一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中， ……...

一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，……人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。 ——达 ·芬奇

宇宙这本书是用数学语言写成的。 —— 伽利略

第八讲新数学的诞生

一、代数学的新生

二、几何学的变革

三、微积分的创立


1 、近代代数学的进展

2 、代数方程的可解性

3 、群的发现

1 、近代代数学的进展一、代数学的新生

al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala

《还原与对消计算概要》

（约 820 ）

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850

al-jabr algebra

探讨了算术问题的一般性解法


F. Vieta, 1540-1603

韦达把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。缺点：齐性原则


基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根

(1515, S. Ferro)

x3 + px = q (p, q > 0)

Tartaglia,1499-1557Niccolo Fontana

x3 + px2 = q (p, q > 0)

A. M. Fior

1535


G. Cardano, 1501-1576

Ars Magna 《大法》1545 年

包含三次方程和四次方程的代数解法

根的个数




3 、群的发现

2 、代数方程的可解性一、代数学的新生

18 世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：

高于四次的代数方程的根式求解问题；

欧几里得几何中平行公理的证明问题；

微积分算法的逻辑基础问题。


中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。即在 n > 5 时，对于形如

xn + a1xn–1 + …+ a

n–1x + an = 0

的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。


J. L. Lagrange1736-1813

1770 年：《关于代数方程解的思考》

不可能用根式解四次以上的方程


N. H. Abel, 1802-1829

1824 年 :《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》方程次数大于等于五时，任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。

阿贝尔方程




3 、群的发现

3 、群的发现一、代数学的新生

基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？

E. Galois, 1811-1832

置换群伽罗瓦群

伽罗瓦证明了：当且仅当方程的群满足一定条件（即它是可解群）时，方程才是根式可解的。

也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。

3 、群的发现一、代数学的新生

伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。

群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。

群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。


1 、近代几何学的进展

2 、非欧几何学的诞生

3 、射影几何学的繁荣

4 、几何学的统一

1 、近代几何学的进展二、几何学的变革

基本问题：其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？

G. Desargues, 1591-1661

1639 年：《试论锥面截一平面所得结果的初稿》对平行线引入无穷远点的概念，

继而获得无穷远线的概念；认识到了对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性；通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。


德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在 17 世纪人们对这二种几何学并不加任何区分。

但现在的我们，通过历史的眼光回溯，便会很容易地发现，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点。那就是 :

一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；

变换与变换不变性；

仅关心几何图形的相交与结构关系 , 不涉及度量问题。


解析几何的基本思想是在平面上引进所谓坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应关系。以此方式可以将一个代数方程与一条平面曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。

R. Descartes, 1596-1650


1637 年 : 《方法论》《几何学》

在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系。

在笛卡尔那里，几何与代数达到了完美的统一。

R. Descartes, 1596-1650


P. de Fermat1601-1665

1629 年：

《论平面和立体的轨迹引论》

2 、非欧几何的诞生二、几何学的变革

直到 18 世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。

欧几里得平行公设？？？？？

“ 几何原理中的家丑”—— 达朗贝尔


1733年，萨凯里：《欧几里得无懈可击》

萨凯里四边形

锐角？直角？钝角？

锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等

无逻辑矛盾，但不合乎情理。


1763年 , 克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾 , 只是得到了似乎与经验不符的结论 . 开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明 .1766年，兰伯特 : 《平行线理论》

兰伯特四边形

锐角？直角？钝角？

兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。


C. F. Gauss, 1777-1855

高斯从 1799 年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从 1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何 ” ，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯。


J. Bolyai1802-1860

1832年 2月 14日，《绝对空间的科学》其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何。

F. Bolyai1775-1856


1826 年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现 ;1829 年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文刊登在《喀山通讯》上而未引起数学界的注意。

Н. И. Лобачевский1792-1856


罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：

通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。

作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。

罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学 -——非欧几里得几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。


1854年，黎曼发表论文《关于几何基础的假设》

B. Riemann, 1826-1866

发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。


在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。

2 、非欧几何的诞生二、几何学的变革在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设。但黎曼区分了“无限”与“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的。在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何。这第二种非欧几何，也叫（正常曲率曲面上的）黎曼几何。作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何。普通球面上的几何就是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直线”，容易看出，任意球面“直线”都不可能永不相交。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。

他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。


贝尔特拉米的模型： “伪球面”它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义。

缺点：具有片段性。还没有解决全部罗巴切夫斯基几何的无矛盾性问题。


克莱因的几何模型：在普通欧几里得平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部。他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（端点除外）。这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧几里得模型。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。因为我们可以设想，如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来，也就是说，只要欧几里得几何没有矛盾，那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。

3 、射影几何的繁荣二、几何学的变革

非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么， 19 世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。


J-V. Poncelet1788-1867

1822年，庞斯列：《论图形的射影性质》


基本问题：图形在投射和截影下保持不变的性质。连续性原理。它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性。庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形。

对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理。


在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和普吕克开创了射影几何研究的解析（或代数）途径。麦比乌斯在《重心计算》 (1827)一书中第一次引时了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多射影几何基本结果的有效工具。 A. F. Möbius, 1790-1868


1847年，施陶特出版《位置几何学》，提出方案，通过给每个点适当配定一个识别标记（也称坐标）来避免射影几何学对于长度概念的依赖，使之摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。 K.G.C. von Staudt, 1798-1867


施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧几里得几何概念，因而射影几何比欧几里得几何更基本。

施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（ A. Cayley, 1821-1895 ）和普吕克的学生克莱因（ F. Klein, 1849-1925 ）进一步在射影几何概念基础上建立欧几里得几何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧几里得几何与非欧几何都是射影几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学辅平了道路。

4 、几何学的统一二、几何学的变革

非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。

首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。

其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。 19 世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，


F. Klein, 1849-1925

1872 年 : 《爱尔朗根纲领》几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。这样一来，不仅 19 世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。


（欧几里得几何）仿射几何其他仿射几何双曲几何射影几何（罗巴切夫斯基几何）双重椭圆几何（黎曼几何）单重椭圆几何

抛物几何

并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。


D. Hilbert, 1862-1943

公理化方法

1899年 :《几何基础》

是从公理出发来建造各种几何。希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。


《几何基础》中提出的公理系统包括了 20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：

关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。

在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即

相容性 : 从系统的公理出发不能推出矛盾 , 亦称无矛盾性 ;独立性 :系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论 ;

完备性 :系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。

在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。

这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。

一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中， ……...

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