abacus

MATHS&

PLAY

=

%4- 8 6370

+?≤

≥ { }

1 14

imagen 1Diagram 1

imagen 3Diagram 3

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000

1.000.000.000

1x8=8

10x4=40

2A

1x0=0

10x5=50

100x6=600

1000x7=7000

10000x3=30000

100000x4=400000

1000000x2=2000000

10000000x1=10000000

100000000x3=300000000

2C

1x1=1

10x6=60

100x9=900

1000x5=5000

10000x2=20000

2B

A B C

D E F

G H I

1

*2

2

4

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

13 2

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

imagen 4Diagram 43

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

3 12

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

11 4

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

5 10

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

9 6

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

7 8

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

7 8

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(AR) ووااللووصصفف االلتتااررييخخ.. 11

.الوسطى آسيا إلى يشيرون التاريخ علماء أغلب لكن الدقيق مصدره تحديد يصعب. الحديثة الرقمية الحاسبات أساس شكلت والتي العالم، في الأقدم الإحصاء أداة الأباكوس يعتبر )... الروسي الاباكوس( وستشوتي)، ابانيي اباكوس( وسوروبان)، صيني اباكوس( بان السوان؛ الأشكال من العديد اليوم منها ونجد العالم، أنحاء مختلف في مختلفة بطريقة الأباكوس تطور لقد

. المحتملة والأرقام جذر التربيع إلى بالإضافة)، والقسمة والضرب والطرح كالجمع( الطبيعية للأرقام الحسابية العمليات تعلم على فيه الأرقام ووضعية نظامه يسهل. بسهولة الحساب تعلم على يساعدنا وهو الأباكوس، فهم يسهل .لها الحلول وإيجاد الرياضية المسائل جميع في المنطقي التفكير طريقة تعليمنا في لأباكوسا فائدة تكمن

. متحركة كرات 10 تدخل فيها متوازية قضبان مع إطار من الأباكوس يتألف

1 رقم الصورة في موضح هو كما

11 آحاد 1100 عشرات

110000 مئات 000000..11 الألوف آحاد

000000..1100 الألوف عشرات 000000..110000 الألوف تمئا

000000..000000..11 المليون آحاد 000000..000000..1100 المليون عشرات

000000..000000..110000 المليون مئات 000000..000000..000000..11 المليار آحاد

االألأببااككووسس ااسستتععمماالل ككييففييةة.. 22

.منه اليسرى الجهة في الكرات جميع تثبيت يجب باستعماله البدء قبل

. تظهر التي الأرقام وحساب المختلفة التراكيب وملاحظة الكرات مع رقامالأ من عدد بتركيب ينصح عليه والاعتياد للتعرف .أ.2 الصورة في موضح هو كما الرقم يصبح سوف .اليمين إلى) حمراءال الثاني، الصف( كرات 4 حرك العشرات لتشكيل. اليمين إلى) زرقاءال الأول، الصف( الآحاد من كرات 8 حرك 48 الرقم لتشكيل ..أأ..22

.اليمين إلى) الخضراء الثالث، الصف( كرات 9 حرك المئات لتشكيل .اليمين إلى) الحمراء الثاني، الصف( كرات 6 حرك العشرات لتشكيل .اليمين إلى) زرقاءال الأول، الصف( الآحاد من واحدة كرة حرك 25961 الرقم شكيللت ..بب..22

.ب.2 الصورة في موضح هو كما الأباكوس في الرقم يظهر سوف. اليمين إلى) البيضاء الخامس، الصف( كرتين نحرك المليار عشرات لتشكيل وأخيرا. يناليم إلى) الصفراء الرابع، الصف( كرات 5 حرك الألف آحاد لتشكل المئات لتشكيل. اليمين إلى) الحمراء الثاني، الصف( كرات 5 والتحريك العشرات إلى قالالانت يجب لذلك لصف، هذاا في كرات نجد لا الأحيان بعض في لكن ،)الزرقاء الأول، الصف( بالآحاد نبدأ 312437650 الرقم لتشكيل ..جج..22 الصف( الألف مئات في. اليمين إلى كرات 3 نحرك) البيضاء الخامس، الصف( الألف عشرات في. اليمين إلى) الصفراء الرابع، الصف( كرات 7 نحرك الألف آحاد في. اليمين إلى كرات 6 تحريك يجب) الخضراء الثاني، الصف(

الصف( المليار مئات وأخيرا. اليمين إلى فقط واحدة كرة نحرك) الخضراء الثامن، الصف( المليون عشرات في. اليمين إلى كرتين نحرك) الحمراء السابع، الصف( المليون آحاد في. اليسار إلى كرات 4 نحرك) الزرقاء السادس، .الأباكوس في سيظهر كما الرقم وضحت .ج.2 الصورة. يمينال إلى كرات 3 نحرك) الصفراء التاسع،

:المكملة التمارين من العديد يلي فيما نعرض

.4183 ،1692 ،987 ،539 ،205 ،191 ،98 ،46: الأباكوس باستعمال التالية الأرقام تمثيل: 1*

:3 رقم الصورة في الموضحة الأرقام كتابة: 2*

/ ..............أ....../ ........ب/ ..............ج/ ..............د

/ ..............هـ/ ..............و/ ..............ز/ ..............ح

/ ..............ط .التعليمات كتاب نهاية في التمارين أجوبة*

الأباكوس باستعمال عمليات. 3

. معقدة أو بسيطة عمليات إلى العمليات جميع تقسيم يمكن

)4 رقم صورة( الجمع الثاني الرقم بتشكيل نقوم بعدها). أخضر( المئات من 1و) أحمر( العشرات من كرات 3و اليمين إلى) الأزرق( الآحاد من كرات 5 نحرك)، 135( الأباكوس في الأول الرقم وضع يجب. 321+ 135 بجمع رغبنا حال في: البسيطة

.456 أي)، مئات( خضراء كرات 4و) عشرات( حمراء كرات 5و) آحاد( زرقاء كرات 6: هي اليمنى الجهة في النتيجة. المئات من خضراء كرات 3و العشرات من حمراء وكرتين الآحاد من يناليم إلى زرقاء واحدة كرة نحرك): 321(

6و الزرقاء الآحاد من كرات 4 طريق عن 564 الثاني والعدد اليمنى الجهة إلى كرات نزيد. المئات من خضراء وكرتين العشرات من حمراء كرات 7و الآحاد من زرقاء كرات 3): 273(الرقم تركيب يجب. 564+ 273لجمع : معقدة قمنا أننا وبما اليسرى. الجهة في العشرات كرات جميع نجد. اليمين إلى الخضراء المئات من واحدة كرة ونمرر اليسار جهة في الباقية اليمين إلى كرات 3 تمرير علينا لذلك، كافية غير لكنها 7 الآن لدينا الحمراء. العشرات من كرات

كرات 7 هي تظهر تيال النتيجة. اليمين إلى الخضراء المئات من كرات 5 نزيد وبعدها لدينا، بقيت التي وهي اليمين إلى الحمراء العشرات من كرات 3 ونمرر العملية نعيد للتمرير أخرى ثلاثة لدينا ولاتزال العشرات من كرات 3 بتمرير .837 أي المئات، في 8و العشرات في 3 و الآحاد في

الطرح 3 نمرر: الآحاد من بدأن 213 الثاني الرقم لطرح. الخضراء المئات من 4و الحمراء العشرات من 2و الزرقاء الآحاد من كرات 5 ،425 الأول الرقم بتمرير نبدأ اليسرى الجهة في الكرات جميع تثبيت بعد. 213 - 425 نطرح: البسيطة

الحمراء العشرات في وكرة الزرقاء الآحاد في كرتين: هي النهائية النتيجة. اليسار إلى اليمين من خضراء كرتين نحرك المئات وفي حمراء واحدة كرة اليسار إلى نمرر العشرات وفي اليسار إلى اليمين من الزرقاء الآحاد من كرات . 212 اي الخضراء المئات في وكرتين

عشرات، 8 نطرح بعدها اليسار إلى ونمررها زرقاء آحاد 5 نطرح. الآحاد من نبدأ 485 الثاني الرقم لطرح. 976 اليمين إلى مئات 9و عشرات 7و آحاد 6 نمرر السابقة العمليات في كما. 485 - 976 نطرح الحالة هذه في: معقدة

لأنها اليسار إلى العشرات من حمراء واحدة كرة ونحرك اليمين إلى الحمراء العشرات كرات جميع نمرر بعدها. الخضراء المئات من كرات 9 من 1 وتمرير اليسار إلى العشرات من تكرا 7 تمرير علينا لذلك كافية كرات نملك لا لكننا . لطرحها الباقية .491 أي آحاد، 1و عشرات 1و مئات 4 هي والنتيجة الأيمن. القسم في 4 لدينا وتبقى) العشرات باقي من 1 طرحنا( حوزتنا في 8 من خضراء مئات 4 نطرح وأخيرا

الضرب

الزرقاء بالآحاد نبدأ. اليسار جهة في الكرات جميع تكون أن العمليات باقي في كما يجب 2× 413 لضرب مثلا، للضرب: البسيطة العشرات مع العملية نعيد. نىاليم الجهة إلى مرتين كرات 3 بتحريك ونبدأ خالية اليمنى الجهة ونجد أولا .826 أي الخضراء، المئات من كرات 8و الحمراء العشرات من وكرتين زرقاء آحاد كرات 6: النتيجة تكون أن يجب. مرتين خضراء كرات 4 ونحرك المئات، مع مرتين واحدة كرة ونحرك

الباقية والثلاثة اليمين إلى الأولى كرات 7 عندها نحرك. للعملية كافية كرات نملك لا لكننا الحمراء، العشرات من مرتين كرات 7 بتحريك العشرات نضرب وبعدها مرتين، الزرقاء الآحاد من كرات 4 بتحريك نبدأ 2×74 لضرب: معقدة من واحدة كرة النهاية في لدينا تبقى. اليمين إلى نحركها والتي للتمرير للعشرات حمراء كرات 4 لدينا وتبقى الحمراء، العشرات كرات جميع اليسار إلى نحرك الوقت نفس وفي الخضراء المئات من واحدة كرة نحرك وبذلك كذلك، .148 أي الزرقاء، الآحاد من كرات 8و الحمراء العشرات من كرات 4و الخضراء المئات

9 6

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

5 10

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(HE) וותתייאאוורר ההססטטווררייהה.. 11

.אסיה במרכז מקורה כי מאמינים ההיסטוריונים רוב אך, המדויק מוצאה מהו לקבוע קשה. המודרניים הדיגיטליים המחשבונים של קודמתם והיא, ביותר העתיק החישוב למכשיר נחשבת החשבונייה

)... רוסית ונייהחשב" (וטי'סצ"ה), יפנית חשבונייה" (סורובן"ה), סינית חשבונייה" (פאן סואן"ה: חשבוניות סוגי כמה קיימים וכיום, השונים העולם באזורי שונות בדרכים התפתחה החשבונייה היתרון. וחזקות ריבועי שורש ואפילו) וחילוק כפל, חיסור, חיבור( הבסיסיות החשבוניות הפעולות את להבין עוזרת מיקום לפי הספירה שיטת. לחשב ללמוד כדי מאוד שימושית והיא, החשבונייה את להבין מאוד קל .פתרונות על לחשוב היכולת את מפתחת היא ובכך, מתמטית בעיה כל על לוגית חשיבה לחשוב אותנו מלמדת שהיא הוא החשבונייה של

. להזזה הניתנים כדורים 10 שעליהם, מקבילים מוטות עם מסגרתמ מורכבת החשבונייה

. 1 איורב שמוצג כפי נראית היא

אחדות 1 עשרות 1100 מאות 110000 אלפיות 000000,,11 אלפים עשרות 000000,,1100 אלפים מאות 000000,,110000

מיליונים ,,00000011,,000000 מיליונים עשרות 000000,,000000,,100 מיליונים מאות 000000,,000000,,110000 מיליארדים 000000,,000000,,000000,,11

בבחחששבבווננייייהה ההששייממוושש אאוופפןן..22

.שמאל בצד להיות הכדורים כל על, השימוש תחילת לפני

. המופיע המספר את ולחשב החשבונייה של שונים שילובים לראות, הכדורים בעזרת שונים מספרים להציב מומלץ, החשבונייה את להכיר להתחיל כדי 22..AA.. 2 איורב מוצג זה מספר. ימין לצד) אדום צבע, שנייה שורה( כדורים 4 נעביר, העשרות את ליצור כדי. ימין לצד) כחול צבע, ראשונה שורה( האחדות בשורת כדורים 8 נעביר, 48 המספר את ליצור כדי.A.

