8 razred 7 - stefanovski - matematika

Click here to load reader

Post on 03-Jun-2018

246 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    1/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    2/228

    Dragi u~eni~e!

    Ova }e ti kwiga pomo}i da nau~i{ predvi|ene sadr`aje programa. Nau~i}e{ novezanimqive sadr`aje o vektorima, translaciji i rotaciji. Ste}i }e{ va`na znawao stepenima, korenima i polinomima. Pro{iri}e{ znawa iz geometrije.

    Izra~unava}e{ povr{inu figura. Ste}i}e{ nova znawa o funkciji iproporcionalnosti.

    Kwiga je podeqena na pet tematske celine, a svaka od wih je podeqena na podteme.Tematske celine po~iwu sadr`ajem , a nastavne jedinice su numerisane.U svakoj nastavnoj jedinici ima oznaka u boji i preko wih su ispisane poruke,

    aktivnosti, obaveze i druge preporuke, a to :

    Nastavne jedinice po~iwu ne~im {to ti je ve} poznato.Podseti se i re{i zadate zahteve. To }e ti pomo}i kod

    izu~avawa novog sadr`aja lekcije.

    A B Ovim oznakama je nastavna jedinica podeqena na delove(porcije), koje se odnose na nove pojmove.

    1.

    2. Ovakvim oznakama su ozna~ene aktivnosti, pitawa i zadaci koje

    }e{ samostalno re{avati ili uz pomo} nastavnika. U ovom delu

    u~i{ novinu u lekciji i zato treba da bude{ pa`qiv i aktivan dabi boqe razumeo i nau~io. Najbitnije je obojeno utom bojom.

    Treba da zna{: Ono {to je najbitnije je izdvojeno u obliku pitawa,zadataka ili tvr|ewa. To treba{ upamtiti i primeniti

    u zadacima i prakti~nim primerima.

    Proveri!Ovaj deo sadr`i pitawa i zadatke kojima mo`e{ da

    proveri{ da li si razumeo ve}i deo onog {to se u~i, da bi

    mogao da primeni{ i koristi{ u svakodnevnom `ivotu.

    ZadaciTreba da redovno i samostalno re{ava{ ove zadatke. Time

    }e{ boqe nau~iti i oni }e ti koristiti.

    Kada nai|e{ na pote{ko}e u izu~avawu matematike ne otkazuj se, poku{aj ponovo, aupornost donosi rezultat i zadovoqstvo.

    Zadovoqstvo }e nam biti ako ovom kwigom vi{e zavoli{ matematiku i postigne{

    veliki uspeh. Autori

    PROVERISVOJE ZNAWE

    Na kraju svake teme ima{ test sastavqen od pitawa i

    zadataka. Samostalno re{i test i time }e{

    proveriti svoje znawe iz teme koja je u~ena.

    Poku{aj...Potrudi se da re{ava{ zadatke i probleme u ovom delu (nije

    obavezno). Time }e{ znati vi{e i bi}e{ bogatiji sa idejama.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    3/228

    3Vektor. Operacije nad vektorima

    TEMA 1. VEKTORI. TRANSLACIJA

    VEKTORI I OPERACIJE SA VEKTORIMA

    1. Usmerenost poluprava. Smer2. Vektori

    3. Jednakost vektora4. Sabirawe vektora

    5. Oduzimawe vektora 19

    TRANSLACIJA

    6. Translacija7. Osobine translacije 24

    8. Primena translacije 27 Proveri svoje znawe 30 14

    1174 22

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    4/228

    4 Tema 1. Vektori. Translacija

    Nacrtaj pravu ai na woj ozna~i ta~ku O.

    Ta~ka O deli pravu ana dva dela ilidva skupa.

    Kako se naziva deo prave koji sadr`ita~ku O i jedan od dva dela na kojimaje razdvojena prava asa ta~kom O ?

    Na crte`u je nacrtana poluprava OMsa po~etnom ta~kom O i proizvoqnom

    ta~kom M.

    Nacrtaj poluprave AV i A, tako {tota~ke A, , i ne le`e na istoj pravi.

    Nacrtaj pravu ai na woj ozna~ita~ke M i ?

    1. Na pravi uo~i polupraveOA, O1A, O i

    Koja je poluprava podskup polupraveOA ?

    Koja poluprava je podskup polupraveO

    1?

    Za poluprave OA i O1A ka`emo da su

    isto usmerene. I poluprave O i O1 su

    isto usmerene.

    Za poluprave OA i O1 ka`emo da susuprotnog smera. I poluprave OA i Osu suprotnog smera.

    Poluprave istog smera ozna~avamo

    znakom , a suprotno usmereneznakomPrimer:

    Razgledaj crte`. Uo~i paralelne prave i i nawima ozna~ene poluprave OA, O

    1V i O

    1S.

    Koje poluprave le`e na istoj poluravni sa grani~nompravom OO

    1?

    USMERENOST POLUPRAVA. SMER11111

    VEKTORI. OPERACIJE NAD VEKTORIMA

    A 1.

    V O

    A p

    Uo~io sam da:Sve ta~ke poluprave O1A

    pripadaju polupravi OA, t.j.

    Sve ta~ke poluprave OBpripadaju polupravi O

    1, t.j.

    .

    2.

    O

    M

    Sa pravom na crte`u ravan je

    podeqena na dve poluravni, od kojihje jedna obojena.

    Koje od ozna~enih ta~ki le`e na istojpoluravni ?

    b

    [ta je prava za poluravan ?

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2

    b

    a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    5/228

    5Vektor. Operacije nad vektorima

    Za dve poluprave ka`emo da su isto usmerene (ili: imaju isti smer) ako le`e najednoj pravi i jedna je podskup druge ili ako le`e na paralelnim pravama ipripadaju istoj poluravni sa grani~nom pravom kroz wihove po~etne ta~ke.

    Za dve poluprave koje le`e na istoj pravi ili na paralelnim pravama i nisu istousmerene, ka`emo da su suprotno usmerene (ili imaju suprotne smerove).

    Odredi kako su usmerene:

    Va`i i uop{te

    3.

    a)

    b)

    v)

    g)

    a

    bab

    Ovo ti je poznato

    Na crte`u su prikazani saobra}ajni znakovi koji ozna~avaju smer.

    Nacrtaj polupravu OA i zatim:

    Nacrtaj dve poluprave O1A

    1 i O

    2B

    2 isto usmerene sa pravom OA.

    Kako su usmerene poluprave O1A

    1 i O

    2

    2?

    Koliko poluprava u ravni mo`e da se konstrui{e isto usmerenih sa polupravomOA ?

    a) poluprave OA i O1A,

    b) poluprave OA i O1A

    v) poluprave OV i O1A

    g) poluprave OV i O1

    O1 i O

    1 OV i O

    1

    Uo~io sam dapoluprave OA i O

    1

    le`e na istojpoluravni, a gra-ni~na poluprava jeOO

    1.

    Ka`emo da su isto usmerene poluprave OA i O1

    t.j

    Poluprave OA i O1S ne le`e u istoj poluravni sa

    grani~nom polupravom OO1i za wih ka`emo da su

    suprotno usmerene, t.j. OA

    Objasni {ta koji znak pokazuje.

    Re~ smer ~esto upotrebqavamo na primer: ,, vetar duva u severnom smeru,, avion leti usmeru Skopqe-Ohrid itd.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    6/228

    6 Tema 1. Vektori. Translacija

    Smer predstavqamo jednom polupravom Aiz skupa istousmerenih poluprava i ka`emo, poluprava Aima smer .

    Date su poluprave OA, O1A

    1 i O

    2A

    2, tako {to

    . polupravomOA je opredeqen smer , a polupravom O

    2A

    2

    smer

    [ta je ta~no:

    Da objasni{ koje dve polupraveimaju isti smer, odnosno

    suprotni smer.

    Da objasni{ {ta je smer i ~imese smer predstavqa.

    Na crte`u su prave i paralelne.

    Koje poluprave OA, O1S

    i O1:

    Su istog smera,

    Suprotnog smera

    Odre|uju isti smer ?

    Kakvu figuru mo`e da napravipresek:

    dve poluprave istog smera kojele`e na jednoj pravi,

    dve poluprave suprotnog smerakoje lee na jednoj pravi?

    1.

    Na pravi a su date poluprave OA,

    O1A i O2A, tako {to su

    poluprave OA i O2A?

    5.

    Zadaci

    Kakvu figuru mo`e da napravi unija:

    dve poluprave istog smera kojelee na jednoj pravi,

    dve poluprave suprotnog smera

    koje le`e na jednoj pravi?

    Nacrtaj pravougaoniki neka Obude ta~ka preseka wegovihdijagonala. Koje poluprave : i su :

    istog smera,

    suprotnog smera?

    2.

    A O a

    b

    Proveri!

    Zakqu~io sam da u ravni postoje beskona~no mnogo poluprava koje suisto usmerene sa datom polupravom OA

    Skup jedne poluprave i sve isto usmerene poluprave na woj u ravni se naziva smer.

    A. Kako su usmerene

    Treba da zna{:

    a)

    b)

    a)

    b)

    a)

    b)

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    7/228

    7Vektor. Operacije nad vektorima

    Du` Ana kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se

    naziva usmerena dui ozna~ava se sa

    Ta~ka A se zove po~etak, a ta~ka kraj usmerene du`i

    Na crte`u, poluprave le`e naparalelnim pravama a b ic.

    Kako su usmerene poluprave i

    2.

    Uporedi du`ine du`i i i

    Uo~i usmerene du`i i potrudi se da shvati{

    Usmerena du` na crte`u se predstavqa strelicom odpo~etne ta~ke A prema krajwoj ta~ki .

    o kojima dvema usmerenim du`ima se ka`e da su jednake.

    c

    b

    a

    Neka su A i krajwe ta~kedu`i a.

    [ta je ta~no:

    A 1.

    Uo~io sam da je:

    a) ;

    b)i je ista du`

    v) ;

    g) ?

    Ta~no pod a),b) i v) ,

    a

    Neta~no pod g), jer kod pore|anih parova va`i:

    kada .

    Krajwe ta~ke usmerene dui predstavqaju pore|ani par

    VEKTORI22222

    Zapisom ( ) ozna~ujemo pore|anipar.

    U pore|anom paru se ta~no zna koji jeprvi, a koji drugi elemenat.

    Za pore|ani par ta~aka, (A), ta~kaA je prva komponenta, a ta~ka druga komponenta.

    Neka pore|ani par (5,8) ozna~avapeti red i osmo sedi{te ubioskopskoj Sali. Da li pore|ani par(8,5) ozna~ava isto sedi{te ?

    Podseti se!

    Uo~io sam da su poluprave i Eisto usmerene

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    8/228

    8 Tema 1. Vektori. Translacija

    Usmerene du`i su jednake, ako imaju jednaku du`inu i

    i Zapisujemo .

