РЕТА GLAVA

О NEKIM SVOjSTVIMA VEKTORSKIH POLJA I OPERACIJAMA U NjIMA SPECIJALNA POLjA

sect 98 - PROSTORNO DIFERENCIRANJB

Prema definiciji gradijenta skalarne funkcije kao i divergencije i rotora vektorske funkcije mote se zakljuciti da эе te operacije mateshyпiаti(~ki mogu izrаzШ па эЫап formalan пасiп sto эе vidi u sectsect 56 i 71 Motese паimе napisati

JUdS

V U = grad U = Bm s i V 6V-+O

J vmiddotdS

Vmiddot v = div v = lim -v- 6V-+O i

JVXdS

V х v = rot v lim s i V 6V-+O

(931)

(932)

(933)

gdje se (931) i (933) izvode preJ1)a stavovima iz navedenih paragrafa Ovdje je V zapremina koju oЬuhvata povrsina S а u samom izrazu pod znakom limes element povrsine i zapremine tete ka пuН odnosno safishyma ju se u tacku

Ovaj opsti analogni oblik mote se prikazati i s druge strane uvodeshyпjеm pojma tzv prostornog diferenciranja

Neka je u izvjesnom dijelu prostora konacnom ili Ьеskопаспоm~ dato skalarno polje okarakterisano skalarom U (r) ili vektorsko polje okarakshyterisano vektorom v (r) gdje je r fadijus-vektor neke tacke u kojoj se polje posmatra Treba prouCiti varijaciju tih funkcija kako skalarne tako i vektorske u blizini te tacke i to u svim pravcima То се эе postici ako seoko te tacke uzme mala zatvorena pro~zvoljna povrsina S koja obuhvata takode malu zаргеmiпu i V Usvojimo kao i гапijе da sроljаsпjа normalamiddot па toj povrsini ima pozitivan smjer Та эе povrsina S izdijeJi па роvгsiпSkе eiemente dS = n dS

284

Sastavimo proizvode UdS vmiddot dS iv х dS (934)

vjdi se dз skalar sa elementom роvrsiпе ima jеdзп proizvod 11

vekor imз dvije vrste proizvoda Uzmimo sada integrale proizvoda (934) ро cijeloj povrsil1i S i poCiijelimo оЬuhvаселоm zapreminom t У Gгапi~ла

х

51 93-1

n

5

vгijеdпоst til1 ko1icina kada obllllvacena zapreshymil1a teii ntJli l1aziv8 зе pTQstorni izvod funkcije и оdПОSI1О v u ta~ki А (sl93-1)

Konvencionalno зе uzima kao simbol proshystorrlOg diferenciranja bas operator V ра je оуа definicija izraiena formushylата (93 1-3)

Mofe se dokazati - - da simbol prostort1og

у diferenciranja nije nista drugo nego Hamilton-ov operator v U strogi doshykaz tog zakljucka песето se upustati ali паротi-

уес i dokazangt definicijom grad div i rot te za divergenciju

nJemo da je tQ donekle prostofl1og izvoda l1arocito

Na osnovu izlofenog se vidi da зе pomocu defil1icije i primjene ptostornog izvoda moie dcfil1isati i gгаdijепt skalara i dlvergencija i rotor vektora od cega neki autori i polaze

sect 94 - POVEZANOST PODRUCJA

Рс proucavanju polja оdпоsпо skalarne Ш vektorske funkcije koja karakterise polje vaznu ulogu igra i samo podrucje u kojem je dotifna funkcija definisana

Savremena nauka smatra da je prostor zavis811 od оЫспе materije prostor nije neki metafizicki pojam praznog l1epromjenljivog mjesta ха шаtеriju kao 5to su ga ranije prikaziva1i izv Jesni fizitari i Шоzоfi пеgо j~ prema danasnjem shvatanju jedan od obIika postojanja materije

Podrucje u kojem je polje definisano uop~te je neki dio prostora VeJicina podrucja mofe bili razlicita 5to zavisi od specificnosti i prirode polja uop5te Tako парг polje tackasle kolicine eleklricitetJ koje je okarakterisano vektorom jafine polja Е obuhvata cjelokuparl prostor tj Ьеskопаспо je veliko izuzev зате tatke u kQjoj $е паеlеktгisаl1jе l1alazi Sроljзsпjе magnetsko polje izazivano elektricnom strujom koja protice kroz bull beskonafno dugafki сШпdгiСlli provodnik dеfiпisапо je u podrucju fitavbg Ьеskопа~поg prostora izuzev zapremine cilindra kroz koji struja proti~e Itd

285

Рсеmа оmе moze зе govoriti о povezanosti podrucja и kojem je polje definisano Podrucje dakle moze imati i svoje grапicе Znaci neki dio prostora mote blti takav da tl njemu пijе definisano polje koje зе proucavamiddot Та dio prostora mole ЫН i1i obuhvacen podrucjem polja i1i izvап njega Nas interesuju samo slucajevi kada зе nalazi u podrucjt1 polj

Uzmimo t1 podrucju polja neku zatvorenu konturu С tako da se sve tacke konfuгe nalaze и plJju Та kontura зе moze zamisliti kao l1eki zatvoren konac - оmса u ravni а kaopovrsina u prostoru KOrJtura зе moze deformisoti i па taj nacin da зе moze stisnuti u tacku аli pod us10vom da зе kljntura пе prekine da зе konac omce пе prekida Роmосо takvih kontura ustanQvitemo da povezanost podrucja moze blti razliCita

Ako je podrucje u kojem je poJjc definisano сНау beskonacni рсоshy$tor onda se u njemu svaka kontura шоiе kопtiпuзпоm dеfоrmзсijоm stisnuti u tacku а da пе presijece gцшiсе podrucja jer je u ovom slt1cajll podrucje beskonacno i bez prostornih oaza u kojima polje пе Ы bilo dеfiпisапо

Као drugi primjer sliCnog podrucja moze pos1uziti lopta u Iltojoj je polje dеfiпisапо 1 u takvom podrucju moie зе оmса bez deformacije stisnuti u tacku i to pod uslovom damiddot пе presijeca grat1ic~ podrucja

Takva podrucja u kojima se svaka kontura moze stisпuti u jеdпu tacku tog podrucja а da пе presijece granice podrucja niti da зе kontura prekida nazivaju зе jednosfгuko povezana podгucja

Posmatrajmo sada drukciji slucaj Neka je polje definisano u сНауот beskonacnom prostoru izuzev lIeke zapremine obIika karike (sl 94-1) (oblika torusa Ш uopste proizvoijnog obIika karike) Zl1зсi da karika пе pri- II pada polju kole proucavamo Napr СНаУО polje уап te karike moie biti bezvrtlozno а u njoj mogu postojati vrtlozi i siCl1o U оуот slucaju u polju зе mogu povuci dvije vrste kontura cije зе зуе tacke nalaze u polju kontu-re kJO 1 i 1 i konture kao Н Odmah зе цосауа da зе konlure 5194-1 tipa 1 i l mogu stisnuti u ша koju tacku А ili А bez kidanja konture i Ьех presijecal1ja grапicа podrufja u kojem je polje definisano Medutim konture Нра konture 11 пе mogu е svesti ni па jednu tacku а da зе пе presijeku granice podrucja iIi da зе пе рrеkiпе dotiCna kontura

Slican slucaj ЫЫо i kada Ы podrucje u kojem je polje definisano Ыla zapremina karike (torusa) (s 94-2) Prostor izvan torusa u оу()rn sIu~aju je izvan podrucja u kojem je polje dеfiпisапо Jasnu je da i ovdje postoje konture tipa 1 i 1 koje se цх ranije паvеdепе uslove mogu svesti па ta~ku i konture Нра ll koje зе цх te uslove пе mogu svesti па jednu tcku

286

DakJe kada postoji kari1lta u polju Ш polje u obIiku karike postoje dvije vrste kontura dvije vr5te veza koje i5punjavaju navedene u511ve Takva podrucja u kojima 5е mogu 05tvariti veze tipa 1 i veze Нра nazivaju se dJJosfrqko povezana podrucja Onda se тое reCi da je па primjer i prostor iz kojeg je izdvoshyjеlЗ vrtlozna kзгikа dvosfruko poveshyzani prosfor

5194-2

ш

SI94-3

Ako je podrutje u kojem je poJje defini5ano opet citav pr05tor osim pr05tor koji zauzimaju парс dvije spojene karike ili lorusa (51 94-3) anda takvo podrucje ima tri vr5te veza ра зе zato i паzivа troslrllko povezano podrucje

Uopste mofe p05tojati podrucje 5а mпоgо veza iIi n-to 5truko роуеshyzano podrucje

Laku je vidjeti da 5е podru~fe 5а vise veza mofe 5уе5Н па podrucje 5а manje veza kada 5е konvencionalno uzme moguCnost ргеgгаdivапjа otvora izdvojenog podrucja (kao па 51 94-3) nekom тетЬсапот Ako 5е па 51 94-3 mеmЬгапоm pregradi podrucje jеdпе karike onda се 5е podrucje 5а tri veze 5уезН па podrucje 5а dvije veze Uopste podrucje 58 n veza moze 5е reducirati па podrucje 58 jednom vezom рото(ц (п-) konvenshycionalnih тетЬсапа

Рсета ranijim izlaganjima о potencijalnom polju i lini5kom integralu moze se sada kazati

u jednoslruko povezanoт podrucju рг potencijalnoт polju linisj(1 infegral vektora тedu dvjeтa lackoтa пе zavisi od oblika pula

15to tako cirkuacija vektora и jednosluko povezanoт podrucju рг potencijanoт poju n~ zavisi od oblika zatvoгene konture ро kojoj se uziтa i jednaka je nui

Medutim u J1isestruko povezanom podrutju uzevsi uopste Iiniski Jnlegral vektora рг polencijanoт poju uzel па izvjesnoт putu zavisi od oblika puta Doticni put moze presijecati i granice podrucja i prolaziti kroz podrucje gi1ie polje nije potencijalno

287

U vezi за tim moze зе reci cirkuacija vektortl II viseslruko povezanom podrucju uopste je гаliШа_ od nие

То зе vidi па raznim primjerima u fizici kao парr kod elektritnog iIi magnetskog polja gt1je зе uzimaju u obzir dimenzije provodnika raznil1 оЫikз оdпоsпо diskontinuitet polja

