a a a ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a alitvinog.com › files › alg_pm_ca ›...
TRANSCRIPT
1
Розділ 3. Визначники. Матриці. Системи
лінійних алгебраїчних рівнянь
Тема 3.1. Визначники та матриці
Визначники та матриці другого та третього порядків
Основні означення.
О.1. Матрицею другого порядку називається таблиця чисел, записана у вигляді:
11 12
21 22
a aA
a a
.
Тут ija ‒ елементи матриці.
О.2. Визначником другого порядку називається число таке, що
11 12
11 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a , (1)
де ija ‒ елементи визначника – числа.
Елементи 11a , 22a утворюють головну діагональ;
12a , 21a – утворюють побічну діагональ.
Визначник пов’язаний з матрицею A ;
запис: det A (determinant – визначник).
О.3. Матрицею третього порядку називається таблиця чисел, записана у вигляді:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
.
Елементи 11a , 22a , 33a утворюють головну діагональ;
13a , 22a , 31a – побічну діагональ.
О.4. Визначником третього порядку називається число таке, що
11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31
31 32 33
13 22 31 11 23 32 12 21 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
, (2)
det A .
Формула (2) записана з використанням правила трикутників:
«+» «‒»
Перші три доданки в формулі (2) ідуть зі знаком «+», останні – зі знаком «‒».
Приклад 1. Обчислити визначник , використовуючи правило трикутників.
2
1 0 2
3 4 5 1 4 2 3 1 2 0 0 5 2 4 0 1 1 5 0 3 2 8 6 5 9
0 1 2
.
О.5. Мінором елемента ija визначника третього порядку називається визначник другого
порядку, який отримується з даного викресленням i -го рядка та j -го стовпця, на
перетині яких стоїть елемент ija .
Приклад 2. Записати та обчислити мінори 11M ,
12M визначника
1 2 3
4 5 6
7 8 9
.
Розв’язання:
11
5 65 9 6 8 45 48 3
8 9M ;
12
4 64 9 7 6 36 42 6
7 9M .
О.6. Алгебраїчним доповненням елемента ija визначника третього порядку називається
число ijA :
1i j
ij ijA M
. (3)
Приклад 3. Знайти алгебраїчні доповнення 11A , 12A визначника , заданого в прикладі
2.
Розв’язання:
1 1
11 11 11
5 61 3
8 9A M M
;
1 2
12 12 12
4 61 6 6
7 9A M M
.
Властивості визначників
При доведенні будемо посилатися на формулу (1), а саме:
11 12
11 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a . (1)
01 . Якщо у визначнику замінити рядки стовпцями з тими ж номерами, то значення
визначника не зміниться.
Доведення. Сформуємо визначник 1 :
3
(1)
(1)
05 04
11 21
1 11 22 21 12
12 22
a aa a a a
a a , що й треба довести.
О. Процес заміни рядків стовпцями з тими ж номерами називається транспонуванням
(«транспонированием» - рос.).
Доведена властивість вказує на рівноправність рядків та стовпців.
Далі будемо писати: рядків (стовпців). 02 . Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпці), то значення визначника
зміниться на протилежне.
Доведення.
21 22
1 21 12 22 11
11 12
a aa a a a
a a .
03 . Якщо у визначнику всі елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то
визначник дорівнює нулю. 04 . Якщо у визначнику існують два однакових рядки (стовпці), то визначник дорівнює
нулю. 05 . Якщо у визначнику елементи деякого рядка мають спільний множник, то він
виноситься за знак визначника.
Доведення.
11 12
1 11 22 21 12
21 22
,k a k a
k a a a a k ka a
- число.
Наслідок. Якщо у визначнику існують два пропорційні рядки (стовпці), то визначник
дорівнює нулю.
Доведення.
11 12 11 12
1
11 12 11 12
0 0k a k a a a
k ka a a a
06 . Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка
(стовпця), помножені на деяке число, то значення визначника не зміниться.
Доведення.
11 12
1 11 22 12 12 21 11
21 11 22 12
11 22 11 12 12 21 11 12 .
a aa a ka a a ka
a ka a ka
a a ka a a a ka a
07 (теорема розкладання).
Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні
доповнення.
Без доведення.
Пояснення. Зазначену властивість записуємо у вигляді: 3
1
, 1,3ij ij
j
a A i
. (4)
4
Це формула розкладання визначника за елементами i -го рядка.
Аналогічно для стовпців.
Покладемо в (4) 1i .