    Neka se ta~ka O pomeri za 4

    jedinice udesno po pravi gde

    je

    U koju ta~ku }e se pomeriti, t.j. preslikati ta~ka O na pravi

    3.

    Ta~ke O i su krajwe ta~ke na

    usmerenoj du`i Onepredstavqaju pore|ani par (O,).

    Ta~ka O je po~etna, a ta~kakrajwa u ovom pomerawu.[ta predstavqaju ta~ke O i?

    Ovo pomerawe ta~ke u ravni je izvr{eno u odre|enomsmeru i na odre|eno rastojawe. Na crte`u ga

    predstavqamo kao usmerenu du`

    Uo~io sam da }e se ta~ka O pomeriti (preslikati) u ta~ku .

    B

    p

    Smer koji Aopredequje polupravu Ase zove smer usmerene dui

    Prema tome, usmerene du`i su isto usmerene.

    Du`ina dui A se zove duina (intenzitet) usmerene du`i

    ozna~ava se sa Prema tome

    Usmerena du`, ~iji se po~etak podudara sa krajem se zove nultausmerena du. Ona nema odre|eni smer, a wena du`ina je nula

    Neka je predstavqena jedna usmerena du` Koliko usmerenih du`i jednakih postoje?

    Mogu da nacrtam mnogo usmerenih du`i jednakih na

    , a ima beskona~no mnogo koje su jednake woj.

    Skup od jedne usmerene du`i i sve usmerene du`i jednake woj se naziva vektor.

    Skup svih nulti usmerenih du`i se zove nulti vektor.

    Uo~i i upamti!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    9/228

    9Vektor. Operacije nad vektorima

    Ozna~i ~etiri ta~ke A, i . Predstavi vektore:4.

    To {to si nau~io o usmerenim du`ima, mo`e da se iska`e i o vektorima.

    Neka je dat vektor sa usmerenom dui

    Du`ina usmerene du`i se zove du`ina (ili intenzitet) vektora i ozna~ava se

    Nacrtaj dva vektora i tako da su oni:a) isto usmereni, b) suprotno usmereni.

    5.

    Vektori i u zahtevima a)i b) mo`e{ da predstavi{ kao nacrte`u.

    Primetio sam da: smer vektora se odre|uje na isti na~in kao i kod usmerenihdu`i, jer se vektor predstavqa kao usmerena du`.

    Nacrtaj vektor i ozna~i ta~ke i M (kao na crte`u).6.

    Nacrtaj vektor tako {to

    Nacrtaj vektor tako {to

    ili

    b)a)

    a

    Smer usmerene du`i predstavqa smer

    vektora

    Na crte`u }emo vektor predstavqati sa jednom usmerenomdu`i, t.j. jednim predstavnikom iz skupa jednako usmerenihdu`i.Prema tome, usmerena du` }e predstavqati vektor.

    Ovo je va`no !

    b

    a

    c

    Vektor }emo ozna~avati sa ili malim slovom i strelicom

    iznad wega. Na crte`u su dati vektori

    Uo~i i upamti!

    Za vektore koji imaju isti smer ili suprotan smer, ka`emo da su kolinearni.

    t.j. vektori i su kolinearni, ako ili

    Za kolinearne vektore ka`emo da imaju isti pravac.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    10/228

    10 Tema 1. Vektori. Translacija

    Nacrtaj dva kolinearna vektora tako da le`e:

    Da objasni{ {ta je usmerena du` i {taje vektor,

    Da odredi{ (i objasni{ ) vektore:istog smera, suprotnih smerova ikolinearne vektore.

    Treba da zna{:

    Na crte`u prava je paralelna sa pravom . Koji su vektori predstavqeni na crte`u?

    Kakav smer imaju vektori

    Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?

    Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?

    Zapi{i vektore koji su opredeqenipore|anim parovima ta~aka : (A,),() i (E,).

    1.

    Zadaci

    Poznato je da su vektori ikolinearni . Da li su kolinearnivektori:

    2.

    i ; i ?

    Na crte`u su dati vektori ukvadratnoj mre`i. Kako su usmerenivektori?

    3.

    d

    i; b)i ; v)i ;

    g) i ; d) i ; |) i ?

    c q

    b

    a p

    na paralelnim pravama i

    7.

    na paralelnim pravama i

    na istoj pravi i na istoj pravi i

    Nulta usmerena du` predstavqa nulti vektor koji se ozna~ava sa

    Nulti vektor smatramo za kolinearan sa svakim drugim vektorom i du`inom jednakojnuli.

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    11/228

    11Vektor. Operacije nad vektorima

    U paralelogramuozna~en

    su vektori a bA 1.

    Uo~io sam da:

    Uporedi duine i odredi

    smer vektora odnosno vektore

    Vektori a i imaju istismer i jednake duine.

    Dva vektora a i sujednakaako imaju isti smer i jednake du`ine, t.j.

    Dva vektora ci d su suprotni ako imaju suprotne smerove i jednake du`ine.

    Za vektora d se ka`e da je suprotanvektoru c.

    c d

    Vektori c i d imaju suprotnesmerove i jednake du`ine.

    Suprotan vektor c ozna~ava se -c, t.j. d= -c.

    a

    b

    cdNa pravougaoniku predstavqeni

    su vektoriwihove duine i odredi wihov smer.

    Suprotne strane svakog parale-lograma su paralelne i jednake.

    b

    a

    JEDNAKOST VEKTORA3

    Za koja dva vektora iikaemo da imaju isti smer?

    [ta predstavqa duina vektora

    ?

    Nacrtaj vektor jednak zadanog vektora a .2.

    Kroz ta~ku M }u povu}ipolupravu Mistog smera sapolupravom A . Napolupravi M odredi}u

    ta~ku tako {to

    Prvo }e{ nacrtati vektor iozna~i}e{ proizvoqnu ta~ku M.

    Kako }e{ odrediti ta~ku za

    vektor

    a= b ako 1.a b i 2. a = b .

    Podseti se!

    Uporedi

    Uo~i i upamti!

    b

    b

    a i b

    c i d

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    12/228

    12 Tema 1. Vektori. Translacija

    Nacrtaj vektor ako je dat wegov smer S i du`ina3.

    Uo~i postupak i uporedi svoje re{ewe.

    Na crte`u je dat smer S sa polupravom

    Ai du`inom r= vektora a.

    r

    Od proizvoqne ta~ke M konstrui{emopolupravu M isto usmerenu sa A.

    Na polupravoj MD odre|ujemo ta~ku , tako {to

    Time je opredeqen vektor

    Dat je vektor i ta~ka M. Nacrtaj vektor4.

    Prema crte`u, odredi koji od vektora su jednaki,odnosno suprotni:

    5.

    a) a i b ; g) e i r;

    b) a i c ; d)g i h ;

    v) b i c; |) c i n :

    B 6.

    Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

    Dat je vektor i ta~ka O. konstrui{i vektor jednak vektoru

    Na koji na~in si konstruisao prvo polupravu O?

    Kako si odredio ta~ku na vektoru

    Uo~i i upamti!

    Ako je u ravni dat vektor i proizvoqna ta~ka O, tada postojijedinstveni vektor sa po~etkom u ta~ki O koji je jednak vektoru

    Konstruisawe vektora jednak vektoru zovemo preno{ewe vektora

    u ta~ki O.

    a

    a

    a

    a

    a b

    c

    e r n

    g h

    Uo~i da za dati vektor mo`e{ da nacrta{ bezbroj jednakih vektora na wemu.

    Jedan vektor je opredeqen ako je dat wegov smer S i du`ina rili ako jedat pore|ani par ta~aka (A,)- wegov po~etak A i kraj .

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    13/228

    13Vektor. Operacije nad vektorima

    Izaberi ~etiri ta~ke O,A,i . U ta~ki O prenesi vektore i7.

    Dati su vektori U krajwu ta~ku vektora prenesi vektor8.

    Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

    Da objasni{ koja su dva vektorajednaka, odnosno suprotna;

    Da prenese{ dati vektor u datu ta~ku ida datom vektoru nadove`e{ drugi

    dati vektor.

    Na vektor nadove`i vektor

    Obrazlo`ipostupak.

    Nacrtaj dva kolinearna vektora

    i na vektor nadove`i vektor1.

    Date su dve proizvoqne ta~ke A i .

    Da li vektor je suprotan vektoru

    Obrazlo`i!

    Zadaci

    4.

    Nacrtaj dva suprotna vektora a i b

    i vektor a nadove`i vektor b

    Da li su jednaki vektori kolinearni?Obrazlo`i!

    5. Izaberi dva vektora

    Na vektor a nadove`i vektor b

    2.

    3.

    Prvo konstrui{i polupravu sa smerom

    Kako si odredio ta~ku za vektor da je jednak

    Uo~i i upamti!

    Za vektor i preneseni vektor ka`emo da su nadovezani.

    Dva vektora su nadovezana ako se kraj jednog vektora podudara sa po~etkom drugogvektora.

    6. Dati su vektori i ta~ka O .Prenesi sva tri vektora u ta~ku O.

    ba

    b

    b

    a

    Proveri!

    Treba da zna{:

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    14/228

    14 Tema 1. Vektori. Translacija

    Konstrui{i vektor

    Uporedi svoje re{ewe sa datim i obrazlo`ipostupak.

    Kako si preneo vektor i vektorb ?

    Kako si odredio vektor

    Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora

    [ta predstavqa ta~ka O za vektor i ta~ka za vektor

    Uo~i i zapamti da ovako konstruisan vektor se zove zbirvektora

    Zbir dva nadovezana vektora predstavqaju vektor ~iji se po~etakpodudara sa po~etkom vektora a a kraj se podudara sa krajem vektora tj. ako

    onda

    Ovo je va`no pravilo za sabirawe vektora!

    Uo~i i zakqu~i !

    Vektor

    c

    Zbir dva vektora je jednozna~no odre|en i ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O.

    Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstrui{i wihov zbir.2.

    Izaberi drugu ta~ku razli~itu od O i prenesi vektor [ta

    predstavqa vektor za vektore Uporedi vektore i

    b

    a

    c

    b

    a

    Obrazlo`i postupak za preno{ewe

    datog vektora u datu ta~ku O.

    SABIRAWE VEKTORA44444

    Podseti se!

    Na vektor nadove`i vektorObrazlo`i postupak!

    Dati su vektori a bi ta~kaO u ravni.

    Prenesi vektore

    a i b tako{to a i

    b.

    A 1.

    b

    a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    15/228

    15Vektor. Operacija nad vektorima

    Kako je lak{e izvr{iti

    sabirawe vektora jerwihov zbir ne zavisi od izborapo~etne ta~ke O?

    Prene}u samo vektor

    odnosno na vektor

    nadoveza}u vektor a zatim }u

    odrediti wihov zbir.