О роdrutjiша за jednom i vise veza bilo je govora i ranije аН je ovdje izlozeno опо sto je neophodno radi lakseg povezivanja raznih pojava i velitina koje imaju mедцэоЬпо ezu neuocljivu па prvi pogied te - radi daljeg izlaganja

sect 95 - ODREDlVANJE SKALARNE fUNKCIJE КАОА Е POZNAT NJEN GRAOIJENT

Neka je za svaku 1acku podrucja da1 vektof О koji pretstavlja grashydijent neke skalarne funkcije И

gradU=O (951

Slican zadatak tretiran je kod proucavanja gradijenta u sect 43 sect 44 U vezi за sect 44 moze зе napisati

и= J grad и middotdr (952)

АВ

gdje je integral krivоliпiski uzet од neke izashyЬсапе slalne tacke А do tacke В koja je uzeta proizvoljno (sl 95-1) ро krivoj liniji cije эе зуе tacke nalaze u podrucju gdje je polje definisal1o

Оа vidimo sada da Ii vektor О rnQze biti proizvoljan vektor Iz ranijih izlаgапjа se zna да je za та kakav skalar

ра тоса biti rot grad и о

rot 0=0 (953)

То znaci da je оl1зvеzап uslov da rotor tog vektora тоса biti jednak nuli

Iz рrеthоdпоg paragrafa je jasno да krivoliniski iпtеgrаl (952) zavisi од podrucja u kojem je polje odredeno Ako je podrucje 81 95-1 jednovezno lako зе zakljucuje da integral пе zavisi od puta ра се u jednoveznom podrucju

в

integral bi1i jednoznacan Neka su dakle АРВ i AQB (sl 95-1) дуа razliCita pllta medu tасkаша А i В u jedl1Oveznom podrucju OdJIlah s~ moze pisati

f G d r J о dr = J о d r + J о d r = I о d r АРН Af8 АР8 1Q4 APBQA

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

284

Sastavimo proizvode UdS vmiddot dS iv х dS (934)

vjdi se dз skalar sa elementom роvrsiпе ima jеdзп proizvod 11

vekor imз dvije vrste proizvoda Uzmimo sada integrale proizvoda (934) ро cijeloj povrsil1i S i poCiijelimo оЬuhvаселоm zapreminom t У Gгапi~ла

х

51 93-1

n

5

vгijеdпоst til1 ko1icina kada obllllvacena zapreshymil1a teii ntJli l1aziv8 зе pTQstorni izvod funkcije и оdПОSI1О v u ta~ki А (sl93-1)

Konvencionalno зе uzima kao simbol proshystorrlOg diferenciranja bas operator V ра je оуа definicija izraiena formushylата (93 1-3)

Mofe se dokazati - - da simbol prostort1og

у diferenciranja nije nista drugo nego Hamilton-ov operator v U strogi doshykaz tog zakljucka песето se upustati ali паротi-

уес i dokazangt definicijom grad div i rot te za divergenciju

nJemo da je tQ donekle prostofl1og izvoda l1arocito

Na osnovu izlofenog se vidi da зе pomocu defil1icije i primjene ptostornog izvoda moie dcfil1isati i gгаdijепt skalara i dlvergencija i rotor vektora od cega neki autori i polaze

sect 94 - POVEZANOST PODRUCJA

Рс proucavanju polja оdпоsпо skalarne Ш vektorske funkcije koja karakterise polje vaznu ulogu igra i samo podrucje u kojem je dotifna funkcija definisana

Savremena nauka smatra da je prostor zavis811 od оЫспе materije prostor nije neki metafizicki pojam praznog l1epromjenljivog mjesta ха шаtеriju kao 5to su ga ranije prikaziva1i izv Jesni fizitari i Шоzоfi пеgо j~ prema danasnjem shvatanju jedan od obIika postojanja materije

Podrucje u kojem je polje definisano uop~te je neki dio prostora VeJicina podrucja mofe bili razlicita 5to zavisi od specificnosti i prirode polja uop5te Tako парг polje tackasle kolicine eleklricitetJ koje je okarakterisano vektorom jafine polja Е obuhvata cjelokuparl prostor tj Ьеskопаспо je veliko izuzev зате tatke u kQjoj $е паеlеktгisаl1jе l1alazi Sроljзsпjе magnetsko polje izazivano elektricnom strujom koja protice kroz bull beskonafno dugafki сШпdгiСlli provodnik dеfiпisапо je u podrucju fitavbg Ьеskопа~поg prostora izuzev zapremine cilindra kroz koji struja proti~e Itd

285

Рсеmа оmе moze зе govoriti о povezanosti podrucja и kojem je polje definisano Podrucje dakle moze imati i svoje grапicе Znaci neki dio prostora mote blti takav da tl njemu пijе definisano polje koje зе proucavamiddot Та dio prostora mole ЫН i1i obuhvacen podrucjem polja i1i izvап njega Nas interesuju samo slucajevi kada зе nalazi u podrucjt1 polj

Uzmimo t1 podrucju polja neku zatvorenu konturu С tako da se sve tacke konfuгe nalaze и plJju Та kontura зе moze zamisliti kao l1eki zatvoren konac - оmса u ravni а kaopovrsina u prostoru KOrJtura зе moze deformisoti i па taj nacin da зе moze stisnuti u tacku аli pod us10vom da зе kljntura пе prekine da зе konac omce пе prekida Роmосо takvih kontura ustanQvitemo da povezanost podrucja moze blti razliCita

Ako je podrucje u kojem je poJjc definisano сНау beskonacni рсоshy$tor onda se u njemu svaka kontura шоiе kопtiпuзпоm dеfоrmзсijоm stisnuti u tacku а da пе presijece gцшiсе podrucja jer je u ovom slt1cajll podrucje beskonacno i bez prostornih oaza u kojima polje пе Ы bilo dеfiпisапо

Као drugi primjer sliCnog podrucja moze pos1uziti lopta u Iltojoj je polje dеfiпisапо 1 u takvom podrucju moie зе оmса bez deformacije stisnuti u tacku i to pod uslovom damiddot пе presijeca grat1ic~ podrucja

Takva podrucja u kojima se svaka kontura moze stisпuti u jеdпu tacku tog podrucja а da пе presijece granice podrucja niti da зе kontura prekida nazivaju зе jednosfгuko povezana podгucja

Posmatrajmo sada drukciji slucaj Neka je polje definisano u сНауот beskonacnom prostoru izuzev lIeke zapremine obIika karike (sl 94-1) (oblika torusa Ш uopste proizvoijnog obIika karike) Zl1зсi da karika пе pri- II pada polju kole proucavamo Napr СНаУО polje уап te karike moie biti bezvrtlozno а u njoj mogu postojati vrtlozi i siCl1o U оуот slucaju u polju зе mogu povuci dvije vrste kontura cije зе зуе tacke nalaze u polju kontu-re kJO 1 i 1 i konture kao Н Odmah зе цосауа da зе konlure 5194-1 tipa 1 i l mogu stisnuti u ша koju tacku А ili А bez kidanja konture i Ьех presijecal1ja grапicа podrufja u kojem je polje definisano Medutim konture Нра konture 11 пе mogu е svesti ni па jednu tacku а da зе пе presijeku granice podrucja iIi da зе пе рrеkiпе dotiCna kontura

Slican slucaj ЫЫо i kada Ы podrucje u kojem je polje definisano Ыla zapremina karike (torusa) (s 94-2) Prostor izvan torusa u оу()rn sIu~aju je izvan podrucja u kojem je polje dеfiпisапо Jasnu je da i ovdje postoje konture tipa 1 i 1 koje se цх ranije паvеdепе uslove mogu svesti па ta~ku i konture Нра ll koje зе цх te uslove пе mogu svesti па jednu tcku

286

DakJe kada postoji kari1lta u polju Ш polje u obIiku karike postoje dvije vrste kontura dvije vr5te veza koje i5punjavaju navedene u511ve Takva podrucja u kojima 5е mogu 05tvariti veze tipa 1 i veze Нра nazivaju se dJJosfrqko povezana podrucja Onda se тое reCi da je па primjer i prostor iz kojeg je izdvoshyjеlЗ vrtlozna kзгikа dvosfruko poveshyzani prosfor

5194-2

ш

SI94-3

Ako je podrutje u kojem je poJje defini5ano opet citav pr05tor osim pr05tor koji zauzimaju парс dvije spojene karike ili lorusa (51 94-3) anda takvo podrucje ima tri vr5te veza ра зе zato i паzivа troslrllko povezano podrucje

Uopste mofe p05tojati podrucje 5а mпоgо veza iIi n-to 5truko роуеshyzano podrucje

Laku je vidjeti da 5е podru~fe 5а vise veza mofe 5уе5Н па podrucje 5а manje veza kada 5е konvencionalno uzme moguCnost ргеgгаdivапjа otvora izdvojenog podrucja (kao па 51 94-3) nekom тетЬсапот Ako 5е па 51 94-3 mеmЬгапоm pregradi podrucje jеdпе karike onda се 5е podrucje 5а tri veze 5уезН па podrucje 5а dvije veze Uopste podrucje 58 n veza moze 5е reducirati па podrucje 58 jednom vezom рото(ц (п-) konvenshycionalnih тетЬсапа

Рсета ranijim izlaganjima о potencijalnom polju i lini5kom integralu moze se sada kazati

u jednoslruko povezanoт podrucju рг potencijalnoт polju linisj(1 infegral vektora тedu dvjeтa lackoтa пе zavisi od oblika pula

15to tako cirkuacija vektora и jednosluko povezanoт podrucju рг potencijanoт poju n~ zavisi od oblika zatvoгene konture ро kojoj se uziтa i jednaka je nui

Medutim u J1isestruko povezanom podrutju uzevsi uopste Iiniski Jnlegral vektora рг polencijanoт poju uzel па izvjesnoт putu zavisi od oblika puta Doticni put moze presijecati i granice podrucja i prolaziti kroz podrucje gi1ie polje nije potencijalno

287

U vezi за tim moze зе reci cirkuacija vektortl II viseslruko povezanom podrucju uopste je гаliШа_ od nие

То зе vidi па raznim primjerima u fizici kao парr kod elektritnog iIi magnetskog polja gt1je зе uzimaju u obzir dimenzije provodnika raznil1 оЫikз оdпоsпо diskontinuitet polja

