78 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 5)

การกระจายของขอมล

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (การกระจายของขอมล) หมวด เนอหา ตอนท 5 (5/14) หวขอยอย 1. ต าแหนงของขอมล จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของต าแหนงของขอมล และเชอมโยงแนวคดเรองต าแหนงของขอมลกบการกระจายของขอมลได

2. สามารถหาต าแหนงของขอมลส าหรบขอมลทไมแจกแจงความถได 3. สามารถหาต าแหนงของขอมลส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนได 4. สามารถสามารถหาต าแหนงของขอมลจากกราฟของขอมลกบรอยละความถสะสมสมพทธ

ของขอมลได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและค านวณต าแหนงของขอมลส าหรบขอมลทไมแจกแจงความถได 2. อธบายความหมายและค านวณต าแหนงของขอมลส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรป

อนตรภาคชนได 3. อธบายความหมายและค านวณต าแหนงของขอมลจากกราฟของขอมลกบรอยละความถ

สะสมสมพทธของขอมลได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

1. ต าแหนงของขอมล


7

1. ต าแหนงของขอมล

ในสอตอนนมงเนนอธบายเรองการวดต าแหนงของขอมล โดยครอาจเรมจากการทบทวนวานกเรยนไดเรยนรการวดต าแหนงของขอมลไปแลวในตอนทเกยวกบแนวโนมเขาสสวนกลาง ทงนครอาจทงค าถามใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาคากลางตวใดทบงบอกต าแหนงของขอมล และเปนต าแหนงใดของขอมล เพอน าไปสขนตอนส าคญตางๆ ในการหาต าแหนงของขอมลทจะไดน าเสนอในสอตอนนตอไป

ส าหรบการวดการต าแหนงของขอมลทไดน าเสนอในสอตอนนคอ ควอไทล เดไซล และเปอรเซนไทล โดยจะค านวณต าแหนงของขอมลทงทยงไมแจกแจงความถ และทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนแลว ส าหรบการทต าแหนงของขอมลจะไปเกยวพนกบการกระจายของขอมลอยางไรนน ขอใหนกเรยนดสอชดนไปจนจบ แลวใหครชวยถามน าเพออภปรายเกยวกบความสมพนธน

เมอนกเรยนชวยกนอภปรายจนนาจะไดขอสรปวาการทจะหาต าแหนงของขอมลไดนน ขอมลดงกลาวจะตองเรยงจากนอยไปมากเสยกอน ซงคลายคลงกบการหามธยฐานนนเอง (ทงนการเรยงขอมลจากนอยไปมาก หรอจากมากไปนอยนน จะท าใหการแปลความหมายของต าแหนงของขอมลแตกตางกน ไมเหมอนกบมธยฐานทสามารถเรยงขอมลจากนอยไปมาก หรอจากมากไปนอยกไดเพอตองการขอมลทอยตรงกลาง)

ในตอนนไดอธบายบทนยามของควอไทลเพอน าไปสการตวอยางในการค านวณหาควอไทลทหนง สอง และสาม ตามล าดบ


8

หลงจากนกเรยนเขาใจบทนยามของควอไทลแลวควรสรปไดวา 2

Me Q นนเอง


9

เมอมาถงตอนนครอาจน าขอมลทยงไมไดแจงแจกความถในตวอยางหรอแบบฝกหดตางๆ จากสอชดกอนๆ มาใหนกเรยนฝกหาควอไทลของขอมลนนๆ และอาจยกตวอยางนเพมเตม ตวอยาง 1 แผนภาพตน-ใบ ของขอมลชดหนงเปนดงน

1 1 1 4 6 9 2 2 5 5 7 8 3 4 4 6 8

4 2 3 3 3

5 4 6 จงหา

1 2,Q Q และ

3Q


10

วธท า การหา 1Q : จากขอมลจะไดวาต าแหนงของ

1

20 11 5.254

Q นนคอ

ต าแหนงท 5 ขอมลคอ 19

ต าแหนงท 5.25 ขอมลคอ 1Q


สามารถเทยบสดสวนไดดงน 1 119 195.25 5

0.256 5 22 19 3

Q Q

ท าใหไดวา 119 3(0.25) 19.75Q

การหา 2Q : จากขอมลจะไดวาต าแหนงของ

2

20 12 10.5

4Q นนคอ




สามารถเทยบสดสวนไดดงน 2 228 2810.5 10

0.511 10 34 28 6

Q Q

ท าใหไดวา 228 6(0.5) 31Q

การหา 3Q : จากขอมลจะไดวาต าแหนงของ

3

20 13 15.75

4Q นนคอ




สามารถเทยบสดสวนไดดงน 33

4215.75 150.75 42

16 15 43 42

QQ ท าใหไดวา

342.75Q


11

ตอมาไดอธบายการหาควอไทลส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชน ครควรย าใหนกเรยนสงเกตความแตกตางระหวางการหาต าแหนงของควอไทลส าหรบขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ กบขอมลทแจกแจงความถแลว

