a note on positive lyapunov exponent and sensitive dependence on initial conditions
TRANSCRIPT
� ���� �� ������� ��� �� �������� ��� ������������������ �� ������� ����������
�� ������ ������ �� ������ ���������������� ������� �� � ����� � �������� ����� �������� ������
�������� � � �� �
��������
!� ���� ����� "� #�� �"� �������� �$ �������� �������� %$ �������& �� �������� � �� ��� '��� ����# � ������� ��� �� ��������
�� � ����� ( � ��� (���# ��������)��������� �� ������� ���������� �� ���� �����* ��� ��� ������ (���# ��������)��������� �� �������
���������� �� � ����� ( � ����# � ��#���� ��� �� �������� �� ���� �����+ � � , -������ ������� ��+ ��� ��#��� �������+
!� ��� ������� �� ����� ����� �� (� � ���������� ���$ ���� �(� � ��� ���������� � �������� ��� �� �����$��� (� ������ �������+ .������������� ������ ��� �������� ���������� �� ������� ���������� ��� ��� ����������� ���� ���$��� ��� ��������� �$ ��� ��#���� ��� �� ��������+ /�$��� ������� �� ����� ����������������� "���� �� ������ (��� ���������� ��� ���������� ��� ��� �� (� �������� �+ 0��� ����� �$ ��� �1��������� ��� ��� ���� � ��� �� �� �������� �$ $ ������� ��� ���"� "���� ��� ��������)��������� �� ����������������� �� � ����� ( � "���� ��� �������# ��� �� �������� �����+ 2�� �� �������� ������� ����������� ��� 34� �+ 5,67+ -��� �������� ��� ���� (� #��� �� �� �������8 !� �� ��� #� �� �������� �� ����(�����)�����(���� '��� ����� %�+�+ "��� �������� �,&+ �� �� �� �(�� � ���� �������� ���������� �� ����������������� ���� ��� ����� ������� ��� �� ��������+ 9� "��� #�� (���" � ������� ������� %-������ �&�"���� ���"� ���� ��� ��� �� �������� ��� ��� (� �������� ��#���� �� � �������� �����+
!� ��� ����� ���������� �� �� ��"��� ����� $�� #������� �� �� ����� ������� ��� ���� ���� ������� ��� ���������� ������� �������� ����������+ 0�� ���� ����� "� �� �� '�� � ���� ����� �$ ���� ������ �� ������� ���� :�$+ 3;� �+ 4<7� "���� ��� � ���� ���� ���� ���� ����������� �� ��� ��� ��(�� ( � �� ������ �� ��� ���� �������� �� ���"� �$ �� $����� ����$ �$ ��+ � � "� ���" (���" %-������ ,& ���� �� �� ��'������ $����+
9� '��� ������ ��� ��'������� �$ ��� �"� ������� ��� �������� � ������ $�� ���������� �� �������� �$ � ������� ������ 3,=�7+ �� � � � (� �� �������� � � � � � � $ ������ ��� � � � +
����� � �� � �� ���� �� ����(�� �������� ���������� �� ������� ���������� �� � �$ ����� ������ � � � �� ����$�� ���� � � ����� ������ � "��� ��� � � � � ��� � ������� ����#�� � $�� "����
�� ���� � � ��� �� � ��
����� � �� ��� �� � �� ��1�������(�� �� ��� ������
� � �, � �� �� �� � ��,� � ��� �� � � � � �� � ����,� � ��� �� � � �
"""+�������+��>������>�����
?����� �������� ��� 2������� ,� %� ,& �,,<=�,�,
�?�����������# � ����+
������ ������ (�����@������ +�� +�� %�+ ������&� ������@������ +�� +�� %�+ ������&+
