chitlada.blogspot‐chitlada.blogspot.com ลําดับ และอนุกรม ฟ...

www.kru‐chitlada.blogspot.com

ลาดบ และอนกรม

ฟ ช โ ป ซ

ลาดบ อนกรม

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปมาก โดยเรมตงแต 1

ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบเรยกวา ลาดบ


ลาดบเลขคณต:ผลตางเทากน อนกรมเลขคณต ผลรวมของลาดบเลขคณต

an = a1 + (n‐1)dd คอ ผลตาง n 1 n

nS (a a )2= +

ลาดบเรขาคณต:ผลหารเทากนa = a rn‐1

อนกรมเรขาคณต ผลรวมของลาดบเรขาคณตa a r−an = a1r

r คออตราสวนรวม1 n

na a rS , r 11 r= ≠−

หมายเหต ตองตรวจสอบกอนวาเปนลาดบเลขคณตหรอลาดบเรขาคณต


ตวอยาง 1, 2, 3, 4

ตรวจสอบ ผลตาง ผลหาร2‐1 = 13‐2 = 1

2/1 =23/2 = 1 5

4‐3 =13/2 = 1.54/3 = 1.33

นนคอ เปนลาดบเลขคณตเพราะผลตางเทากน

ผลทวไป an = a1 + (n‐1)d = 1 + (n‐1)(1) =1+n‐1 = nn 1 ( ) ( )( )


13/2551 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต เทากบขอใดตอไปน

1 1 1, , ,'''20 30 60− − −

1. 2. 512

1330

3. 4. 920

715

แนวคดwww.kru‐chitlada.blogspot.com

แนวคด13/2551 พจนท 31 ของลาดบเลขคณต เทากบขอใดตอไปน

1 1 1, , ,'''20 30 60− − − เทากบขอใดตอไปน

สงทตองหา 1. a3131สตร an = a1 + (n‐1)d

( ) +( ) ( )( ) − × − +×=− − − =− + = + = =× ×( 1) 2 ( 2) 31 31 1 1 1 1d 30 20 30 20 30 2 20 3 60 60

30 10 91 1 1 1 1 1=− + − =− + =− + =− + =3030 10 91 1 1 1 1 1a (31 1)( ) 30( )20 60 20 60 20 60 20 20 20

ดงนน a30 =9

2 0


14/2551 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8+ …+256เทากบขอใดตอไปน

1. ‐171 2. ‐85

3. 85 4. 171


แนวคด14/2551 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8+ …+256

เทากบขอใดตอไปน

สงทตองหา 1. Sn

สตร 1 nn

a a rS , r 11 r−

= ≠−2r 21−= =−

− − += = = =− −n1 256( 2) 1 512 513S 1711 ( 2) 3 3( )

ดงนน Sn = 171


15/2551 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 –S8 = 32 แลว10 8 พจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน

1. 2. 163

203

3. 4. 263

323


แนวคด15/2551 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา S10 –S8 = 32 แลวพจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน

สงทตองหา 1. a9

สตร an = a1rn‐1

โจทยกาหนด r = 2 , S10 –S8 = 32

ดงนนหา S10 , S8 กอน แลวแกสมการ จะได a1

1 nn

a a rS , r 11 r−

= ≠−

1 na a rS r 0−= ≠nS , r 01 r= ≠−

−a a (2) −a a (2)= −

1 1010

a a (2)S ,1 2หา a10

a a (2)10‐1 29a

= −1 8

8a a (2)S ,1 2

หา a8

a a (2)8‐1 27aa10 = a1(2)10‐1 =29a1

− 9a 2 a (2)

a8 = a1(2)8‐1 =27a1

− 7a 2 a (2)= −

1 110

a 2 a (2)S ,1 2− 10a 2 a

= −1 1

8a 2 a (2)S ,1 2− 8a 2 a

= −1 1

10a 2 aS 1 = −

1 18

a 2 aS 1=− + 10

10 1 1S a 2 a =− + 88 1 1S a 2 a

=− + 1010 1 1S a 2 a =− + 8

8 1 1S a 2 aS10‐S8 = 3210 8

ดงนน a + 210a ( a + 28a ) = 32ดงนน ‐a1 + 210a1 – (‐a1 + 28a1) = 32‐a1 + 210a1 + a1 ‐ 28a1 = 32

210a1 ‐ 28a1 = 32

28(22a1 ‐ a1 ) = 322 (2 a1 a1 ) 32

28(3a1 ) = 32

a1 = 5

82

3 2i3 2

a =52a1 = 8

23 2i

1a1 =

9 11 (2 )−ดงนน a = a = a rn‐1

31

3 2i3 (2 )3 2iดงนน a9 = an = a1r

a = 81 (2 )a9 = 3 (2 )3 2i52a9 = 3

a9

323

a9 = 3


16/2551 จากรปแบบตอไปน โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + cมคาเทากบขอใดตอไปน