22..BB.. 9 נעביר, המאות את ליצור כדי. ימין לצד) אדום צבע, שנייה שורה( כדורים 6 נעביר העשרות את ליצור כדי. ימין לצד) כחול צבע, ראשונה שורה( האחדות בשורת אחד כדור נעביר, 25,961 המספר את ליצור כדי

זה מספר. ימין לצד) לבן צבע, 5 שורה( כדורים 2 נעביר, האלפים עשרות את ליצור כדי, ולבסוף, ימין לצד) בצהו צבע, רביעית שורה( כדורים 5 נעביר אלפים ליצור כדי, ימין לצד) ירוק צבע, שלישית שורה( כדורים .בחשבונייה נראה שהוא כפי B.2 איורב מוצג

22..CC.. המאות ליצירת. ימין לצד) אדום צבע, שנייה שורה( כדורים 5 ונעביר לעשרות בורנע כן על, להעביר כדור אף לנו אין הפעם אבל), כחול צבע, ראשונה שורה( באחדות נתחיל, 312,437,650 המספר את ליצור כדי שורה( האלפים למאות. ימין לצד כדורים 3 נעביר), לבן צבע, חמישית שורה( האלפים לעשרות. ימין לצד כדורים 7 נעביר), צהוב צבע, רביעית שורה( לאלפים. ימין לצד כדורים 6 נעביר), ירוק צבע, שלישית שורה(

מיליונים למאות ולבסוף. ימין לצד בודד 1 כדור נעביר), ירוק צבע, שמינית שורה( מיליונים לעשרות. ימין לצד כדורים 2 נעביר), אדום צבע, שביעית שורה( למיליונים. ימין לצד כדורים 4 נעביר), כחול צבע, שישית .בחשבונייה נראה שהוא כפי זה מספר מוצג C.2איורב. ימין לצד כדורים 3 נעביר), צהוב צבע, תשיעית שורה(

:תרגילים כמה על ממליצים אנחנו

.4183, 1692, 1009, 987, 539, 205, 191, 98, 46: הבאים המספרים את החשבונייה בעזרת הציגו: 1*

:3 איורב המיוצגים המספרים את רשמו: 2*

A....................../B......................C/ ....................D.................... /E.................... /F.................... /G.................... /H.................... /I .................... /

.ההדרכה חוברת בסוף נמצאים התרגילים פתרונות*

ההחחששבבווננייייהה בבעעזזררתת חחששבבווננייוותת פפעעווללוותת.. 33

. ולמורכבות לפשוטות הפעולות כל את לקלח ניתן

חחייבבוורר כך אחר). ירוק( מהמאות אחד וכדור) אדומים( מהעשרות כדורים 3), כחולים( מהאחדות כדורים 5 ימין לצד נעביר -) 135( הראשון המספר את בחשבונייה להרכיב יש קודם. 321+ 135 לחבר נרצה אם) 4 איור(: פשוט 4-ו) עשרות( אדומים 5), אחדות( כחולים כדורים 6: היא ימין בצד המתקבלת התוצאה). מאות( ירוקים 3 ולבסוף) עשרות( אדומים כדורים 2), אחדות( אחד כחול כדור ימין לצד נעביר -) 132( השני המספר את נרכיב

.456 כלומר -) מאות( ירוקים באחדות כדורים 4 -) 564( השני המספר את מימין ומוסיפים ממשיכים). ירוקים( במאות 2-ו) אדומים( בעשרות 7), כחולים( באחדות וריםכד 3): 273( הראשון המספר את מרכיבים. 564+ 273 לחבר כדי: מורכב

לנו יש שוב). ירוק( מהמאות אחת כדור ימינה להעביר וכן, מאלבש הנותרים הכדורים 3 את ימין לצד להעביר עלינו, זה במקרה. כדורים מספיק שאין ומכאן, 7 לנו יש כבר אבל -) אדומים( בעשרות כדורים 6), כחולים( 5 מוסיפים לבסוף. שנותרו) אדומים( העשרות כדורי 3 את ימין לצד ומעבירים הפעולה על חוזרים, להעביר נוספים כדורים 3 לנו ונותרו עשרות כדורי 3 רק שהעברנו כיוון. העשרות של הכדורים כל את שמאל בצד

.837 כלומר - במאות 8-ו בעשרות 3, באחדות כדורים 7 היא שתתקבל התוצאה. ימין לצד) רוקיםי( מאות כדורי

חחייססוורר), 213( השני מספרה את לחסר כדי). ירוקים( מאות 4-ו) אדומים( עשרות 2), כחולים( מהאחדות כדורים 5): 425( הראשון המספר את ימין לצד מעבירים, שמאל בצד הכדורים כל כאשר. 425 - 213 נחסר: פשוט 1), כחולים( באחדות כדורים 2: היא הסופית התוצאה. לשמאל מימין) ירוקים( כדורים 2 נזיז ובמאות) אדום( אחד כדור שמאל לצד נעביר בעשרות, לשמאל ימיןמ) כחולים( אחדות כדורי 3 נעביר; באחדות נתחיל

. 212 כלומר -) ירוקים( במאות 2-ו) אדומים( בעשרות אחר. לשמאל אותן ונעביר) כחולות( אחדות 5 ניקח. באחדות נתחיל), 485( השני המספר את לחסר כדי). 976( מאות 9-ו עשרות 7, אחדות 6 ימין לצד נעביר, הקודמות בפעולות כמו. 976 - 485נחסר הפעם: מורכב העשרות כדורי כל את נחזיר כך אחר). ירוקים( במאות הכדורים 9 מתוך 1 שמאלה נעביר וכן, בעשרות לנו שיש) עשרות( הכדורים 7 את שמאלה להעביר עלינו לכן. כדורים מספיק לנו אין אך, העשרות 8 את נחסר כך

. לחסר לנו שנותר הכדור זה כי, שמאל לצד) עשרות( אחד אדום כדור ונזיז, לימין) אדומים( .491 כלומר - אחת ואחדה עשרות 9, מאות 4 היא הסופית והתוצאה, ימין בצד 4 לנו נותרו). אותהמ בחיסור אחד לקחנו( לנו שיש 8-מה) ירוקים( מאות 4 נחסר לבסוף

ככפפלל

נעשה דומה דבר. פעמיים םכדורי 3 ימינה ונזיז, ריק ימין שצד בכך נתחשב), כחולים( האחדות על נעבוד קודם. שמאל בצד להיות הכדורים כל על, החשבוניות הפעולות בשאר כמו, X 413 2 למשל, להכפיל כדי: פשוט -) ירוקים( במאות כדורים 8-ו) אדומים( בעשרות כדורים 2), כחולים( באחדות כדורים 6: היא לקבל אמורים שאנו התוצאה. פעמיים) ירוקים( כדורים 4 נעביר במאות ואילו, פעמיים אחד כדור נעביר: העשרות עם

.826 כלומר ימין לצד נעביר ולכן, כדורים מספיק לנו אין אבל), אדומים( עשרות כדורי 7 פעמיים ונעביר העשרות את נכפיל כך אחר), כחולים( אחדות כדורי 4 של פעמיים ימינה בהזזה תחילנ, X 74 2 להכפיל ברצוננו אם: מורכב

כדורי 4 את נזיז, הנותרות העשרות 4 את להעביר יש שעדיין כיוון). אדומים( העשרות כדורי לכ את שמאלה מעבירים וכן) ירוק( מהמאות אחד כדור מעבירים אז. הנותרים 3-ה את וגם הראשונים הכדורים 7 את .148 כלומר -) כחולים( אחדות כדורי 8-ו) אדומים( עשרות כדורי 4), ירוק( מהמאות אחד כדור לנו יישארו לבסוף. ימין לצד) אדומים( העשרות

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

11 4

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

3 12

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

(ES)1. HISTORIA Y DESCRIPCIÓNEl ábaco es considerado como el instrumento de cálculo más antiguo y el precursor de las calculadoras digitales modernas. Su origen exacto es difícil de determinar, pero la mayoría de historiadores apuntan hacia Asia central.

Fue evolucionando de manera diferente en diferentes zonas del mundo y hoy en día existen varios tipos de ábaco: el Suan Pan (ábaco chino), el soroban (ábaco Jápones) el Stschoty (ábaco ruso)…

El ábaco resulta muy fácil de entender y útil para aprender a calcular. Su sistema posicional de numeración ayuda a comprender las operaciones de números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) e incluso la raíz cuadrada y números potenciales. La ventaja del ÁBACO es que nos enseña a pensar y razonar lógicamente sobre cualquier problema matemático, desarrollando así la capacidad de pensar en soluciones para los mismos.

El ábaco está formado por un cuadro con barras paralelas por las que corren 10 bolas movibles.

Se representa como se muestra en la imagen 1.

1 Unidades 10 Decenas 100 Centenas 1.000 Unidades de Millar 10.000 Decenas de Millar 100.000 Centenas de Millar 1.000.000 Unidades de Millón 10.000.000 Decenas de Millón 100.000.000 Centenas de Millón1.000.000.000 Unidades de Billón

2. CÓMO UTILIZAR EL ÁBACOAntes de empezar a utilizarlo, todas las bolas deben estar a la izquierda y las bolitas se van pasando a la derecha según se vaya componiendo el número.

Para comenzar a familiarizarse con él, es recomendable colocar combinaciones del ábaco y calcular el número que aparece.

2.A. Para formar el número 48, se mueven 8 bolas de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 4 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Este número quedará representado como muestra la imagen 2.A.

2.B. Para formar el número 25.961, se mueve 1 bola de las unidades (primera fila, color azul) a la derecha. Para formar las decenas debemos mover 6 bolas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas pasaremos 9 bolitas (tercera fila, verde) a la derecha, Para formar las unidades de millar pasaremos 5 bolitas (cuarta fila, color amarillo) a la derecha, y por último, para formar las decenas de millar pasaremos 2 bolitas (quinta fila, blanco) hacia la derecha. Esta cifra en el ábaco quedará como aparece en la imagen 2.B.

2.C. Para formar el número 312.437.650 comenzamos con las unidades (primera fila, color azul) pero en esta ocasión no tenemos ninguna bola que mover por lo tanto, pasamos a las decenas y movemos 5 bollitas (segunda fila, color rojo) a la derecha. Para formar las centenas (segunda fila, color verde) movemos 6 bolitas a derecha. Las unidades de millar (cuarta fila, color amarillo) movemos 7 bolitas a la derecha. Las decenas de millar (quinta fila, color blanco), pasamos 3 bolitas a la derecha. Las centenas de millar (sexta fila, color azul), movemos 4 bolitas a la izquierda. Las unidades de millón (séptima fila, color rojo) pasamos 2 bolitas a la derecha. Las decenas de millón (octava fila, color verde) es 1, pasaremos una única bolita a derecha. Y finalmente, las centenas de millón (novena fila, color amarillo) moveremos 3 bolitas a la derecha. En la imagen 2.C. se muestra cómo queda esta cifra representada en el ábaco.

A continuación proponemos diversos ejercicios para completar:

* 1: Representar con el ábaco las siguientes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escribir las cifras que están representadas en la imagen 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Las respuestas de los ejercicios están al final del manual.

3. OPERACIONES CON EL ÁBACOTodas las operaciones se pueden dividir en simples o complejas.

SUMA Simple: (Imagen 4) Si queremos sumar 135 + 321. Primero debe colocarse en el ábaco la primera cifra (135), pasamos a la derecha 5 bolitas de las unidades (azul), 3 bolitas de decenas (rojo) y 1 en las centenas (verde). A continuación formamos la segunda cifra (321), pasamos 1 bola azul a la derecha (unidades), 2 bolas rojas (decenas) y finalmente 3 verdes (centenas). El resultado que nos queda a la derecha es: 6 bolas azules (unidades), 5 rojas (decenas) y 4 verdes (centenas), es decir, 456.

Compleja: Para sumar 273 + 564. Se coloca la primera cifra (273): 3 bolitas en unidades (azules), 7 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verdes). Continuamos añadiendo a la derecha la segunda cifra (564), 4 bolitas en unidades (azules), 6 bolitas en decenas (rojo) pero ya tenemos 7, por lo que no hay suficientes. Entonces, debemos pasar a la derecha las 3 bolas que quedan en la izquierda y a la vez, pasamos 1 bolita de centenas (verde) a la derecha. Volvemos a tener todas las bolitas de las decenas en la izquierda, como sólo hemos pasado 3 bolitas de decenas y nos faltan otras 3 por pasar, volvemos a repetir y pasamos a la derecha las 3 bolitas de decenas (rojo) que faltaban, finalmente añadimos 5 bolitas de centenas (verdes) a la derecha. El resultado que nos aparecerá es 7 bolitas en unidades, 3 en decenas y 8 en centenas, es decir, 837.

