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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARA CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO CAMPUS UNIVERSITRIO DE SALVATERRA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMTICA

Ana Nayara Campos Barbosa Abede-Nego Carneiro Brena de Frana Farias Tamara Caroline Brando

A HEGEMONIA RABE

Salvaterra 2012

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Ana Nayara Campos Barbosa Abede-Nego Carneiro Brena de Frana Farias Tamara Caroline Brando

A Hegemonia rabe

Trabalho apresentado como requisito parcial para obteno de mdia na disciplina Histria da matemtica, Universidade do Estado do Par. Orientador: Prof. Maria da Pscoa

Salvaterra 2012

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1. Introduo

Dentre as histrias da matemtica, a hegemonia rabe um perodo notvel da histria humana, principalmente pelas contribuies para o desenvolvimento da cultura mundial. A hegemonia rabe durou aproximadamente oito sculos e devido ao perodo medieval da Europa a matemtica e outras cincias tiveram seu desenvolvimento futuro assegurado graas aos muulmanos. Um esclarecimento deve ser feito, denominamos aqui rabes ou muulmanos o povo que habitava a regio dominada pelos muulmanos durante o perodo da hegemonia rabe, independente da lngua ou crena Boyer (1996, p.). Existem controvrsias sobre a importncia das contribuies dos rabes, as colocaes de dois autores nos mostram bem esta questo Tahan ([S.n], p.175) diz-nos Aos rabes devemos, acima de tudo, o advento da Renascena, no perodo histrico em que se realizou. Por outro lado, Eves (2004, p.267) se referindo a estas controvrsias diz-nos que os rabes [...] a despeito de talvez revelarem erudio, raramente eram criativos e que seu trabalho se situa num plano secundrio, quantitativamente e qualitativamente, em relao aos gregos e escritores modernos. H que se considerar todo o contexto histrico mundial daquela poca para ento emitir julgamento sobre o assunto. Os graduandos e graduados do Curso de Licenciatura ou Bacharelado em Matemtica quando se tornam professores atuantes em sala de aula, muitas vezes, so criticados pelo nvel cultural restrito, principalmente, s disciplinas especficas da matemtica e aplicaes, de fundamental importncia o entendimento histrico e epistemolgico da matemtica para a expanso dos conhecimentos matemticos e cientficos como um todo. O estudo da historia da matemtica nos mostra como o conhecimento matemtico se difere das outras cincias, pois existe uma continuidade em sua construo ao longo da histria. Este trabalho pretende fazer uma explanao a respeito da matemtica dos rabes. Apresentamos um breve histrico sobre regio da Arbia em sua expanso, um pouco das contribuies deste povo para cultura mundial, alguns dos matemticos rabes mais notveis e problemas matemticos que ilustram os trabalhos destes notveis.

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2. Breve histrico do Imprio rabe

Durante o sculo VII a Pennsula Arbica passava por uma crise, era habitada por tribos nmades do deserto, chamados bedunos, que eram analfabetos. Entre eles, surgiu o profeta Maom uma das grandes personalidades da humanidade, fundou o Islamismo, tornou-se lder militar, poltico e religioso, nasceu em Meca, ano 570 ou 571 d.C. e morreu em tambm ali. Por volta de 622 houve a fuga de Maom a Medina, pois teve sua vida ameaada por tribos rivais, esse episdio ficou conhecido como Hgira e marcou o inicio da era islmica, cerca dez anos se passaram, nesse perodo ele conquistou Meca e depois quando estava preparando-se pra conquistar o Imprio Bizantino, Maom morreu. Devido as suas viagens travou conhecimento com cristos e judeus que eram monotestas, aps a criao do estado maometano estes recebiam proteo e liberdade de culto, durante a vida de Maom os mulumanos e eles, viveram em relativa harmonia em territrio arbico, Boyer (1996, p. 154 e 155) e Tahan ([S. n], p. 208). Sempre houve rivalidade entre as tribos mulumanas unificadas sob o comando de Maom, por volta de 750, se dividiu em duas partes, rabes ocidentais e rabes orientais, os ltimos sob o califa al-Mansur, com capital em Bagd, cidade que tornar-se-ia um novo centro de matemtica. No mundo rabe existia unidade religiosa e econmica, mas no poltica, mesmo dentro das partes orientais e ocidentais havia facciosismo (rixas entre as tribos), as pessoas falavam vrias lnguas, sendo o rabe a lngua dos eruditos. Mesmo aps a Morte do profeta seus seguidores continuaram a expanso do territrio islmico, conquistaram muito rapidamente s cidades vizinhas, Jerusalm, Damasco e boa parte do vale mesopotmico Boyer (1996, p. 154) e Eves (2004, p. 260). Posteriormente os mulumanos continuaram sua ampliao territorial por vrios sculos, conforme mostra o mapa abaixo:

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Figura 1 Fonte: (BOYER, 1996, p.442)

Na histria esse perodo ficou conhecido como hegemonia rabe ou ascenso da cultura islmica. O primeiro sculo de expanso do Imprio rabe, os rabes no tinham interesse pela cultura dos povos conquistados. Existe uma lenda que conta que quando Alexandria foi tomada, os muulmanos aqueceram a gua do banho por muito tempo por considerarem os livros suprfluos, desconsiderando os exageros, depois da depredao da maior biblioteca do mundo naquela poca, ainda restaram alguns livros que foram preservados com o despertar cultural sbito dos rabes, Boyer (1996, p. 154).

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3. Os rabes e sua contribuio para cultura mundial Foi de importncia fundamental para a conservao de grande parte da cultura mundial a maneira como os rabes se apoderaram do saber grego e hindu. [...] No fora o trabalho dos intelectuais rabes e grande parte da cincia grega e hindu se teria perdido irremediavelmente ao longo da Baixa Idade Mdia. (EVES, 1996, p.260) A Casa da Sabedoria, instalada em Bagd, foi modelada aps as primeiras bibliotecas reais dos persas e fornecia apoio para a realizao de interpretaes cientficas e filosficas e para tradues de textos hindus, gregos e persas. Esses textos foram disseminados amplamente pelas terras de lngua rabe e formaram a base para muitos dos trabalhos originais feitos pelos pensadores rabes e muulmanos. A Casa da sabedoria chegou ao seu auge no reinado de al-Mamun, que reinou de 813 a 833 dC ( creditado como sua a instituio), onde foram criados observatrios. A casa era um centro incomparvel para o estudo das cincias exatas e humanas. Os rabes no fizeram apenas tradues e cpias de textos clssicos, como tambm os usaram como ponto de partida para as suas prprias pesquisas, e o mais importante, checaram e corrigiram clculos de astronomia, geografia, e matemtica encontrados. Eles completaram as tradues para o rabe, tornando-as melhores que as originais. Foi atravs das lentes rabes, que boa parte do Ocidente conheceu a filosofia grega em geral. Ns podemos listar os campos especficos, ideias e tecnologias que so tributrios cultura rabe, aqui entram a navegao astronmica, o estudo de anatomia, a arte de fazer mapas, entre outros. Na Matemtica, nos deram muitas contribuies lgebra, Geometria, Trigonometria e Astronomia. Os algarismos que usamos atualmente so uma herana indiana transformada e transmitida aos ocidentais pelos rabes, da serem chamados arbicos. At mesmo a palavra algarismo deriva da lngua rabe. A Medicina que desenvolveram baseou-se nos conhecimentos dos gregos. Tendo como base na lngua persa, textos indianos e gregos, como os de Plato, Aristteles, Pitgoras, Euclides, Scrates, dentre outros, os estudiosos: alKhwarizmi (780-850), Thabit ibn-Qurra, Abul-wefa e al-Karkhi, Al-Biruni e Alhazen,

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Omar Khayyam, Nasir Eddin, Al-Kashi, acumularam um grande acervo de conhecimento do mundo, e construram assim, um novo mundo atravs de suas prprias descobertas. Junto com todas as outras bibliotecas em Bagd, a Casa da Sabedoria foi destruda durante a invaso mongol de Bagd em 1258. A contribuio rabe foi fundamental para a construo da cultura ocidental tal como hoje. Ao longo de oito sculos, os muulmanos traduziram, por vezes corrigiram e difundiram o conhecimento clssico grego entre si, salvando e entregando aos europeus, que viviam ento na Idade Mdia, um vasto saber.

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4. Os mais notveis matemticos rabes

Os matemticos rabes foram influenciados por trabalhos oriundas da Grcia, ndia, Prsia e outros povos, em seus trabalhos parecem ter desenvolvido habilidade combinar e recombinar estes trabalhos, refletindo um gosto ecltico no que diz respeito ao conhecimento produzido em pocas anteriores. Alguns se destacaram apenas como comentadores e disseminadores da cultura dos povos dominados, por exemplo, os numerais utilizados por ns hoje, outros produziram trabalhos originais, neste tpico apresentaremos alguns dos matemticos rabes que, conforme nossas fontes, merecem ser destacados:

4.1.