ครอาจสรปการหาควอไทลส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนเปนสตรทมลกษณะคลายกบสตรการหามธยฐานส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนดงน

4 L

rQ

rNf

Q L If

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนท rQ อย

N คอ จ านวนขอมล

Lf คอ ความถสะสมของอนตรภาคชนทอยเหนอชนท

rQ อย เมอเรยงขอมลลงมาในแนวดงจากนอยไปมาก

Qf คอ ความถของอนตรภาคชนท

rQ อย

I คอ ความกวางของอนตรภาคชน

นอกจากนครควรถามน าเพอใหนกเรยนอภปรายในสถานการณตางๆ เชน

1. ถาเรยงขอมลลงมาจากมากไปนอย สตรนจะเปลยนหรอไมอยางไร 2. ถาความกวางของอนตรภาคชนแตละชนไมเทากน จะมผลตอสตรนหรอไมอยางไร หรอจะใชสตรนไมไดเลย

3. ถาเปลยนจากขอบลางของอนตรภาคชนท rQ อย เปนขอบบน จะตองเปลยนแปลงสตรนอยางไรบาง

เมอมาถงตอนนครอาจน าขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนในตวอยางหรอแบบฝกหดของสอตอนกอนหนามาใหนกเรยนหาควอไทลจากขอมลเหลานน แลวยงอาจยกตวอยางตอไปนประกอบ


12

ตวอยาง 2 ก าหนดขอมลชดหนงเปนดงน

คะแนน 31 39 40 48 49 57 58 66 67 75 76 84 85 93

จ านวน

นกเรยน

2 3 5 4 3 2 1

จงหา 3 1Q Q

วธท า จากตารางทก าหนดใหจะไดวา คะแนน 31 39 40 48 49 57 58 66 67 75 76 84 85 93

จ านวน

นกเรยน

2 3 5 4 3 2 1

ความถสะสม 2 5 10 14 17 19 20

การหา 1Q จะไดวาต าแหนงของ

1Q คอ 201 5

4 ดงนน

ในชวง 39.5 48.5 มความถเปน 3 และชวงกวาง 9 หนวย

ในชวง 1

39.5 Q มความถเปน 3 และชวงกวาง d หนวย

จะไดการเทยบสดสวนเปน 3

9 3

d ดงนน 9d และท าให 139.5 9 48.5Q

การหา 3Q จะไดวาต าแหนงของ

3Q คอ 203 15

4 ดงนน

ในชวง 66.5 75.5 มความถเปน 3 และชวงกวาง 9 หนวย

ในชวง 3

66.5 Q มความถเปน 1 และชวงกวาง d หนวย

จะไดการเทยบสดสวนเปน 1

9 3

d ดงนน 3d และท าให 366.5 3 69.5Q

ท าใหไดวา 3 1

69.5 48.5 21Q Q

ชวนคด ใหนกเรยนชวยกนใชสตรทสรปไวใหในคมอค านวณ 1Q และ

3Q

ขอสงเกต ถาต าแหนงของ rQ ตรงกบความถสะสมของชนใดชนหนงของอนตรภาคชนจะไดวา

rQ เทากบ ขอบ

บนของชนดงกลาว


13

ในชวงนไดกลาวถงบทนยามของเดไซล และเปอรเซนไทล ตลอดจนการค านวณคา rD และ

rP ส าหรบขอมลท

ยงไมไดแจกแจงความถ และขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชน


14

หลงจากนกเรยนไดเหนตวอยางการค านวณต าแหนงของขอมลทงจากขอมลทยงไมแจกแจงความถและขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนทน าเสนอในสอแลว ครอาจถามน าเพอใหนกเรยนชวยกนสรปสตรในการหา

rD และ

rP ส าหรบขอมลทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนในลกษณะเดยวกนกบ

rQ

ไดดงน

10 L

rD

rNf

D L If

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนท rD อย



rD อย เมอเรยงขอมลลงมาในแนวดงจากนอยไปมาก

Df คอ ความถของอนตรภาคชนท

rD อย


และ

100 L

rP

rNf

P L If

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนท rP อย



rP อย เมอเรยงขอมลลงมาในแนวดงจากนอยไปมาก

Pf คอ ความถของอนตรภาคชนท

rP อย


เมอมาถงตอนนครอาจน าขอมลทงทยงไมแจกแจงความถ และทแจกแจงความถในรปอนตรภาคชนจากสอ และคมอสอชดกอนหนามาใหนกเรยนฝกค านวณหาต าแหนงของขอมล นอกจากนครยงอาจยกตวอยางนเพมเตม


