7. Momento angular

201

7. MOMENTO ANGULAR

El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensio-nes y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este mo-vimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y unmovimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista la cantidadde movimiento p v= m es la suma de dos términos:

p v v p p= + = +m mr t r t (7.1)

donde p r r pr = ⋅ˆ( ˆ ) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento aso-ciada con la rotación alrededor de O (Fig. 7.1).

O

mr

p

pr

pt

Fig. 7.1. El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposiciónde un movimiento radial y un movimiento de rotación alrededor de O.

Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad

L r p= × (7.2)

dado que L depende solamente de pt porque

L r p r p= × = × t (7.3)

La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; suvalor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto ′O que di-fiere de O por un desplazamiento rOO′ es L L r p′ ′= − ×O O OO (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgode confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L.

1 El origen del término momento proviene de que se denomina momento de un vector A (aplicado en el punto P)

respecto de un origen O a la cantidad M r A= ×OP .

7. Momento angular

202

Fig. 7.2. El momento angular depende del punto respecto del cual se lo calcula.

Veamos dos ejemplos:• Sea un cuerpo de masa m que sigue una trayectoria circular con velocidad angular ωωωω alrede-

dor de un eje y sea O un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v r r= × = × ⊥ωω ωω , luegop v r= = × ⊥m mωω y el momento angular respecto de O es

L r p r r= × = × × ⊥m ( )ωω (7.4)

Si A, B, C son tres vectores cualesquiera A B C A C B A B C× × = ⋅ − ⋅( ) ( ) ( ) , luego

L r= −⊥ ⊥mr mr2ωω ||ω (7.5)

Si O coincide con el centro de giro r|| = 0 y

L = ⊥m r2ωω (7.6)

w

rv

O

m

r

⊥ p

Fig. 7.3. Momento angular de un cuerpo que sigue una trayectoria circular.

• Sea un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo y O un punto cualquiera (Fig. 7.4).Luego L r v= × m ; pero r r r= + ⊥|| y entonces

L r v= ×⊥m (7.7)

7. Momento angular

203

rr⊥

p

O

Fig. 7.4. Momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo.

Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética

Dado que el momento angular y la cantidad de movimiento radial son magnitudes útiles paradescribir movimientos conviene tener a mano expresiones que las vinculen con la energía ciné-tica. La energía cinética se expresa como

T mvp

m= =1

22

2

2(7.8)

Partiendo de la definición de L calculemos

L r p r p2 2 2 2 2 2 21= ⋅ = × ⋅ × = = −L L r p r p( ) ( ) sen ( cos )ϕ ϕ (7.9)

donde ϕ es el ángulo entre r y p. Pero rp rprcosϕ = ⋅ =r p de modo que L r p r pr2 2 2 2 2= − . Di-

vidiendo por 2 2mr resulta

L

mr

p

m

p

mr

2

2

2 2

2 2 2= − (7.10)

y entonces

TL

mr

p

mr= +

2

2

2

2 2(7.11)

Claramente el primer término del miembro derecho es la parte de la energía cinética debida a larotación alrededor del punto respecto del cual estamos calculando el momento angular y el se-gundo término es la parte de T asociada con el movimiento radial.

Variación del momento angular

Diferenciando la definición de L obtenemos

d d d dtL r p r p r F= × + × = × (7.12)

pues d dtr p v p× = × = 0 . Luego

d

dt

Lr F= × (7.13)

7. Momento angular

204

Ahora M r F≡ × es el momento de F (calculado respecto del punto desde donde tomamos elmomento angular). Luego

d

dt

LM M r F= = ×, (7.14)

Esta es la ecuación de movimiento del momento angular y expresa que la tasa de variación delmomento angular es igual al momento aplicado.

Fuerzas centrales y conservación del movimiento angular

Sea un móvil sometido a la acción de una fuerza central. Las fuerzas centrales son aquellas queestán siempre dirigidas hacia un punto fijo2. Con muy buena aproximación las interacciones gra-vitatorias entre el Sol y los planetas y entre los planetas y sus satélites son centrales. Las fuerzaselectrostáticas entre cargas puntuales son centrales. Por lo tanto el movimiento de cuerpos so-metidos a fuerzas centrales es un problema muy importante. Veamos sus propiedades.Si referimos la posición al centro de la fuerza, una fuerza central se expresa como F r= Fˆ (aquíF puede ser positiva o negativa) o sea que r y F son siempre paralelas (Fig. 7.5). Si tomamosmomentos respecto del centro de fuerzas, M r F= × = 0 y entonces de la (7.14) obtenemos

d

dt

LM L= = ⇒ =0 cte. (7.15)

Luego en todo movimiento que se realiza bajo la acción de una fuerza central se conserva elmomento angular. Este hecho tiene varias importantes consecuencias que pasaremos a analizar.