<5 ) AA<> ,>B ) ��� $���� ������ � � , -������ ������� ��+ ��� ��#��� �������+
C!!8 � < 5 ) A A < % & , 5 )
!$ ��� �����
��� � �����
,
�
��
�,
��# �� �����,��
������� ���� ��� � �� ������ ��� ��� �� �������� �$ ��� $ ������ � �� ��� ����� � +D�" "� #�� ��� ��������8
������ �� ��� � � � , ��� � � � � , � � � , � ������ �
� ��� ��� ,� �
���, ��� �� � �� � �� � � � �
4��� � ��
��4��� � ,,��� �� � ,� �
, ��,� ,
���,��� � � �� ���,�
, ��� � ,�
���������
�� � ,� �� � � � � �� ,� ��� � , ���,� � ,� ��� � , ���, ���� ��� , � ���� � ��� ������ ���������������� �� � �� � � ��� ����������������� �� ���� �������� �� ��
������ �� ��� � � � ,� ��� � � � � ,� � � � ,� � ������ �
� ���
,
��� ,
���� � � � A
,5�� �� � � � ��
����, � ;��, � ��,���� ��� � ��;���, � ,� ��� � � � � ���
,� ����� � ��;����
����, � <�;������� ��� � ��;���, � ,� ��� �� � � � ��
�������������
�� ,� �� �� � � � � �� ,� ��� � ;���,� � ,� ��� � ;���,� �� ,� ��� � ��;���,� � ,� ����, � ;���� ���� ��� � �
���� � � ����������������� �� ���� �������� �� � �� � ��� ������� �������� �������� �� ��
�� � � ������ �� � ��� ������ (� ���"� �� (� ������ � �+ �� ���� ����� �� � ��� � �$ ��� ���E������ �$� � � ����� � ��� ��� ��� �� �������� �� �� �� � ��# � � +
D�" "� ���" ���� � �� ��� ��������)��������� �� ������� ���������� �� � + F��� � � � ������ � � ������ ,��� � � ��� � � �� ���� �� ,���, �+ 0��� $�� ���� � � � � ��� ���� �� �
�� ���� � � �� �� � ,
����, �� ��
2�#+ ,+ � $ ������ "��� � ������� ��� �� �������� �� G��� "���� � (���# ��������)��������� �� ������� ���������� �����+
2�#+ �+ � $ ������ �������� ��������� �� ������� ���������� �� G��� ( � "��� ��#���� ��� �� �������� �����+
�,� !" ���#�� $" %����� & '���� $����� � � (������ )� *���)+ �)),-�)�)
H� ��� ����� ���� � �� �� ���������# $ ������ ��� � �� � ,� �,����+ 0����$��� $�� ���� � � �
,� ,
��� � ���� ��� �� ���� � � �� ��� ,
��� ��
0��� ��������� ��� ����$+ �
�� � � ������ �� � ��� �#��� ������ (� ���� �� (� ������ � �+ �� ���� ����� �� � ��� � �$ ��� ���E������� � � ����� ,�� ��� ���� ��� ��� �� �������� �� �� �� � � ��# � � + � � ���� $ ������ �� ��������)��������� �� ������� ���������� �� � (��� �� � ,�� ��� $�� ���� � � ����� ������ � � � � "���
�� ���� � � �� �� � � $�� ���� ��
?����� � � � � � � "��� ,�����,� � �� ��� � ,�����,� ��� � �� ,+ 0���
� ��, ,
���,
� ����� � � ��,� ����� � ,
�� �
������
3,7 ������ :+ �� ������ ����� �� ������� ��������� �������+ :�����#� .�8 �������)9�����* ,<6<+
3�7 ����#��� �0� �� �� 0�� I���� ��+ ?����+ ������8 �����#��* ,<<A+
3�7 F ���� �+ -��� ���� "��� �����+ ������8 .�F��")J���* ,<<�+
3;7 !�#����� :+ � � ��� �$ ��������� ��������+ ���#�����8 9���� �������'�* ,<<�+
347 9�##��� �+ !����� ����� �� ������� ��������� ��������� ������� ��� �����+ ������8 �����#��* ,<< +
!" ���#�� $" %����� & '���� $����� � � (������ )� *���)+ �)),-�)�) �,�,