Mohamed ibu-Musa al-Khowarizmi

Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi baseando-se nessas tradues que vinham acontecendo de obras gregas, hindus, persas e etc. e entusiasmado pelo instalao da Casa da Sabedoria (Bait al-hikma) em Bagd, no reinado de AlMamum, participou de trabalhos como no relgio-de-sol e na tabelas sobre o astrolbio e ainda escreveu diversos livros no campo da astrologia assim como no da matemtica, debruando-se no estudo da aritmtica, geometria e lgebra, tanto que por alguns estudiosos ele considerado o pai da lgebra. Ao escrever Al-jabr Wal muqabalah, Al-Khowarizmi marcou seu nome na historia da matemtica, o nascimento e o batismo da lgebra como cincia e abriu nova era da matemtica. Apesar de alguns escritores como Carl B. Boyer e Howard Eves, afirmarem que o estudo feito pior este matemtico no tenha sido to original assim, h de se relevar que os trabalhos que eles realizaram e as contribuies que eles deram para a matemtica so bastante significativos considerando as informaes a que esses matemticos tinham naquela poca, os recursos que eles possuam eram bastante escassos. lgebra advm de ttulo do livro Al-jabr Wal muqabalah (A arte de reunir desconhecidos para igualar ao conhecido) onde as equaes, assim como suas solues, so descritas em palavras em vez de smbolos. Al-jabr, segundo a cultura dos Mouros na Europa, fazia referencia a ossos fraturados, tanto que os restauradores de ossos se autodenominavam de algebristas, o que pode-se fazer uma analogia a forma rstica pela qual a humanidade comeou a contar os nmeros, se utilizando de ossos, cordas e pedras.

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A traduo latina de lgebra de AL-Khowarizmi trs seis pequenos captulos, descrevendo seis tipos de equaes envolvendo razes, quadrado e nmeros. O capitulo I discorre a respeito da igualdade entre quadrados e razes, em notao moderna seria, por exemplo: x = 5x; x/3 = 4x. J no II, a igualdade se d entre quadrados e nmeros, por exemplo: x = 25; x = 8. No capitulo III o autor se detm em explicar os casos de razes iguais a nmeros. Nos captulos IV, V e VI explica casos de equaes quadrticas com trs termos: quadrados e razes iguais a nmeros, quadrados e nmeros iguais a razes e razes e nmeros iguais a quadrados. Todos os captulos foram explicados de forma bem sistemtica, o que certamente facilitou o entendimento dos leitores. Nesse sentido, pois, al-Khowarizmi merece ser chamado o pai da lgebra (BOYER, 1996). AL-Khowarizmi utiliza demonstraes para geomtricas para explicar equaes algbricas, o que mostra traos das suas influencias grega. Por exemplo, em x + 10 = 39 ele representa em um quadrado de lados x, e nas quartos laterais desenha quatros retngulos de largura 2,5 unidades por x de comprimento, e assim construiu quatro pequenos quadrados na vrtice do quadrado central, cada um com rea igual a 6,25 unidades. Ento para completar o quadrado, calcula-se 4 * 6,25 obtendo um quadrado com rea total 39 + 25 = 64, sendo que 64 um quadrado perfeito de 8 e que subtraindo 5 (de 2 * 2,5) encontramos x = 3, comprovando o que foi demonstrado no capitulo IV.

Um livro publicado recentemente baseado nos manuscritos de um turco chamado abd-al-Hamid ibn-Turrk assemelhasse ao de AL-Khowarizmi, at algumas

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equaes so as mesmas, oq eu nos faz pensar que o estudo a respeito da lgebra vem de alguns anos de al-Khowarizmi, mas seus trabalhos foram bastante completos, o que o garantiu como o pai da lgebra.