15

ตวอยาง 3 ในการสอบวชาคณตศาสตรทมคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 300 คน ถานาย ก. สอบได 53 คะแนน ซงถอวาเปน

9D ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนนโดยมอนตรภาคชนกวาง

เทากน คะแนนสอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51 60 จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51 60 คดเปนกเปอรเซนตของนกเรยนทงหมด

วธท า จากโจทยจะไดวาต าแหนงของ 9D คอ 3009 270

10 เนองจากคะแนนเตม 60 คะแนน ใหจ านวน

นกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 51 60 เปน x คน ท าใหไดวาความถสะสมของอนตรภาคชนทงหมดกอนหนาชนนคอ 300 x ดงนน

ในชวง 50.5 60.5 มความถเปน x และชวงกวาง 10 หนวย

ในชวง 90

50.5 P มความถเปน 270 (300 )x และชวงกวาง 2.5 หนวย

จะไดการเทยบสดสวนเปน 270 (300 ) 2.5

10

x

x ดงนน 40x ซงคดเปนประมาณ 13.33% ของ

นกเรยนทงหมด


16

นอกจากความคลองแคลวในการค านวณต าแหนงของขอมลทนกเรยนตองฝกฝนแลว ครยงตองเนนย าใหนกเรยนเขาใจถงความหมายของต าแหนงของขอมลอยางถองแท ดงทสอไดยกตวอยางตอไปนประกอบ


17

ในชวงนไดกลาวถงการหาต าแหนงของขอมลโดยอาศยกราฟระหวางขอมลกบรอยละของความถสะสมสมพทธของขอมล นอกจากนยงใหขอสงเกตเกยวกบการใชกราฟในการหาต าแหนงของขอมล และขอสงเกตทวๆ ไปเกยวกบต าแหนงของขอมล

เมอมาถงตอนสดทายนครควรถามย าวานกเรยนสงเกตไดหรอไมวาต าแหนงของขอมลมสวนเกยวของกบการกระจายตว หรอกระจกตวของขอมล ครควรทบทวนเรองนอกทเมอเปดสอในตอนทเกยวของกบการกระจายสมบรณ โดยอาจารยกฤษณะ ซงในสอตอนนนจะมการกลาวถงแผนภาพกลอง ซงเปนแผนภาพหนงทชวยบอกการกระจายของขอมล และแผนภาพกลองนเองจะเกยวของกบควอไทลทนกเรยนไดศกษาไปแลวในสอชดน


18

แบบฝกหดเพมเตมเรองต าแหนงของขอมล

1. จงหา 1 3Q Q ของขอมลทประกอบดวย 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 26

2. จงหา 7 54D P ของขอมลทประกอบดวย

6, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 31

3. จงหา 1 80QP ของขอมลทประกอบดวย 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18

4. จงหา 6

1

D

Q ของขอมลทประกอบดวย 3, 6, 8, 1, 7, 11, 14, 15, 16, 5, 7, 30, 27, 25, 23

5. ขอมลชดหนงม 5 จ านวน ถา 1 2,Q Q และ

3Q เทากบ 20, 27 และ 30 ตามล าดบแลว จงหาผลรวมทงหมด

ของขอมลชดน 6. คะแนนสอบของผเขาสอบวชาหนงเปนดงน 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81

ถาเกณฑการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมต ากวา 6D แลว จะมผสอบผานวชานกคน

7. ขอมลชดหนงมจ านวน 80 ตว ถา ก คอ 3Q ของขอมลชดน, ข คอ

54P ของขอมลชดน และ ค คอขอมลตวท

30 เมอเรยงขอมลจากมากไปนอย แลว จงเรยงล าดบ ก, ข และ ค จากนอยไปมาก

8. ส าหรบจ านวนจรง a จ านวนจรงบวก d และจ านวนนบ N จงหา 75P ของขอมล

, , 2 , ..., 18a a d a d a d

9. ส าหรบขอมลชดหนงทมจ านวน 400 ตว จะมขอมลทอยระหวาง 3D และ

3Q ของขอมลชดนอยประมาณกตว

10. ในการสอบวชาหนงมผสอบไดเกรดตางๆ ดงน เกรด 4 ม 10% เกรด 3 ม 20% เกรด 2 ม40% เกรด 1 ม 20% และเกรด 0 ม 10% นกเรยนทสอบไดคะแนนคดเปน