Тоді 3
11 11 12 12 13 13
1
ij ij
j
a A a A a A a A
1 1 1 2 1 3
11 11 12 12 13 131 1 1a M a M a M
;
11 11 12 12 13 13a M a M a M . (4')
Це формула розкладання визначника за елементами першого рядка.
Приклад 4. Обчислити визначник , розклавши його за елементами першого рядка.
1 1 1 2
2 3 02 4 1 4
1 2 4 2 1 3 1 01 3 5 3
5 1 3
2 6 4 3 3 20 4 51 55.
08 (теорема анулювання).
Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення елементів
іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
Пояснення. Зазначену властивість запишемо у вигляді: 3
1
0, , , 1,3ij kj
j
a A i k i k
. (5)
Аналогічно для стовпців.
Покладемо в (5) 1i , 2k . Маємо 3
11 21 12 22 13 23
1
0ij kj
j
a A a A a A a A
(тут елементи I-го рядка, а алгебраїчні доповнення для елементів II-го рядка). 09 (теорема про розкладання визначника на суму двох визначників).
Якщо у визначнику елементи деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то він
розкладається на суму двох визначників 1 та 2 , тобто 1 2 , де у 1 у
відповідному рядку (стовпці) взято I-й доданок, а у 2 ‒ II-й доданок.
Без доведення.
Пояснення. Запишемо зазначену властивість у вигляді:
1 2
11 11 12 11 12 11 12
1 2
21 21 22 21 22 21 22
a b a a a b b
a b b a a b b
.
Всі наведені властивості використовуються при обчисленні визначників.
Приклад 5. Обчислити визначник , використавши формулу розкладання за елементами
I-го рядка, попередньо перетворивши всі елементи цього рядка, крім одного, в нулі
(використати властивість 06 ).
5
Ч -2 Ч -3
1 1
0, бо рядкипропорційні
1 2 3 1 0 03 6
4 5 6 4 3 6 1 1 0 0 06 12
7 8 9 7 6 12
.
Визначники n -го порядку
Позначення:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
....................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
.
Для визначників n -го порядку справедливі всі властивості, введені для визначників 2-го
та 3-го порядків.
Зокрема, теорема розкладання подається так:
1
, 1,n
ij ij
j
a A i n
.
Для обчислення визначників використовується метод пониження порядку, який
ґрунтується на теоремі розкладання. Використовуються також всі властивості
визначників.
Приклад. Обчислити визначник.
1 2 3 4 1 2 3 41 4 3
0 1 4 3 0 1 4 3 2 21 0 2 2 0 0 0 1
1 2 5 6 0 0 2 2 7 90 7 9
2 4 1 1 0 0 7 9
18 14 4 .
Матриці
Основні означення
О.1. Матрицею розміру m n називається таблиця чисел, записана у вигляді:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
.
Коротко: m nA , ,ij m n
a .
06
розкладаємо за
елементами I-го стовпця
розкладаємо за
елементами I-го стовпця
6
Класифікація матриць:
‒ якщо m n , то матриця називається квадратною порядку n . З квадратною
матрицею пов’язується її визначник det A ;
‒ якщо det 0A , матриця називається невиродженою, в противному разі –
виродженою;
‒ якщо m n , матриця називається прямокутною;
‒ якщо матриця має тільки один рядок (стовпець), вона називається матриця‒рядок
(матриця‒стовпець);
‒ якщо всі елементи матриці нулі, матриця називається нульовою. Позначення O :
0 0 ... 0
...........
0 0 ... 0
O
;
‒ якщо у квадратній матриці всі елементи, що лежать поза головною діагоналлю рівні
нулю, матриця називається діагональною:
11
22
11 22
0 ... 0
0 ... 0, ,...,
... ... ... ...
0 0 ...
nn
nn
a
aD diag a a a
a
,
1
detn
ii
i
D a
;
‒ якщо у діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, вона називається
одиничною. Позначення (іноді I ):
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
,
det 1 ;
‒ квадратна матриця, у якій всі елементи, що лежать нижче або вище головної
діагоналі, рівні нулю, називається трикутною:
11 12 1
22 2
...
0 ...
... ... ... ...
0 0 ...
n
n
nn
a a a
a aA
a
‒ верхня трикутна матриця;
1
detn
ii
i
A a
;
‒ трапецієвидна матриця має вигляд:
7
11 12 1 1 1 1
22 2 2 1 2
1
... ...
0 ... ....
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
0 0 ... 0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 ... 0
r r n
r r n
rr rr rn
a a a a a
a a a a
A a a a
,
0, 1, ;ii m na i r A A ;
‒ симетрична матриця – це квадратна матриця, у якій ,ij ija a i j .
