8.3 thÉorÈme fondamental de lalgÈbre cours 27. au dernier cours nous avons vus la définition des...
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8.3 THÉORÈME FONDAMENTAL DE
L’ALGÈBRE
cours 27
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Au dernier cours nous avons vus
✓ La définition des nombres complexes
✓ Les opérations sur les nombres
complexes
✓ La formule de De Moivre
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Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Les racines de l’unité
✓ Le théorème fondamental de
l’algèbre
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Ce fait n’avait pas réellement d’impact sur ce qu’on a fait jusqu’à présent.
Par contre ceci va devenir important lorsqu’on va prendre des racines.
N’est pas qu’une réponse
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Exemple:
Trouver les racines carré de 1
Ici, on a des réponses différentes pour
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Exemple: Trouver les racines cubiques de 1
Ici, on a des réponses différentes pour
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Racines de l’unité
De manière plus général, l’équation
possède n solutions, qui sont
avec
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Exemple:
Voici une autre façon de trouver la racine d’un nombre complexe.
Trouver on cherche tel que
et et
avec
ou
donc
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Théorème:
Théorème fondamental de l’algèbre
Tous polynômes à coefficients complexes de degré a au moins un zéro dans .
C’est à dire:
Bien que ça semble simple, la preuve de ceci dépasse le cadre du cours.
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Théorème:
Preuve:
Mais on sait déjà que
est un zéro de
est un facteur de
est un facteur deSi
Si on divise par
Le reste est de degré 0
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Les deux derniers théorèmes mis ensemble nous disent que tous polynômes complexes se factorise
complètement.
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Pour des raisons qui vont devenir plus clairs bientôt, explorons un peu le conjugué d’un nombre complexe.
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Soit un polynôme à coefficients réels.
avec
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Théorème:
Preuve:
Les racines d’un polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires de conjuguées.
Si est une racine de alors,
d’où
et donc
est aussi une racine de
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Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Les racines de l’unité
✓ Le théorème fondamental de
l’algèbre
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Devoir:p. 311 #6 à
12
p.315 #1 à 8