О роdrutjiша за jednom i vise veza bilo je govora i ranije аН je ovdje izlozeno опо sto je neophodno radi lakseg povezivanja raznih pojava i velitina koje imaju mедцэоЬпо ezu neuocljivu па prvi pogied te - radi daljeg izlaganja

sect 95 - ODREDlVANJE SKALARNE fUNKCIJE КАОА Е POZNAT NJEN GRAOIJENT

Neka je za svaku 1acku podrucja da1 vektof О koji pretstavlja grashydijent neke skalarne funkcije И

gradU=O (951

Slican zadatak tretiran je kod proucavanja gradijenta u sect 43 sect 44 U vezi за sect 44 moze зе napisati

и= J grad и middotdr (952)

АВ

gdje je integral krivоliпiski uzet од neke izashyЬсапе slalne tacke А do tacke В koja je uzeta proizvoljno (sl 95-1) ро krivoj liniji cije эе зуе tacke nalaze u podrucju gdje je polje definisal1o

Оа vidimo sada da Ii vektor О rnQze biti proizvoljan vektor Iz ranijih izlаgапjа se zna да je za та kakav skalar

ра тоса biti rot grad и о

rot 0=0 (953)

То znaci da je оl1зvеzап uslov da rotor tog vektora тоса biti jednak nuli

Iz рrеthоdпоg paragrafa je jasno да krivoliniski iпtеgrаl (952) zavisi од podrucja u kojem je polje odredeno Ako je podrucje 81 95-1 jednovezno lako зе zakljucuje da integral пе zavisi od puta ра се u jednoveznom podrucju

в

integral bi1i jednoznacan Neka su dakle АРВ i AQB (sl 95-1) дуа razliCita pllta medu tасkаша А i В u jedl1Oveznom podrucju OdJIlah s~ moze pisati

f G d r J о dr = J о d r + J о d r = I о d r АРН Af8 АР8 1Q4 APBQA

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

285

Рсеmа оmе moze зе govoriti о povezanosti podrucja и kojem je polje definisano Podrucje dakle moze imati i svoje grапicе Znaci neki dio prostora mote blti takav da tl njemu пijе definisano polje koje зе proucavamiddot Та dio prostora mole ЫН i1i obuhvacen podrucjem polja i1i izvап njega Nas interesuju samo slucajevi kada зе nalazi u podrucjt1 polj

Uzmimo t1 podrucju polja neku zatvorenu konturu С tako da se sve tacke konfuгe nalaze и plJju Та kontura зе moze zamisliti kao l1eki zatvoren konac - оmса u ravni а kaopovrsina u prostoru KOrJtura зе moze deformisoti i па taj nacin da зе moze stisnuti u tacku аli pod us10vom da зе kljntura пе prekine da зе konac omce пе prekida Роmосо takvih kontura ustanQvitemo da povezanost podrucja moze blti razliCita

Ako je podrucje u kojem je poJjc definisano сНау beskonacni рсоshy$tor onda se u njemu svaka kontura шоiе kопtiпuзпоm dеfоrmзсijоm stisnuti u tacku а da пе presijece gцшiсе podrucja jer je u ovom slt1cajll podrucje beskonacno i bez prostornih oaza u kojima polje пе Ы bilo dеfiпisапо

Као drugi primjer sliCnog podrucja moze pos1uziti lopta u Iltojoj je polje dеfiпisапо 1 u takvom podrucju moie зе оmса bez deformacije stisnuti u tacku i to pod uslovom damiddot пе presijeca grat1ic~ podrucja

Takva podrucja u kojima se svaka kontura moze stisпuti u jеdпu tacku tog podrucja а da пе presijece granice podrucja niti da зе kontura prekida nazivaju зе jednosfгuko povezana podгucja

Posmatrajmo sada drukciji slucaj Neka je polje definisano u сНауот beskonacnom prostoru izuzev lIeke zapremine obIika karike (sl 94-1) (oblika torusa Ш uopste proizvoijnog obIika karike) Zl1зсi da karika пе pri- II pada polju kole proucavamo Napr СНаУО polje уап te karike moie biti bezvrtlozno а u njoj mogu postojati vrtlozi i siCl1o U оуот slucaju u polju зе mogu povuci dvije vrste kontura cije зе зуе tacke nalaze u polju kontu-re kJO 1 i 1 i konture kao Н Odmah зе цосауа da зе konlure 5194-1 tipa 1 i l mogu stisnuti u ша koju tacku А ili А bez kidanja konture i Ьех presijecal1ja grапicа podrufja u kojem je polje definisano Medutim konture Нра konture 11 пе mogu е svesti ni па jednu tacku а da зе пе presijeku granice podrucja iIi da зе пе рrеkiпе dotiCna kontura

Slican slucaj ЫЫо i kada Ы podrucje u kojem je polje definisano Ыla zapremina karike (torusa) (s 94-2) Prostor izvan torusa u оу()rn sIu~aju je izvan podrucja u kojem je polje dеfiпisапо Jasnu je da i ovdje postoje konture tipa 1 i 1 koje se цх ranije паvеdепе uslove mogu svesti па ta~ku i konture Нра ll koje зе цх te uslove пе mogu svesti па jednu tcku

286

DakJe kada postoji kari1lta u polju Ш polje u obIiku karike postoje dvije vrste kontura dvije vr5te veza koje i5punjavaju navedene u511ve Takva podrucja u kojima 5е mogu 05tvariti veze tipa 1 i veze Нра nazivaju se dJJosfrqko povezana podrucja Onda se тое reCi da je па primjer i prostor iz kojeg je izdvoshyjеlЗ vrtlozna kзгikа dvosfruko poveshyzani prosfor

5194-2

ш

SI94-3

Ako je podrutje u kojem je poJje defini5ano opet citav pr05tor osim pr05tor koji zauzimaju парс dvije spojene karike ili lorusa (51 94-3) anda takvo podrucje ima tri vr5te veza ра зе zato i паzivа troslrllko povezano podrucje

Uopste mofe p05tojati podrucje 5а mпоgо veza iIi n-to 5truko роуеshyzano podrucje

Laku je vidjeti da 5е podru~fe 5а vise veza mofe 5уе5Н па podrucje 5а manje veza kada 5е konvencionalno uzme moguCnost ргеgгаdivапjа otvora izdvojenog podrucja (kao па 51 94-3) nekom тетЬсапот Ako 5е па 51 94-3 mеmЬгапоm pregradi podrucje jеdпе karike onda се 5е podrucje 5а tri veze 5уезН па podrucje 5а dvije veze Uopste podrucje 58 n veza moze 5е reducirati па podrucje 58 jednom vezom рото(ц (п-) konvenshycionalnih тетЬсапа

Рсета ranijim izlaganjima о potencijalnom polju i lini5kom integralu moze se sada kazati

u jednoslruko povezanoт podrucju рг potencijalnoт polju linisj(1 infegral vektora тedu dvjeтa lackoтa пе zavisi od oblika pula

15to tako cirkuacija vektora и jednosluko povezanoт podrucju рг potencijanoт poju n~ zavisi od oblika zatvoгene konture ро kojoj se uziтa i jednaka je nui

Medutim u J1isestruko povezanom podrutju uzevsi uopste Iiniski Jnlegral vektora рг polencijanoт poju uzel па izvjesnoт putu zavisi od oblika puta Doticni put moze presijecati i granice podrucja i prolaziti kroz podrucje gi1ie polje nije potencijalno

287

U vezi за tim moze зе reci cirkuacija vektortl II viseslruko povezanom podrucju uopste je гаliШа_ od nие

То зе vidi па raznim primjerima u fizici kao парr kod elektritnog iIi magnetskog polja gt1je зе uzimaju u obzir dimenzije provodnika raznil1 оЫikз оdпоsпо diskontinuitet polja

О роdrutjiша за jednom i vise veza bilo je govora i ranije аН je ovdje izlozeno опо sto je neophodno radi lakseg povezivanja raznih pojava i velitina koje imaju mедцэоЬпо ezu neuocljivu па prvi pogied te - radi daljeg izlaganja

sect 95 - ODREDlVANJE SKALARNE fUNKCIJE КАОА Е POZNAT NJEN GRAOIJENT

Neka je za svaku 1acku podrucja da1 vektof О koji pretstavlja grashydijent neke skalarne funkcije И

gradU=O (951

Slican zadatak tretiran je kod proucavanja gradijenta u sect 43 sect 44 U vezi за sect 44 moze зе napisati

и= J grad и middotdr (952)

АВ

gdje je integral krivоliпiski uzet од neke izashyЬсапе slalne tacke А do tacke В koja je uzeta proizvoljno (sl 95-1) ро krivoj liniji cije эе зуе tacke nalaze u podrucju gdje je polje definisal1o

Оа vidimo sada da Ii vektor О rnQze biti proizvoljan vektor Iz ranijih izlаgапjа se zna да je za та kakav skalar

ра тоса biti rot grad и о

rot 0=0 (953)

То znaci da je оl1зvеzап uslov da rotor tog vektora тоса biti jednak nuli

Iz рrеthоdпоg paragrafa je jasno да krivoliniski iпtеgrаl (952) zavisi од podrucja u kojem je polje odredeno Ako je podrucje 81 95-1 jednovezno lako зе zakljucuje da integral пе zavisi od puta ра се u jednoveznom podrucju

в

integral bi1i jednoznacan Neka su dakle АРВ i AQB (sl 95-1) дуа razliCita pllta medu tасkаша А i В u jedl1Oveznom podrucju OdJIlah s~ moze pisati

f G d r J о dr = J о d r + J о d r = I о d r АРН Af8 АР8 1Q4 APBQA

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

286

DakJe kada postoji kari1lta u polju Ш polje u obIiku karike postoje dvije vrste kontura dvije vr5te veza koje i5punjavaju navedene u511ve Takva podrucja u kojima 5е mogu 05tvariti veze tipa 1 i veze Нра nazivaju se dJJosfrqko povezana podrucja Onda se тое reCi da je па primjer i prostor iz kojeg je izdvoshyjеlЗ vrtlozna kзгikа dvosfruko poveshyzani prosfor

