6 rijit cisimlerin düzlemsel kinetieğrisel koordinatlar: f ma ... Şekildeki düşey düzlemde...

6 Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiği

6.1 Giriş 5. bölümde rijit cisimlerin düzlemsel kinematiğinin ili şkilerini (denklemlerini)

gördük. Bu bölümde bu ilişkileri kullanarak rijit cisimlerin iki boyutlu hareketinde

kuvvetlerin etkisini inceleyeceğiz.

6. Bölüm 3. Bölüm gibi 3 kısımda (A, B, ve C) incelenecek. A kısmında kuvvetlerin

ve momentlerin lineer ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki bağıntılar, B kısmında iş-enerji ve C kısmında impuls-momentum bağıntılarını göreceğiz.

Kısım A : Kuvvet kütle ve ivme

6.2 Hareketin genel denklemleri

4. bölümde hareketin kuvvet ve moment vektörel eşitliklerini genel kütle sistemi için

bulduk Bunu şimdi 3 boyutlu rijit cisme uygulayalım.

Kuvvet eşitli ği : ΣF=ma

Moment eşitli ği : G GΣM = Hɺ idi.

Düzlemsel hareketin denklemleri :

Daha evvel yazdığımız eşitlikleri düzlemsel harekete uygulayalım. Şekilde x-y

düzleminde hareket eden rijit bir cisim görüyoruz.

Cismin açısal hızı ve ivmesi pozitif z yönünde olsun, ω=ωk ve α = αk. Genel sistemin

kütle merkezine göre (4. Bölümde) açısal momentumu G i

m= Σ ×i i

H ρ ρɺ formülü ile

verilmiştir.( i i,mρ noktasal cismin kütle merkezine göre konum vektörü). Rijit cisim

için kütle merkezi G'ye göre bir noktanın bağıl hızı = ×i i

ρ ω ρɺ dir. Bundan dolayı HG

açısal momentum vektörünün büyüklüğü :

�

i

i

0

2i i

, m ( )

m ( . ) ( .ω)

m

im

= × = Σ × ×

= Σ − Σ

= Σ

i i g i i

G i i i i

G

ρ ω ρ H ρ ω ρH ρ ρ ω ρ ρ

H ρ ω

ɺ

Yukarıdaki eşitlikteki toplam terimi 2

i imΣρ ,

2( )∫ dmρ integrali ile ifade edilir. Bu

ifade ( )2dmρ∫ rijit cismin kütle merkezinden geçen z eksenine göre atalet momenti IG

olarakta tanımlanır. Bundan dolayı HG= IGω yazılır. Böylece moment denklemi ;

G G G GM H I ω=I αΣ = =ɺ ɺ şeklini alır. Sonuç olarak rijit cisim için düzlemsel hareketin

denklemlerini, mΣ = GF a ve GIΣ =GM α (BĐRĐNCĐSĐ DÜZLEMDE ÖTELEME

ĐKĐNCĐSĐ DÜZLEMDE DÖNME) olarak elde etmiş olduk.

=maG

G

t t i

2n n

G G

Eğrisel Koordinatlar:

F ma

F ma m ω=m

F ma m ωM I

i

i

ρ ρ αρ

α

Σ =Σ = =

Σ = =Σ =

ɺ

Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagramı

KARTEZYEN KOOR:

m

m m 4

m ( .)

x Gx

y Gy

z Gz

G G G

F a

F a Hareket Denklemi

F a Kartezyen Koor

I M I α

Σ = Σ = ⇒ Σ = Σ = Σ = ⇒ Σ =

G

G

F a

M α

Alternatif moment eşitli ği (Denklemi)

4. Bölümde bir noktasal cisim sistemi için herhangi bir P noktasına göre moment

denklemleri;

mΣ = + ×p G G GM H ρ aɺ şeklinde çıkartmıştık ( = =Gρ ρ PG idi).

=ρGsinθ

m ,= + × =p G G G GΣM H ρ a ρ PGɺ

Bu eşitli ği 2 boyutlu rijit cisim için

ΣMp = IG α+m aG d şeklinde yazabiliriz.

Eğer rijit cisim sabit bir O noktası etrafında dönüyorsa bu denklem ΣMo = Io α şeklini

alır.

