações do experimento.

Exemplo:

Lançamento de uma moeda (resultados possíveis: K ou C).

A

B

A C S B C S S


10. Evento Impossível Não ocorre em nenhuma realização do experimento.

Exemplo:

Probabilidade de sair o numero sete no lançamento de um dado.

11. Evento Complementar É aquele evento formado pôr todos os elementos de S que não pertencem a A.

12. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois ou mais eventos são chamados de mutuamente exclusivos, se a

ocorrência de um deles excluir a ocorrência do outro. Portanto, quando não

podem se apresentar simultaneamente.

A

S S A = O

U

Exemplo:

Obtenção de uma face par no lançamento de um dado.

P (A) = ( 2 ; 4 ; 6 ) --- par

P (B) = ( 1 ; 3 ; 5 ) --- impar

S

AA` A A` = OU

A U A` = SSSS

AA`

AAA` A A` = OUA A` = OA A` = OU

A U A` = SA U A` = S


13. Eventos Não Mutuamente Exclusivos Os eventos A e B da ilustração abaixo, não são considerados mutuamente

exclusivos porque possuem elementos em comum.

14. Eventos Coletivamente Exaustivos Os eventos A e B são chamados de coletivamente exaustivos porque esgotam

todas as possibilidades de ocorrências.

S

Exemplo:

P (A) = extração de um ÁS

P (B) = extração de um REI Em uma única oportunidade

Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.

BA

S

Exemplo:



Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.

SSS

Exemplo:



Exemplo:


P (B) = extração de um REI

Exemplo:



Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, ambos não podem ocorrer simultaneamente.

BA BBAA

S

A BExemplo:

P (A) = a carta é de ouro

P (B) = a carta é uma figura

Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B

SSS

A BAA BBExemplo:



Exemplo:



Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B Portanto, existe um ponto de intersecção entre A e B

Exemplo:

P (A) = a carta é preta

P (B) = a carta é vermelha

S

A B

Exemplo:



Exemplo:



S

A B

S

A B

SS

A B


15. Eventos independentes Quando a ocorrência do evento B não depende ou não está vinculada à

ocorrência do evento A.

Exemplo: Lançamento de dois dados

Em outras palavras, dizemos que os eventos são independentes quando não

há modificação do espaço amostral, após a ocorrência de cada evento (COM REPOSIÇÃO)

16. Eventos dependentes Quando há modificação no espaço amostral após a ocorrência de cada evento

(SEM REPOSIÇÃO) Exemplo: Qual a probabilidade de retirarmos um ás e um rei de um baralho em

duas oportunidades?

1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52

2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51 Modificação no

espaço amostral 1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52

2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51

1a. Retirada P (A) = um ás = 4 / 52

2a. Retirada P (B) = um rei = 4 / 51 Modificação no

espaço amostral Modificação no

espaço amostral Modificação no

espaço amostral


Existem duas Categorias:

a) P (A ou B)

Probabilidade de ocorrência “de um ou outro” evento.

b) P (A e B)

Probabilidade de ocorrência “simultânea” dos eventos (ou de ambos).

Dentro da regra da adição é possível ocorrer duas situações, conforme segue:

Exemplo:

Determinar a probabilidade de retirarmos um “ás” ou um “rei” de um baralho de

52 cartas, em uma única oportunidade.