RESTASimple: Restamos 425 - 213. Con todas las bolitas a la izquierda, pasamos a la derecha la primera cifra (425), 5 bolitas de unidades (azul), 2 decenas (rojo) y 4 centenas (verde). Para restar la segunda cifra (213), comenzamos por las unidades; pasamos 3 bolitas de unidades (azul) de la derecha a la izquierda, en las decenas pasamos a la izquierda 1 bolita (rojo) y en las centenas movemos 2 bolitas (verde) de derecha a izquierda. El resultado final es: 2 bolitas en unidades (azul), 1 en decenas (rojo) y 2 en centenas (verde), es decir, 212.

Compleja: En esta ocasión restamos 976 - 485. Como en las operaciones anteriores, pasamos 6 unidades, 7 decenas y 9 centenas a la derecha (976). Para restar la segunda cifra (485) empezamos por las unidades. Quitamos 5 unidades (azules) y las pasamos a la izquierda, después restamos las 8 decenas, pero no tenemos suficientes bolitas, por lo tanto, debemos pasar las 7 que tenemos en las decenas a la izquierda (decenas) y a la vez trasladamos a la izquierda 1 de las 9 bolitas de las centenas (verde). Después volvemos a pasar todas las bolitas de las decenas (rojo) hacia la derecha y movemos 1 bolita roja (decenas) a la izquierda porque es la que falta por restar. Finalmente restamos 4 centenas (verde) a las 8 que tenemos (hemos quitado 1 en la resta de las decenas), nos quedan 4 en la parte derecha, el resultado final es 4 centenas, 1 decena y 1 unidad, es decir, 491.

MULTIPLICACIÓNSimple: Para multiplicar, por ejemplo 413 x 2, como el resto de las operaciones, todas las bolas deben estar a la izquierda. Primero trabajamos las unidades (azules), teniendo en cuenta que el lado derecho está vacío, y movemos hacia la derecha 3 bolitas 2 veces. Hacemos lo mismo con las decenas llevamos 1 bolita dos veces y con las centenas llevamos 4 bolitas (verdes) 2 veces. El resulta que debe darnos es: 6 bolitas de unidades (azul), 2 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de centenas (verdes), es decir, 826.

Compleja: Si queremos multiplicar 74 x 2, comenzaremos moviendo a la derecha 2 veces 4

bolitas de unidades (azul), después multiplicamos las decenas y pasamos 2 veces 7 bolitas de las decenas (rojo), pero no tenemos suficientes, por lo tanto pasamos las 7 primeras a la derecha y las 3 restantes también, entonces pasamos 1 bolita de las centenas (verde) y a la vez, pasamos a la izquierda todas las bolitas de las decenas (rojo), como faltan 4 decenas por pasar, movemos estas 4 bolitas de decenas (rojo) a la derecha. Al final nos quedará 1 bolita de centenas (verde), 4 bolitas de decenas (rojo) y 8 bolitas de unidades (azul), es decir, 148.

(EN)1. HISTORY AND DESCRIPTIONThe abacus is believed to be the most ancient calculating device and is the precursor of modern digital calculators. Its exact origins are difficult to pin down, but most historians believe it came from somewhere in central Asia.

It evolved differently in different parts of the world and today there are various kinds of abacus: the Suan Pan (Chinese abacus), the soroban (Japanese abacus) the Stschoty (Russian abacus)…

The abacus is very easy to understand and is useful for learning how to do calculations. Its positional number system helps us to understand number operations (addition, subtraction, multiplication and division) and even square roots and exponents. The advantage of the ABACUS is that it teaches us to think and reason logically about any mathematical problem, so we develop the ability to find solutions to these problems.

An abacus consists of a frame with parallel bars, each containing 10 movable beads.

Diagram 1 shows us what they represent.

UnitsTensHundredsThousandsTens of ThousandsHundreds of ThousandsMillionsTens of MillionsHundreds of MillionsBillions

2. HOW TO USE THE ABACUSBefore you start to use it, make sure all the beads are on the left hand side.

To begin to familiarise yourself with it, try making different numbers with the beads, try out different combinations on the abacus and work out the number they form.

2.A. To form the number 48, move 8 unit beads (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 4 beads (second row, red) to the right. This number will be represented as shown in picture 2.A.

2.B. To form the number 25,961, move 1 unit bead (first row, blue) to the right. To form the tens, we move 6 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds, we move 9 beads (third row, green) to the right. To form the thousands, move 5 beads (fourth row, yellow) to the right. Finally, to form tens of thousands, we move 2 beads (fifth row, white) to the right. This figure on the abacus will be as shown in picture 2.B.

2.C. To form the number 312,437,650 we begin with the units (first row, blue) but this time we don't need to move any, so we go on to the tens, and move 5 beads (second row, red) to the right. To form the hundreds (second row, green) we move 6 beads right. For the thousands (fourth row, yellow) we move 7 beads to the right. For the tens of thousands (fifth row, white) we move 3 beads to the right. For the hundreds of thousands (sixth row, blue) we move 4 beads to the left. For the millions (seventh row, red) we move 2 beads to the right. For tens of millions (eighth row, green) there is 1, so we pass a single bead to the right. And finally, for hundreds of millions (ninth row, yellow) we move 3 beads to the right. Picture 2.C. shows how this figure will look on the abacus.

Below are a few exercises for you to try:

* 1: Represent the following numbers using the abacus: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Write down the numbers represented in diagram 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* The answers to the exercises can be found at the end of the manual.

3. OPERATIONS WITH THE ABACUSAll operations can be divided into either simple or complex operations.

ADDITION Simple: (diagram 4) If you want to add 135 + 321. First form the first number on the abacus (135); move five of the units beads to the right (blue), 3 of the tens (red) and 1 of the hundreds (green). Then form the second number (321), move 1 blue bead to the right (units), 2 red beads (tens) and lastly 3 green beads (hundreds). The result we're left with on the right hand side is: 6 blue beads (units), 5 red beads (tens) and 4 green beads (hundreds), which is 456.

Complex: To add 273 + 564. Form the first number (273): 3 units beads (blue), 7 tens (red) and 2 hundreds (green). Then continue adding beads to the right to form the second number (564), 4 units beads (blue), 6 tens (red), but we already have 7, which means there are not enough. So we need to move the 3 remaining beads to the right and, at the same time, 1 of the hundreds beads (green) to the right. We then push all the tens beads back to the left as we have only moved 3 of the tens beads and there are still three more to move, so we go again and move the 3 remaining tens beads to the right (red) and lastly we move 5 of the hundreds beads (green) to the right. The result is 7 beads in units, 3 in tens and 8 in hundreds, which is 837.

SUBTRACTIONSimple: Subtract 425 - 213. Starting with all the beads on the left, we form the first number on the right (425), 5 units beads (blue), 2 tens (red) and 4 hundreds (green). To subtract the second number (213), we start with the units; move 3 of the units beads (blue) from right to left, from the tens, move 1 bead (red) to the left and from the hundreds, move 2 beads (green) from right to left. The final result is: 2 beads in units (blue), 1 in tens (red) and 2 in hundreds (green) which makes 212.

Complex: This time we're subtracting 976 - 485. As in the previous operations, we move 6 units, 7 tens and 9 hundreds to the right (976). To subtract the second number (485), we start with the units. Take away 5 units (blue) and move them to the left, then we take away the 8 tens, but we

don't have enough beads so we need to move the 7 beads we have in the tens to the left (tens) and at the same time, we move one of the 9 beads from the hundreds (green) to the left. Then we push all the tens beads (red) back to the right and move 1 red bead (tens) to the left, which is the one we still need to take away. Lastly, we take away 4 hundreds (green) from the 8 we have (we already took one away when subtracting the tens), so that 4 remain on the right hand side. The end result is 4 hundreds, 9 tens and 1 unit, which makes 491.

MULTIPLICATIONSimple: To multiply, for example 413 x 2, as with the other operations, all the beads must start off on the left hand side. First we do the units (blue), bearing in mind that the right hand side is empty, and we move 2 lots of 3 beads to the right. We do the same with the tens, moving 2 lots of 1 bead to the right and with the hundreds we move 2 lots of 4 beads (green) to the right. This should give us: 6 units beads (blue), 2 tens beads (red) and 8 hundreds beads (green), which makes 826.

Complex: If we want to multiply 74 x 2, we start by moving 2 lots of 4 units beads (blue) to the right, then we multiply the tens and move 2 lots of 7 beads from the tens (red) but we don't have enough so we move the first lot of 7 to the right and also the 3 remaining beads;then we move 1 of the hundreds beads (green) to the right and at the same time we move all the tens beads (red) back to the left. As there are still four more to move, we then move 4 of the tens beads (red) to the right. In the end we should be left with 1 hundreds bead (green), 4 tens beads (red) and 8 units beads (blue), which makes 148.

(FR)1. HISTOIRE ET DESCRIPTION Le boulier, ou abaque, est considéré comme l'outil de calcul le plus ancien et comme l'ancêtre de la calculatrice électronique moderne. Son origine exacte est difficile à déterminer, cependant la majorité des historiens la situe en Asie centrale.

Le boulier a évolué de manière différente selon les régions du monde. Actuellement, il en existe différents types : le suan-pan (boulier chinois), le soroban (boulier japonais), le stschoty (boulier russe), etc.

Le fonctionnement du boulier est très facile à comprendre et s'avère utile pour apprendre à calculer. Son système positionnel de comptage aide à comprendre les opérations de nombres entiers naturels (additions, soustractions, multiplications et divisions), y compris le calcul de la racine carrée et des puissances. Le BOULIER nous apprend à penser et à raisonner de manière logique sur n'importe quel problème mathématique et nous aide ainsi à développer notre capacité de penser à des solutions.

Le boulier est formé d'un cadre muni de tiges parallèles sur lesquelles coulissent 10 boules.

Représentation d'un boulier sur l'image 1.

UnitésDizainesCentainesMilliersDizaines de milliersCentaines de milliersMillionsDizaines de millionsCentaines de millionsMilliards

2. COMMENT UTILISER LE BOULIERAvant de commencer à l'utiliser, vérifiez que toutes les boules se trouvent sur la partie gauche du cadre.

Pour commencer à se familiariser à son utilisation, il est recommandé de placer différents nombres à l'aide des boules, de voir différentes combinaisons et de calculer le nombre qui apparaît.

2.A. Pour former le nombre 48, déplacez 8 boules correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre. Pour former les dizaines, déplacez 4 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 48, comme le montre l'image 2.A.

2.B. Pour former le nombre 25 961, déplacez 1 boule correspondant aux unités (première rangée, couleur bleue) sur la droite du cadre.Pour former les dizaines, déplacez 6 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite. Pour former les centaines, déplacez 9 boules (troisième rangée, couleur verte) sur la droite. Pour former les milliers, déplacez 5 boules (quatrième rangée, couleur jaune) et finalement, pour former les dizaines de milliers, déplacez 2 boules (cinquième rangée, couleur blanche) sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 25 961, comme sur l'image 2.B.

2.C. Pour former le nombre 312 437 650, commencez également par les unités (première rangée, couleur bleue), mais dans ce cas, vous ne déplacerez aucune boule (0 unité) et passerez directement aux dizaines en déplaçant 5 boules (deuxième rangée, couleur rouge) sur la droite du cadre. Pour former les centaines (deuxième rangée, couleur verte), déplacez 6 boules sur la droite. Pour les milliers (quatrième rangée, couleur jaune), déplacez 7 boules sur la droite. Pour les dizaines de milliers (cinquième rangée, couleur blanche), déplacez 3 boules sur la droite. Pour les centaines de milliers (sixième rangée, couleur bleue), déplacez 4 boules sur la gauche. Pour les millions (septième rangée, couleur rouge), déplacez 2 boules sur la droite.Pour les dizaines de millions (huitième rangée, couleur verte), déplacez 1 seule boule sur la droite. Finalement, pour les centaines de millions (neuvième rangée, couleur jaune), déplacez 3 boules sur la droite. Vous aurez ainsi formé le nombre 312 437 650, comme sur l'image 2.C.

Nous proposons ci-dessous différents exercices :

* 1 : Représenter sur le boulier les nombres suivants : 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2 : Écrire les nombres représentés sur l'image 3 :A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Les solutions des exercices se trouvent à la fin de ce manuel.