5194-2

ш

SI94-3

Ako je podrutje u kojem je poJje defini5ano opet citav pr05tor osim pr05tor koji zauzimaju парс dvije spojene karike ili lorusa (51 94-3) anda takvo podrucje ima tri vr5te veza ра зе zato i паzivа troslrllko povezano podrucje

Uopste mofe p05tojati podrucje 5а mпоgо veza iIi n-to 5truko роуеshyzano podrucje

Laku je vidjeti da 5е podru~fe 5а vise veza mofe 5уе5Н па podrucje 5а manje veza kada 5е konvencionalno uzme moguCnost ргеgгаdivапjа otvora izdvojenog podrucja (kao па 51 94-3) nekom тетЬсапот Ako 5е па 51 94-3 mеmЬгапоm pregradi podrucje jеdпе karike onda се 5е podrucje 5а tri veze 5уезН па podrucje 5а dvije veze Uopste podrucje 58 n veza moze 5е reducirati па podrucje 58 jednom vezom рото(ц (п-) konvenshycionalnih тетЬсапа

Рсета ranijim izlaganjima о potencijalnom polju i lini5kom integralu moze se sada kazati

u jednoslruko povezanoт podrucju рг potencijalnoт polju linisj(1 infegral vektora тedu dvjeтa lackoтa пе zavisi od oblika pula

15to tako cirkuacija vektora и jednosluko povezanoт podrucju рг potencijanoт poju n~ zavisi od oblika zatvoгene konture ро kojoj se uziтa i jednaka je nui

Medutim u J1isestruko povezanom podrutju uzevsi uopste Iiniski Jnlegral vektora рг polencijanoт poju uzel па izvjesnoт putu zavisi od oblika puta Doticni put moze presijecati i granice podrucja i prolaziti kroz podrucje gi1ie polje nije potencijalno

287

U vezi за tim moze зе reci cirkuacija vektortl II viseslruko povezanom podrucju uopste je гаliШа_ od nие

То зе vidi па raznim primjerima u fizici kao парr kod elektritnog iIi magnetskog polja gt1je зе uzimaju u obzir dimenzije provodnika raznil1 оЫikз оdпоsпо diskontinuitet polja

О роdrutjiша за jednom i vise veza bilo je govora i ranije аН je ovdje izlozeno опо sto je neophodno radi lakseg povezivanja raznih pojava i velitina koje imaju mедцэоЬпо ezu neuocljivu па prvi pogied te - radi daljeg izlaganja

sect 95 - ODREDlVANJE SKALARNE fUNKCIJE КАОА Е POZNAT NJEN GRAOIJENT

Neka je za svaku 1acku podrucja da1 vektof О koji pretstavlja grashydijent neke skalarne funkcije И

gradU=O (951

Slican zadatak tretiran je kod proucavanja gradijenta u sect 43 sect 44 U vezi за sect 44 moze зе napisati

и= J grad и middotdr (952)

АВ

gdje je integral krivоliпiski uzet од neke izashyЬсапе slalne tacke А do tacke В koja je uzeta proizvoljno (sl 95-1) ро krivoj liniji cije эе зуе tacke nalaze u podrucju gdje je polje definisal1o

Оа vidimo sada da Ii vektor О rnQze biti proizvoljan vektor Iz ranijih izlаgапjа se zna да je za та kakav skalar

ра тоса biti rot grad и о

rot 0=0 (953)

То znaci da je оl1зvеzап uslov da rotor tog vektora тоса biti jednak nuli

Iz рrеthоdпоg paragrafa je jasno да krivoliniski iпtеgrаl (952) zavisi од podrucja u kojem je polje odredeno Ako je podrucje 81 95-1 jednovezno lako зе zakljucuje da integral пе zavisi od puta ра се u jednoveznom podrucju

в

integral bi1i jednoznacan Neka su dakle АРВ i AQB (sl 95-1) дуа razliCita pllta medu tасkаша А i В u jedl1Oveznom podrucju OdJIlah s~ moze pisati

f G d r J о dr = J о d r + J о d r = I о d r АРН Af8 АР8 1Q4 APBQA

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

287

U vezi за tim moze зе reci cirkuacija vektortl II viseslruko povezanom podrucju uopste je гаliШа_ od nие

То зе vidi па raznim primjerima u fizici kao парr kod elektritnog iIi magnetskog polja gt1je зе uzimaju u obzir dimenzije provodnika raznil1 оЫikз оdпоsпо diskontinuitet polja

О роdrutjiша за jednom i vise veza bilo je govora i ranije аН je ovdje izlozeno опо sto je neophodno radi lakseg povezivanja raznih pojava i velitina koje imaju mедцэоЬпо ezu neuocljivu па prvi pogied te - radi daljeg izlaganja

sect 95 - ODREDlVANJE SKALARNE fUNKCIJE КАОА Е POZNAT NJEN GRAOIJENT

Neka je za svaku 1acku podrucja da1 vektof О koji pretstavlja grashydijent neke skalarne funkcije И

gradU=O (951

Slican zadatak tretiran je kod proucavanja gradijenta u sect 43 sect 44 U vezi за sect 44 moze зе napisati

и= J grad и middotdr (952)

АВ

gdje je integral krivоliпiski uzet од neke izashyЬсапе slalne tacke А do tacke В koja je uzeta proizvoljno (sl 95-1) ро krivoj liniji cije эе зуе tacke nalaze u podrucju gdje je polje definisal1o

Оа vidimo sada da Ii vektor О rnQze biti proizvoljan vektor Iz ranijih izlаgапjа se zna да je za та kakav skalar

ра тоса biti rot grad и о

rot 0=0 (953)

То znaci da je оl1зvеzап uslov da rotor tog vektora тоса biti jednak nuli

Iz рrеthоdпоg paragrafa je jasno да krivoliniski iпtеgrаl (952) zavisi од podrucja u kojem je polje odredeno Ako je podrucje 81 95-1 jednovezno lako зе zakljucuje da integral пе zavisi od puta ра се u jednoveznom podrucju

в

integral bi1i jednoznacan Neka su dakle АРВ i AQB (sl 95-1) дуа razliCita pllta medu tасkаша А i В u jedl1Oveznom podrucju OdJIlah s~ moze pisati

f G d r J о dr = J о d r + J о d r = I о d r АРН Af8 АР8 1Q4 APBQA

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

288

Put АРВ то2е se prevesti па put AQB bez presiJecanja granica роshydru~ja iIi kontura APBQA mo2e se stisnuti u tafku bez presijecnja (ramiddot nic podru~j i bez kidanja same konture Prem Stokes-ovoj teorem

f O-dr= f rotOmiddotdS=O

ра je APBQA S

f O dr fOdr АРВ AQB

fime je dokazano d1l u podrufju s jednom vezom integral (952) пе zavisi od puta dut kojeg se integral uzima

Posmatrajmo sada isti integral u podrufju sa dvije veze (51 95-2) Neka je to podrufje unutrasnj05t jedne karike (Ш toru5a) Uzmimo тетshybranu (pregrdu) S pomocu lcoje se podrucje svodi па jednovezno Копshyture koje pregradu sijeku samo jеdЗI1рut nazivaju 5е glavne kOlltare U 51ucaju podrucja 5а vise veza cirkulacije dut kontur uopstc uzevsi Ысе razlifite od nule Vrijednost cirkulacije dut glavne konture naziva se ciklitna konstanta

5195-2

U podrufju koje je pos1ije uzimanja pregrde S1 postalo jednovezno integral (952) Ысе jednoznafn Oznafimo ga 5а иоbull Onda се biti

u= f (Jmiddotdr

AQ8

Ovdje je А QB та koji put koji povezuje tafke А i В пасупо u podrufju sa jednom vezom

Nas sad interesuje integral duf puta koji prolazi kroz pregradu S1 napr du puta АРВ Ol1d се ын

f O dr = f O dr + f Omiddotdr

АРВ APBQA AQB

OZllatimo li cirkulaciju kroz zatvorenu konturu APBQA koja prolazi kroz pregradu S S8 С1 Ыёе

f О middotdr= и+с1 bull АРВ

Ako kопturа pre5ijec8 роvrsiпu SI dvaput аН u istom smjeru tad je

f Omiddotdr=U+2Cl middot

АРВ

I uvpste ako preSiJfC3 п 1 Jluta Ы~

r Omiddotdr= ио + п о( АРН

289

АКО je pOdrucJe sa iri vez~ па de$1)oj stra bullbull е biti jos sabirak парr Л2 С2 uopste za k рrеgrэdа Ысе

lZlC+nC~ middotmiddotпСк

gdje зи С ciklit~l~e kОГitэntЕ 3 fl tJe(i bcojevi (i J k)

Generaisaa jеш ~e dCblva ( J (jmiddotdt=UiJT ~l11Cjl (954а)

АРЭ

ш r

l I (imiddotdr+C (954Ь)

АI

gdje je С рrоizvоlJПS kQi~t811la 010 Je opsfe rjшпjе jedna~ine (951) kojim je odrpgtn~t skаlаша funkcija и kada je zзdаt vektor О koji je gradijent te iцпkiiе

sect 96 ТЕОНЕМА jEONOZNAtNOSТl

Dato je konaCt1o jeullovezno POdlutje V (sl 96-1) U svakoj tafki 10g podrulja poznati su div~rgencij8 i cotor vektora У Dokazacemo sJjeshyde(u teoremu

vektor v je jedru)znacno udreden 11 ogranicenon р()(гиshycju V kada Sll PQznati пjеg(ЛQ divegencija гоаг i 110rmalГltJ kompollenta и svim tackaтa povrsine koja ogranicavl1 zadato podrucje

Као dokaz ove teorelne sluzi(e dokaz nemogu(nosti postojanja dvaju vektora koji i5punjavaju taj I1s10

Uzmimo dak~e dlЭ rszlishycita vektora v 1 i v 2 koji Ы eventualno оЬа ispunjavali taj SI 96-1 uslov OZn8~imo Ii poznatu divergenciju 5а р а rotor sa w u dotitnom podrucju V Ы(е

(о1 У = W а па роvrsiпi

V 1l1 =(А)

О М IV)lIIO I yektarsks ampnalllamp 19

290

Tada се razlika НЬ vektora d = У - V ~ ispunjavati sljedece

rotd=rotvJ rotv=O (9tl r )