    Uporedi svoje re{ewe sa datim.

    Imenuj date vektore sa wihovim po~etnim ikrajwim ta~kama.

    b

    a

    c

    ab

    b

    Kako je konstruisan vektor

    [ta predstavqa vektor za vektore

    Uo~i da odre|ivawe zbira dva vektora se svodi na konstrukcijutrougla AVS. Zato ka`emo, zbir dva vektora je odre|en po pravilutrougla.

    Dati su vektori Konstrui{i zbir:3.a + b; b + c .

    Dati su kolinearni vektori

    Konstrui{i zbir

    4.

    Razgledaj re{ewe pod a) a ; bi a + b .

    Uo~i kako je primeweno pravilo za sabirawe vektora. Obrazlo`i postupak.

    Odredi zbir nultog vektora ivektorB 5.

    Uo~i da za zbir vektora po pravilu za sabirawe vektora va`i:

    Isto tako:

    ac

    b

    ab

    b

    a

    c

    Va`i i op{te

    Za svaki vektor asu ta~ne jedna~ine

    Dati su vektori Konstrui{i vektor6.a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    16/228

    16 Tema 1. Vektori. Translacija

    Biramo ta~ku A. Vektorprenosimo sa

    po~etkom u ta~ki A i na wega nadovezujemovektor tj

    dobijamo

    Konstrui{emo paralelogram A, tj.odre|ujemo teme .

    Po{to su u paralelogramu suprotne stane paralelne i jednake, dobijamo:

    Onda: b a, pa: a b b a

    Va`i i op{te

    Za koja bilo dva vektora je ta~na jedna~ina

    Prema crte`u, mo`e{li da uo~i{ drugina~in za sabirawe

    vektora i

    Vektore a i b prene}u u zajedni~ki

    po~etak ( a i b ), a zatim

    konstruisati paralelogram A.Vektor koji opredequje dijagonalu

    je zbira + b .

    Ovo pravilo za sabirawe vektora se naziva pravilo paralelograma.

    b

    a

    a+

    bb+

    ab

    a

    b

    a

    Nacrtaj dva suprotna vektora a zatim odredi wihov zbir.7.

    Ako a i - a , onda po pravilu za sabirawe vektora sledi:

    a + (- a ) = . Isto tako: (- a a

    Va`i i op{te

    Za svaki vektorasu ta~ne jedna~ine

    Neka su data dva nekolinearna vektora Konstrui{i zbirove

    . Uporedi vektore a + b i b + a .

    8.

    Uporedi svoje re{ewe sa datim i uo~i postupak.

    t.j.

    sabirawe vektora ima komutativno svojstvo.

    a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    17/228

    17Vektor. Operacija nad vektorima

    Nacrtaj tri nekolinearna vektora a zatim konstrui{i wihov zbir.

    Nacrtaj dva nekolinearna vektora ikonstrui{i wihov zbir po pravilu paralelograma.

    9.

    Uporedi svoje re{ewe sa datim na crte`u i obrazlo`ipostupak.

    Dat je ~etvorougaonik A. Neka

    c i d.

    10.

    Od mo`e{ da uo~i{ da: , t.j.

    ( a+ b) + c= d.

    Od sledi: , t.j. a+ ( b+ c) = d.

    Prema tome: ( a+ b) + c= a+ ( b+ c).

    a

    b

    c

    d

    a+b

    b+c

    Poku{aj da poka`e{ da

    Uo~i na crte`u da su vektori nadovezani.

    a

    ba+b

    b

    a

    Uo~i i upamti

    Zbir tri ili vi{e nadovezanih vektora je vektor ~iji se po~etak podudara sa po~etkomprvog vektora, a wegov kraj se podudara sa krajem posledweg nadovezanog vektora.

    Na crte`u je konstruisan zbir vektora

    Va`i i op{te

    Za svaka tri vektora je ta~na jedna~ina

    t.j. za sabirawe vektora va`i asocijativno svojstvo. Zbog toga, zbir triju vektora

    mo`e da se zapi{e i bez zagrada

    a

    b

    d c d c

    b

    ae

    a+ b) + c= a+ ( b+ c).

    , t.j.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    18/228

    18 Tema 1. Vektori. Translacija

    Dat je ~etvorougao Ai vektora

    a b ci d Pocrte`u odredi zbir:

    3.

    a) a + b ; v) a + b + c;

    b) d + a ; g) a + b + c + d.

    4. Nacrtaj tri kolinearna vektora tako {to vektor ima suprotni

    smer od vektora Konstrui{izbirove:

    a) a + b ; b) a + c ;

    v) b + c ; g) a + b + c .

    Dati su vektori (kao na crte`u)

    a , bi .

    1.

    Zadaci

    Konstrui{i ih sa po~etkom u datoj ta~kiM, vektore:

    a) -a ; b) -b ; v) a+ b ;

    g) a+ ; d) -b+ ; |) a+ (-a ).

    a) a + b = c; b) a + b = - c ;

    v) a+ c= a ; g) a + b + c = ?

    Dat je trougao A i

    vektorite a , bi c.

    Koje su jedna~ine ta~ne?

    2.

    Da konstrui{e{ zbir dva vektora popravilu trougla i paralelograma;

    Da iska`e{ i primeni{ svojstva

    sabirawa vektora.

    Nacrtaj dva vektora tako {to

    Treba da zna{:

    dati vektor predstavqawihov zbir. c

    Proveri se!

    a

    bc

    a

    b

    c

    d

    a

    b

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    19/228

    19Vektor. Operacija nad vektorima

    ODUZIMAWE VEKTORA55555

    Dati su vektori

    a i = b.

    Konstrui{i vektor

    tako {tob+ x= a .

    A 1.

    Uo~io sam da vektor treba da bude nadovezan na vektor a kraj da mu se

    podudara sa krajem vektora tj

    Razgledaj re{ewe (nacrte`u) i obrazlo`i.Koja je po~etna, a kojakrajwa ta~ka vektora

    x ?

    Ovako konstruisani vektor se zove razlika vektora ozna~ava se sa

    tj

    Razlika vektora a i b pretstavqa vektor x , takav {to b +x= a ,

    t.j. ako b+x= a , tada x= a- b.

    b

    a

    b

    a

    x

    Dati su vektori a i b.2.

    Konstrui{i vektor c= a- b.b

    a

    Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.

    Da bi konstruisao razliku a- b treba prethodno da

    vektore ai b dovede{ u proizvoqnu zajedni~ku ta~ku,

    ali je prakti~nije da jedan vektor prenese{ u po~etakdrugog vektora.

    Ako a i b, tada vektor a- b go konstrui{e prema zakqu~ku:

    a- b .

    c=a-b

    a

    b

    Dati su vektori

    Podseti se!

    Nacrtaj vektor tako {to

    a

    b

    Uo~i i upamti!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    20/228

    20 Tema 1. Vektori. Translacija

    Koje su ti veli~ine

    poznate kao vektorskeveli~ine?

    Takve veli~ine su: brzina, snaga,ubrzawe i dr.

    Voda jedne reke te~e brzinom od 4 m u sekundi. Jedan ~amac polazi sa jedne obale,normalnoj drugoj obali, sopstvenom brzinom 3 m u sekundi.

    7.

    Odredi u kom smeru }e se kretati ~amac i kojom brzinom.

    Prirodno je da veli~ine koje imaju karakteristike, osim brojevne vrednosti, jo{ isvoj smer da ih zovemo vektorske veli~ine.

    Dati su kolinearni vektori a , bi c.Konstrui{i vektor:

    a) m= a- b; b) n= b- c.

    3.

    Nacrtaj dva vektora a i b tako {to a= 5 a b 3 i konstrui{i vektor

    c= a- b.

    4.

    Prema crte`u koja od slede}ih jedna~ina ta~na:

    a) b + a = c ; b) c - b = a ;

    v) c = a - b ; g) c - a = b

    5.

    Uo~i re{ewe i obrazlo`i. Po crte`u:

    a) a; b; ma- b;b) c; b; nb- c.

    B Upoznao si se sa vektorima, wihovim svojstvima i operacijama nad wima. Udaqem u~ewu matematike, fizike i drugih nauka uvide}e{ wihovu velikuprimenu.

    Ako zapi{e{ da je du`ina u~ionice 10 m ili je danas temperatura +120S, tada je ovimpodacima potpuno odre|ena du`ina u~ionice i temperatura. Veli~ine kao {to su naprimer du`ina, povr{ina, volumen, masa, temperatura i dr., celosno su brojevimaodre|ene. Takve veli~ine se nazivaju skalarne veli~ine ili skalari

    b

    c

    n

    b m

    a

    a

    b

    c

    Da li je dovoqan podatak ako ka`emo da vetar ima brzinu 20 kmna ~as?6.

    Nije dovoqan podatak. Karakteristika vetra je da on ima svoj smer koji mo`eda bude severan, ju`an, isto~ni i dr.

    b a

    c

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    21/228

    21Vektor. Operacija nad vektorima

    Razmisli o re{ewu, a zatim sagledaj slede}ipostupak.

    Sa vektorom v(v= ) je pretdstavqena sop-stvenata brzina ~amca u mirnoj vodi.

    Vektorom v

    (v

    = ) je pretstavqena brzina

    na reke.

    Smer vektora v je smer kretawa ~amca, a du`ina

    vektora v predstavqa koliko metara u sekundi

    se kre}e ~amac.

    Izmeri koliko metara u sekundi se kre}e ~amac.

    Da iskae{ definiciju i na~inoduzimawa dvaju vektora;

    Da konstrui{e{ razliku dva vektora;Nacrtaj vektor a , a zatim predstavi gkao razliku dva vektora.

    Treba da zna{:

    Da objasni{ koji su skalari, a kojevektorske veli~ine. Nacrtaj dva kolinearna vektora, a

    zatim odredi wihovu razliku.

    Vektor v= v v pretstavqa brzinu kretawa~amca.

    1.

    Zadaci

    Konstrui{i razliku:

    a) a - b ; b) a - ;

    v) - a ; g) ( a+ b) - .

    Dati su vektorite a , bi

    .

    2.

    Konstrui{i razliku:

    a) a - b ; b) b - c ;

    v) a - c ; g) (a - b) - c .

    ba

    b

    c

    a

    v

    reka

    v

    v=v

    +v

    v

    v

    Dati su vektori = a; = bi

    = c .

    Proveri se!

    Dati su vektori a , b i c tako

    {ta a i b su kolinearni vektori.

    3.

    Konstrui{i vektora

    a

    b

    c

    Preko vektora a i b izrazi vektor

    a); b) .

    Nacrtaj pravougaonik i stavi

    a , b.

    4.