P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )

Regras da Adição P (A ou B)

P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) P ( A ou B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )

Regras da Adição P (A ou B)

a) Eventos Mutuamente Exclusivos

S

BA

P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )

a) Eventos Mutuamente Exclusivos a) Eventos Mutuamente Exclusivos

S

BA

SSS

BA BBAA

P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B )

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = um rei = 4 / 52

P (A U B) = P (A) + P (B)

4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = um rei = 4 / 52

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = um rei = 4 / 52

P (A U B) = P (A) + P (B)

4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13

P (A U B) = P (A) + P (B)

4 / 52 + 4 / 52 = 8 / 52 = 2 / 13


Exemplo:

Qual a probabilidade de retirarmos um “ás” ou uma “carta de ouros” de um

baralho de 52 cartas, em uma única oportunidade.

b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos

Neste caso é subtraída da soma das probabilidades a ocorrência conjunta dos eventos (interseção)

S

BA

P ( A ou B ) = P ( A U B ) =

P ( A ) + P ( B ) - P (A B)

U

b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos b) Eventos Não Mutuamente Exclusivos



S

BA

SSS

BA

BBAA

P ( A ou B ) = P ( A U B ) =

P ( A ) + P ( B ) - P (A B)

U

P ( A ou B ) = P ( A U B ) =

P ( A ) + P ( B ) - P (A B)

U

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52P ( A ou B ) =

4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52

P (A) = um ás = 4 / 52

P (B) = uma carta de ouro = 13 / 52P ( A ou B ) =

4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52

P ( A ou B ) =

4 / 52 + 13 / 52 – 1 / 52 = 16 / 52

Regras da Multiplicação P (A e B)As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )

U

Regras da Multiplicação P (A e B)Regras da Multiplicação P (A e B)As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).

As regras de multiplicação se relacionam com a determinação da probabilidade conjunta de eventos (simultânea).

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )

U

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )

U

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )

U

a) Eventos Independentesa) Eventos Independentes

Exemplo

Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Determinar a probabilidade de que ambos os resultados sejam CARAS.

Exemplo

Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Determinar a probabilidade de que ambos os resultados sejam CARAS.


Portanto,

P (A) = 1 / 2

P (B) = 1 / 2P (A) . P (B) =

1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%

P (A) = 1 / 2

P (B) = 1 / 2

P (A) = 1 / 2

P (B) = 1 / 2P (A) . P (B) =

1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%

P (A) . P (B) =

1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%

P (A) . P (B) =

1 / 2 . 1 / 2 = 1 / 4 = 25%

b)Eventos Dependentes

Probabilidade Condicional

É quando a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência do evento A.

b)Eventos Dependentes b)Eventos Dependentes





P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )

U

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )

U

P ( A e B ) = P ( A B ) = P ( A ) . P ( B / A )

U

Exemplo

Qual a probabilidade de retirarmos um às e um rei de um baralho de 52 cartas, em duas oportunidades “sem reposição”

P (A) = 4 / 52

P (B) = P (B / A) = 4 / 51

P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663

Exemplo


Exemplo


P (A) = 4 / 52

P (B) = P (B / A) = 4 / 51

P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663

P (A) = 4 / 52

P (B) = P (B / A) = 4 / 51

P (A e B) = 4 / 52 . 4 / 51 = 1 / 13 . 4 / 51 = 4 / 663


Exercícios: 1. Em uma urna existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a

probabilidade de retirarmos 1 bola múltipla de três e múltipla de 4.

Resposta: 46,7%

2. Na urna A existem 5 bolas amarelas, 4 pretas e 3 brancas. Na urna B

existem 4 amarelas, 3 pretas e 3 brancas e na urna C existem 6

amarelas, 5 pretas e 4 brancas. Qual a probabilidade de retirarmos uma

bola de cada uma e todas terem a mesma

Resposta: 12,5%

3. Em uma urna existem 3 bolas brancas e 2 pretas. Qual é a probabilidade

de retirarmos duas bolas, sem reposição, e ambas serem pretas?

Resposta: 10,0%

4. Roberto aguarda com ansiedade o resultado de dois exames. Ele estima

em 80% a probabilidade de obter A em Matemática e 40% em Filosofia.

[Determinar as seguintes probabilidades]:

a) Nota A em ambos:

Resposta: 32%

b) Nenhuma nota A:

Resposta: 12%

c) A em Matemática e não A em Filosofia

Resposta: 48%

d) não A em Matemática e A em Filosofia

Resposta: 8%


Conceito: No cálculo das probabilidades (a priori), é necessário conhecer o

tamanho do espaço amostral. Precisamos conhecer todos os resultados

possíveis em um determinado experimento.