Наприклад:
1 2 3
2 7 5
3 5 4
A
;
12 21
13 31
23 32
a a
a a
a a
.
О. Дві матриці A та B називаються рівними, якщо ij ija b для ,i j . Запис: A B .
Дії над матрицями
1. Сумою матриць ,ij m n
A a та ,ij m n
B b називається матриця , ,i j m nC c
така, що ij ij ijc a b для ,i j . Запис: C A B .
Аналогічно вводиться різниця матриць:
C A B ; ij mnC c , ij ij ijc a b , ,i j .
2. Добутком числа на матрицю , ,i j m nA a називається матриця
,ij m nC c
така, що
, ,ij ijc a i j .
3. Добутком матриць ,ij m n
A a та ,ij n l
B b називається матриця ,ij m l
C c
така, що
1
, 1, ; 1,n
ij ik kj
k
c a b i m j l
. (1)
Пояснення. З означення випливає, що не будь-які матриці можна перемножити. Матриці
повинні бути узгоджені для множення.
m nA ; n lB результуюча матриця m lC .
Формально формула (1) означає, що для отримання ijC треба елементи i -го рядка матриці
A , помножити на відповідні елементи j -го стовпця матриці B і отримані добутки
додати.
8
Приклад. Дано: матриці 2 1
4 3A
, 0 2 1
4 5 0B
.
Треба:
а) з’ясувати, чи існують добутки A B і B A ;
б) у випадку позитивної відповіді знайти ці добутки.
Розв’язання.
а) 2 2 2 3A B A B існує.
2 3 2 2B A B A не існує.
б) Знайдемо A B C ; 2 3C
2 1 0 2 1 2 0 1 4 2 2 1 5 2 1 1 0
4 3 4 5 0 4 0 3 4 4 2 3 5 4 1 3 0C A B
4 9 2
12 23 4
.
Зауваження. В теорії матриць існує поняття множення матриці A на матрицю B зліва або
справа.
A B ( A множиться на B справа)
B A ( A множиться на B зліва).
Приклад. Дано: 1 1
0 0A
, 0 0
1 1B
.
Знайти: A B , B A і порівняти ці добутки.
Розв’язання.
1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0A B
,
0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1B A
.
A B B A для цих матриць комутативний (переставний) закон не виконується.
О. Квадратні матриці A та B одного порядку називаються переставними, якщо
виконується умова: A B B A .
Приклади переставних матриць:
1) n nA та n nO 2) n nA та n nE
0A O O A A A A
Т. (про визначник добутку матриць).
Нехай матриці A та B квадратні одного порядку. Тоді det det detA B A B .
Без доведення.
4. Степінь матриці. 0
раз
... ,n
n
A A A A A ; n N .
По аналогії з многочленом n -го степеня nP x вводиться многочлен від матриці nP A .
9
1
0 1 ...n n
n nP x a x a x a ,
1
0 1 ...n n
n nP A a A a A a .
5. Транспонування матриць.
О. Матриця B отримана з матриці A шляхом заміни її рядків стовпцями з тими ж
номерами називається транспонованою по відношенню до матриці A .
Позначення: B A .
Якщо m nA
, то n m
A
.
Зауваження. За допомогою операції транспонування будується матриця спеціального
вигляду A , яка називається приєднаною по відношенню до матриці A .
Нехай задано квадратну матрицю A n -го порядку:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
.
О. Приєднаною матрицею по відношенню до матриці A називається транспонована
матриця алгебраїчних доповнень елементів матриці A .
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
T
n n
n n
n n nn n n nn
A A A A A A
A A A A A AA
A A A A A A
, де 1i j
ij ijA M
.
6. Обернена матриця.
В теорії матриць немає операції ділення. Вона замінюється множенням на обернену
матрицю.
О. Матриця B називається оберненою по відношенню до квадратної матриці A , якщо
виконується умова:
A B B A .
Позначення: 1B A .
Отже, для оберненої матриці виконується умова: 1 1A A A A . (1)
Т. (існування оберненої матриці). Для того, щоб для квадратної матриці A існувала
обернена, необхідно та достатньо, щоб матриця A була невироджена, тобто det 0A .
Без доведення.
Пояснення. Доведення ґрунтується на тому, що вводиться матриця 1
detB A
A ,
де A - приєднана матриця по відношенню до матриці A .
Далі доводиться, що A B і робиться висновок, що 1B A .