    ( a+ b) - c.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    22/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    23/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    24/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    25/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    26/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    27/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    28/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    29/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    30/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    31/228

    31Stepen sa pokazateqem prirodni broj

    TEMA 2. STEPENI. KVADRATNI KOREN

    STEPEN GDE JE POKAZATEQ

    PRIRODNI BROJ

    1. Stepen 32

    2. Pretstavqawe broja u obliku stepena.

    Izra~unavawe brojnog izraza 35

    OPERACIJE SA STEPENIMA

    3. Mno`ewe i deqewe stepena

    jednakih osnova 39

    4. Stepenovawe stepena, proizvod

    i koli~nik 42

    Sre}an

    22 + 3 4- ti

    ro|endan

    KVADRAT I KVADRATNI KORENRACIONALNOG BROJA

    5. Kvadrat broja. Kvadratni koren 45

    6. Izra~unavawe kvadratnog koren -

    na nije obavezno

    REALNI BROJEVI

    7. Iracionalni brojevi 52

    8. Skupovi realnih brojeva 54

    Proveri svoje znaewe 56

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    32/228

    32 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    Zbir istih sabiraka se kra}e zapisuje

    kao proizvod.3 + 3 + 3 + 3 = 4 3

    Zapi{i slede}e zbirove kaoproizvode:

    36 + 36 =

    120 + 120 + 120 + 120=

    Jedan obojeni kru`i} nekapredstavqa amebu.

    STEPEN11111

    STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ

    A

    1.

    Ameba je jedno}elijski

    `ivi organizam. Ona serazmnoava prostomdeobom. Svaka ameba sedeli na dve nove amebe.

    Zna~i, stepen 24 je kratakzapis proizvoda od 4mno`ioca, jednakih na broj 2.

    Proizvod istih mno`ioca zapisuje se

    kra}e kao stepen.6 6 6 = 63

    Zapi{i slede}e proizvode kaostepene:

    2 2 2 2 =

    18 18 =

    Uo~i broj ameba koje se dobijajurazmno`avawem jedne amebe.

    Proizvod 2 2 2 2 kratak zapis 24(se ~ita"dva na ~etvrti#), a negova brojevna vrednostje

    16.

    Zapi{i ~etvrtu deobu amebe kao proizvod jednakih mno`ioca.

    Prva deoba

    Druga deoba

    Tre}a deoba

    2 = 2

    2 2 = 22 = 4

    2 2 2= 23 = 8

    Zapi{i kao stepen ~etvrtu deobu amebe.

    Koliki je broj ameba, posle ~etvrte deobe?

    an

    Stepen

    Eksponent,

    stepenov

    pokazateq

    Osnovastepena

    Zapi{i kao stepen proizvod:

    (- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);2. Pro~itaj stepen: 712.

    Proizvodot od n jednakih mno`ioca jed-

    nakih broja ase ozna~ava sa an i zove se

    stepenna a, t.j.

    Po dogovoru: a1 = a.

    Podseti se!

    Uop{te

    ^ita se: ana enti.

    aaa

    a =a

    n

    n-puta

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    33/228

    33Stepen sa pokazateqem prirodni broj

    Stepen 34 zapi{i kao proizvod i izra~unaj wegovu vrednost.

    Uo~i primere gde je izvr{eno stepenovawe.

    B

    3.

    Operacija kojom se izra~unava brojna vrednost stepena nekog broja senaziva stepenovawe.

    Koristi asocijativno svojstvo{to ti je najpogodnije.

    34= 3 3 3 3 = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81

    ili 3 (3 3 3)= 3 27 = 81

    (- 4)2= (- 4) (- 4) = 16

    (- 4)3= (- 4) (- 4) (- 4) = 16 (- 4) = - 64

    17= 1 1 1 1 1 1 1 = 1

    (- 1)3= (- 1) (- 1) (- 1) = - 1

    (- 1)6= (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) = 1

    06= 0 0 0 0 0 0 = 0

    Uo~i znak osnove i znakvrednosti stepena, a naro~itoda li je eksponent parni ilineparni broj.

    Kolika je vrednost stepena saosnovicom 1, a koliko stepenasa osnovicom (-1)?

    Da li vrednost stepena saosnovicom 0, zavisi odeksponenta?

    Izra~unaj vrednost svakog stepena:

    (1,2)3= ; (- 5)4= ; (- 3)3= ; = ; 0= ; 16= ; 71= .

    Slede}a tabela }e ti pomo}i da proceni{ kakav broj je vrednost stepena u zavisnostiod osnove stepena i eksponenta stepena.

    Osnovica stepena Eksponent Vrednost stepena

    Pozitivni broj

    10

    Negativni broj

    Koji bilo broj

    Koji biloprirodni broj

    Pozitivni broj

    10

    Parni brojNeparni broj

    Pozitivni broj Negativni broj

    1 Sam taj broj

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    34/228

    34 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    [ta je stepen, osnovu (osnovicu) stepena ieksponent (stepenov pokazateq);

    Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

    Odredi {ta je ta~no za stepen a.a) a je eksponent, a n je osnova stepena;b) npokazuje koliko je puta broj a uzetkao mno`ilac;v) vrednost a je pozitivni broj ako a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    35/228

    35Stepen sa pokazateqem prirodni broj

    Odredi osnovicu i eksponent svakogstepena:

    1.

    Zadaci

    pm -x p -p

    Zapi{i kao stepen proizvode:2.

    (- 2,5) (- 2,5) = ;

    xxxxxx = ;

    (a +b) (a +b) (a +b) = ;

    6 6 6 6 6 = ;

    (x + 6) (x + 6) = .

    Zapi{i kao stepen proizvode:3.

    64= ;

    = ;

    4.

    (- 2)5= ;

    Proizvod 10.10.10, zapisan kaostepen je 103.

    Odredi osnovicu i eksponentastepena 103.

    PRETSTAVQAWE BROJA U OBLIKU STEPENA.

    IZRA^UNAVAWE BROJNE VREDNOSTI IZRAZA22222

    Podseti se!

    Zapi{i stepen 106 kao proizvodjednakih dvocifrenih mno`ioca.

    A 1. U tabeli su neke dekadnejedinice zapisane kao proizvod

    Uporedi : broj nula u svakoj dekadnojjedinici, broj mno`ioca u proizvodu ieksponenta u zapisu kao stepen.

    Uo~io sam da je broj nula udekadnoj jedinici jednakpokazatequ u wegovom zapisuu obliku stepena sa osnovicom10.

    (-x + 3)3= ;

    (- 2)4 = ;

    = ; (m3)4= .

    Izra~unaj vrednost svakog stepena

    (- 0,6 )7 = ;

    = ;

    Proveri svoj rezultatkalkulatorom.

    istih mno`ioca i kao stepeni saosnovicom 10.

    Dekadnajedinica

    Proizvod Stepen

    (- 5)2 = ;

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    36/228

    36 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    Zapi{i kao proizvod stepene 109,10 11,10 10

    .

    3.

    Brzina svetlosti je 300 000 kilometara u sekundi. Zapi{i brzinu svetlosti kaoproizvod broja i stepena sa osnovicom 10.

    Brojevi koji mogu da se zapi{u kao proizvod broja i dekadne jedinice, moguda se zapi{u i kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10.

    Na primer: 265.000 000= 265.1 000 000= 265.106.

    4.

    Masa Sunca je oko deset miliona puta ve}a od mase Meseca. Zapi{i masu Sunca uobliku stepena.

    Zapi{i dekadnu jedinicu koja jejednaka stepenu 107.

    Put koji prolazi svetlost u toku jedne godine se zove svetlosna godina. Kolikokilometara ima jedna svetlosna godina?

    1 godina = 365 dana; 1 dan = 24 ~asa;

    1 ~as = 60 minuta; 1 minuta =60 sekundi;

    Podseti se!

    1 svetlosnagodina

    Zapi{i svetlosnu godinu kao proizvod

    dva broja od kojih je jedan stepen saosnovicom 10 i pokazateqem 8.

    Do sada si sagledao da veliki brojevi mogu da se zapi{u kao proizvod dvabroja, od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10.Na sli~an na~in, mali brojevi mogu da se zapi{u kao stepen sa osnovicom0,1 ili proizvod broja i stepena sa osnovicom 0,1.

    B U tabeli uo~i decimalnebrojeve koji su zapisani kaoproizvod jednakih mnoioca ikao stepeni sa osnovicom 0,1

    5.

    Masa Meseca je oko kilograma.

    Ja imam 107 putave}u masu

    Broj Zapis kao proizvod Stepen

    Zapi{i oblik stepena brojeva koji se sre}u u svakoj re~enici:2.

    = 300 000 365 24 60 60 =

    Masa Neptuna je oko

    nuli

    kilograma.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    37/228

    37Stepen sa pokazateqem prirodni broj

    Svaki decimalni broj moe da se napi{e kao proizvod dva mnoiocatako {to je jedan stepen od o,1.

    Zapi{i kao stepen sa osnovom 0,1 brojeve:0,0000000001 i 0,0000001.6.

    Uporedi broj decimalnih mesta poslezapete u broju, sa eksponentom u zapisubroja kao stepen.

    Uo~io sam da eksponent uzapisu kao stepen je jednakbroju decimalnih mestaposle zapete u broju.

    Stepen sa osnovom 0,1 zapi{i kao decimalni broj.=

    Napi{i slede}e brojeve kao proizvod celog broja i stepena sa osnovicom 0,1:

    7. Uo~i primer: 0,007 = 7 0,001 = 7 (0,1 0,1 0,1) = 7 0,13

    0,3 = ; 0,0008 = ; 0,000362 = ; 1,05 = .

    Potseti se!

    Izra~unaj

    V Operacije stepenovaweje operacija tre}eg reda.

    8. Uo~i preme{tawe brojevne

    vrednosti izraza

    (816 - 6) : (-3)4- (63: 8) 2.

    21

    3

    Ja sam tre}ired, ali naprvom mestu

    Ali prvou zagradi.

    Red operacijaBrojni izraz

    (816 - 6) : (-3)4- (63: 8) 2

    Zagrade 810 : (-3)4- (63: 8) 2 =

    Tre}i red = 810 : 81 - (216 : 8) 2 =

    Drugi red = 10 - 27 2 =

    Prvi red = 10 - 54 =

    Rezultat - 44

    Ta~ke idu

    pre crtice.

    an+ -

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    38/228

    38

    Da napi{e{ velike i male brojeve uvidu stepena;

    Da primeni{ redosled operacija pri-likom izra~unavawa brojevne vred-nosti izraza.

    Povr{inu Zemqe, koja iznosi oko 510000 000 km2, napi{i kao proizvod dvamno`ioca od kojih je jedan stepen sa

    osnovicom 10.Napi{i redosled kojim se vr{e oper-acije sabirawe, oduzimawe, mno`ewe,deqewe i stepenovawe u brojnomizrazu.