80P จะไดเกรดใด


19

สรปสาระส าคญประจ าตอน


20

สรปสาระส าคญประจ าตอน


21

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


22

แบบฝกหดระคน 1. เมอสรางตารางแจกแจงความถของคะแนนนกเรยน 36 คน โดยใชความกวางของแตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวา

55P ของคะแนนทงหมดอยในชวง 60 69 ถามนกเรยนสอบไดคะแนนต ากวา

59.5 คะแนนอยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 69.5 คะแนนอยจ านวน 20 คนแลว 55P

ของการสอบครงนมคาเทากบเทาใด

2. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชน ม. 6 จ านวน 300 คน นาย ก, ข และ ค เปนนกเรยนชน ม. 6 ของโรงเรยนนโดยท เกรดเฉลยของนาย ก เทากบ

8.15D เกรดเฉลยของนาย ข เทากบ

84.13P และ นกเรยนชน ม.

6 ทไดเกรดเฉลยมากกวานาย ค มจ านวน 50 คน จงเรยงล าดบเกรดเฉลยของคนทงสามนจากมากไปนอย 3. ถาตารางแจกแจงความถของขอมลชดหนง ซงมความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากน เปนดงตอไปน

ชนท จดกงกลางของอนตรภาคชน ความถสะสม

1 ... 8 2 ... 16 3 20 36 4 25 40 5 30 50

จงหา 4D

4. ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงดงน คะแนน ความถ

16 18 a 19 21 2 22 24 3 25 27 6 28 30 4

ถา 25P เทากบ 18.5 คะแนนแลว จงหา

3Q

5. ในการส ารวจน าหนกตวของนกเรยน 200 คนมการแจกแจงความถดงน น าหนกตว (กโลกรม) ความถ

19 22 20 23 26 60 27 30 30 31 34 40 35 38 50


23

ขอใดตอไปนถก ก. น าหนกตวของนกเรยน 200 คนนมฐานนยมมากกวา

50P

ข. 3 1

3 1

0.15Q Q

Q Q

6. ถา 2 3 25

20, , , ...,x x x เปนขอมลทเรยงจากนอยไปมาก และเปนล าดบเลขคณต และ 3Q ของขอมลชด

นเทากบ 57 จงหา 25P

7. ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาสถตทเปนจ านวนเตมของนกเรยน 40 คนดงน คะแนน ความถ

60 64 4 65 69 a 70 74 10 75 79 b 80 84 7

เมอสมเลอกนกเรยนกลมนมาหนงคน จะไดวาความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนนมคาเทากบ 0.30 จงหาคาประมาณของ

3 1Q Q

8. ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบวชาหนง

i คะแนน จ านวนนกเรยน (if )

1 10 14 4 2 15 19 6 3 20 24 a 4 25 29 8 5 30 34 4 6 35 39 6

โดยม 24.5 และ 3

1

( ) 125i i

i

x f เมอ ix คอจดกงกลางอนตรภาคชนท i จงหาคาประมาณ

ของ 7 30D P


24

9. อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงดงน อาย (ป) ความถ

1 3 3 4 6 a 7 9 6 10 12 4

ถามธยฐานของอายเดกกลมนเทากบ 7 ปแลว จงหาคาประมาณของ 3 1

3 1

Q Q

Q Q

10 นกเรยนกลมหนงจ านวน 50 คนมสวนสงแสดงดงตารางตอไปน สวนสง (เซนตเมตร) จ านวนนกเรยน (คน)

156 160 6 161 165 15 166 170 21 171 175 8

ก าหนดให มจ านวนนกเรยน 25% ของนกเรยนทงหมดทมความสงนอยกวา a เซนตเมตรและ มจ านวนนกเรยน 20% ของนกเรยนทงหมดทมสวนสงมากกวา b เซนตเมตร จงหาคาประมาณของ b a


25

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


26

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองต าแหนงของขอมล

1. 27 2. 2.2 3. 101.4 4. 73 2.4330

5. 127

6. 6 คน 7. ค, ข, ก 8. 15a d 9. 180 ตว 10. 3

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 69.25 คะแนน 2. ข, ค, ก 3. 18.5 4. 27 คะแนน 5. ก. และ ข. ผด 6. 31 7. 9.89 คะแนน 8. 7.92 คะแนน 9. 0.36 10. 7.35 เซนตเมตร


27

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


28

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


29


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


30


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

78 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents