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作为一位投资者，进行期权交易最关注的就是未来可能获得的收益、可能承担的风险和期权价格的变化情形。本章将运用图形、公式和表格相结合的方式讨论期权的回报与盈亏，并进一步对期权价格的可能分布区间及影响期权价格的主要因素进行深入分析。

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期权到期时的股价

看涨期权多头回报与盈亏

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看涨期权空头的盈亏分布 由于期权合约是零和游戏（ Zero—Sum Games），也就是说买者的盈利就是卖者的亏损，买者的亏损就是卖者的盈利，所以我们可以发现，看涨期权多头和空头的曲线是关于 x 轴对称的。

看涨期权空头回报与盈亏

期权到期时的股价

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看跌期权多头的回报与盈亏

期权到期时的股价

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看跌期权空头的盈亏分析 由于期权合约是零和游戏（ Zero—Sum Games），也就是说买者的盈利就是卖者的亏损，买者的亏损就是卖者的盈利，所以它们对应的曲线就会关于 x 轴对称。

看跌期权空头回报与盈亏

期权到期时的股价

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1 、 看跌期权卖者的盈亏状况与买者刚好相反，即看跌期权卖者的盈利是有限的期权费，亏损也是有限的。 2 、 根据实值、虚值、平价期权的定义，我们把 X>S 时的看跌期权称为实值期权，把 X=S 的看跌期权称为平价期权，把 X<S 的看跌期权称为虚值期权。

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具体来看，期权的内在价值（ Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值：

看涨期权内在价值＝标的资产市场价格－期权执行价格（现值）

看跌期权内在价值＝期权执行价格（现值）－标的资产市场价格

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头 寸 期权回报 内在价值

看涨期权

欧式无收益

有收益

美式无收益

有收益

看跌期权

欧式无收益

有收益

美式无收益

有收益

max( ,0)TS X

max( ,0)TS X

max( ,0)TS X

max( ,0)S X

max( ,0)TX S

max( ,0)TX S

max( ,0)X S

max( ,0)X S

max( ,0)r T tS Xe max( ,0)r T tS D Xe

max( ,0)r T tS Xe max( ,0)r tS D Xe

max( ,0)r T tXe S

max( ,0)r T tXe S D

max( ,0)r tXe S

max( ,0)r tXe S D

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1 、以上表格中关于期权的内在价值是在期权被执行的情况下推导出的。但是，当执行期权会给期权的多头带来负的 payoff时，多头是不会执行期权的，所以，期权的内在价值始终大于等于零，也就是说其实期权的内在价值是在以上表格所列内容与 0之间取较大的值（ max ）。

2、关于美式期权提前执行的合理性我们将在随后证明。

3 、值得注意的是，除了无收益资产美式看涨期权之外，由于我们事先无法知道美式期权何时会被执行，因此我们只能给出其内在价值的计算公式，但却无法知道其确切的值。

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内在价值 当期权处于平价状态的时候（内在价值正好为零），时间价值最大。期权时间价值与内在价值的关系如下图所示：

期权的时间价值

平价点 标的资产价格

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关于该图的几点理解1 、当期权处于平价状态的时候，标的资产无论如何波动也不可能使期权的多头有进一步的损失（不执行期权），但是却可能给期权多头带来巨大的收益，所以，此时波动对于期权多头来说，只有利没有弊；如果期权处于深度虚值状态，标的资产的价格变化到足以使期权变为实值的潜力几乎没有，人们将不愿意为时间价值支付更多；如果处于深度实值状态，由于内在价值相当大，时间价值甚至会消失，因为此时其所代表的获利潜力或使既得利益减少的可能很小，所以此时人们对时间价值的支付意愿也会下降。这样，由两边向中间递增，当期权处于平价状态时，时间价值最大。

2、在实值状态下，越是接近平价的期权，将来标的资产价格下降所带来的损失越小，因而未来潜力越大，时间价值越大。在虚值状态下，越是接近平价的期权，将来标的资产上升所带来的收益越大，因而时间价值越大。

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时间价值的含义 期权的时间价值（ Time Value ）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。也就是说，时间价值是期权获利潜力的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。

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对时间价值的深入理解 

期权时间价值的来源是什么呢？答案是，标的资产价格变化导致期权价格变化的不对称性使得期权总价值超过其内在价值，这就是期权时间价值的来源。换句话说，无论将来价格怎么波动，期权多头的亏损永远是有限的，而增加的盈利却可能是无限的，因此标的资产的波动对于期权所有者来说是利大于弊的，这种不对称导致多头愿意为了一段时间内的波动多付期权费，从而产生了时间价值。

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影响期权价格的五大因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格

（二）期权的有效期

（三）标的资产价格的波动率

（四）无风险利率

（五）标的资产的收益

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（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 标的资产的市场价格与期权的协议价格是影响期权价格最主要的因素。因为这两个价格及其相互关系不仅决定着内在价值，而且还进一步影响着时间价值。 由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格也就越高。 对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格也就越高。

