Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola

Editing by

Wiwik Andriyani L N/2KS-1

KOORDINAT KARTESIUS Sistem Koordinat 2 Dimensi

Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

x

y

KOORDINAT KARTESIUS Sistem Koordinat 3 Dimensi

Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yangketiganya saling tegak lurus

x

y

z

KOORDINAT POLAR• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik

didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.

• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

KOORDINAT POLAR

O (titik kutub) Sumbu Polar

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

r

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah.

r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ), untuk n bil. Bulat genap

Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi:

x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0Catt. menentukan

Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x).

KOORDINAT POLAR Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin

- berpusat di (a,0): r = 2a cos

Jika a=1, maka

r = 2 sin

r = 2 cos

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2

+ (y -1)2 = 1

TITIK 3D DALAM KOORDINAT TABUNG

r

Koordinat Polar dalam bidang datar

Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).

r

r

r

(r,,z)

TITIK 3D DALAM KOORDINAT TABUNG

KONVERSI ANTARA KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT KARTESIUS

cos( )

sin( )

x r

y r

z z

r

r

(r,,z)

2 2 2

tan( )

r x y

y

xz z

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola

(x,y,z)

0 .

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Sudut .

0 2 .

( , ,)

Suatu titik dalam koordinat bola

KONVERSI ANTARA KOORDINAT BOLADAN KOORDINAT KARTESIUS

(x,y,z)

z

r

sin( ) cos( ) tan( )r z r

z

cos( ) sin( )cos( )

sin( ) sin( )sin( )

cos( )

x r

y r

z

2 2 2

2 2

2 2 2

tan( )

tan( )

cos( )

x y z

y

x

x yr

z zz z

x y z

INTEGRAL: KOORDINAT KARTESIUS

Riemann Sum dalam triple integral sbb:

Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang . , lebar , dan tinggi

* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z

* * *( , , ) .i i i i i i

nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu

f x y z x y z

ix iyiz

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

Bagaimana dengan ukuran-ukuran

dalam koordinat tabung r, q, and z?

, , andr z

Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar

r

r

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecilr

r

r+Dr

r

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

r+Dr

r

Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r.

r

r+Dr

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNGSudut q. Ada penambahan sudut sebesar Dq.

Dq

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r+r dan sudut

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG

Dengan penambahan D z .

INTEGRAL DALAM KOORDINAT TABUNG

dA r dr d Untuk mencari volume benda padat

dV r dr d dz

Maka . . .( , , )

S

f r z r dr d dz

SOAL

1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

x y z

S

e dV

SOAL

2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung:

a. b.

Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z

SOAL

3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a. b.

Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z

SOAL

4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a.b.

c.Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

3

3

4

SOAL

5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a.b.

Tentukan persamaan dalam koordinat bola & gambarkan

2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z

TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA

INTEGRAL LIPAT

Editing by

Wiwik Andriyani Lestari Ningsih/2KS-1

TRANSFORMASI KOORDINAT Dalam menyelesaikan integral lipat atas suatu

daerah R, dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat lain selain dengan menggunakan koordinat persegi panjang xy.

Transformasi dari satu koordinat persegi panjang ke sistem koordinat lainnya.

32

TRANSFORMASI KOORDINAT Tinjau suatu fungsi T, yang mempunyai domain D

(daerah pada bidang xy) dan mempunyai range E (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y)=(u,v).

T transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv.

u dan v adalah fungsi dari x dan y

EvuDyxyxgvyxfu ),(,),();,(),,(

TRANSFORMASI KOORDINAT y v

(x,y) T (u,v)

x u

CONTOH T suatu transformasi koordinat yang

didefinisikansbb: u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y))

a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3) b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal untuk

u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis horisontal untuk v=-1,v=1,v=3,v=5.

c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva v dalam bidang xy.

TRANSFORMASI KOORDINAT Jika T suatu transformasi koordinat satu-satu,

maka bisa dicari invers atau transformasi balikannya dari T, yakni T-1 dari bidang uv ke bidang xy

x = F(u,v) y = G(u,v) Jika T suatu transformasi satu-satu maka

inversnya T-1 . Dalam hal ini ,T-1(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1(u,v)) = (u,v)

untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.

CONTOH Tentukan invers dari transformasi T yang

didefinisikan pada contoh sebelumnya.

Gambarkan kurva pada bidang uv yang memetakan ellips

atas T-1

14 22 yx

PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT

Tinjau untuk suatu daerah R dalam bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v).

Persamaan ini menyatakan transformasi koordinat W dari bidang uv ke bidang xy.

Dalam hal ini menentukan daerah S di bidang uv yang ditransformasi dari R oleh W(menentukan batas integral baru)

R

dAyxF ),(

SR

dAvugvufFdAyxF )),(),,((),(

MATRIKS JACOBIAN Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka Jacobian dari x

dan y adalah

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

yv

x

u

x

vu

yx

),(

),(

CONTOH Tentukan jacobian dari

Jika , tentukan jacobian

),(

),(

vu

yx

vu euyvex 22 ,

xyvyxu 2,22 ),(

),(

yx

vu

THEOREMA Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah transformasi

koordinat, maka

Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}

SR

dvduvu

yxvuGdydxyxF

),(

),(),(),(

CONTOH

Hitung untuk daerah R pada bidang xy yang dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut (0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0).

Hitung untuk daerah R di kuadran pertama pada bidang xy antara lingkaran yang berjari-jari 1 dan berjari-jari 2.

dxdyeR

xyxy )/()(

dxdyeR

yx )( 22

Transformasi diatas dapat diperluas untuk menyelesaikan integral lipat tiga. Diberikan transformasi x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem koordinat uvw ke sistem koordinat xyz.

Jacobian =

w

z

v

z

u

zw

y

v

y

u

yw

x

v

x

u

x

wvu

zyx

),,(

),,(

THEOREMA Jika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w)

transformasi koordinat, maka

Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}

SR

dwdvduwvu

zyxwvuGdzdydxzyxF

),,(

),,(),,(),,(

CONTOH

Tentukan jacobian dari x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z = u + 4w

Dengan menggunakan koordinat silinder, tentukan volume benda di atas bidang xy, yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder

),,(

),,(

wvu

zyx

2222 1& yxyxz

CONTOH Dengan menggunakan koordinat bola tentukan

volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut

16222 zyx22 yxz