    Napi{i brojeve koji se nalaze u svakojre~enici ,kao proizvod dva mno`ioca,

    tako da je jedan stepen broja 10 (iliobratno):

    1.

    Zadaci

    Uo~i brojevnu vrednost izraza6:3+3.32. gde treba da se napi{u za-grade tako da bude ta~na wegova bro-jevna vrednost?

    4.

    Izra~unaj:2.

    Odredi brojevnu vrednost izraza:3.

    Masa Jupitera je oko

    Mars ima masu oko6,4 1020tonaU ~ovekovom telu ima oko 0,1 1015

    }elija.

    435 104= ; 26783 102= ;

    6,9 102= ; 0,45 103= ;

    15 0,13= ; 0,392 0,12= .

    6 : 3 + 3 32

    = 45;6 : 3 + 3 32= 9;

    6 : 3 + 3 32= 29.

    Odredi brojevnu vrednost izraza:

    a) 620 + 3 52- 147 : (- 7)2 = ; b)

    Kod obra~unavawa brojne vrednosti izraza, operacija stepenovawa se vr{i preoperacije drugog reda (mno`ewe i deqewe), a na kraju su operacije prvog reda(sabirawe i oduzimawe). Naravno, treba se obratiti pa`wa na zagrade.

    Proveri!Treba da zna{:

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    39/228

    39

    Stepen a n u oblikuproizvoda se pi{e

    Predstavi kaoproizvod jednakvemno`iteqe stepena

    73= ; (- 2)2 = .

    [email protected] I DEQEWE STEPENA JEDNAKIH OSNOVICA3

    OPERACIJE SA STEPENIMA

    Lak{e se pamti:

    Uo~i da prilikom mno`ewa dva stepena sa jednakim osnovicama:

    I ovo je lako, osnovicu

    prepisujem, a stepenove po-kazateqe sabiram.

    Odredi proizvode: a4a5; ( - 2)7(- 2)2; (a- 3) (a- 3)6.2.

    Koji stepenovi pokazateq nedostaje u posledwem slu~aju datog u tabeli?

    Predstavi vrstu stepena proiz-voda:

    Osnova rezultata je ista kao i mno`ioca;

    Stepenovi pokazateq rezultata je zbir pokazateqa mno`ioca.

    Proizvod stepena sa jednakim osnovi-cama je stepen sa istom osnovicom kaoosnovice mno`ioca i pokazateqa jed-nakom zbiru pokazateqa mno`ioca.

    aman= am +n

    Zapi{i rezultat mno`ewa stepena:x5x6= ; ( - k)p(- k)m= .

    Uo~i kako je izra~unat proizvod(x2x4) x3(x2x4) x3= (x2 + 4) x3=x6x3 =x6 + 3=x9

    3.

    a ma nap= a m +n + p

    Razgledaj tabelu o mno`ewu stepena.

    Mno`ewestepena

    Pisawe stepena kao proiz-voda

    Proizvodstepena

    23 22 (22 2) (2 2) =22 2 2 2

    23+2= 25

    (-3)2 (-3) ((-3)(-3))(-3) =(-3)(-3)(-3)

    (-3)2+1= (-3)3

    = =

    54 52 (55 5 5) (5 5) =55 5 5 5 5

    54+2= 5

    Potseti se!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    40/228

    40

    Ako a, bi nsu prirodni bro-jevi i n je deliteq brojevima

    a i b, tada

    Skrati razlomke:

    Podseti se!

    Primer:

    ili

    razgledaj tabelu o deqewu stepena jed-

    nakih osnovica.

    Deqewestepena

    Pisawe stepena kao de-qewe proizvoda

    Koli~nikstepena

    25: 22= 2 2 2

    25-2= 23

    (-3)2: (-3)= (-3)

    (-3)2-1= (-3)

    57: 53 = 5 5 5 5 57-3= 54

    96: 9= 9 9 9 9 9

    96-1= 9

    Primeti da prilikom deqewa dva stepena jednakih osnovica va`i slede}e:

    Osnovica koli~nika je ista kao i osnovica deqenika i delioca;

    Stepenovi pokazateq koli~nika je razlika od pokazateqa deqenika i delioca.

    Koji je broj stepenovi pokazateq koji nedostaje u posledwem primeru datog u ta-beli?

    Lak{e se pamti:Koli~nik stepena jednakih osnovica(razli~iti od 0) je stepen sa istom os-novicom i pokazateqem jednakog razli-

    ci pokazateqa mi n, m> n, deqenika idelioca.

    a m:a n= a m -n; m >n

    uo~i izra~unavawe koli~nika(-6)5: (-6)3= .6.

    ili skra}eno:(-6)5: (-6)3= (-6)5 -3= (-6)2.

    Uo~i deqewe stepena jednakih osnovica kada deqenik i delilac imaju isteeksponente.

    7.

    Razlo`i stepen 69na tri mno`ioca. Vide}e{ da ima tri re{ewa, ali tinapi{i samo dva.

    4.

    Proizvod jednog mno`ioca i a7je jednak a97. Koji je taj mno`ilac?

    Koji broj je stepenovi pokazateq koji nedostaje u mno`ewu 636 = 612 ?

    a 0

    izra~unaj:

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    41/228

    41

    Uo~i deqewe stepena jednakih osnova kada je pokazateq deqenika broj koji jemawi od pokazateqa delioca.

    8.

    Izra~unaj:

    Odredi koli~nik:

    Da ka`e{ i primeni{ pravila:Ka`i pravilo o mno`ewu stepenajednakih osnova.Objasni kako se dele stepeni jednakihosnova.

    Ako0 tada ise, an: an= .jer su brojilac i imenilac jednaki.

    Ako primeni{ pravilo o deqewu stepena jednakih osnova, dobi}e{:: an: a n= an-n= ao

    Uvidi da si u prvom slu~aju dobio 1, a u drugom a0

    Koji broj je koli~nik prilikom deqewdva stepena jednakih osnova (razli~iti

    od nule) i jednakih eksponenata?Koja je brojna vrednost stepena sa kojobilo osnovom a0 , i eksponent 0?

    smatra}emo da ao= 1

    ama n= am+n, m, nN;

    ama n= am-n, a 0 i m> n;

    a 0 i m< n;

    ana n= a 0= 1, a 0 i nN.

    Izra~unaj proizvode stepena:1.

    Izra~unaj brojnu vrednost svakogizraza:4.

    [ta treba da se upi{e u prazne kva-drati}e da jedna~ine budu ta~ne:

    2.

    Izra~unaj koli~nike stepena:3.

    x5 x15

    a6 9 a15

    174: 172= ; 1,14: 1,1 = ;

    y100 y2 615 6100

    x3 x5 x2 (-b) (-b)5 (-b)10

    7 7100= 7135;

    p4 p 4 p10?

    x9:x12= ; 35: 318= ;

    126: 126= ; a3: a3= .

    = ; = ;

    232 - 6 + 5 (75: 72) = .

    Zadaci

    Proveri!

    Treba da zna{:

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    42/228

    42

    broj bakterija se u nekom proizvodu dvaputpove}ava na svakih 6 minuta.

    Koliko bakterija }e imati taj proizvod za1 ~as, ako je na po~etku imao jednu bak-teriju?

    Stepen a3se pi{e kao proizvodovako:

    a3= a a a

    Napi{i stepene kao proizvod:

    STEPENOVAWE STEPENA, PROIZVOD I KOLI^NIKSTEPENOVAWE4

    Napi{i pravilo o mno`ewu stepenajednakih osnova.

    Zapis (23)4 predstavqa stepen.

    [ta je osnova, a {ta eksponentstepena?

    Uo~i da 23predstavqa osnovu stepena, azapis (23)4 -stepenovani stepen.

    Zapi{i stepen (23)4 kao proizvod jed-nakih mno`ioca.

    Stepen zapisan kao proizvod je(23)4= 23 23 23 23

    Lako je!(23)4= 23 23 23 23=

    = 23+3+3+3= 212.

    ili (23)4= 234= 212.

    Mo`e{ li stepen (23)4da napi{e{ kaostepen sa osnovicom 2?Mo`e{ li da uvidi{ skra}eni na~inza stepenovawe stepena(23)4 ?

    Stepen se stepenuje tako {to se os-nova stepena stepenuje sa proizvodomstepenovih pokazateqa.

    Zna~i, osnova se prepisuje, aeksponenti mno`e.

    Uo~i primer:: (x4)2=x4 2=x8.2.

    6.Koliko-bakterijaima

    Izra~unaj koliki je koli~nik

    k= 2 za k= -25.

    (a m)n= a m n

    Stepenuj stepene:

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    Potseti se!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    43/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    44/228

    44

    Razgledaj primere:7.

    v) (c : 2)3= ; g) (x3:y7)2= ; d) (2m: 3n)4= .

    Uo~i upro{}avawe izraza (x4)3:x2 primenom operacija sa stepenima.

    (x4)3:x2=x4 3:x2=x12:x2=x12 - 2=x10.

    8.

    Izra~unaj vrednost brojnih izraza:

    a) (32)3= ; b) (23)4: 33= ; v) ((-4)8: (-4)4) : (-4)2= .

    9.

    Date izraze napi{i kao stepene sa osnovom 2,ali predhodno razgledaj re{eni primer.

    a) 27: 42= ; b) = .

    10.Primer:164: 83= (24)4: (23)3=

    = 24 4: 233= 216: 29=

    216 -9= 27.

    Da ka`e{ pravila o stepenovawu proizvoda, koli~nik i stepen

    Da primeni{ postupke za stepenovawe proizvoda, koli~nika i stepena u zadacima.

    Izvr{i stepenovawe svakog izraza:

    Stepenovawe proizvoda

    (a b)n= an bnStepenovawe koli~nika

    (a b)n= an bn; b0

    Stepenovawe stepena

    (am)n= am n

    = ; = .

    Uprosti izraze:

    b) (y13 y) : (y7)2= ; v) (b4)3: (b4 b3 b2) = ; g) (23)4: 63 = .

    Zna~i, kada stepenujemkoli~nik, stepenujem deqe-nika i delioca (ili brojiocai imenioca) posebno i dobi-jene stepene delim.

    Uop{te, stepen koli~nika jejednak koli~niku stepenova-nog deqenika i delioca sadatim pokazateqem, tj.

    = ; b0.

    (x3y4)5= ;

    b)

    b)

    Stepenuj koli~nike:

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    Treba da zna{:

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    45/228

    45

    Izmeri i napi{idu`inu strane kvadratana crte`u.

    KVADRAT BROJA. KVADRATNI KOREN5

    Napi{i koli~nik kao stepen:3.

    Odredi vrednost izraza:5.

    Napi{i stepen a18, kao stepen saosnovicom:

    a) a2; b) a6; v) a9

    4.