7 14 21 7771 2 4

142 4 8

213 6 12

77a b c…

1. 11 2. 22

3. 33 4. 44


แนวคด7 14 21 77

b

จะได b = 2a ดงนน 2a‐b+c 1 2 4 2 4 8 3 6 12 a b c…

c = 2b = 2(2a) = 4a =2(11)‐2(11)+4(11)= 44

และ a +b + c = 77+ 2 + 4 77a + 2a + 4a = 777a = 77

a = 77711a = 11


20/2553 กาหนด ให เปนลาดบเลขคณต3 1,1, ,...2 2 ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1. ‐18 2. ‐19

3. ‐37 4. ‐38


แนวคด20/2553 กาหนด ให เปนลาดบเลขคณตผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด3 1,1, ,...2 2

สงทตองหา 1. a40 และ a4240 42

สตร an = a1 + (n‐1)d3 1d 1 2 2= − =−

( )3 3 3 39 361 1( )( ) ( ) −+ + +( )403 3 3 39 361 1a (40 1)( ) 39( ) 182 2 2 2 2 2 2= + − − = + − = + − = =−

( )3 3 3 381 1 41( )( ) ( ) −+ + +( )423 3 3 381 1 41a (42 1)( ) 41( ) 192 2 2 2 2 2 2= + − − = + − = + − = =−

ดงนน a40 + a41 = (‐18)+(‐19) = ‐37


21/2553 ใน 40 พจนแรกของลาดบ มกพจน ทมคา เทากบพจนท 40

nna 3 ( 1)= + −

1. 10 2. 20

3. 30 4. 40


แนวคด21/2553 ใน 40 พจนแรกของลาดบ มกพจน ทมคา เทากบพจนท 40

nna 3 ( 1)= + −

สงทตองหา : แทนคาลงไปทละคา

A1 =3+ (‐1)1 = 3+ (‐1) = 2

A 3 ( 1)2 3 1 4A2 =3+ (‐1)2 = 3+ 1 = 4A3 =3+ (‐1)3 = 3+ (‐1) = 2

A4 =3+ (‐1)4 = 3+ 1 = 4

A40 =3+ (‐1)4 = 3+ 1 = 4

นนคอ พจนทมคา เทากบพจนท 40 ม 20 จานวน


22/2553 กาหนดให a1, a2, a3, … เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = ‐64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก2 5 ของลาดบนเทากบขอใด

1. 2,048 2. 1,512

3. 1,364 4. 1,024


แนวคด22/2553 กาหนดให a1, a2, a3, … เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = ‐64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก ของลาดบนเทากบขอใด

โจทยบอก : เปนลาดบเรขาคณต a2 = 8, a5 = ‐64 นนคอ r เทากน

สงทตองหา 1 rสงทตองหา 1. r2. a1

1 nn

a a rS , r 11 r−

= ≠−3. a10

a2 = 8, a5 = ‐64 หา r 1 nn

a a rS , r 01−

= ≠www.kru‐chitlada.blogspot.com

2 , 5 n ,1 r−2 1

2 1a a r −=5 1

5 1a a r −=2 1 5 1

118 a r= 4

164 a r− =1 2

2/1;4

1a r64− =2/1; 11

8 a r=

38 r− =8 r3r 8= −

r 2=−r 2=


r 2=−

118 a r= 1

หา a1 โดยนา r= ‐2 แทนในสมการ 1 an = a1rn‐1r คอผลตาง

ดงนน 1

18 a ( 2)= −8

910a ( 4)( 2)= − −

r คอผลตาง

18 a2 =−

14 a− =

10

10a ( 4)( 512)= − −

10a 2048=

r 2=− 14 a− = 5a 2048=www.kru‐chitlada.blogspot.com

a a r−

r 2 1 5

1 nn

a a rS , r 11 r= ≠−

104 2048( 2)S 1 ( 2)− − −= − −

104 4096S 1 2− += +4092

104092S 3=

S 1364=10S 1364


11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17,26,…โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของลาดบคอขอใดตอน

1. 145 2. 121

3. 101 4. 84

11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2 5 10 17 26 โดยแนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com

11/2552 พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17,26,…โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของลาดบคอขอใดตอน

2

53

3713

50

a1

a

a6

a5

105

5015

65

a2

a3

a7

a10

177

6517

82

3

a4

a8

a9

269 19

101a5

9

a1011

37a6

10


17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40

1. an = 1‐2n 2. an = 1+2n

3. an = 2‐2n 4. an = 2+2n

17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40www.kru‐chitlada.blogspot.com