Gm , I | | GI α= + × = = ⇒ = =p G G G G G G GΣM H ρ a ΣM H α H Hɺ ɺ ɺ ɺ

( ) Gm sin a msinθ a dG Gm mπ θ ρ× = − = =G G G Gρ a ρ a

Hareket Düzlemi; ( m ) Har.Düzlemi⊥ × ⊥p G GΣM ρ a

O halde p GΣM ma dGI α= + “Düzlemsel Harekette”

p bağNOT: M ( ) m idi. (4. Bölümde)Σ = + ×p G pH ρ aɺ

G

p bağ

P noktasını katı cismin sabit noktası alırsak M

dan H olur.

G G

p p

I H

I I m

α

α

Σ = = = Σ = + ×p G pM α ρ a

ɺ

ɺ

p

p G

I : P den geçen eksene göre atalet momenti (Kütle)

a ; P nin ivmesi ; dir. Eğer P PG=0 ise= =Gρ PG

olur. P noktası G kütle merkezi rolünü oynar.

(skaler)

Σ =

Σ =p

p p

M I

M I

αα

6.3 Bağımsız veya Bağımlı Katı Cisim Hareketi:

Şekildeki düşey düzlemde hareket eden roket bağımsız hareketli bir katı cisimdir.

Fiziksel olarak hareketini sınırlayan bir engel yoktur.

G

m

M I αΣ = Σ =

F a denklemlerini uygulayarak

α açısal ivmesi ve xa , ya kütle merkezi ivmeleri hesaplanabilir.

AB çubuğunun hareketi sınırlıdır. Bağımlı (Bağlı) hareket edebilir. Kütle merkezinin

ivme bileşenleri ile çubuğun açısal ivmesi arasındaki bağıntı 5. bölümdeki kinematik

bilgilerinden elde edilir sonra mΣ =F a ve M I αΣ = denklemleri uygulanır. Bu

nedenle 5. Bölüm çok önemlidir.

6.4 Birbirine bağlı katı cisim sistemleri

Serbest Cisim Diyagramı

Kinetik Diagram

Cisimleri tekbir katı cisim sistemi saymak uygundur. A bağ noktasındaki kuvvet iç

kuvvet olur. Dikkate alınmaz. veΣM=IαΣ =F am denklemlerini;

1 2m m mΣ = Σ = +

1 2F a a a

Ve keyfi bir P noktasına göre tüm dış kuvvetlerin momentleri toplamı

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2I I m a d m a dα α+ + + bileşkelerinin momentine eşit olur. Yani;

pM Iα ad BmΣ = Σ + Σ şeklini alır.

A ve B denklemleri uygulanarak sistemin bilinmeyenleri çözülür. Denklem sayısı

yetmez ise, sistem parçalara ayrılır her parça için ve M Im αΣ = ΣF a =

uygulanır. Veya VĐRTÜEL iş ya da LAGRANGE denklemleri kullanılır.

6.5 Alan Atalet Momenti

Eksene Göre:

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

,

, Polar atalet momenti

( )

x

y

z

z x y

I y dA

I x dA r x y

I r dA

I x y dA x dA y dA I I

=

= = +

=

= + = + = +

∫∫∫∫ ∫ ∫

Alan atalet momenti göz önüne alınan eksene göre

A alanının dağılımının ölçümü olup, alanın sabit bir özelliğidir.

Boyutu: (uzaklığın)4 = 44 m dir.⇒ (SI)

Gerçek cisimler için atalet momenti KÜTLE atalet momenti olarak hesaplanır.

Kütlenin sözkonusu eksene göre dağılımının ölçümüdür. EKSENE GÖRE KÜTLE

ATALET MOMENTĐ:

t

ω=r

Ft

t

a r r

m ma

α θ= =Σ = ⇒ =F a

ɺɺɺ

tF =rαdm bulunur. Bunun OO′ ’ ne göre

momenti 2( ) dir.r r dm r dmα α=

Bu tür kuvvetlerin toplam momenti katı

Cismin tüm noktaları için

2r dmα∫ integrali ile hesaplanır.

NOT: 2nF ω nin OO ne göre momenti SIFIRDIR.mr ′=

. dm,dV

ρr

m

αO'

O

.at

anormal,n

F =ΣΣΣΣFFn

Ft

teğet, t

an

2 2 , : tekOOM r dm r dmα α α′ = =∫ ∫

2r dm I=∫ ile gösterilir. Ve OO’ eksenine göre m kütlesinin KÜTLE ATALET

MOMENTĐ adını alır.

2I r dm= ∫ , cismin α açısal ivmesine karşı direncini temsil eder.

�

2 2

dm

:r dm r (ρdV),

:

yoğunlukI

V Hacim

ρ= =∫ ∫

2 sabit ise..Aksi halde integral içerisinde kalır.I r dVρ ρ= =∫

6.6 Atalet Yarıçapı (Radius Of Gyration)

OA

y

xG (x,y)xy.

��

A

kx

y

xO

xA alanının x ekseninden uzaklığı k

olan ince birşeride sıkıştıralım.

2x xI k A yazılır.= kx’e A alanının x

eksenine göre atalet yarıçapı denir.

xx

Ik

A=

2y yI k A=

A

ky

y

xO��

y

xO

��.kz

A

NOT: A alanının göz önüne alınan eksene göre dağılımının ölçümünü ATALET

YARIÇAPI olarak tanımlarız.

Đndisi atarsak; m kütlesinin bir eksene göre atalet yarıçapı

yy

Ik

A=

2 zz z z

II k A k

A= ⇒ =

2veya I k dir.I

k mm

= =

NOT: A alanının G kütle merkezinin x , y veya Gx , Gy koordinatları ile atalet yarıçapı

karıştırılmamalıdır.

2, A alanının elemanlarının x eksenine olan uzaklıklarının ortalmasının karesidir.y

2

xk ise elemanların xeksenine olan uzaklıklarının karelerinin ortalamasıdır

Yani 2AyxI ≠ (Ortalamanın karesi, karelerin ortalamasından daha küçük)

6.7 Alan Atalet Momentinin Nakli (Transfer Of Axes)

Kütle merkezinden geçen bir eksene göre bir cismin atalet momenti biliniyorsa,

paralel bir eksene göre atalet momentinin bulunması. Şekildeki iki paralele ekseni

alalım.

2 2

0

2

2

2

0 (Kütle merkezinin u koordinatı sıfırdır)

I r dm d m d mdm

I I md

I I md

= + +

= + += +

∫ ∫

2 2 2z; ve yazılır.x x x y y y z zI I md I I md I I md= + = + = +

Düzlemsel harekette dönme, düzleme dik bir eksen etrafında olur. Bu nedenle kütle

atalet momentini 2I r dm= ∫ şeklinde bir tek sembol ile gösteririz. Ve eğer levha x,y

2

2 2 2

2 2

2 2

,

2 cos

( 2 cos )

2 cos

o o

o o

o o

I r dm

r r d r d

I r d r d dm

I r dm d dm d r dm

θ

θ

θ

=

= + +

= + +

= + +

∫∫∫ ∫ ∫

düzleminde hareket ediyorsa, O dan geçen z eksenine göre atalet momenti I0 ile temsil

edilir.

Üç boyutlu harekette x y zω ω ω= + +ω i j k olabilir. Bu durumda x,y,z eksenlerine göre

atalet momentlerini; xx yy zzI ;I ;I ile temsil ederiz.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( )

( )

( )

xx x

yy y

zz z

I r dm y z dm

I r dm x z dm

I r dm x y dm

= = +

= = +

= = +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Kütle atalet momenti ile Alan atalet momenti arasındaki benzerlik:

�

2 2

2z

( dA)

Iz

zz z z

zz z

I

I r dm r t

I t r dA t

ρ

ρ ρ

= =

= =

∫ ∫∫

Kütle atalet momenti birim alanın kütlesi ile zI polar atalet momentinin çarpımına

eşittir. Benzer olarak

�xIxx

Birimalanınkütlesi

I tρ= ve �

yy y

BirimAlanınKütlesi

I t Iρ= elde edilir.

Çift indis plakanın kütle atalet momentini ve tek indis plakanın ALAN atalet

momentini temsil ediyor.

NOT: Alan Atalet momentinde idi.z x yI I I= +

Kütle atalet momenti için

( )xx yy x y x y z zzI I tI tI t I I tI Iρ ρ ρ ρ+ = + = + = =

NOT: Bu bağıntı t kalınlığının veya z koordinatlarının x ve y

nin yanında küçük olması halinde geçerlidir.zz xx yyI I I= +

Bu bağıntı dz kalınlığındaki levha için diferansiyel kütle elemanı ile ilgilenildiği

zaman yararlıdır.

Şeklinde uygulanır.zz xx yydI dI dI= +

6.8 Parçalı Cisimler 2I r dm= ∫ ifadesi daima pozitiftir. Parçalı bir cismin bir eksene göre atalet momenti

cismin her parçasının aynı eksene göre atalet momentlerinin toplamına eşittir. Pozitif

ve negatif hacimler tanımlanabilir. Kesilip çıkartılan alan ve hacimler negatif ala ve

hacim olarak alınır.

6.9 Atalet Çarpanları

Atalet çarpanları

olarak tanımlanırlar

xy yx

xz zx

zy yz

I I xydm

I I xzdm

I I zydm

= = = = = =

∫∫∫

Hesaplarda, alanlardaki gibi davranılır. Eksenlerin kaydırılması geçerlidir:

0 0

0 0 0 0

( )( )xy

xy x y x y

I xydm x dx y dy dm

I x y dm d d dm d y dm d x dm

= = + +

= + + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

0 00 0xy x yI I mdxdy= + + +

Ixz ve Iyz için de benzer işlem yapılır ve sıfır indisler

atılırsa

xy xy

xz xz

yz yz

I I mdxdy

I I mdxdz

I I mdydz

= +

= += +

yazılır.

0 0(x ,y )

6.10 Koordinat Merkezinden Geçen Herhangi Bir M Doğrusuna

Göre Atalet Momenti

1,

l,m,n doğrultman kosinüsleri

= = + +λ λ i j kl m n

[ ]

( ) ( ) ( )

2M

M

2 2 2 2 2 2 2 2 2M

I ( ) ( )

I ( ) ( )

[( ) ( )]

I 2 2 2 dm

h dm r r dm

x y z l m n

x y z l m n dm

y z l x z m x y n xyml xzln yzmn

λ λ= = × ⋅ ×

= + + × + + ⋅

+ + × + +

= + + + + + − − −

∫ ∫∫∫

i j k i j k

i j k i j k

2 2 2 2 2 2 elde edilir.M xx yy zz xy xz yzI I l I m I n I lm I ln I mn= + + − − −

2r | r || | sin | r | sin h h (r ) (r )× λ = λ θ = θ = = × λ ⋅ × λ

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I I I

− − − − −

Öyle x,y,z eksenleri bulabiliriz ki bu eksenlere göre yazılan xy yxI =I ; xz zxI =I ; yz zyI =I

Atalet çarpanları sıfır olur. Yani

0 0

0 0

0 0

xx

yy

zz

I

I

I

yazılır. Böyle eksenlere ASAL ATALET EKSENLERĐ denir. Ixx,

Iyy, Izz lere de ASAL ATALET MOMENTLERĐ DENĐR.

NOT: Đki koordinat eksenini taşıyan birbirine dik iki düzlem verilen cismin SĐMETRĐ DÜZLEMĐ ise tüm ATALET ÇARPANLARI sıfırdır.

Đfadesine ATALET MATRĐSĐ veya ATALET TENSÖRÜ denir. Verilen bir noktadan geçen eksenlere göre atalet çarpanlarını ve atalet momentlerini alıyoruz demektir.

Problem 6.1: Şekildeki alanın x1x1 ve y1y1 eksenlerine göre atalet momentlerini

bulunuz.

Çözüm:

G kütle merkezinden geçen x,y’ye göre:

x’e göre kesit alınır. x xI dI= ∫

/ 22 2

x

/ 2

3 3b/2

b/2

a/2 3 3a/22

a/2a/2

I y dA y ady

aba |

3 12

x |3 12

b

b

x

y y

yI

x baI dI bdx b

−

−

−−

= =

= =

= = = =

∫ ∫

∫ ∫

Aynı işlemler 1xI ve

1yI için farklı sınırlarla kullanılır.

��

��

x

yy1

x1

dx

dydA=ady

dA=bdx

Gb

a

1

1

b 32 2

1

0

a 32 2

1

0

abdA y ady

3

badA x bdx

3

x x

y y

I dI y

I dI x

= = = =

= = = =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

NOT: aynı sonuçları iki katlı integral ile de elde ederiz.

2 2 21

0 0

3 3 3b a3

10 00 0

3 3 3a b2

10 00 0 0

( )

1| |

3 3 3 3

a| dy= |

3 3 3

a b

x

a a

x

b a b

y

I y dA y dxdy y dy dx

y b abI dx dx b x

x y abI x dxdy

= = =

= = = =

= = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

Problem 6.2: Şekildeki yarım dairenin;

1-) Ix, Iy atalet momentlerini,

2-) Dairenin kalınlığı h m, maddenin yoğunluğu ρ gr/cm3 ise 'xI kütle atalet momentini

hesaplayınız. NOT: 'xI kütle atalet momentinin z koordinatına bağlı olmadığına dikkat

ediniz.

Çözüm:

2

2 3 2

0 0

4 4R2 2

00 0

( )

( sinθ) sin θ

| sin θ sin θ4 4

x

R

x

x

dA rd dr rd dr

I y dA

I r rd dr r drd

r RI d d

π

π π

θ θ

θ θ

θ θ

= =

=

= =

= =

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

dr

rdθ

(r+dr)dθ

R

dθ

.θr

y

x

4 4

00

4 4

1 cos2θ 1sin 2θ

4 2 4 2 4

4 2 8

x

x

R RI d

R RI

ππ θθ

π π

− = = − = =

∫

2 2 3 2

0 0 0 0

( cosθ) cos θdrdR R

yI x dA R rdrd rπ π

θ θ= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 4R2

00 0

1 cos2θ| cos θd

4 4 2y

r RI d

π π

θ θ+ = = ∫ ∫

4 4 4

0

sin 2θ|

4 2 4 4 2 8y

R R RI

πθ π π = + = =

2-) Kütle Atalet Momenti: ' 2 2xI dm y dmρ= =∫ ∫

�

' 2 2x x

4 4'

I ( ) I

8 8

dm

x

y hdA h y dA h

R R hI h

ρ ρ ρ

π ρ πρ

= = =

= =

∫ ∫

Problem 6.3: Şekildeki kanal kesitinin x ve y eksenlerine göre atalet momentini elde

ediniz.

Çözüm: A alanı için AxI kütle merkezinden geçen

eksene göre atalet momentidir. Buna kısaca O

merkezi atalet momenti de denir.

B alanları 2GI I Ad= + geçerlidir.

�

�

2xB x'B

'

I I ( )( )2

AdAy

dad b= + +

��

��

��

y

O

Bdc

d

x''

x'

�

A

d b

bc

dA'y

dB'y

a

y'1 y'2

a

x

e

Bütün kanalın x eksenine göre atalet momenti

x xA xBI I 2I= + yazılır.

Aynı Ix momentini kanal kesitinin alanı

(2 2 )Ç a d b= + dikdörtgeninden alanı (2 )D c b= olan dikdörtgenin kesilip

çıkarılması ile de elde ederiz. x ekseni bu iki dikdörtgen için de merkezi eksen

olduğundan paralel eksen teoremine göre Dx xC xI I -I= yazılır. Bu yol daha kolaydır.

[ ( )2

2

dab b

+ hesabına gerek kalmaz]

Iy nin hesabında her parça için paralel eksen teoremini kullanmak gereklidir. Bu

nedenle parça sayısını minimumda tutmak yararlıdır. Alanı (2 2 )Ç a b d= + , (2 )D a b=

olan parçalarda hesap yapılırsa 2

2yD(2 2 ) (2 )( )

2 2Gy y

a aI I a b d e I c b e d

= + + + + + + +

elde edilir.

Problem 6.4: ab dikdörtgeninin x1, y1 ve x2, y2 eksenlerine göre atalet momentlerini

bulunuz.

Çözüm: 2

1

23

1

1.

3 31

31

1( )

12

1 1

12 41

3

= +

= +

= +

=

��

x x

x

Örnek

x

x

I I Ad

aI ab ab

b

I ab ab

I ab

Ob

a

x1

y1y2

x2

y

x

a/2

b/2

22 3

1

1.

3 3 31

2 3x2

3 33 3

2

22 3

2

32

1( )

12 2

1 1 1bulunur.

12 4 31

I ( )12 2

1 4 1

12 4 12 3

1( )

12 2

1

3

y y

Örnek

y

x

x

y y

y

aI I Ad ba ab

I a b a b ba

bI Ad ab ab

b abI ab a ab

aI I Ad ba ab

I ba

= + = +

= + =

= + = + = + = =

= + = + =

��

NOT: Kütle merkezinden eşit uzaklıkta olan paralel doğrulara göre atalet momentleri

eşittir. Çünkü hesaplarda uzaklığın karesi yer alır.

Problem 6.5: Örnek problem 3 deki kanal kesitinin x, x’ ve y eksenlerine göre atalet

momentlerini a=10 cm b=9 cm, d=2 cm, e=4 cm için hesaplayınız. Ayrıca J0 polar

atalet momentini bulunuz.

Çözüm: A ve B parçalarının merkezlerinden

geçen eksenlere göre atalet momentlerini IA ve

IB ile gösterelim. 2 2

3

23

3 3 2

2( )

1(2 ) (2 )(0)

12

12 ( )

12 2

1 1 2(2 8) (2) 0 2 (2) (10) (10)(2)(8 )

12 12 2

x Ax A Ay Bx B By

x

x

I I A dA I A d

I b d bd

dd a ad b

I

= + + +

= + +

+ + = × + + + +

��

��

��

y

O

Bdc

d

x''

x'

�

A

d b

bc

dA'y

dB'y

a

y'1 y'2

a

x

e

4 4 4

2 2

23 3 2

3 2 3 2

683 2(6.7 1620) 3936

2( )

1 1(2 ) (2 ) 2 ( )

12 2 12 2

1 1(16)(2) 2(8 2)(4 1) 2 (2)(10) (10)(2)(4 5)

12 12

x

y Ay A Ax By B Bx

y

y

I cm cm cm

I I A dA I A d

d aI h d bd e da ad e

I

= + + =

= + + +

= + + + + + = + × + + + +

4y

2 2x1 ' '' ' '

3 2 3x'

2 3

4x'

40

I 4384

I

1 1I (16) (2) (16)(2)(8 1) (10)(2)

12 121

(10)(2)(16 2) (10)(2)12

I 9768

3936 4384 8320

Ax A Ay Bx B By Bx

x y

cm

I A d I A d I

cm

J I I cm

=

= + + + +

= + + + +

+ +

=

= + = + =

Problem 5’e NOT: Ix’ > Ix dir. Bu normal, çünkü kanal kesitini x’ etrafında döndürmek

x ekseni etrafında döndürmeye göre çok daha kolaydır. Ayrıca atalet momenti r2 bağlı

olduğu için de normaldir.

Problem 6.6: Şekildeki üçgen alanı için Ixy atalet çarpanını hesaplayınız.

Çözüm:

55 10 5 2

0 0 0 0

5 2 5

00

1

2(dikdörtgenin yarısını A alarak)

1 1

2 2 2

1 10025 |

2 2 2

25(25) 312.5

2

xy

xy

xy

xy

I xydA

xI xdx ydy ydy

yI ydy

I

=

= = = =

= =

∫

∫ ∫ ∫∫

��

A

Adx

dy

10O

5

y

x

Bu sonucu, sadece verilen A alanı için iki katlı integralle veya x ve y doğrultusunda dx ve dy kesimleri alınarak A için tek katlı integral ile de elde edebiliriz.

Problem 7: Şekildeki cismin asal atalet momentlerini hesaplayınız. Asal atalet

eksenlerini belirleyiniz.

Çözüm:

x ve y eksenlerine göre Ix ve Iy yi hesaplayalım.

1 2

3 2 2

3 2 2

4

1(10 )(1 ) (10 )(0,5 )

121

(1 )(11 ) (11 )(6,5 )12

579

x x x

x

x

I I I

I cm cm cm cm

cm cm cm cm

I cm

= +

= +

+ +

=

Her alanın merkezsel ekseni simetri ekseni

Olduğundan, her alanın merkezi eksenlere

göre atalet çarpanı sıfırdır.

A1

A2

O1 cm

1 cm

12 cm

y

x

1 2

3

2 2

4

1(10 ) (1 )

12(10 )(0,5 )

337

y y y

y

y

I I I

I cm cm

cm cm

I cm

= +

=

+=

21 2

2

4

2

2mak,min

22

mak,min

4mak min

0 (10 ) (5 )(0,5 )

0 (11 )(0,5 )(6,5 )

60,75

Bu değerleri

I2 2

formülünde yazarsak

579 337 579 337I (60,75)

2 2

I 593,4 ve I 332,

xy xy xy

xy

x y x yxy

I I I cm cm cm

cm cm cm

I cm

I I I II

cm

= + = +

+ +=

+ + = ± +

+ − = ± + = = 46

2 2160,75tan 2 0,502

579 337xy

px y

cm

I

I Iθ = = =

− −

2 arctan(0,502) 13,3 veya 2 153,3 ve 76,7 bulunur.p p p pθ θ θ θ= ⇒ = = − = −� � �

θ saat yönünde ölçülür (Ix eksenine göre).

