9. testiranje hipoteza o parametru - unizd.hr · vjerojatnost gre ške u procjeni drugi pristup...

Josipa Perkov, prof., pred.Josipa Perkov, prof., pred. 11

9. TESTIRANJE HIPOTEZA 9. TESTIRANJE HIPOTEZA

O PARAMETRUO PARAMETRU


na prethodnom predavanju upoznali smo se s na prethodnom predavanju upoznali smo se s metodom i postupcima koji omogumetodom i postupcima koji omoguććavaju da se avaju da se iz dijela populacije, koji je sluiz dijela populacije, koji je sluččajno izabran, ajno izabran, procijeni određena karakteristika procijeni određena karakteristika (procjenitelj) (procjenitelj) populacije s mogupopulacije s moguććnonoššćću da se kontrolira u da se kontrolira vjerojatnost grevjerojatnost grešške u procjenike u procjeni

drugi pristup (obratno): modrugi pristup (obratno): možže se pretpostaviti e se pretpostaviti da neka karakteristika populacije, koja nam da neka karakteristika populacije, koja nam nije poznata, imnije poznata, ima određenu numeria određenu numeriččku ku vrijednostvrijednost

na osnovi teorije ili iskustva ili nekog drugog na osnovi teorije ili iskustva ili nekog drugog saznanja postavljaju se saznanja postavljaju se pretpostavke pretpostavke (hipoteze)(hipoteze)


provjera istinitosti hipoteze:provjera istinitosti hipoteze:–– izabere se uzorak iz populacije i izraizabere se uzorak iz populacije i izraččuna karakteristika una karakteristika uzorkauzorka

–– izraizraččunata karakteristika usporedi se s pretpostavljenom unata karakteristika usporedi se s pretpostavljenom karakteristikom populacijekarakteristikom populacije

–– ako razlika nije velika moako razlika nije velika možže se smatrati slue se smatrati sluččajnom, a ajnom, a hipoteza moguhipoteza moguććomom

–– ako je razlika prevelika, te se ne bi mogla smatrati ako je razlika prevelika, te se ne bi mogla smatrati slusluččajnom, hipoteza se odbacuje kao neprihvatljivaajnom, hipoteza se odbacuje kao neprihvatljiva

da bi se istinitost, da bi se istinitost, tjtj. prihvatljivost . prihvatljivost

hipoteze mogla ispitati pomohipoteze mogla ispitati pomoćću metode u metode

uzoraka, treba pronauzoraka, treba pronaćći odgovarajui odgovarajućću u

formulaciju hipoteze formulaciju hipoteze koja je prikladna za je prikladna za

metodumetodu


svaki postupak testiranja polazi od svaki postupak testiranja polazi od nulte hipoteze Hnulte hipoteze H00 i i alternativne hipoteze Halternativne hipoteze H11 –– uvijek su proturjeuvijek su proturječčnene

cilj testiranja je da se odbaci cilj testiranja je da se odbaci ššto vito višše lae lažžnih i nih i ššto manje to manje istinitih hipotezaistinitih hipoteza

MOGUMOGUĆĆNOSTI ODLUKA I GRENOSTI ODLUKA I GREŠŠAKAAKA

ispravna ispravna odlukaodluka

GREGREŠŠKA KA TIPA IITIPA II

nulta hipoteza nulta hipoteza je laje lažžnana

GREGREŠŠKA KA TIPA ITIPA I

ispravna ispravna odlukaodluka

nulta hipoteza nulta hipoteza je istinitaje istinita

nulta hipoteza nulta hipoteza je odbaje odbaččenaena

nulta hipoteza nulta hipoteza je prihvaje prihvaććenaena


kako je svaka kako je svaka samplingsampling--distribucija distribucija vjerojatnosti, distribucija distribucija vjerojatnosti, pogrepogrešška tipa I prikazuje se ka tipa I prikazuje se vjerojatnovjerojatnoššćću odbacivanja u odbacivanja istinite nulte hipotezeistinite nulte hipoteze αα -- naziva se i naziva se i razinom znarazinom značčajnostiajnosti((razinom signifikantnostirazinom signifikantnosti))