O

m

r'

F

m

r

F'

Fig. 7.5. En un movimiento bajo la acción de una fuerza central se conserva el momentoangular respecto del centro de la fuerza.

El movimiento se realiza en un plano

En un instante dado r y p definen un plano que pasa por el centro de fuerzas O y que es normal aL. En otro instante cualquiera ′r y ′p definen también un plano que pasa por el centro. Su nor-mal está en la dirección de ′ = ′ × ′L r p y coincide con la anterior pues ′ =L L . Luego ambosplanos pasan por O y tienen la misma normal, por consiguiente coinciden y el movimiento estácontenido en ese plano, que se denomina plano de la órbita (Fig. 7.6).

2 La atracción gravitatoria es una fuerza central (el peso está siempre dirigido hacia el centro de la Tierra, por lo

menos con buena aproximación).

7. Momento angular

205

rO

m

p

L

Π

Fig. 7.6. La conservación del momento angular implica que el movimiento se realiza en unplano.

Ley de las áreas (Segunda Ley de Kepler)

Analicemos el movimiento en el plano de la órbita (Fig. 7.7). Por la conservación de L

L mr v= =senϕ cte. (7.16)

El área barrida por el radio vector que va de O al móvil es dA r vdt= 12 senϕ (Fig. 7.7), luego

dA

dtr v

L

m= = =1

2 2senϕ cte. (7.17)

Esta es la célebre ley de las áreas o Segunda Ley de Kepler y establece que el radio vector delcentro de fuerzas al móvil barre áreas iguales en tiempos iguales. Kepler dedujo esta ley para elmovimiento de los planetas alrededor del Sol, pero aquí vemos que el resultado es más generalpues depende de la conservación del momento angular y por lo tanto vale para todo movimientoregido por una fuerza central.

v

O

vdt

r

ϕ

Fig. 7.7. Ley de las áreas: el radio vector del centro de fuerzas al móvil barre áreas igualesen tiempos iguales.

La conservación de L está relacionada con la simetría del campo de la fuerza central, que al de-pender solamente de la distancia al centro no establece ninguna dirección privilegiada en el es-pacio: el campo es invariante ante cualquier rotación alrededor del centro. Este es un nuevoejemplo de la relación entre simetrías y leyes de conservación.

Movimiento bajo la acción de una fuerza central

Sea un cuerpo de masa m sometido a una fuerza central. Tomamos el origen de coordenadas Oen el centro de fuerza, que suponemos fijo. Sea r̂)(rF el campo de fuerza, donde F depende

7. Momento angular

206

sólo de la distancia r entre el cuerpo y O. Si F r( ) es positiva la fuerza es repulsiva, si es nega-tiva la fuerza es atractiva. Un campo como el que suponemos es conservativo. En efecto (Fig.7.8) d dr rdr r= +ˆ ˆθ θθ y entonces

dW d F r dr rd F r dr= ⋅ = ⋅ + =F r r r( ) ˆ ( ˆ ˆ ( )θ θθ) (7.18)

Por lo tanto

W d F r drr

r

121

2

1

2

= ⋅∫ = ∫F r ( ) (7.19)

no depende del camino seguido para ir de 1 a 2. Podemos entonces definir una energía potencial

V r F r dr Vr

r

( ) ( )= − ∫ +0

0 (7.20)

donde r0 es un nivel de referencia y V0 es una constante arbitraria.

Ordθ

rdθ

dr

dr

1

2

Fig. 7.8. Un campo de fuerza central es conservativo.

Separación del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza central

Debido a la conservación de L un cuerpo sometido a una fuerza central se mueve en un plano.Describiremos entonces el movimiento en el plano de la órbita. Tomamos como origen el centrode la fuerza y usamos coordenadas polares r, θ (Fig. 7.9). Las componentes de la velocidad son

v v v vr = ⋅ = = ⋅ =v r vˆ sen , ˆ cosϕ ϕθ θθ (7.21)

v

O

r

rθ

ϕ

órbita

Fig. 7.9. Geometría para estudiar el movimiento en el plano de la órbita.