17/2552 ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40

สงเกตวาทกพจน ม 2n

2 40 20ดงนน 2n = 40 ; n = 20

ลองแทน m= 20, 19,18

1 a = 1‐2n : ตดลบ1. an 1 2n : ตดลบ

2.an = 1+2n

3.an = 2‐2n :

4 a = 2+2n4. an = 2+2n


18/2552 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 =2และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนงตอไปนแลว3 2

ขอดงกลาวคอขอใด

1. ‐20 2. ‐50

3. 60 4. 100

18/2552 กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 =2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาใน ไ


ขอใดขอหนงตอไปนแลวขอดงกลาวคอขอใด

n 1−สตร n 1n 1a a r=สตร

หา r จาก a = a r3‐1หา r จาก a3 = a1r3 1

200=(2)r2

r2 200/2r2 =200/2r 2= 100r = + 10r = +‐ 10

นนคอ a2 =(2)(‐10)1 หรอ a2 =(2)(10)1 a2 = ‐20 หรอ a2 = 20a2 20 หรอ a2 20


23/2553 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน

1 3 5 ... (2n 1) ... 199+ + + + − + +1.

1 1 1 11 ... ...3 5 (2n 1) 199+ + + + + +−2.

n 1 1991 2 4 ... (2 ) ... 2−+ + + + + +

1 1 1 1 1+ + + + + +

3.

4 2 n 1 1991 1 1 1 1... ...5 125 3125 5 5−+ + + + + +4.

23/2553 แนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com

23/2553 ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน

ขอ 1 เปนลาดบเลขคณตขอ 2 ไมเปนทงลาดบเลขคณตและเรขาคณตขอ 3, 4 เปนลาดบเรขาคณต ดงนนจงพจารณาเฉพาะขอ 3, 4

n 1 1991 2 4 ... (2 ) ... 2−+ + + + + +ขอ3. 2 n 1 1991 1 1 1 1... ...5 125 3125 5 5−+ + + + + +ขอ4.

an = a1rn‐1 :r = 2/1 = 25 5

an = a1rn‐11 1 1 1: r 5125 5 125 25= ÷ = × =

( )n 11 1 1 −199 n 12 1 2 −= ×199 n 12 2 −=

( )1991 1 1

5 255 =n 11 1 1 −

= ×

199 2 n 21 1

5 5 5 −=×

1 12 2=ดงนน 199 = n‐1

200

199 n 155 25 −= ×

199 2 ( n 1)1 1 1

55 5 −= ×199 2 n 11 1

5 5 −=

ดงนน 199 = 2n‐1n = 200 55 5

2n = 200n = 100


24/2553 คาของ 1+6+11+16+…+101 เทากบขอใดตอไปน

1. 970 2. 1020

3. 1050 4. 1071

แนวคด www.kru‐chitlada.blogspot.com

24/2553 คาของ 1+6+11+16+…+101 เทากบขอใดตอไปน

ตรวจสอบวาเปนลาดบชนดใดเปนลาดบเลขคณต

n 1 nnสตรS (a a )2= + (จะตอง n กอน)

an = a1 + (n‐1)d ; d = 6‐1 = 5101 = 1 +(n‐1)(5)

n21S (1 101)2= +21S (102)( )( )

101 = 1 +5n‐5101 = 5n‐4

n21S (102)2=

nS (21)(51)=105 = 5n21 = n

nS 1071=


16/2554 ลาดบเรขาคณตลาดบหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรก เปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปนอตราสวนรวมของ ลาดบนแลว มคาเทากบขอใดตอไปน1r r+

1. 2. 103

73

3. 4. 43

13


17/2554 กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1, a2, a3, …, ถา S5 = 90 และ S10 = 5 แลว1, 2, 3, , 5 10 a11 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. ‐39 2. ‐38

3. ‐37 4. ‐36


31/2554 ลาดบเลขคณต ‐43, ‐34, ‐25,… มพจนทมคานอยกวา 300 อยกพจน

พจารณาวา 300 เปนลาดบทเทาไร ดงนน an= 299

an = a1 + (n‐1)d : d = ‐34‐(‐43) = ‐34 + 43 = 9

299 = ‐43 + (n‐1)(9)

299 = ‐43 + 9n‐9299 43 + 9n 9

299+43+9 = 9nดงนน เมอ 300อยพจนท แลวจานวน139351 n9 =

39=

ดงนน เมอ 300อยพจนท แลวจานวนทนอยกวา 300 มอย 39 พจน

39 9

39 n=


32/2554 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 + (‐2) + 4 +(‐8) +…+256เทากบเทาใด

1 nn

a a r 2S , r 21 r 1− −= = =−−สตร 1 r 1

n1 256( 2)S 1 ( 2)− −= − −

n1 512S 1 2+= +

n513S 3=

Sn = 171

chitlada.blogspot‐chitlada.blogspot.com ลําดับ และอนุกรม ฟ...

Documents