Формула для обчислення оберненої матриці:
10
11 12 1
21 22 21
1 2
...
...1 1
det det
...
n
n
n n nn
A A A
A A AA A
A A
A A A
, (2)
де 1i j
ij ijA M
. (3)
Можна довести, що для квадратної невиродженої матриці A існує єдина обернена
матриця.
Приклад. Знайти матрицю 1A, обернену по відношенню до матриці
1 2
3 4A
.
Розв’язання.
1) Знаходимо 1
1 2det 4 6 2 0 !
3 4A A .
2) Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці A :
1 1 1 2
11 121 4 4; 1 3 3A A
;
1 2 2 2
21 221 2 2; 1 1 1A A
.
3) Знаходимо 1A
14 3 4 21 1
2 1 3 12 2A
.
4) Робимо перевірку: 1A A або
1A A :
14 2 1 2 4 1 2 3 4 2 2 41 1
3 1 3 42 2 3 1 1 3 3 2 1 4A A
12 0
2 0 1 021
0 2 0 12 10 2
2
‒ вірно.
Мінори s -го порядку матриці
Нехай задана матриця m nA .
Виберемо в цій матриці s рядків та s стовпців з номерами 1 2, ,..., si i i ; 1 2, ,..., sj j j ,
причому 1 2 ... si i i ; 1 2 ... sj j j .
О. Мінором s -го порядку матриці A називається визначник s -го порядку, який лежить на
перетині вибраних s рядків і s стовпців.
Приклад 1. Дана матриця
2 4 5
1 2 1
3 4 5
A
.
11
Знайти мінори 2-го порядку 2M , поклавши
а) 1 21, 2i i , б) 1 21, 2i i ,
1 21, 2j j . 1 31, 2j j .
Розв’язання:
а) 2
2 4
1 2M ; б) 2
2 5
1 1M .
Ранг матриці
О. Рангом матриці A називається найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля.
Позначення: RgA .
Приклад 2. Визначити ранг матриці A , виходячи з його означення:
1 2 3
4 5 6
2 4 6
A
.
Розв’язання. Будемо перебирати мінори, починаючи з мінорів 3-го порядку:
3
1 2 3
det 4 5 6 0 3
2 4 6
M A RgA ;
2
1 25 8 3 0 2
4 5M RgA .
Знаходження рангу, виходячи з його означення, для матриць великих розмірів є
громіздким процесом, бо зводиться до обчислення великої кількості визначників.
Поняття рангу є одним з найважливіших понять алгебри.
Базисний мінор
О. Базисним мінором матриці A називається відмінний від нуля мінор цієї матриці,
порядок якого дорівнює рангу матриці.
Для даної матриці базисних мінорів може бути декілька.
Приклад 3. для заданої матриці
1 2 3
4 5 6
2 4 6
A
виписати 2 базисних мінори 12M і
2
2M .
Розв’язання.
Ранг цієї матриці 2RgA (див. приклад 2)
12
1 23 0
4 5M - базисний мінор,
12
2
2
4 516 10 6 0
2 4M - базисний мінор.
О. Рядки і стовпці, які входять в базисний мінор, називаються базисними.
Елементарні перетворення матриць
О. Елементарними перетвореннями матриць називаються такі:
1) множення елементів рядка (стовпця) на число 0 ;
2) переміна місцями двох рядків (стовпців);
3) додавання до елементів деякого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка
(стовпця), помножених на число 0 .
Метод елементарних перетворень для знаходження рангу
Т. Елементарні перетворення, які виконуються над рядками (стовпцями) матриці A , не
змінюють її рангу.
Без доведення.
Пояснення. Всі типи елементарних перетворень такі, що не можуть зробити мінор,
відмінний від нуля, рівним нулю. Перебираються всі типи елементарних перетворень і для
кожного доводиться цей факт. Наприклад, переміна місцями двох рядків у визначнику
веде до зміни знака визначника.
На цій теоремі засновано метод елементарних перетворень для знаходження рангу.
Суть методу: над рядками (стовпцями) матриці Aвиконуються елементарні перетворення
з метою звести матрицю до такого вигляду, з якого легко визначити ранг. Як правило,
отримують матрицю B , в якій багато нулів.
Згідно теореми RgA RgB .
О. Матриці A і B називаються еквівалентними, якщо матриця B отримана з матриці A
за допомогою елементарних перетворень її рядків (стовпців).
Пишуть A B .
Приклад. Використовуючи метод елементарних перетворень, знайти ранг матриці
1 2 3
4 5 6
2 4 6
A
.
Розв’язання.