Uma das formas tradicionais é o uso das arvores de decisão. Entretanto,

quando o numero de resultados é muito grande sua aplicação não é muito

prática.

Ilustração gráfica:

Diagrama de árvore para ilustrar todos os arranjos possiveis

Resultados Possiveis

Essa prática é bastante útil para ilustrar o comportamento de certos

fenômenos, muito embora sua expansão o torna cansativo. Na realidade,

estamos em busca do numero total de resultados e não necessariamente

identificá-los

Como quantificá-los?

O principio da multiplicação

Vamos supor que um fabricante de automóveis pretende produzir um veiculo

com as seguintes características:

o Um modelo (1000 cilindradas com 16 válvulas);

o Quatro cores (azul, preto, verde e creme);

o Duas e quatro portas;

o Com e sem ar condicionado;


o Com e sem direção hidráulica.

Questão: Calcular o mix possível de produção utilizando-se o principio da

multiplicação.

O numero total de resultados possíveis é igual ao produto das diversas formas

que o fabricante deseja produzir o automóvel. Portanto, temos:

DECISÕES COMBINAÇÕES

POSSÍVEIS

Modelo 1

Cores 4

Portas 2

Ar Condicionado 2

Direção 2

Mix total 32

Exemplo 2

Vamos supor que um aluno responde 15 questões de um teste qualquer. Cada

questão admite somente duas respostas (certo ou errado). Calcular o numero

de maneiras possíveis.

Os cálculos:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

(quinze questões com duas possibilidades de respostas)

Portanto, 2 15 = 32768 (espaço amostral)

Permutações e Arranjos Conceito: Para quantificarmos o numero total de resultados em um

determinado experimento e considerando que a ordem dos elementos é

importante, recomenda-se a aplicação dos conceitos das Permutações e dos

Arranjos.

Neste caso: AB ‡ BA


Permutações

Conceito: É o numero de maneira que n objetos podem ser arranjados.

Principio algébrico:

n! = n . (n-1) . (n-2) .......... 2 . 1 onde: n é sempre positivo

0! = 1 por definição

Exemplo (1):

Três membros de uma organização (A, B e C) se ofereceram como voluntários

para comporem a diretoria do ano seguinte, assumindo as funções de

presidente, tesoureiro e secretário. Determinar o número de permutações

possíveis.

3! = 1 x 2 x 3 = 6 A B C A C B B A C B C A C A B C B A Exemplo (2):

Vamos supor que quatro (A, B, C ou D) times de futebol disputam um torneio.

Determinar o numero total de maneiras que pode apresentar-se o resultado

final.

Colocação Times Possibilidades Suposição

1º Quatro 4 (A, B, C ou D) B Campeão

2º Três 3 (A, C ou D) D Vice

3º Dois 2 (A ou C) A 3º

4º Um 1 (C) C 4º

O numero total de resultados é o que segue:

n! = 4!

4 . 3 . 2 . 1 = 24


Permutações com REPETIÇÕES Conceito: Em algumas oportunidades nos deparamos com situações onde os

itens são iguais. Suponhamos, por exemplo, três letras (A, A, A) e outras duas

(B, B).

Uma permutação possível é do tipo: A A A B B

Se trocarmos de posição a letra B entre si não haverá modificação na

permutação. Nesse caso deve-se deduzir do total, pois nas permutações os

grupos são diferentes.

A formula para esse cálculo é a seguinte:

!3!......2!1!

nnnn

onde: n! = numero total de permutações

n1! / n2! / n3! = são iguais entre si

Portanto, temos:

!2!3!5

=

Exemplo 2:

Em uma bolsa existem 10 bolas. Três azuis, quatro amarelas e três brancas. A

única diferença entre as bolas são as cores. Calcular de quantas maneiras

pode-se alinhá-las.