    Date proizvode stepena, napi{i kaostepen proizvoda.

    6.

    a) a2b2= ; b) 36x6= ;

    v)x8y4z12= ; g) 8x9y6= .

    P = aa

    a

    a

    Izra~unaj proizvode:

    Napi{i kao stepen proizvode:

    a) 7 7 7 = ; b) =

    c) 6 6 = ; d) (-0,5) (-0,5) = ;

    e)xx= ; f) abab= .

    Stepenuj proizvode:

    (a3b)2= ; (x4y3)7= ;

    (ay3b5)2= ; (7a6b4)9= .

    1.

    Stepenuj svaki koli~nik

    2.

    Proizvod dva jednaka mno`ioca se zove kvadrat tog mno`ioca.

    a) b)

    v) g)

    d) e)

    Zadaci

    KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA

    Potseti se!

    Izra~unaj povr{inu kvadrata inapi{i je u mm2

    Izra~unaj povr{inu kvadrata sa

    stranom

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    46/228

    46

    Napi{i ga u obliku proizvoda od dva jednaka mno`ioca:2.

    Izra~unaj:62= ; = ; (0,1)2= ; (-0,1)2= .

    Kvadriraj svaki broj: 2; -2; 1; ; 2 ; -10.

    Izra~unaj napisane kvadrate:

    32= ; = ; = ; 02= .

    3.

    Uo~i da je svaki odprimera pozitivan broj Bilo koji racionalni broj x razli~it od

    nule, broj x2je pozitivan broj, a je 0 za x=0.

    Uo~i primere za kvadrirawe digitronom:4.

    a) 72=

    7 = 49

    b)

    Kvadriraj digitronom: a)1232 = ; -462 = ; b) (0,3)2 = ; = .

    Izra~unaj vrednosti brojevnih izraza, a zatim proveri digitronom

    a) 4122- 5 792= . b) 40,42- 10 2,282= .

    Povr{ina jednog kvadrata je81 cm2.

    Odre|ivawe brojevne vrednosti kvadrata broja, se zove kvadrirawe.

    Uop{te, koji bilo racionalni brojx, proizvodx x, kratko se pi{e kao stepen x2.

    xx=x2 (~ita se: iks na kvadrat)

    x2je kvadrat racionalnog brojax.

    Odredi du`inu strane kvadrata.

    1 =-0.2 5 0.04

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    47/228

    47

    Zna~i, treba da odredim vrednost x, tako da

    x2

    x2

    = 81Zax=9, ta~no je da 9 9 = 81, ali i zax=(-9)ta~no je da (-9)=81.

    Po{to je du`ina uvek pozitivan broj,sledi da je strana kvadrata 9 sm.

    Razgledaj primer:Brojeve 4 i -4 su re{ewa jedna~ine x2= 16, tako {to 42= 4 4=16 i(-4)2=(-4) (-4)=16

    6.

    Proveri da li su brojevi i re{ewa

    Odredi re{ewa:

    a)x2= 1; b)x2= .

    7.

    =a Ja sam pozitivan.Odredi samo pozitivna re{ewa jedna~ina:a)x2= 25; b)x2= 9; c)x2= 144.

    Ne negativno re{ewe jedna~inex2= a; a0, zove se kvadratni

    koren a i pi{e se a

    Znak je znak za kvadratni koren, a

    u zapisu a , broj a je osnova korenaili veli~ina ispod korena.

    Ja imam dva re{ewa.

    2

    Povr{ina kvadrata je

    x2 = 81. Da bi izra~unaostranu kvadrata ,trebada izra~una{ jedna~inu

    x2 = 81.

    Neka je du`ina strane kvadrata x . Povr{ina kvadrata je P =xx iliP =x2 .

    81 cm2

    x

    Koji broj je kvadratni koren od: 49, 25, 16 i9.

    Razgledaj primer:

    zato {to

    Doka`i da su ta~ne jednakosti:10.

    Uo~i

    Uo~i crte`

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    48/228

    48

    Da odredi{ kvadrat racionalnog broja; Izra~unaj:

    32= ; (1,6)2= ; (-0,3)2= .

    Proveri da li je

    re{ewe jedna~ine

    Izra~unaj:a) (16 -13)2: 2 = ;

    b) 82+ (4 8 :4) = ;

    v) = .

    1.

    Proveri da li je ta~no:

    Uo~i i obrazlo`i datu {emu.11.

    Zna~i, da bi izra~unaokvadratni koren od a, trebada odredim ne negativan

    broj b ~iji kvadrat je jednakbroju a.

    Upamti! a = b(a0), akob2= a(b0).

    Izra~unaj brojevnu vrednost izraza:12.

    Razgledaj primere za odre|ivawe kvadratnog korena kalkulatorom.13.

    Izra~unaj kalkulatorom:

    Proveri rezultate sa kvadrirawem.

    Da odredi{ re{ewa jedna~ine tipax2= aDigitronom da izra~una{ kvadrat ikvadratni koren broja.

    Odredixu jedna~inama:

    a)x2= 144; b) 2x2= 72; v) + 2 = 202.

    Izra~unaj du`inu strane kvadratakoji ima povr{inu 324 cm2 .

    3.

    b)

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

    Kvadratni koren

    Kvadrat

    Zadaci

    Proveri!

    Treba da zna{:

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    49/228

    49

    Ja znam da izra~unam kvadrat broja na druga~iji na~in!

    Uo~i kako su izra~unati kvadrati:

    22= 3 1 + 1 = 4; 32= 4 2 + 1 = 9; 42= 5 3 + 1 = 16; 52= 6 4 + 1 = 25.

    Otkri koje je pravilo za izra~unavawe.

    Napi{i: 62, 72i 82na ovaj na~in.Izra~unaj 192, 312i992koriste}i dati postupak.

    Proveri svoje rezultate sa kvadrirawem.

    IZRA^UNAVAWE KVADRATNOG KORENA -nije obavezno6

    Sagledaj podatke u tabeli.1.

    Koliko cifara imakvadratni koren broja:

    a) 5625 ; b) 1 000 000 ;

    v) 625108?Izra~unaj digitronom iproveri svoj odgovor bro-jeva a) i b).

    Podseti se!

    Koriste}i vrednosti iz tabele, izra~unaj:

    U tabeli su date vrednosti broja a. Odredi kvadrate tih brojeva.

    a

    a210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 100

    = ; = ; - = ; = .

    Treba da zna{ da proceni{ koliko }e cifri imati kvadratnikoren datog broja.

    Trocifreni ili

    ~etvorocifreni

    = 11

    = 60dvocifreni

    Broja

    Jednocifreni ili

    dvocifreni= 3

    = 5

    Kvadratnikoren Primer

    Jednocifreni

    Petocifreni[estocifreni

    = 10

    = 80

    Trocifreni

    . . .

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    50/228

    50

    Pa`qivo primeni primer 1. nau~i}e{ da ra~una{ kvadratni korenbroja bez digitrona.

    Primer 1.

    Data veli~ina ispod korena se deli na klase sa desna na levo po

    dve cifre u klasi ( prva klasa u levo mo`e da ima i jednu cifru).

    Prva cifra korena od broja je cifra 3 i dobija se kao broj ~ijikvadrat je najbli`e do 11 i mawi od 11 (prva klasa sa leva). Zatimse od prve klase oduzima kvadrat broja 3, tj. 3 3 = 9

    Do dobijene razlike 2 (11-9=2) s desna se zapisuje naredna klasa(97) i dobija se broj 297 od koga se odvaja posledwa cifra (7).

    Dvocifreni broj 29 se deli sa dvojnim proizvodom prve cifre od

    rezultata, 3 2 = 6.Pritom, 29:6=4 i broj 4 je druga cifra od rezultata.

    Cifra 4 se dopisuje do 6 (dobija se 64) i tako dobijeni broj semno`i sa 4, a dobijeni proizvod se oduzima od 297.

    Do razlike od oduzimawa (297 - 256=41) zapisuje se naredna klasa(16).Dobija se broj 4116 od koga se izdvaja posledwa cifra - cifra 6(dobija se broj 411) i tako dobijeni broj se deli sa dvojnim proiz-vodom broja od prve i druge cifre korena (34 2 = 68).

    Pritom se dobija (411:68=6) tre}a cifra korena. Ona se dopisujedo 68 i tako dobijeni broj se mno`i sa wom; dobija se (686 6 =4116) proizvod koji se oduzima od datog broja. Ostatak od ovogdeqewa je = 0.

    = 3

    - 9

    2

    = 34

    - 9

    297 : 64 4

    -256 41

    = 346

    - 9

    297 : 64 4 -256

    4116 : 686 6 -4116

    0

    Primer 2.Za decimalni broj je sli~an postupak.Jedina razlika je {to deqewe klasa je u dva smera: od deci-

    malnog zareza ulevo po dve cifre i udesno po dve cifre.Ako posledwa klasa sa desna ima samo jednu cifru, dopisuje

    se 0.

    Uo~i da pre nego {to se spusti prva klasa decimala, u rezultatu sestavqa zarez.

    Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    51/228

    51

    Ako posle spustawa posledwe klase ima ostatak,postupak mo`e da se produ`i, tako {to dodaje{klasu od dve nule, a u rezultatu stavqa{ zarez.

    Primer 3

    Daqim dodavawem klase od dve nule postupakmo`e da se produ`i.

    Kvadratni koren broja izra~unava{ do odre|enog

    broja decimala.

    = 25,59 25-4

    255 : 45 5-225

    3000 : 505 5 -2525

    47500 : 5109 9 -45981

    1519

    Izra~unaj:

    U slu~aju pod v) zaokru`i rezultat na jednu decimalu.

    Da odredi{ kvadratni koren datog pozitivnog broja.

    Izra~unaj:

    Koliko cifara ima broj koji je kvadratni koren od petocifrenog broja?

    Odredi i proveri rezultat digitronom.

    Odredi brojeve ~iji je kvadrat izme|u:

    a) 4 i 9; b) 9 i 16

    1.

    Obrazlo`i odgovor.

    Napi{i po dva cela broja najbli`a do

    vrednosti slede}ih kvadratnih korena:

    2.

    Proveri da li je ta~no3.

    Proveri koja je jedna~ina ta~na:4.

    Koliko je obim kvadrata ~ija jepovr{ina 25 cm2

    5.

    2.

    Zadaci

    Proveri!

    Treba da zna{:

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    52/228

    52

    Racionalni brojevi su brojevi koji moguda se napi{u u obliku razlomka

    a

    b, gde ai bsu celi brojevi i b.

    Skup racionalnih brojeva se ozna~ava

    i a b b

    IRACIONALNI BROJEVI77777

    REALNI BROJEVI

    Podseti se! Jedan kvadrat je povr{ine od 22. Kolika je du`ina wegovestranice?