ββ je vjerojatnost da se prihvati laje vjerojatnost da se prihvati lažžna nulta hipoteza, odnosno na nulta hipoteza, odnosno da se napravi pogreda se napravi pogrešška tipa II ka tipa II –– vjerojatnost odbacivanja vjerojatnost odbacivanja lalažžne nulte hipotezene nulte hipoteze naziva se naziva se snagom statistisnagom statističčkog testakog testa

–– ta je vjerojatnost jednaka (1ta je vjerojatnost jednaka (1--ββ))


8.1. TESTIRANJE HIPOTEZE O ARITMETI8.1. TESTIRANJE HIPOTEZE O ARITMETIČČKOJ KOJ SREDINI POPULACIJESREDINI POPULACIJE

testiranje se provodi pomotestiranje se provodi pomoćću sluu sluččajnog uzorka veliajnog uzorka veliččine ine nn::nn > 30: veliki uzorak (z> 30: veliki uzorak (z--test)test)nn < 30: mali uzorak (t< 30: mali uzorak (t--test)test)

koraci testiranja:koraci testiranja:(1) (1) određivanje sadrodređivanje sadržžaja nulte i alternativne aja nulte i alternativne hipoteze hipoteze,,(2) (2) određivanje izraza za testnu veliodređivanje izraza za testnu veliččinu i inu i

izraizraččunavanje njezine vrijednosti,unavanje njezine vrijednosti,(3) odabir razine zna(3) odabir razine značčajnosti i određivanje kritiajnosti i određivanje kritiččnih nih

granica koje dijele podrugranica koje dijele područčje prihvaje prihvaććanja nulte anja nulte hipoteze od podruhipoteze od područčja njezina odbacivanja,ja njezina odbacivanja,

(4) dono(4) donoššenje zakljuenje zaključčka o ishodu testaka o ishodu testa


VELIKI UZORAK:VELIKI UZORAK:

–– ako je nulta hipoteza istinita ako je nulta hipoteza istinita samplingsampling--distribucija sredina distribucija sredina uzoraka oblika je normalne distribucije ili pribliuzoraka oblika je normalne distribucije ili približžno tog no tog oblika:oblika:

oznake:oznake:

µµ = nepoznata aritmeti= nepoznata aritmetiččka sredina populacije,ka sredina populacije,

µµ00 = pretpostavljena aritmeti= pretpostavljena aritmetiččka sredina populacijeka sredina populacije

( )2x0 σ,µN

VRSTA TESTA nulta

hipoteza alternativna hipoteza

područje prihvaćanja

nulte hipoteze

područje odbacivanja

nulte hipoteze

dvosmjeran 00 µµ =KH 01 µµ ≠KH 2

αzz < 2

αzz >

jednosmjeran, na gornju granicu

00 µµ ≤KH 00 µµ >KH αzz < αzz >

jednosmjeran, na donju granicu

00 µµ ≥KH 00 µµ <KH αzz −> αzz −<


test velitest veliččina:ina:

xx = aritmeti= aritmetiččka sredina uzorka,ka sredina uzorka,µµ00 = pretpostavljena veli= pretpostavljena veliččina aritmetiina aritmetiččke sredine populacijeke sredine populacijeσσxx = standardna pogre= standardna pogrešška (raka (raččuna se kao i standardna una se kao i standardna pogrepogrešška procjene aritmetika procjene aritmetiččke sredine)ke sredine)

x

xz

σ

µ0−=

za dvosmjeran test kritične granice prihvaćanja nulte hipoteze jesu:

ako je AS uzorka između navedenih granica, prihvaća se nulta hipoteza

xxzczc σµσµ αα

202

201

, +=−=

za jednosmjeran test na gornju granicu, kritična je granica c2,

za jednosmjeran test na donju granicu, kritična je granica c1

odluka se donosi odluka se donosi alternativnoalternativno pomopomoćću kritiu kritiččnih granicanih granica


testiranje hipoteze o pretpostavljenoj AS populacije koja je testiranje hipoteze o pretpostavljenoj AS populacije koja je normalno raspoređena s normalno raspoređena s nepoznatom standardnom devijacijomnepoznatom standardnom devijacijomtemelji se na Studentovoj distribuciji kao temelji se na Studentovoj distribuciji kao samplingsampling--distribuciji distribuciji sredinasredina

polazi se od nulte hipoteze kao istinite i koristi se tpolazi se od nulte hipoteze kao istinite i koristi se t--testtest

VRSTA TESTA nulta


područje prihvaćanja

nulte hipoteze

područje odbacivanja

nulte hipoteze

dvosmjeran 00 µµ =KH 01 µµ ≠KH 2

αtt < 2

αtt >


00 µµ ≤KH 00 µµ >KH αtt < αtt >


00 µµ ≥KH 00 µµ <KH αtt −> αtt −<

x

xt

σ

µ0−=


PRIMJER 1. PRIMJER 1. Odredimo koeficijent znaOdredimo koeficijent značčajnosti za test o ajnosti za test o pretpostavljenoj vrijednosti AS populacije pomopretpostavljenoj vrijednosti AS populacije pomoćću sluu sluččajnog ajnog uzorka ako su zadani sljedeuzorka ako su zadani sljedećći uvjeti:i uvjeti:(a) test je dvosmjeran, n=100, (a) test je dvosmjeran, n=100, αα: 5%: 5%(b) test je jednosmjeran, n=220, (b) test je jednosmjeran, n=220, αα: 5%: 5%(c) test je dvosmjeran, n=20, uzorak izabran iz normalne (c) test je dvosmjeran, n=20, uzorak izabran iz normalne

distribucije N(distribucije N(µµ00,64), razina zna,64), razina značčajnosti 1%ajnosti 1%(d) test je dvosmjeran, n=15, uzorak izabran iz normalne (d) test je dvosmjeran, n=15, uzorak izabran iz normalne

distribucije s nepoznatom standardnom devijacijom, razina distribucije s nepoznatom standardnom devijacijom, razina znaznaččajnosti ajnosti 5%5%

(a)(a) uzorak je velik, test je dvosmjeran pa se razina znauzorak je velik, test je dvosmjeran pa se razina značčajnosti ajnosti ααdijeli na 2 jednaka dijela: dijeli na 2 jednaka dijela:

razina signifikantnosti od 5% jednaka je pouzdanosti od 95% razina signifikantnosti od 5% jednaka je pouzdanosti od 95% ((αα=0.05=0.05→→ αα/2=0.025 /2=0.025 →→ (0.5 (0.5 -- 0.025)=0.475 0.025)=0.475 →→ zzαα/2/2 = = 1.96 1.96 (odr(određivanje kao i kod procjene parametaraeđivanje kao i kod procjene parametara))


(b)(b) veliki uzorak, test je jednosmjeran pa se razina znaveliki uzorak, test je jednosmjeran pa se razina značčajnosti ajnosti nalazi na desnom ili lijevom kraku normalne krivulje, nalazi na desnom ili lijevom kraku normalne krivulje, αα: 5% : 5% (0.5 (0.5 –– 0.05)=0.45 0.05)=0.45 →→ zzαα = z= z0.050.05 = 1.65, a zbog simetri= 1.65, a zbog simetriččnosti nosti vrijedi: vrijedi: --zz0.050.05 = = --1.651.65

(c)(c) mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s poznatom standardnom devijacijom poznatom standardnom devijacijom , , αα: 1%: 1%→→ zzαα/2/2 = z= z0.005 0.005 = 2.58= 2.58