Portanto, temos: n! = 3 + 4 + 3 10!

n1! . n2! . n3! = 3! . 4! . 3!

!3!4!3!10

=

3628800 864

4200

10


Arranjos Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de

permutações de um sub grupo de n objetos, temos os Arranjos.

fórmula: A n.x = nn x

!( )!

onde n = n.º total de observações da amostra

x = n.º de elementos de um subgrupo da amostra.

Exemplo 1: Suponhamos que uma organização é composta por 10 membros e que

nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e

secretário. Determinar o número de arranjos possíveis.

A10.3 = 720!7

!7.8.9.10!7!10

)!310(!10

P.S: No arranjo a ordem é importante, ou seja, AB BA

Exemplo 2: Numa corrida de cavalos existem sete cavalos competindo. Calcular o numero

possível de arranjos para os três primeiros colocados.

n = 7

x = 3 210!4

!4.5.6.7!4!7

)!37(!7

Combinações: Conceito: Quando existe o interesse de conhecermos o número de

grupamentos dos objetos, sem levar em consideração a ordem de

apresentação, temos as combinações.

fórmula: C n.x = nx x

!! ( n ) !


Neste caso: AB = BA Exemplo 1:

Suponha o mesmo exemplo da organização composta por 10 membros e que

nenhuma indicação tenha sido feita para os cargos de presidente, tesoureiro e

secretário. Determinar o número de combinações possíveis.

C 10.3 = 1 03 7

1 0 9 83 2 1

1 2 0!! !

. .. .

Exemplo 2:

De quantas maneiras diferentes o diretor de uma empresa pode escolher dois

estudantes de administração entre sete candidatos e três estudantes de

economia entre nove candidatos?

Solução:

7 9 2 3

1764 =


O teorema de Bayes caracteriza-se como uma probabilidade condicional.

Entretanto, é utilizado quando o experimento apresenta mais de dois eventos.

Vamos supor o seguinte exemplo:

Uma fabrica de enlatados na cidade de Jundiaí, possui três linhas de produção

(A, B e C) que respondem por 50%, 30% e 20% da produção total.

Considerando que 0,4% das latas da linha A apresentam defeitos, e das linhas

B e C apresentam respectivamente 0,6% e 1,2% defeitos.

Determinar as seguintes probabilidades:

1. Qual a probabilidade de um consumidor adquirir uma lata dessa fabrica

em um supermercado qualquer da cidade, e apresentar algum tipo de

defeito?

2. Qual a probabilidade dessa lata encontrada no supermercado ter sido

produzida pela linha de produção A?

Diagrama de Arvore

0,50

0,30

0,200,012

0,004

0,006

(0,50 . 0,004) = 0,0020

(0,30 . 0,006) = 0,0018

(0,20 . 0,012) = 0,0024

Linha A

Linha B

Linha C

Resposta 1ª. Questão

= 0,62% =(0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012)

Resposta 2ª. Questão

=(0,5*0,004)/((0,5*0,004)+(0,3*0,006)+(0,2*0,012)) 32,25%


(Exemplo 2)

Três máquinas fabricam um determinado produto. A máquina A apresenta 1%

de defeitos. A máquina B apresenta 2% e a máquina C apresenta 5%.

Vejamos:

Responder:

Escolhido ao acaso um produto defeituoso, determinar a probabilidade de ter

sido produzido:

Pela Maquina A.

= 12,50% =(0,333*0,01)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

Pela Maquina B.

= 25,00% =(0,333*0,02)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

Pela Maquina C.