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（二）期权有效期的剩余时间 时间价值显然会受到时间的影响。但是，对于欧式和美式期权，时间的影响有所不同：对于美式期权，有效期越长，期权价值越大，而欧式期权则不一定。 但在一般情况下，期权的边际时间价值都是正的，也就是说，随着时间的增加，期权的时间价值是增加的。然而，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。因此，我们可以得出两点结论：结论 1：对于到期日确定的期权来说，在其他条件不变时， 随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。结论 2：当时间流逝同样的长度，期限长的期权时间价值的 减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。

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（三）标的资产的波动率 所谓波动率是指标的资产收益率的标准差，它反映了标的资产价格的波动状况。标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。原因在于多头的最大亏损仅限于期权费，上涨获利与下跌亏损不对称，所以波动的价值为正。波动率越大，时间价值越大。

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（四）无风险利率 影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率，尤其是短期无风险利率。利率对期权价格的影响是比较复杂的，需要进行区别分析。不同的分析角度，结论各不相同。我们将在后面的章节用数量模型的结论专门分析这个问题。

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（五）标的资产的收益 按照美国市场惯例，标的资产分红或者是获得相应现金收益的时候，期权的协议价格合约并不进行相应的调整。这样，标的资产进行分红付息，将减少标的资产的价格，这些收益将归标的资产的持有者所有，同时协议价格并未进行相应调整。因此在期权有效期内标的资产产生的现金收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

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标的资产市场价格标的资产价格波动率

有效期

期权协议价格

红利

无风险利率

欧式看涨期权价值

－ ＋ ？ ＋ ＋

？

＋ ＋ ＋ － － ？

－ ＋ ＋ ＋ ＋ ？

＋

＋ ？

－－ ？

欧式看跌期权价值

美式看涨期权价值

美式看涨期权价值

变量

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基本结论 对于美式期权来说，关键在于是否提前执行：无收益资产的美式看涨期权不可能提前执行，因此， ；但有收益资产的美式看涨期权有可能提前执行，只是可能性很小。相反，美式看跌期权都有可能提前执行，因此， ，其下限也是美式看跌期权的内在价值。（在本课件中，大写的字母被用来表示美式看涨和看跌期权，小写的字母则表示欧式看涨和看跌期权，下标 1 表示无收益资产，下标 2 表示有收益资产）

1 1C c

2 2C c

美式期权能否提前执行，必须首先将结论记住，在为美式期权定价的时候必须首先考虑这个因素。

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无收益资产美式看涨期权的提前执行

对于无收益的美式看涨期权，提前执行是不明智的。证明：构建两个组合如下：组合 A ：一份美式看涨期权加上金额为执行价格 X的现值的现金组合 B ：一单位标的资产

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情形一：在 T 时刻，组合 A 的现金变为 X ，组合 A 的价值为 max（ ST ， X ）。而组合B 的价值为 ST ，可见，组合 A 在 T 时刻的价值一定大于等于组合B 。这意味着，如果不提前执行，组合 A的价值一定大于等于组合 B 。

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情形二：若该期权在 τ 时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于 Sτ-X，其中 S 表示 τ 时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为 ，其中 表示 T-τ时段的远期利率。因此，若提前执行的话，在 τ 时刻组合A 的价值为 ；而组合 B 的价值为 。由于 ，因此 , 若提前执行美式期权的话，组合 A 的价值将小于组合 B 。

)-(Tr-Xe

r

)T(rXeXS

S 0r,T

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比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即： C=c 根据 C=c，我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：

]0,max[ )( tTrXeSC

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无收益资产美式看跌期权的提前执行

为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合：组合 A ：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合 B ：金额为 的现金)( tTrXe

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若不提前执行，则到 T 时刻，组合 A 的价值为max （ X ， ST ），组合 B 的价值为 X ，因此组合 A 的价值大于等于组合 B 。 若在时刻 提前执行，则组合 A 的价值为X ，组合 B 的价值为 ，因此组合 A 的价值也高于组合 B 。

ˆ( )r TXe

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比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（ X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当 S 相对于 X 来说较低，或者 r 较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于无收益资产的美式看跌期权可能提前执行，因此其内在价值就是其被执行时回报的现值， 这里的时刻 既可能是当前时刻，也可能是到期 T 时刻，也可能是 T 之前的任意时刻。相应地期权价格下限变为： max( ,0)r tX SP e

max( ,0)r tXe S

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有收益资产美式看涨期权的提前执行 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前，标的资产有 n 个除权日， t1 ， t2…… ， tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为 D1 ， D2 ，……， Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为 S1 ， S2 ，…… Sn。

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由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。 我们先来考察在最后一个除权日（ tn ）提前执行的条件。如果在 tn 时刻提前执行期权，则期权多方获得 Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到 Sn