(d)(d) mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s nepoznatom standardnom devijacijom, nepoznatom standardnom devijacijom, αα: 5% : 5% →→ tt--test,test,n=15 n=15 →→ ss= 14 ss= 14 →→ tt0.0250.025=2.145=2.145Ako je test jednosmjeran Ako je test jednosmjeran →→ tt0.050.05=1.761, =1.761, --tt0.050.05==--1.7611.761


PRIMJER 2. PRIMJER 2. Prema standardu, prosječna trajnost električnih žarulja od 75W iznosi 2000 sati s prosječnim odstupanjem 250 sati. Uz frakciju izbora manju od 5% izabran je slučajni uzorak od 64 žarulje. Ispitivanjem je ustanovljeno da je prosječna trajnost žarulja u uzorku 1935 sati. Može li se prihvatiti pretpostavka da je uzorak izabran iz osnovnog skupa kojemu je aritmetička sredina prema standardu? Testirati treba na razini signifikantnosti 5%.

veliki uzorak, test nije ograničen → dvosmjeran test

Hipoteze: H0 … µ = 2000

H1… µ ≠ 2000Izračunavanje testnih veličina:µ0 = 2000, σ = 250, f < 0.05, x = 1935, α = 0.05 →α/2 = 0.025 → (0.5-0.025) = 0.475 → z0.025 = 1.96 →kritične vrijednosti za prihvaćanje nulte hipoteze:|z|<1.96, tj. -1.96<z<1.96


testtest--veliveliččina: ina:

OdlukaOdluka: budu: budućći je |z|<zi je |z|<zαα/2/2, , tjtj. empirijski. empirijski zz--omjer manji je od omjer manji je od teorijske (krititeorijske (kritiččne) vrijednosti: ne) vrijednosti: --2.08<2.08<--1.96, pa se na danoj 1.96, pa se na danoj razini znarazini značčajnosti odbacuje Hajnosti odbacuje H00 →→ ne prihvane prihvaćća se pretpostavka a se pretpostavka da je uzorak izabran iz skupa da je uzorak izabran iz skupa žžarulja s prosjearulja s prosječčnom trajnonom trajnoššćću u 2000 sati2000 sati

Alternativna odlukaAlternativna odluka pomopomoćću kritiu kritiččnih granica:nih granica:

AritmetiAritmetiččka sredina uzorka (1935) manja je od donje kritika sredina uzorka (1935) manja je od donje kritiččne ne granice pa se ne prihvagranice pa se ne prihvaćća Ha H00

08.225.31

65

64

250

2000193500 −=−

=−

=−

=−

=

n

xxz

xσ

µ

σ

µ

25.206125.3196.12000

75.193825.3196.12000

202

201

=⋅+=⋅+=

=⋅−=⋅−=

x

x

zc

zc

σµ

σµ

α

α


c1 c2


PRIMJER 3. PRIMJER 3. Odjel za istraOdjel za istražživanje trivanje tržžiiššta prati velita prati veliččinu prosjeinu prosječčne ne mjesemjeseččne prodaje ne prodaje ččokolade tipa X u lancu 2976 trgovina na malo. okolade tipa X u lancu 2976 trgovina na malo. Trgovine su pribliTrgovine su približžno jednakih velino jednakih veliččina i strukture prodaje. Prema ina i strukture prodaje. Prema prosudbi prodajnog odjela, prodaja prosudbi prodajnog odjela, prodaja ččokolade u trgovinama na okolade u trgovinama na malo priblimalo približžno je normalnog oblika, sa sredinom 300kg i s no je normalnog oblika, sa sredinom 300kg i s nepoznatom standardnom devijacijom. Radi provjere nepoznatom standardnom devijacijom. Radi provjere pretpostavke, izabran je slupretpostavke, izabran je sluččajni uzorak 26 tajni uzorak 26 trgovina u kojima je rgovina u kojima je utvrđena prosjeutvrđena prosječčna mjesena mjeseččna prodaja od 302.385kg i standardna na prodaja od 302.385kg i standardna devijacija od 7.767. Do kojeg se zakljudevijacija od 7.767. Do kojeg se zaključčka dolazi na temelju ka dolazi na temelju podataka iz uzorka ako je razina signifikantnosti 5%?podataka iz uzorka ako je razina signifikantnosti 5%?