3.OPÉRATIONS AVEC LE BOULIERToutes les opérations peuvent se répartir en simples ou complexes.

ADDITION Opération simple : (image 4)Nous voulons réaliser l'addition 135 + 321. Il faut d'abord placer le

13 2

premier nombre sur le boulier (135) : nous faisons passer à droite 5 boules pour les unités (bleues), 3 boules pour les dizaines (rouges) et 1 pour les centaines (verte). Ensuite, nous formons le deuxième nombre (321) : nous faisons passer 1 boule bleue à droite (unités), 2 boules rouges (dizaines) et finalement 3 boules vertes (centaines). À droite, nous aurons donc : 6 boules bleues (unités), 5 boules rouges (dizaines) et 4 boules vertes (centaines), c'est-à-dire 456.

Opération complexe : Nous voulons réaliser l'addition 273 + 564. Nous plaçons le premier nombre (273) : 3 boules pour les unités (bleues), 7 pour les dizaines (rouges) et deux pour les centaines (vertes). Nous continuons en plaçant le nombre 564 à droite, avec 4 boules pour les unités (bleues), 6 boules pour les dizaines (rouges), mais nous avons déjà placé 7 boules rouges, il n'y en a donc pas suffisamment. Nous devrons par conséquent faire passer à droite les 3 boules rouges qui restent à gauche et placer également à droite une boule de centaines (verte). Nous avons à nouveau toutes les boules des dizaines à gauche, comme nous avons placé à droite seulement 3 boules de dizaines et qu'il nous en manque 3 autres à placer, nous recommençons et plaçons à droite les 3 boules de dizaines (rouges) qui manquaient. Finalement, nous ajoutons 5 boules de centaines (vertes) à droite. Nous obtiendrons le résultat suivant : 7 boules d'unités, 3 de dizaines et 8 de centaines, c'est-à-dire 837.

SOUSTRACTIONOpération simple : Nous voulons effectuer la soustraction 425 - 213. Toutes les boules se trouvent à gauche du boulier, Nous plaçons à droite le premier nombre (425) : 5 boules pour les unités (bleues), 2 pour les dizaines (rouges) et 4 pour les centaines (vertes). Pour soustraire le deuxième nombre (213), nous commençons par les unités ; nous plaçons 3 boules pour les unités (bleues) de la droite à la gauche, pour les dizaines nous plaçons à gauche 1 boule (rouge) et pour les centaines, nous faisons passer 2 boules (vertes) de la droite vers la gauche. Le résultat est le suivant : 2 boules d'unités (bleues), 1 de dizaines (rouge) et 2 de centaines (vertes), c'est-à-dire 212.

Opération complexe : Nous allons effectuer la soustraction 976 - 485. Comme pour les opérations précédentes, nous plaçons 6 unités, 7 dizaines et 9 centaines à droite (976). Pour soustraire le deuxième nombre (485), nous commençons par les unités. Nous enlevons 5 unités (bleues) et nous les plaçons à gauche, nous enlevons ensuite 8 dizaines, mais nous n'avons pas assez de boules. Nous devons par conséquent faire passer les 7 de dizaines à gauche, tout comme 1 des 9 boules de centaines (verte). Nous plaçons ensuite toutes les boules de dizaines (rouges) à droite et 1 boule rouge (dizaine) à gauche puisqu'il nous en manquait une à soustraire. Finalement, nous soustrayons 4 centaines (vertes) aux 8 que nous avons (nous en avons enlevé 1 lors de la soustraction des dizaines), il nous en reste 4 dans la partie droite. Le résultat final est le suivant : 4 centaines, 9 dizaines et 1 unité, c'est-à-dire 491.

MULTIPLICATIONOpération simple : Pour multiplier par exemple 413 x 2, comme pour les autres opérations, toutes les boules doivent se trouver à gauche. Nous plaçons d'abord les unités (bleues) sur le côté vide à droite, c'est-à-dire 2 fois 3 boules. Nous procédons de la même manière avec les dizaines en plaçant 2 fois 1 boule et avec les centaines en plaçant 2 fois 4 boules vertes. Le résultat sera le suivant : 6 boules pour les unités (bleues), 2 boules pour les dizaines (rouges) et 8 boules pour les centaines (vertes), c'est-à-dire 826.

Opération complexe : Si nous voulons multiplier 74 x 2, nous commencerons par placer à droite 2 fois 4 boules d'unités (bleues). Ensuite nous multiplions les dizaines et plaçons 2 fois 7 boules de dizaines (rouges), mais nous n'en avons pas suffisamment. Par conséquent, nous plaçons les 7 premières à droite, ainsi que les 3 restantes, et nous plaçons 1 boule de centaines (verte) et nous faisons passer à gauche toutes les boules des dizaines (rouges). Puisqu'il manque 4 dizaines à placer, nous plaçons ces 4 boules de dizaines (rouges) à droite. Finalement, il nous restera 1 boule de centaines (verte), 4 boules de dizaines (rouges) et 8 boules d'unités (bleues), c'est-à-dire 148.

(DE)1. GESCHICHTE UND BESCHREIBUNGDer Abakus gilt als ältestes Recheninstrument und als Vorläufer moderner Digitaltaschenrechner. Sein genauer Ursprung ist schwer festzulegen, doch weisen die meisten Historiker nach Zentralasien.

Er wurde in verschiedenen Gegenden der Welt weiterentwickelt und heutzutage gibt es verschiedene Rechenschieber-Typen: das Suan Pan (chinesischer Rechenschieber), den Soroban (japanischer Rechenschieber), die Stschoty (russischer Rechenschieber) usw.

Der Abakus ist leicht zu verstehen und nützlich beim Rechnenlernen. Sein optisches Zahlensystem erleichtert das Verständnis von Rechenvorgängen mit natürlichen Zahlen (Plus- und Minusrechnen, Teilen und Malnehmen) und sogar von Quadratwurzel und Potenzen. Der Vorteil des ABAKUS liegt darin, dass er uns logisches Denken zu jeglichem mathematischen Problem beibringt und so die Fähigkeit fördert, sich selbstständig Lösungen auszudenken.

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit parallel laufenden Stangen, auf denen sich je zehn Kugeln hin- und herschieben lassen.

Er sieht aus wie auf Abbildung 1.

EinerZehnerHunderterTausenderZehntausenderHunderttausenderMillionenZehn MillionenHundert MillionenMilliarden

2. WIE DER ABAKUS BENUTZT WIRDVor der Benutzung müssen sich alle Kugeln auf der linken Seite befinden.

Zu Beginn empfiehlt es sich, mit den Kugeln verschiedene Zahlen darzustellen, unterschiedliche Rechenarten zu testen und dabei das jeweilige Ergebnis zu berechnen.

2.A. Um die Zahl 48 zu bilden, werden 8 Einer-Kugeln (erste Reihe, balu) nach rechts geschoben. Zur Bildung von Zehnern werden 4 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Die Zahl wird so dargestellt, wie auf der Abbildung 2.A. zu sehen ist.

2.B. Um die Zahl 25 961 zu bilden, wird 1 Einer-Kugel (erste Reihe, blau) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Zehnerstellen werden 6 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschoben. Zur Bildung der Hunderter verschieben wir 9 Kugeln (dritte Reihe, grün) nach recht, Zur Bildung der Einerstellen des Tausenders verschieben wir 5 Kugeln (vierte Reihe, gelb) nach rechts und abschließend verschieben wir 2 Kugeln (fünfte Reihe, weiß) nach rechts, um die Zehnerstellen des Tausenders zu bilden. Diese Zahl wird auf dem Abakus so wie auf der Abbildung 2.B. dargestellt.

2.C. Zur Darstellung der Zahl 312 437 650 beginnen wir mit den Einern (erste Reihe, blau), aber dieses Mal haben wir keine Kugel zum Verschieben, weshalb wir zu den Zehnern übergehen und 5 Kugeln (zweite Reihe, rot) nach rechts verschieben.. Um die Hunderter (zweite Reihe, grün) zu bilden, verschieben wir 6 Kugeln nach rechts. Für die Einerstellen des Tausenders (vierte Reihe, gelb) verschieben wir 7 Kugeln nach rechts. Für die Zehnerstellen des Tausenders (fünfte Reihe, weiß) werden 3 Kugeln nach rechs verschoben. Für die Hunderterstellen des Tausenders

(sechste Reihe, blau) verschieben wir 4 Kugeln nach links. Für die Stellen der Million (siebte Reihe, rot) verschieben wir 2 Kugeln nach rechtsDie Zehnerstelle der Million (achte Reihe, grün) ist 1, weshalb wir eine einzige Kugel nach rechts verschieben. Und schließlich verschieben wir für die Hunderterstellen der Million (neunte Reihe, gelb) 3 Kugeln nach rechts. Die Abbildung 2.C. zeigt, wie diese Zahl auf dem Abakus dargestellt wird.

Nachfolgend ein paar Übungen zum Ergänzen:

* 1: Mit dem Abakus folgende Zahlen darstellen: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Die Zahlen aufschreiben, die in Abbildung 3 dargestellt sind:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Die Lösungen zu den Übungen befinden sich am Ende der Anleitung.

3. RECHNEN MIT DEM ABAKUSAlle Rechenvorgänge lassen sich in einfach oder komplex unterteilen.

ZUSAMMENZÄHLEN Einfach: (Abbildung 4) Wir möchten 135 + 321 berechnen. Zuerst müssen wir auf dem Abakus die erste Zahl (135) darstellen: wir schieben fünf blaue Einerkugeln, drei rote Zehnerkugeln und eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Anschließend bilden wir die zweite Zahl (321) und schieben sie nach rechts: eine blaue Einerkugel, zwei rote Zehnerkugeln und drei grüne Hunderterkugeln. Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite: sechs blaue Einerkugeln, fünf rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln: 456

Komplex: Berechnen von: 273 + 564. Die erste Zahl (273) wird dargestellt: 3 blaue Einerkugeln, sieben rote Zehnerkugeln und zwei grüne Hunderterkugeln. Weiter geht's, indem wir die zweite Zahl (564) nach rechts schieben: vier blaue Einerkugeln, sechs rote Zehnerkugeln - doch wir haben schon sieben auf der rechten Seite, also gibt es nicht genügend Zehnerkugeln. Also müssen wir die drei Kugeln, die sich noch auf der linken Seite befinden, nach rechts schieben. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts. Und im Gegenzug schieben wir alle Zehnerkugeln wieder nach links. Weil wir bisher erst drei Zehnerkugeln nach rechts geschoben haben, fehlen noch weitere drei Zehnerkugeln, die wir jetzt nach rechts schieben. Schließlich schieben wir auch fünf grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis haben wir sieben Einerkugeln, drei Zehnerkugeln und 8 Hunderterkugeln: 837

ABZIEHENEinfach: Wir berechnen: 425 - 213. Alle Kugeln befinden sich auf der linken Seite; dann schieben wir die erste Zahl (425) nach rechts: fünf blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und vier grüne Hunderterkugeln. Zum Abziehen der zweiten Zahl (213) beginnen wir mit den Einern: wir schieben drei blaue Einerkugeln von rechts nach links; bei den Zehnern schieben wir eine rote Kugel nach links und bei den Hundertern zwei grüne. Das Endergebnis lautet: zwei blaue Einerkugeln, eine rote Zehnerkugel und zwei grüne Hunderterkugeln: 212

Komplex: Jetzt berechnen wir 976 - 485. Wie bei den vorangegangenen Rechnungen schieben wir die erste Zahl nach rechts: sechs Einer, sieben Zehner und neun Hunderter (976). Zum Abziehen der zweiten Zahl (485) beginnen wir mit den Einern: Wir schieben fünf blaue Einerkugeln auf die linke Seite. Anschließend ziehen wir acht Zehner ab, aber wir haben nicht genügend Kugeln; daher müssen wir die sieben roten Zehnerkugeln auf der linken Seite nach rechts schieben. Dann schieben wir eine der neun grünen Hunderterkugeln nach links. Gleichzeitig schieben wir zum Ausgleich alle roten Zehnerkugeln wieder nach rechts und davon die eine, die wir noch abziehen müssen, wieder nach links. Schließlich schieben wir von den acht verbliebenen grünen Hunderterkugeln (eine haben wir beim Abziehen der Zehner nach links geschoben) vier nach links. Rechts bleiben also vier. Das Ergebnis auf der rechte Seite lautet: vier Hunderter, ein Zehner und ein Einer: 491

MALNEHMENEinfach: Wir berechnen 413 x 2. Wie bei allen Vorgängen müssen sich anfangs alle Kugeln links befinden. Zuerst berechnen wir die blauen Einser und schieben zweimal drei Kugeln nach rechts. Dann schieben wir zweimal eine rote Zehnerkugel und schließlich zweimal vier grüne Hunderterkugeln nach rechts. Als Ergebnis erhalten wir: sechs blaue Einerkugeln, zwei rote Zehnerkugeln und acht grüne Hunderterkugeln: 826

Komplex: Wenn wir 74 x 2 berechnen wollen, schieben wir zuerst zweimal vier blaue Einerkugeln nach rechts. Weiter geht es mit den Zehnern und wir müssen zweimal sieben rote Kugeln nach rechts schieben - doch wir haben nicht genügend Kugeln. Also schieben wir die ersten sieben Kugeln und auch die übrigen drei nach rechts. Dann schieben wir eine grüne Hunderterkugel nach rechts und zum Ausgleich alle roten Zehner wieder nach links. Weil wir noch vier Zehner zu verschieben haben, bewegen wir vier rote Kugeln wieder nach rechts. Am Ende haben wir auf der rechten Seite eine grüne Hunderterkugel, vier rote Zehnerkugeln und 8 blaue Einerkugeln: 148

(IT)1. STORIA E DESCRIZIONEIl pallottoliere è considerato lo strumento di calcolo più antico e il precursore delle calcolatrici digitali moderne. È difficile stabilire la sua origine esatta, ma la maggior parte degli studiosi di storia crede sia l'Asia centrale.