= 62,50% =(0,333*0,05)/((0,333*0,01)+(0,333*0,02)+(0,333*0,05))

Máquina ProduçãoProdutos

c / defeitos

Produtos s /

defeitos

A 0,333 0,01 0,99

B 0,333 0,02 0,98

C 0,333 0,05 0,95


(Exemplo 3)

Encima de uma mesa existem quatro urnas com bolas vermelhas, brancas e

azuis. A probabilidade de retirarmos qualquer bola de qualquer urna está

demonstrada na tabela abaixo:

Urnas P (xi)

“a priori” P (xi)

Vermelha P (xi)

Branca P (xi) Azul

P (xi) Total

A 0,25 0,10 0,60 0,30 1,00

B 0,25 0,60 0,20 0,20 1,00

C 0,25 0,80 0,10 0,10 1,00

D 0,25 0,00 0,60 0,40 1,00

Calcular:

1. Retirando-se ao acaso uma bola vermelha, qual a probabilidade dessa

bola ser da Urna B

= =(0,25*0,6)/((0,25*0,6)+(0,25*0,1)+(0,25*0,8))+(0,25*0,0) 40,00%

2. Calcular em relação à Urna A (R = 6,7%)

3. Calcular em relação à Urna C (R = 53,3%)

4. Calcular em relação à Urna D (R = 0,07%)

Evidencia Amostral


Capitulo 2 Distribuições de Probabilidades

a) Conceito É uma distribuição de freqüência relativa para os resultados de

um espaço amostral. Demonstra a proporção das vezes que uma variável

aleatória tende a assumir cada um dos diversos vetores possíveis.

Exemplo 1: Resultados possíveis no lançamento de duas moedas:

C = CoroaK = CaraSendo:

KK

Probabilidades dos Resultados0,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,250,50 * 0,50 = 0,25

Espaço AmostralCCCKKC

P (x)

Exemplo 2: Numero de caras em duas jogadas de uma moeda:

P(xi)0,25

0,25

1,00Total 1,00

0,50

P (xi)0,250,25

20,250,25

Nº de caras (xi) 011

Nº de caras lançamento duas moedas

0,00

0,25

0,50

0,75

0 1 2 xi

P(xi)

b) Variáveis Aleatórias: É uma descrição numérica do resultado de um experimento.


• Variável Aleatória Discreta Podem assumir um numero finito de valores em uma infinita seqüência de

valores tais como zero, um, dois...

Simplificando, são aquelas variáveis que podem ser contadas (números

inteiros)

Exemplo: numero de clientes; numero de funcionários, resultado de uma

partida de futebol,...Etc. Exemplo prático: Numero de alunos pôr disciplina em uma Escola:

Disciplinas Numero de alunos

Estatística 20

Finanças 28

Psicologia 32

Economia 26

Administração Geral 18

• Variável Aleatória Continua São aquelas que podem assumir qualquer valor em um determinado intervalo.

Em outras palavras, podem assumir um numero infinito de valores.

Exemplo: peso dos alunos; diâmetro dos parafusos, duração de uma conversa

telefônica, etc.

Obs. Medidas de um modo geral

Exemplo prático: Altura dos alunos em uma determinada sala:

Altura (xi) Classes Numero de alunos

1,50 a 1,60 6

1,60 a 1,70 22

1,70 a 1,80 18

1,80 a 1,90 10

010203040

Estatística

Finanças

Psicologia

Economia

Administ...

0

5

10

15

20

25

1,50 a 1,60 1,60 a 1,70 1,70 a 1,80 1,80 a 1,90


c) Distribuições Discretas de Probabilidades (Descontinuas): x = variável aleatória;

P (x) ou f (x) = função probabilidade de ocorrência de cada valor de x.

Exemplo prático de uma distribuição de Probabilidade.

