PENENTUAN PERCEPATAN GRAVITASI BUMI DENGAN METODE

AYUNAN MATEMATIS

A. TUJUAN

1. Memahami asas ayunan matematis

2. Menentukan besar percepatan gravitasi ditempat percobaan yang dilakukan

dengan analisis yang berbeda-beda

3. Menggambarkan grafik hubungan panjang tali dengan periode kuadrat

B. ALAT DAN BAHAN

1. Bandul sederhana

2. Mistar

3. Tali

4. Stopwatch

C. DASAR TEORI

1. Gerak Harmonik

Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama

disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga

sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak

periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran.

Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada

ujung pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak

jenis gerak lain (osilasi dawai, roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul,

dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini, sehingga pada

kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail.

Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar

terjadi tidak tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan

gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan

petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan

secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan

menyebabkan benda-benda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini

disebut getaran harmonik teredam. Walaupun kita tidak dapat menghindari

gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan menambahkan energi ke

dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat

gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai.

Pada kesempatan ini kita hanya membahas gerak harmonik sederhana secara

mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis gerak yang

menyerupai sistem ini.

2. Gerak Harmonik Sederhana

Gerak harmonis sederhana yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-

hari adalah getaran benda pada pegas dan getaran benda pada ayunan

sederhana. Kita akan mempelajarinya satu persatu.

Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :

1. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam

silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal /

vertikal dari pegas, dan sebagainya.

2. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/

bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.

Beberapa contoh Gerak Harmonik Sederhana yaitu: gerak harmonik pada

bandul, dan gerak harmonik pada pegas.

3. Gerak Harmonik Sederhana Pada Ayunan

Gambar 1. Ayunan sederhana bandul

Ketika beban digantungkan pada ayunan dan tidak diberikan gaya maka

benda akan diam di titik kesetimbangan B (lihat gambar 1). Jika beban ditarik

ke titik A dan dilepaskan, maka beban akan bergerak ke B, C, lalu kembali lagi

ke A. Gerakan beban akan terjadi berulang secara periodik, dengan kata lain

beban pada ayunan di atas melakukan gerak harmonik sederhana.

Benda yang bergerak harmonis sederhana pada ayunan sederhana

memiliki periode alias waktu yang dibutuhkan benda untuk melakukan satu

getaran secara lengkap. Benda melakukan getaran secara lengkap apabila benda

mulai bergerak dari titik di mana benda tersebut dilepaskan dan kembali lagi ke

titik tersebut.

Pada gambar 1, benda mulai bergerak dari titik A lalu ke titik B, titik C

dan kembali lagi ke B dan A. Urutannya adalah A-B-C-B-A. Seandainya benda

dilepaskan dari titik C maka urutan gerakannya adalah C-B-A-B-C.

Jadi periode ayunan (T) adalah waktu yang diperlukan benda untuk

melakukan satu getaran (disebut satu getaran jika benda bergerak dari titik di

mana benda tersebut mulai bergerak dan kembali lagi ke titik tersebut ). Satuan

periode adalah sekon atau detik.

Frekuensi (f)

Selain periode, terdapat juga frekuensi alias banyaknya getaran yang

dilakukan oleh benda selama satu detik. Yang dimaksudkan dengan getaran di

sini adalah getaran lengkap. Satuan frekuensi adalah 1/sekon atau s-1. 1/sekon

atau s-1 disebut juga hertz, menghargai seorang fisikawan. Hertz adalah nama

seorang fisikawan tempo doeloe. Silahkan baca biografinya untuk mengenal

almahrum eyang Hertz lebih dekat.

Hubungan antara Periode dan Frekuensi

Frekuensi adalah banyaknya getaran yang terjadi selama satu

detik/sekon. Dengan demikian selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan

satu getaran adalah :

1getaranf getaran

1 sekon=1f

sekon (1)

Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah

periode. Dengan demikian, secara matematis hubungan antara periode dan

frekuensi adalah sebagai berikut :

T=1f

f = 1T (2)

T = Periodef = frekuensi

Amplitudo (A)

Pada ayunan sederhana, selain periode dan frekuensi, terdapat juga

amplitudo. Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan.