7. Momento angular

207

Por la conservación de L tenemos que

L mrv= =θ cte. (7.22)

de donde si conocemos r podemos inmediatamente determinar vθ (L es una constante del mo-vimiento, luego es un dato del problema y lo podemos obtener de las condiciones iniciales).Si usamos ahora la conservación de la energía mecánica:

E T V= + = cte. (7.23)

podremos relacionar vr con r. En efecto de (7.23), usado (7.11) y (7.20) resulta

E mvL

mrV rr= + + =1

22

2

22( ) cte. (7.24)

En esta expresión no figura θ. Sólo aparecen r y vr , además de la constante del movimiento L2 .Obsérvese que la (7.24) es equivalente a la expresión de la energía mecánica de un movimientounidimensional para el cual la energía potencial es

U rL

mrV r( ) ( )= +

2

22(7.25)

En consecuencia gracias a la conservación del momento angular el problema ha quedado sepa-rado en dos partes:• un movimiento de rotación alrededor del origen con la velocidad

vL

mrLθ = =, cte. (7.26)

y que por lo tanto cumple la ley de las áreas, y• un movimiento radial determinado por la energía potencial U r( ) .

El potencial centrífugo

La energía potencial U r( ) del problema unidimensional (Fig. 7.10) es la suma de dos términos.El primero es la energía potencial V r( ) del campo de fuerzas centrales. El segundo, L mr2 22/ ,es la parte de la energía cinética asociada con el movimiento de rotación, que depende solamentede L (que es un dato) y de la distancia al centro. Este término equivale formalmente a una ener-gía potencial repulsiva (pues crece a medida que r disminuye) ya que la fuerza dada por:

−

= =

d

dr

L

mr

L

mr

mv

r

2

2

2

3

2

2θ (7.27)

tiende a empujar el móvil lejos del origen. Esta fuerza no es otra que la fuerza centrífuga, queaparece al describir el movimiento desde un sistema rotante (no inercial). Esto es en efecto loque estamos haciendo en el problema unidimensional equivalente, pues estamos describiendo elmovimiento desde un sistema con origen en O y que sigue al móvil en su órbita mientras giracon velocidad angular ω θ= v r/ alrededor del centro de fuerzas. Por este motivo el términoL mr2 22/ se suele llamar potencial centrífugo.

7. Momento angular

208

E > 0

E < 0

rr0

r1 r3 r2

V (r)

U (r)

Umin

L 2

2mr 2

0

Fig. 7.10. El movimiento radial es equivalente a un movimiento unidimensional regido poruna energía potencial dada por la suma de V r( ) más el potencial centrífugo, cuya magni-tud está determinada por el momento angular.

El potencial centrífugo depende de L2 , el cuadrado del módulo del momento angular. Para undado L, crece y tiende al infinito cuando r→ 0 . Esto describe el hecho que un móvil que poseeun momento angular no nulo no puede pasar por el origen.

El movimiento radial

El movimiento radial se obtiene resolviendo el problema unidimensional descripto por

E mv U rr= + =12

2 ( ) cte. (7.28)

donde

U r V rL

mr( ) ( )= +

2

22(7.29)

Luego para analizarlo podemos aprovechar lo que desarrollamos en el Capítulo 5 para estudiarmovimientos unidimensionales y valernos de los diagramas de la energía (Fig. 5.7). El tipo demovimiento depende de U(r) y del valor de E, que depende de las condiciones iniciales.Sea una fuerza central atractiva que se anula para r→∞ , de modo que eligiendo oportunamenteV0 podemos tener V r( ) → 0 para r→∞ . El diagrama de la energía se ve en la Fig. 7.10. Habráen general dos tipos de órbita:• si E < 0 la órbita es limitada y r r r1 2≤ ≤ : mientras gira alrededor del centro de fuerzas el

móvil efectúa una oscilación radial entre los puntos de retorno r1 y r2 (Fig. 7.11),

7. Momento angular

209

• si E > 0 la órbita es ilimitada: el móvil llega del infinito, se acerca al origen hasta la distan-cia mínima r0 (que depende de L) y vuelve al infinito donde v v E mr = ≡∞ 2 / .

Corresponde mencionar dos casos límites:• si E U= <min 0 la órbita es circular y toda la energía cinética es de rotación ya que vr = 0 ,• si E = 0 la órbita se extiende al infinito y el móvil llega al infinito con v vr = =∞ 0 .

1

Fig. 7.11. Órbita limitada en un potencial V r r( ) ~ .−0 9. La integración comenzó en 1.

En general las órbitas con E < 0 no son curvas cerradas, es decir el móvil no vuelve a pasar porel mismo lugar con igual velocidad en un tiempo finito. Sin embargo para algunas leyes de fuer-zas especiales la órbita puede ser cerrada (en particular eso ocurre si F r~ − −2 ).Si V r( ) es repulsivo la órbita es siempre ilimitada.