Iz druge jednacine se zakljucuje da vektor d тоса biti gradijent neke skashylarne funkcije recimo funkcije И

d=gradU (962) Tada je

div grad U=ltU=l) (963)

dn

= ди =0 (964) дn

Poslutimo se sljedecim oblikomGreenmiddotove formule (764)

J [(grad И)2+ UltU] dV = J и~ dS (965)

v s

u vezi 5а (963) i (964) u ovoj 10стоН ostaje samo prvi sabirak odnosno

J (grad И)2 dV Q

v

Odavdemiddot se dobiv u citavom podrucju

grad И=О

(966)

(967)

I08fe za та koju vrijednost gradijenta razlifitu od nule integral (966) ъi Ыо pozitivan a1i to пе dozvoljava navedena relacija Znaci za vektor d vafi 51jedeea rela~ija

(968)

Odavde se definitivno dobiva (969)

fiше je teorema jednoznacnosti dokazana Опа pokazuje da postoji samo jcdan vektor kojem odgovaraju dati rotor i divergencija u odredenoj ogranicenoj zapremini i data поста]па komponenta па povrsil1i koja оЬо hvata zadatu zapreminu odnosno dati rotor i d(vergencija u svakoj tacki podrucja i ispunjepj granicni usJovi

Теосета jednoznacnosti vaii takode i za slucaj kada je podrucje bilskопаСпо

sect 97 - ODREDIVANJE VEKTORA КАDА SU POZATI NJEOOV ROTOR I DIVEROENCIJA

29]

u ra~nim probIemima se cesto лаilаzi па slucajeve kada su poznati rotor i divergencija vektora а treba naci sam vektor odnosno па slucashyjeve- proucavanja vektorskih po1ja prema njihovc1 vrt10gu i izvoru

Oznacimo divergenciju trafenog vektora v sa Р rotor sa w i velicinu normalne komponente па granicnoj povrsini sa v Sve te velicine 5U

funkcije polofaja ра je div v р (х У z)

rot= w (х У z)

vn=f(A)

(97lа)

Рсуе dvije jednacine napisane u analitickom obIiku pretst8vljaju sistem parcijalnih diferencijalnih jednacina

д~ д~ д~ ( -- + -- + -- =р ХУ z дх ду д

dvz dv _ ( ) -ry - д-- WX х У z

dv дх

u (х у z)

dvy dvx ( д-- - -д у = W l Х У z)

(971 Ь)

Rjeiavanje ovih jednacina Ье granicnih usJova suvise je uopsectten zadatak Medutim за dopunskim granicnim uslovima V 1 = f (А) zadatak nalafenja funkcija bullbull Vy bull V z je potpuno odreden kao sectto je rsnije dokazano

АН da Ы sistem jednacina (971) imao rjesenje mora ispunjavati josect neke uslove koji ranije nisu navedeni

Prvi uslov koji moraju ispunjavati funkcije р w i da Ы sistem imao rjesenje d6biva se iz relacije

div rot v=O odnosno

divw=O (9721)

Drugi uslov se doblva prema teoremi Gaussa-Ostrogradskog

f divvdV = f vmiddotdS = f v l1 dS

v s s odnosno

fPdV= ff(A)dS (972Ь)

v s

Ovdje je rijec о konacnim podrucjima Ako su podrucja beskonacnashyneogranicena - onda otpadaju granicni uslovi

292

Ovako opste postavljelii zadatak odnosi зе па polje opsteg oblika iI~ slo~eno polje AIi u sect 72 prilikom klasifikacije polja vidje]o se da ima Qsim за izv01ima i vrtlozima takode i Ьеzvгtlо~пih i Ьеzizvогпih polja Zato сето postavljeni zadatak izraiunavanja vektora kada su zadate пауеshydепе funkcije postepeno rjesavati za razne vrste polja Роjеdiпi takvi zadaci su па drugi пасiп djеliтiспо jos i гапijе гjеSаvапi Iz klasifikacije polja se vidi da su polja 1-3 (sect 72) sресijаlап sluiaj opsteg oblika polja 4

Sada сето па оsпоvu datih fuпkсijа пасi vektor v koji karakterise razna polja

1 Potencijalno polje

Poznato je da je роtепсijаlпо polje bezvrtlo~no Prema tome zadamiddot tak se тo~e formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

div v =р

rot v=O (973)

Gгапiiпе uslove ovdje песето uzimati пеgо сето zadatak rijesiti za Citav Ьеskопасап prostor ра сето па taj naiin rjesenje doblti i za sve tacke ogranicenog prostora odnosno podruija u kojem je polje definisano

Iz zadatka зе odmah zakljuiuje da je vektor v ciji je rotor jednak пиН bezvrtlotni vektor odnosno da je gradijent neke skalarne funkcije и

v=grad ер

ра зе zadatak svodi па jednaiinu

div grad ~ = V2 ~ = р

(974)

(975)

Ovdje je ер kao 5to je гапijе navedeno skalarni potencijal Zadatak se dakle svodi па rjesavanje Poisson-ove jednaiine Ovdje се se u daljem izlaganju naravno pojaviti koeficijent 4 Л koji je ranije figurirao u Poissonmiddot ovoj jednaiini

Rje5enje Poisson-ove jednaiine dato je u sect 72 Prema tome je

ер= __ 1 JPdV (976) 4п r

i traeni vektor

v= _1 grad JPdV 4 r

(977а)

Ovdje je r rastojanje taike А (х у z) do neke taike В (~ ч ~) i1i r ВА = v(x-е)~Ч(у-q)2+(z_middott)2 ра зе (9778) тое naznaiiti i u funkciji respek tivnmiddotih koordinata odnosno

v(xyz)=- 1 gradAJ р(еч~) d~dqdt (977Ь) 4 r

QD

Taika В se mole uzeti i kao koordinatцi potetak

2Ч3

Rjeseoje ovog zadatka takode je уес dato i u sect 76 Оуо rjesenjc (977) odnosi se па beskoflQCni prostor sa jednom vezom gdje je iSРlшjеl1 uslov da 11 beskonacnosti vektor v tezi nuli

2 - Solenoidno polJe

Роzпзtо je da je 80lenoidllo polje bezizvorno Ргеша tome zadatak se moze formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jednaCina

divv=O

rotv=w (978)

[ ovdje ~eтo роsшаtгаti beskonaCfO podrucje sз jednom vezom tj песето uziшаti u obzir granicne uslove koji se uziшаju kod ogranicenog podrucja

Iz zadatka se qdшаh zakJjucuje da je vektor У cija je divergencija jednaka nuH bezizvorni vektor odnQsno da je rotor neke vektorske funkcije А

v = rot А (979)

Vektor А je vektorski potenciial о kojem je bilo govora ranije

Zamjenom se dobiva rot rot А = w а odatle гаzvijЗl1jеm

grad div А ~A w (9710)

Postoji beskonacllO П1lоgо veklora А koji zadJvo1javaju poslednju Jedshynacnu jer je vektor А odredeГl samo do tacnosti jos jedtlog аdШпоg clana - gradijel1ta odnos1O relacija (979) se пе mij~ja ako se stavi

А = А I + grad rp

То znaci da se vektor А шоzе izabrati tako da bude

div А О

sto сето u оvош sllJcaju usvojiti

Tada se dobiva ~A -w

ОУО je vektorska jednaCina tipa Poisson-ave jednacine

(9711)

(9712)

Za izracunavanje vektora А ргеlstаviсешо vektorsku jednacinu (9712) u obJiku triju skalarnih jednaCin8

gdje su Аж Ау А kошропепtе vektora А а W wy 11 vrijednosti kошshyponenata vektora w па koordinatnim osama

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

290

Tada се razlika НЬ vektora d = У - V ~ ispunjavati sljedece

rotd=rotvJ rotv=O (9tl r )

Iz druge jednacine se zakljucuje da vektor d тоса biti gradijent neke skashylarne funkcije recimo funkcije И

d=gradU (962) Tada je

div grad U=ltU=l) (963)

dn

= ди =0 (964) дn

Poslutimo se sljedecim oblikomGreenmiddotove formule (764)

J [(grad И)2+ UltU] dV = J и~ dS (965)

v s

u vezi 5а (963) i (964) u ovoj 10стоН ostaje samo prvi sabirak odnosno

J (grad И)2 dV Q

v

Odavdemiddot se dobiv u citavom podrucju

grad И=О

(966)

(967)

I08fe za та koju vrijednost gradijenta razlifitu od nule integral (966) ъi Ыо pozitivan a1i to пе dozvoljava navedena relacija Znaci za vektor d vafi 51jedeea rela~ija

(968)

Odavde se definitivno dobiva (969)

fiше je teorema jednoznacnosti dokazana Опа pokazuje da postoji samo jcdan vektor kojem odgovaraju dati rotor i divergencija u odredenoj ogranicenoj zapremini i data поста]па komponenta па povrsil1i koja оЬо hvata zadatu zapreminu odnosno dati rotor i d(vergencija u svakoj tacki podrucja i ispunjepj granicni usJovi

Теосета jednoznacnosti vaii takode i za slucaj kada je podrucje bilskопаСпо

sect 97 - ODREDIVANJE VEKTORA КАDА SU POZATI NJEOOV ROTOR I DIVEROENCIJA

29]

u ra~nim probIemima se cesto лаilаzi па slucajeve kada su poznati rotor i divergencija vektora а treba naci sam vektor odnosno па slucashyjeve- proucavanja vektorskih po1ja prema njihovc1 vrt10gu i izvoru

Oznacimo divergenciju trafenog vektora v sa Р rotor sa w i velicinu normalne komponente па granicnoj povrsini sa v Sve te velicine 5U

funkcije polofaja ра je div v р (х У z)

rot= w (х У z)

vn=f(A)

(97lа)

Рсуе dvije jednacine napisane u analitickom obIiku pretst8vljaju sistem parcijalnih diferencijalnih jednacina

д~ д~ д~ ( -- + -- + -- =р ХУ z дх ду д

dvz dv _ ( ) -ry - д-- WX х У z

dv дх

u (х у z)

dvy dvx ( д-- - -д у = W l Х У z)

(971 Ь)

Rjeiavanje ovih jednacina Ье granicnih usJova suvise je uopsectten zadatak Medutim за dopunskim granicnim uslovima V 1 = f (А) zadatak nalafenja funkcija bullbull Vy bull V z je potpuno odreden kao sectto je rsnije dokazano

АН da Ы sistem jednacina (971) imao rjesenje mora ispunjavati josect neke uslove koji ranije nisu navedeni

Prvi uslov koji moraju ispunjavati funkcije р w i da Ы sistem imao rjesenje d6biva se iz relacije

div rot v=O odnosno

divw=O (9721)

Drugi uslov se doblva prema teoremi Gaussa-Ostrogradskog

f divvdV = f vmiddotdS = f v l1 dS

v s s odnosno

fPdV= ff(A)dS (972Ь)

v s

Ovdje je rijec о konacnim podrucjima Ako su podrucja beskonacnashyneogranicena - onda otpadaju granicni uslovi

292

Ovako opste postavljelii zadatak odnosi зе па polje opsteg oblika iI~ slo~eno polje AIi u sect 72 prilikom klasifikacije polja vidje]o se da ima Qsim за izv01ima i vrtlozima takode i Ьеzvгtlо~пih i Ьеzizvогпih polja Zato сето postavljeni zadatak izraiunavanja vektora kada su zadate пауеshydепе funkcije postepeno rjesavati za razne vrste polja Роjеdiпi takvi zadaci su па drugi пасiп djеliтiспо jos i гапijе гjеSаvапi Iz klasifikacije polja se vidi da su polja 1-3 (sect 72) sресijаlап sluiaj opsteg oblika polja 4

Sada сето па оsпоvu datih fuпkсijа пасi vektor v koji karakterise razna polja

1 Potencijalno polje

Poznato je da je роtепсijаlпо polje bezvrtlo~no Prema tome zadamiddot tak se тo~e formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

div v =р

rot v=O (973)

Gгапiiпе uslove ovdje песето uzimati пеgо сето zadatak rijesiti za Citav Ьеskопасап prostor ра сето па taj naiin rjesenje doblti i za sve tacke ogranicenog prostora odnosno podruija u kojem je polje definisano

Iz zadatka зе odmah zakljuiuje da je vektor v ciji je rotor jednak пиН bezvrtlotni vektor odnosno da je gradijent neke skalarne funkcije и

v=grad ер

ра зе zadatak svodi па jednaiinu

div grad ~ = V2 ~ = р

(974)

(975)

Ovdje je ер kao 5to je гапijе navedeno skalarni potencijal Zadatak se dakle svodi па rjesavanje Poisson-ove jednaiine Ovdje се se u daljem izlaganju naravno pojaviti koeficijent 4 Л koji je ranije figurirao u Poissonmiddot ovoj jednaiini

Rje5enje Poisson-ove jednaiine dato je u sect 72 Prema tome je

ер= __ 1 JPdV (976) 4п r

i traeni vektor

v= _1 grad JPdV 4 r

(977а)

Ovdje je r rastojanje taike А (х у z) do neke taike В (~ ч ~) i1i r ВА = v(x-е)~Ч(у-q)2+(z_middott)2 ра зе (9778) тое naznaiiti i u funkciji respek tivnmiddotih koordinata odnosno

v(xyz)=- 1 gradAJ р(еч~) d~dqdt (977Ь) 4 r

QD

Taika В se mole uzeti i kao koordinatцi potetak

2Ч3

Rjeseoje ovog zadatka takode je уес dato i u sect 76 Оуо rjesenjc (977) odnosi se па beskoflQCni prostor sa jednom vezom gdje je iSРlшjеl1 uslov da 11 beskonacnosti vektor v tezi nuli

2 - Solenoidno polJe

Роzпзtо je da je 80lenoidllo polje bezizvorno Ргеша tome zadatak se moze formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jednaCina

divv=O

rotv=w (978)

[ ovdje ~eтo роsшаtгаti beskonaCfO podrucje sз jednom vezom tj песето uziшаti u obzir granicne uslove koji se uziшаju kod ogranicenog podrucja

Iz zadatka se qdшаh zakJjucuje da je vektor У cija je divergencija jednaka nuH bezizvorni vektor odnQsno da je rotor neke vektorske funkcije А

v = rot А (979)

Vektor А je vektorski potenciial о kojem je bilo govora ranije

Zamjenom se dobiva rot rot А = w а odatle гаzvijЗl1jеm

grad div А ~A w (9710)

Postoji beskonacllO П1lоgо veklora А koji zadJvo1javaju poslednju Jedshynacnu jer je vektor А odredeГl samo do tacnosti jos jedtlog аdШпоg clana - gradijel1ta odnos1O relacija (979) se пе mij~ja ako se stavi

А = А I + grad rp

То znaci da se vektor А шоzе izabrati tako da bude

div А О

sto сето u оvош sllJcaju usvojiti

Tada se dobiva ~A -w

ОУО je vektorska jednaCina tipa Poisson-ave jednacine

(9711)

(9712)

Za izracunavanje vektora А ргеlstаviсешо vektorsku jednacinu (9712) u obJiku triju skalarnih jednaCin8

gdje su Аж Ау А kошропепtе vektora А а W wy 11 vrijednosti kошshyponenata vektora w па koordinatnim osama

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

sect 97 - ODREDIVANJE VEKTORA КАDА SU POZATI NJEOOV ROTOR I DIVEROENCIJA

29]

u ra~nim probIemima se cesto лаilаzi па slucajeve kada su poznati rotor i divergencija vektora а treba naci sam vektor odnosno па slucashyjeve- proucavanja vektorskih po1ja prema njihovc1 vrt10gu i izvoru

Oznacimo divergenciju trafenog vektora v sa Р rotor sa w i velicinu normalne komponente па granicnoj povrsini sa v Sve te velicine 5U

funkcije polofaja ра je div v р (х У z)

rot= w (х У z)

vn=f(A)

(97lа)

Рсуе dvije jednacine napisane u analitickom obIiku pretst8vljaju sistem parcijalnih diferencijalnih jednacina

д~ д~ д~ ( -- + -- + -- =р ХУ z дх ду д

dvz dv _ ( ) -ry - д-- WX х У z

dv дх

u (х у z)

dvy dvx ( д-- - -д у = W l Х У z)

(971 Ь)

Rjeiavanje ovih jednacina Ье granicnih usJova suvise je uopsectten zadatak Medutim за dopunskim granicnim uslovima V 1 = f (А) zadatak nalafenja funkcija bullbull Vy bull V z je potpuno odreden kao sectto je rsnije dokazano

АН da Ы sistem jednacina (971) imao rjesenje mora ispunjavati josect neke uslove koji ranije nisu navedeni

Prvi uslov koji moraju ispunjavati funkcije р w i da Ы sistem imao rjesenje d6biva se iz relacije

div rot v=O odnosno

divw=O (9721)

Drugi uslov se doblva prema teoremi Gaussa-Ostrogradskog

f divvdV = f vmiddotdS = f v l1 dS

v s s odnosno

fPdV= ff(A)dS (972Ь)

v s

Ovdje je rijec о konacnim podrucjima Ako su podrucja beskonacnashyneogranicena - onda otpadaju granicni uslovi

292

Ovako opste postavljelii zadatak odnosi зе па polje opsteg oblika iI~ slo~eno polje AIi u sect 72 prilikom klasifikacije polja vidje]o se da ima Qsim за izv01ima i vrtlozima takode i Ьеzvгtlо~пih i Ьеzizvогпih polja Zato сето postavljeni zadatak izraiunavanja vektora kada su zadate пауеshydепе funkcije postepeno rjesavati za razne vrste polja Роjеdiпi takvi zadaci su па drugi пасiп djеliтiспо jos i гапijе гjеSаvапi Iz klasifikacije polja se vidi da su polja 1-3 (sect 72) sресijаlап sluiaj opsteg oblika polja 4

Sada сето па оsпоvu datih fuпkсijа пасi vektor v koji karakterise razna polja

1 Potencijalno polje

Poznato je da je роtепсijаlпо polje bezvrtlo~no Prema tome zadamiddot tak se тo~e formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

div v =р

rot v=O (973)

Gгапiiпе uslove ovdje песето uzimati пеgо сето zadatak rijesiti za Citav Ьеskопасап prostor ра сето па taj naiin rjesenje doblti i za sve tacke ogranicenog prostora odnosno podruija u kojem je polje definisano

Iz zadatka зе odmah zakljuiuje da je vektor v ciji je rotor jednak пиН bezvrtlotni vektor odnosno da je gradijent neke skalarne funkcije и

v=grad ер

ра зе zadatak svodi па jednaiinu

div grad ~ = V2 ~ = р

(974)

(975)

Ovdje je ер kao 5to je гапijе navedeno skalarni potencijal Zadatak se dakle svodi па rjesavanje Poisson-ove jednaiine Ovdje се se u daljem izlaganju naravno pojaviti koeficijent 4 Л koji je ranije figurirao u Poissonmiddot ovoj jednaiini

Rje5enje Poisson-ove jednaiine dato je u sect 72 Prema tome je

ер= __ 1 JPdV (976) 4п r

i traeni vektor

v= _1 grad JPdV 4 r

(977а)

Ovdje je r rastojanje taike А (х у z) do neke taike В (~ ч ~) i1i r ВА = v(x-е)~Ч(у-q)2+(z_middott)2 ра зе (9778) тое naznaiiti i u funkciji respek tivnmiddotih koordinata odnosno

v(xyz)=- 1 gradAJ р(еч~) d~dqdt (977Ь) 4 r

QD

Taika В se mole uzeti i kao koordinatцi potetak

2Ч3

Rjeseoje ovog zadatka takode je уес dato i u sect 76 Оуо rjesenjc (977) odnosi se па beskoflQCni prostor sa jednom vezom gdje je iSРlшjеl1 uslov da 11 beskonacnosti vektor v tezi nuli

2 - Solenoidno polJe

Роzпзtо je da je 80lenoidllo polje bezizvorno Ргеша tome zadatak se moze formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jednaCina

divv=O

rotv=w (978)

[ ovdje ~eтo роsшаtгаti beskonaCfO podrucje sз jednom vezom tj песето uziшаti u obzir granicne uslove koji se uziшаju kod ogranicenog podrucja

Iz zadatka se qdшаh zakJjucuje da je vektor У cija je divergencija jednaka nuH bezizvorni vektor odnQsno da je rotor neke vektorske funkcije А

v = rot А (979)

Vektor А je vektorski potenciial о kojem je bilo govora ranije

Zamjenom se dobiva rot rot А = w а odatle гаzvijЗl1jеm

grad div А ~A w (9710)

Postoji beskonacllO П1lоgо veklora А koji zadJvo1javaju poslednju Jedshynacnu jer je vektor А odredeГl samo do tacnosti jos jedtlog аdШпоg clana - gradijel1ta odnos1O relacija (979) se пе mij~ja ako se stavi

А = А I + grad rp

То znaci da se vektor А шоzе izabrati tako da bude

div А О

sto сето u оvош sllJcaju usvojiti

Tada se dobiva ~A -w

ОУО je vektorska jednaCina tipa Poisson-ave jednacine

(9711)

(9712)

Za izracunavanje vektora А ргеlstаviсешо vektorsku jednacinu (9712) u obJiku triju skalarnih jednaCin8

gdje su Аж Ау А kошропепtе vektora А а W wy 11 vrijednosti kошshyponenata vektora w па koordinatnim osama

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

292

Ovako opste postavljelii zadatak odnosi зе па polje opsteg oblika iI~ slo~eno polje AIi u sect 72 prilikom klasifikacije polja vidje]o se da ima Qsim за izv01ima i vrtlozima takode i Ьеzvгtlо~пih i Ьеzizvогпih polja Zato сето postavljeni zadatak izraiunavanja vektora kada su zadate пауеshydепе funkcije postepeno rjesavati za razne vrste polja Роjеdiпi takvi zadaci su па drugi пасiп djеliтiспо jos i гапijе гjеSаvапi Iz klasifikacije polja se vidi da su polja 1-3 (sect 72) sресijаlап sluiaj opsteg oblika polja 4

Sada сето па оsпоvu datih fuпkсijа пасi vektor v koji karakterise razna polja

1 Potencijalno polje

Poznato je da je роtепсijаlпо polje bezvrtlo~no Prema tome zadamiddot tak se тo~e formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

div v =р

rot v=O (973)

Gгапiiпе uslove ovdje песето uzimati пеgо сето zadatak rijesiti za Citav Ьеskопасап prostor ра сето па taj naiin rjesenje doblti i za sve tacke ogranicenog prostora odnosno podruija u kojem je polje definisano

Iz zadatka зе odmah zakljuiuje da je vektor v ciji je rotor jednak пиН bezvrtlotni vektor odnosno da je gradijent neke skalarne funkcije и

v=grad ер

ра зе zadatak svodi па jednaiinu

div grad ~ = V2 ~ = р

(974)

(975)

Ovdje je ер kao 5to je гапijе navedeno skalarni potencijal Zadatak se dakle svodi па rjesavanje Poisson-ove jednaiine Ovdje се se u daljem izlaganju naravno pojaviti koeficijent 4 Л koji je ranije figurirao u Poissonmiddot ovoj jednaiini

Rje5enje Poisson-ove jednaiine dato je u sect 72 Prema tome je

ер= __ 1 JPdV (976) 4п r

i traeni vektor

v= _1 grad JPdV 4 r

(977а)

Ovdje je r rastojanje taike А (х у z) do neke taike В (~ ч ~) i1i r ВА = v(x-е)~Ч(у-q)2+(z_middott)2 ра зе (9778) тое naznaiiti i u funkciji respek tivnmiddotih koordinata odnosno

v(xyz)=- 1 gradAJ р(еч~) d~dqdt (977Ь) 4 r

QD

Taika В se mole uzeti i kao koordinatцi potetak

2Ч3

Rjeseoje ovog zadatka takode je уес dato i u sect 76 Оуо rjesenjc (977) odnosi se па beskoflQCni prostor sa jednom vezom gdje je iSРlшjеl1 uslov da 11 beskonacnosti vektor v tezi nuli

2 - Solenoidno polJe

Роzпзtо je da je 80lenoidllo polje bezizvorno Ргеша tome zadatak se moze formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jednaCina

divv=O

rotv=w (978)

[ ovdje ~eтo роsшаtгаti beskonaCfO podrucje sз jednom vezom tj песето uziшаti u obzir granicne uslove koji se uziшаju kod ogranicenog podrucja

Iz zadatka se qdшаh zakJjucuje da je vektor У cija je divergencija jednaka nuH bezizvorni vektor odnQsno da je rotor neke vektorske funkcije А

v = rot А (979)

Vektor А je vektorski potenciial о kojem je bilo govora ranije

Zamjenom se dobiva rot rot А = w а odatle гаzvijЗl1jеm

grad div А ~A w (9710)

Postoji beskonacllO П1lоgо veklora А koji zadJvo1javaju poslednju Jedshynacnu jer je vektor А odredeГl samo do tacnosti jos jedtlog аdШпоg clana - gradijel1ta odnos1O relacija (979) se пе mij~ja ako se stavi

А = А I + grad rp

То znaci da se vektor А шоzе izabrati tako da bude

div А О

sto сето u оvош sllJcaju usvojiti

Tada se dobiva ~A -w

ОУО je vektorska jednaCina tipa Poisson-ave jednacine

(9711)

(9712)

Za izracunavanje vektora А ргеlstаviсешо vektorsku jednacinu (9712) u obJiku triju skalarnih jednaCin8

gdje su Аж Ау А kошропепtе vektora А а W wy 11 vrijednosti kошshyponenata vektora w па koordinatnim osama

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

2Ч3

Rjeseoje ovog zadatka takode je уес dato i u sect 76 Оуо rjesenjc (977) odnosi se па beskoflQCni prostor sa jednom vezom gdje je iSРlшjеl1 uslov da 11 beskonacnosti vektor v tezi nuli

2 - Solenoidno polJe

Роzпзtо je da je 80lenoidllo polje bezizvorno Ргеша tome zadatak se moze formulisati ovako

izracunati vektor v kada je dat sistem jednaCina

divv=O

rotv=w (978)

[ ovdje ~eтo роsшаtгаti beskonaCfO podrucje sз jednom vezom tj песето uziшаti u obzir granicne uslove koji se uziшаju kod ogranicenog podrucja

Iz zadatka se qdшаh zakJjucuje da je vektor У cija je divergencija jednaka nuH bezizvorni vektor odnQsno da je rotor neke vektorske funkcije А

v = rot А (979)

Vektor А je vektorski potenciial о kojem je bilo govora ranije

Zamjenom se dobiva rot rot А = w а odatle гаzvijЗl1jеm

grad div А ~A w (9710)

Postoji beskonacllO П1lоgо veklora А koji zadJvo1javaju poslednju Jedshynacnu jer je vektor А odredeГl samo do tacnosti jos jedtlog аdШпоg clana - gradijel1ta odnos1O relacija (979) se пе mij~ja ako se stavi

А = А I + grad rp

То znaci da se vektor А шоzе izabrati tako da bude

div А О

sto сето u оvош sllJcaju usvojiti

Tada se dobiva ~A -w

ОУО je vektorska jednaCina tipa Poisson-ave jednacine

(9711)

(9712)

Za izracunavanje vektora А ргеlstаviсешо vektorsku jednacinu (9712) u obJiku triju skalarnih jednaCin8

gdje su Аж Ау А kошропепtе vektora А а W wy 11 vrijednosti kошshyponenata vektora w па koordinatnim osama

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

294

Rjesenja ovih jеdпаёiпа su kao sto je роzпаtо

Ах = ~ J wж d 4 r

А - _1 JW1dV у- bull

4 r

А - 1 J wzdV - bull

41t r

Mnozeci rеsреktivпim ortovima i sablrajuCi doblva se vektor А

А = 411t J W ~y bull (9713)

Zamjenom se doblva dеfiпitivпо rjеsепjе

v = _1 rot[~dV 4rc r

t9б14)

gdje opet treba imati u viduda se vеliёiпе u ovoj re1aciji оdпоsе па raz1ishyёitе koordinate lIi jasnije dоЫvепо rjеsепjе se mofe napisati u obliku

v (х У z) = _1 rot J w (е 11 ~) d~ dq d~ bull (97 14Ь) 41t r

Оуо rjesenje je trеtirапо i ranije рrШkоm izlаgапjа vtktorskog potencijaJa

3 - Laplace-ovo polje

Zз оуо polje je kаrаktеristiёпо da je i Ьеzvrtl0fпо bezizvorno Prema tome zadatak se mofe formu1isati ovako

izrаёuпаti vektor v kada je dat sistem jеdпаёiпа

divv=O

rot у= О

v=t(A)

(9715

gdje se div i rot оdпоsе па sve tаёkе u ogranicenoj zарrеmiпi У а [1 je granitni uslov па povrsini S koja оgrапiёаvа tu zapreminu pri temu je А proizvoljna tatka te povrsine

Iz druge jednafine se vidi da je trafeni vektor v gradijent neke s kalarne funkcije odnosno

v =grad т

Zamjenom u prvoj jеdпаёiпi doЫva ае

Ат=О

(9716)

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

295

То zпаti da za iuatunavanje vektora У odnosno Laplacemiddotovog polja treba пзjргijе гijеsШ Laplace-ovu jednacinu Prerra (9716) treca jеdпаtiП8 u (9715) doblva oblik

д дn =t(A) (9718)

а о je granicni u$lov па povrsini S

Dakle za definitivno izratunavanje vektora У koji karakterise LaplaceshyОУО poJje treba rijesiti LapJace-оvu jednatinu uz dopunSki uslov koji ltiaje vrijednost izvoda skalara qgt u pravcu normale па povrsini S koja ogranitava dotitnu zаргешiпu V u kojoj je polje odredeno kao i vrijedshynost skalara qgt па granicl10j povrsini Та probIem зе naziva Neumann-ov ргоЫеm Otuda zakljutalt da pri proutavanju Laplace-ovogpoja treba rijeshysiti Neumannmiddotov problem

U slucaju beskonacnog-l1eogranicenog podrucja po~tojace jedno jedino 1

sljedece rjesenje Laplace-ove jednatine qgt = О jer i -r О Г

U rjesavanje Neumann-ovog рсоЫета ovdje зе песето upustati

4 Polje opJteg oblika

Polje opsteg obIika iIi slozeno polje karakterise зе svоjstvэm da ima i vrtloge i izvore Prema tome zada1ak za takvo polje moze se mntematicki formulisati ovako

izratunati vektor v kada je dat sistem jednacina

divv=p (9719а)

rotv=w lIZ uslov

divw О (9719Ь)