    A 1.

    Uo~i re{avawe.Po{to = a2, brojevna vrednost du`inestranice je broj tako {to

    a2 =2 ,tj.

    Svaki racionalni broj mo`e da sepredstavi kao kona~an decimalani brojili periodi~ni decimalni broj.

    Brojevi:

    a) 15; 4,27 su kona~ni decimalnibrojevi;

    Su periodi~ni decimalni brojevi.

    Procenom i proverom mo`e da se odredi:

    Zna~i, du`ina stranice kvadrata je,,broj,, izme|u

    Digitronom mo`e da se izra~una da je

    1,4142135..., t.j. je beskona~no

    neperiodi~ni decimalni broj.

    Svaki decimalni broj koji imabeskona~no decimala ineperiodi~an je, zove seiracionalni broj.

    Tako, je iracionalni broj.

    I brojevi:

    itd prikazuju se kao beskona~nidecimalni brojevi koji suneperiodi~ni, pa su i oniiracionalni brojevi.

    Iracionalne brojeve kao decimalne brojeve zapisujemo kao pribli`ne vrednosti.

    Uz pomo} digitrona odredi pribli`ne vrednosti iracionalnih brojeva u oblikudecimalnih sa dve decimale.

    2.

    Skupovi iracionalnih brojeva se ozna~avaju slovom .

    < 2 zato {to12= 1 i 22= 4.Prema

    tome nije cel broj.

    Ali da li je celi broj

    Po{to se svaki racionalni broj predstavqa kao kona~an decimalni broj ili beskona~ni

    periodi~ni decimalni broj, mo`emo da zakqu~imo da nije racionalni broj.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    53/228

    53Realni brojevi

    Koriste}i vrednosti od proceni vrednost i proveri digitronom da li

    si dobro procenio.3.

    Proveri da li va`i nejedna~ina 4.

    Odredi pribli`nu vrednost:5.

    preciznost sa 1 decimalnim mestom;

    preciznost sa dva decimalna mesta;

    Da li postoji du` ~ija du`ina ima merni broj 6.

    Strana kvadrata ima du`inu 1 , wegovapovr{ina je

    =1 1=1.

    Dijagonala kvadrata je strana kvadrata .

    Mo`e da se vidi da kvadrat ima dvaput ve}u povr{inuod povr{ine kvadrata, tj.

    Podseti se na zadatak 1. Kvadrat

    povr{ine 2 ima stranu duine

    Odredi du`inu strane kvadrata, akoje povr{ina

    Zna~i postoji du duine

    , a ona je.

    Razgledaj crte i vidi obrazloewe.

    Iznad du`i se konstrui{e

    kvadrat. Wegova je povr{ina

    Dijagonala kvadrata (wena du`ina) sprenosi na brojnoj pravi.

    Rastojawe od O do dobijene ta~ke

    pozitivnom smeru je a u

    negativnom smeru je

    Mo`e{ da vidi{ da

    BAko `eli{ da zna{ vi{e....

    Uo~i kako je na brojnoj pravi predstavqen iracionalni broj 7.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    54/228

    54

    SKUPOVI REALNIH BROJEVA88888

    Podseti se!

    je skup racionalnih brojeva:

    = a b b

    Odredi kom skupu brojeva pripada vrednost svakog brojnog izraza.

    vrednosti izraza a), b), d) i ) su elementi

    Vrednosti iz a) do |) i ) su elementi skupa

    Primeti da:

    Vrednosti svih izraza od a) do z) su elementi skupa

    Odredi re{ewe jedna~ineDa li jedna~ina 2=3 ima re{ewe koje je element skupa 2.

    Uo~i da 2=3 ima re{ewe

    je iracionalni broj i nije element skupa

    Kom skupu pripadaju brojevi:

    je skup prirodnih brojeva:

    je skup celih brojeva:

    A Dosada si nau~io da sabira{,oduzima{, mno`i{ i deli{brojeve, da odredi{ stepen ikvadratni koren broja.

    1. Izra~unaj:

    a) 106 - 95 = ; b) 47 102 = ; v) 316 + 316 = ;g) 9 - 15 = ; d) 135 : 5 = ; |) 816 - 816 = ;

    e) 1 : 2 = ; `) 63= ; z) 1 : 3 = .

    Koji se broj naziva iracionalni broj.

    Napi{i 4 broja koji su iracionalni.

    Treba da zna{:

    Zadaci

    Koji su od brojeva

    iracionalni?

    1.

    Predstavi brojeve na brojnoj pravi:2.

    3.

    Proveri re{ewe izra~unavawemkvadratnog korena digitronom.

    Zaokru`i na dva decimalna mestairacionalne brojeve koji su dati ubrojnim izrazima.

    Odredi brojnu vrednost izraza:

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    55/228

    55Realni brojevi

    Prema elementima skupova: -prirodni brojevi, -celi brojevi, -racionalni brojei -iracionalni brojevi, odgovori na pitawa:

    3.

    Da li svaki element skupa pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa pripada skup

    Da li svaki element skupa pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa pripada skupu

    Da li neki elementi skupa pripadaju i skupu ?

    Uo~i venov dijagram:

    Za skupove i va`i: i =

    Skupovi ~iji elementi su svi racionalni iiracionalni brojevi se zove skup realnihbrojevai ozna~ava se sa .

    Odredi kom skupu pripada svaki od slede}ih brojeva:

    4.

    Na brojnoj pravi predstavi brojeve: 6.

    Treba da zna{:

    Koji brojevi su elementi skupa ;

    Da li je ta~no:Ako je broj a element skupa celihbrojeva Z , tada je taj broj element

    skupa Qi . Obrazlo`i!

    Dati su brojevi:1.

    Zadaci

    Koji brojevi su elementi skupa N?

    Od onog {to je navedeno, {ta jeta~no:

    a) je iracionalni broj;

    b) - je realni broj;

    v) je iracionalni i racionalni broj

    g)7 je prirodni broj, a ceo broj jeracionalni broj i realni broj.

    2.

    Da navede{ primere realnih brojeva.

    Koji brojevi su elementi skupa Z?

    Koji brojevi su elementi skupa Q?

    Koji brojevi su elementi skupa R?

    BZa svaki realni broj postoji

    ta~ka na brojnoj pravi.

    Na brojnoj pravi ozna~ene su ta~ke. Kojod wih je pridru`ena racionalnom, koja iracionalnom broju?

    5.

    -1 0

    - -

    3

    -2-3-4-5 1 2 3 4 51,5

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    56/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    57/228

    57Monomi i polinomi

    TEMA 3. POLINOMI

    MONOMI I POLINOMI

    1. Izrazi 58

    2. Monomi 63

    3. Sabirawe i oduzimawe monoma 67

    4. Polinomi 69

    5. Mno`ewe i stepenovawe monoma 73

    6. Sabirawe i oduzimawe polinoma 74

    7. Mno`ewe polinoma sa monomom 76

    8. Mno`ewe polinoma 78

    9. Proizvod zbira i razlike dva

    izraza 81

    10. Kvadrat binoma 83

    11. Deqewe monoma. Deqewe

    polinoma sa monomom 86

    12. Delewe polinoma sa polinomom 88

    13. Racionalni izrazi 90

    RAZLAGAWE POLINOMA NA

    [email protected]

    14. Razla`ewe polinoma izvla~ewemzajedni~kog mno`ioca ispred zagrade i

    grupirawem 93

    15. Razlagawe polinoma tipa

    - na proste mno`ioce 95

    16. Razlagawe polinoma tipa

    + +

    i

    - +

    na proste mno`ioce 97RAD SA PODACIMA17. Prikupqawe podataka 99

    Proveri svoje znawe 102

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    58/228

    58 Tema 3. Polinomi

    Kojim redosledom treba daizvr{i{ operacije u datimbrojevnim izrazima?

    U datim izrazima, prvo treba daizvr{im operacije mnoewe ideqewe, a zatim operacije sabirawe ioduzimawe.

    Uporedi svoje re{ewe sa datim.

    - - - - - , tj. vrednost izraza je 7.

    - -= = =

    + +, tj. vrednost izraza je 3.

    Broj koji se dobija posle vr{ewa svih operacija u datom brojevnom izrazu se zovebrojevna vrednost izraza.

    2. Izra~unaj vrednost izraza

    Koja je vrednost imeniocaizraza ? Da li tim brojemmoe{ da izvr{i{ deqewe?

    Vrednost izraza 10:2-5=0, ne delise sa nulom, tj. deqewe sa nulomnema smisla.

    Za brojni izraz u kome ima deqewe sa nulom, se ka`e da nema brojnu vrednost ilida nema smisla.

    3. Odredi koji od navedenih izraza nema brojevnu vrednost:

    Zapise 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 2 su brojevni izrazi.

    IZRAZI11111

    MONOMI I POLINOMI

    Podseti se! Izra~unaj vrednost izraza:A 1.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    59/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    60/228

    60 Tema 3. Polinomi

    Promenqivaje simbol (naj~e{}e slovo) koji predstavqa zajedni~ku oznaku zaelemente datog skupa..Skup se zove domen promenqive (naj~e{}e se ozna~ava sa , a svaku wegov elementpredstavqa vrednost promenqive.

    Ako nije zadat domen promenqive smatra}emo da je on skup Rrealnih brojeva.

    8. Odredi domen svake promenqive u prethodna dva zadatka.

    Uoo~i i zapamti

    Konstante: 1, 2, 0, , ... su izrazi.

    Promenqive: x, y, z,... , a, b, c, ... su izrazi.

    Zapisi: 3 + 5 2, xy xy- i drugi, sostaveni od konstante i promenqive

    uz pomo} znakova za operacije, su izrazi.

    Ako u izrazu ima promenqive, tada se on zove izraz sa promenqivom.

    9. Koji od slede}ih izraza je sa promenqivom:

    Izraz sa promenqivom 5-2 mo`e da se ozna~i sa A(

    V 10. Izra~unaj vrednost izraza

    Uporedi svoje re{avawe sa zadatim.x -x - -- - - - ,

    t.j. broj 5 je vrednost izraza

    Datom izrazu sa promenqivom odgovara odgovaraju}i brojevni izraz, ako sepromenqiva zameni sa odre|enom vredno{}u; vrednost brojevnog izraza je brojevna

    vrednost izraza sa promenqivom.

    11. Izra~unaj vrednost izraza

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    61/228

    61Monomi i polinomi

    Iz tabele mo`e{ da uo~i{ da je skup vrednosti izraza A( -5 u domenupromenqive , je skup

    Skup vrednosti izraza

    Za koju vrednost x izraz ) nema vrednost?

    13. Neka su dati izrazi:

    Odredi skupove vrednosti A(

    Uporedi skupove vrednosti A( i ( ). [ta prime}uje{?