Виконуємо елементарні перетворення над рядками матриці A .
1 2 3 1 2 3
4 5 6 20 3 6
2 4 6 0 0 0
A RgA
;
за виглядом матриці B знайшли мінор, відмінний від нуля у лівому верхньому куті
(відмічено штрих-лініями).
Виконали перетворення . 4p p pI II II
. 2p p pI III III
13
нулі в I стовпчику, крім одного елемента
нулі в II стовпчику, крім 2-х елементів
і т.д.
Зауваження. У подальшому будемо виконувати елементарні перетворення тільки над
рядками матриці, бо ця процедура застосовується при розв’язанні систем (рядок матриці
відповідає рівнянню системи).
Впорядкуємо також процес отримання нулів за схемою:
. . .
0 . .
0 0 .
B
Лінійна залежність рядків матриці
Нехай задано матрицю
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m n
m n mn
a a a
a a aA
a a a
.
Позначимо рядки матриці 1 2, ,..., ml l l .
Має місце твердження: якщо рядки матриці лінійно залежні, то хоча б один з них
представляється у вигляді лінійної комбінації решти. Вірно і обернення.
В противному разі рядки матриці лінійно незалежні.
Наприклад, запис 1
1
,m
m i i i
i
l l
- деякі числа,
означає, що m ‒ий рядок представлено у вигляді лінійної комбінації решти 1m -го
рядків. Тоді рядки 1 2, ,..., ml l l лінійно залежні.
Приклад 1. Вияснити, чи є лінійно залежними рядки матриці A :
а)
1 1 1 1
0 3 4 1
2 5 6 3
A
, б)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
.
Розв’язання:
а)
1
2
3
1 1 1 1
0 3 4 1
2 5 6 3
l
A l
l
.
Позначимо рядки 1 2 3, ,l l l ;
3 1 22l l l , тобто 3l лінійна комбінація рядків 1 2,l l .
Отже, рядки 1 2 3, ,l l l - лінійно залежні;
б)
1
2
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
l
A l
l
.
Позначимо рядки 1 2 3, ,l l l .
14
Рядки лінійно залежні, бо ніякий з них не може бути отриманий у вигляді лінійної
комбінації двох інших.
Приклад 2. Для заданої матриці A :
1) з’ясувати, чи є лінійно залежними її рядки;
2) знайти RgA , базисний мінор матриці та базисні рядки.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 3 4
A
.
Розв’язання.
1. Позначимо рядки 1 2 3 4, , ,l l l l .
4 1 2 32 3 4l l l l рядки лінійно залежні.
2. 3RgA .
Базисний мінор 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Базисні рядки 1 2 3, ,l l l .
Висновок: базисні рядки лінійно-незалежні (див. приклад 1б ). Рядок 4l представляється у
вигляді лінійної комбінації базисних рядків.
Приходимо до такої теореми:
Т. (про базисний мінор): базисні рядки матриці A лінійно-незалежні. Будь-який рядок
матриці A представляється у вигляді лінійної комбінації базисних.
Без доведення.
Наведена теорія використовується при розв’язанні систем.
Тема 3.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Основні поняття
Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...........................................
... .
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1)
Тут , 1, , 1,ij ia b i m j n - задані числа, 1 2, ,... nx x x - невідомі.
З системою рівнянь (1) пов’язується: основна матриця системи A , матриця-стовпець
вільних членів B , матриця-стовпець невідомих X .
15
11 1
1
...
...........
...
n
m mn
a a
A
a a
,
1
....
m
b
B
b
,
1
...
n
x
X
x
.
Матрична форма запису системи:
AX B . (2)
Безпосередньо перевіряється, що з (2) випливає (1):
11 1 1 11 1 12 2 1 1
1 1 1 2 2
... ...
.......... ... .................................... ...
... ...
n n n
m mn n m m mn n m
a a x a x a x a x b
AX
a a x a x a x a x b
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
...
..........................................
... .
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
Зауважимо, що розміри матриць зліва та справа в (2) однакові. Дійсно,
1 1
11
m n n m
mm
A X B
.
Класифікація систем:
1. якщо m n , то система називається квадратною;
2. якщо m n і det 0A , система називається квадратною невиродженою;
3. якщо m n , маємо систему загального вигляду (прямокутну).
Існує така термінологія:
‒ система несумісна – не має розв’язків;
‒ система сумісна – має єдиний розв’язок або безліч розв’язків;
‒ система сумісна визначена – має єдиний розв’язок;
‒ система сумісна невизначена – має безліч розв’язків.
В останньому випадку безліч розв’язків записується у вигляді загального розв’язку, який
подається за допомогою довільних сталих kC («произвольных постоянных» - рос.),
kC R .
Із загального розв’язку визначається частинний розв’язок («частное решение» - рос.), який
отримується з загального при заданих значеннях довільних сталих kC .
Система 2AX B називається однорідною, якщо 0B . Однорідна система рівнянь
має вигляд 0AX ;
‒ система (2) називається неоднорідною, якщо 0B .
З кожною неоднорідною системою пов’язується її розширена матриця A , яка складається
з основної матриці системи A та стовпця вільних членів B .
11 1 1
1
...
........... ... |
...
n
m mn m
a a b
A A B
a a b
.
Матричний метод розв’язання систем
Метод застосовується до розв’язання квадратних невироджених систем. Дана система
AX B , (1)
16
де матриця A квадратна, n -го порядку, det 0A .
Тоді 1!A (існує єдина обернена матриця).
Множимо ліву та праву частини (1) на 1A зліва:
1 1A A X A B ;
1X A B , (2)
або в розгорнутому вигляді:
1 11 1 1
1
...1
... ........... ...det
...
T
n
n n nn n
x A A b
X
x A A b
, (3)
де 1i j
ij ijA M
. (4)
Приклад. Розв’язати систему рівнянь, використовуючи матричний метод.
1 2
1 2
2 2,
3 4 6.
x x
x x
Розв’язання: виписуємо 1 2
3 4A
, 2
6B
, 1
2
xX
x
.
1) Знаходимо det A .
1 2det 4 6 10 0 !
3 4A
розв’язок системи.
2) Знаходимо 1A. З цією метою знаходимо алгебраїчні доповнення (формула (4)).
1 1
11 1 4 4A
, 1 2
12 1 3 3A
,
2 1
21 1 2 2A
, 2 2
22 1 1 1A
14 3 4 21 1
2 1 3 110 10A
.
3) Робимо перевірку правильності оберненої матриці:
1
4 1 2 3 4 2 2 44 2 1 21 1
3 1 1 3 3 2 1 43 1 3 410 10
10 0 1 01.
0 10 0 110
A A
4) Знаходимо розв’язок системи за формулою (2).
1
2
4 2 2 4 2 2 6 20 21 1 1
3 1 6 3 2 1 6 0 010 10 10
xX
x
1 22, 0x x .
5) Перевірка правильності розв’язку.
Підставляємо 1 22, 0x x в ліву частину системи:
17
2 0 2
6 0 6
‒ вірно.
Відповідь: 1 22, 0x x .
Формули Крамера
Крамер ‒ (швейцарський математик)
Застосовуються формули Крамера до розв’язання квадратних невироджених систем.
Дана система
AX B , (1)
матриця A - квадратна, n -го порядку, 1det 0 !A A .
Згідно з матричним методом 1X A B , (2)
або
1 11 1 1
1
...1
... ........... ... detdet
...
n
n n nn n
x A A b
X AA
x A A b
1
11 1 1 11 1 1 1
1 1 1
... ...1 1 1
.......... ... ....................... ... ...
... ...
n n b
n nn n n nn n n n
A A b A b A b
A A b A b A b
. (3)
Отже, 1 21 2, ,..., , 0n
nx x x
, ‒ формули Крамера.
Тут det A ‒ визначник системи
11 1
21 2
1
...
...
... ... ...
...
n
n
n nn
a a
a a
a a
,
11 1 1
21 2 2
1
i-й стовпець
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
n
n
i
n n nn
a b a
a b a
a b a
,
тобто i ‒ визначник, який отримується з визначника , якщо в ньому i ‒й стовпчик
замінити стовпцем вільних членів.
Наприклад,
n
1
18
1 12 1
2 22 2
1 1 11 2 12 1
2
...
......
.................
...
n
n
n n
n n nn
b a a
b a ab A b A b A
b a a
(порівняти з формулою (3)).
Приклад. Розв’язати систему рівнянь, використовуючи формули Крамера.
1 2
1 2
2 2,
2 9 1.
x x
x x
Розв’язання.
1) 1 2
2 9A
, 2
1B
,
1
2
xX
x
1 2det 9 4 5 0 !
1 9A
розв’язок системи.
Знаходимо:
2) 1
2 218 2 20
1 9
2
1 21 4 5
2 1
.
3) Знаходимо розв’язок системи
11
204
5x
22
51
5x
.
4) Перевірка. Підставимо корені в систему:
1 4 2 1 2,
2 4 9 1 1.