Movimiento planetario

Consideremos el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de un satélite alrededor de suprimario. La fuerza en este caso proviene de la interacción gravitatoria. Como veremos en elCapítulo 9, dos cuerpos de masas M y m se atraen con una fuerza central cuyo módulo vale

F GmM

r= 2 (7.30)

donde G ≅ × −6 67 10 11. /Nm kg2 2 es la constante universal de la gravitación. Supongamos queM (masa del Sol) >> m (masa del planeta)3. En este caso podemos imaginar que el Sol está fijo yes el centro de la fuerza que actúa sobre el planeta4. La energía potencial gravitatoria es

V r GmM

r( ) = − (7.31)

donde hemos elegido V0 de modo que V r( ) → 0 para r→∞ . Entonces

U r GmM

r

L

mr( ) = − +

2

22(7.32)

3 La masa del Sol es de 1.9891× 1030 kg y la masa de la Tierra es de 5.9742 × 1024 kg, luego M/m = 3.329 × 105.4 En el Capítulo 8 veremos las correcciones que se originan al tomar en cuenta el movimiento del Sol.

7. Momento angular

210

Órbita circular

Si el planeta se mueve en una órbita circular vr = 0 , v vθ = y la fuerza centrípeta es la fuerza deatracción gravitatoria, por lo tanto

mv

rGmM

r

2

2= (7.33)

Por otra parte L es constante, luego

vr

T= =

2πcte. (7.34)

donde T es el período de revolución. Reemplazando en (7.33) resulta

4 2

2 2π r

T

GM

r= (7.35)

De (7.35) obtenemos

TMG

r22

34=

π(7.36)

Por lo tanto el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita. Este resul-tado es la expresión de la Tercera Ley de Kepler para órbitas circulares.

Integración de la ecuación radial: la Primera Ley de Kepler

En general la órbita no es circular. Para determinar su forma partimos de la ecuación de la ener-gía para el movimiento radial

E mvL

mr

C

rC GmMr= + − =1

22

2

22, (7.37)

Ahora v rθ ω= y L mr= 2ω , de modo que

vdr

d

d

dt

dr

d

dr

d

L

mrr = = =θ

θθω

θ 2 (7.38)

Sustituyendo en (7.37) obtenemos

EL

m r

dr

d r

C

r

L

m

d

d r r

C

r=

+

− =

+

−

2

2

2

2

2 2

221 1

21 1

θ θ(7.39)

Si ahora hacemos la sustitución z r= 1/ en (7.39) resulta

EL

m

dz

dz Cz=

+

−

2 22

2 θ(7.40)

que podemos escribir en la forma

7. Momento angular

211

22

2 2

4

2

2

2mE

L

m C

L

dz

dz

mC

L+ =

+ −

θ

(7.41)

Hagamos ahora el cambio

ζ = − = − = +zmC

L r

mC

LA

mE

L

m C

L2 22

2

2 2

41 2

, (7.42)

La ecuación de la órbita queda entonces de la forma

d

dA

ζθ

ζ

+ =

22 2 (7.43)

La solución de esta ecuación es ζ θ= Acos de donde obtenemos

12r

AmC

L= +cosθ (7.44)

Esta es la ecuación polar de las cónicas. La podemos escribir de la forma equivalente

rq

qL

mC

AL

mCqE

C=

+= = = +

11 2

2 2

ee

cos, ,

θ(7.45)

la cantidad e se denomina excentricidad y de acuerdo con su valor se pueden dar los casos quefiguran en la Tabla 7.1.Las órbitas de los planetas son elipses (de semiejes mayor y menor a y b, respectivamente,siempre de muy baja excentricidad con la excepción de Marte y de Plutón) y el Sol ocupa uno delos focos ( F1 en la Fig. 7.12). Este resultado es la Primera Ley de Kepler. Las distancias mínimarp y máxima ra del planeta al Sol se denominan perihelio y afelio y sus valores son:

rq

a rq

ap a=+

= − =−

= +1

11

1e

ee

e( ) , ( ) (7.46)

Tabla 7.1. Tipos de órbitas

Órbita Semiejes o distancia focal Energía

e = 0 circular a b q= = E C q= − / 2

0 1< <e elíptica a q b q= − = −/( ) , /( ) /1 12 2 1 2e e − < <C q E/ 2 0

e = 1 parabólica f q= / 2 E = 0

e > 1 hiperbólica f q= +/( )1 e E > 0

7. Momento angular

212

a

b

F1 F2

aea(1+e)

a(1–e)

P A

Fig. 7.12. Órbita elíptica. El sol ocupa el foco F1. La figura corresponde a e = 0 5. .