n = 26 → mali uzorak, test nije ograničen → dvosmjeran test

Hipoteze: H0 … µ = 300, H1… µ ≠ 300

testne veličine: µ0 = 300, x = 302.385, s = 7.767, α = 0.05 → α/2 = 0.025, ss = 25 → t0.025 = 2.060 → kritične vrijednosti za prihvaćanje H0: |t|<2.060


test velitest veliččina:ina:

budubudućći je empirijski ti je empirijski t--omjer manji od teorijske vrijednosti, omjer manji od teorijske vrijednosti, prihvaprihvaćća se Ha se H00, , tjtj. na razini signifikantnosti od 5% prihva. na razini signifikantnosti od 5% prihvaćća a se pretpostavka da prosjese pretpostavka da prosječčna mjesena mjeseččna prodaja na prodaja ččokolade tipa okolade tipa X po prodavaonici iznosi 300kg. X po prodavaonici iznosi 300kg.

provjerite zakljuprovjerite zaključčak pomoak pomoćću kritiu kritiččnih granicanih granica

54.1

11

00 =

−

−⋅

−

−=

−=

N

nN

n

s

xxt

x

µ

σ

µ


PRIMJER 4. PRIMJER 4. Banka želi smanjiti prosječni utrošak vremena

obrade naloga stranaka promjenom programske potpore.

Analizom je utvrđeno da se promjena potpore isplati ako

prosječno vrijeme obrade iznosi najviše 30 sekundi po nalogu.

Na temelju podataka o trajanju obrade pomoću nove

programske potpore za 453 slučajno odabrana naloga

izračunano je prosječno utrošeno vrijeme po nalogu od 28

sekundi s prosječnim odstupanjem 4 sekunde. Do kojeg se

zaključka dolazi na temelju provjere rada s novim programom

uz 2% razinu signifikantnosti?

žželi se smanjiti vrijeme obrade eli se smanjiti vrijeme obrade →→ jednosmjerni test na jednosmjerni test na donju granicudonju granicuveliki uzorakveliki uzorakhipoteze: Hhipoteze: H00 …… µ≥µ≥3030

HH11 …… µµ<30<30


testne veličine: n=453, µ0=30, x=28, s=4, α=2% → -z0.02=-2.05

test-veličina (teorijski z-omjer):

budući je test jednosmjeran na donju granicu, za prihvaćanje nulte hipoteze mora vrijediti da je z>-zα

u našem primjeru je empirijski z-omjer manji od teorijske vrijednosti, tj. -10.63<-2.05 pa se odbacuje H0

63.10

1

00 −=

−

−=

−=

n

s

xxz

x

µ

σ

µ


8.2. EMPIRIJSKA RAZINA SIGNIFIKANTNOSTI 8.2. EMPIRIJSKA RAZINA SIGNIFIKANTNOSTI (p(p--VRIJEDNOST)VRIJEDNOST)

sastavni dio plana testasastavni dio plana testa

predstavlja vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze predstavlja vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze

izraizraččunane pomounane pomoćću podataka iz uzorka, odnosno testu podataka iz uzorka, odnosno test--

veliveliččineine

ššto je manja pto je manja p--vrijednost manja je i empirijski utvrđena vrijednost manja je i empirijski utvrđena

vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze i obrnutovjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze i obrnuto

pp--vrijednost > vrijednost > αα →→ prihvaprihvaćća se Ha se H00

pp--vrijednost < vrijednost < αα →→ prihvaprihvaćća se Ha se H11


kada se provodi test o pretpostavljenoj kada se provodi test o pretpostavljenoj sredini populacije na temelju malog uzorka, sredini populacije na temelju malog uzorka, pp--vrijednost izravrijednost izraččunava se na isti naunava se na isti naččin, s in, s tom razlikom tom razlikom ššto se umjesto zto se umjesto z--omjera omjera koristi tkoristi t--omjer, a umjesto normalne tomjer, a umjesto normalne t--distribucijadistribucija

