67229560 mecanica-vectorial-para-ingenieros

Contenido

Prefacio Lista de simboios

CAP~TULO ONCE C~NEMATICA DE PARTICULAS 11.1 Intrduccion a la dinamica

Movimiento rectilineo de partrculas 11.2 Posicion, velocidad y aceleracion 11.3 Determinacion del movimiento de una particula 11.4 Movimiento rectilineo uniforme 11.5 Movimiento rectilineo uniformemente acelerado 11.6 Movimiento de varias particulas

*11.7 Solucion grafica de problemas de movimiento rectilineo

*11.8 Otros metdos graficos

Movimiento curvilineo de particulas 11.9 Vector de posicion, velocldad y aceleracion 11 .I 0 Derivadas de funciones vectoriales 11.11 Componentes rectangulares de la velocidad y la

aceleracion 11.12 Movimiento reiativo a un sistema de referencia

en traslacion 11.1 3 Componentes tangenciai y normal 11.14 Componentes radial y transversal

Repaso y resumen Problemas de repaso

CAP~TULO DOCE CINETICA DE PARTICULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON

12.1 Intrduccion 12.2 Segunda ley de Newton del movimiento 12.3 Momento lineal de una particula. Variation del

momento lineal 12.4 Sistemas de unidades 12.5 Ecuaciones de movimiento 12.6 Equilibrio dinamico

12.7 Momento angular de una particula. Conservacion del momento angular

12.8 Ecuaciones de movimiento expresadas en terminos de las componentes radial y transversal

12.9 Movimiento bajo la accion de una fuerza central. Conservacion de la cantidad de movimiento angular

12.10 Ley de la gravitacion de Newton *12.11 Trayectoria de una particula bajo la accion

de una fuerza central V2.12 Aplicacion a la mecanica espacial V2.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario


\ CAP~TULO TRECE CINETICA DE PARTICULAS: . ~ O D O DE LA ENERG~A Y DE LOS MOMENTOS

\ 13.1 Introduction I 13.2 Trabajo realizado por una fuerza

13.3 Energia cinetlca de una particula. Teorema de las fuenas vlvas

13.4 Aplicaciones del teorema de las fuerzas vivas 13.5 Potencia y rendimiento 13.6 Energia potenclal

V3.7 Fuerzas conservativas 13.8 Conservacion de la energia e . 9 Movlmiento bajo la accion de una fuerza central

conservatlva. Aplicacion a la mecinica celeste 13.10 Princlpio del implso y del momento lineal 13.11 Percusiones 13.1 2 Choques 13.1 3 Choque central dlrecto 13.14 Choque central oblicuo 13.15 Problemas en 10s que intervienen la energia y el

momento lineal Repaso y resumen Problemas de repaso

CAPITULO CATORCE SISTEMAS DE PARTICULAS 14.1 Introduccion 14.2 Aplicacion de las leyes de Newton al movimiento

de un sistema de particulas. Fuerzas lnerciales o efectivas

14.3 Momento lineal y angular de un sistema de particulas

14.4 Movimiento del centro de masas de un sistema de particulas

14.5 Momento angular de un sistema de particulas con respecto a su centro de masas

CAPITULO QUINCE 15.1 15.2 15.3 15.4

Conservacion del momento lineal y angular en un sistema de particulas Energia cinetica de un sistema de particulas Teorema de las fuerzas vivas. Conservacion de la energia para un sistema de particulas Principio del impulso y del momento para un sistema de particulas Sistemas de masa variable Corriente estacionaria de particulas Sistemas que aumentan o disminuyen su masa Repaso y resumen Problemas de repaso

CINEMATICA DEL SOLIDO R~GIDO . Introduccion Traslacion Rotacion alrededor de un eje fijo Ecuaciones que definen la rotacion de un cuerpo rigido alrededor de un eje fijo Movimiento plano Velocidad absoluta y relativa en el movimiento plano Centro instantheo de rotacion en el movimiento plano Aceleracion absolutaj relativa en el movimiento plano Analisis del movimiento plano mediante un parametro Velocidad de variacion de un vector con respecto a un sistema de rotacion Movimiento plano de una particula con relacion a un sistema en rotacion. Aceleracion de Coriolis Movimiento con un punto fijo Movimiento general Movimiento tridimensional de una particula respecto a un sistema en rotacion. Aceleracion de Coriolis Sistema de referencia en el movimiento general Repaso y resumen Problemas de repaso

CAP~TULO DIECISEIS MOVlMlENTO PLAN0 DEL SOLIDO RIGIDO: FUERZA Y ACELERACIONES

16.1 Introduccion 16.2 Ecuacion del movimiento de un cuerpo rigido 16.3 Momento angular de un solido rigido en movimiento

plano

16.4 Movimiento plano de un solido rigido. Principio de d'Alembert

*16.5 Una observation acerca de 10s axiomas de la mecanica de 10s solidos rigidos

16.6 Solucion de problemas relacionados con el movimiento de un solido rigido

16.7 Sistemas de solidos rigidos 16.8 Movimiento plano vinculado


CAP~TULO DlEClSlETE MOVlMlENTO PLAN0 DEL SOLIDO RIGIDO: METODOS DE LA ENERG~A Y DEL MOMENT0

Introduccion Teorema de las fuerzas vivas para el solido rigido Trabajo realizado por las fuerzas que actuan sobre un solido rigido Energia cinetica de un solido rigido en movimiento plano Sistemas de solidos rigidos Conservacion de la energia Potencia Principio del impulso y del momento para el movimiento plano de un solido ngido Sistemas de solidos rigidos Conservacion del momento angular Percusiones + Cheque excentrico Repaso y resumen Problemas de repaso

CAPITULO DlEClOCHO CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO EN TRES DiMENSlONES

*18.1 Introduccion *18.2 Momento angular de un solido rigido en tres

dimensiones *18.3 Aplicacion del princlpio del impulso y del momento

al movimiento tridimensional de un solido rigido *18.4 Energia cinetica de un solido rigido en tres

dimensiones V8.5 Movimiento de un solido rigido en tres dimensiones *18.6 Ecuaciones de Euler del movimiento. Extension

del principio de d'Alembert al movimiento de un solido rigido en tres dimensiones

*18.7 Movimiento de un solido rigido alrededor de un punto fijo

*18.8 Rotacion de un solido rigido alrededor de un eje fijo

*18.9 Movimiento de un giroscopo. ~ngulos de Euler *18.10 Precesion uniforme de un giroscopo *18.11 Movimiento de un solido de revolution no sujeto

a ninguna fuerza Repaso y resumen Problemas de repaso

Vibraciones sin amortiguamiento 19.2 Vibraciones libres de particulas. Movimiento

armonico simple 19.3 Pendulo simple (solucion aproximada) *19.4 Pendulo simple (solucion exacta) 19.5 Vibraciones libres de solidos rigidos 19.6 Aplicacion del principio de la conservation de la

energia 19.7 Vibraciones forzadas

Vibraciones amortiguadas *19.8 Vibraciones libres amortiguadas *19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas *lg.lO Analogias elktricas


Apendice A Algunas definiciones x propiedades utiles del algebra vectorial

Apendice B Momentos de inercia de masas INDICE RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NUMERO PAR

Fotografia de la portada

Tren de alta velocidad (TGV, Train a Grande Vitesse) diseiiado y construido por 10s Ferrocarriles Nacionales Franceses. Cada tren consta de ocho vagones de pasajeros y dos locomotoras de 3.1 5 0 k W de potencia que funciona con corriente alterna de 25 kV. Alcanzan velocidades superiores a 10s 270 km/h (168 mi /h ) por una via especial entre Paris y Lyon; estos trenes pueden circular por vias normales a velocidad reducida y proporcionan conexiones rapidas y directas entre mas de 40 ciudades francesas y suizas. (Fotografia de Richard Kalvar, Magnum.}

Prefacio

El objetivo principal de un primer curso de mecanica debe ser desarrollar en el estudiante de ingenieria la capacidad de analizar cualquier problema en una forma I6gica y simple, y aplicar principios bbicos bien conocidos en su soluci6n. Se espera que este texto, junto con el volumen anterior Mecanica veciorialpara ingenieros: esiaiica, ayudarh al profesor a alcanzar este objetivo. i

El Algebra vectorial se introdujo al principio del primer tomo y se us6 en la presentaci6n de 10s principios basicos de la esthtica y en la soluci6n de muchos problemas, especialmente de casos en tres dimensiones. En forma similar se introducirh el concept0 de la diferen- ciaci6n de vectores a1 principio de este volumen; en la exposici6n de la dinhmica se usarh el anhlisis vectorial. Este enfoque conduce a la deducci6n mas concisa de 10s principios fundamentales y hace posible analizar muchos problemas de cinemhtica y cinetica que no podrian resolverse usando metodos escalares; no obstante, como en este texto se hace hincapie en la correcta comprensi6n de 10s principios de la mecanica y sus aplicaciones a la soluci6n de problemas en ingenieria, el anhlisis vectorial se presenta s6lo como una herramien- la suplementaria. t

Una de las caracteristicas del enfoque usado en estos volumenes es que se diferencia claramente entre la mecanica de laspariiculas y la mecanica de 10s sblidos rigidos, lo que permite considerar aplicaciones practicas sencillas desde el principio y posponer la introducci6n de conceptos mas dificiles. En el libro de esthtica se trat6 primero la esthtica de las particulas y se aplic6 inmediatamente el principio del equilibria a situaciones practicas en las que intervienen s6lo fuerzas concurrentes; despues se consider6 la estatica de 10s solidos rigidos; fue entonces cuando se introdujeron 10s productos vectorial y escalar de dos vectores y se emplearon para definir el momento de una fuerza con respecto a un punto y con respecto a un eje. En este volumen se sigue la misma divisi6n: se introducen 10s conceptos basicos de fuerza, masa y aceleraci6n. 10s de trabajo y energia y 10s de impulso y momento lineal, y se aplican primero a problemas solo con particulas. Asi 10s estudiantes pueden familiarizarse con 10s tres metodos basicos usados en la dinamica, y aprender sus respectivas ventajas antes de enfrentarse a las dificultades asociadas con el movimiento de 10s solidos rigidos.

f A m b m textos eslan disponibles en un solo volumen, Mecanica vecrorralpara in- Renreros: esra/rca .v drnamica, cuarta edici6n.

xii Como este texto esth estructurado para un primer curso de dinamica, 10s conceptos nuevos se presentan en tkrminos sencillos y cada paso se explica detalladamente. Por otra parte, el estudiar 10s aspec- tos mas amplios de 10s problemas considerados y hacer hincapie en 10s metodos de aplicacibn general, se logrb plena madurez del plan- teamiento. Por ejemplo, el concept0 de la energia potencial se anali- za en el caso general de una fuerza conservativa; asi mismo tambien se organizb el estudio del movimiento plano de 10s cuerpos rigidos, de mod0 que condujera en forma Ibgica al estudio de su movimiento general en el espacio. Esto es valido tambien tanto en cinematica como en cinetica, donde el principio de equivalencia de las fuerzas ex- ternas y las fuerzas inerciales se aplica directamente a1 analisis del movimiento en un plano, con lo cud se facilita la transicibn al estudio del movimiento tridimensional.

Se resaltb el hecho de que la mechnica es esencialmente una cien- cia deducfiva que se basa en unos cuantos principios fundamentales. Las derivaciones se presentan en su orden Ibgico y con todo el rigor necesario a este nivel. Pero como el proceso de aprendizaje es alta- mente inducfivo, se consideraron primero aplicaciones sencillas; en esta forma la dinhmica de las particulas precede a la dinamica de 10s solidos rigidos y, respecto de estos, 10s principios fundamentales de la cinetica se aplican primero a la solucibn de 10s problemas de casos bidimensionales que el estudiante puede conceptuar m b facilmente (Caps. 16 y 17), mientras que 10s problemas de casos tridimensiona- les se dejan para el capitulo 18.

La cuarta edicibn de Mecanica veclorial para ingenieros mantiene unificada la presentacibn de 10s principios de la cinittica que caracteriza- ron a las dos ediciones anteriores. Los conceptos de momento lineal^ y angular se introducen en el capitulo 12, de mod0 que la segunda ley de Newton de movimiento puede presentarse no solo en su forma I convencional F = ma, sino tambien como una ley que relaciona la suma de fuerzas que actuan sobre una particula y la suma de sus momentos con la derivada temporal del momento lineal y angular de la particula. Esto permite una introduccion adelantada del principio de conservacion del momento lineal y una exposicion mas compren- sible del movimiento de una particula sujeta a una fuerza central (Sec. 12.9). Dos caracteristicas mas importantes aun: que esta pre- sentacion puede ampliarse inmediatamente para abarcar el estudio del movimiento de un sistema de particulas (Cap. 14), y conduce a un anlilisis mlis conciso y unificado de la cinetica de 10s solidos rigidos en dos y tres dimensiones (Caps. 16 al 18).

Los diagramas de solido libre se introdujeron a1 principio en es- r i ~ i c a y e usaron no sblo para resolver problemas de equilibrio, sino tambien para representar la equivalencia de dos sistemas de fuerzas o, en fornia mas general, de dos sisternas de vectores. La ventaja de

.

esre plantearniento se rnanifiesta en el estudio de la dinarnica de 10s solidos rigidos, donde se usa para resolver problemas de casos tridi- mensionales y bidimensionales. Haciendo hincapit. en "las ecuaciones de diagrama de solido libre" y no en las ecuaciones algebraicas de rno- \ i~nienro norrnalcs, puede lograrse una cornprensi6n mas cornplera e inruiti\n dc los principios fundamentales de la dinamica. Esta presenra- cihn, clue bc in~rodi~jo pm primera vez en 1962 en la prirnera edici6n de Mecanica veclorial para ingen~eros, ha ganado amplia aceptacihn

entre 10s maestros de rnechnica en Estados Unidos. Por ello, en la re- xiii soluci6n de todos 10s problemas resueltos, en esta edici6n se prefiri6 3 - ~ * ~ - ~ -$a **ae--~a**a*~~aaxa~-~ m + d ~ l ese metodo y no el del equilibrio dinarnico y las ecuaciones de rnovi- Prefac~o miento.

Se emplean tambikn flechas de color para distinguir entre las fuerzas y 10s otros elernentos de 10s diagrarnas de solido libre. Esto facilita a 10s estudiantes la identificaci6n de las fuerzas que actuan sobre una cierta particula o un solido rigido, y seguir el desarrollo de 10s problernas resueltos y otros ejernplos dados en el texto.

Por la tendencia actual entre 10s ingenieros estadounidenses de adoptar el sistema international de unidades (unidades metricas del SI), las unidades del SI que se usan con mayor frecuencia en la mecanica se introdujeron en el capitulo 1 de Est6tica, se estudian en el capitulo 12 de este volurnen y se usan en todo el texto. Los datos de aproximadamente la rnitad de 10s problernas resueltos y de 60% de 10s problernas que el estudiante realizara corno tareas se han planteado en estas unidades, mientras que el resto se enuncia en unidades del sisterna inglks; 10s autores consideran que esta presentacibn satisfara mejor las necesidades de 10s estudiantes que ingresen a la carrera de ingenieria durante el periodo de transicibn de un sistema de unidades a1 otro. Tambien debe reconocerse que este paso vincula mas elernentos que el uso de factores de conversi6n. Como el sistema de unidades del SI es un sistema absoluto basado en las unidades de tiernpo, longitud y masa, mientras que el sistema inglks es un sistema gravitational que se basa en las unidades de tiernpo, longitud y foerza, se requieren diferentes planteamientos para la soluci6n de muchos problernas. Por ejernplo, cuando se usan unidades del St, un solido se especifica generalmente por su masa expresada en kilogramos; en la mayor parte de 10s problemas de la estatica fue necesario deterrninar el peso del cuerpo en newtons y se requiri6 un chlculo adicionsl para este propo- sito. Por otra parte, cuando se usan las unidades del sistema ingles, un solido se especifica por su peso en libras y en problernas de dinamica se requiere un calculo adicional para determinar su rnasa en slugs (o Ib-s2/ft). Es por esto que 10s autores estiman que 10s problemas de tarea deben incluir ambos sisternas de unidades, pero, la dis- tribuci6n real de estos problemas entre 10s dos sistemas de unidades, ha de quedar a criterio del profesor, quien proporcionara un numero suficiente de problernas de cada tipo a fin que puedan integrarse cuatro listas cornpletas de problernas de tarea, en 10s cuales haya de 50% a 75% de problernas en unidades del SI.

Si se desea, pueden seleccionarse tarnbien dos listas cornpletas de problernas de tarea a partir de 10s problernas que usan unidades del SI unicarnente, asi corno otras dos listas de problernas con unidades del sistema ingles.

Se han incluido varias secciones opcionales, indicadas con asre- riscos para que el estudiante las distinga con facilidad de las que for- man la parte principal del curso basico de dinamica; talev secciones pueden ornitirse sin perjudicar la cornprensibn del resto del tesro. Los temas tratados en estas secciones adicionales incluyen rnetodos graficos para la soluci6n de problemas de rnovirniento rectilineo, la trayectoria de una particula bajo la accibn de una fuerza central, la de- teccibn de corrientes de fluido, problemas en 10s que intervienen la propulsion a chorro y de cohetes. la cinernlitica y cinetica de solidos

X ~ V rigidos en Ires dimensiones, vibraciones mechnicas amortiguadas y i r *..,?*-b%?m*---i ' -i$r **s4; aie- sw ' +w3"i*6gS99*> analogias elkctricas. Estos temas pueden ser de especial interes en un

Prefacio curso universitario de dinhmica de segundo aRo. El material y la mayor parte de 10s problemas presentados en este

volumen no requieren conocimientos matemhticos previos d s comple- jos que 10s del dgebra, trigonometria, cdculo elemental y 10s elementos del algebra vectorial presentados en 10s capitulos 2 y 3 del volumen de estatica. t Sin embargo, 10s problemas especiales incluidos y ciertas secciones (como las 19.8 y 19.9 acerca de vibraciones amortiguadas) que exigen un conocimiento mas avanzado del calculo, s61o deberan asignarse si el estudiante-posee conocimientos matemhticos adecuados.

Cada capitulo comienza con una secci6n de introduccibn que fija el prop6sito y 10s objetivos del mismo y que describe en terminos sencillos el material por estudiar y su aplicaci6n a la soluci6n de problemas de ingenieria. La parte principal del texto se divide en unidades, cada una de las cuales consta de una o varias secciones de teoria, uno o varios problemas resueltos y gran numero de problemas para dejarse de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien definido y generalmente puede desarrollarse en una lecci6n; no obstante, es posible que en algunos casos el profesor decida dedicar mhs de una lecci6n a algun tema especifico. Los problemas resueltos esthn presentados de la misma manera en que 10s estudiantes resolverhn 10s problemas que les asignen; por ello tienen el doble prop6sito de ampliar el texto y demostrar el tipo de trabajo limpio y ordenado que deben cultivar 10s estudiantes en sus propias soluciones. La mayor parte de 10s problemas para tarea son practices y atractivos a 10s estudiantes de ingenieria; sin embargo, se idearon principalmente para ejemplificar la aplicaci6n de la teoria presentada en el texto y ayudar a que 10s estudiantes comprendan 10s principios basicos de la mechica. Los problemas estan agrupados de acuerdo con 10s elementos te6ricos que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente; 10s que requieren atenci6n especial esthn indicados con asteriscos. A1 final

,

del libro se dan las respuestas a todos 10s problemas listados con numero par.

Los autores agradecen 10s numerosos comentarios y sugerencias propuestos por quienes han usado las ediciones anteriores de Meca- nica para ingenieros y de Mecanica vectorial para ingenieros.

Ferdinand P. Beer E. Ru$sell John51on. J r .

t Para cornodidad del lccror \c han rewrnido en el Apendice A, al final dc csre i o - lunicn, alguna\ dcfinicionc\ y propicdadc\ i ~ l i l c \ dcl algebra dc veclore\. Ade~ri i \ , c11 cI apendice H \c han rcproducido la\ \elcccio~ic\ dc la 9.1 I a la 9.17 dcl \ . o i u ~ ~ i c ~ i dc E . \ I ~ I I - ca, quc c\tudian lo\ rnorncnrw dc ~nercia dc nia\a\.

Lista de simbolos

Aceleracion Constante; radio; distancia; semieje mayor de una elipse Aceleraci6n del centro de masa Aceleraci6n de B relativa a un sistema en translacion con A Aceleracion de P relativa a un sistema 5 en rotaci6n Aceleracion de Coriolis Reacciones en 10s soportes y uniones Puntos Area Ancho; distancia; semieje menor de una elipse Constante; coeficiente de amortiguamiento viscoso Centro instantaneo de rotacion; capacitancia Distancia Vectores unitarios a lo largo de la normal y de la tangente Vectores unitarios en las direcciones radial y transversal Coeficiente de restitution; base de 10s logaritn~os nat urales Energia mecanica total; voltaje o tensi6n Frecuencia, funcion escalar Fuerza; fuerza de rozamiento Aceleracion de la gravedad Centro de gravedad; centro de masa; constante de gravitation Momento angular por unidad de masa Momento angular con respecto al punto 0 Derivada temporal del momento angular H, con respecto a un sistema de referencia de orientacion fija Derivada temporal del momento angular H, con respecto a un sistema de referencia giratorio Gxyz Vectores unitarios a lo largo de 10s ejes de coordenadas Corriente Mornento de inercia Momento de inercia central Producto de inercia Momento polar de inercia

xvi Radio de giro Radio de giro central Longit ud Momento lineal Longitud; inductancia Masa Masa por unidad de longitud Par; momento - Momento respecto al punto 0 Momento resultante respecto al punto 0 Modulo de un par o momento; masa de la Tierra Momento con respecto a1 eje OL Direccion normal Componente normal de la reaccion Origen de coordenadas Frecuencia circular Fuerza; vector Derivada temporal del vector P con respecto a un sistema de coordenadas de orientation fija Carga electrica Fuerza; vector Derivada temporal del vector Q con respecto a un sistema de orientacibn tija Derivada temporal del vector Q con respecto a1 sistema Oxyz Vector de posicibn Vector de posicion de B relativo a A Radio; distancia; coordenada polar Fuerza resultante; vector resultante; reaccibn Radio de la Tierra, resistencia Vector de posicion Longitud del arco Tiempo; espesor; direccihn tangcncial Fuerm Tension; energia cinetica Velocidad variable Trabajo Velocidad Velocidad del centro de gravedad Velocidad dc B rclativa a un si\tcma de referencia en traslacibn con ..I Velocidad de P rclali~a a un sislema giratorio ;7 Producto vectorial Volumcn, crwrgia poccll~,inl C'arga pnr u~liclacl clc lorlgir ud Peso; carga Coordenadas rectangulares; distancias Derivadas de las coordenadas x, y, z respecto a1 tiempo

Coordenadas rectangulares del centro de gravedad, xvii o centro de masa Aceleracibn angular Lista de simbolos Angulos Peso especifico Elongacibn Excentricidad de una seccion conica o de una orbita Vector unitario a lo largo de una linea E ficiencia Coordenada angular; angulo de Euler; angulo; coordenada polar Coeficiente de rozamiento Densidad; radio de curvatura Periodo; period0 orbita Angulo de rozamiento; Angulo de Euler; angulo de fase; angulo Diferencia de fase Angulo de Euler Velocidad angular Frecuencia circular de la vibracion forzada Velocidad angular de un sistema de referencia

Cinematica de particulas

11 .l. Introduction a la dinamica. Los capitulos del 1 al 10 se dedicaron a la estdtica, es decir, al anidisis de los cuerpos en reposo. Comenzaremos ahora el estudio de la dindmica, que es la parte de la meciinica que se encarga del aniilisis de 10s cuerpos en movimiento.

Mientras el estudio de la estiitica se remonta al tiempo de 10s fi- 16sofos griegos, la primera contribuci6n importante a la diniimica fue hecha por Galileo (1564-1642). Los experirnentos de Galileo sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Newton (1642-1727) a formular sus leyes fundamentales del movimie

La diniimica se divide en dos partes: 1) 0, inematica ue es.el estudio de la geometria del movimiento y se ra relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleraci6n iempo sin hacer referencia a la causa del movimiento, y d cinktica ue es el estudio de la relaci6n existente entre las fuerzas actuando so&e un cuerpo, su masa y su movimiento; la cinttica se usa para predecir el movimiento causado por fuerzas conocidas 'o para determinar las fuerzas necesa- rias para producir un cierto movimiento.

En 10s capitulos del 11 al 14 se estudia la dinamica de las particulas y, en especial, el capitulo 1 1 se dedica al estudio de la cinematica de las particulas. El uso de la palabra particulas no implica que yayamos a limitar nuestro estudio al de pequefios corpusculos, s610 quiere decir que en estos primeros capitulos estudiaremos el movimiento de 10s solidos -posiblemente tan grandes como automovi- les, cohetes o aviones- sin importarnos su tamafio. Analizando a 10s solidos como particulas indicamos que solo consideraremos su movimiento como un todo, despreciando cualquier rotaci6n con respecto a su propio centro de gravedad. Sin embargo, existen casos en que tal rotacion no es despreciable y 10s solidos no pueden entonces considerarse como particulas. El analisis de tales movimientos se realizara en capitulos posteriores que se encargan de la dinamica de 10s solidos rigidos.

En la primera parte del capitulo 11 analizaremos el movimiento

t l 1 rn

1, I Fig. 11.1

rectilineo de una particula, es decir, determinaremos para cada instante la posicibn, velocidad y aceleracibn de una particula conforrne ksta se mueve a lo largo de una linea recta. Desputs de haber estu- diado el movimiento de una particula por 10s rnktodos generales de anhlisis, consideraremos dos casos particulares importantes, que son el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una particula (secciones 11.4 y 11.5). Luego estudiarernos en la seccibn 1 I .6 el movimiento simultheo de varias particulas, e introduci- remos el concepto de movirniento relativo de una particula con respecto a otra. La primera parte de este capitulo termina con un estudio de los d t o d o s grAficos de 6 s i s y sus aplicaciones a la solucibn de varios problemas relacionados con el movimiento rectilineo de particulas (secciones 11.7 y 11 3).

En la segunda parte de este capitulo analizaremos el movimiento de una particula cuando se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Como la posicibn, la velocidad y la aceleracibn de una particula se defi- nirh corno cantidades vectoriales, el concepto de la derivada de una funcibn vectorial se introduciri en la seccibn 11.10 y se agregara a nuestras herramientas matemiticas. Considerarernos entonces unos ejernplos en donde el movimiento de una particula se define por las componentes rectangulares de su velocidad y aceleracibn; en este punto, se analizarh el movimiento de un proyectil (seccibn 1 1.11). En la seccibn 11.12 consideraremos el movimiento de una particula en relacibn con un sistema de referencia en traslacibn. Finalmente analizaremos el movirniento curvilineo de una particula en terrninos de componentes distintas a las rectangulares. En la secci6n 1 1.13 intro- duciremos las componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleraci6n de una particula y, en la seccibn 11.14, las cornponentes radial y transversal de su velocidad y aceleracibn.

11.2. Posici611, velocidad y aceleracibn. Se dice que una particula que se mueve a lo largo de una linea recta tiene un movi- mienfo recfiheo. En cualquier instante f, la particula ocupara una cierta posicibn sobre la linea recta. Para definir la posicibn P de la particula, escogemos un origen fijo 0 sobre la linea recta y una direccibn positiva a lo largo de la linea. Medimos la distancia x de 0 a P y la anornos con un signo m b o con uno de menos, dependendo si P se alcanza desde 0 moviendose a lo largo de la linea en la direction positiva o negativa. La distancia x, con su s ip0 apropiado, define completarnen- te la posicibn de la particula y se le Uama coordenada de posicidn de la particula considerada. Por ejernplo, la coordenada de posicion correspondiente a P e n la figura 1 1. l a es x = + 5 rn, mientras que la coordenada correspondiente a P' en la figura 1 I . l b es x ' = - 2 m.

Cuando se conoce la coordenada de posicibn x de una particula en todo valor del tiempo i, decimos que se conoce el rnovimiento de la particula. La trayectoria del movimiento puede expresarse'en la forrna de una ecuacibn en x y f, corno x = 6f2 - f3, o en la forrna de una grafica de x en funcibn de f corno se rnuestra en la figura 11.6. Las unidades que se usan mas generalrnente para medir la coordenada de posicibn x son el metro (m) en el sistema de unidades SI,* y el

pie (ft) en el sistema inglks. El tiempo t se medira generalmente en segundos (s). 477

Considerese la posicion P ocupada por la particula en el ins- 1 1.2. PosIcl6n. velocldad y aceleracl6n tante t y la correspondiente coordenada x (Fig. 11.2). Sea P la posicion ocupada por la particula en un instante posterior t + At; la coordenada de posicion de P' puede obtenerse agregando a la coordenada x de P el pequeiio desplazamiento A s , el cual sera positivo o negativo dependiendo si P esta a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad media de la particula en el intervalo de tiempo A t se define corno el cociente del desplazamiento A x y el intervalo de tiempo At

1, P' A x Velocidad media = - A t .prI ( t ) ct + at) , .x

Si se emplean unidades del SI, Ax se expresa en metros y At en segun- Fig. 11.2 dos, de manera que la velocidad media estara expresada en metros por segundo (m/s). Si se trabaja con las unidades del sistema ingles, A x se expresa en pies y A t en segundos, asi que la velocidad media estarh dada en pies por segundo (ft/s).

La velocidad instantanea u de la particula en el instante t se obtiene de la velocidad media, escogiendo intervalos de tiempo At y desplazamientos Ax cada vez mas cortos

Ax Velocidad instantanea = u = lim - A t - 0 A t

La velocidad instantanea se expresara tambikn en m/s o ft/s. Obser- vando que el limite del cociente es igual, por definicibn, a la derivada de x con respecto a 1, escribimos

La velocidad v se representa con un numero algebraic0 que puede ser positivo o negativo. -f Un valor positivo de v indica que x aumenta, es decir, que la particula se mueve en la direccibn positiva (Fig. 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la particula se mueve en la direccion negativa (Fig. 1 1.3h).

Considerese la velocidad c de la particula en el instante t y tambien su velocidad + A c en un instante posterior I + Ar (Fig. 11.4). La acelerucicitz media de la particula en el intervalo de tiempo A t se define por el cociente de Ar y Ar

Aceleracion media

Cornparese con la seccibn I .3.

b ) Fig. 11.3

I I - - .K

( t ) ( t + A t ) Fig. 11.4

f Corno verernos en la seccibn 11.9, la velocidad es realrnente una canridad vectorial. Sin embargo, corno aqui esrarnos considerando el rnovirnienro rectilineo de una particuia donde la velocidad de esra tiene una direccibn conocida y fija. necesirarnos especificar unicamcnte cl hentido ! cl rn0dulo dc la \elocidad: esto puede hxerse en h r m a con\e- riienre usando una canridad escalar con un signo + o - . La rnisrna consideraci6n se apli- cara a la aceleracihn de una parricula en el rnovimiento recrilineo.

Si se emplean unidades del SI, Av estarb expresada en m/s y At en segundos, asi que la aceleracion media estara en m/s2. Si se emplean

ClneMcu de particubs unidades del sistema ingles, Av estara en ft/s y At en segundos; por tanto, la aceleracion media se expresara en ft/s2.

La aceleracion instantanea a de la particula en el instante t se obtiene de la aceleracion media escogiendo valores de At y Au cada vez mas pequeiios

Au Aceleraci6n instantlnea = a = ljm - A t 4 A t

La aceleraci6n instantanea tambitn se expresarl en m/s2 o ft/s2. El limite del cociente es, por definici6n, la derivada de v con respecto a t y mide la variaci6n de la velocidad en el tiempo. Escribimos

,i ( 1 4

Fig. 11.5

o sea, sustituyendo u de (1 1. l),

Q aceleraci6n a se representa por un numero algebraico que puede ser positivo o negativo. t Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el numero algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la particula se esta moviendo m& rlpidaen la direcci6n positiva (Fig. 1 1.50) o que se esta moviendo m b despacio en la direcci6n negativa (Fig. 11.56); en ambos casos Av es positiva. Un valor negativo de a indica que la velocidad disminuye, ya sea que la particula se estt moviendo m b lentamente en la direcci6n positiva (Fig. 11.5~) o que se estk moviendo m b rlpido en la direcci6n negativa (Fig. 11 Sd).

El termino deceleracion se emplea algunas veces para referirse a a cuando la velocidad de la particula (es decir, la magnitud de v) disminuye; entonces la particula se esta moviendo mls lentamente. Por ejemplo, la particula de la figura 11.5 decelera en las partes b y c, mientras que en las partes a y d esta realmente acelerada (es decir, se mueve mas rapido).

Puede obtenerse otra expresi6n para la aceleraci6n eliminando la diferencial dt en las ecuaciones (I 1.1) y (1 1.2). Despejando dt en (1 1.1) obtenemos dt = dx/v y sustituytndolo en (1 1.2), escribimos

tVtase la nota a1 pie de la pagina 435.

Ejemplo. p6ngase que su

ConsidCrese una particula que se mueve en linea recta y su- 479 posici6n 6 t h definida por la ecuaci6n

4 4.2. Posici6n. velocldad y aceleracl6n x = fjt' - t 3

donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad v a cualquier tiempo t se obtiene derivando x con respecto a t

La aceleraci6n o se obtiene derivando otra vez con respecto a t

La coordenada de posicion, la velocidad y la aceleracion se han dibujado en funci6n de t en la figura 1 1.6. Las curvas obtenidas se conocen como las cur- var del movimiento. Debe tenerse presente, sin embargo, que la particula no se mueve a lo largo de ninguna de estas c u ~ a s , sin0 en linea recta. Como la derivada de una funci6n mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva x-t a un cierto tiempo es igual al valor de v en ese tiempo y la pendiente de la curva v-t a igual al valor de a. Como o = 0 para t = 2 s, la pendiente de la curva de v-t debe ser cero en t = 2 s; la velocidad alcanza un mhximo en ese instante. TambiCn, como v = 0 en t = 0 y en t = 4 s, la tangente a la curva x-t debe ser horizontal en esos dos valores de I .

Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6 muestra que el movimiento de la particula desde t = 0 hasta t = or, puede dividirse en cuatro etapas:

1. La particula parte del origen, x = 0, desde el reposo y con una aceleracion pasitiva. Con esta accleracibn la pardcula adquiere urn vdocidad pasitiva y x m u m en la direcci6n pasitiva. Desdc t = 0 hasta t = 2 s, x, v y o son todas positivas.

2. En t = 2 s, la acderaci6n a cero; la velocidad ha alcanzado su m b h o valor. Desde t = 2 s hasta t = 4 s, v es positiva per0 o a negativa; la particula continua movihdose en la dircfci6n positiva, per0 cada vez mas lentarnente: la particula esta decelerando.

3. En t = 4 s, la velocidad es cero; la coordenada de posicibn x ha alcanzado su mbimo valor. A partir de entonces tanto v como 0 son negativas; la particula 6 t h acelerada y se mueve en la direcci6n negativa aumentando su velocidad.

4. En t = 6 s, la particula pasa por el origen; su coordenada x es entonces cero mientras que la distancia total recorrida desde el comienzo del movimiento es de 64 m. Para valores de t mayores de 6 s, x, v y o serAn todas negativas. La particula continlia movihdose en la direc- ci6n negativa. alejandose de 0 cada vez m b riipido.

Flg. 11.6

11.3. Deteminacidn del mwimiento de una particula. Vi- mos en la secci6n anterior que el movimiento de una particula se conoce cuando se sabe su posicibn para cualquier valor del tiempo I , p r o en la pdctica muy rararnente se define un movimiento por una relaci6n entre x y i. Con mayor frecuencia las condiciones del movimiento se es- pecificaricn por el tipo de aceleraci6n que posee :a particula. Por ejemplo, un cuerpo en caida libre tendrP una aceleracibn constan-

480 te dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s2, o 32.2 ft/s2; una masa unida a un rcsorte que ha sido estirado tendrA una aceleracibn proportional a

C i n e m w do particulas la elongaci6n instantanea del resorte medida desde la posici6n de equilibria, etc. En general, la accleraci6n de la particula puede expresarse como una funci6n de una o tnAs de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada de posici6n x en tkrminos de t sera necesario entonces realizar dos integraciones sucesivas.

Consideraremos tres clases comunes de movimiento

1. a = At). La aceleracidn es una funci6n conocida de t. Des- pejando dv de (1 1.2) y sustituyendo f(t) en lugar de a , escribimos

do = a dt do =. f ( t ) dt

Integrando ambos miembros obtenemos la ecuaci6n

J- tro = J- f ( t ) dt que define a v en funci6n de t. Debe notarse que se introducirh una constante arbitraria como resultado de la integraci6n. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleracibn dada a = f(t). Para definir univocamente a1 movimiento de la particula es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor v, de la velocidad y el valor x, de la coordenada de po- sici6n en t = 0. Sustituyendo las integrales indefinidas por integrales dejnidas con limites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t = 0 y v = v, y 10s limites superiores correspondientes a t = t y v = v, escribimos

que nos da a v en funci6n de t. Despejamos ahora dx de (1 1.1):

y sustituimos la expresi6n que acabamos de obtener para v . Entonces integramos ambos miembros: el izquierdo con respecto a x desde x =x,, hasta x = x y de la derecha con respec- ta a t desde t = O hasta t = t. La coordenada de posici6n x. se obtiene asi en funcion de t; el movimiento esta completamente deterrninado.

Se estudiaran dos casos particulares importantes con mayor detalle en las secciones 11.4 y 1 1.5: el primer0 cuando a = 0, correspondiente a un movimiento uniforme y el segundo cuando a = constante, que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado.

2. a = Ax). La aceleraci6n es una funcidn conocida de x. Reor- denando la ecuacibn (1 1.4) y sustituyendo f(x) por a, escribimos

u do = a dx u do = f ( x ) dx

Como cada miembro contiene d l o una variable, podemos integrar 'la ecuacibn. Si de nuevo u, y x, representan 10s valores iniciales de la velocidad y de la coordenada de posicibn, respectivamente, obtenemos

que expresa a u en terminos de x. Despejamos dt en (1 1.1):

y sustituimos la expresibn que acabamos de obtener para u. Entonces podemos integrar ambos miembros y obtener la relacibn deseada entre x y t.

3. a = f(u). La aceleraci6n es una funci6n conocida de u. En ese oso podemos sustituir f (u ) en lugar de a, ya sea en (1 1.2) o en (1 1.4), para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:

La integracibn de la primera ecuacibn dara una relacibn entre u y t; la integracibn de la segunda ecuacibn nos proporciona- rA una relacibn entre u y x. Cualquiera de estas relaciones puede usarse con la ecuacibn (1 1.1) para obtener la relacibn entre x y t que caracteriza al movimiento de la particula.

Problemas 11 .I El movimiento de una particula estd definido por la rela

cidn x = t4 - 12t2 - 40, donde x estd expresada en metros y t en segundos. Determinense la posicidn, velocidad y aceleracidn cuando t = 2 s .

11.3. Determinocion del mowmiento

de una particula

11.2 El movimiento de una particula estd definido por la re lacidn x = t3 - 9t2 + 24t-6, donde x estd expresada en metros Y t

PROBLEMA RESUELTO 11.2

Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana localizada a 20 m del suelo. Sabiendo que la aceleracion de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determinense: a) la velocidad v y la altura y de la pelota con respecto al suelo para cualquier tiempo t; b) la maxima altura alcanzada por la pelota y el valor correspondiente de t; c) el tiempo en el que la pelota golpeara el suelo y su velocidad correspondiente. Tracense las curvas v-t y y-I.

a) La vrlocidad J. la altura. El eje y que mide la coordenada de posicion (o altura) se escoge por su origen 0 sobre el suelo y su sentido positivo hacia arriba. El valor de la aceleraci6n y 10s valores iniciales de v y y son 10s indicados. Sustituyendo el valor de a en a = du/dt y tomando en cuenta que en t = 0, uo = + 10 m/s, tenernos

Sustituyendo este valor de v en la expresih v = dy/dt con la condicibn de . que en t = 0, yo = 20 rn, encontramos

h) Mix ima altura. Cuando la pelota alcanza su maxima altura tenemos v = 0. Sustituyendola en (I), obtenernos

10 - 9.81t = 0 t = 1.019s 4

Usando este valor de t = 1 .01h en (2) tenernos

C) L a bola golpea en el piso. Cuando la bola pega en el suelo, tenemos y = 0. Sustituyendo en (2) obtenernos

S61o la raiz t = + 3.28 s corresponde a un tiernpo despuks de que el rnovimiento se inici6, y sustituyendo este valor de t en ( I ) , tenernos

u = 10 - 9.81(3.28) = -22.2 m/s 6 = 22.2 m/s J r

PROBLEMA RESUELTO 11.3 Piston

Aceite

El mecanismo de freno usado para reducir el retroceso em algunos cailones consiste esencialmente en un embolo que se fija al cafi6n y que puecie moverse en un cilindro fijo lleno de aceite. Como el call611 retrocede con una velocidad inicial vo, el pist6n se mueve y el aceite es forzado a traves de 10s orificios en el ernbolo de tal rnodo que Qte y el canon se desaceleren en propor- ci6n a su velocidad, es decir, a = -kv. Expresense: a ) v en terrninos de t; b) x en terrninos de t; c) v en tkrrninos dex. Dibujense las curvas de rnovirniento correspondientes.

a) u en rerminos de r. Sustituyendo -kv por a en la f6rrnula funda- mental que define a la qceleracibn, a = dv/dt, escribimos

I

b) x en rerrninos de r. Sustituyendo la expresi6n que acabarnos de obtener para v en v = &/dl tenernos

,) uenrerminosdex. Sustituyendo -kvparaaena = vdv/dxpode-

du = -kdx

o J v d u = - k i r d x "0

00 u - u0 = -kx v = c,, - k x 4

Comprohhcidn. La parte c pudo haberse resuelto elirninando r de las respuestas obtenidas en las partes a y b. Este rnetodo puede usarse entonces corno una comprobaci6n. De la parte a obtenemos e-k' = d u o ; que al susti- tuirla en la respuesta de la parte b, nos da

0 "0 X -

x = %(1 - e - k t ) = % 1 - - k k

( ) u = uo - kx (cornprobaciones) k

en segundos. Deterrninense la posich, velocidad y aceleracidn cuando t = 5 s. 485 I

I 1.9 La relaci6n que define el movimiento de una particula es x = 2t3 - 8P + 5t + 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determinense la posici6n, velocidad y aceleraci6n en t = 3 s.

- 11.4 El movimiento de una particula esth definido por la rela- ci6n x = 2t3 - 6t2 + 10, donde x esth expresada en pies y t en segundos. Determinense el tiempo, la posici6n y la aceleraci6n cuando u = 0.

11.5 El movimiento de una particula se define por la relaci6n x = P - 12P + 36t + 30 con x expresada en metros y t en segundos. Calculense el tiempo, la posici6n y la aceleraci6n cuando u = 0.

1 1.6 El movimiento de una particula esth definido por la rela- ci6n x = t3 - 6t2 + 9t + 5, con x expresada en metros y t en segundos. Determinense: a) t para velocidad cero y b) la posici6n, acelera- ci6n y la distancia total recorrida cuando t = 5 s.

I 1.7 El movimiento de una particula esth definido por la rela- ci6n x = 2t3 - 15t2 + 24t + 4, con x expresada en metros y t en segundos. Determinense a) t para que la velocidad sea cero y b) la posici6n y la distancia total recorrida cuando la aceleraci6n es cero.

A

11.8 La aceleraci6n de una particula esth definida por la rela- ci6n a = - 4 pies/ s2. Sabiendo que u = + 24 ft/s y x = 0 cuando t = 0, determinense la velocidad, la posici6n y la distancia total recorrida cuando t = 8 s.

- \

11.8 La aceleraci6n de una particula es directamente propor- cional a1 tiempo t. Para t = 0, la velocidad de la particula es u = - 12 m/s. Sabiendo que u = 0 y x = 15 m para t = 4 s, escribanse I las ecuaciones del movimiento de la particula. ' , I - ,

1

11 .I0 La relacidn que define a la aceleraci6n de una particula es a = 9 - 3t2. Las condiciones iniciales de la particula son: t = 0, - 4 con u = 0 y x = 5 m. Determinense a) el tiempo para el cud la velocidad es otra vez cero, b) la posici6n y la velocidad cuando t = 4 s y c) la distancia total recorrida por la particula desde t = 0 hasta t = 4 s . I

1 1.1 1 La aceleraci6n de una particula se define por la relaci6n a = kt2. a) Sabiendo que u = -32 ft/s cuando t = 0 y que u = + 32 ft/s cuando t = 4s, determinese el valor de la constante k. b) Escribanse las ecuaciones de movimiento sabiendo tambidn que x = 0 cuando t = 4 s.

1 1.12 La aceleracibn de una particula se define por la relaci6n a = -k r2 . La particula estd inicialmente en x = 800 mm sin velocidad inicial y se observa que su velocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm. Determinense a) el valor de k y b) la velocidad de la particula cuando x = 250 mm.

11.13 - La aceleracibn de una particula esth definida por la rela- ci6n a = -k/x. Se ha encontrado experimentalmente que u = 5 m/s cuando x = 200 mm y que u = 3 m/s cuando x = 400 mm. Determi- nese a) la velocidad de la particula cuando x = 500 mm, b) la posi- ci6n de la particula cuando su velocidad es cero.

Problemas

486 1 1.14 La aceleraci6n de una particula en oscilaci6n se define por la relaci6n a = -kx. Encutntrense a) el valor de k de tal mod0

Cinematica de particulas que u -= 15 in/s cuando x = 0 y x = 3 in cuando u = 0 y b) la velocidad de la particula cuando x = 2 in.

11.1 5 La relacidn que define la aceleraci6n de una particula es a = 25 - 3 3 , donde a se expresa en in/s2.y x en pulgadas. La particula parte de la posici6n x = 0 desde el reposo. Determinense a) la velocidad cuando x = 2 in, b) la posici6n donde la velocidad es nue- vamente cero y c) la posici6n donde la velocidad es mhima.

1 1.16 La aceleraci6n de una particula esti definida por la rela- ci6n a = - 4M1 + ku?), donde a esti expresada en m/s2 y x en metros. Sabiendo que u = 17 m/s cuando x = 0, detenninese la velocidad cuando x = 4 m, para a) k = 0 y b) k = 0.015, c) k = - 0.015.

1 1.1 7 La aceleraci6n de una particula esti definida por la relacion a = -60~- ' .~, donde a se expresa en m/s2 y x en metros. Sa- biendo que la particula estd inicialmqte en reposo en x = 4 m, deterrninese la velocidad de la particula cuando a) x = 2 m, b) x = 1 m y c) x = 100 mm.

1 1.18 La relaci6n que define la aceleraci6n de una particula es a = - 0 . 4 ~ donde a esti expresada en i d s 2 y u en ids . Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 30 i d s , determinense a) la distancia que la particula viajari antes de detcnerse y b) el tiempo necesario para que la particula se pare, c) el tiempo requerido para que la velocidad de la particula se reduzca a1 1 % de su valor inicial.

1 1.19 La aceleraci6n de una particula esti definida por la rela- ci6n a = -kv2, donde a se exprcsa en ft/s2 y v en ft/s. La particula parte de x = 0 con una velocidad de 25 ft/s y cuando x = 40 ft se encuentra que la velocidad es 20 ft/s. Determinese la distancia que la particula viajari: a) antes de que su velocidad disminuya a 10 ft/s y b) antes de pararse.

11.20 ResuClvase el problema 11.19 suponiendo que la acele- raci6n de la particula esti definida por ka relaci6n a = -kv3.

11.21 La aceleraci6n de una particula que cae a travts de la at- mosfera esti definida por la relaci6n a = g( 1 -k2u2). Sabiendo que la particula parte del reposo en t = 0, a) mukstrese que la velocidad en el tiempo t es u = (l/k) tanh(kgt), b) escribase una ecuaci6n que defina la velocidad de la particula para cualquier valor de la distancia x que haya caido. c) iPor quC? v, = l/k se llama velocidad ter- minal?

11.22 La aceleraci6n de una particula se define por medio de la relaci6n a = - 0 . 0 2 ~ ' . ~ ~ , donde a estd expresada en m/s2 y u en m/s. Sabiendo que la velocidad inicial de la particula es 15 m/s en x = 0, determinense a) la posici6n donde la velocidad es 14 m/s y b) la velocidad de la particula cuando x = 100 m.

1 1.23 La aceleraci6n de una particula estd definida por la relacion a = k ~ ' . ~ . La particula parte de t = 0 en x = 0 con una velocidad inicial u,. a) Demuestrese que la velocidad y la cooraenada de posicibn a cualquier tiempo t estin relacionadas poi la ecuaci6n (x/t) = G b ) Sabiendo que para v, = 25 m/s la particula se para des-

pubs de haber recorrido 50 rn, deterrninese la velocidad de la particula y el tiernpo cuando x = 30 rn.

11.24 La velocidad de una particula esta definida por la relacibn v = 8 - 0.02x, don& v se expresa en rn/s y x en metros. Si x = 0 para t = 0, determinense a) la distancia recorrida antes de que la particula se pare, b) la aceleraci6n en t = 0 y c) el tiernpo cuando x = 100 m.

11.25 Un proyectil entra a un rnedio resistente en x = 0 con una velocidad inicial v, = 1200 ft/s y viaja 4 in antes de pararse. Suponiendo que la velocidad del proyectil esta definida por la relacibn u = v , - kx, donde v se expresa en ft/s y x en pies, determinense: a) la aceleraci6n inicial del proyectil y b) el tiernpo que tard6 el_ proyectil en penetrar 3.75 in en el rnedio resistivo.

1 1.26 4.a aceleraci6n de la gravedad a una altura y sobre la superficie de la tierra puede expresarse corno

donde a se rnide en m/s2 y y en metros. Usando esta expresi6n cal- culese la altura alcanzada por una bala disparada verticalrnente hacia arriba sobre la superficie de la Tierra con las siguientes velocidades iniciales; a) 200 rn/s, b) 2000 rn/s y c) 11.18 km/s.

11.27 La aceleraci6n de una particula que esta cayendo hacia la ~ierra,,debida a la gravedad, es a = -gR2/$, donde r es la distancia desde el centro de la Tierra a la particula, R es el radio de la Tierra y g es la aceleraci6n de la gravedad en la superficie de la tierra. ObtCngase una expresibn para la velocidad de escape, es decir, para la velocidad minima con la cual debe lanzarse una particula verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra para que no regre- se a Csta. (Sugerencia. v = 0 para r = w.)

11.28 La aceleraci6n de una particula es a = k sen (nt/T). Si tanto la velocidad corno la coordenada de posici6n de la particula son cero cuando t = 0, deterrninense: a) las ecuaciones de rnovirnien- to, b) la mkirna velocidad, c) la posici6n para t = 2T y 4 la velocidad media en el intervalo de t = 0 a t = 2T.

11.29 La aceleraci6n de un collarin que se rnueve en una linea recta esta definida por la relaci6n a = 50 sen t n t , donde a esta expresada en mm/s2 y t en segundos. Sabiendo que x = 0 y u = 0 cuando t = 0, deterrninense a) la velocidad rnhima del collarin, b) su posicion en t = 4 s y c) su velocidad media en el intervalo 0 < t < 4 s .

11.4. Movimiento rectilineo unitorme. El movimiento rectilineo uniforme es un tip0 de movirniento en linea recta que se encuentra con frecuencia en aplicaciones practicas. En este movimiento la aceleracibn a de la particula es cero para cualquier valor de I . Por consiguiente, la velocidad u es constante y la ecuacih ( 1 1 . 1 ) se transforma en

Problemas

Fig. P1 1.26 Fig. P1 1.27

Fig. P1 1.29

- dx = o = constante dt

488 La coordenada de posicibn x se obtiene integrando esta ecuaci6n. Sea xo al valor inicial de x, escribimos

Cinematic0 de particulas t

j Z d x = v~ dt 20

X - x0 = v t

Esta ecuaci6n puede aplicarse s6lo si se sabe que la velocidad de la particula es constante.

11.5. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado. El movimiento rectilineo uniformemente acelerado es otro tipo comun de movimiento. En a t e movimiento la aceleracibn a de la particula es constante y la ecuacibn (1 1.2) se transforma en

-- dv - a = constante dt

La velocidad v de la particula se obtiene integrando esta ecuaci6n:

donde vo es la velocidad inicial. Sustituyendo este valor de v en (I I.I), escribimos

Sea x, el valor inicial de x e integrando, tenemos t [: dx = 4 (v, + a t ) dt

Tambien podemos usar la ecuaci6n (1 1.4) y escribir v* = a = constante

dx v dv = a dx

lntegrando ,ambos miembros encontramos que

J' r; do = u JZ clx u0 Jll

Las tres ecuaciones que hemos obtenido nos proporcionan relaciones utiles entre la coordenada de posici6n, la velocidad y el tiempo en el caso de un movimiento uniformemente acelerado, al sustituir 10s valores adecuados de a, v,, y x,. El origen 0 del eje x debe defi- nirse primer0 y escogerse una direcci6n positiva a lo largo del eje; esta direcci6n se usara para determinar 10s signos de a, v, y x,. La ecuacibn (1 1.6) relaciona a v y a ! y debe usarse cuando se desea el valor de v correspondiente a un valor dado de 1 , o inversarnente. La ecuaci6n (1 1.7) relaciona a x y a I; la ecuaci6n (1 1.8) relaciona a v y a x. Una aplicaci6n importante del movimiento uniformemente acelerado es el rnovirniento de un solido en caida libre. La aceleracion de un solido en caida libre (usualmente representada por g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.

Es irnportante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden usarse sdlo cuando se sabe que la aceleracidn de la parllcula es constanre. Si la aceleracibn de la particula es variable, su movimiento debe determinarse de las ecuaciones fundamentales, de la (1 1.1) a la (1 1.4), de acuerdo con los mktodos descritos en la secci6n 1 1.3.

11.6. Movimiento de varias particulas. c-do particulas se mueven independientemente a lo largo de la misma linea, pueden escribirse ecuaciones de movimiento independiente para cada particula. Siempre que sea posible, el tiempo debe registrarse desde el rnisrno instante inicial para todas las particulas y 10s desplazamientos deben rnedirse desde el mismo origen y en la misma direcci6n. En otras palabras, debe usarse un mismo reloj y una misma cinta de medir.

Movimien to rela tivo de dos particulas. Imaginemos dos particulas, A y B, movikndose a lo largo de la misma linea recta (Fig. 11.7). Si las coordenadas de posici6n xA y x, se miden desde el mismo origen, la di ferencia x, - xA define a la coordenada de posicidn relariva de B respecto de A y se representa por x,, . Escribimos

Un signo positivo para x,,, significa que B esth a la derecha de A; un signo negativo quiere decir que B esth a la izquierda de A, independientemente de la posicibn de A y de B respecto del origen.

La derivada temporal de x,, es la velocidad relariva de B res- pecro de A y se representa por vBl,. Al derivar la ecuacion (11.9) podemos escribir

Un signo positivo para u,, significa que desde A se observa que B se rnueve en direcci6n positiva; un signo negativo significa que se le ve rnoverse en la direcci6n negativa.

La derivada temporal de v,, se conoce como la aceleracibn re-

Clnem6tlca de particulas

Fig. 11.9

lariva de B respecto de A y se representa por a,,, . Derivando (I 1.11 obtenernos t

a,,, = a, - a, 0 = + %/A (11.1:

Movimientos interdependientes. En algunos casos la pc sicion de una particula dependera de la posicion de otra o de otra varias particulas. Se dice entonces que 10s rnovimientos son interde pendientes. Por ejemplo, la posicion del bloque B en la figura 11. depende de la posicion del bloque A. Como la cuerda ACDEFG e de longitud constante y puesto que las longitudes de las porcione C D y EF de la cuerda, que pasan sobre las poleas, permanecen cons tantes, la suma de las longitudes de 10s segmentos AC, DE y FG e constante. Observando que la longitud del segment0 AC difiere dl x, solo por una constante y que, en forma semejante, las longitude: de 10s segmentos DE y FG difieren de x, solo por una constante escribimos

xA + 2xB = constante

Puesto que s6lo una de las dos coordenadas xA y xB puede escogersc arbitrariamente, decimos que el sistema mostrado en la figura 11 .t tiene un grodo de libertod. De la relaci6n entre las coordenadas dc posici6n xA y xB se sigue que, si a xA se le da un increment0 4, es decir, si el bloque A se baja por una cant idad ArA , la coordenada xB recibiri un increment0 AxB =-;AxA ; es decir, el bloque B se elevara la rnitad de la misrna cantidad; lorcual puede cornprobarse fdcilrnente de la figura 1 1 .a.

En el caso de 10s tres bloques de la figura 1 1.9 podernos observar otra vez que la longitud de la cuerda que pasa sobre las poleas es constante, de modo que debe satisfacerse la siguiente relacibn para las coordenadas de posici6n de 10s tres bloques:

2x, + 2xB + x, = constante

Como dos de las coordenadas pueden escogerse arbitrariarnente, de- cirnos que el sisterna mostrado en la figura 1 1.9 tiene dosgrodosde li- berrod.

Cuando la relacibn existente entre las coordenadas de posici6n de varias partlculas es lineal, se cumple una relaci6n sernejante entre las velocidades y entre las aceleraciones de las particulas. En el caso de 10s bloques de la figura 11.9. por ejemplo, se deriva dos veces la ecuacibn obtenida y escribimos,

.

dx, dx, dx, 2 - + 2 - + - = o 0 2 v A + 2 r ; , + o c = 0 dt dt- dt do, do, do 2 - + 2 - + C = o dt dt dt o 2a, + 2 a B + a c = O

f Nbtcsc que cl producto de 10s subindices A y B/A cmplcados cn el m~cmbro dc. rccho dc las ccuaciona (1 1.9). ( 1 1.10) y ( I I . 1 I ) a igual al subindicc B usado en su micmbro izquierdo.


Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde un nivel de 12 m en el pozo de un ascensor, con una velocidad inicial de 18 d s . En el mismo instante un ascensor de plataforma abierta pasa el nivel de 5 m, movihdose h m a arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determinense: a) &do y d6n-

,

de golpearti la pelota al ascensor, b) la velocidad relativa de la pelota respecto al ascensor cuando la pelota lo golpea.

\ Movimiento de la pelota. Como la pelota tiene una acclaacibn cons- .

tante, su movimiento es uniformemente acelerado. Colocando el origen 0 del eje y a1 nivel del piso y escogiendo su direccibn positiva hacia arriba, encontramos que la posici6n inicial es yo = + 12 m, la velocidad inicial es vo = + 18 m/s, y la aceleracibn es a = -9.81 m/s2. Sustituyendo a tos valores en las ecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado escribimos

Movimiento del axensor. Como eliscemm tiene una velocidad constante, su movirniento es unifonne, Una vez IT& tscogemcs el uigen 0 en el n i d del piso y consideramos la direccibn positiva hacia arriba; entonces yo = + 5 m y escribimos

vE = +2 m/s (3) . Y ~ = Y ~ + ~ ~ ~ y E Z 5 + 2 t (4)

La bola pega en el ascensor. Notarnos primer0 que usamos el mismo tiempo t y el mismo origen 0 para escribir las ecuaciones de movimiento de la pelota y del ascensor. De la figura vemos que cuando la pelota pega en el ascensor,

Sustituyendo los valores de y, y y, de (2) y (4) en (5). tenemos

lhicarnente la raiz t = 3.65 s corresponde a un tiempo posterior a la ini- . ciacibn del movimiento. Sustituyendo este valor en (4) obtenemos

y, = 5 + 2(3.65) = 12.30 m Elevacibn desde el suelo = 12.30 m r

La velocidad relativa de la pelota respecto del ascensor es /

vBIE = V , - vE = (18 - 9.81t) - 2 = 16 - 9.81t

Cuando la pelota pega en el ascensor a1 tiempo t = 3.65 s, tenemos

El signo negativo nos indica que se observa desde el ascensor a la'plota, que , se mueve en sentido nemtivo (hacia abaiol.

PROBLEMA RESUELTO 11.5 I, El collar A y el bloque B e s t b unidos con un cable que pasa sobre las tres p@

leas C, D y E, como se indica. Las poleas C y E e s h fijas mientras que la plea D esth unida a un collar del que se tira hacia abajo con velocidad constante de 3 i n k En f = 0, el collar A empieza a moversc hacia abajo desde la posicibn K con una aceleracibn constante y sin velocidad inicial. Sabiendo que la velocidad del collar A es de 12 in/s cuando pasa por el punto L, determinense el cambio en elevacidn, velocidad y aceleracidn del bloque B cuando el collar A pasa por L.

Movimiento del collar A. Colocamos el origen 0 en la superficie horizontal superior y escogemos la direccibn positiva hacia abajo. Obsewamos que cuando I = 0, el co1lar.A estA en la posicibn K y (v,), = 0. Como u, = 12 i d s y xA - (x,)~ = 8 in cuando el collar pasa por L, escribimos

El tiempo en el que el collar A llega al punto L, se obtiene al escribir

Movimiento de In polea D. Tomando en cuenta que la direccibn positi- .va es hacia abajo, escribimos

I 0 Cuando el collar A esth en L, en 1 = 1.333 s, tenemos 3 'c

I - 1 1 I

\ \' 1 I 1 I (7' : 1 ,/p, ' xD = ( x ~ ) ~ + 3(1.333) = (1,)" + 4 , @ J o - - A / Por tanto

xD - (x,), = 4 in. I I

f Movimiento del bloque B. Notamos que la longitud total del cable ACDEBdifiere de la cantidad (x, + 2xD +-xB) .d lo por una constante. CG mo la longitud del cable es constante durante el movimiento, esta cantidad debe permanecer constante tambih. En consecuencia, considerando 10s

t tiempos I = 0 y ,l = 1.333 s, escribimos

,, v D = 3 i n / s XA + 2xD + XB = (x,,)o + ~(xD)O + (xB)o (1) ' 3 I I

['A - (*A)O] + 2[xD - (XD)(J~ [xB - (XB)~] = 0

(2) Pero como sabemos que x, - (x,),, = 8 in y que xD - (x,), = 4 in, sustituyendo estos valores en (2). encontramos

8 + 244) + [x, - (x* 0 x, - (x,), = -16 in. Cambio en la elevacibn de B = 16 in r

Derivando (1) dos veces, obtenemos las ecuaciones que relacionan a las velocidades y a bs aceleraciones de A, B y D. Sustituyendo 10s valores de las velocidades y las aceleraciones de A y D cuando 1 = 1.333 s, obtenemos

11.30 Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un punto sobre un puente situado 40 m sobre el agua. Si la piedra golpea 4 s despuCs de soltarse, determinense a) la velocidad con la cual se lanz6 hacia arriba y b) la velocidad con que golpe6 el agua.

11.31 Una automovilista viaja a 54 km/h cuando observa que un semdforo a 240 m adelante de ella cambia a rojo. El semdforo estd programado para permanecer con la luz roja 24 s. Si la automovilista desea pasar por el semdforo sin pararse, justamente cuando se cambia a verde otra vez, determinense a) la deceleration uniforme que debe aplicarle al vehiculo y b) la velocidad del autom6vil a1 pasar el semdforo.

11.32 Un autom6vil recorre 1200 ft en 30s con aceleraci6n constante de 1.8 ft/s2. Determiriense a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la distancia recorrida durante 10s primeros 10s.

11.33 Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arriba con una velocidad de 15 ft/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) LA quC altura se encontraba el ascensor cuando se dej6 caer la piedra? b) icon quC velocidad cae la piedra a1 fondo del pozo?

11.34 Un autobus tiene una aceleracibn de 0.75 q/s2 al moverse de A a B. Sabiendo que su velocidad era vo = 27 km/h a1 pasar por el punto A, determinense: a) el tiempo requerido por el autobus para llegar a1 punto B y b) la velocidad correspondiente con la que pasa por B.

11.35 Resutlvase el problema 1 1.34 si la velocidad del autoblis a1 pasar por A fuese de 18 km/h.

I--- 240 m - 4 Fig. P11.31

Fig. P11.32

L l r n m - 4 Fig. P11.34

. . X - I

Fig. P11.36 I 11.36 El autom6vil A sale de 0 con una aceleraci6n uniforme

de 0.75 m/s2. Poco tiempo desputs es alcanzado por un autobds que se mueve en la direcci6n opuesta con una velocidad constante de 6 m/s. Sabiendo que el autobus B pasa por el punto 0 20 s despds que el autom6vil A sali6 de alli, determinense cudndo y d6nde se cru- zaron 10s vehiculos.

11.37 Dos autom6viles A y B viajan en la misma direcci6n en lineas contiguas de la carretera. El autom6vil B se para cuando es rebasado por A, el cual va a una velocidad constante de 15 mi/h. Si dos segundos despuCs el autom6vil B inicia su movimiento con una aceleraci6n de 3 ft/s2, determinense a) cudndo y d6nde B rebasard a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

11.38 Los autodviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera, y en t = 0 tienen las posiciones y velocidades mos- tradas. Sabiendo que el autom6vil A tiene una aceleraci6n constante de 1.8 ft/s2 y que B tiene una deceleracion constante de 1.2 ft/s2, determinense: a) cubdo y d6nde A rebasart a B, y b) la velocidad de cada autom6vil en ese instante.

Flg. P1 1.40 y P1 1.41

Flg. P1 1.42 y P11.43 .-

Fig. P1 1.44 y P1 1 . 4 q d' \=

t-

F - - s Fig. P I 1.38

11 39 Un elevador de plataforma abierta baja al pozo de una mina con una velocidad constante u, cuando la plataforma del elevador pega y desprende una piedra. a) Suponiendo que la piedra empieza a caer sin velocidad inicial, demuestrese que la piedra pegarP a la plataforma con una velocidad relativa de magnitud u,. b) Si u, = 7.5 m/s, determinese cubdo y d6nde pegard la piedra a la plataforma del elevador.

'\

\ 11.40 El ascensor mostrado en la figura adjunta se mueve hacia arriba a la velocidad constante de 5 m / ~ . Determinese a) la velocidad del cable C, b) la velocidad del contrapeso W, c) la velocidad relativa del cable C con respecto al ascensor y d) la velocidad relativa del contrapeso W con respecto al ascensor.

11.41 El ascensor mostrado parte del reposo y se mueve hacia arriba con una aceleraci6n constante. Si el contrapeso Wrecorre 10 m en 5 s, detpminense: a) las aceleraciones del ascensor y del cable C y b) la velocidad del elevador despuCs de 5 s.

1 i .42 El bloque deslizante B se mueve a la derecha con una velocidad constante de 18 i n /~ . Determinense a) la velocidad del bloque A, b) la velocidad de la porci6n D del cable, c) la velocidad relativa de A respecto de B y 4 la velocidad relativa de la porci6n C respecto de la porci6n D.

11.43 El bloque deslizante A parte del reposo y se mueve hacia la izquierda con una aceleraci6n constante. Si se sabe que la velocidad del bloque B es 12 i d s despuks de moverse 24 in, deterrninense: a) las aceleraciones de A y B, y b) la velocidad y la posicidn de A desputs de 5 s.

11.44 El collarin A parte del. reposo y se mueve hacia la izquierda con una aceleracion constante. Sabiendo que 6 s despub la velocidad relativa del collarin B respecto del collarin A es 450 mm/s. determinense: a) las aceleraciones de A y B, y b) la posicion y la velocidad de B 8 s despues.

11.45 En la posici6n mostrada el collar B se mueve a la izquierda con u-dad de 100 mm/s. Determinense: a) la velocidad del collarin A, 6) la velocidad de la porcion C del cable y c) la velocidad relativa d t la porcion C del cable respecto del collarin B.

I

2 J ! - 6 J p - U K - U I \p. G J -i OL I

' ' 0 - i ' , f i - ! * - , 6 ,

1 1 .46 En condiciones normales de operaci6n la cinta es trans- 1 : , / \ ? terida entre 10s carretes aqui mostrados con una velocidad de 720 495 mm/s. En t = 0, la porcion A de la cinta se mueve a la derecha con

' > - J i l p - vp- 3 PKbb"ms una velocidad de 600 mm/s y tiene una aceleracion constante. Sabien- 7 do que la porcion B de la ciota tiene una velocidad constante de 720 LIP - 0 & 0 mm/s y que la velocidad de la porcion A alcanza 720 mm/s en t = 6 s, determinense a) la aceleraci6n y velocidad del compensador C en L c j i l p 4 '{g 11 t = 4 s, b) la distancia a la que C se habrh desplazado en t = 6 s.

I'

I 1 - I' .

r - . ,

i t

3% : ?,L t Flg. P I 1.46 y PI 1.47

'%,?

' i A

, --

>

\

11.47 Las porciones A y B de la cinta aqui modtrada parten del reposo en t = 0 y ambas se aceleran uniformemente hastir@ alcanzan una velocidad de 720 mm/s, cada porcion de la cinta se mueve entonces con una velocidad constante de 720 mm/s. S biendo que ? las porciones A y B alcanzan la velocidad de 720 mm/s en 18 s y 16 s, respectivamente, determinense: a) la aceleracion y la velocidad !el compensador C en t = 10 s y b) la distancia C que habra recorridb cuando ambas porciones de la cinta alcanzan su velacidad final.

, .

1 1.48 El collarin A parte del reposo &ando t =. 0 y se mueve hacia arriba con una aceleracibn constants de 3.d inis*. S,abiendo que el collarin B se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 16 in/s, determinense: a) el tiempo a1 cual, la velocidad del bloque

11.49 Los collarines A y B parten del reposo y se mueven con las siguientes aceleraciones: a, = 2 . 3 in/s2 hacia arriba y aB = 15 in/s2 hacia abajo. Determinense a) el tiempo en que la velocidad del bloque C es otra vez cero y bj la distancia que el bloque C habrh recorrido en ese tiempo.

11.50 Los ires bloques que se indican esthn igualmente espa- ciados horizontalmente y se mueven verticalmente con velocidades constantes. Sabiendo que en el inicio esthn al mismo nivel y que la velocidad de C respecto de B es 200 mm/s hacia abajo, determinese la velocidad de cada bloque de manera que 10s tres bloques perma- nezcan alineados durante su movimiento.

11.51 Los tres bloques aqui mostrados se mueven con velocidades constantes. Encutntrese la velocidad de cada bloque si la velocidad relativa de A respecto de C es 120 mm/s hacia arriba y que la velocidad relativa de B respecto de A es 40 mm/s hacia arriba.

I

Flg. P I 1.48 y P I 1.49 ' /

Flg. P11.5@ y P11.51

496 '11.7. Solucion grafica de problemas de movimiento rec. tilineo. Se observb en la seccibn 1 1.2 que las fbrmulas fundarnentales

Cl- de partlcuh

tienen un significado geomktrico. La primera fbrmula expresa que la velocidad en cualquier instante es igual a la pendiente de la curva x-t en el mismo instante (Fig. 1 1.10). La segunda fbrmula expresa que la

Fig. 11.11

aceleracibn es igual a la pendiente de la curva u-1. De estas dos propiedades pueden obtenerse graficamente las curvas u-t y a-t de un movimiento cuando se conoce la curva x-t.

Al integrar las dos formulas fundamentales desde un tiempo r , hasta un tiempo t,, escribimos

La primera formula expresa que el Brea medida bajo la curva v - t desde t, hasta I, es igual al cambio en x durante ese interval0 (Fig. 1 1.1 1 ). La segunda expresa de manera similar que el irea medida bajo la curva o-t desde t , hasta t, es igual al carnbio en u durante el mismo intervalo. Estas dos propiedades pueden emplearse para deterrninar graficamente la curva x - t de un movimiento cuando se conoce su curva u - t o la curva a - t (vease el problema resuelto 11.6).

Las soluciones grificas son especialmente utiles cuando el movimiento que se considera se define a partir de daios experimentales y cuando x, v y a no son funciones analiticas de I . Tambien pueden aprovecharse cumdo el movimiento consta de diferentes partes y cuando su anilisis requiere que se escriba una ecuacibn distinta para cada una de sus partes. No obstante, al usar una solucibn grifica se debe tener cuidado en reconocer: 1) que el area bajo la curva v - I mide al carnbio en x, y no a x misma y, de mod0 similar, que el area bajo la zurva a-I mide al carnbio en v; 2) que mientras un area por encima del eje t corresponde a un increment0 en x o en v, un area localizada bajo el eje t mide una disminucion en x o en v.

Seri util recordar, al dibujar curvas de movimiento, que si la velocidad es constartte estari representada por una linea recta horizontal; la coordenada de posicibn x seri entonces una funcibn lineal de t y estara representada por una linea recta oblicua. Si la aceleracibn es constante

y distinta de cero, estara representada por una linea recta horizontal; v sera entonces una funci6n lineal de 1, representada por una linea recta oblicua y x estara expresada como un polinomio de segundo grado en t, representado por una parabola. Si la aceleraci6n es una funci6n lineal de f, la velocidad y la coordenada de posici6n serhn iguales, respectivamente, a polinomios de segundo y tercer grados; a estarh representada entonces por una linea recta oblicua, v por una parhbola y x por una chbica. En general, si la aceleraci6n es un polinomio de grado n en f , la velocidad sera un polinomio de grado n + 1 y la coordenada de posici6n un polinomio de grado n + 2; estos polinomios estAn representados por curvas de movimiento del grado co- rrespondien te.

'1 1.8. Otros metodos graficos. Puede utilizarse otra solucibn grafica para determinar directamente de la curva a-t la posici6n de una particula en un instante dado. Sean x, y v,, respectivamente 10s valores de x y v a f = 0, y x, y v , sus valores a f = I , , y observando que el Area bajo la curva v-f puede dividirse en un recthngulo de Area v,t, y elementos diferenciales horizontales de area (f, - f) dv (Fig. 11.12a), escribimos

X , - xo = Area bajo la curva v-t = uOtl + J ~ ~ ( ~ ~ - t ) do vo

Al sustituir dv = a df en la integral, obtenemos

En la figura 11.126, notamos que la integral representa el momento de primer orden del area bajo la curva a-t respecto de la linea f = f , que limita el area de la derecha. A este metodo de solucion se le llama, por consiguiente, mkfodo del momento-area. Si se conoce la abscisa t del centro de gravedad C del area, puede obtenerse la coordenada de posicion x, escribiendo

x, = x, + u,t, + ( area bajo la curva a-f ) ( t , - t) (11.13) Si el area bajo la curvaa-t es compuesta, el ultimo termino en (1 1.13) puede obtenerse multiplicando a cada componente del area por la distancia de su centro de gravedad a la linea t = t,. Las areas por arriba del eje t deben considerarse como positivas y las de abajo del eje t como negativas.

Algunas veces se emplea otro tipo de curva de movimiento, la curva v-x. Si se ha representado esta curva (Fig. 11.13), la aceleracion a puede obtenerse para cualquier tiempo trazando la normal a la curva y midiendo la subnormal BC. De hecho, observando que el angulo entre AC y AB es igual al angulo 8 entre la horizontal y la

' tangente en A (cuya pendiente es tan 8 = dvldx), escribimos

y entonces, recordando la f6rmula (1 1.4),

11 8. Otros metodos graficos

I

L Flg.

'\c I--- 0 -A x

Flg. 11.13

*


aplican 10s frenos, dgndole al tren una desaceleracion constante hasta parado en 6 s. El tiernpo total de recorrido de A hasta B es 40 s. Tracense las curvas a-I, v-I, y x-I , y deterrninese la distancia entre las estaciones A y B.

C'urba acel@acibn-tiernpo. Corno la aceleracibn es constante o cero, la curva 0-1 esra forrnada por segrnentos de lineas horizontales. Los valores de I , y a, se determinan en la forrna siguiente:

0 < t < 6: El carnbio en v = a1 area bajo la curva a-I r;, - 0 = (6 s)(4 ft/s" = 24 ft/s

6 < t < t,: Corno la velocidad aurnenta de 24 a 48 ft/s. El carnbio en v = area bajo la curva a-1

48 - 24 = ( t 2 - 6)(6 ft/s2) t 2 = 10 s t2 < t < 34: Como aqui la velocidad es constante, la aceleraci6n es cero. 34 < t < 40: el carnbio en u = area bajo la curva 0-1.

0 - 48 = (6 s)c~, (1, = - 8 ft/s2

Siendo la aceleracibn negativa, el area correspondiente queda abajo del eje I ; esta area representa una disrninuci6n en la velocidad.

Cuna \eloridad-tiernpo. Puesto que la aceleracibn es constanre o cero, la curva v-r esta forrnada por segmentos de linea recta que unen a 10s puntos determinados arriba.

El carnbio en x = area bajo la curva v-I

Suniando los carnbios en .u obtenernos la distancia de A a B:

C'urba po\icii)n-~icmpo. L-os puntos derern~inados arriba deben unirw por ires arcos de parabola y un segment0 de linea recta. La construccih de la curva x-r se hara mas facilniente y con mayor exactitud si renenlos en nlerlre que, para cualquier valor de r, la pendiente de la rangenle a la cu ru x-I er igual a1 valor de u en ese instanre.

Problemas 1 1.52 Una particula se mueveen linea recta con la aceleraci6n

mostrada en la figura. Sabiendo que p a t e del origen con vo = - 18 ft/s, a) dibuje las curvas v - t y x- t para 0 < t < 20 s, b) determinense su velocidad, su posici6n y la distancia total recorrida 12 s desputs.

Fig. P11.52

11.53 Para la particula y el movimiento del problema 11.52 trhcense las curvas v-t y x-t para c t c 20 s y determinense a) el valor mhimo de la velocidad de la particula y b) el valor mhimo de su coordenada de posici6n.

11.54 Una particula se mueve en una linea recta con la velocidad mostrada en la figura. Sabiendo que x = -16 m para t = 0, dibujense las curvas a-t y A-t para 0 < t < 40 s y determinense a) el mhimo valor de la coordenada de posici6n de la particula, b) 10s valores de t en 10s que la particula esth a una distancia de 36 m del origen.

11.55 Para la particula y el movimiento del problema 11.54 grafiquense las curvas a-t y x-t para 0 < t < 40 s y deterrninense a) la distancia total recorrida por la particula durante el period0 de t = 0 a t = 30 s y b) 10s dos valores de t cuando la particula pasa por el origen.

Fig. P11.56

11.56 Un autobus sale del punto A desde el reposo y acelera a raz6n de 0.8 m/s2 hasta que alcanza una velocidad de 12 m/s. Continua a 12 m/s hasta que aplica 10s frenos; alcanza el reposo en el punto B, 42 m despues del punto donde 10s frenos se aplicaron. Suponiendo deceleracion uniforme y sabiendo que la distancia entre A y B e S 300 m, determinese el tiempo que tard6 el autobus en avanzar de A a B.

11.57 Una serie de sefiales de trhnsito se programa de tal manera que un autom6vil que avance con una velocidad constante de 45 km/h llegarh a cada semaforo justamente en el cambio a luz verde. Un automovilista pierde la luz verde y esth parado en el semhforo A, sabiendo que el siguiente semiifor0 B esth a 325 m adelante y que la mhima aceleraci6n del automovil es 1.5 m/s2, deterrninese quk debe hacer para mantener la mhima velocidad tan baja como sea posible y llegar a1 semiforo B justamente cuando se ponga en verde. ~ C U A es la maxima velocidad alcanzada?

I Fig. P11.54

L 2 8 0 m 4 Fig. P11.60

11.58 El disparo de un mortero causa que su cafi6n retroceda 40 in antes de que un mecanismo de frenado lo pare. Por medio de un registro fotogrdfico de alta velocidad, se encuentra que el mh i - mo valor de la velocidad de retroceso es 270.in/s y que tsta se alcanza 0.02s despues del disparo. Sup6ngase que el period0 de retroceso consta de dos fases, durante las cuales la aceleracidn tiene un valor constante positivo a, y un valor constante negativo a,, respectivamente. Determinense a) 10s valores de a, y a, y b) la posici6n del ca- fi6n desputs de 0.02 s del disparo, c) el tiempo en el cual la velocidad del can611 es cero.

11.59 Durante una operacion de acabado, la base una cepilladora industrial se mueve alternativamente 30 in a la derecha y 30 in a la izquierda. La velocidad de la base estd limitada a un valor m k i - mo de 6 in/s a la derecha y 12 in/s a la izquierda; la aceleraci6n es sucesivamente igual a 6 in/s2 a la derecha, cero, 6 in/s2 a la izquierda, cero, etc. Determinese el tiempo necesario para que la base reali- ce un ciclo completo y dibujense las curvas v - t y x- t .

1 1.60 Una automovilista viaja a 54 km/h cuando observa que la luz de un semdforo a 280 m adelante se pone en rojo. Sabe que el semdforo estd programado para estar en rojo durante 28 s. ~QuC debe hacer para pasar el semdforo a 54 km/h en el momento exacto en que se ponga la luz verde otra vez? Trdcese la curva v- t , seleccio- nando la soluci6n para la cual se tengan 10s valores m b pequefios posibles de deceleracion y aceleracion, y determinense: a) la deceleracion y la aceleracion en m/s2 y b) la velocidad minima alcanzada en km/h.

11.61 Resuklvase el problema 11.60 sabiendo que la acelera- ci6n del autom6vil no puede exceder de 0.6 m/s2.

11.62 Un autom6vil en reposo es alcanzado por un cami6n que viaja a una velocidad constante de 54 km/h. El autom6vil empieza a correr con aceleraci6n uniforme durante 10 s hasta que alcanza una velocidad de 90 km/h. Si el autom6vil mantiene entonces una velocidad constante de 90 km/h, determinese cudndo y d6nde alcan- zard el camidn, supaniendo que el autom6vil arranca: a) justamente cuando el cami6n lo pasa y b) 3 s desputs de que el cami6n lo rebase.

11.63 Un automovil y un camion mantienen una velocidad constante de 35 mi/h; el automovil esta 40 ft atras del camion. El chofer del automovil desea rebasar a1 camion, es decir, desea colocar su automovil en B, 40 ft adelante de el y desputs continuar a la velocidad de 35 mi/h. La aceleracion maxima del automovil es 5 ft/s2 y la deceleracion maxima obtenida a1 aplicar 10s frenos es 20 ft/s2. iCual es el tiempo mas corto en el que el chofer puede completar la operacion de rebasar al camion sin exceder en ningun momento la velocidad de 50 mi/h? Tracese la curva o - t.

1 1.64 Resutlvase el problema 11.63 suponiendo que el chofer no pone atencion alguna a1 limite de velocidad-mientras esta reba- sando y se concentra en llegar a la posicion B y continua con una velocidad de 35 mi/h en el minimo tiempo posible. iCuil es la maxima velocidad que alcanza? Dibujese la curva v - t.

11.65 Un automovil y un camion viajan a una velocidad constante v,; el automovil se encuentra a 30 ft atras del camion. El conductor del camion frena repentinamente haciendo que su vehiculo decelere uniformemente a 9 ft/s2. Dos segundos despues el conductor del automovil frena y apenas alcanza a evitar una colision por detras. Determinese la deceleracion uniforme del vehiculo si: a ) u, = 60 mi/h y b ) v, = 45 mi/h.

11.66 El automovil A viaja con una velocidad constante u, y se acerca a1 automovil B que viaja en la misma direccion con una velocidad constante de 72 km/h. El conductor del automovil B ve al automovil A cuando este esta todavia a 60 m detras de el y acelera entonces a 0.75 m/s2 para evitar ser rebasado o golpeado por el coche A. Se sabe que lo mas proximo que pueden estar A y B es 6 m; determinese la velocidad v, del automovil A.

11.67 Un elevador de carga F que se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 5 m/s rebasa un elevador de pasajeros P que se encuentra detenido. Tres segundos desputs, el ascensor de pasajeros inicia su subida con una aceleraci6n de 1.25 m/s2. Cuan- do el ascensor de pasajeros alcanza una velocidad de 10 m/s, continlia con velocidad constante. Tracense las curvas u - t e y - t y a partir de ellas determinense el tiempo y la distancia requeridas por el ascensor de pasajeros para rebasar a1 ascensor de carga.

Fig. P11.67

11.68 El registro de aceleraci6n aqui mostrado se obtuvo de un avi6n pequeilo que viaja en linea recta. Si x = 0 y v = 60 m/s en t = 0, determinense: a) la velocidad y la posici6n del avi6n para t = 20 s y b ) su velocidad media durante el intervalo 6 s < t < 14 s.

1 1.69 La aceleraci6n de una particula varia uniformemente de a = 90 in/s2 para t = 0 a a = - 90 in/s2 para t = 6 s. Si se sabe que x = 0 y v = 0 cuando t = 0, determinense a) la velocidad maxima de la particula, b) su posicion en t = 6 s y c) su velocidad media durante el intervalo 0 < t < 6 s. Tracense las curvas a- t , v - t y x - t del movimiento.

I 1.70 A la derivada temporal de la aceleracion se la conoce como sacudida; cambios grandes o bruscos de la aceleracion producen malestar a 10s pasajeros en 10s ascensores. Si la sacudida de un ascensor se limita a f 1.6 ft/s2/s, determinense a ) el minimo tiempo que se necesita a partir del reposo para elevarse 50 ft y parar y b ) la correspondiente velocidad media del ascensor.

Problemas

B

Fig. P I 1.66

Fig. P I 1.68

502 11.71 Para rnantener a 10s pasajeros confortablernente la aceleracion de un ascensor se lirnita a _+ 1.5 m/s2 y la sacudida, o deri-

Cinem6tica de particulas vada temporal de la aceleracion se limita a f 0.5 m/s2/s. Si el elevador parte del reposo, determinense a) el minimo tiernpo necesario para alcanzar una velocidad constante de 8 m/s, b) la distancia recorrida en ese tiernpo y c) la correspondiente velocidad media del ascensor.

t ( s ) Fig. P I 1.72

11.72 El registro de aceleraci6n rnostrado en la figura se obtuvo de un carni6n que viajaba sobre una carretera rectilinea. Si se sabe que la velocidad inicial del cami6n era 15 mi/h, determinense a) la velocidad en t = 6 s, b) la distancia que recorri6 el cami6n durante 1 - ~ I ( , , ~ \ ~ I

I lr! 'C - ,- a2 la prueba de 6 s.

m - ~ ~ ~ 11.73 Un aeroplano de entrenamiento aterriza sobre un transporte aeronautico y se pone en reposo en 3 s por medio de un engra- -

ne de fijaci6n del transporte. Un aceler6metro fijo al aeroplano pro- 0 s 1 0 I S 2 0 2 5 3 0 porciona el registro de aceleraci6n que se rnuestra. Determinense por

I(\) medios aproximados a) la velocidad inicial del aeroplano relativa a Fig. PI 1.73 la plataforma y b) la distancia que viaja el aeroplano a lo largo de

la plataforrna antes de alcanzar el reposo.

o(rn/s) Fig. P11.74

b ! 8

11.74 La deceleracibn maxima posible de un tren de pasaje- j ros bajo condiciones de emergencia se determino experimentalmente; 10s resultados se muestran en la figura (curva s6lida). Si se aplican 10s frenos cuando el tren viaja a 90 km/h, deterrninense en forma distancia recorrida en ese lapso. aproximada: a) el tiernpo necesario para que el tren se pare y C) la 1

11.75 La curva u-x mostrada en la figura se obtuvo experi- 503 mentalmente durante el movimiento de la base de una cepilladora industrial. Determinese en forma aproximada la aceleraci6n: a) cuan- Problemas do x = 3 in y b ) cuando u = 10 i d s .

1 2 3 4 5 6 ' x (in )

Fig. P I 1.75

11.76 Empleando el mCtodo de la secci6n 11.8, obtkngase la f6rmula x = x, + uot + ?hat2 para la coordenada de posici6n de una particula en un movimiento rectilineo uniformemente acelerado.

11.77 La aceleraci6n de un objeto sometido a una onda de presi6n debida a una gran explosi6n se define por la curva aqui m s - trada. El objeto estd inicialmente en reposo y vuelve a quedar en reposo al tiempo t , . Usando el mCtodo de la secci6n 11.8, determinense a) el tiempo t , y b ) la distancia hasta la cud es impulsado el objeto por la onda de presi6n.

L. , -. -4 Fig. P I 1.77

11.78 Para la particula del problema 11.54, trdcese la curva a-t y, empleando el mCtodo de la secci6n 11.8, determinense: a) la posici6n de la particula en t = 20 s y b ) el mhimo valor de su coordenada de posici6n.

11.79 Con el mCtodo de la secci6n 11.8 determinese la posi- ci6n de la particula del problema 11.52 cuando t = 14 s.

Cinemdtica de particulas

/ 2

Fig. 11.14

11.9. Vector de posicion, velocidad y aceleracih. Cuan- do una particula no se desplaza en linea recta, decimos que dicha particula describe un movimiento curvilineo. Para definir la posici6n P que ocupa la particula para un cierto tiempo t, seleccionarnos un sistema de referencia fijo, como 10s ejes x, y y z mostrados en la figura 11.14~ y trazamos el vector r que une a1 origen 0 y al punto P. Co- mo el vector r esth caracterizado por su magnitud r y su direccibn respecto de 10s ejes de referencia, define completamente la posici6n de la particula respecto de estos ejes; el vector r se llama vector deposi- cidn de la particula en el tiempo t.

Consideremos ahora al vector r ' , que define la posici6n P' ocu

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