Lançamento de um dado

Lançamento de dois dados

Função Discreta Uniforme de Probabilidades

1 0,172 0,173 0,174 0,175 0,176 0,17

1,00

Espaço Amostral

P (x)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6Espaço Amostral

Todos os resultados

possíveis

(n = 36)

xi P (xi)2 2,78%3 5,56%4 8,33%5 11,11%6 13,89%7 16,67%8 13,89%9 11,11%10 8,33%11 5,56%12 2,78%

100,00%

Distribuição Discreta de

Probabilidades

Portanto,

Soma P (X i) = 1

sendo o i de 1 a n

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


d) Esperança Matemática E (xi) Valor Esperado (valor de maior freqüência)

Conceito: é a média de uma variável aleatória. Portanto, é a medida de

tendência central para a distribuição de probabilidades.

Símbolo utilizado; E (x) ou µ

Formula básica; E (xi) = [x i . p (x i)]

Onde: x i = valores observados P (xi) = probabilidade de ocorrência de x i

Exemplo prático:

Determinar a esperança matemática no lançamento de dois dados.

X i P (xi ) X i . P (xi ) 2 1/36 2/36 3 2/36 6/36 4 3/36 12/36 5 4/36 20/36 6 5/36 30/36 7 6/36 42/36 8 5/36 40/36 9 4/36 36/36 10 3/36 30/36 11 2/36 22/36 12 1/36 12/36

Total 252/36

E(Xi) = 25236

= 7

e) Variância Conceito: É a medida de variabilidade que mede a dispersão dos valores da

variável aleatória em análise.

Símbolo utilizado: Variância (x) ou 2

Formula básica: 2 = (x - µ) 2 . p (x)

Onde: µ = E (x i) = valor esperado ou esperança matemática

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Exemplo pratico: calcular a variância no lançamento de dois dados X i x - µ (x - µ)2 (x - µ)2.p(x) P ( x i ) media

2 -5 25 0,694 0,0278 73 -4 16 0,889 0,05564 -3 9 0,750 0,0833 var = 5,835 -2 4 0,444 0,1111 dpad = 2,426 -1 1 0,139 0,13897 0 0 0,000 0,16678 1 1 0,139 0,13899 2 4 0,444 0,111110 3 9 0,750 0,083311 4 16 0,889 0,055612 5 25 0,694 0,0278

0 0 5,833 1,00

Exemplo 1: Revendedor Sabrico Estatística de Vendas do automóvel Gol durante os últimos 300 dias no

Revendedor Sabrico. Determinar a Esperança Matemática, a Variância e o

Desvio Padrão da amostra analisada.

Vendas (x) Dias P (x) X. p (x) X - µ (X - µ)2 (X - µ)2 . p(x)

0 54 1 117 2 72 3 42 4 12 5 3 300

R = Esperança Matemática = 1,50 Variância = 1.25 Desvio padrão = 1,118

Exemplo 2: Loja Lava Melhor Determinar a venda diária de maquinas de lavar na loja “A Melhor”, tomando-se

pôr base os resultados abaixo obtidos em uma pesquisa de 20 dias: Vendas pôr dia Pesquisa P (xi) X . P(xi) (X - µ)

(X - µ)2 (X-µ)2.p(x)

0 4

1 6

2 6

3 3

4 1


Resposta: 1,55 maquinas / dia.

Determinar também:

A Variância e o Desvio Padrão

A venda mensal da loja considerando 300 lojas e 20 dias úteis do mês.

Resposta: 1,55 x 20 = 31 maquinas / mês

31 x 300 = 9.300 maquinas /mês

Exemplo 3: Execução de Obra Um profissional faz as seguintes estimativas para a execução de uma obra.

Determinar o prazo esperado:

Prazo de execução Probabilidades Xi P(Xi) 10 0,3

15 0,2

22 0,5

Resposta: (17 dias)

Exemplo 4: Investimento Um investidor acredita ter 40% de chance de ganhar 25.000 reais e 60% de

perder 15.000 reais em um determinado investimento. Qual o resultado

esperado?

Xi P(Xi) Xi P(Xi)

Resposta: (1000 reais)

a probabilistica 1a parte

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