VRSTA TESTA nulta


p-vrijednost

dvosmjeran 00 µµ =KH 01 µµ ≠KH p=2P(Z>|z|)


00 µµ ≤KH 00 µµ >KH p=P(Z>z)


00 µµ ≥KH 00 µµ <KH p=P(Z>|z|)

POSTUPAK RAPOSTUPAK RAČČUNANJA EMPIRIJSKE RAZINE SIGNIFIKANTNOSTIUNANJA EMPIRIJSKE RAZINE SIGNIFIKANTNOSTI


PRIMJER 5. PRIMJER 5. Pretpostavlja se da je na autocesti između Pretpostavlja se da je na autocesti između 2 grada 2 grada prosjeprosječčna brzina automobila 100km/h, s prosjena brzina automobila 100km/h, s prosječčnim nim odstupanjem 15km. Testiranje pretpostavke temelji se na odstupanjem 15km. Testiranje pretpostavke temelji se na uzorku brzina 64 automobila i razini signifikantnosti 5%. uzorku brzina 64 automobila i razini signifikantnosti 5%. Hipoteza o pretpostavljenoj prosjeHipoteza o pretpostavljenoj prosječčnoj brzini prihvanoj brzini prihvaćća se ako a se ako se prosjese prosječčna brzina automobila u uzorku nađe između na brzina automobila u uzorku nađe između 96.325 96.325 i 103.675 km/h. Prosjei 103.675 km/h. Prosječčna brzina automobila u uzorku iznosila na brzina automobila u uzorku iznosila je 102 km/h. Izraje 102 km/h. Izraččunajte punajte p--vrijednost i pomovrijednost i pomoćću te vrijednosti u te vrijednosti donesite zakljudonesite zaključčak.ak.

veliki uzorak, test dvosmjeranveliki uzorak, test dvosmjeranhipoteze: Hhipoteze: H00 …… µµ = 100= 100

HH11 …… µµ ≠≠ 100100

empirijski zempirijski z--omjer:omjer: 06.1

1

00 =

−

−=

−=

n

s

xxz

x

µ

σ

µ


pp--vrijednost:vrijednost:

razina signifikantnosti je razina signifikantnosti je αα=0.05, a p=0.2892, =0.05, a p=0.2892, tjtj. . αα<p, pa <p, pa se prihvase prihvaćća nulta hipotezaa nulta hipoteza

momožže se prihvatiti hipoteza da je prosjee se prihvatiti hipoteza da je prosječčna brzina na brzina automobila na cesti između automobila na cesti između 2 grada 100km/h2 grada 100km/h

( ) ( ) 2892.0)3554.05.0(206.122 =−=>=>= ZPzZPp


PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:

1.1. Testiranje hipoteza o parametru. GreTestiranje hipoteza o parametru. Grešška tipa I, greka tipa I, grešška ka

tipa IItipa II

2.2. Objasnite pojmove: nulta i alternativna hipoteza, razina Objasnite pojmove: nulta i alternativna hipoteza, razina

znaznaččajnosti, test veliajnosti, test veliččina z i t, kritiina z i t, kritiččne granice, pne granice, p--

vrijednostvrijednost

3.3. OpiOpiššite postupke testiranja i naite postupke testiranja i naččine donoine donoššenja odlukaenja odluka

9. testiranje hipoteza o parametru - unizd.hr · vjerojatnost gre ške u procjeni drugi pristup...

Documents