Si è sviluppato in modo diverso in varie zone del mondo e oggi esistono diversi tipi di pallottolieri: il Suan Pan (pallottoliere cinese), il soroban (pallottoliere giapponese) il Stschoty (pallottoliere russo)…

Il pallottoliere è molto facile da capire ed è utile per imparare a fare calcoli. Il suo sistema di posizione della numerazione aiuta a capire le operazioni dei numeri naturali (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) e addirittura la radice quadrata e le potenze. Il vantaggio del PALLOTTOLIERE è che ci insegna a pensare e a ragionare in modo logico su qualsiasi problema matematico, sviluppando in questo modo la capacità di pensare a soluzioni per risolvere gli stessi.

Il pallottoliere è formato da un quadro con sbarre parallele in cui sono infilate 10 palline mobili.

Si rappresenta come mostrato nell'immagine 1.

UnitàDecinaCentinaioUnità di migliaiaDecina di migliaiaCentinaio di migliaiaUnità di milioneDecina di milioneCentinaio di milioneUnità di miliardo

2. COME USARE IL PALLOTTOLIEREPrima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.

Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.

2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.

2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra. Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.

2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde) spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione (settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila, colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene rappresentata questa cifra nel pallottoliere.

In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:

* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.

3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERETutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.

ADDIZIONE Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo 1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire, 456.

Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7 nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano, per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.

SOTTRAZIONESemplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra (425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra (213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde), vale a dire, 212.

Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6 unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra (decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta. Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità, vale a dire, 491.

MOLTIPLICAZIONESemplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1 pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a dire, 826.

Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità (blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine (rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.

(PT)1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃOO ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos historiadores pensa que se situaria na Ásia central.

O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o Stschoty (ábaco russo)…

O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais (somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais. O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático, desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.

O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.

A imagem 1 representa um ábaco.

UnidadesDezenasCentenasUnidades de MilharDezenas de MilharCentenas de MilharUnidades de MilhãoDezenas de MilhãoCentenas de MilhãoUnidades de Bilião

2. COMO UTILIZAR O ÁBACOAntes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.

Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.

2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.

2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul) para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela) para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.

2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul), mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão (sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão (oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem 2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.

A seguir propomos alguns exercícios para completar:

* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.

3. OPERAÇÕES COM O ÁBACOTodas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.

SOMA Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra (321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.

Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades (azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas centenas, ou seja, 837.

SUBTRAÇÃOSimples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3 esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda 1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas (verde), ou seja, 212.

Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6 unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485) começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9 esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas (vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta subtrair. Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1 unidade, ou seja, 491.

MULTIPLICAÇÃO

Simples: Para multiplicar, por exemplo, 413 x 2, como para o resto das operações, todas as esferas devem estar situadas à esquerda. Primeiro trabalhamos as unidades (azuis), tendo em conta que o lado direito está vazio, e deslocamos para a direita 3 esferas 2 vezes. Fazemos o mesmo com as dezenas, passando para a direita 1 esfera duas vezes, e para as centenas 4 esferas (verdes) 2 vezes. O resultado que devemos obter é o seguinte: 6 esferas das unidades (azul), 2 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das centenas (verdes), ou seja, 826.

Complexa: Para multiplicar 74 x 2, começaremos por deslocar para a direita 2 vezes 4 esferas das unidades (azul), e em seguida multiplicamos as dezenas e passamos 2 vezes 7 esferas das dezenas (vermelho), mas como não temos esferas suficientes passamos as 7 primeiras para a direita e em seguida as 3 restantes, e depois passamos 1 esfera das centenas (verde) e ao mesmo tempo passamos para a esquerda todas as esferas das dezenas (vermelho). Como nos falta passar 4 dezenas, deslocamos estas 4 esferas das dezenas (vermelho) para a direita. O resultado final será de 1 esfera das centenas (verde), 4 esferas das dezenas (vermelho) e 8 esferas das unidades (azul), ou seja, 148.

(RO)1.ISTORIE ŞI DESCRIEREAbacul este considerat cel mai vechi instrument de calcul şi precursorul calculatoarelor digitale moderne. Originea sa exactă este greu de determinat, dar majoritatea istoricilor sunt de părere că ar fi Asia Centrală.

Acesta a evoluat în mod diferit în diferite zone ale lumii şi în prezent există diferite tipuri de abac: Suan Pan (abacul chinezesc), soroban (abacul japonez) şi Stschoty (abacul rusesc)…

Abacul este foarte uşor de înţeles şi util pentru a învăţa să calculeze. Sistemul său poziţional de numărat ajută la înţelegerea operaţiunilor cu numere naturale (adunări, scăderi, înmulţiri şi împărţiri) şi chiar şi rădăcina pătrată şi numere ridicate la putere. Avantajul ABACULUI este faptul că ne învaţă să gândim şi să raţionăm logic în cazul oricărei probleme matematice, dezvoltând astfel capacitatea de gândire a unor soluţii pentru acestea.

Abacul este format dintr-un cadru cu bare paralele prin care trec 10 bile mobile.

Se reprezintă conform imaginii 1.

BucăţiZeciSuteUnităţi de miliardZeci de miliardSute de miliardUnităţi de milionZeci de milionSute de milionUnităţi de bilion

2. CUM SE UTILIZEAZĂ ABACULÎnainte de a începe să-l utilizaţi, toate bilele trebuie să fie în stânga.

Pentru a începe să vă familiarizaţi cu el, se recomandă să aşezaţi diferite numere cu biluţele şi să vedeţi diferitele combinaţii ale abacului şi să calculaţi numărul care apare.

2.A. Pentru a forma numărul 48, se mută 8 bile de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 4 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Acest număr va fi reprezentat conform imaginii 2.A.

2.B. Pentru a forma numărul 25.961, se mută 1 bilă de la unităţi (primul rând, culoarea albastră) la dreapta. Pentru a forma zecile trebuie să mutăm 6 bile (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele, vom muta 9 biluţe (al treilea rând, verde) la dreapta. Pentru a forma unităţile de mii, vom muta 5 biluţe (al patrulea rând, culoarea galbenă) la dreapta şi în cele din urmă, pentru a forma zecile de mii, vom muta 2 biluţe (al cincilea rând, alb) la dreapta. Această cifră în abac va rămâne aşa cum apare în imaginea 2.B.

2.C. Pentru a forma numărul 312.437.650 vom începe cu unităţile (primul rând, culoarea albastră), dar de data aceasta nu avem nicio bilă pe care să o mutăm, prin urmare vom trece la zeci şi vom muta 5 biluţe (al doilea rând, culoarea roşie) la dreapta. Pentru a forma sutele (al doilea rând, culoarea verde) mutăm 6 biluţe la dreapta. Pentru unităţile de mii (al patrulea rând, culoarea galbenă) mutăm 7 biluţe la dreapta. Zecile de mii (al cincilea rând, culoarea albă), mutăm 3 biluţe la dreapta. Sutele de mii (al şaselea rând, culoarea albastră), mutăm 4 biluţe la stânga. Unităţile de milion (al şaptelea rând, culoarea roşie) mutăm 2 biluţe la dreapta. Zecile de milion (al optulea rând, culoarea verde) reprezintă 1, vom muta o singură biluţă la dreapta. Şi în final, sutele de milion (al nouălea rând, culoarea galbenă) vom muta 3 biluţe la dreapta. În imaginea 2.C. se arată cum va rămâne această cifră reprezentată în abac.

În continuare, propunem diferite exerciţii de finalizat:

* 1: Reprezentaţi cu abacul următoarele cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Scrieţi cifrele reprezentate în imaginea 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Răspunsurile exerciţiilor se află la sfârşitul manualului.

3. OPERAŢIUNI CU ABACULToate operaţiunile se pot clasifica în simple sau complexe.

ADUNAREA Simplă: (imaginea 4) Dacă dorim să adunăm 135 + 321. Mai întâi trebuie să aşezaţi în abac prima cifră (135), mutăm în dreapta 5 biluţe de unităţi (albastru), 3 biluţe de zeci (roşu) şi 1 sută (verde). Apoi, formăm a doua cifră (321), mutăm 1 bilă albastră la stânga (unităţi), 2 bile roşii (zeci) şi în cele din urmă 3 verzi (sute). Rezultatul din dreapta este: 6 bile albastre (unităţi), 5 roşii (zeci) şi 4 verzi (sute), adică 456.

Complexă: Pentru a aduna 273 + 564. Se aşază prima cifră (273): 3 biluţe de unităţi (albastre), 7 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verzi). Continuăm adăugând la dreapta a doua cifră (564), 4 biluţe la unităţi (albastre), 6 biluţe la zeci (roşu), dar avem deja 7, prin urmare nu sunt suficiente. Atunci trebuie să mutăm la dreapta cele 3 bile care rămân la stânga şi în acelaşi timp mutăm 1 biluţă de la sute (verde) la dreapta. Avem din nou toate biluţele de la zeci în stânga, deoarece am trecut doar 3 biluţe de la zeci şi mai trebuie să mutăm încă 3, vom repeta operaţiunea şi mutăm la dreapta cele 3 biluţe de zeci (roşu) care mai trebuiau, în cele din urmă adăugăm 5 biluţe de sute (verzi) la dreapta. Rezultatul care ne va apărea este 7 biluţe la unităţi, 3 la zeci şi 8 la sute, adică 837.

SCĂDEREA

Simplă: Scădem 425 - 213. Cu toate biluţele în stânga, mutăm la dreapta prima cifră (425), 5 biluţe de la unităţi (albastru), 2 zeci (roşu) şi 4 sute (verde). Pentru a scădea a doua cifră (213), începem cu unităţile; mutăm 3 biluţe la unităţi (albastru) de la dreapta la stânga, la zeci mutăm la stânga 1 biluţă (roşu) şi la sute mutăm 2 biluţe (verde) de la dreapta la stânga. Rezultatul final este: 2 biluţe la unităţi (albastru), 1 la zeci (roşu) şi 2 la sute (verde), adică 212.

Complexă: De data aceasta scădem 976 - 485. Ca la operaţiunile anterioare, mutăm 6 unităţi, 7 zeci şi 9 sute la dreapta (976). Pentru a scădea a doua cifră (485) începem cu unităţile. Luăm 5 unităţi (albastre) şi le mutăm în stânga, apoi scădem cele 8 zeci, dar nu avem suficiente biluţe, prin urmare trebuie să le mutăm pe cele 7 pe care le avem la zeci la stânga (zeci) şi în acelaşi timp mutăm la stânga 1 dintre cele 9 biluţe de la sute (verde). Apoi mutăm toate biluţele de la zeci (roşu) din nou spre dreapta şi mutăm 1 biluţă roşie (zeci) la stânga, deoarece aceasta mai trebuie scăzută. În cele din urmă scădem 4 sute (verde) din cele 8 pe care le avem (am luat 1 din restul de zeci), ne mai rămân 4 în partea dreaptă, rezultatul final este 4 sute, 1 zece şi 1 unitate, adică 491.