Pada contoh ayunan sederhana sesuai dengan gambar di atas, amplitudo

getaran adalah jarak AB atau BC.

Gambar 2. Gaya-gaya yang bekerta pada bandul sederhana

Gambar 2 memperlihatkan sebuah bandul yang panjang L dengan massa

partikelnya m, membentuk sudut θ dengan vertical. Gaya yang bekerja pada m

adalah mg, yaitu gaya gravitasi, dan T, tegangan Tali. Uraikan mg atas

komponen radial, dengan besar mg cos θ dan komponen tangensial, dengan

besar mg sin θ. Komponen radial dari gaya tersebut member sumbangan pada

gaya sentripetal yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak pada busur

lingkaran. Komponen tangensialnya bertindak sebagai gaya pemulih yang

bekerja pada m untuk mengembalikannya ke titik setimbang. Jadi gaya

pemulihnya adalah

F=−mg sin θ (3)

Perhatikan bahwa gaya pemulih ini tidaklah sebanding dengan

simpangan sudut , melainkan dengan sin θ; karena itu gerak yang terjadi

bukanlah gerak harmonic sederhana. Tetapi jika sudut θ kecil, maka sin θ

hampir sama dengan θ bila dinyatakan dalam radian. Pergeseran sepanjang

busur adalah x=lθ, dan untuk sudut yang kecil keadaannya mendekati gerak

dalam garis lurus. Jadi, dengan menganggap

sin θ≅ θ (4)

Maka diperoleh

F=−mgθ=−mg xl=−(mg

l ) x (5)

Untuk simpangan yang kecil gaya pemulihnya sebanding dengan

simpangan dan berlawanan arah. Ini tidak lain daripada criteria gerak harmonic

sederhana. Konstanta mg/l menyatakan k dalam F=-kx. Maka periode bandul

sederhana jika amplitudonya kecil adalah

T=2 π √ mk=2 π √ m

mg / l atau T=2 π √ l

g (6)

Dengan metode ini memberikan cara pengukuran harga g, percepatan

gravitasi, yang cukup sederhana. Dengan hanya mengukur l dan T saja.

4. Percepatan Gravitasi

Percepatan gravitasi g adalah percepatan yang dialami oleh benda karena

beratnya sendiri. Berat benda adalah gaya trik bimi pada benda tersebut. Gaya

ini adalah gaya gravitasi yaitu gaya tarik menarik antara dua massa.

Hukum gaya gravitasi jagat raya menurut Newton dirumuskan dengan

persamaan :

F=G m m'❑

r2 (7)

Dimana :

F = gaya saling tarik mena Ik antara massa m dengan m’

m = massa benda pertama

m’ = massa benda kedua

r = jarak antara kedua pusat massanya

G = tetapan gaya gravitasi

Hukum ini berlaku untik semua massa di jagat raya ini. Jadi menurut

hokum ini berat suatu benda di bumi adalah

w=G Mmr 2 (8)

Dimana :

M = massa bumi

m = massa benda

r = jarak benda samapai pusat bumi

Menurut hukum II Newton bahwa F = m.a yang dalam hal ini adalah

w = m.g , maka percepatan gravitasi :

g=G Mr2 (9)

Pernyatan gravitasi di permuaan bumi adalah :

g0=G MR2 (10)

dimana R dalah ruji bumi.

Karena bumi tidak berbentuk bola maka besar g tidaklah samuntuk setiap

tempat permukaan bumi. Hubungan antara g di suatu tempat yang jaraknya = r

dari pusat bumi dengan g0 diperoleh :

g=g0R2

r2 (11)

Untuk suatu tempat setinggi h dari permukaan bumi

g=g0R2

(R+h)2 (12)

Untuk h yang jauh lebih kecil dari R, maka berlaku :

g=g0[1−2 hR ] (13)

D. PROSEDUR PERCOBAAN

1. Susun alat seperti tampak pada gambar 3. Bandul berada dalam keadaan

setimbang,

Gambar 3. Susunan alat percobaan

2. Hitung panjang tali yang digunakan. Catat pada tabel hasil pengamatan.

3. Bandul kemudian diberi simpangan kecil kemudian dilepaskan, diusahakan

agar ayunan mempunyai lintasan dalam bidang dan tidak berputar.