    Uo~i re{avawe ovog zadatka u tabeli.

    x

    x

    x

    -2 -1 1 2

    0 -1 3 8

    0 -1 3 8

    Prime}ue{ da za svaku vrednost x x x

    Izrazi sa promenqivom koji imaju jednake brojevne vrednosti, za svaku vrednostpromenqive od domena se zovuidenti~ni izrazi.

    14. Dati su izrazi x x-x i x xx-a domenom .

    Proveri dali su izrazixi x identi~ni.

    Ako dva identi~na izraza se ve`u znakom za jednakost (=) dobija se jedna~ina koja sezove identitet.

    15. Napi{i identitet iz zadatka br. 14.

    12. Neka su dati izrazi:

    Odredi vrednosti

    Uo~i u tabeli re{avawe ovogzadatka.

    x

    x

    x

    -2 -1 0 1 2

    7 0 -5 -8 -9

    -1 -2 -5 nemavrednost

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    62/228

    62 Tema 3. Polinomi

    Da izra~una{ vrednost brojevnog izraza;

    Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ihizraza:

    Treba da zna{:

    Da razlikuje{ brojevni izraz od izrazasa promenqivom;

    [ta je: konstanta, promenqiva i domenpromenqive.

    Dati su izrazi:x x-x i

    x x(2 -x), so domenom .

    Poka`i da je jedna~ina x x

    identitet.

    Dati su izrazi:x x-

    x x i x x-pri {to

    x 0 .

    Odredi koja jedna~ina:

    x x x x ili x xeidentitet.

    1.

    Zadaci

    Izra~unaj brojevnu vrednostslede}ih izraza:

    2. Odredi koji od slede}ih brojevnihizraza nema vrednost

    3. Koji je od slede}ih izraza sapromenqivom

    4. Izra~unaj brojevnu vrednost izrazax-x za x -.

    5. Za koju vrednost

    xx

    nema

    vrednost?

    6. U skupu dati su izrazi:x x x i

    x xx-.

    Poka`i da su izrazi x i x

    identi~ni.

    7. Poka`i da je jedna~inax- x za x 0 , jeidentitet.

    8.

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    63/228

    63Monomi i polinomi

    su

    izrazi sa promenqivom.

    Podseti se!Dati su izrazi: 5A 1.

    Od kojih je konstanti i promenqivisastavqen svaki izraz?

    Koje su operacije zastupqene udatim izrazima?

    [ta su konstante, a {ta su promenqive uizrazima.

    2x

    Uo~i da su neki izrazi samo konstante, a neki promenqive.

    Neke promenqive su napisane u obliku stepena.

    Dati izrazi predstavqaju monome.

    Monomisu: konstante, promenqive i izrazi koji su proizvod od konstanta i stepenapromenqive.

    Odredi koji od slede}ih izraza su monomi i obrazlo`i odgovor.2.

    Proizvod stepena sa istim osnovama jestepen sa istom osnovom i eksponentomjednakom zbiru eksponenata mno`ioca.

    Podseti se!Dat je monom xyxy.B 3.

    Od kojih mno`ioca je sastavqenmonom?

    Sa kojim mno`iocima u monomumo`e da se izvr{i operacijmno`ewe?

    Odredi slede}e proizvode

    a4a2; x3x5x.

    Pomno`i sa istim osnovama u monom

    aabb

    Uradi mno`ewe sa tim

    mno`iocima.

    Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo mno`ioca u datom monomu iuradi{ mno`ewe, dobi}e{ identi~an monom datom.

    MONOMI22222

    U drugim izrazima me|u konstantama i promenqivima ima samo operacija mno`ewe.

    Op{to

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    64/228

    64 Tema 3. Polinomi

    Dat je monom

    -xy.6.Koji mno`ioci u monomu su konstante, akoji promenqive?

    Primeti da u monomu xy mnoilac je konstanta, a promenqiva je

    Uporedi svoje re{avawe sa datim.

    4x xyy= 4(x x yy =4xy

    Uo~i da dobijeni monom 4y5 ima samo jednog brojevnog mno`ioca i nema stepenejednakih osnova.

    Ako je u jednom monomu ura|ena operacija mno`ewe sa wegovim mno`iocima sa

    kojima je mogu}e, ka`emo da je taj monom sveden u standardni oblik.

    Uo~i kako se svodi monom xyxyu standardni oblik.4.

    -3xyxy= (-3 2)(xx(yy -6xy

    Napi{i kao standardni oblik monome:5.

    abab -xyyx xyxyxy

    Brojevni mno`ilac u standardnom obliku monoma ( u slu~aju -6) se zove koeficijentmonoma,a proizvod od promenqivih (u slu~aju y3) se zove glavna vrednost monoma.

    Odredi koeficijent i glavnu vrednost slede}ih monoma:7.

    ab -xy -xyxy

    Dati su monomi -xy i xy. Uo~i koeficijente i glavne vrednosti oba

    monoma.V8.

    Monomi:x; xy; abimaju koeficient jedan. Jedinicu kao koeficijent ne zapisujemo.

    Koja je glavna vrednost ovih monoma?

    Monome: -x; -ab; -xyimaju koeficient -.

    Napi{i glavnu vrednost ovih monoma.

    [ta je zajedni~ko za oba monoma?Oba monoma imaju jednakeglavne vrednosti.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    65/228

    65Monomi i polinomi

    10. Dati su sli~ni monomi: -xy i xy.

    Kakvi su me|u sebom kojeficienti datih monoma?

    Uo~i da kojeficient monoma: -xy i xy su suprotni brojevi.

    Dva sli~na monoma ~iji su koeficijenti suprotni brojevi, nazivaju se suprotnimonomi.

    11. Napi{i suprotan monom monomu axy -ab

    12. Odredi koji od slede}ih monoma su suprotni. -a

    bc

    ab

    c

    a

    bc

    13. Odredi stepen svakoj od promenqivih u slede}im monomima:

    xyz abc

    G U monomu xyzpromenqiva je x tre}egstepena, y je od drugog stepena i z od

    prvog stepena. Zbir stepena svih promenqivih je 3 + 2 + 1 = 6; zato se ka`e da

    monom xyzje od {estog stepena.

    Uo~i i zapamti

    Stepen monomapredstavqa zbir eksponenta promenqivih u monomu. Ako je monomkonstanta, tada se smatra da on ima nulti stepen.

    Na primer, monom abcje od osmog stepena, jer , a monom je od nultog

    stepena.

    Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi.

    Odredi koji slede}i monomi su sli~ni:9.

    Dva racionalna broja koji imaju istu apsolutnu vrednost i suprotne znakove, zovu sesuprotni brojevi.

    Podseti se!

    Napi{i suprotni broj svakog slede}eg broja: a)

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    66/228

    66 Tema 3. Polinomi

    14. Odredi stepen svakog monoma:

    -x ab -xyz abc

    Da svede{ monom u standardni oblik;

    Treba da zna{:

    Da odredi{ koeficijent i glavnuvrednost monoma;

    Da defini{e{ sli~ne i suprotnemonome;

    Da odredi{ stepen monoma.

    Napi{i u standardni oblik monom

    -xy -xy i odredi kojeficient iglavnu vrednost monoma;

    Dat je monom -xyz.

    a) napi{i sli~ni monom datom.

    b) napi{i suprotni monom datom monomu.

    v) odredi stepen datog monoma.

    1.

    Zadaci

    Napi{i u standardni oblik:

    -abac

    y xy .

    2. Odredi koeficijente i glavne

    vrednosti slede}im monomima:

    -xy

    3. Napi{i monom sa kojeficient -0,5 iglavne vrednosti a2b3.

    4. Odredi koji su od slede}ih monomasli~ni:

    5. Odredi koji su od slede}ih monomasuprotni.

    6. Napi{i suprotini monom monoma

    7. Odredi stepen svakome od slede}ihmonoma:

    abc -xy -a xyz

    8. Napi{i dva monoma sa kojeficientom-3 i promenlive a i b, tako da jedan

    bude od ~etvrtog stepena, a drugi od

    petog stepena.

    Proveri!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    67/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    68/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    69/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    70/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    71/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    72/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    73/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    74/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    75/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    76/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    77/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    78/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    79/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    80/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    81/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    82/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    83/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    84/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    85/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    86/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    87/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    88/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    89/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    90/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    91/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    92/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    93/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    94/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    95/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    96/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    97/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    98/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    99/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    100/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    101/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    102/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    103/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    104/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    105/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    106/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    107/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    108/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    109/228

    Uvideo si tvr}ewe i treba da upamti

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    110/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    111/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    112/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    113/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    114/228

    To to si uvideo je jedno va`no svojstvo tetivnog ~etvorougla.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    115/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    116/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    117/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    118/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    119/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    120/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    121/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    122/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    123/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    124/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    125/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    126/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    127/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    128/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    129/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    130/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    131/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    132/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    133/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    134/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    135/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    136/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    137/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    138/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    139/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    140/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    141/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    142/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    143/228

    Razgledaj crte` i odgovorina slede}i pitawa

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    144/228

    a) Kako da se podeli zadati romb na

    tri dela, od kojih mo`e da se sasta-

    vi pravougaonik, tako da mu osnova

    bude jedna od dijagonale romba?

    b) Koristei to, izvedi formulu koja

    izra`ava povr{inu romba preko we-

    govih dijagonale.

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    145/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    146/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    147/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    148/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    149/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    150/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    151/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    152/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    153/228

    Uo~i

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    154/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    155/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    156/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    157/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    158/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    159/228

    Uo~i i upamti!

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    160/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    161/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    162/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    163/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    164/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    165/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    166/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    167/228

    Upamti postupak

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    168/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    169/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    170/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    171/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    172/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    173/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    174/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    175/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    176/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    177/228

    Uvidi putawe

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    178/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    179/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    180/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    181/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    182/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    183/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    184/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    185/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    186/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    187/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    188/228

    Uo~i

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    189/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    190/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    191/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    192/228

    Uporedi svoje odgovore sa slede}im

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    193/228

    Uo~i i upamti!

    Uvi}a

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    194/228

    Va`i i uopte

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    195/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    196/228

    Va`i i uop{te

    Neobavezno Uvidi

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    197/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    198/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    199/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    200/228

    Va`i i uop{te

    Va`i i uop{te

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    201/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    202/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    203/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    204/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    205/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    206/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    207/228

    Iz primera uvidi

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    208/228

    Mo`e da uvidi

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    209/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    210/228

    Uo~i

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    211/228

    Preglednije

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    212/228

    Pomo}

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    213/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    214/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    215/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    216/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    217/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    218/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    219/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    220/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    221/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    222/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    223/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    224/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    225/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    226/228

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    227/228

    :- -

    - -

    :

    :

    :

    :

    :

    :

    : ,

    .10-1621/1 19.06.2009 ,

    227

  • 8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika

    228/228