ÎNMULŢIREASimplă: Pentru a înmulţi, de exemplu 413 x 2, ca la celelalte operaţii, toate bilele trebuie să fie la stânga. Mai întâi lucrăm unităţile (albastre), având în vedere că latura dreaptă este goală şi mutăm spre dreapta 3 biluţe de 2 ori. facem acelaşi lucru cu zecile, ducem 1 biluţă de două ori şi de la sute mutăm 4 biluţe (verzi) de 2 ori. Rezultatul trebuie să fie: 6 biluţe de la unităţi (albastru), 2 biluţe de la zeci (roşu) şi 8 biluţe de la sute (verzi), adică 826.

Complexă: Dacă dorim să multiplicăm 74 x 2, începem mutând la dreapta de 2 ori câte 4 biluţe de unităţi (albastru), apoi multiplicăm zecile şi mutăm de 2 ori câte 7 biluţe de la zeci (roşu), dar nu avem suficiente, prin urmare mutăm primele 7 la dreapta şi cele 3 rămase, apoi mutăm 1 biluţă de la sute (verde) şi în acelaşi timp, mutăm la stânga toate biluţele de la zeci (roşu), şi cum mai trebuie mutate 4 zeci, mutăm aceste 4 biluţe de zeci (roşu) la dreapta. La sfârşit va rămâne 1 biluţă la sute (verde), 4 biluţe la zeci (roşu) şi 8 biluţe de unităţi (albastru), adică 148.

(TR)1. TARİHÇESİ VE TANIMIAbaküs en eski hesaplama aleti olarak kabul edilir ve modern dijital hesap makinelerinin öncülüdür. Kökenini tam olarak belirlemek çok güç olsa da tarihçilerin çoğu Orta Asyayı işaret etmektedir.

Dünyanın değişik bölgelerinde değişik biçimlerde gelişim gösteren abaküsün çeşitli türleri bulunmaktadır: Suan-Pan (Çin abaküsü), Soroban (Japon abaküsü), Stchoty (şoti - Rus abaküsü)…

Abaküs anlaşılması çok kolay bir alet olup hesap yapmayı öğrenmekte çok yararlıdır. Sayısal konum sistemi, doğal sayılarla yapılan işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yanı sıra karekök ve üslü sayı işlemlerini anlamayı kolaylaştırır. ABAKÜS'ün avantajı, herhangi bir matematik problemi üzerinde düşünmeyi, mantıksal akıl yürütmeyi öğretmesi ve bu problemlerin çözümlerini düşünme kapasitesini geliştirmesidir.

Abaküs, her birinde 10 hareketli boncuk taşıyan yatay çubuklardan oluşan bir tablodur.

Şekil 1'de gösterildiği gibi temsil edilir.

AdetOnlarYüzlerBinlerOn binlerYüz binlerMilyonlarOn milyonlarYüz milyonlarMilyarlar

2. ABAKÜS NASIL KULLANILIR?Kullanmaya başlamadan önce tüm boncuklar sol tarafa dizilmelidir.

Abaküse alışmak için boncuklara değişik numaralar verilmesi, abaküsün değişik kombinasyonlarının görülmesi ve beliren sayının hesaplanması tavsiye edilir.

2.A. 48 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 8 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 4 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı resim 2.A'da gösterildiği gibi temsil edilmiş olacaktır.

2.A. 25.961 sayısını oluşturmak için ilk sıradan 1 adet mavi birlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Onlar hanesi için ikinci sıradan 6 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 9 yeşil onluk boncuğu sağ tarafa aktarır, binler hanesi için dördüncü sıradan 5 sarı binlik boncuğu sağ tarafa geçirir ve son olarak da yüz binler hanesi için beşinci sıradan 2 beyaz boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.B'de görüldüğü gibi temsil edilecektir.

2.C. 312.437.650 sayısını oluşturmak için ilk sıradan mavi birlik boncuklarla başlarız ama bu örnekte boncuk aktarmamız gerekmediğinden onlar hanesine geçerek ikinci sıradan 5 kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüzler hanesi için üçüncü sıradan 6 yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa geçiririz. Binler hanesi için dördüncü sıradan 7 sarı binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. On binler hanesi için beşinci sıradan 3 adet beyaz on binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Yüz binler hanesi için altıncı sıradan 4 adet mavi yüz binlik boncuğu sağ tarafa aktarırız. Milyonlar hanesi için yedinci sıradan 2 adet kırmızı milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. On milyonlar hanesi için sekizinci sıradan sadece 1 adet yeşil on milyonluk boncuğu sağ tarafa geçiririz. Son olarak da yüz milyonlar hanesi için dokuzuncu sıradan 3 adet sarı yüz milyonluk boncuğu sağ tarafa aktarırız. Bu sayı abaküste resim 2.C'de görüldüğü gibi temsil edilmiş olacaktır.

Aşağıda çeşitli alıştırmalar önerilmiştir:

* 1: Aşağıdaki sayıları abaküste gösterin: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Şekil 3'de gösterilen sayıları yazın:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Alıştırmaların yanıtları el kitabının sonundadır.

3. ABAKÜSLE YAPILAN İŞLEMLERTüm işlemler basit ve karmaşık olarak sınıflandırılabilir.

TOPLAMA Basit: (şekil 4) 135 + 321 toplama işlemini yapmak istiyorsak. Önce abaküste ilk sayıyı (135) yerleştirmek gerekir; sağ tarafa 5 adet mavi birlik boncuk, 3 adet kırmızı onluk boncuk ve 1 adet

yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk, yani 456 olacaktır.

Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7 adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837 olacaktır.

ÇIKARMABasit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı (213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta 2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212 olacaktır.

Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar sola aktarırız. Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık) 4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk kalacağından sonuç 491 olacaktır.

ÇARPMABasit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.

Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu, sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta 1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148 olacaktır.

(EL)1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΟ άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.

Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)…

Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτόμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.

Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμένες 10 χάντρες που μετακινούνται.

Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.

ΜονάδεςΔεκάδεςΕκατοντάδεςΜονάδες ΧιλιάδαςΔεκάδες ΧιλιάδαςΕκατοντάδες ΧιλιάδαςΜονάδες ΕκατομμυρίουΔεκάδες ΕκατομμυρίουΕκατοντάδες ΕκατομμυρίουΜονάδες Δισεκατομμυρίου

2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΠριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.

Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό που εμφανίζεται.

2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η εικόνα 2.A.

2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε 9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, περνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θα απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.

2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περνάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ

ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τα δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός ο αριθμός στον άβακα.

Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:

* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:A/ ..............B/ ..............Γ/ ..............Δ/ ..............E/ ..............ΣΤ/ ..............Ζ/ ..............H/ .............. Θ/ ..............

* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.

3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΌλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.

ΠΡΟΣΘΕΣΗ Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο αριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσινες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κόκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.

Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλλά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες που μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξιά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δεκάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδες, δηλαδή, 837.

ΑΦΑΙΡΕΣΗΑπλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αριθμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μονάδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα (κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινο), δηλαδή, 212.

Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6 μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 από τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι αυτή που μένει να αφαιρέσουμε. Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και 1 μονάδα, δηλαδή, 491.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣΑπλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4 χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.

Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4 χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπόλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περνάμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για να περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μένει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε), δηλαδή, 148.

(RU)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСчеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое приспособление по праву называют предшественником современных электронных калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты, однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.

Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.

Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами. Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к самостоятельному мышлению.

Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым передвигаются 10 шариков (костяшек).

Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на иллюстрации 1.

ЕдиницыДесяткиСотни

Единицы тысячДесятки тысячСотни тысячЕдиницы миллионовДесятки миллионовСотни миллионовЕдиницы миллиардов

2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЧЕТАМИПеред тем, как приступить к выполнению любой операции, следует поместить шарики с левой стороны.

Для первоначального ознакомления со счетами рекомендуется обозначать шариками различные числа и, придумывая различные операции, рассчитывать их результат.

2.A. Чтобы представить число 48, нужно переместить вправо 8 шариков для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 4 шарика (второй ряд, красного цвета). Таким образом, число будет представлено так, как показано на иллюстрации 2.A.

2.A. Чтобы представить число 25 961, нужно переместить вправо 1 шарик для единиц (первый ряд, синего цвета). Для десятков необходимо переместить вправо 6 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен перемещаем вправо 9 шариков (третий ряд, зеленого цвета). Для единиц тысяч нужно переместить вправо 5 шариков (четвертый ряд, желтого цвета) и, наконец, для десятков тысяч перемещаем вправо 2 шарика (пятый ряд, белого цвета). Это число будет представлено на счетах так, как показано на иллюстрации 2.B.

2.C. Чтобы представить число 312 437 650, начинаем с единиц (первый ряд, синего цвета), но в этом случае нам не следует передвигать ни один из шариков. Мы переходим к десяткам и перемещаем вправо 5 шариков (второй ряд, красного цвета). Для сотен (третий ряд, зеленого цвета) перемещаем вправо 6 шариков. Для единиц тысяч (четвертый ряд, желтого цвета) перемещаем вправо 7 шариков. Для десятков тысяч (пятый ряд, белого цвета) перемещаем вправо 3 шарика. Для сотен тысяч (шестой ряд, синего цвета) перемещаем вправо 4 шарика. Для единиц миллионов (седьмой ряд, красного цвета) перемещаем вправо 2 шарика. Десятки миллионов (восьмой ряд, зеленого цвета) представлены цифрой 1, поэтому мы перемещаем вправо всего один шарик. И, наконец, для сотен миллионов (девятый ряд, желтого цвета) мы перемещаем вправо 3 шарика. На иллюстрации 2.C. показано, как представлено это число на счетах.

Ниже мы предлагаем вам выполнить различные упражнения.

* 1: Показать на счетах следующие числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Записать числа, которые показаны на иллюстрации 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Ответы к упражнениям приведены в конце данного руководства.

3. ОПЕРАЦИИ НА СЧЕТАХВсе операции можно разделить на простые и сложные.

СЛОЖЕНИЕ Простое: (иллюстрация 4) Если требуется сложить 135 + 321. Сначала следует представить на счетах первое число (135): перемещаем вправо 5 шариков для единиц (синие), 3 шарика для десятков (красные) и 1 шарик для сотен (зеленый). После этого обозначим второе число (321): перемещаем вправо 1 синий шарик (единицы), 2 красных шарика (десятки) и, наконец, 3 зеленых шарика (сотни). Справа у нас получился результат: 6 синих шариков (единицы), 5 красных шариков (десятки) и 4 зеленых шарика (сотни), то есть 456.

Сложное: Если требуется сложить 273 + 564. Представить первое число (273): 3 шарика для единиц (синие), 7 для десятков (красные) и 2 шарика для сотен (зеленые). Далее добавляем справа второе число (564), 4 шарика для единиц (синие), 6 для десятков (красные). Однако у нас уже есть 7, и шариков не хватает. В этом случае переместить вправо 3 шарика, которые остались слева, и одновременно переместить вправо 1 шарик для сотен (зеленый). Теперь все шарики для десятков вновь находятся слева. Поскольку мы переместили только 3 шарика для десятков и нам осталось переместить еще 3, мы повторяем операцию и перемещаем вправо 3 недостающих шарика для десятков (красные), а после этого добавляем 5 шариков для сотен (зеленые) на правую сторону. Полученный результат: 7 шариков для единиц, 3 для десятков и 8 для сотен, то есть 837.

ВЫЧИТАНИЕПростое: Требуется вычесть 425 - 213. Все шарики находятся слева, и теперь мы перемещаем вправо первое число (425): 5 шариков для единиц (синие), 2 для десятков (красные) и 4 для сотен (зеленые). Чтобы вычесть заданное число (213), начинаем с единиц: перемещаем 3 шарика для единиц (синие) справа налево. Для десятков переводим влево 1 шарик (красный), а для сотен перемещаем 2 шарика (зеленые) справа налево. Окончательный результат: 2 шарика для единиц (синие), 1 для десятков (красные) и 2 для сотен (зеленые), то есть 212.

Сложное: В этом случае требуется совершить такую операцию вычитания: 976 - 485. Как и в предыдущих операциях, перемещаем 6 единиц, 7 десятков и 9 сотен вправо (976). Чтобы вычесть заданное число (485), начинаем с единиц. Убираем 5 единиц (синие) и переводим их влево. После этого вычитаем 8 десятков. Однако у нас не хватает шариков, поэтому нам нужно переместить влево те 7 шариков, которые есть у нас в десятках, и одновременно переместить влево один из 9 шариков для сотен (зеленые). После этого мы вновь переводим вправо все шарики для десятков (красные) и перемещаем 1 красный шарик (десятки) влево, поскольку мы его еще не вычли. В завершение вычитаем 4 сотни (зеленые) из 8, которые у нас есть (мы убрали 1 при вычитании десятков), и у нас остаются 4 шарика с правой стороны. Окончательный результат: 4 сотни, 1 десяток и 1 единица, то есть 491.

УМНОЖЕНИЕПростое: Чтобы произвести, к примеру, такое действие: 413 x 2, как и для остальных операций, все шарики изначально должны находиться слева. Сначала мы работаем с единицами (синие). Учитывая, что правая сторона пуста, перемещаем вправо 3 шарика дважды. Делаем то же самое с десятками (перемещаем 1 шарик дважды) и с сотнями (перемещаем 4 зеленых шарика дважды). У нас должен получиться следующий результат: 6 шариков для единиц (синие), 2 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для сотен (зеленые), то есть 826.

Сложное: Если мы хотим произвести такое действие: 74 x 2, сначала нам следует переместить вправо 2 раза по 4 шарика для единиц (синие). Затем мы умножаем десятки и перемещаем 2 раза по 7 шариков для десятков (красные). Однако нам не хватает шариков, поэтому мы перемещаем вправо первые 7 шариков, а также 3 оставшихся шарика. После этого перемещаем 1 шарик для сотен (зеленый) и одновременно перемещаем влево все шарики для десятков (красные). Поскольку нужно переместить еще 4 шарика для десятков, переводим

эти 4 шарика для десятков (красные) вправо. В завершение мы получим 1 шарик для сотен (зеленый), 4 шарика для десятков (красные) и 8 шариков для единиц (синие), то есть 148.

(CN)1. 历史和说明算盘被认为是最古老的计算工具，是现代数字计算器的前身。 其确切起源难以确定，但大多数历史学家指出其源于中亚。

世界不同地区的演变方式也有所不同，现今有几种类型的算盘： Suan Pan（中国算盘）、soroban （日本算盘）和 Stschoty（俄罗斯算盘）...

算盘很容易理解，可用于学习计算。 它的按位记数系统有助于了解自然数运算（加、减、乘和除），甚至平方根和各种可能的数字。 算盘的优点是教我们对任何数学问题进行逻辑思维和推理，在求解的同时培养思考能力。

算盘由排列有平行木棍，上面各串有 10 颗可移动算珠的框组成。

形状如图 1 中所示。

个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿位十亿位

2. 如何使用算盘开始使用前，所有算珠必须在左边。

为了熟悉它，建议用算珠放置不同的数字，查看各种算盘组合并计算列出的数字。

2.A. 要排列数字 48，个位向右移动 8 个算珠（第一排，蓝色）。要排列十位，应向右移动 4 个算珠（第二排，红色）。 该数字将如图 2.A. 所示。

2.B. 要排列数字 25,961，个位向右移动 1 个算珠（第一排，蓝色）。 要排列十位，应向右移动 6 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位，向右移动 9 个算珠（第三排，绿色），要排列千位，向右移动 5 个算珠（第四排，黄色），要排列万位，向右移动 2 个算珠（第五排，白色）。 算盘上的这个数字如图 2.B. 所示。

2.C. 要排列 312,437,650，从个位（第一排，蓝色）开始，但在这种情况下，没有算珠要移动，因此移至十位，并向右移动 5 个算珠（第二排，红色）。 要排列百位（第三排，绿色），向右移动 6 个算珠。 千位（第四排，黄色）上向右移动 7 个算珠。 万位（第五行，白色）向右移动 3 个算珠。 十万位（第六排，蓝色）向右移动 4 个算珠。 百万位（第七排，红色）向右移动 2 个算珠。 千万位（第八排，绿色）是 1，向右移动一个算珠。 最后，亿位（第九排，黄色）向右移动 3 个算珠。 算盘上表示的这个数字如图 2.C. 所示。

我们在此提供几种要完成的练习：

* 1： 用算盘表示以下数字： 46、98、191、205、539、987、1009、1692、4183。

* 2： 写下图 3 中所示的数字：A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* 练习答案位于本手册末页。

3. 用算盘运算所有运算都可以分为简单或复杂。

加法简单：（图 4） 如要求和 135 + 321。 首先在算盘上放好第一个数字 (135)，将个位的 5 个算珠（蓝色）、十位的 3 个算珠（红色）和百位的 1 个算珠（绿色）移到右边。 然后，排列第二个数字 (321)，将一个蓝色的算珠（个位）、2 个红色的算珠（十位）和最后 3 个绿色算珠（百位）移到右边。 结果从左到右为： 6 个蓝色算珠（个位）、5 个红色算珠（十位）和 4 个绿色算珠（百位），即 456。

复杂： 要求和 273 + 564。 放好第一个数字 (273)： 个位 3 个算珠（蓝色）、十位 7 个算珠（红色）和百位 2 个算珠（绿色）。 继续向右边添加第二个数字 (564)，个位 4 个算珠（蓝色）、十位 6 个算珠（红色），但它已经有 7 个算珠了，因此算珠不够。 然后，将位于左边的 3 个算珠移向右边，同时在十位上移动 1 个算珠（绿色）。 十位上的所有算珠数重新移回左边，由于十位上只移动了 3 个算珠，还剩下另外 3 个算珠要移动，返回重复操作并将十位上余下的 3 个算珠（红色）移到右边，最后在百位上将 5 个算珠（绿色）加到右边。 其结果是个位上 7 个算珠，十位上 3 个和百位上 8 个，即 837。

减法简单： 求差 425-213。 所有的算珠位于左边，将第一个数字 (425 移到右边，个位 5 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）和百位 4 个算珠（绿色）。 要减去第二个数字 (213)，从个位开始； 个位从右向左移动 3 个算珠（蓝色），十位向左移动 1 个算珠（红色），及在百位从右向左移动 2 个算珠（绿色）。 最终的结果为： 个位 2 个算珠（蓝色）、十位 1 个算珠（红色）及百数 2 个算珠（绿色），即 212。

复杂： 在此情况下求差 976-485。 与之前的运算一样，个位向右移动 6 个、十位向右移动 7 个及百位向右移动 9 个 (976)。 要减去第二个数字 (485)，从个位开始。 个位去掉 5 个算珠（蓝色）并向左转动，然后在十位上减去 8 个，但算珠不够，因此，我们必须将十位上的 7 个算珠移到左边（十位），同时将百位中的 9 个算珠移动 1 个到左边（绿色）。 然后将十位上的所有算珠（红色）移到右边并将 1 个红色算珠（十位）移到左边，因为它是减去后余下的。 最后，从百位上剩余的 8 个算珠（因十位相减已去除 1 个算珠）减去 4 个算珠（绿色），右边还剩 4 个，最终的结果为百位 4 个、十位 9 个和个位 1 个，即 491。

乘法简单： 对于乘法，例如 413 × 2，像其他运算一样，所有的算珠必须位于左边。 首先运算个位（蓝色），考虑到右边是空的，将 3 个算珠向右移动 2 次。 十位采用相同的操作，将 1 个算珠移两次，并在百位上将 4 个算珠（绿色）移动 2 次。 结果应该是： 个位 6 个算珠（蓝色）、十位 2 个算珠（红色）及百位 8 个算珠（绿色），即 826。

复杂： 如要求乘法 74 × 2，一开始将个位的 4 个算珠（蓝色）向右移 2 次，然后再乘十位，将十位的 7 个算珠（红色）移动 2 次，但算珠不够，因此先向右移 7 个算珠，同样移动余下的 3 个，此时在百位上移动 1 个算珠（绿色），同时，将十位上所有的算珠（红色）移到左边，由于还有 4 个算珠要移动，将十位上的 4 个算珠（红色）移到右边。 最后所得的结果为百位 1 个算珠（绿色）、十位 4 个算珠（红色）及个位 8 个算珠（蓝色），即 148。

(BG)1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕСметалото се счита за най-древният инструмент за смятане и предшественик на модерните цифрови калкулатори. Трудно е да се определи точният му произход, но повечето историци посочват Централна Азия.

Развива се по-различен начин в различните части на света и днес съществуват няколко разновидности на сметалото: Суан пан (китайско сметало), соробан (японско сметало) и счёты (руско сметало)…

Сметалото се разбира много лесно и е полезно при обучение по смятане. Неговата позиционна бройна система спомага за усвояване на операциите с естествени числа (събиране, изваждане, умножение и деление), включително корен квадратен и степенуване. Предимството на СМЕТАЛОТО е, че ни учи да мислим и разсъждаваме логически върху всякакви математически задачи, като по този начин развива способността да обмисляме решения на задачите.

Сметалото се състои от една квадратна рамка с успоредни пръчки, на които са нанизани 10 подвижни топчета.

Изглежда като показаното на снимка 1.

ЕдинициДесетициСтотициХилядиДесетохилядиСтохилядиМилиониДесетомилиониСтомилиониМилиарди

2. КАК СЕ БОРАВИ СЪС СМЕТАЛОТОПреди употреба всички топчета трябва да се поставят от лявата страна.

За да се запознаете с него, препоръчително е първо да наредите различни числа с топчетата, да видите различните комбинации на сметалото и да сметнете числото, което се получава.

2.A. За нареждане на числото 48 се преместват 8 топчета от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 4 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. Това число е представено, както е показано на снимка 2.A.

2.B. За нареждане на числото 25 961 се премества 1 топче от единиците (първи ред, син цвят) вдясно. За образуване на десетиците трябва да преместим 6 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За да наредим стотиците, ще прехвърлим 9 топчета (трети ред, зелен цвят) вдясно. За образуване на хилядите прехвърляме 5 топчета (четвърти ред, жълт цвят) вдясно, и най-накрая за нареждане на десетохилядите прехвърляме 2 топчета (пети ред, бял цвят) вдясно. Това число на сметалото изглежда, както е показано на снимка 2.B.

2.C. За представяне на числото 312 437 650 започваме с единиците (първи ред, син цвят), но в този случай не се налага да местим нито едно топче, затова преминаваме на десетиците и преместваме 5 топчета (втори ред, червен цвят) вдясно. За образуване на стотиците (втори ред, зелен цвят) преместваме 6 топчета вдясно. За хилядите (четвърти ред, жълт цвят) преместваме 7 топчета вдясно. При десетохилядите (пети ред, бял цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. При стохилядите (шести ред, син цвят) преместваме 4 топчета вляво. За милионите (седми ред, червен цвят) прехвърляме 2 топчета вдясно. Десетомилионите (осми ред, зелен цвят) са 1, прехвърляме само едно топче вдясно. И накрая, за стомилионите (девети ред, жълт цвят) прехвърляме 3 топчета вдясно. На снимка 2.C. е показано как изглежда това число на сметалото.

По-нататък предлагаме различни упражнения, които трябва да завършите:

* 1: Наредете на сметалото следните числа: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Наредете числата, представени на фигура 3:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* Отговорите на упражненията са показани в края на упътването.

3. АРИТМЕТИЧНИ ДЕЙСТВИЯ СЪС СМЕТАЛОТОВсички аритметични действия могат да се разделят на прости или сложни.

СЪБИРАНЕ Просто: (снимка 4) Ако искаме да съберем 135 + 321. Първо на сметалото трябва да се нареди първото число (135), преместваме вдясно 5 топчета от единиците (сини), 3 топчета от десетиците (червени) и 1 от стотиците (зелени). След това подреждаме второто число (321), преместваме 1 синьо топче вдясно (единици), 2 червени топчета (десетици) и накрая 3 зелени (стотици). Резултатът, който се получава вдясно е: 6 сини топчета (единици), 5 червени (десетици) и 4 зелени (стотици), тоест 456.

Сложно: За да съберете 273 + 564. Подрежда се първото число (273): 3 топчета от единиците (сини), 7 от десетиците (червени) и 2 от стотиците (зелени). Продължаваме, като добавяме вдясно второто число (564) - 4 топчета от единиците (сини), 6 топчета от десетиците (червени), но вече имаме 7, така че нямаме достатъчно топчета. Тогава трябва да прехвърлим вдясно 3-те топчета, останали от лявата страна, и в същото време прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) вдясно. Отново разполагаме с всички топчета от десетиците от лявата страна, тъй като сме прехвърлили само 3 топчета от десетиците и ни остават още 3 за прехвърляне; повтаряме отново и прехвърляме надясно 3-те оставащи топчета от десетиците (червени), накрая прибавяме вдясно 5 топчета от стотиците (зелени). Резултатът, който ще се получи са 7 топчета в единиците, 3 в десетиците и 8 в стотиците, тоест 837.