4. Selanjutnya dicatat waktu yang dibutuhkan untuk 10 kali ayunan (untuk satu

periode).

5. Selanjutnya dilakukan pengambilan data dengan cara bervariasi:

a. Data pertama, panjang tali dukur satu kali pengukuran dengan panjang tali

90cm sedangkan periode satu kali pengukuran

b. Data kedua, panjang tali diukur satu kali pengukuran dengan panjang tali

90cm, sedangkan periode lima kali pengukuran

c. Data ketiga, panjang tali diukur sebanyak lima kali pengukuran dengan

panjang tali berbeda-beda yaitu 90cm, 80cm, 70cm, 60cm, dan 50cm.

sedangkan periodenya lima kali pengukuran setiap panjang tali.

E. DATA HASIL PERCOBAAN

a. Percobaan 1

Tabel 1. Data hasil percobaan dengan satu kali pengukuran

l (cm) N t T

50 10

b. Percobaan 2

l = 50 cm (tetap)

N = 5 kali

Tabel 2. Data hasil percobaan dengan 5 kali pengukuran waktu ayunan dengan

panjang tali tetap

NO t T

1

2

3

4

5

c. Percobaan 3

N = 5 kali

Tabel 3. Data hasil percobaan dengan variasi panjang tali

NO l(cm) t(s) T

1 90

2 70

3 50

F. ANALISIS DATA

1. Untuk data dengan panjang tali 1 kali pengukuran dan waktu ayunan 1

kali pengukuran , maka:

l=0,5 m

T=¿s

T 2=¿

T 3=¿

Sl = 12

x=¿

ST=12

x=¿

g= 4 π 2lT 2 =

4 (3,14)2 x 0 ,5………….

………….

=√(4 π2

T 2 sl)2

+(8 π2 lT 3 sT )

2

sg=√(∂ g∂ l

sl)2+( ∂ g

∂TsT )

2

= √¿¿¿

= ......................

Sehingga diperoleh nilai g=( g±sg )=( .. .. . .. .. . .. .. .±. . .. .. . .. .. . .. .. .)m /s2

2. Pada percobaan panjang tali tetap dengan 1 kali pengukuran dengan

waktu ayunan 5 kali pengukuran

l=0 ,5 0 m

N = 5 kali

Tabel 4. Data hasil percobaan dengan 5 kali pengukuran waktu ayunan dengan

panjang tali tetap

NO t T

1

2

3

4

5

Dicari nilai g dari masing-masing data

g1=4 π2 ℓ

T 2 =4 x (3 ,14 )2 x 0,5.. . .. .. . .. .. . .. .

=. .. .. . .. .. . .. .. m /s2

g2=4 π2 ℓ

T 2 =4 x (3 ,14 )2x 0,9.. . .. .. . .. .. . .. ..

=. .. .. . .. .. . .. . m/ s2

g3=4 π2 ℓ

T 2 =4 x (3 ,14 )2 x0,9. .. .. . .. .. . .. .. . .

=. .. . .. .. . .. .. . m /s2

g4=4 π2 ℓ

T 2 =4 x (3 ,14 )2 x 0,9.. .. . .. .. .. . .. .. .

=.. .. . .. .. . .. .. m /s2

g5=4 π2 ℓ

T 2 =4 x (3 ,14 )2x 0,9. .. .. . .. .. . .. .. ..

=. .. . .. .. .. . .. . m /s2

selanjutnya nilai percepatan gravitasi yang sudah diperoleh dimasukkan ke tabel

seperti berikut ini:

Tabel 5. Analisis Data panjang tali tetap dengan lima kali pengukuran waktu

ayunan

No gi gi− g ( gi−g )2

12345Σ

g=∑ gi

N=.. .. . .. .. . .. .

5=. .. . .. .. . .. .. . m /s2

S g=√∑ (g i− g )2

n(n−1)=√ .. . .. .. . .. .. . ..

