68depagini de probleme rezolvate si teorieinpascal

5CUPRINS

PREFA ..........................................................................................................................................9

Capitolul 1. PROBLEME SIMPLE1.1. Ghid de lucru.............................................................................................................................111.2. Numere pitagorice .....................................................................................................................141.3. Probleme propuse ......................................................................................................................15

Capitolul 2. PROBLEME CU IRURI DE NUMERE2.1. Numere distincte .......................................................................................................................212.2. ir derivat din numerele naturale ..............................................................................................232.3. Probleme propuse ......................................................................................................................25

Capitolul 3. PROBLEME REZOLVATE FOLOSIND VECTORI3.1. Numrul punctelor din cerc ......................................................................................................353.2. Interclasare ................................................................................................................................363.3. Probleme propuse ......................................................................................................................38

Capitolul 4. PROBLEME CU MATRICE4.1. Construirea unei matrice ...........................................................................................................414.2. Generarea unei matrice dintr-un ir ..........................................................................................424.3. Probleme propuse ......................................................................................................................43

Capitolul 5. SUBALGORITMI5.1. Reuniunea unor mulimi ...........................................................................................................515.2. Numere prime ...........................................................................................................................545.3. Probleme propuse ......................................................................................................................55

Capitolul 6. PROBLEME REZOLVATE CU MATRICE6.1. Relaii ntre persoane ................................................................................................................636.2. Ptrate magice ...........................................................................................................................646.3. Probleme propuse ......................................................................................................................66

6PREFA

Culegerea de probleme de fa se dorete a fi un ghid io colecie de probleme pentru nvarea programrii. Diversitatea problemelor propuse i gradul diferit de dificultate fac culegerea util nu numai studenilor, ci i elevilor de liceu. Iniial ea a fost conceput ca ghid pentru lucrrile de laborator ale studenilor anilor nti i doi de la secia de Informatic a Facultii de Matematic i Informatic.

Problemele sunt grupate n 16 capitole, n funcie de specificul i gradul lor de complexitate. Succesiunea capitolelor din culegere vizeaz o abordare gradual a problematicii, att din punctul de vedere al complexitii algoritmilor, specificai n limbaj Pseudocod, ct i al nvrii unui limbaj de programare, n particular limbajul Pascal. Fiecare capitol conine cel puin dou exemple de probleme rezolvate, pentru care sunt precizai att algoritmii de rezolvare, ct i programele surs Pascal. Intenia autorilor este de a sugera un anumit stil de rezolvare a problemelor cu calculatorul, acordndu-se o importan deosebit etapelor de analiz a problemei i de proiectare a algoritmilor, etape n care limbajul de programare nu este implicat. Din acest punct de vedere, problemele propuse sunt generale, implementarea soluiilor putnd fi fcut i n alte limbaje de programare.

Problemele de acelai tip sunt grupate n acelai capitol, iar un capitol acoper toat gama de probleme pentru tema abordat. Astfel, capitolul I conine probleme elementare, a cror rezolvare nu cere folosirea vectorilor sau a matricelor. Capitolul doi conine probleme referitoare la vectori, n timp ce capitolul trei conine probleme a cror rezolvare cere folosirea vectorilor. Capitolul patru conine probleme cu matrice. Capitolul cinci cere folosirea subalgoritmilor. Capitolul ase conine probleme a cror rezolvare cere folosirea matricelor. Urmeaz un capitol de exemple i probleme pentru programarea n limbaj main. Capitolul opt conine probleme referitoare la tipurile mulime i enumerare din Pascal. Capitolul nou conine probleme referitoare la iruri de caractere. Capitolul zece se refer la recursivitate. Urmeaz un capitol de probleme privind folosirea fiierelor. Capitolul 12 conine probleme care cer folosirea tipului referin n Pascal. Urmtorul capitol conine probleme de grafic cu calculatorul. Capitolul 14 conine mai multe probleme date la diferite concursuri de programare. Tipurile abstracte de date sunt obiectul capitolului 15. n sfrit, ultimul capitol conine probleme despre grafe.

Dei la selectarea problemelor au contribuit toi autorii, fiecare capitol a fost elaborat de unul sau doi autori, dup cum urmeaz: Cap.1 - Prof. S.Groze i Prof. M.Freniu; Cap.2 - Prof. M.Freniu; Cap.3 - Lect. Robu J. i Prof. M.Freniu; Cap.4 - Asist. S. Motogna; Cap.5 - Asist. E.Iacob; Cap.6 - Conf. Kasa Z. i Asist. S.Motogna; Cap.7 - Conf. F.Boian; Cap.8 - Lect. V.Ciobanu; Cap.9 - Asist. S.Iurian; Cap.10 - Asist. S.Iurian; Cap.11 - Asist. H.Pop; Cap.12 - Lect. V.Prejmereanu; Cap.13 - Lect. V.Prejmereanu; Cap.14 - Asist. S.Motogna; Cap.15 - Conf. B.Prv i Prof. M.Freniu; Cap.16 - Conf. T.Toadere.Eventualele erori nu se pot imputa numai celor de mai sus, toi autorii participnd la corectarea final a acestei culegeri.

Sperm ca prezentul material s-i ating scopul propus, cel de dezvoltare la cititori a gustului de programare ntr-un limbaj evoluat, n particular n limbajul Pascal.

Contieni c exist posibiliti de mbuntire a coninutului prezentei lucrri, autorii mulumesc anticipat pe aceast cale tuturor celor care vor face observaii i propuneri de mbuntire, de care se va ine seama la o nou editare a culegerii de probleme.

7CAPITOLUL 1

PROBLEME SIMPLE

1.1. GHID DE LUCRU

Rezolvarea unei probleme cu ajutorul calculatorului presupune parcurgerea urmtoarelor faze: - precizarea complet a problemei de rezolvat; - proiectarea algoritmului de rezolvare a problemei; - programarea propriu-zis (implementarea); - testarea programului obinut; - exploatarea i ntreinerea programului.Aceste faze constituie ciclul de via al programului.

De foarte multe ori, atunci cnd beneficiarul discut cu executantul despre problema care trebuie rezolvat, acesta d un enun vag, incomplet, dac nu chiar inexact sau contradictoriu, pentru problema de rezolvat. Urmeaz mai multe discuii, uneori ntinse n timp, n urma crora se ajunge la un enun relativ complet i exact al problemei. ntruct problemele propuse sunt luate din domeniul matematicii sarcina noastr va fi mult mai uoar.

Dup enunarea problemei urmeaz modelarea matematic i cutarea unei metode de rezolvare a ei. Uneori sunt posibile mai multe moduri de rezolvare, caz n care se va alege metoda considerat cea mai potrivit scopului urmrit. Modelarea matematic i alegerea unei metode de rezolvare se mbin aproape ntotdeauna cu conceperea algoritmului, fiind greu s se separe una de cealalt. Activitile de mai sus constituie ceea ce numim proiectarea programului.

Pe toat durata proiectrii trebuie menionate n scris toate deciziile luate, ntruct este posibil ca ulterior s fie necesar o reproiectare i deci, s se revin asupra acestor decizii. Documentaia realizat este necesar n primul rnd pentru urmtoarea faz a ciclului de via al programului, implementarea. De asemenea, n faza de ntreinere a programului este posibil modificarea unor module, modificare n care sunt necesare s fie cunoscute i aceste decizii. E bine ca proiectarea s fie astfel fcut nct s permit o ntreinere ct mai uoar. Faza urmtoare, implementarea sau codificarea, const n traducerea algoritmului ntr-un limbaj de programare. Evident, prima decizie ce trebuie luat const n alegerea limbajului de programare n care va fi scris programul. n cele ce urmeaz vom folosi n acest scop limbajul Pascal. De multe ori se vor folosi mai multe limbaje pentru aceast activitate. De exemplu, pot exista unele module a cror scriere se poate face numai n limbajul de asamblare. Urmeaz testarea programului elaborat, care uneori pune n eviden erori grave de programare, erori care au dus n unele situaii la refacerea (parial sau integral) a activitilor anterioare. Sigur c este de dorit s nu se ajung la astfel de situaii i, dac proiectarea i implementarea au fost fcute corect, n faza de testare nu ar trebui s ntlnim erori.

Urmtoarea faz din viaa programului const n exploatarea propriu-zis a acestuia, faz n care execuia se face cu date reale. Aceast activitate se ntinde n timp pe mai muli ani i cere adeseori schimbri n program, motiv pentru care este cunoscut sub numele de ntreinerea programului. Este faza cea mai costisitoare i cea mai important din viaa unui produsul real. Toat activitatea de realizare a programului trebuie s in seama de acest fapt i programul s fie astfel conceput nct s se permit modificri n ceea ce face programul cu un numr minim de modificri n textul acestuia. Documentarea programului presupune elaborarea unor materiale scrise n care se precizeaz toate informaiile utile despre programul realizat. Pentru proiectarea algoritmilor vom folosi limbajul Pseudocod. Avantajele folosirii acestui limbaj pentru proiectarea algoritmilor constau n faptul c permit programatorului s-i ndrepte complet atenia asupra logicii rezolvrii problemei i s uite de restriciile impuse de limbajul de programare i calculatorul folosit. n aceast faz este necesar o analiz atent a problemei n vederea gsirii unui algoritm corect proiectat.

De asemenea, proiectarea algoritmului permite evitarea duplicrii unui grup de instruciuni n mai multe pri ale programului. Identificarea unui astfel de grup permite definirea lui ca un singur subalgoritm i folosirea acestui subalgoritm ori de cte ori este necesar.

n descrierea unui algoritm deosebim urmtoarele activiti importante: - specificarea problemei; - descrierea metodei alese pentru rezolvarea problemei; - precizarea denumirilor i semnificaiilor variabilelor folosite; - descrierea algoritmului propriu-zis.Astfel, dac ni se cere s calculm radicalul de ordinul 2 din x, n partea de specificare a problemei vom

8meniona: Se d un numr real nenegativ, notat prin x. Se cere s gsim un alt numr pozitiv r astfel nct r2=x.

Pentru un informatician este clar c un astfel de numr nu se poate gsi n general prin nici un procedeu finit. Este ns posibil s gsim o aproximare orict de bun a lui r. Deci specificarea fcut nu este corect, neputnd gsi un algoritm care s rezolve problema n forma enunat. Vom modifica aceast specificaie, cernd s se calculeze aproximativ r cu o eroare ce nu depete un numr real eps orict de mic.

Specificaia problemei este:

DATE eps,x; {eps,xR, eps>0 i x0}REZULTATE r; {r-rad(x)

9PNCND b-a=0} r, {valoarea radicalului x} a,b, {capetele intervalului ce conine pe r} m : REAL; {mijlocul intervalului [a,b]}BEGIN WRITELN('Se calculeaz radical din x cu precizia eps:'); WRITE('eps='); READLN(eps); WRITE(' x ='); READLN(x); IF x

10

Sf-pentru Sf-dacSf-algoritm.

Programul Pascal corespunztor este dat n continuare.

PROGRAM NRPITAGORICE; {Programul 1.1.2. Numere pitagorice}VAR n, { nN; a+b+cn } S, { S = a+b+c } a,b,c, {(a,b,c) triplet de numere pitagorice}

{ 0 < a < b < c } k : integer; { contor }BEGIN WRITELN('Se tipresc tripletele(a,b,c) de numere pitagorice'); WRITELN('cu proprietatea: a+b+c

11

1.8. Fie a N. S se scrie un algoritm pentru calculul mediei aritmetice, geometrice i armonice a tuturor divizorilor lui a.

1.9. Fie funcia lui Euler : N N, unde (n) este numrul numerelor relativ prime cu n i mai mici ca n. S se tipreasc valorile (k), k=1,2,...,m, pentru mN dat.

1.10. Fie n,k Z, n k. S se scrie un algoritm pentru calculul sumeiS = A + C + Pnk nk n 4.

1.11. S se determine toate numerele ntregi de trei cifre abc 5 cu proprietateaabc = a + b + c3 3 3 6.

1.12. Se dau numerele z,l,a . S se determine dac tripletul (z,l,a) reprezint o dat calendaristic a secolului nostru.

1.13. Se d o zi (z,l,a) dintr-un an. Se cere s se determine a cta zi din acel an este aceast zi.

1.14. Se consider ( z ,l ,a )n n n 7 data naterii unei persoane i ( z ,l ,a )c c c 8 o dat curent. S se determine vrsta, n zile, a persoanei respective.

1.15. Se dau datele de natere ( z ,l ,a ) ( z ,l ,a )1 1 1 2 2 2si 9 a dou persoane. Se cere s se precizeze care din cele dou persoane este mai tnr, prin indicatorul r {0,1,2} (0 dac au aceeai vrst, 1 dac prima persoan este mai tnr).

1.16. Cunoscnd n ce zi din sptmn a fost 1 ianuarie, s se scrie un algoritm ce determin ziua din sptmn n care este a n-a zi a anului.

1.17. Anumite numere prime i pstreaz proprietatea de a rmne prime pentru toate permutrile cifrelor lor. Ex. 13 i 31; 131,113 i 311, etc.). S se scrie un algoritm care determin numerele prime "permutabile", mai mici dect un numr m dat.

1.18. O formul de generare a unui ir de numere (yi) este

n2y = n - 79n + 1601 10.

Se cere algoritmul care determin pentru un numr n {1,...,90} cte dintre primele n numere din acest ir sunt prime.

1.19. S se scrie un algoritm care s exprime orice sum de lei S, n minimum de monede de 1 leu, 3 lei, 5 lei, 10 lei , 20 lei, 50 lei i 100 lei.

1.20. Fiind date numerele a,b,c,d Z, se cere un algoritm care s stabileasc cea mai mare dintre fraciile a/b i c/d.

1.21. S se gseasc soluiile ntregi i pozitive ale ecuaiei ax + by = c, cu proprietatea x+y0.

1.22. Se cere valoarea funciei f:[-9,9] n punctul x, dac

12

f x

x-x -

13

punctului M fa de laturile triunghiului, marcndu-se cu R {1,2,3} trei situaii posibile: interior triunghiului, pe una din laturi, exterior triunghiului.

1.32. Se d un ptrat P1 de latur 1 cruia i se circumscrie un cerc C1. Cercului obinut i se circumscrie un nou ptrat P2, acestuia un nou cerc C2, etc. S se calculeze aria ptratului Pn i aria cercului Cn obinute dup un numr de n pai, prin metoda de mai sus.

1.33. Se dau trei puncte Mi (xi,yi), i=1,2,3, n plan. S se determine parametrul k care s ia valoarea 0 dac punctele sunt coliniare, respectiv 1 n caz contrar.

1.34. Se dau a,b,c,d,e,f . S se determine poziia dreptelor

ax + by + c = 0dx + ey + f = 0

17

i unghiul dintre ele, exprimat n grade.

1.35. Se cunosc lungimile laturilor unui triunghi. Se cere s se calculeze perimetrul, unghiurile i aria triunghiului.

1.36. Se consider segmentele de dreapt cu extremitile n punctele A(a1,a2), B(b1,b2), respectiv C(c1,c2), D(d1,d2). S se determine un algoritm de calcul pentru coordonatele punctului de intersecie a segmentelor date. n cazul n care acest punct nu exist, se va tipri un mesaj.

1.37. O fabric de mobil primete comenzi pentru producerea unei diversiti de biblioteci, avnd: - lungimea cuprins ntre 2-9 m; - nlimea cuprins ntre 1-3 m; - un numr de 2,4,6,9 sau 12 corpuri.Costul unei biblioteci este de a lei pentru fiecare metru cub de volum, la care se adaug b lei pentru fiecare corp. Construcia unei biblioteci trebuie s respecte anumite condiii impuse de normele de fabricaie: - lungimea trebuie s fie de 2-3 ori mai mare dect nlimea; - limea trebuie s fie 1/3 pn la 1/2 din nlime; - numrul de corpuri trebuie s fie n raportul de 1/2 pn la 1 fa de produsul dintre lungime i nlime. Se cere algoritmul de acceptare al unei comenzi i de calcul al preului.

1.38. Fie funcia f:[a,b] , dat de

f(x)= ax + bx , a x (a + b) / 2ax + bx

x + 2 , (a + b) / 2 < x b

2

2

daca

daca

18

S se calculeze valoarea lui f pentru x [a,b].

1.39. Se cere un algoritm pentru calculul aproximativ al rdcinii unei ecuaii f(x)=0, unde f:(a,b) este continu i monoton, folosind metoda combinat a coardei i a tangentei. Cu metoda dedus, s se calculeze Mn 19.

Indicaie. Se va lua f(x) = xn - M, iar intervalul (a,b), se nlocuiete cu [0,M].

1.40. Dintr-o urn cu m bile (m>1), numerotate de la 1 la m, se extrage la ntmplare o bil. S se scrie un algoritm pentru calculul probabilitii ca numrul nscris pe bila extras s fie prim.

1.41. Un mobil efectueaz o micare oscilatorie armonic. tiind c pentru elongaiile x1=2 cm i x2=3 cm, mobilul are vitezele v1=5m/s i respectiv v2=4m/s, s se calculeze amplitudinea i perioada micrii oscilatorii a

14

mobilului.Indicaie. Se tie c PI=3.14 i se ine seama c amplitudinea, respectiv perioada micrii oscilatorie a mobilului

sunt date de

A = x v - x v

v - v ; T = 2PI x

- xv - v

12

22

22

12

22

12

12

22

22

12

20

1.42. Se dau punctele A, B, C, D prin coordonatele lor n plan. Citindu-se coordonatele acestor puncte, s se stabileasc dac ele sunt vrfurile unui dreptunghi sau nu sunt.

1.43. Se dau punctele A, B, C prin coordonatele lor rectangulare. S se determine punctul D tiind c el este piciorul perpendicularei dus din A pe BC.

1.44. Se dau punctele A, B, C, D prin coordonatele lor n plan. S se determine punctul E pe segmentul AB i punctul F pe segmentul CD astfel nct distana dintre E i F s fie minim.

1.45. Se dau punctele A, B, C, D prin coordonatele lor n plan. Dreapta ce trece prin A i B, cercul de centru (0,2) i raz 5 i parabola de ecuaie y=x2+1 determin o mprire a planului n opt regiuni interioare. S se determine dac punctele C i D se afl n aceeai regiune sau nu.

1.46. Se dau n {1,2,...,366} i a numr de an al secolului nostru. S se precizeze data corespunztoare celei de a n-a zi a anului a sub forma (lun, zi).

1.47. Se d numrul n . S se tipreasc acest numr n sistemul de numeraie roman.

1.48. tiind c 1 ianuarie 1994 a fost ntr-o zi de smbt, s se determine n ce zi a sptmnii va fi 1 ianuarie 2020.

1.49. Se consider trei rezervoare cilindrice care conin benzin de trei caliti. Se cere situaia livrrilor sptmnale, livrrile zilnice nregistrndu-se secvenial. S se precizeze beneficiarul cruia i s-a livrat cantitatea maxim de benzin.

17

CAPITOLUL 2

PROBLEME CU IRURI DE NUMERE

2.1. NUMERE DISTINCTE

Se dau n i numerele ntregi x1,x2, ...,xn. Se cere s se rein ntr-un vector Y toate numerele, dar fr a repeta vreunul, deci Y are numai componente distincte.

Specificarea problemei:

DATE n, (xi, i=1,n); { xi Z, pentru i=1,2,...,n } REZULTATE (yj, j=1,k); { X=Y, unde X este }

{ mulimea ce conine toate numerele xi, i=1,n, }{ iar Y =mulimea ce conine pe yj, j=1,k i yly j pentru lj}

Variabilele intermediare folosite i semnificaia lor, precum i metoda folosit vor fi rezultatul rafinrilor succesive i vor fi nelese din textul versiunilor respective.

ALGORITMUL DISTINCTE ESTE: { Versiunea 1 }DATE n, (xi, i=1,n);FIE y1:=x1; k:=1;*Examineaz celelalte numere i dac este cazul pune-le n Y.REZULTATE (yj, j=1,k); SF-ALGORITM

Pentru a parcurge celelalte numere avem nevoie de un contor, fie el i, i de folosirea propoziiei PENTRU. Ajungem la:

ALGORITMUL DISTINCTE ESTE: { Versiunea 2 }DATE n, (xi, i=1,n);FIE y1:=x1; k:=1;PENTRU i:=2,n EXECUT *Verific dac xi aparine lui Y. *Dac nu aparine atunci adaug pe xi la Y.SF-PENTRU REZULTATE (yj, j=1,k); SF-ALGORITM

Decizia ce trebuie luat este cum s verificm apartenena unui element u la mulimea Y. Pentru aceasta vom reine n indicatorul ind cele dou situaii posibile: 0 pentru apartenen i pozitiv n caz contrar. Acest calcul se poate face folosind urmtoarele propoziii:

ind:=1; CTTIMP (ind1) i (ind

18

DATE n, (xi, i=1,n); { xi Z, pentru i=1,2,...,n } FIE y1:=x1; k:=1;PENTRU i:=2,n EXECUT

{Verific dac xi aparine lui Y} ind:=1; CTTIMP (ind1) i (ind0 ATUNCI k:=k+1; yk:=xi SF-DAC SF-PENTRU REZULTATE (yj, j=1,k); {X=Y, unde X este mulimea ce conine }

{ toate numerele xi, i=1,n, iar Y este mulimea }{ ce conine pe yj, j=1,k i yly j pentru lj }

SF-ALGORITM

Programul Pascal corespunztor este:

PROGRAM DISTINCTE; { Programul 2.1. Retine valorile distincte }VAR n, { numrul numerelor date } i,j, { contor - variabile de lucru } k, { numrul valorilor distincte gsite } ind : integer; { indicator; retine daca x[i] este in Y } X, { Vector cu numerele date } Y : array[1..100] of integer; { Vector cu numerele distincte }BEGIN Writeln('Se da vectorul X cu n componente reale'); Writeln('Se pun in Y toate valorile ce apar in X'); Write(' n='); readln(n); For i:=1 to n do begin write('x(',i,')='); readln(x[i]) end; y[1]:=x[1]; k:=1; For i:=2 to n do begin { Verifica daca } ind:=1; { x[i] aparine lui Y } While (ind>0) and (ind0 then { atunci adaug pe x[i] la Y } begin k:=k+1; y[k]:=x[i] end; end; Writeln; { Tiprete rezultatele } Writeln(' Numerele distincte sunt'); For j:=1 to k do write(y[j]:5); readlnEND.

2.2. IR DERIVAT DIN NUMERELE NATURALE

19

Se consider irul

1,2,1,3,2,1,4,2,2,5,4,3,2,1,6,2,2,3,3,3,7,6,...

obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr natural n printr-un grup de numere, dup urmtoarele reguli: numrul prim p este nlocuit prin numerele p,p-1,...3,2,1, iar numrul compus c este nlocuit prin c urmat de toi divizorii si proprii, un divizor d repetndu-se de d ori. Dndu-se numrul natural n, se cere s se tipreasc primele n numere din irul dat.

Specificarea problemei.

Se d un numr natural n i irul de numere naturale descris mai sus.Se cere tiprirea primelor n numere din irul dat.

Aparent problema este complet specificat, ceea ce nu e complet adevrat. Ne dm seama de acest lucru dac ncercm s precizm ce rezultate se vor reine n memoria calculatorului. Este posibil ca n memorie s reinem toate numerele cerute ntr-un vector X sub forma Y = ( y , y ,..., y )1 2 n 21, sau s nu le reinem n memorie ci doar s le afim pe ecran. De fapt exist o variant simplificat a problemei de mai sus n care se cere s se obin doar al n-lea numr din irul dat.

Specificarea problemei, pentru tiprirea celor n numere, fr reinerea lor n memorie.

DATE n; { nN, n>0 } REZULTATE afiarea primelor n numere din irul menionat.

Pentru a concepe un algoritm de rezolvare, n ambele variante se parcurge irul dat, reinnd sub numele t termenul curent al irului, iar sub numele i poziia acestui termen n vector. Prin k vom nota numrul natural din care se obine grupul de termeni din care face parte t, iar prin j indicele lui t n acest grup. Indicatorul ind va primi valoarea 1 dac numrul k este prim i 0 n caz contrar.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei este dat n continuare.

Algoritmul GENERARE1 este: { varianta1 } DATE n; { nN, n>0 } Fie i:=1; t:=1; tiprete t; k:=2; ind:=1; { Pentru cazul k este prim } Cttimp i

20

DATE n; { nN, n>0 }Fie i:=1; t:=1; Tiprete t; k:=2; ind:=1;Ct timp i

21

i:=i+1; write(k:5); while (d 1. S se genereze toi divizorii pozitivi 1 2 md ,d ,...,d 23 ai numrului n.

2.2. S se genereze toate numerele prime mai mici dect numrul natural n dat.

2.3. Se dau m,n +. S se determine primele n cifre din scrierea fraciei 1/m ca fracie zecimal.

2.4. Se d numrul natural m > 1. S se formeze vectorul ale crui componente sunt primele m numere din irul lui Fibonacci, definit prin n1=n2=1 i nk+1=nk+nk-1 pentru k=2,3,... .

2.5. Se d numrul natural n > 1. S se tipreasc triunghiul lui Pascal, avnd n linia m toate combinrile C(m,k) de m obiecte luate cte k, k=0,m, pentru m=1,2,...,n. Se va folosi relaia de recuren:

C(m,k) = C(m-1,k)+C(m-1,k-1)deci elementele liniei m se calculeaz din elementele liniei m-1 (precedente).

2.6. Se dau m,k +. S se determine numrul n al cifrelor i cele n cifre din scrierea numrului ntreg mk = (c1c2c3...cn)10.

2.7. Se dau numrul natural n > 1 i X n. S se determine indicele componentei minime i indicele componentei maxime din X.

2.8. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se gseasc toate poziiile 1 2 kp , p ,..., p 24 pe care se afl valoarea maxim.

2.9. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se verifice dac numerele date sunt n progresie aritmetic sau geometric, calculnd indicatorul Ind definit astfel:

Ind = 1, dac numerele sunt n progresie aritmetic, Ind = 2, dac numerele sunt n progresie geometric, Ind = 3, n caz contrar.

2.10. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se gseasc media numerelor date, numrul valorilor pozitive, produsul valorilor negative i s se tipreasc numerele mai mari dect 100.

22

2.11. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se ordoneze cresctor primele k numere i descresctor celelalte numere, pentru k dat, k {1,2,...,n}.

2.12. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se gseasc toate numerele distincte 1 2 my , y ,..., y 25 din irul X precum i frecvenele acestor numere ntre numerele date.

2.13. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se calculeze yj=x1*x1+x2*x2+...+xj*xj, pentru j=1,2,...,n i M = max{xj*yj j=1,n }.

2.14. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se determine cel mai mare numr negativ i poziiile pe care se afl el n irul dat.

2.15. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se calculeze

ij j

1 2 iy =

{ x |x > 0, j = 1,i }, i ( x + x +...+ x ) / i, i max daca este par

daca este impar

26

pentru i=1,2,...,n.

2.16. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se formeze vectorul Y=(y1,y2,...,yn), unde yi ia valoarea 1 dac xi, xi+1, xi+2 pot fi lungimile laturilor unui triunghi i 0 n caz contrar, pentru i=1,2,...,n. Numerele xn+1, xn+2 se iau egale cu xn.

2.17. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se determine

ij

iy =

{ x | j = i,n }, i m , i

max daca este pardaca este impar

27

unde mi este numrul componentelor vectorului X egale cu xi, pentru i=1,2,...,n.

2.18. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. S se calculeze componentele vectorului Y = ( y , y ,..., y ).1 2 n 28 Componenta yi este media aritmetic a componentelor pozitive de rang mai mic sau egal cu i ale vectorului X, n cazul n care exist componente pozitive, respectiv -1 n caz contrar.

2.19. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2, ..., xn. S se calculeze yi pentru i=1,n, tiind cy1 = (x1+x2)/2, y2 = (x1+x2+x3)/3, yn = (xn-1+xn)/2, yn-1 = (xn-2+xn-1+xn)/3,

iar yk este media numerelor xk-2, xk-1, xk, xk+1, xk+2, pentru k=3,4,...,n-2.

2.20. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. S se determine numrul k al numerelor negative din irul X i mediile vi pentru i=1,2,...,k-1. Prin vi s-a notat media numerelor pozitive cuprinse ntre al i-lea i al i+1-lea numr negativ, dac exist numere pozitive, respectiv 0 n caz contrar.

2.21. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. S se rein toate numerele distincte y1,y2,...,yk i s se calculeze frecvenele de apariie ale acestor numere n irul dat.

23

2.22. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. S se determine vectorul Y=(y1,y2,...,yn), unde yi este egal cu numrul valorilor din irul dat mai mari dect xi, pentru i=1,n.

2.23. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. Dac yi este numrul termenilor mulimii {xj xj 1 i numerele x1, x2,..., xn. S se calculeze primele k momente m1, m2,..., mk. Prin momentul de ordinul j, notat mj, se nelege media aritmetic a puterilor de exponent j ale numerelor date.

2.26. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. Dac m1 i m2 sunt primele dou momente (vezi problema 2.25) s se calculeze s, unde s2=m2-m1*m1 i fj, j=1,9, dac fk este numrul elementelor mulimii { x | m - k* s < x < m + k* s}i 1 i 1 29.

2.27. Se dau numrul natural n > 1 i numerele x1, x2,..., xn. Secvena xi, xi+1,..., xi+p se numete scar (de lungime p) dac xi

24

2.36. Se dau n , numerele reale a, b, a

25

i

i i i

i i

i i i

c = x , x < y ,0 , x = y ,y , x > y ,

dacadacadaca

55

pentru i=1,2,...,n.

2.44. Se dau n i numerele reale i ix , y 56, i=1,2,...,n. S se calculeze

i

1 2 i i i

i i

i n i i

z = ( x + x +...+ x ) / i, x < y ,

0, x = y ,{| y | ,... ,| y | }, x > y ,

dacadaca

max daca

57

pentru i=1,2,...,n.

2.45. Se dau n i numerele reale i ix , y 58, i=1,2,...,n. S se calculezeE = {|x |,| y | } + ...+ {|x |,| y | },1 1 n nmin min 59

i s se determine elementele mulimii { i | x * x > E}i i 60.2.46. Se dau n i numerele reale i ix , y 61,i=1,2,...,n. S se calculeze 2.47.

s1 = ( y + y + ... + y ),s2 = ( y * x + y * x +...+ y * x ) / s1,s3 = ( y * x * x + y * x * x +...+ y * x * x ) / s1,

1 2 n

1 1 2 2 n n

1 1 1 2 2 2 n n n

62

i m = cardinalul mulimii { x | 3(s3 - s2* s2) > |x - s2| }i i 63.

2.47. Se dau n i numerele reale i ix , y 64, i=1,2,...,n. S se formeze vectorul Z cu componentele

i1 2 i i i

i 1 2 i iz =

{ x + x +...+ x ) / i, y }, y 0,{ x ,( y + y +...+ y ) / i}, y < 0,

max dacamin daca

65

pentru i=1,2,...,n.2.48. Se dau n i numerele reale i ix , y 66, i=1,2,...,n. S se calculeze

26

i

1 2 i i i

1 2 i i i

i i+1 n i i

z = { x , x ,..., x }, x < y ,

{ { x ,x ,...,x }, 0}, x = y ,{ y , y ,..., y }, x > y ,

max dacamax min dacamin daca

67

pentru i=1,2,...,n.

2.49. Se dau n i numerele reale i ix , y 68, i=1,2,...,n. S se calculeze

i

1 2 i i i

i 1 2 i i i

i i+1 n i i i

c = ( x + x +...+ x ) / i, x y < 0,

{ x , y , y ,..., y }, x y = 0,{ x ,x ,...,x , y }, x y > 0,

dacamax dacamin daca

69

pentru i=1,2,...,n.

2.50. Se dau n i numerele reale i ix , y 70, i=1,2,...,n. S se rein poziiile 1 2 ki , i , ... , i 71, pe care cei doi vectori coincid. S se elimine din vectorii X i Y termenii de pe aceste poziii.

2.51. Se dau n i numerele reale i ix , y 72, i=1,2,...,n. S se determine vectorul M = ( m ,m ,...,m )1 2 n 73, unde im 74 este poziia componentei maxime a vectorului( x ,x ,...,x , y , y ,..., y )1 2 i i i+1 n 75 (dac exist mai multe, poziia primei valori maxime).

2.52. Se dau n i X,Y n. S se determine poziiile i0 i j0 cu urmtoarea proprietate: exist m componente consecutive din cei doi vectori, ncepnd cu poziiile i0, respectiv j0, care coincid i m este cel mai mare posibil. n cazul n care nu exist poziii cu aceast proprietate, i0 i j0 vor fi n+1.

2.53. Se dau n i numerele reale i ix , y 76, i=1,2,...,n. S se calculezeE = |x - y | + |x - y | + ... + |x - y |1 1 2 2 n n 77

i

i

i i i i i

i 1 2 i i i

i i+1 n i i i

c = x / ( y * y +1), |x - y | < E,

{ x , y , y ,..., y }, |x - y | = E,{ x ,x ,...,x , y }, |x - y | > E,

dacamax dacamin daca

78

pentru i=1,2,...,n.

2.54. Se dau n i numerele reale i ix , y ,79 i=1,2,...,n. Dac 1 2 n 1 2 nx < x

27

deci fr a mai fi necesar ordonarea irului Z.

2.55. Se dau a , n i perechile ( x , y )i i 82, i=1,2,...,n de numere reale. S se determine numrul punctelor (xi,yi) din plan care se afl n interiorul cercului de raz a i centru (0,0).

2.56. Se dau a , n i perechile ( x , y ),i i 83 i=1,2,...,n de numere reale. S se determine indicii 1 2 ki ,i ,...,i 84 pentru care punctele ( x , y )i i 85 din plan se afl n interiorul cercului de raz a i centru (0,0).

2.57. Se dau a , n i perechile ( x , y )i i 86, i=1,2,...,n de numere reale. S se calculeze numrul m al valorilor yi mai mari dect a i

i

1 2 i

i i

1 1 2 2 i i

z = ( x + x +...+ x ) / i, i < m,

{0, x , y }, i = m,|x - y |+|x - y |+...+|x - y |, i > m.

dacamax daca

daca

87

pentru i=1,2,...,n.

2.58. Se dau m,n i cifrele zecimale ia ,88 i=1,2,...,m i jb ,89 j=1,2,...,n. Dac numerele ntregi A i B au reprezentrile n baza 10 date de aceste cifre, deci

A = ( a a ...a ) si

B = ( b b ...b )

1 2 m 10

1 2 n 10

90

s se calculeze cifrele ic ,91 i=1,2,...,r, ale reprezentrii numrului ntreg C=A+B. 2.59. Se dau m,n i cifrele zecimale ia ,92 i=1,2,...,m i jb ,93 j=1,2,...,n. Dac A i B sunt numerele

definite n problema 2.58, s se determine indicatorul kod definit astfel: kod = -2, dac cel puin o valoare ia 94 nu este corect, kod = -1, dac cel puin o valoare ib 95 nu este corect, kod = 0 , dac A = B, kod = 1 , dac A < B, kod = 2, dac A > B.

2.60. Se dau m,n i cifrele zecimale ia ,96 i=1,2,...,m i jb ,97 j=1,2,...,n. Dac numerele reale A i B au reprezentrile n baza 10:

A = ( a a ...a ,a ...a )1 2 r r+1 m 10 98B = ( b b ...b ,b ...b )1 2 s s+1 n 10 99

pentru r1. Dac X este irul: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr natural k cu secvena de numere 1, 2, 3, ..., k, s se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...v )1 2 n 100 tiind c cele n componente ale sale sunt primii n termeni ai irului X.

2.62. Se d n , n>1. Dac X este irul:

28

3, 5, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...obinut prin scrierea tuturor numerelor prime p i q, unde p i q sunt gemeni, adic numere prime cu q-p=2, s se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...v )1 2 n 101 tiind c cele n componente ale sale sunt primii n termeni ai irului X.

2.63. Se d n , n>1. S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...v )1 2 n 102 tiind c cele n componente ale sale sunt primii n termeni ai irului:

3, 4, 5, 5, 12, 13, 6, 8, 10, ...obinut prin scrierea consecutiv a tuturor tripletelor de numere pitagorice p, q, r, p1. S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...v )1 2 n 107 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt termeni consecutivi ai irului X:

1,1,2,1,2,3,4,4,4,4,1,2,3,4,5,6,6,...obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr natural prim p prin secvena 1,2,...,p i a numrului neprim c prin scrierea lui de c ori, ncepnd cu mx 108 (fr a reine termenii ix 109 n calculator).

2.66. Se dau m,n , n>1. S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...v )1 2 n 110 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt termeni consecutivi ai irului X:

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, ...obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr prim p cu un grup de p numere toate egale cu p, ncepnd cu mx 111 (fr a reine termenii ix 112 n calculator).


1, 2, 3, 4, 2, 2, 5, 6, 2, 3, 3, 3, 7, 8, 2, ...obinut prin scrierea numerelor naturale i a divizorilor proprii ai acestor numere, ultimul divizor d repetndu-se de d ori, ncepnd cu mx 114 (fr a reine termenii ix 115 n calculator).


1, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2, 4, 3, 2, 5, 11, ...obinut prin scrierea numerelor naturale i nlocuirea fiecrui numr compus prin toi divizorii si proprii, ncepnd cu

mx 117 (fr a reine termenii ix 118 n calculator).

2.69. Se dau n i seria

n=1

13n - 2

1

3n - 1

13n

. 119

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 120 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 20 i 20+5iv = s , v = s , 121 i=2,3,...,n, unde ks 122 este suma primilor k termeni.

2.70. Se d n i seria

29

n=1

n-12n-1 2n-1(-1 )

42n -1

12

+1

3

123S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 124 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 20 i 20+5iv = s , v = s , 125 i=2,3,...,n, unde ks 126 este suma primilor k termeni.

2.71. Se dau n i se cunoate seria

33

2 (1+

16

+1* 26* 10

+1* 2* 3

6* 10* 14+... ) 127

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 128 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 20 i 20+5iv = s , v = s , 129 i=2,3,...,n, unde ks 130 este suma primilor k termeni.

2.72. Se dau n,m i se cunoate seria

2 1+13

+1* 23* 5

+1* 2* 33* 5* 7

+... 131

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 132 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 20 i 20+miv = s , v = s ,133 i=2,3,...,n, unde ks 134 este suma primilor k termeni.

2.73. Se dau n,m i se cunoate seria

i 2 3u = 1+13

19

+15

19

+17

19

+...135

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 136 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 20 i 20+miv = s , v = s ,137 i=2,3,...,n, unde ks 138 este suma primilor k termeni.

2.74. Se dau n,m,l i se cunoate seria

1+1

3* 3+

1* 23* 5* 5

+1* 2* 3

3* 5* 7* 7+

1* 2* 3* 43* 5* 7* 9* 9

+...139

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 140 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 m i m+l*iv = s , v = s ,141 i=2,3,...,n, unde ks 142 este suma primilor k termeni.

2.75. Se dau n,m,l i se cunoate seria

1+1

3* 3+

1* 23* 5* 5

+1* 2* 3

3* 5* 7* 7+

1* 2* 3* 43* 5* 7* 9* 9

+...143

S se construiasc vectorul V = ( v ,v ,...,v )1 2 n 144 tiind c cele n componente ale vectorului V sunt sume pariale ale acestei serii, 1 l i l+miv = s , v = s ,145 i=2,3,...,n, unde ks 146 este suma primilor k termeni.

2.76. Se cunoate seria convergent din problema 2.69. S se determine suma parial sn a primilor n termeni

30

pentru care|s - s | < n n-1 147

pentru dat, n fiind cel mai mic numr natural posibil.

2.77. Se cunoate seria convergent din problema 2.70. S se determine suma parial sn a primilor n termeni pentru care

|s - s | < n n-1 148pentru dat, n fiind cel mai mic numr natural posibil.











2.83. S se tipreasc primii n termeni ai irului (xk) definit de relaia de recuren k k-1 k-1x = ( x + a / x ) / 2, pentru a i x0 numere reale date, pentru care |x - x |< 0.00001,n n-1 155 n fiind cel mai mic posibil.

2.84. S se tipreasc primii n termeni ai irului (xk) definit de relaia de recuren

k k-1k-1m-1x =

1m

* (m -1) x + a

x,

156

pentru m i a, x0 dai, pentru care |x - x |< 0.00001,n n-1 157 n fiind cel mai mic posibil.

2.85. S se tipreasc primii n termeni ai irului (xk) pentru care |x - x |< 0.00001,n n-1 158 n fiind cel mai mic posibil, n cazul irului

n

3 5n

2n+1

x = x - x3

+ x5

- ...+(-1 ) * x2n+1

159

pentru x dat.

2.86. S se tipreasc primii n termeni ai irului (xk) pentru care |x - x |< 0.00001,n n-1 160 n fiind cel mai

31

mic posibil, n cazul irului

n

2 n

x = 1+ x +x2!

+...+ xn!

161


n

2 n

x = 1+ x +x2!

+...+ xn!

163

pentru x dat.


n

32n+1

2n+1

x = x - x3!

+ ... +(-1 ) * x(2n+1)!

165

pentru x dat.

2.89. Se d f C2[a,b]. tiind c ecuaia f(x) = 0 admite o soluie unic r n intervalul [a,b] i c f' i f" nu-i schimb semnul pe [a,b], s se aproximeze r folosindmetoda tangentei (a lui Newton), deci folosind faptul c

r = lim xn n

unde n+1 n n nx = x - f( x ) / f ( x ), 166 n=0,1,2,... iar x0 este ales unul din capetele intervalului [a,b], notat cu c, i anume cel pentru care f(c)*f"(c)>0.

2.90. Fie f:[a,b] --> o funcie continu. Se tie c ecuaia f(x) = 0 are o singur rdcin n intervalul [a,b]. S se construiasc irul de intervale [ x , y ]i i 167, i =1,2,...,n, definit astfel:

1. [ x , y ] = [a,b]0 0 168 ;2. [ x , y ]i i 169 se obine mprind intervalul [ x , y ]i-1 i-1 170 n trei pri egale i lund partea care conine rdcina;3. n este cel mai mic numr natural pentru care n ny - x 171

33

CAPITOLUL 3

PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL

VECTORILOR

3.1. NUMRUL PUNCTELOR DIN CERC

Se dau n puncte n plan i un cerc. Se cere numrul punctelor care se afl n interiorul cercului.

RezolvarePunctele se dau prin coordonatele (xi,yi), i=1,2,...,n. Variabila nr va conine numrul punctelor din interiorul

cercului, care se d prin centrul O(a,b) i raza r.

Deci specificarea problemei este:

DATE n, { numrul punctelor date }(xi,yi, i=1,n), { coordonatele celor n puncte }a,b, { coordonatele centrului cercului }r; { raza cercului dat }

REZULTATE nr; { numrul punctelor aflate n interiorul cercului }

Pentru a calcula valoarea lui nr se iniializeaz cu 0 acest numr i se verific care dintre punctele (xi,yi) au distana fa de (a,b) mai mic dect r, deci se afl n cerc. Pentru fiecare rspuns afirmativ valoarea lui nr se mrete cu 1.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei este dat n continuare.

Algoritmul PUNCTE_IN_CERC este : DATE n, { numrul punctelor date } (xi,yi, i=1,n), { coordonatele celor n puncte } a,b, { coordonatele centrului cercului } r; { raza cercului dat }Fie nr:=0;Pentru i:=1,n execut Dac 2i

2i

2( x - a) +( y - b) < r 172 atunci nr:=nr+1 sf-dacsf-pentruREZULTATE nr; { numrul punctelor aflate n interiorul cercului }sf-algoritm.

Programul PASCAL este dat n continuare.

Program Nr_Puncte_n_cerc; {Programul 3.1 Nr. puncte ntr-un cerc}var n, { numrul punctelor date } i, { variabila de lucru - contor } nr : integer; { numrul punctelor aflate in cerc } a,b, { coordonatele centrului cercului } r : real; { raza cercului dat } x, { x[i] = abscisa iar } y:array [1..50] of real; { y[i] = ordonata punctului "i" }

begin

34

clrscr; writeln('Programul numr cte dintre n puncte date'); WRITELN('se afla in interiorul unui cerc dat'); for i:=1 to 3 do writeln; repeat write('n='); readln(n) until (n in [1..50]); for i:=1 to n do begin write('x[',i:2,']='); read(x[i]); write(' y[',i:2,']='); readln(y[i]); end; writeln; writeln('Datele privitoare la cerc:'); write('abscisa='); readln(a); write('ordonata='); readln(b); repeat write('raza (>0)=?'); readln(r) until r>0; writeln;

{ determinarea nr. de puncte interioare cercului } nr:=0; for i:=1 to n do if (x[i]-a)*(x[i]-a)+(y[i]-b)*(y[i]-b)

35

Fie i:=1; j:=1; k:=0; Cttimp im i jn execut Dac xi

36

END.

3.3. PROBLEME PROPUSE

3.1. Se d un polinom P(X) cu coeficieni reali. S se calculeze valoarea polinomului P(X) ntr-un punct x0 dat.

3.2. Se d un polinom P(X) cu coeficieni reali. S se verifice dac un numr dat r este rdcina acestui polinom.

3.3. Se d un polinom P(X) cu coeficieni reali. S se calculeze derivata acestui polinom.

3.4. Se d un polinom P(X) cu coeficieni reali. S se calculeze derivata de ordinul k a polinomului dat.

3.5. Se d un polinom de gradul n cu coeficieni ntregi. S se gseasc rdcinile ntregi ale polinomului dat.

3.6. Se d un polinom de gradul n cu coeficieni ntregi. S se gseasc rdcinile raionale ale acestui polinom.

3.7. Se dau dou polinoame P(X) i Q(X). S se calculeze suma lor.

3.8. Se dau dou polinoame P(X) i Q(X). S se calculeze produsul lor.

3.9. Se dau dou polinoame P(X) i Q(X).S se calculeze T(X)=P(Q(X)).

3.10. Se dau m,n i mulimile

A = { a , a ,..., a }B = { b , b ,..., b }

1 2 m

1 2 n173

S se calculeze C = A B.


A = { a , a ,..., a }B = { b , b ,..., b }

1 2 m

1 2 n174

S se calculeze C = A B.


A = { a , a ,..., a }B = { b , b ,..., b }

1 2 m

1 2 n175

S se calculeze C = A - B.

3.13. Se dau dou numere scrise n baza b. S se calculeze suma i diferena celor dou numere.

3.14. Se dau dou numere scrise n baza b. S se calculeze produsul celor dou numere.

3.15. Se dau dou numere scrise n baza b. S se gseasc ctul i restul mpririi primului numr la al doilea numr.

3.16. S se transforme un numr din baza p n baza q.

3.17. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se gseasc punctul cel mai deprtat de origine.

37

3.18. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se ordoneze n funcie de distana lor fa de axa OX.

3.19. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se ordoneze n funcie de distana lor la originea axelor de coordonate.

3.20. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se gseasc triunghiul de arie minim care are vrfurile n M.

3.21. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se gseasc numrul triunghiurilor care au vrfurile n mulimea M.

3.22. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se determine submulimea maxim de puncte coliniare.

3.23. Se d o mulime M de n puncte n plan. S se determine submulimea maxim de puncte cu proprietatea c oricare trei sunt necoliniare.

3.24. Se dau n puncte n plan, un cerc i o elips. S se gseasc punctele care sunt n interiorul cercului, dar nu se afl n interiorul elipsei.

3.25. Se dau n puncte n plan i un cerc. S se elimine punctele care se afl n interiorul cercului.

3.26. Se dau n puncte P1,P2,...,Pn n plan i un punct M. S se gseasc cte puncte sunt la o distan de punctul M mai mic dect un numr real r dat.

3.27. Se dau n puncte P1,P2,...,Pn n plan i un punct M. S se calculeze indicatorul Kod definit astfel:

Kod = 0, dac poligonul P1P2...Pn nu este convex;Kod este pozitiv dac poligonul este convex:Kod = 1, dac M este interior poligonului;Kod = 2, dac M este pe una din laturile poligonului;Kod = 3, dac M este exterior poligonului.

3.28. Se dau coordonatele vrfurilor unui poligon convex, n ordinea lor. S se gseasc diagonala cea mai lung.

3.31. Se dau n puncte n plan i ecuaia unei drepte. S se numere cte puncte se afl pe dreapt i s se afle punctul de distan maxim fa de dreapt.

3.32. Se dau n cercuri concentrice. S se gseasc inelul de arie maxim delimitat de dou cercuri consecutive.

3.33. Se dau n puncte pe un cerc. S se ordoneze n ordine trigonometric invers.

3.34. O funcie f : {1,2,...,m} ---> {1,2,...,n} se poate reprezenta n calculator printr-un vector F=(F1,F2,...,Fm) cu m componente, unde Fi = f(i). S se verifice dac funcia f, dat prin vectorul F este injectiv.

3.35. Se d o funcie f : {1,2,...,m} ---> {1,2,...,n} reprezentat aa cum se menioneaz n problema 3.34. S se verifice dac funcia f, dat prin vectorul F este surjectiv.

3.36. Se dau funciile f:{1,2,...,m} --->{1,2,...,n} i g:{1,2,...,n}---> {1,2,...,p}, reprezentate aa cum se menioneaz n problema 3.34. S se determine compunerea celor dou funcii date.

3.37. O aplicaie f : {1,2,...,n} ---> {1,2,...,n} bijectiv se numete permutare. Ea se poate reprezenta n calculator aa cum s-a artat n problema 3.34. Se d o permutare f. S se determine numrul inversiunilor permutrii f.

3.38. Se d o permutare f aa cum s-a artat n problema 3.37. S se determine ordinul permutrii date. Prin ordinul permutrii f se nelege cel mai mic ntreg k pentru care fk este aplicaia identic.

38

3.39. Se d o permutare f aa cum s-a artat n problema 3.37. S se calculeze inversa permutrii f.

3.40. Se dau dou permutri f i g aa cum s-a artat n problema 3.37. S se determine compunerea celor dou permutri date.

3.41. La un concurs de patinaj artistic se cunosc cele n note obinute de un concurent. S se calculeze punctajul lui, tiind c la calculul mediei nu se ia n considerare nota cea mai mic i cea mai mare obinut (o singur dat n cazul c sunt dou note egale, deci se face media aritmetic a n-2 note).

3.42. Pentru cei n studeni ai anului nti se cunosc notele mi, i=1,n, la primul examen. Se cere s se determine numrul studenilor cu nota 10, numrul studenilor cu note de 8 i 9 i s se tipreasc lista studenilor nepromovai.

3.43. Pentru cele 365 de zile ale unui an se cunosc cantitile de precipitaii zilnice pi, i=1,365. Se cere s se determine numrul zilelor fr precipitaii, mediile lunare i media anual a precipitaiilor i s se listeze zilele cu precipitaii ce depesc cantitatea a.

3.44. Se dau m,n , intervalele [ai-1,ai], i = 1,m i numerele reale x1,x2, ... , xn. Prin frecvena fi se nelege numrul valorilor xj care se afl n intervalul [ai-1,ai]. S se determine frecvenele f1,f2,... ,fm i s se listeze indicii j pentru care xj

39

CAPITOLUL 4

PROBLEME CU MATRICE

4.1. CONSTRUIREA UNEI MATRICE

Se dau numerele naturale m i n i un ir de numere reale X(i),i=1,2,...,m x n. S se genereze matricea A, cu m linii i n coloane, definit prin :

a(i, j)=x

(i j - i+1), (4.1)k=1

i j

k

176

pentru i=1,m i j=1,n.

Pentru rezolvarea problemei, algoritmul pe care-l vom descrie folosete un tablou unidimensional pentru irul X i un tablou bidimensional pentru matricea A. Deci specificarea problemei este:

DATE m, {numrul liniilor matricei A} n, (numrul coloanelor matricei A} X; {vector ce conine cele m*n numere date}REZULTATE A {Matrice de dimensiune m*n definit de (4.1)}

Deoarece n expresia ce definete elementele matricei A numitorul este ntotdeauna nenul (j=1,n este natural i i>0, natural) nu vom avea probleme la generarea matricei. Pentru a calcula suma elementelor x(k) pentru k de la 1 la i*j vom folosi o variabil auxiliar sum. Variabilele i,j,k sunt variabile de ciclare.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei este dat n continuare:

Algoritmul MATRICE este : {Se calculeaz A conform formulei 4.1}Date m, n, {m*n este dimensiunea matricei cerute} X; {X=(X(i),i=1,m*n) este un vector cu m*n componente date}Pentru i:=1 la m execut Pentru j:=1 la n execut sum:=0; Pentru k:=1 la i*j execut sum:=sum+X(k) sf-pentru; A(i,j):=sum/(i*j-i+1) sf-pentrusf-pentruRezultate A; {Matrice de dimensiune m*n definit de (4.1)}sf-algoritm

Programul PASCAL corespunztor este urmtorul:

Program matrice; { Programul 4.1. Construirea unei matrice A }Type sir=array[1..100] of real; mat=array[1..10,1..10] of real;Var m,n, {m*n este dimensiunea matricei cerute} i,j,k:integer; {variabile auxiliare}

40

X:sir; {X este un vector cu m*n componente date} A:mat; {Matrice de dimensiune m*n definit de (4.1)} sum:real; {variabil auxiliar; va conine o suma}begin Writeln('Se calculeaz o matrice A de dimensiune m*n'); writeln('dandu-se un vector X cu m*n componente'); write(' Dai numrul liniilor matricei : '); readln(m); write(' Dati numrul coloanelor matricei: '); readln(n); writeln(' Dai termenii irului X'); for i:=1 to m*n do begin write('x(',i,')=?'); readln(x[i]) end; for i:=1 to m do for j:=1 to n do begin sum:=0; for k:=1 to i*j do sum:=sum+x[k]; a[i,j]:=sum/(i*j-i+1) end; writeln; writeln; Writeln(' Matricea rezultat este:'); writeln; for i:=1 to m do begin for j:=1 to n do write(a[i,j]:8:1); writeln end; readlnend.

4.2. GENERAREA UNEI MATRICE DINTR-UN IR

Se dau m,n,k i numerele ntregi x1,x2,...,xk. Se cere s se construiasc o matrice A cu m linii i n coloane astfel nct elementele matricei s fie elementele irului n urmtoarea ordine: (considerm m=3 i n=4) x1 x6 x7 x12 x2 x5 x8 x11 x3 x4 x9 x10n cazul n care nu exist suficiente elemente n vectorul X, deci matricea nu se poate construi, se va da un mesaj de eroare.

Specificarea problemei este:DATE m,n, {dau dimensiunea matricei}

k, {numrul componentelor irului X}X; {vector de dimensiune k}

REZULTATE A {matrice de dimensiune m*n}

Se observ c elementele irului sunt puse n ordine pe coloane i anume pe o coloan de sus n jos, iar pe urmtoarea coloan de jos n sus. Pentru a deosebi cele dou cazuri vom folosi o variabil de control notat kod care ia dou valori posibile 0 i 1. Dac valoarea lui kod este 0 atunci pe acea coloan elementele din ir se pun ncepnd cu prima linie i pn la linia a m-a, iar dac valoarea lui kod este 1 atunci pe acea coloan elementele irului se pun ncepnd cu linia a m-a i pn la prima linie.

Variabile folosite: X - vector ce conine numerele date, de lungime k; A - matricea cerut; m,n - dimensiunile matricei; l - indice n ir; kod - variabila de control.

Algoritmul corespunztor este dat n continuare.

41

Algoritmul MATRICE2 este:DATE m,n, {dau dimensiunea matricei} k, {numrul componentelor irului X} X; {vector de dimensiune k}Dac m*n>k atunci Tiprete('Prea puine elemente n ir') altfel Fie j:=1; l:=1; kod:=0; Repet Dac kod=0 atunci kod:=1; Pentru i:=1,m execut aij:=xl; l:=l+1 sf-pentru altfel kod:=0; Pentru i:=m,1,-1 execut aij:=xl; l:=l+1 sf-pentru sf-dac pn cnd j>n sf-repet REZULTATE A {matrice de dimensiune m*n}sf-dac

Programul Pascal este:

Program matrice2; {Programul 4.2. Matrice dintr-un vector}Type sir = array[1..100] of integer; mat = array[1..10,1..10] of integer;Var m, n, {dimensiunile matricei} i, j, {indici linie-coloana in matricea A} k, {numr natural dat} l, {indice n ir} kod : integer; {variabila de control} X : sir; {vector ce conine numerele date, de lungime k} A : mat; {matricea cerut}Begin Writeln{'Se constuiete o matrice dintr-un ir de numere'); write('Dai dimensiunile matricei:'); readln(m,n); write('Dai dimensiunea irului:'); readln(k);

{ Dac elementele irului nu } if m*n > k { "umplu" matricea se } then write('Prea puine elemente in ir') { semnaleaz eroare } else begin for i := 1 to k do begin write('x(',i,')='); readln(x[i]) end; j:=1; l:=1; kod:=0; repeat if kod = 0 then begin for i:=1 to m do { pe coloan de sus in jos } begin a[i,j]:= x[l]; l:=l+1 end; kod:=1 {se schimba valoarea lui kod} end else begin { pe coloana } for i:=m downto 1 do { de jos in sus } begin a[i,j]:=x[l]; l:=l+1 end; kod := 0 { se schimba valoarea lui kod} end; j := j+1 until j>n; {se repeta pana cnd s-a completat coloana n} for i:= 1 to m do { tiprete linia i a matricei } begin

42

for j := 1 to n do write(a[i,j]:5); writeln end endend.


n cele ce urmeaz vom nota prin Mm,n(D) mulimea matricelor cu m linii i n coloane avnd toate elementele din domeniul D. n cazul m=n, deci al matricelor ptrate, vom nota Mn,n(D) = MPn(D). Prin Z vom nota mulimea numerelor ntregi, iar prin R mulimea numerelor reale. Prin Vn(D) se noteaz mulimea vectorilor cu n componente, toate elemente din domeniul D.

4.1. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se calculeze raportul dintre cel mai mic element i cel mai mare element al matricei.

4.2. Se d o matrice A Mm,n(R). S se adauge a (n+1)-a coloan acestei matrice, definit prin:

A(i,n+1)= A(i, j)j=1

n 177 , pentru i=1,m. 4.3. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se formeze un vector cu n componente, astfel nct componenta a i-a s fie

egal cu elementul maxim din coloana a i-a a matricei.

4.4. Se d o matrice A Mm,n(R). S se determine linia i coloana care conin cel mai mic element pozitiv.

4.5. Se d o matrice A Mm,n(R+). Dac vi este valoarea maxim din linia i s se calculeze:w = { v | i = 1,m}imin 178.

4.6. Se d o matrice A Mm,n(R). S se tipreasc indicii liniilor care conin elemente negative. S se formeze apoi matricea B, obinut din matricea A prin eliminarea acestor linii.

4.7. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se schimbe ntre ele liniile matricei A astfel ca prima coloan s devin ordonat cresctor.

4.8. Se d o matrice A Mm,n(R+) i un interval [,]. S se rein ntr-un vector X toate elementele matricei aflate n intervalul [,].

4.9. Se d o matrice A Mm,n(R+). Pentru fiecare linie s se scad din elementele sale valoarea minim din acea linie.

4.10. Se d o matrice A Mm,n(R). S se construiasc vectorul X =( x , x , ..., x )1 2 k 179 ce reprezint indicii liniilor care conin valori nule.

4.11. Se d o matrice A Mm,n(R). S se tipreasc matricea A completat cu o nou coloan n care elementul din linia a i-a este egal cu cel mai mare numr negativ din linia a i-a, dac exist elemente negative, respectiv cu 10 cnd nu exist elemente negative.

4.12. Se d o matrice A Mm,n(R+) i numerele naturale l i k (1

43

pozitive din linia respectiv. Dac ntr-o linie nu exist elemente pozitive, linia rmne neschimbat.

4.15. Se d o matrice A Mm,n(R). S se calculeze media aritmetic a elementelor matricei aflate deasupra diagonalei principale, precum i media armonic a elementelor pozitive care se gsesc sub diagonala principal.

4.16. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se verifice dac exist dou linii proporionale n matricea dat.

4.17. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se construiasc un vector X de n componente, astfel nct X(i) s fie numrul elementelor distincte din coloana a i-a, pentru i=1,2,...,n.

4.18. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se schimbe ntre ele liniile matricei astfel nct irul sumelor 1 2 ms , s ,..., s 180 s fie ordonat descresctor, unde

ij=1

n

ijs = a , i = 1,m 181.

4.19. Se d o matrice A Mm,n(B2), unde B2 ={0,1} i se consider c elementele unei linii sunt cifrele unui numr ntreg scris n binar. S se gseasc numerele ntregi corespunztoare liniilor matricei.

4.20. Se d o matrice A Mm,n(R+). Poziia ( i , j )0 0 182 se numete punct a dac:a) 0 0i , ja 183 este maxim pe coloana j0;b) 0 0i , ja 184 este minim pe linia 0i 185.

S se tipreasc toate punctele a dac exist astfel de puncte sau un mesaj corespunztor n caz contrar.

4.21. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se formeze matricea B cu m linii i n coloane unde ij ij2b = ( a - )max

, unde max este cel mai mare element al matricei A.

4.22. Se d o matrice A Mm,n(R+). S se formeze matricea B cu m linii i n coloane unde

ijij

i in 1j mjb =

a , i < j( a 1+ a + a + a ) / 4, .

dacaaltfel

187

4.23. Se d o matrice A Mm,n(R+). Se dau numerele x i y. S se formeze matricea B cu m linii i n coloane unde

ij

ij

ij

ij

b = -1, a (x, y) 0, a {x, y} 1, a [x, y].

dacadacadaca

188

4.24. Se d A Mm,n(R). S se formeze matricea B cu m linii i n coloane unde:ij ik ijb = | { a | k = 1,2,...,n}| - amax 189.

4.25. Se d A Mm,n(R+). S se formeze matricea B cu m linii i n coloane, n care elementul bij se definete ca suma elementelor matricei A aflate pe linia i, mai puin elementul aflat pe coloana j.

44

4.26. Se d A Mm,n(Z). S se formeze matricele B i C cu m linii i n coloane unde

ijij ij

b = a , a

0, ,daca este par

altfel

190 ij

ij ijc =

a , a 0, .

daca este imparaltfel

191

4.27. Se d A Mm,n(R+). Se dau numerele reale x, y, z, cu x < y < z. S se formeze matricea B cu m linii i n coloane, unde

ij

ij

ij

ij

ij

b =

0 , a < x 1 , x a < y 2 , y a < z

3 , a z.

dacadacadaca

daca

192

4.28. Se d A Mm,n(R+). S se determine vectorii B i C definii astfel :

i ij

ji=1

m

ij i

b = { a | j = 1,2,...,n } , i = 1,2,...,m

c = a b , j = 1,2,...,n.

max

193

4.29. Se d A Mm,n(Z). Fiind dat un numr natural p, s se formeze vectorul X cu m componente, unde xi reprezint numrul elementelor din linia a i-a a matricei A care sunt divizibile cu p.

4.30. Se d A MPn(R). S se determine linia l ce conine cel mai mare element al diagonalei principale i apoi s se schimbe linia i coloana l cu linia, respectiv coloana nti.

4.31. Se d A Mm,n(R+). S se formeze un vector de n componente, n care componenta vi a vectorului s fie egal cu raportul dintre suma elementelor din linia i i suma elementelor din coloana i.

4.32. Se d A MPn(R). S se calculeze E=MDP-MDS, unde MDP este maximul dintre sumele elementelor aflate pe diagonale paralele cu diagonala principal, iar MDS este minimul dintre sumele elementelor aflate pe diagonalele paralele cu diagonala secundar.

4.33. Se d A MPn(R). S se ordoneze liniile i coloanele matricei astfel nct elementele de pe diagonala principal s fie ordonate cresctor.

4.34. Se d A MPn(R). n fiecare linie s se schimbe ntre ele elementele care se gsesc pe diagonala principal

45

cu cele care se gsesc pe cea secundar.

4.35. Se d A MPn(R). S se determine vectorii X i Y cu n componente, unde:X(i) = numrul elementelor pozitive din linia i;Y(i) = numrul elementelor negative din coloana i .

4.36. Se d AMPn(R). S se calculeze suma primelor n puteri ale matricei A.

4.37. Se d A MPn(R). S se calculeze matricea P = A*AT, unde AT reprezint transpusa matricei A.

4.38. Se d X Vn(R). S se genereze o matrice A MPn(R) astfel nct elementele matricei s reprezinte elementele vectorului X scrise n urmtoarea ordine: X(1) X(2) ... X(n-1) X(n) X(4n-4) X(4n-3) ... X(.) X(n+1) . . ... . . X(3n-2) X(3n-3) ... X(2n) X(2n-1).

4.39. Se d X Vn(R). S se genereze o matrice ptrat A de ordin maxim posibil, astfel nct elementele matricei s reprezinte elementele vectorului X scrise n urmtoarea ordine: X(1) X(2) X(5) X(10) ... X(4) X(3) X(6) X(11) ... X(9) X(8) X(7) X(12) ... X(16) X(15) X(14) X(13) ... . . .

4.40. Se d X Vn(R). S se genereze o matrice A ptrat de ordinul m, cu m maxim posibil, astfel nct elementele matricei s reprezinte elementele vectorului X scrise n urmtoarea ordine: X(1) X(2) X(4) X(7) ... X(3) X(5) X(8) ... X(6) X(9) ... X(10) ...

4.41. Se d X Vn(R). S se genereze o matrice ptrat A de ordinul m, cu m maxim posibil, astfel nct elementele matricei s reprezinte elementele vectorului X scrise n urmtoarea ordine: X(1) X(2) X(6) X(7) X(15) ... X(3) X(5) X(8) X(14) ... X(4) X(9) X(13) ... X(10) X(12) ... X(11) ...

4.42. Se dau m i X Vn(R) pentru n=m2. S se construiasc o matrice ptrat de ordinul m, dac este posibil, astfel: - deasupra diagonalei principale elementele matricei sunt elementele irului ncepnd cu x1, scrise n ordine pe linii; - elementele de pe diagonala principal sunt ai,i = xi*i; - elementele de sub diagonala principal se calculeaz astfel:

ai,j = max{ xj, ... , xi }.

4.43. Se d X V2n(R). S se construiasc o matrice ptratic de ordinul n astfel: se completeaz diagonala principal de sus n jos cu elemente consecutive din ir ncepnd cu x1; deasupra diagonalei principale se completeaz matricea paralel cu diagonala principal, de sus n jos, cu elemente succesive din ir, ncepnd cu xn+1, iar sub diagonala principal elementul din linia i i coloana j a matricei este egal cu elementul xj+i al irului.

4.44. Se d X V2n(R). S se construiasc o matrice ptratic de ordinul n astfel nct:

46

a = { x ,...,x }, i

{ x |x < 0,k = 1, j}, i .i, ji n

k k

min daca este parmax daca este impar

194

4.45. Se dau m, n . S se formeze matricea A Mm,n(R) din elementele irului 1,1,2,4,3,9,27,1,4,16,5,25,125,...

scrise n ordine pe linii. (Se va observa c irul este obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr par p cu o secven format din numerele 1,p,p2 i a numrului impar i>1 cu o secven format din numerele i,i2,i3) .

4.46. Se dau m, n . S se formeze matricea A Mm,n(R) din elementele irului 1, 2,2, 1,2,3, 4,4,4,4, 1,2,3,4,5, 6,6,6,6,6,6, 1,2, 3,4,5,6,7, 8,8,8,8,8,8,8,8, 1,2,...

scrise n ordine pe coloane. (Se va observa c irul este obinut din irul numerelor naturale prin nlocuirea fiecrui numr par p cu o secven format din p numere toate egale cu p i a numrului impar i cu o secven format din numerele 1,2,...,i).

4.47. Se dau m,n i X Vm*n(R). S se genereze o matrice A Mm,n(R) definit astfel:

a = ( x + x +...+ x ) / (ij - i+1) , x > 0

{ x ,x ,...,x } , x 0iji i+1 ij i

i i+1 ij i

dacamax daca

195

pentru i=1,2,...,m i j=1,2,...,n.

4.48. Se dau m,n i X Vm*n(R). S se genereze o matrice A Mm,n(R) definit astfel:

a = xijl=(i-1)n+1

(i-1)n+ j

l 196pentru i=1,2,...,m i j=1,2,...,n.

4.49. Se dau 2 numere naturale m i n. S se construiasc matricea AMm,n(R) definit astfel : 0 , dac i+j este numr prim

A(i,j) = 1 , dac i+j este numr perfect neprim 2 , n caz contrar,

pentru i=1,2,...,m i j=1,2,...,n. 4.50. Fie B o matrice definit astfel:

0 , dac i+j este numr primB(i,j) =

1 , altfel,pentru i=1,2,...,m i j=1,2,...,n i fie matricea C de aceleai dimensiuni, n care linia i reprezint numrul 2i+1 scris n baza 2. S se determine matricea A = B + C, adunare modulo 2.

4.51. S se construiasc matricea A definit prin : cos(i*j) , dac i*j < m*n/2

A(i,j) = sin(i+j) , n caz contrar,

pentru i=1,2,...,m i j=1,2,...,n.

4.52. Se d a R i fie M(1)=a. S se formeze matricea ptrat A de ordinul n de forma M(1) M(12) M(11) M(10)

47

M(2) M(13) M(16) M( 9) M(3) M(14) M(15) M( 8) M(4) M( 5) M( 6) M( 7)(n cazul n=4) dac M(k) = I + 10M(k-1)2 197pentru k = 2,3,...,n*n, unde pI 198 reprezint rsturnatul numrului p (exemplu: rsturnatul numrului 123 este numrul 321)

4.53. Un labirint n care exist numai drumuri (poteci, alei) orizontale i verticale, se reprezint cu ajutorul unei matrice, n care un ir de zerouri reprezint un drum, un ir de 1 un zid. Se d o poziie iniial n interiorul labirintului. S se gseasc cel mai scurt drum pe care se poate iei din labirint.

4.54. Se d o matrice cu elemente cuvinte de maximum 30 de litere sau spaii. S se afle frecvena vocalelor n cuvinte:

- pe linii;- pe coloane;- n matrice.

4.55. Se dau vectorii A Vm(R) i B Vn(R). S se formeze matricea CMm,n(R) dac

c(i, j) = a(k)

b(k)

k=1

i

k= j

n

199

n cazul n care numitorul este nul, c(i,j)=-1.


iji j

1 m 1 nc =

a * b{ a ,...,a ,b ,...,b }max

200

n cazul n care numitorul este nul se ia cij = min{ai, bj}.

4.57. Se dau vectorii A Vm(R) i B Vn(R). S se formeze matricea CMm,n(R) dacij i i j jc = { a , b , a + b }, i = 1,2,...,m, j = 1,2,..nmax 201.


ijk=1

i

kp=1

j

pc = a b 2024.59. Se dau dou matrice A,B Mm,n(R). S se determine matricea C Mm,n(R) unde

ij ij ijc = {a ,b } , i = 1,m j = 1,nmax 203.

4.60. Se dau dou matrice A,B MPn(R). S se determine matricea C MPn(R) definit prin:ij ik kjc = { a + b | k = 1,2,...,n}.min 204

4.61. Se dau dou matrice A,B Mm,n(R). S se determine matricea CMm,n(B2) unde

48

ijij ij

ij ijc =

0 , a b 1 , a = b .

dacadaca

205

4.62. Se dau dou matrice A,B Mm,n(R). S se gseasc mulimea indicilor i pentru care:

j=1

n

ijj=1

n

ija < b . 2064.63. Se cere s se genereze matricea A, ptratic de ordinul n, definit astfel:

C(j,i), dac i 0 reprezentnd distana de la obiectul i la obiectul j (msur a gradului de disimilaritate dintre obiectele i i j). S se determine toate mulimile nevide de perechi de obiecte pentru care k-1 < d(i,j) k ( k , 0 k max{d(i,j) i,j=1,...,n}).

4.65. S se tipreasc toate matricele ptrate de ordinul 4 care au un singur 1 pe fiecare linie i pe fiecare coloan iar n rest 0.

4.66. Fie A,B,C MPn(R) trei matrice diagonale, iar D MP2n(R) o matrice cu structura:

D = A BB C

207

X i P fiind 2 vectori coloan de dimensiune 2n cu componente reale, s se ntocmeasc un algoritm i s se scrie un program pentru rezolvarea sistemului D X = P.

4.68. Se dau numerele ntregi 1 2 n nx , x ,..., x [0,2 ) . 208 S se tipreasc matricea ptrat de ordinul n care are proprietatea c linia a i-a a acestei matrice reprezint numrul xi n baza doi.

4.69. Se d A Mm,n(B2). S se determine numerele a cror reprezentri n baza 2 sunt date de coloanele matricei.

4.70. Se d X Vn(R). S se formeze matricea A MPn(R) cu elementele:

ij

k l

k2

l

i i+1 j

a = { x |k j si k i} , j i x > 0, l = j, j +1,...,i{ x | j k i}, j i x 0, l = j, j +1,...,i

( x + x +...+ x ) / (j - i+1), j > i .

max daca simin daca si

daca

209

49

CAPITOLUL 5

SUBALGORITMI

5.1. REUNIUNEA UNOR MULIMI

Se consider, trei mulimi A, B, C. Se cere un program care afieaz:- elementele mulimii A n ordine cresctoare;- elementele mulimii B n ordine cresctoare;- elementele mulimii C n ordine cresctoare;- elementele mulimii A B n ordine cresctoare;- elementele mulimii B C n ordine cresctoare;- elementele mulimii C A n ordine cresctoare.

Rezolvare.Pentru realizarea programului este necesar construirea a patru proceduri specificate n continuare:- o procedur pentru citirea unei mulimi: CIT(n,A);REZULTATE n,A {primesc valori prin citire}

- o procedur pentru ordonarea unui ir: ORDON(r,X);DATE {de intrare} r, {numrul componentelor vectorului X} X; {vector cu n componente}REZULTATE X {la ieirea din subalgoritm vom avea: }

{ x1 < x2 < ... < xn }

- o procedur pentru calculul reuniunii a dou mulimi: REUN(n,m,A,B,nm,AUB);DATE {de intrare} n, {numrul elementelor mulimii A} m, {numrul elementelor mulimii B} A, {mulimea {a1, a2, ... , an } } B; {mulimea {b1, b2, ... , bm } }REZULTATE nm, {numrul elementelor reuniunii } AUB {AUB = A B }

- o procedur pentru tiprirea unei mulimi: TIPAR(n,A,ch);DATE {de intrare} n, {numrul elementelor mulimii A} A, {mulimea {a1, a2, ... , an } } ch; {caracter considerat numele mulimii}REZULTATE afiarea elementelor mulimii

- o procedur pentru ordonarea i apoi tiprirea unui ir: TIPORDON(r,X,ch);DATE {de intrare} r, {numrul componentelor vectorului X} X, { vector cu n componente arbitrare } ch; {caracter considerat numele mulimii}REZULTATE *ordonarea componentelor vectorului X i * afiarea elementelor ordonate cresctor

- o procedur pentru calculul reuniunii a dou mulimi, cu ordonarea i tiprirea rezultatului: TIPREUN(n,m,A,B,nm,AUB).

50

aceeai semnificaie ca la procedura REUN, dar, n plus, se tiprete AUB.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei, descris n limbajul PSEUDOCOD, este urmtorul:

Algoritmul Exemplu1 este: Cheam CIT(n,A); { A e vectorul care conine n componentele }

{ sale cele n elemente ale mulimii A} Cheam CIT(m,B); { Citete mulimea B} Cheam CIT(p,C); { Citete mulimea C} Cheam TIPORDON(n,A); Cheam TIPORDON(m,B); Cheam TIPORDON(p,C); Cheam TIPREUN(n,A,m,B,n1,AB); { Tiprete pe AB := A U B} Cheam TIPREUN(m,B,p,C,m1,BC); Cheam TIPREUN(p,C,n,A,p1,CA);Sf-algoritm.

Subalgoritmii apelai mai sus sunt descrii n continuare:

Subalgoritmul ORDON(r,X) este: {Ordoneaz componentele lui X} Repet {examineaz toate componentele} Fie sch:= 0; {ipoteza c sunt ordonate} Pentru i:= 1, r-1 execut Dac i i+1x > x 210 atunci Fie xx:= ix ; 211 Fie i i+1x := x ; 212 Fie i+1x := xx;213 Fie sch:=1; {reine c n-au fost ordonate} sf-dac sf-pentru pncnd sch=0 sf-repetsf-ORDON

Subalgoritmul REUN(n,A,m,B,n1,AUB) este: {AUB := A B} Pentru i:=1, n execut i iAUB := A ; 214 sf-pentru Fie n1:=n; Pentru j=1, m execut Fie i:=1; Cttimp ( B A ) si (i n)j i 215 execut i:=i+1 sf-cttimp Dac i>n atunci Fie n1:=n1+1; 216 sf-dac sf-pentrusf-REUN

Subalgoritmul TIPORDON(r,X,ch); {Ordoneaz i apoi tiprete}{ cele n componente ale vectorului X}

{ch=numele mulimii reprezentat n vectorul X} Cheam ORDON(p,X); Cheam TIPAR(r,X,ch); sf-REUN

Subalgoritmul TIPREUN(n,A,m,B,n1,AUB,ch) este: { AUB:= A B}{Ordoneaz i tiprete pe AUB}

Cheam REUN(m,B,p,C,m1,BC); Cheam TIPORDON(r,X,ch);sf-TIPREUN

51

Traducerea algoritmului n limbajul PASCAL este urmtoarea: Program exemplu1; { Programul 5.1 }

{operaii cu mulimi reprezentate ca vectori}Type sir = array [1..30] of real; s3 = string[3];Var n, m, p, n1, m1, p1 : integer; a, b, c, {a,b,c conin elementele a trei mulimi de numere } ab, bc, ca : sir;

Procedure cit(var n: integer; var a: sir; ch: s3); {Citete n si }{ mulimea a cu n elemente}

{ch=numele mulimii citite}var i: integer;begin write('nr. elementelor mulimii ', ch, ' este:'); readln(n); for i := 1 to n do begin write(ch, '[', i, ']='); readln(a[i]) end;end;

Procedure tipar(n: integer; a: sir; {Tiprete mulimea a cu} ch: s3); {numele ch avnd n elemente}var i: integer;begin writeln('elementele mulimii ', ch, ' sunt:'); for i := 1 to n do writeln(ch, '[', i, ']=', a[i]);end;

Procedure ordon(r: integer; {Ordoneaz cresctor elementele} var x: sir); {vectorului X cu r componente}var xx: real; i, sch: integer;begin repeat sch := 0; for i := 1 to r-1 do if x[i] > x[i+1] then begin xx := x[i]; x[i] := x[i + 1]; x[i + 1] := xx; sch := 1 end; until sch = 0;end;

Procedure tipordon(r: integer; var x: sir; nume:string);var xx: real; i, sch: integer;begin ordon(r, x); tipar(r, x, nume);end;

Procedure reun(n, m: integer; A,B: sir; {Calculeaza A B} var n1:integer; var AUB:sir);

52

var i, j: integer;begin n1 := n ; for i := 1 to n do AUB[i] := A[i]; for j := 1 to m do begin i := 1; while (B[j]A[i]) and (i n then begin n1 := n1+1; AUB[n1] := B[j]; end; end;end;

Procedure tipreun(n, m: integer; A,B: sir; {Calculeaz reuniunea,} var n1: integer; {ordoneaz elementele i} var AUB:sir; nume:string); {tiprete rezultatul}var xx: real; i, sch: integer;begin reun(n, m, A, B, n1, AUB, nume); ordon(n1, AUB); tipar(n1, AUB, nume);end;

Begin {programul principal} cit(n, a, 'A'); cit(m, b, 'B'); cit(p, c, 'C'); tipordon(n, a,'A'); tipordon(m, b,'B'); tipordon(p, c,'C'); tipreun(n, m, a, b, n1, ab,'AUB'); tipreun(m, p, b, c, m1, bc,'BUC'); tipreun(p, n, c, a, p1, ca,'AUC');end.

5.2. NUMERE PRIME

S se scrie un program care determin primele n numere prime (n>3), folosind o funcie care stabilete dac un numr este prim sau nu.

Specificarea problemei:

DATE n; {nN, n>3}REZULTATE (pj,j=1,n); {p1,p2,...,pn sunt primele n numere prime}

Pentru rezolvarea problemei vom utiliza o funcie de tip boolean "PRIM(n)" care ntoarce "true" dac numrul natural n este prim i "false" n caz contrar. Algoritmul funciei are la baz ideea de a cuta divizori ai lui n ntre primele n/2 numere naturale.

Algoritmul poate fi util n multe probleme, motiv pentru care l vom descrie ca subalgoritm ce poate fi apelat oricnd este nevoie de el. Vectorul P va reine cele n numere prime. n variabila i vom avea urmtorul candidat, numr natural care uneori este prim. Primele dou numere prime fiind 2 i 3, la nceput vom iniializa pe i cu 5. Prin k s-a notat numrul numerelor prime gsite. Subalgoritmul NRPRIME este urmtorul:

Subalgoritmul NRPRIME(n,P) este: {Se caut n numere prime} Fie i:=5; p1:=2; p2:=3; k:=2; Repet

53

Dac prim(i) atunci Fie k:=k+1; pk:=i; sf-dac; Fie i:=i+2; pn cnd k=n sf-repetsf-NRPRIME

Funcia PRIM(n) este: prim:=true; Pentru i:=2, n/2 execut Dac n mod i = 0 atunci prim:=false sf-dac sf-pentruSf-PRIM

Programul PASCAL cerut este urmtorul:

Program exemplu2; {Programul 5.2. Gsete primele n numere prime }Type vector = array[1..999] of integer;Var n, { numrul numerelor gsite } i : integer; { variabila contor in P } P : vector; { Vectorul numerelor prime }

function prim(n: integer): boolean; {Dac n e prim atunci TRUE}var i: integer;begin prim := true; for i := 2 to n div 2 do if n mod i = 0 then prim := false;end;

Procedure NRPRIME(n:integer; { In vectorul P se obin } Var P:vector); { primele n numere prime }Var k:integer;begin i := 5; k := 2; P[1]:=2; p[2]:=3; repeat if prim(i) then begin k:= k+1; P[k]:=i end; i:= i+2; until k > n;end;

begin {programul principal} write('cate numere prime va intereseaz?'); readln(n); NRPRIME(n,P); writeln('primele ', k, ' numere prime sunt urmtoarele:'); For i:=1 to n do begin write(P[i]:4); If i mod 5 = 0 then writeln endend.


54

5.1. S se calculeze valoarea ntr-un punct a unui polinom i a tuturor derivatelor sale, folosind pentru aceasta - o procedur de derivare a unui polinom;- o funcie care ntoarce ca rezultat valoarea polinomului ntr-un punct x dat.

5.2. Se dau polinoamele P, Q, R :P = pmXm + ... + p1X + p0,Q = qnXn + ... + q1X + q0,R = rkXk + ... + r1X + r0.

S se tipreasc produsele P Q, Q R, R P 217 n ordinea indicat.

5.3. Folosind un subalgoritm pentru efectuarea produsului P = Q R 218 a dou polinoame Q i R, tiprii polinoamele (x + 1)n pentru n = 1,2,...,12.

5.4. Se cere programul care, folosind cel mult trei iruri, determin rezultatul: a) reuniunii a n mulimi; b) interseciei a n mulimi.

5.5. Se cere programul pentru calculul:a) produsului a n matrice ptratice;b) puterii a n-a a unei matrici ptratice.

5.6. Se cere programul de calcul al produsului a n polinoame.

5.7. Se cere un program care calculeaz, cu ajutorul unui subalgoritm, media aritmetic a elementelor maxime corespunztoare fiecrei linii a unei matrici, iar apoi afieaz aceast valoare pentru trei matrice distincte A, B, C.

5.8. Fie f1, f2, ..., fn n polinoame. Se cere un program care calculeaz valoarea sumei celor n polinoame ntr-un punct dat folosind: - o procedur de calcul a sumei a dou polinoame; - o funcie de calcul a valorii unui polinom ntr-un punct folosind schema lui Horner.

5.9. Fie f i g dou polinoame. Se cere s se calculeze valoarea funciilor fg i gf ntr-un punct dat, folosind o funcie de calcul a valorii unui polinom ntr-un punct.

5.10. Folosind dezvoltarea n serie:

arcsin x = x + 12

x3

+ 1 32 4

x5

+ 1 3 52 4 6

x7

+ ...3 5 7

219

s se defineasc o funcie PASCAL care calculeaz arcsin x cu precizia = 10 .-6 220 S se tipreasc apoi valorile:

iv = 1i

, i = 2,3,...,marcsin 221.

55

5.11. Fie irul x1,x2,...,xn. Se cere un program care determin i tiprete cea mai lung secven din irul dat care are o anumit proprietate P folosind: - o funcie care descrie proprietatea P i ntoarce lungimea secvenei care are proprietatea P i ncepe cu kx 222 - o procedur care determin secvena cerut.(De exemplu, proprietatea P poate cere ca doi termeni vecini s aib semne diferite).

5.12. Folosind un subalgoritm care rezolv ecuaia f(x) = 0 (care are o soluie unic n intervalul [a,b]) prin metoda njumtirii, tiprii tabelul de mai jos:

i i3 223 i5 224

2 ... ...

3 ... ...

. . .

. . .

. . .

10 ... ...

Observaie. Radicalul r = mn 225 se calculeaz prin rezolvarea ecuaiei nt = m 226.

5.13. Se dau m,n,p N i trei iruri X: x1,x2,...,xn; Y: y1,y2,...,ym; Z: z1,z2,...,zp de numere ntregi. Pentru fiecare ir se cere s se calculeze i s se afieze frecvenele de apariie ale cifrelor 0,1, ..., 9 n scrierea numerelor din irurile date.

5.14. Fie o grup de studeni care au susinut 5 examene ntr-o sesiune. S se scrie programul care afieaz:- primii 6 studeni n ordinea mediei generale obinute;- studenii care nu au promovat cel puin trei examene.

5.15. S se scrie un program care genereaz un ir aleator de m numere ntregi i care stabilete frecvena de apariie n acest ir a:

- numerelor prime;- numerelor divizibile cu 13.

Observaie. Pentru generarea unui numr aleator se vor folosi funcia i respectiv procedura predefinit RANDOM i RANDOMIZE.

5.16. Fie nN i x1, x2,..., xn un ir de numere naturale date. S se scrie un program care gsete:a) media aritmetic a acestor numere;b) maximul din irul y1,y2,...,yn unde yi se obine n felul urmtor:

1 1 i i i-1 i i-1y = x , y = ( x div x ) * ( x + x ) , i = 1,2,...,n.227.c) S se scrie o funcie boolean care stabilete dac cele dou iruri au i alte elemente comune n afara

primului.

5.15. Dou numere prime p, q se numesc gemeni dac p = q + 2. S se determine primele n perechi de gemeni.

5.18. Trei numere ntregi a, b, c, a < b < c se numesc pitagorice dac 2 2 2c = a + b 228, iar dou triplete ( a ,b ,c )1 1 1 229 i ( a ,b ,c )2 2 2 230 sunt considerate a fi asemenea dac

1

2

1

2

1

2

aa

= bb

= cc

231.

Se d nN i mulimea de numere ntregi X = {xi i=1,2,...,n}. Se cere s se afieze mulimea tripletelor pitagorice din mulimea dat i clasele determinate de relaia de asemnare pe aceast mulime.

56

5.19. Fie 1 2 nA , A , ..., A 232 n mulimi de numere. S se scrie programul care determin mulimea:

A = (...( A A ) A ) ... A ) A1 2 3 n-1 n 233,folosind pentru aceasta o procedur de calcul a mulimii:

A B = (A - B) (B - A) 234.Observaie. Pentru rezolvarea problemei se vor utiliza cel mult trei iruri.

5.20. Fie I o mulime de subintervale ale intervalului [a,b].a) S se formeze o diviziune X a intervalului [a,b]

a = x < x < x < ... < x = b0 1 2 n 235care are ca puncte capetele subintervalelor din I;

b) S se calculeze valorile i iv = f( x ) 236, unde f( x )i 237 este numrul de subintervale din I n care se afl ix 238.

5.21.tiind c irul X: 4,2,6,2,3,8,2,4,9,3,10,...

este obinut din irul numerelor naturale prin eliminarea numerelor prime i scrierea dup fiecare numr compus a divizorilor si proprii, s se genereze urmtoarea matricea de ordinul n:

A =

x x . . . . . .

x x x . . . . .

. x x x . . . .

. . . . . . . .

. . . . . x x x

. . . . . . x x

1 n+1

2n 2 n+2

2n+1 3 n+3

3n-3 n-1 2n-1

3n-2 n

239.

S se tipreasc n final A, A , ..., A .2 n 240

5.22. Se dau nN i numerele 1 2 nx , x , ..., x 241. Se cere programul care genereaz matricea de dimensiune mxk 242 care are pe liniile sale n ordine elemente din irul: 1 2 n 1 2 nx , x , ..., x , x , x , ..., x , ... . 243

5.23. tiind c irul { x }n 244:1,2,3,2,5,2,3,7,2,4,3,2,5,11,...

este format din irul numerelor naturale n care fiecare numr compus este nlocuit prin divizorii si proprii, s se genereze matricea:

A =

x x . . . x

x x . . . x

. . . . . .

x x . . . x

1 2 m

m+1 m+2 2m

(m-1) m+1 (m-1) m+2 m2

245.

5.24. S se scrie un program care rezolv ecuaia matriceal:A X + B = C 246,

unde A,B,C 247 3x3M 248 i X este vectorul necunoscut.

5.25. S se scrie un program pentru rezolvarea unui sistem liniar de patru ecuaii cu patru necunoscute folosind

57

metoda lui Kramer. Programul va stabili mai nti dac sistemul este compatibil i unic determinat.

5.26. Se dau nN i vectorii X, Y cu n componente numere reale. S se calculeze valorile:

i i

i i

i i

i i

v = f( x ) = g( x ), x < 0,l( x ), x = 0,h( y ), x > 0,

dacadacadaca

249

pentru i=1,2,...,n, unde:

{ }{ }

g( x ) = x , x , ... , x ,

h( y ) = y , ... , y ,i 1 2 i

i i n

max

min250

pentru i=1,2,...,n, iar l( x )i 251 este media aritmetic a numerelor pozitive din irul { nx 252} cu valoare mai mic dect | y |i 253.

5.27. Se dau m,nN i o matrice mxnA ( n 10) 254 ale crei elemente sunt cifre de la 0 la 9 i n

68depagini de probleme rezolvate si teorieinpascal

Documents