Ovdje se pretpostavlja da podrucje u kojem ie polje dеfiпisапо obuhvata citav prostor _е рсета tome nije оgгапitепо

U оуот slucaju raz)ozicemo vektor v па bezvrtloznu komponentu V I i па bezizvornu komponentu у odnosno

Na osnovu izlolenog komponente y~ i у moraju ispunjavati sjedefe uslove (у 973 i 978)

div У1 = р

(9720)

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

296

Prema (974 7) (979 i4) dobiva se

V = grad и + rot А odnosno

V = _ ~ grad f р dV + -~ rot f~~~- 4я г 4я г

(9721)

Оуо je definitivno rje5enje probIema izra~unavanj~ polja koje obuhvata cjelokupan beskonacan prostor kada su poznati rotor i divergencija odshynosno vrtlozi i jzvori polja

~to se H~e rjesenja probIema za ograniceno polje upucujemo сНаосamp па detaljniju matematicku literaturu iz te oblasti

sect98 - VRTL01NA LINiJA CIJEV (TUBA) VLAKNO (NIT) I NJIHOVO OLJE

Ranije je bilo govora о vektorskim linijama Analogno se mogu deshyfinisati linije rotorltl lIekog vektora Ako se u svakoj tacki poljavektora v izracuna rot v dobice se llOУО vektorsko polje vektora rot У Graficki pretshystavnici 10ga polja nazivaju se vektorske 1inije vektora rot v ili vгtloine linije vektoгa У

Vektor rot v = w naziva se i vrtlo~ni vektor Щ vrtlog Iektora У Тапshygente vrtloine Iinije daju orijentaciju vektora rotacije (rotora)

Odmah se vidi da kod vr110~nih linija пета izvora odnosno div w = = div rot v = О а 10 znaci da su vrtlo~ne linije i1i zavorene Ш da imaju kraj па granici polja оdпоsпо па nekom diskопtiпuitеtu

Poznato je medu1im da su u cisto vrtloznom polju i vektorske Iishynije vektora v zatvorene jer je takvo polje bezizvorno Vektorske liпЧе vektora v i vеktоrз w odnosno vektorske i vrtlоzпе lil1ije vektora У теshydusobllo se obllhvataju (zatvorene su) kao karike jednog апса

Ako se u vrtlоzпоП1 po1jL1 normalno па ose vrtloga w uzme neka mаlз роvrsil1З i od njene konture povuku kao izvodnice vrtlozlle linije dobice se vгtloina cijev i1i tuba Prema illo~enom se zna dmiddota пi u toj tubi песе biti izvora pod recenom pretpostavkom

Vrtloznu cijev sacinjavaju vrtlo~ne linije koje proaze kromiddotz tacke пеkе zatvoiene krive linije [l polju

Pri proucavanju роljз i izrасuпаvапju raznih veliCina vrlo ces10 se posmatraju vrtlо~пе cijevi koje su tako tапkе da se popretne пjihоvе dimen~ije mogu llzeti kao Ьеskопаспо male vеliСiпе

Takva vrtlo~na cijev sa Ьеskопаспо nalim presjekom паzivа se vгtloznoshyvakno vгtlozrza nit ili vгtlоzпа iica Takvo izdvаjапjе vrtlo~nih vlakana i njihovo роsеЬпо proucavanje u mпоgоmе uproscava rасuпапjе kao i tre~ tiranje роjеdiпih probIema iz obIasti gdje postoje vrtlozi kao 5tO je slucaj u fizici f1uida а рrvепstvепо u hidro- i aeromehanici Тато dobivene relacije cesto se koriste i u o~talim obIastima l1egdje zbog aproksimaciie~ а negdje analogijom

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

297

Posmatrajmo sada jednu izdvojenu usamljenu vrtloznu nit nekog пеоgrапiсепоg vrtlotnog ЬеzizvоrцЬg polja Pretpostavlja зе da je u ЗУ8-koj tаёki роzпаt vrtlog vektora v odnosno da зе zпа vektor w = rot v Рсета (9721) relacija medu vektorom v i njegovim vrtlogom Ысе u та kojoj tаёki polja

v = - rot ---о (981) 1 fWdV 4я г

v Оzпаёi Ii 5е orijentisani

element рорrеёпоg pre5jeka пШ 5а dS а (Iini5ki) еlеmепt vrttоiпе linije 5а ds (51 98-1) etement zaprem iпе vrtlozne пИi Ысе

dV=dSmiddotds Zamjenom se dobiva

v= _1 rotf(WdS)d8 4я г

v

ds

SI98-1

Poznato je da je Wmiddot dS ftuk5 vektora w kroz povrsinu dS i to konshystantne vrijedno5ti za та koji presjek niti Vektori w i ds зо istoga smjera ра se moze pisati

v= _1 rotf фds = ~ rotfdS 4я г 4я г

(982)

gdje Ф u оуот 51uёаju оzпаёаvа pomenuti ПоКз Odavde se vidi da vektor v пе z8visi neposredno od presjeka vrtshy

lоiпоg vlakna ра se moie smatrati i kao vektor koji karakterise polje izdvоjепе u5amtjene vrtlоiпе linije

sect 99 - VEKTORSKO PRETSTAVLJANJE KOMPL-ЕКSNlН VELltlNA I OBRNUTO FAZORI

Neka je dat kompleksni broj а1 + jOSf gdje je j V - 1 Usvojепо je da se ovakav broj moze pokazati kao vektor (зl 99-1) З8 komponenshytзта vrijеdпоsti а1 i а2 dui realne i imaginarne озе u tзkvоm koordinatnom

sistemu Onda je vektor а у t Оdrеdеп svojom realnom i

imaginarnom kоmропепtоm bull I I

д

- в а2

С А - ---- _~

а1 J( О ( о

51_ 99-1 SI99-2

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

298

Moze ве poci i obrnuto tj dati obrtni vektor moze se pretstaviti

pomocu kompleksnog broja па taj nacin 8to se usvoji da zamp rotaciju od ~ 2

fungira simbol j Znaci ampkO se и broj nalazi j treba ga l1anijeti ро osi

)ltoja je okrenuta za rc od рrvоЫtпе ose tog broja gdje se obrtanje raCUHa 2

u smjeru koji je usvоjеп kao роzШvап Napr uzmimo jedinicu па realnoj Ox-osi (sl Q2-2) ОА = 1 Pomnozimo je sa j ОоЫсе se

ОА j=OBmiddotj=j

Pomnozimo Ii dalje sa i dobicemo

ОВ j bull i = OBj2 j2 = ОС - 1 (991)

Odavde se zakljucuje da je j imаgiпаrпа jеdiпiса

Рсета tome imаgiпаrпа jedinica se moze geometriski pretstaviti kao rotacija za рrзу ugao Naravno ako se uzima imaginarna vеliсiпа zаjеdпо sa tri prostorne kзо lюоrdiпаtа onda ta rotacija пеmа geometriskog smisla jer je prostor вато sa tri dimenzije

Ovdje uzimamo оzпзku j umjesto i zbog uobicampjenog nacina obllje tavanja u tehnici jer se tamo sa j оЫспо oznacavamp promjenljiva struja Ш trenutna vrijednost struje Inace ni8ta drugo пе smеtз da ве oznacava sa i umjesto sa j

Onde se moze pisati а = а 1 + ja (992)

а se naziva modul vektora а а njegov argument

Osim ovog oblljezavanja moie ве pisati i па sljedeCi simbolicni nacin

а I а I I~ = а i а (993) Prema sl 99-1 je

а acosa+iasina

Primjenom Eu]er-ove formule dobiva ве

a=a(cosa+isina) aeja bull

Оуо je takode simbolicna vrijednost vektora а

(995)

Ovakvi vektori su u rаvпi Sabiranje ovakvih vektora svodi ве па amplgebarsko sаЫrапjе kompleksnih brojeva 5to ве tice skalarnog i vektorshyskog proizvoda oblcnih vektora oni se ovdje prema prirodi kompleksnih brcjeva пе mogu рrimijепiti

Imaginarna komponenta se пе sma~ra u sustirJi imaginarnom jer опа moze prikazivati reamplnu fizicku veliCinu Тamp] nampziv pokazuje samo da se опа nanosi dui imaginarne- ose odnosno ове obrnute za 9()о u odnosu па horizontalnu (reamplnu) ова

ObJici kojima ве оуе veIiCine prikazuju ocigledno daju i rez11ltate operacija sablranja oduzimanjamp mnozenja i dijeljenja ovih vе1iСiпа То je velikamp o]aksicamp pri svim izrаСuпаvапjimа Ukratko postupampk je cisto algeshybarski samp kompleksnim brojevima

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori

299

Qvakav metod se narofito prlmJenJuJe u teoriji паizmjепiспih struja gdje se ротоси ovakvog рrikаzivапjа еlеktriспih velifina kоmрlikоvапе difеrепсijаlпе jеdпасiпе zamjenjuju prostim jеdпасiпаmа te se i algebarski i grafifki u mnogo slucajeva rje~avaju jednostavno

Necemo se upu~tati u detalje ovog metoda jer smatramo dз takve vеliсiпе koje se prikazuju kompJeksllim brojevima prvenstveno ц teoriji naizmjenitoih struja - u eJektrotehnici ustvari пisu vektori iako ih mnogi autori nazivaju vektorima Neki ih nazivaju obrtnim vektorima zbog toga sectto se tako mogu prikazivati i odgovarajuce уеНбпе koje zavise od усетепа tako da se obrcu za odredeni ugao koji je оЫспо рrороrсiопаlЗII vrеmепu Koeficijent proporcionalnosti je оЫспо ugaona brzina obrtarrja Sliспо tome neki ih nazivaju versoriтa Kako se i taj l1aziv daje i drugim vеliсiпаmа u matematici u najnovije vrijeme se pojavljuje i naziv fazor za ovakav vektor

Kako оуо ро svojoj prirodi nisu vektori u smisJu koji je iznesen u obicl1oj teoriji vektora ovdje песеmо uJaziti u daJja tretiranja tog il1ste kоrisпоg metoda prikazivanja takvih velicina а паvеli smo оуе glavne karakteristike bas zbog terminoJogije koja se mjеstimiспо jos uvijek uposhytrebIjava kao da su to vektori