5 (5−1 )=√. . .. .. . .. .. . .. .. . .

20=. .. .. . .. .. . .. .m/ s2

Sehingga diperoleh nilai g=( g±s g )=( .. .. . .. .. .±. . .. .. . .. .. .)m /s2

3. Analisis Data Rata-rata berbobot

Data yang diperoleh untuk analisis data rata-rata berbobot dari beberapa

kelompok yang telah dianalisis data panjang tali tetap dengan lima kali

pengurun waktu ayunan, maka diperoleh data sebagai berikut:

Kelompok 1

( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )

Kelompok 2

( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )

Kelompok 3

( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )

Kelompok 4( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )

Kelompok 5( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )

Maka :

g=

g1

sg1

2 +g2

sg2

2 +g3

sg3

2 +g4

sg4

2 +g5

sg5

2

1sg1

2 + 1sg2

2 + 1sg3

2 + 1sg4

2 + 1sg5

2

g=

……… ..……… ..

+ ……… ..……… ..

+ ……… ..……… ..

+ ………..………..

+ ……… ..……… ..

……… ..……… ..

+ ……… ..……… ..

+ ……… ..……… ..

+ ………..………..

+ ……… ..……… ..

g= ...........

sg= 1

√ 1sg1

2 +1sg2

2 +1sg3

2 +1sg4

2 +1sg5

2

sg= 1

√ 1… … …… ..

+ 1… …… …..

+ 1…… …… ..

+ 1… …… …..

+ 1…… … …..

sg = ...................

Sehingga diperoleh nilai g=( g±sg)=( .. .. . .. .. . .. .±. .. . .. .. . .. .)m /s2

4. Regresi linier tanpa bobot, dengan panjang tali divariasikan dengan 1 kali

pengukuran waktu ayunan

Tabel 6. Data hasil percobaan dengan variasi panjang tali

NO l(cm) t(s) T

1 90

2 70

3 50

Dengan memisalkan x =ℓ , y=T 2,a=4 π2

g maka diperoleh persamaan garis

lurus y=ax i+b sehingga dapat dibuat data seperti tabel berikut:

Tabel 7. Analisis Data dengan variasi panjang tali

No x i y ix

i2 x i y i y=ax+b y− y ( y− y )2

1 0,9 m

2 0,7 m

3 0,5 m

Σ ....

a=N ∑ x i y i−∑ xi∑ y i

N∑ xi2−(∑ x i )

2 =(3)( . .. .)−( . .. .)( . .. .)

(3 )( .. . .)−( .. . .)2 =. .. .. . ..

b=∑ x

i2∑ y i−∑ x i y i∑ x i

N∑ xi2−(∑ x i )

2 =( . .. .)( . .. .)−( .. . .)( . .. .)

( .. . .)( .. . .)−( .. .. )2 =. .. ..

s y=√∑ ( y i− y )2

N−2=√. .. .

3−2=√. .. .

1=. . .. .

sa=s y √ N

N∑ x2−(∑ x )2=( .. . .. )√ 3

( .. . .)( .. . .)−( .. .. . )2=.. . ..

g= 4 π 2

a=

(4 )(3 , 14 )2

. .. .=. .. . .. m /s2

sg=√(∂ g∂ a

sa)2=√(−4 π2

a2 sa)2

=4 π2

a2 sa=( 4 )(3 , 14 )2

( .. .. .)2 ( . .. .. )=. .. .. .m /s2

Sehingga diperoleh nilaig=( g±sg )=( .. .. . ..±.. .. . .)m /s2

G. PEMBAHASAN

Pada percobaan ini, bertujuan untuk memahami asas ayunan matematis,

menentukan besar percepatan gravitasi ditempat percobaan yang dilakukan dengan

berbagai analisis, dan menggambarkan grafik hubungan panjang tali dengan

periode kuadrat ayunan.

Agar diperoleh data yang cukup teliti , tali penggantung harus lebih ringan

dari bola, simpangan harus kecil, gesekan dengan udara harus sngat kecil, dan gaya

puntiran tidak boleh ada.