4.2. Thabit ibn-Qurra Boyer (1996, p. 160), se refere Thabit como o equivalente rabe de Papus comentador da matemtica superior. Thabit fundou uma escola de tradutores, atribui-se a ele a traduo de obras de Euclides, Arquimedes, Apolnio, Ptolomeu e Eutocio, graas a ele temos os sete primeiros livros de As cnicas de Apolnio, ao invs de apenas os quatro primeiros. Ele dominava plenamente o contedo das obras clssicas, que traduziu, ao ponto de sugerir generalizaes e modificaes. Ele criou uma formula para os nmeros amigveis: Dados p, q e r primos, e se so da forma , e , ento e so

nmeros amigveis. Tahan (2006, p.20) nos dar um conceito de nmeros amigveis, Dados os nmeros a e b, este so ditos amigveis se somarmos todos os divisores a menores que a e encontrarmos como resultado b, e fazendo o mesmo com b encontramos a. Para Eves (2004, p. 264), essa regra pode representar o primeiro trabalho matemtico original feito por um rabe. De acordo com Boyer na mesma obra supracitada, ele tambm props uma generalizao do teorema de Pitgoras aplicada a todos os tringulos. Seja um triangulo qualquer ABC, se do vrtice A traarmos retas que cortam o lado BC em pontos B e C, tais que os ngulos (ver figura 2), ento e sejam iguais ao ngulo do vrtice A, . Thabit no ofereceu prova do

teorema, mas esta pode ser facilmente obtida pelo teorema dos tringulos semelhantes, tambm fornece uma boa generalizao do diagrama usado por Euclides para provar do teorema de Pitgoras, por que ele considerou todos casos de ngulos para o vrtice A, obtuso (mostrado na figura abaixo), agudo e reto (reduz-se ao teorema de Pitgoras).

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Figura 2 Fonte: (BOYER, 2004, p.442)

4.3. Abul-wefa e al-Karkhi

Abul-wefa era algebrista e trigonmetra, traduziu a Arithmetica de Diofante e comentou a os trabalhos algbricos de al-Khowarizmi. A lei dos senos atribuda a ele por causa de sua formulao clara para tringulos esfricos e tambm foi quem introduziu a funo tangente em trigonometria e pela elaborao de uma tabua de senos com incrementos de 15, Boyer (1996, p. 163) e Eves (2004, p. 260). Al-Karkhi sucedeu Abul-wefa, e usou sua traduo para torna-se discpulo de Diofante, como muitos outros rabes, desenvolveu seu trabalho mesclando idias de seus antecessores, ele estudou a lgebra de al-Khowarizmi, mas no se limitou as equaes quadrticas, abandonou as restries de Diofante aos nmeros racionais, so atribudas a ele as primeiras solues numricas para equaes da forma , Boyer (1996, p. 163). Eves (2004, p. 264) o apontou como o

primeiro escritor rabe a dar e provar teoremas fornecendo as somas dos quadrados e dos cubos dos n primeiros naturais.

4.4. Al-Biruni e Alhazen

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Al-Biruni escreveu o livro intitulado ndia, fez com a matemtica e a cultura hindus se tornassem familiares aos rabes, teve pensamentos audaciosos para poca ilustrados por seus questionamentos sobre se a terra giraria em torno de seu prprio eixo, no entanto, sem chegar h alguma concluso sobre tal questionamento, contribui tambm para a Fsica com seus estudos sobre a gravidade especfica. Foi sobrepujado, como fsico e matemtico, por ibn-al-Haitam ou simplesmente Alhazen como ficou conhecido no Ocidente, autor do tratado Tesouro da ptica inspirado nos trabalhos de Ptolomeu a respeito de reflexo e refrao, seu tratado inspirou mais tarde cientistas europeus da poca medieval e comeo da era moderna, Boyer (1996, p. 163). Alhazen questionou em seus estudos o aumento do tamanho da lua quando est prxima do horizonte e a estrutura do olho, porm seu nome se preservou na matemtica devido ao problema de Alhazen, que como ficou conhecido o seguinte problema, traar, por dois pontos do plano de uma circunferncia dada, duas retas que se interceptam num de seus pontos e que formam ngulos iguais com a circunferncia no ponto de interseco, a soluo deste problema apareceu em seus estudos sobre fsica, ele pode ser considerado o maior fsico entre os muulmanos daquele tempo. H estria que relata que ele fingiu-se de louco para escapar de ser castiga pelo califa Hakin, pois correu um boato de que ele teria afirmado ser capaz de inventar uma maquina para regular a vazo do rio Nilo, Boyer (1996, p. 163) e Eves (2004, p. 264).