Вірно.
Відповідь: 1 4x , 2 1x .
Умова суміcності системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Т. (теорема Кронекера‒Капеллі).
Для того, щоб система рівнянь AX B була сумісна, необхідно та достатньо, щоб
RgA RgA , де A ‒ основна матриця системи, A ‒ розширена матриця системи.
Без доведення.
Пояснення. Припустимо, що RgA RgA r , треба впевнитись, що система має хоча б
один розв’язок, тобто сумісна.
Отже, RgA RgA r базисний мінор 0r .
19
Нехай цей базисний мінор розташовано в лівому верхньому куті матриці A . Згідно
теореми про базисний мінор, базисні r рядки лінійно незалежні, а решта є їх лінійною
комбінацією. За допомогою елементарних перетворень рядки з номерами 1,...,r m за
допомогою елементарних перетворень можна зробити нульовими. Для систем рівнянь це
означає, що останні рівняння є наслідками перших r рівнянь і тому рівняння 1,...,r m
можна відкинути.
Тоді отримаємо скорочену систему r рівнянь вигляду:
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
... ...
...............................................................
... ...
r r r r n n
r rr r rr r rn n r
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
. (1)
Можливі два випадки:
1. r n , тоді з (1)
11 1 1 1
1 1
...
...
n n
n nn n n
a x a x b
a x a x b
, (2)
0n r за умовою ! розв’язок системи.
2. r n , тоді зведемо (1) до вигляду:
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
... ...
...............................................................
... ...
r r r r n n
r rr r r rr r rn n
a x a x b a x a x
a x a x b a x a x
. (3)
Тут 0r і розв’язок (3) можна знайти наприклад, за формулами Крамера.
Тоді змінні 1,.., rx x виразяться через змінні 1,..,r nx x , яким будемо давати значення з
множини R . За рахунок цього матимемо безліч розв’язків, отже система сумісна.
Змінні 1,.., rx x називаються базисними.
Змінні 1,..,r nx x називаються вільними.
Наслідки.
1. У випадку, коли для системи AX B виконується умова RgA RgA r n ,
система має безліч розв’язків, які записуються у вигляді загального розв’язку:
1 1
1
1 2 1
2
1
,...,
....................
,...,
, ,...,
....................., ,...,
r n
r r n
r r n r
r
r n
n
x x x
x x x
X x x x x
x
x x Rx
. (4)
Іноді вільні змінні перепозначають:
1 1 2 2, , ...,r r n n rx c x c x c ,
і тоді загальний розв’язок такого вигляду:
20
1 1
1
1 2 1
2
1 2
,...,
....................
,...,
, ,...,
...................., , ,...,
n r
r n r
n r
n r
n r
x c c
x c c
X c c c c
c
c c c Rc
. (5)
2. Для системи AX B , яка є прямокутною системою, маємо:
якщо RgA RgA система несумісна.
якщо RgA RgA r система сумісна розв'язок
безліч розв'язків
!r n
r n
3. Для системи AX B , яка є квадратною, маємо:
розв'язокdet 0 !A RgA RgA r n
система неcумісна
безліч розв'язківdet 0
RgA RgAA
RgA RgA r n
Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь
Т. Елементарні перетворення, які виконуються над рядками розширеної матриці
|A A B системи AX B , зводять цю систему до еквівалентної системи.
Доведення випливає з того, що виконання елементарних перетворень над рядками матриці
A відповідає діям над відповідними рівняннями системи, що зводить до еквівалентної
системи (наприклад, при переміні місцями двох рядків в A , це відповідає переміні
місцями двох рівнянь в системі і т.д.).
На цій теоремі засновано метод Гаусса: розв’язання систем вигляду AX B (1), де число
невідомих n , число рівнянь m .
Суть методу:
Виконуються елементарні перетворення над рядками матриці A , в результаті чого
приводимо її до вигляду:
11 12 1 1 1 1 1
22 2 2 1 2 2
1
1
... ...
0 ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
0 0 ... 0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ..., 0, 1, .
0 0 ... 0 0 ... 0
r r n
r r n
rr rr rn r
r
iim
a a a a a b
a a a a b
A a a a b
b
a i rb
21
Якщо:
1) хоча б один з елементів 1,..., 0r mb b , то система несумісна, бо
, 1RgA r RgA r і RgA RgA ;
2) всі коефіцієнти 1,..., 0r mb b . Тоді ,RgA r RgA r система сумісна.