X ekseninin 13,3o dönmesi maksimum asal atalet eksenini ve aynı derece kadar y nin

dönmesi de minimum atalet momentini verir.

Problem 6.8: Şekildeki vagon yoğunluğu ρ olan homojen bir dikdörtgen prizmadır.

Vagonun kütle atalet momentini x, AB ve OF’e göre hesaplayınız. Bilinen sonuçları

kullanınız.

Çözüm: 2

x x1 1

1

I I md

d : x ile x' arasındaki uzaklık

= +

2 2' ( )

12x

mI b c= +

c

F

G

B

D

E

OC

a

b

y'

y

x'

A

C

z'z

2 22 2

2 2 2 2 2 2

2AB ' 2

2 22 2

'

2 2

( )12 2 2

( ) ( ) ( )12 4 3

Benzerşekilde AB için;

I

( )12 2 2

( )3

ve OF doğrusu (Köşegeni için)

x

x

y

y

AB

m b cI b c m

m m mI b c b c b c

I md

m a cI a c m

mI a c

= + + + = + + + = +

= +

= + + + = +

2 2 2 2 2 2d x x y y z z xy x y yz y z xz x zI I n I n I n I A A I A A I A A= + + − − −

2 2

2 22 2 2

' 3

2 2

belli; ( )3

( )12 2 2

( )3

x y AB

z z

z

mI I I a c

m a bI I md a b m

mI a b

= = +

= + = + + + = +

' '

yz ' '

xz ' '

' ' ' ' ' '

02 2 4

burada dx; x' den x e dik uzaklık

I 02 2 4

I 02 2 4

0 çünkü cisim x', y', ' eksenlerine

xy x y

y z

x z

x y y z x z

a b mabI I mdxdy m

b c mbcI mdydz m

a c macI mdxdz m

I I I z

= + = + − − =

= + = + − − = = + = + − − =

= = = göre simetriktir.

OF doğrusunun birim vektörü

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

c,

| | a

bulunur. Böylece

( ) ( )(0)3 3

( ) 2 (0) 2 (0) 23 4 4 4

3

x y

OF d

OF

a a cn n

c a c a c

m c mI I b c a c

a c

m c mab mbc mac aca b

a c a c

m a b b cI

a c

+= = ⇒ = =+ + +

= = + + + +

+ + − − − + + += +

OF i kn

OF

2 2

2 2

2 22

2 22

6OF d

m a c

b a c

m a cI I b

a c

+ +

= = + +

Problem 9: m kütleli, r yarıçaplı dik silindirin O-O eksenine göre atalet momentini ve

atalet yarıçapını bulunuz.

Çözüm:

Kütle elemanı

0 0

2O-O 0

2 22 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0

r4 42 2

0

2

yoğunluk

I

( )

12 ( )

4 2 2

1

2

r r

dV tr dr d

I r dm

I r tr dr d t r dr d

r t rI t r r

I mr cevap

π π

ρ ρ θρ

ρ θ ρ θ

ρ πρ π ρπ

==

= =

= =

= = = =

∫∫ ∫ ∫ ∫

O

dr0

r0

tdθ

..

O

Atalet yarıçapı

212

2

mrI rk k cevap

m m= = =

Problem 10 : r yarıçaplı dolu bir kürenin (homojen) bir çapına göre atalet momentini

ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

Çözüm :

Yarıçapı y ve kalınlığı dx olan küre

kesitini alalım. 9. problemden bu

elemansel (silindirin) atalet momenti

2 2 2

2 2

1 1( ) ( )

2 2

( ) , .2

xx

xx

dI dm y y dx y

dI r x dx sbt

πρ

ρπ ρ

= =

= − =

x

y

x

r

r

y

x

dx

2 2

5 3 2

2

2

Toplam moment

( )2

8 2 4

15 5 3

2

5

2I 25Atalet yarıçapı k= km 5

r

xx xx

r

xx

xx

I dI r x dx

I r r r

I mr Cevap

mrr cevap

m

πρ

πρ π ρ

+

−

= = −

= = =

= =

∫ ∫

Problem 6.11: m kütleli dikdörtgen prizmanın merkezi x0 ve z eksenlerine göre ve

prizmanın bir ucundaki x eksenine göre atalet momentini bulunuz.

Çözüm:

6 rijit cisimlerin düzlemsel kinetieğrisel koordinatlar: f ma ... Şekildeki düşey düzlemde...

Documents