4.5. Omar Khayyam

Omar Khayyan pode ter sido o rabe a dar a mais profunda e original contribuio algbrica, quando forneceu a resoluo geomtrica de uma equao cbica, Eves (2004, p. 261). Ele ficou conhecido no ocidente como um dos maiores poetas rabes, escreveu uma lgebra que ia alm da al-Khowarizmi, inclua equaes de terceiro grau, pois generalizou o mtodo para cobrir todas estas equaes, produzindo para as equaes de segundo grau solues aritmticas e geomtrica. Vale ressaltar que hoje em dia com avano das notaes e prprio

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pensamento matemtico muito mais simples encontrar a solues para equaes cbicas, naquela poca este trabalho exigiu muito deste matemtico. Ele tambm chegou perto da definio de nmero irracional, ao substituir a teoria das propores de Euclides por um mtodo numrico, Boyer (1996, p. 165).

4.6. Nasir Eddin

Dando continuidade aos trabalhos de Abul-wefa, Nasir Eddin fez o primeiro tratado sistemtico de trigonometria plana e esfrica, em que esta foi estudada como assunto independente da astronomia, infelizmente este trabalho no teve grande influencia na Europa. Em astronomia, no entanto, ele desenvolveu estudos que podem ter chegado ao conhecimento de Coprnico, Nadir observou que o movimento circular uniforme de dois corpos combinados, em sentido horrio, pode produzir um movimento retilneo (ver figura 3), nas palavras do autor se um crculo rola sem deslizar ao longo do interior de um circulo de dimetro duas vezes maior, o lugar de um ponto sobre a circunferncia do circulo menor ser o dimetro do circulo maior, Boyer (1996, p. 166).

Figura 3 Fonte: Os autores deste trabalho

4.7. Al-Kashi

Al-Khashir figura importante na historia das fraes decimais, ele foi talvez o primeiro a sugerir que as fraes decimais eram to convenientes quanto as sexagesimais nos problemas que exigem muitas casas exatas. Produziu clculos precisos nas solues de equaes pelo mtodo de Honer, possivelmente proveniente da China. Forneceu uma aproximao de , mais precisa de que a de

todos os predecessores fez trabalhos sobre o teorema binominal sob a forma do triangulo de Pascal, ele foi um grande calculista Boyer (1996, p. 167).

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5. Consideraes finais

O povo rabe na histria da humanidade teve um papel fundamental para o desenvolvimento do pensamento humano, quando salvaguardou obras de valor inestimvel para cultura mundial. Na histria da matemtica foram grandes suas contribuies, pois o conhecimento matemtico se constri tijolo a tijolo, de modo continuo, sendo assim podemos dizer que todas as etapas de construo deste conhecimento so importantes, e os trabalhos dos rabes se no foram sempre originais serviram de base para alguns cientistas europeus do final da idade mdia e renascentistas e enquanto na Europa olhavam-se os cus com temor eles observavam estes mesmos cus com o rigor cientifico. Obviamente, que as controvrsias a respeito da relevncia das contribuies dos rabes no cessaram por vrios motivos, principalmente, de cunho cultural que est imbudo em nossas mentes, eles assumiram ora o papel de viles quando no primeiro sculo de dominao depredaram boa parte de Alexandria, ora o papel de guardies do conhecimento humano, quando traduziram diversas obras tornando possvel que mais tarde chegassem ao ocidente. O ser humano ser social, e por isso importante expandir sua compreenso cultural do mundo para alcanar um maior entendimento dos conhecimentos. Os matemticos no fogem a essa regra, sem a histria a matemtica pode passar a idia de que seus conhecimentos j nasceram prontos e acabados, Estes podem deixar de perceber a beleza, o poder e as divertidas curiosidades inerentes a histria da matemtica. Para professores e bacharis de matemtica pode ser uma fonte inspirao.

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Referncias bibliogrficas

BOYER, Carl B.. Histria da matemtica ver. Uta C. Merzbach. trad. Elza F. Gomide. 2 ed.- So Paulo: Blcher, 1996. EVES, Howard. Introduo histria da matemtica trad. Hygino H. Domingues.- Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. TAHAN, Malba (SOUZA, Jlio Cesr de Mello e). Matemtica divertida e curiosa 23 ed.- Rio de Janeiro: Record, 2006. TAHAN, Malba (SOUZA, Jlio Cesr de Mello e). O homem que calculava ilust. Silvio Vitorino, [S. c]: [S.e], [S.n]. CONDUR, Marise Teles. Elaborao de trabalhos acadmicos: normas,critrios e procedimentos.Belm:NUMA.UFPA,EDUFPA,2005.

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Centro de Cincias Sociais e da Educao Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Rodovia PA-154, Km 28 Salvaterra- PA

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