ИЗВАЖДАНЕПросто: Изваждане 425 - 213. Всички топчета са от лявата страна, прехвърляме вдясно първото число (425) - 5 топчета от единиците (сини), 2 от десетиците (червени) и 4 от стотиците (зелени). За да извадим второто число (213), започваме с единиците: прехвърляме 3 топчета от единиците (сини) от дясно вляво, от десетиците прехвърляме вляво 1 топче (червено) и от стотиците прехвърляме 2 топчета (зелени) от дясно вляво. Крайният резултат е: 2 топчета от единиците (сини), 1 от десетиците (червено) и 2 от стотиците (зелени), тоест 212.

Сложно: В този случай изваждаме 976 - 485. Както в предишните действия прехвърляме 6 единици, 7 десетици и 9 стотици вдясно (976). За да се извади второто число (485), започв

аме с единиците. Премахваме 5 единици (сини) и ги прехвърляме вляво, след това изваждаме 8 десетици, но нямаме достатъчно топчета; затова трябва да прехвърлим 7-те, с които разполагаме в десетиците, вляво (десетици) и едновременно да преместим вляво 1 от 9-те топчета от стотиците (зелено). След това прехвърляме вдясно всички топчета от десетиците (червени) и преместваме 1 червено топче (десетици) вляво, защото толкова ни трябва за изваждането. Накрая изваждаме 4 стотици (зелени) от 8-те налични (премахнахме 1 при изваждането на десетиците), остават 4 от дясната страна; крайният резултат е 4 стотици, 1 десетица и 1 единица, тоест 491.

УМНОЖЕНИЕПросто: За да умножите, например 413 x 2, както при останалите аритметични действия, всички топчета трябва да са вляво. Първо работим с единиците (сините), имайки предвид, че дясната страна е празна; прехвърляме вдясно 2 пъти по 3 топчета. Правим същото с десетиците - прехвърляме по 1 топче два пъти, и със стотиците - прехвърляме по 4 топчета (зелени) 2 пъти. Резултатът, който трябва да получим е: 6 топчета от единиците (сини), 2 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от стотиците (зелени), тоест 826.

Сложно: Ако искаме да умножим 74 x 2, започваме с прехвърляне вдясно 2 пъти по 4 топчета от единиците (сини), след това умножаваме десетиците и прехвърляме 2 пъти по 7 топчета от десетиците (червено), но нямаме достатъчно; затова прехвърляме първите 7 вдясно и 3-те останали също; после прехвърляме 1 топче от стотиците (зелено) и едновременно прехвърляме вляво всички топчета от десетиците (червени) и тъй като остават 4 стотици за прехвърляне, преместваме тези 4 топчета от десетиците (червени) вдясно. Накрая остават 1 топче от стотиците (зелено), 4 топчета от десетиците (червени) и 8 топчета от единиците (сини), тоест 148.

(NL)1. GESCHIEDENIS EN BESCHRIJVINGHet telraam (of abacus) wordt beschouwd als het oudste rekeninstrument en de voorloper van de moderne, digitale rekenmachines. De precieze oorsprong van het telraam is moeilijk te achterhalen, maar de meeste geschiedkundigen denken dat het instrument is uitgevonden in Centraal-Azië.

De uitvinding heeft zich op uiteenlopende wijzen ontwikkeld in verschillende delen van de wereld. Vandaag zijn er dan ook tal van types: Suan Pan (Chinees telraam), soroban (Japans telraam), Stschoty (Russisch telraam) …

Het telraam is zeer eenvoudig in gebruik en nuttig om mee te leren rekenen. Dankzij het positioneel systeem krijgt het kind inzicht in de bewerkingen met natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), inclusief worteltrekkingen en machtsverheffingen. Het telraam leert ons logisch na te denken en te redeneren over wiskundige problemen en stimuleert het probleemoplossend denkvermogen.

Het telraam bestaat uit een frame met evenwijdige staven met elk 10, verschuifbare kralen.

Zie afbeelding 1.

EenhedenTientallenHonderdtallenDuizendtallenTienduizendtallenHonderdduizendtallenMiljoentallenTienmiljoentallenHonderdmiljoentallenMiljardtallen

2. HOE WORDT HET TELRAAM GEBRUIKTSchuif alle kralen naar links voor gebruik.

Probeer verschillende getallen te vormen met de kralen, de diverse combinaties te bekijken en het getal dat verschijnt te berekenen om vertrouwd te raken met het telraam.

2.A. Om het nummer 48 te vormen, schuif je 8 parels (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 4 parels (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.A.

2.B. Om het nummer 25.961 te vormen, schuif je 1 parel (eerste rij, blauwe kleur) naar rechts. Om de tientallen te vormen, schuif je 6 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen, schuif je 9 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts; om de duizendtallen te vormen, schuif je 5 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts en om de tienduizendtallen te vormen, schuif je 2 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Het getal wordt voorgesteld zoals je kan zien op afbeelding 2.B.

2.C. Om het nummer 312.437.650 te vormen, begin je met de eenheden (eerste rij, blauwe kleur), je moet echter geen enkele kraal verschuiven dus ga je verder met de tientallen en schuif je 5 kralen (tweede rij, rode kleur) naar rechts. Om de honderdtallen te vormen schuif je 6 kralen (derde rij, groene kleur) naar rechts. Voor de duizendtallen schuif je 7 kralen (vierde rij, gele kleur) naar rechts. Voor de tienduizendtallen schuif je 3 kralen (vijfde rij, witte kleur) naar rechts. Voor de honderdduizendtallen schuif je 4 kralen (zesde rij, blauwe kleur) naar rechts. Voor de miljoentallen schuif je 2 kralen (zevende rij, rode kleur) naar rechts. Voor de tienmiljoentallen schuif je 1 kraal (achtste rij, groene kleur) naar rechts. Ten slotte, voor de tienmiljoentallen, schuif je 3 kralen (negende rij, gele kleur) naar rechts. Afbeelding 2.C. toont hoe dit getal er uitziet op het telraam.

Hierna worden enkele aanvullende oefeningen voorgesteld:

* 1: Vorm de volgende getallen met het telraam: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.

* 2: Noteer de getallen die op afbeelding 3 staan:A/ ..............B/ ..............C/ ..............D/ ..............E/ ..............F/ ..............G/ ..............H/ .............. I/ ..............

* De antwoorden op de oefeningen vind je aan het eind van de handleiding.

3. BEWERKINGEN MET HET TELRAAMAlle bewerkingen kunnen opgedeeld worden in eenvoudige of complexe bewerkingen.

OPTELLEN Eenvoudig: (afbeelding 4) Som: 135 + 321. We vormen eerst het getal (135). We verschuiven 5 eenheden (blauwe kralen), 3 tientallen (rode kralen) en 1 honderdtal (groene kralen) naar de rechterkant van het telraam. Daarna vormen we het tweede getal (321), door 1 blauwe kraal (eenheden), 2 rode kralen (tientallen) en ten slotte 3 groene kralen (honderdtallen) naar rechts te

verschuiven. Aan de rechterkant staan nu: 6 blauwe kralen (eenheden), 5 rode kralen (tientallen) en 4 groene kralen (honderdtallen), die het getal 456 vormen.

Complex: Som: 273 + 564. We vormen het eerste getal (273): 3 eenheden (blauwe kralen), 7 tientallen (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen). Vervolgens voegen we rechts het tweede nummer toe (564), 4 eenheden (blauwe kralen), 6 tientallen (rode kralen) (we hebben er echter al 7 dus hebben we niet genoeg kralen). We moeten de 3 kralen die links overblijven en 1 honderdtal (groene kraal) naar rechts verschuiven. We verschuiven de tientallen opnieuw naar de linkerkant, aangezien we slechts 3 tientallen hebben verschoven en er nog 3 overgebracht moeten worden, verschuiven we de 3 overige tientallen (rode kralen) en 5 honderdtallen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 7 eenheden, 3 tientallen en 8 honderdtallen, of 837.

AFTREKKENEenvoudig: Verschil: 425 - 213. Alle kralen bevinden zich aan de linkerkant. We verschuiven het eerste getal naar rechts (425): 5 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 4 honderdtallen (groene kralen). We trekken het tweede getal af (213). We starten met de eenheden; we verschuiven 3 eenheden (blauwe kralen) , 1 tiental (rode kraal) en 2 honderdtallen (groene kralen) van rechts naar links. We hebben nu: 2 eenheden (blauwe kralen), 1 tiental (rode kralen) en 2 honderdtallen (groene kralen), of 212.

Complex: Verschil: 976 - 485. Zoals bij de vorige bewerkingen schuiven we 6 eenheden, 7 tientallen en 9 honderdtallen naar rechts (976). Om het tweede getal (485) hiervan af te trekken, starten we met de eenheden.We schuiven 5 eenheden (blauwe kralen) naar links. Vervolgens trekken we de 8 tientallen af. We hebben echter niet genoeg kralen dus moeten we de 7 tientallen en 1 van de 9 honderdtallen (groene kralen) naar links verschuiven. Daarna verschuiven we alle tientallen (rode kralen) opnieuw naar rechts en 1 tiental (rode kralen) naar links omdat dit tiental nog afge trokken diende te worden. Ten slotte trekken we de 4 honderdtallen (groen kralen) van de 8 overgebleven honderdtallen af (we hebben 1 honderdtal weggehaald tijdens het aftrekken van de tientallen). Er blijven 4 kralen over aan de rechterkant. Het eindresultaat: 4 honderdtallen, 9 tientallen en 1 eenheid, of 491.

VERMENIGVULDIGENEenvoudig: Vermenigvuldiging: 413 x 2. Plaats alle kralen aan de linkerkant. We starten met de eenheden (blauwe kralen). De rechterkant is leeg en nu verschuiven we 2 keer 3 kralen naar rechts. We doen hetzelfde met de tientallen: we verschuiven twee keer 1 kraal naar rechts. En voor de honderdtallen: we verschuiven 2 keer 4 kralen (groene kralen) naar rechts. Het resultaat: 6 eenheden (blauwe kralen), 2 tientallen (rode kralen) en 8 honderdtallen (groene kralen), of 826.

Complex: Vermenigvuldiging: 74 x 2. We verschuiven eerst 2 keer 4 eenheden (blauwe kralen) naar rechts; vervolgens vermenigvuldigen we de tientallen en verschuiven we 2 keer 7 tientallen (rode kralen). We hebben echter niet genoeg tientallen dus verschuiven we de eerste 7 tientallen en de overige 3 naar rechts, vervolgens verplaatsen we 1 honderdtal (groene kralen) en alle tientallen (rode kralen) naar links. Aangezien er nog 4 tientallen (rode kralen) overgebracht dienen te worden, verschuiven we deze 4 tientallen (rode kralen) naar rechts. Resultaat: 1 honderdtal (groene kralen), 4 tientallen (rode kralen) en 8 eenheden (blauwe kralen), dus 148.

*2: A/ ...76B/ ...84C/ ... 361D/ ...138E/ ...747F/ …1830G/ ...8405H/ ... 2039 I/ ...25724

46=

205=

1009=

98=

539=

1692=

191=

987=

4183=

*1

Ref.: 66598_290413

Importado por:Imaginarium, S.A.Plataforma LogísticaPLA-ZA, C./ Osca, nº450197 Zaragoza - EspañaCIF A-50524727

ABACUS

(ES) Guardar esta información para futuras referencias.(EN) Please retain this information for future reference.(FR) Renseignements à conserver.(DE) Hebe alle Informationen für zukünftige Kommunikation auf.(IT) Istruzioni da conservare.(PT) Guarde esta informação para futuras referências.(RO) Păstraţi această informaţie pentru viitoare referinţe.

(PL) Zatrzymać tę informację do późniejszego wglądu.(TR) Bu bilgileri, ileride ihtiyaç duyabileceğinizi göz önünde bulundurarak muhafaza ediniz.(EL) Κρατήστε αυτές τις πληροφορίες για μελλοντική χρήση.(RU) Сохраните эту информацию для последующих справок.(CN) 把此说明保存好以备日后查阅。(JP) 必要な時に読めるよう、この説明書は大切に保管して下さい。

(AR) حافظ على هذه المعلومات كمرجع في المستقبل..עתידילעיוןאלההוראותלשמור(HE) יש