La Tercera Ley de Kepler

El área de la elipse es S ab= π . Por otra parte, por la segunda Ley de Kepler

SL

mT=

2(7.47)

Luego

Tm

La= −

212 2π e (7.48)

Pero

L m Cp mCa= = −( )1 2e (7.49)

e introduciendo esta expresión en (7.48) obtenemos

Tm

Ca C GmM2 2 34= =π , (7.50)

de modo que

TGM

a22

34=

π(7.51)

Este resultado es la Tercera Ley de Kepler: el cuadrado del período de la órbita es proporcionalal cubo del semieje mayor.

7. Momento angular

213

Comentarios

Hemos visto que la existencia de las constantes de movimiento L y E simplifica el problema delmovimiento bajo la acción de una fuerza central. Esto se debe a que todo campo de fuerza cen-tral tiene simetría de rotación y es conservativo.La conservación de L tiene dos consecuencias. La primera es que el movimiento tiene lugar enun plano que pasa por el centro de la fuerza y cuya orientación es ortogonal a L y por lo tantoestá determinado por las condiciones iniciales. Gracias a esto el problema se reduce al de unmovimiento en dos dimensiones en el plano de la órbita. La segunda es que se cumple la ley delas áreas (7.17). Esto implica que la velocidad angular del móvil alrededor del centro de fuerzaestá dada por

d

dt

L

mrL

θ= =2 , cte. (7.52)

donde L depende de las condiciones iniciales.La conservación de la energía mecánica junto con la conservación de L implica que el movi-miento radial cumple

dr

dt mE U r U r V r

L

mr= ± − = +

22

2

2[ ( )] , ( ) ( ) (7.53)

De resultas de esto el problema de resolver las ecuaciones de Newton ˙̇ ( ) /r = −∇V r m , que sonun sistema de tres ecuaciones del segundo orden en el tiempo, queda reducido al de integrar lasdos ecuaciones del primer orden en el tiempo (7.52) y (7.53). Esto se puede lograr en dos pasos.El primero consiste en resolver la (7.53), donde no figura θ. Para esto la escribimos en la forma

dtdr

mE U r

= ±−

2[ ( )]

(7.54)

que se integra formalmente para obtener

t r tdr

mE U rr

r

( )[ ( )]

= ±′

− ′

⌠

⌡

0 20

(7.55)

Aquí se debe tomar en cuenta que si al avanzar el tiempo r crece se debe tomar el signo +,mientras que si r decrece se debe tomar el signo –. Así partiendo del instante inicial t0 en el queel móvil está a la distancia r0 del centro, para cada par de valores de E y L se obtiene la funciónt r( ) . Invirtiendo esta función obtenemos r t( ) .Conociendo r t( ) podemos dar el segundo paso que consiste en integrar la (7.52) para obtener

θ θ( )( )

tL

mr tdt

t

t

= +′

′⌠⌡0 2

0

(7.56)

con lo que queda resuelto el problema. Por lo tanto para obtener la solución basta con calcularlas dos cuadraturas (7.55) y (7.56).

7. Momento angular

214

Como alternativa podemos obtener directamente la relación r( )θ que da la forma de la órbita.Para esto basta dividir la (7.53) por la (7.52) para eliminar t.

dr

d

mr

L mE U r

θ= ± −

2 2[ ( )] (7.57)

de donde resulta

θ θ( )[ ( )]

rdr

mr

L mE U rr

r

= ±′

′− ′

⌠

⌡

0 2 20

(7.58)

que finalmente nos da r( )θ por inversión. Se puede observar que la órbita es simétrica respectodel punto donde dr d/ θ cambia de signo, esto es de los puntos donde r alcanza un valor ex-tremo. El punto de máximo acercamiento al centro se llama periapsis (perihelio cuando el centroes el Sol, perigeo cuando es la Tierra) y el de máximo alejamiento (cuando hay uno a distanciafinita) se llama apoapsis (afelio en el caso del Sol, apogeo para la Tierra).Sin perjuicio de lo anterior se debe notar que solamente cuando V r r( ) ~ /1 se pueden obtenerexpresiones cerradas para t r( ) y r( )θ . En los demás casos el programa esbozado anteriormenteno se puede llevar a cabo por vía analítica. En la práctica si se quiere obtener la forma de órbitascomo la que se muestra en la Fig. 7.11 lo más sencillo es integrar numéricamente las ecuacionesde Newton en el plano de la órbita.