При цьому
а) якщо !r n розв’язок системи
б) якщо r n безліч розв’язків.
У випадку сумісності системи ставимо у відповідність матриці A систему рівнянь
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1
... ...
...............................................................
...
r r r r n n
rr r rr r rn n r
a x a x a x a x b
a x a x a x b
. (3)
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1
... ...
...............................................................
...
r r r r n n
rr r r rr r rn n
a x a x b a x a x
a x b a x a x
. (4)
Система (4) розв’язується починаючи знизу вгору ↑.
Це зворотній хід Гаусса.
Прямий хід цього методу – це перехід від системи (1) до системи, їй еквівалентній (4). В
цій системі базисні змінні зліва, вільні – справа.
Приклад. Використовуючи метод Гаусса, дослідити на сумісність, та розв’язати систему
рівнянь
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
2 3 13
2 3 14.
x x x
x x x
x x x
Розв’язання.
1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
2 1 3 13 0 1 1 1 0 1 1 1
1 2 3 14 0 1 2 8 0 0 3 9
A B
3, 3 3 !RgA RgA RgA RgA n розв’язок системи.
Ставимо у відповідність матриці B систему
1 2 3 1 2 3
2 3 2 3
3 3
6 6 6 2 3 1
1 1 3 1 2
3 9 3
x x x x x x
x x x x
x x
1 2 31, 2, 3x x x .
Перевірка:
1 2 3 6
2 1 2 3 3 13
1 2 2 3 3 14
‒ вірно.
22
Однорідні системи рівнянь
Основні поняття
Однорідна система рівнянь має вигляд:
0AX . (1)
Система завжди сумісна, бо має розв`язок 0X (перевіряємо підстановкою в (1)).
З точки зору рангів: 0A A A RgA RgA система сумісна.
Тому для однорідної системи виникає питання про існування нетривіальних (ненульових)
розв'язків.
Мають місце теореми:
Т.1. Для того, щоб однорідна система 0 1AX мала нетривіальні розв’язки, необхідно
та достатньо , щоб виконувалась умова:
RgA r n , (2)
де n ‒ кількість невідомих в системі.
Доведення випливає з теореми Кронекера ‒ Капеллі (наслідок 2). Згідно з цим наслідком у
випадку сумісності системи за умови RgA RgA r n система має безліч розв'язків, а
отже і нетривіальні розв’язки.
Т.2. Для того, щоб квадратна однорідна система 0AX мала нетривіальні розв'язки,
необхідно та достатньо, щоб det 0A .
Доведення випливає з т. Кронекера ‒ Капеллі (наслідок 3), де було доведено, що у випадку
det 0A , маємо RgA RgA r n , система має безліч розв’язків, а отже і
нетривіальні.
Розв’язання однорідної систем рівнянь
Використовується метод Гаусса.
Виписуємо матрицю A і знаходимо її ранг. Тоді:
а) Якщо !RgA r n розв’язок 0X і процес розв’язання припиняється.
б) Якщо RgA r n система має нетривіальні розв’язки, які знаходяться,
використовуючи метод Гаусса.
Приклад.
1) Знайти нетривіальні розв’язки системи, якщо вони існують:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
3 2 2 0.
x x x
x x x
x x x
Розв’язання.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 1 0 5 1 0 5 1
3 2 2 3 5 1 0 0 0
A B
.
2 3RgA n нетривіальні розв’язки.
Базисний мінор 2
1 10
0 5
.
23
Ставимо у відповідність матриці B систему:
31 3 2 3 3
1 2 3 1 2 3
2 3 2 3 32
4
0 5 5
5 0 5
5
xx x x x x
x x x x x x
x x x x xx
.
3
3 3 3
3
4
5
1,
5
x
X x x x R
x
,
3X x ‒ це загальний розв’язок системи, який включає всі нетривіальні розв’язки.
2) Знайти один нетривіальний розв’язок, поклавши 3 5x і зробити перевірку його
правильності:
3
4
5 5 1
5
x X
.
Підставимо у систему:
4 1 5 0 0 0
2 4 (3) 1 5 0 0 0
0 03 4 2 1 2 5 0
Вірно.
Зміст контрольної роботи №1
Контрольна робота включає 5 прикладів:
1. Розв’язати матричне рівняння.
2. Дослідити на сумісність неоднорідну систему і розв’язати за формулами Крамера і
методом Гаусса.
3. Знайти загальний розв’язок однорідної системи.
4. Обчислити визначник 4‒го порядку.
5. Задано матрицю A . Знайти 2 1 1, , det , ,TA A A A A A .