Pengambilan data pada percobaan ini dilakukan tiga variasi. Pengambilan

data pertama, pengukuran panjang tali dan waktu ayunan bandul satu kali

pengukuran. Pengukuran kedua, dengan panjang tali sama dengan pengukuran

pertama dengan satu kali pengukuran dan waktu ayunan lima kali pengukuran.

Pengukuran ketiga, memvariasikan panjang tali.

Berdasarkan hasil analisis data diperoleh masing-masing percepatan

gravitasi (g). Pada analisis pertama, dengan cara mengukur panjang tali satu kali

pengukuran kemudian periode diukur satu kali pengukuran, diperoleh nilai

percepatan gravitasi bumi sebesar g= ( .. . .. .±. .. . .. )m / s2.

Pada analisis kedua, dengan mengukur panjang tali satu kali pengukuran

dan periode diukur lima kali pengukuran yang kemudian dianalisis dan diperoleh

nilai percepatan gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. .±. . .. .. . .)m /s2.

Selain itu dilakukan analisis berbobot, dengan sumber data hasil analisis

kelompok lain dari hasil mengukur panjang tali satu kali pengukuran dan periode

diukur lima kali pengukuran. Setelah dilakukan analisis dan diperoleh percepatan

gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. . .±. .. .. . .. )m /s2 .

Berdasarkan tiga analisis diatas yang memiliki panjang tali yang sama

sebesar 90 cm, diperoleh hasil percepatan gravitasi (g) yang berbeda-beda. dapat

kita lihat hasil analisis berbobot menghasilkan percepatan gravitasi (g ) yang lebih

baik daripada hasil analisis pengukuran tunggal dan berulang. Akan tetapi, antara

hasil analisis pengukuran berulang diperoleh lebih baik daripada pengukuran

tunggal. Ini membuktikan lebih banyak data yang diperoleh dari suatu percobaan

memperoleh hasil yang lebih baik.

Pada analisis data keempat, dengan ukuran panjang tali yang bervariasi dan

periode diukur lima kali pengukuran sesuai dengan panjang tali masing-masing,

Selanjutnya data yang diperoleh dianalisis dengan regresi linier tanpa bobot,

diperoleh nilai percepatan gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. .±. . .. .. )m/ s2. Dari hasil

percobaan diperoleh grafik hubungan antara periode (T2) dan panjang tali(ℓ )

seperti berikut ini:

Contoh grafik

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.51

1.52

2.53

3.54

hubungan panjang tali dengan periode kuadrat ayunan

hubungan panjang tali den-gan periode kuadrat ayunanLinear (hubungan panjang tali dengan periode kuadrat ayunan)

Panjang Tali (m)

perid

e ku

adra

t

Grafik 1. grafik hubungan antara periode (T2) dan panjang tali (L)

Berdasarkan grafik 1, dapat diartikan semakin panjang tali ayunan semakin

besar periode yang diperoleh. Nilai gravitasi yang diperoleh memiliki

kecenderungan yang relatif sama atau mirip. Data yang diambil dilakukan pada

panjang yang tetap dan panjang yang diubah-ubah sehingga dapat diperoleh akurat

perhitungan yang diperoleh.

H. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil percobaan dapat disimpulkan:

1. Nilai percepatan gravitasi bumi dapat ditentukan dengan berbagai macam

pengukuran dan metode analisis yang digunakan.

2. Analisis berbobot memperoleh hasil percepatan gravtasi (g) yang lebih baik dari

ke empat analisis lain. Dikarenakan analisis regresi berbobot didasarkan dari

data yang banyak.

3. Hubungan kuadrat periode ayunan sebanding dengan panjang tali. Semakin

panjang tali semakin besar periode yang diperoleh.

4. Besar nilai percepatan gravitasi bumi yang diperoleh dengan berbagai macam

pengukuran dan metode analisis adalah sebagai berikut:

Analisis ke Nilai g (m/s2)

1 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.

2 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.

3 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.

4 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.

I. DAFTAR PUSTAKA

Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I  (Terjemahan). Jakarta : Penerbit

Erlangga.