-Dn 。 根据有收益资产欧式看涨期权的下限，在 tn 时刻期权的价值（ Cn ）

]0,max[ )( ntTrnnnn XeDScC

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因此，如果：即：则在 tn 提前执行是不明智的。相反，如果则在 tn 提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn 时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。

XSXeDS ntTr

nnn )(

]1[ )( ntTrn eXD

]1[ )( ntTrn eXD

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同样，对于在任意 ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：

由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：

]1[ )( 1 ii ttri eXD

max( ,0)r tC c S D Xe

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有收益资产美式看跌期权的提前执行由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：

由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：]1[

]1[)(

)( 1

n

ii

tTrn

ttri

eXD

eXD

max( ,0)r tP Xe S D

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1 、期权价格等于内在价值加上时间价值 内在价值主要取决于 S 和 X ，以及时间和利率、红利等因素；时间价值则受到有效期、内在价值、波动率、利率的影响。2 、期权价值都以内在价值为下限，其中看涨期权上限为标的资产价格，看跌期权上限为协议价格（现值）。3 、有收益资产的期权价格曲线只要从无收益资产的期权价格曲线稍作改动即可获得。

期权价格的基本分析

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无收益资产欧式看涨期权价格曲线图

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1. r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期 权价格曲线以 0 点为中心，越往右上方旋转，但基本形状 不变，而且不会超过上限。2. 期权的内在价值也就是期权价格的下限为3. 因为无收益的美式看涨期权不会提前执行，所以等同于 无收益资产的欧式看涨期权，图形是一样的。4. 收益资产看涨期权价格曲线与上图类似，只是把 换成 即可。同时，由于提前执行有收益资产的 美式看涨期权可能性比较小，所以也可以近似的认为有收 益资产的美式看涨期权的图形等同于有收益资产的欧式看 涨期权。

)0,XeS(max )tT(r

DXe )tT(r

)tT(rXe

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无收益资产欧式看跌期权价格曲线图

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1 、 r 越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以 0 为中心越往右上方旋转，但不能超过上限。2 、期权内在价值也就是期权价格的下限为

3 、有收益资产欧式看跌期权价格曲线与上图相似，只是把 换为)( tTrXe )( tTrXeD

]0,max[ )( SXe tTr

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无收益资产美式看跌期权价格曲线图

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1 、对比上一个图形我们可以发现，美式看跌期 权价格曲线与欧式看跌期权的价格曲线相似， 只是上下限不一样而已。美式看跌期权的上 限是 X ，下限也就是期权的内在价值是 X － S 。2 、有收益美式看跌期权价格曲线与上图相似， 只是把 X 换成 D+X。

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无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系考虑以下两个组合：组合 A ：一份欧式看涨期权加上金额为执行价格现值的 现金组合 B ：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧 式看跌期权加上一单位标的资产

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在期权到期时，两个组合的价值均为 max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻 t 必须具有相等的价值，即： 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（ Parity）。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。如果公式不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使公式成立。

SpXec tTr )(

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根据以上平价公式，我们可以得到

我们可以用金融工程的眼光来看待这个公式，它表示看涨期权等价于借钱买入股票，并买入一个看跌期权来提供保险。和直接购买股票相比，看涨期权多头有两个优点：保险和可以利用杠杆效应。

( )r T tc p S Xe

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有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合 A 中的现金改为收益的现值与执行价格现值之和，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：

SpXeDc tTr )(

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根据上式我们可以得到：

也就是说在其它条件相同的情况下，如果红利的现值增加，那么有收益资产的欧式看涨期权的价值会下跌。

( )r T tc p S Xe D

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美式看涨与看跌期权之间的平价关系一般来说，美式看涨与看跌期权之间不存在精确的平价关系。由于 P>p,从 中我们可得：

SpXec tTr )(

SXecP tTr )(

对于无收益资产看涨期权来说，由于 c=C，因此：

SXeCP tTr )(

)( tTrXeSPC

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为了推导出 C 和 P 的更严密的关系，我们考虑以下两个组合：组合 A ：一份欧式看涨期权加上金额为 X 的现金组合 B ：一份美式看跌期权加上一单位标的资产

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如果美式期权没有提前执行，则在 T 时刻组合B 的价值为 max(ST,X)，而此时组合 A 的价值为

因此组合 A 的价值大于组合 B 。如果美式期权在 τ 时刻提前执行，则在时刻 τ ，组合 B 的价值为 X ，而此时组合 A 的价值大于等于 因此组合 A 的价值也大于组合 B 。

XXeXS tTrT )(),max(

( )r tXe

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这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合 A 的价值都高于组合 B ，因此在 t 时刻，组合 A 的价值也应高于组合 B ，即：

由于 c=C，因此，

结合，我们可得：

由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合上述的不等式。

SPXc

SPXC

XSPC

)( tTrXeSPCXS

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对于有收益资产美式期权，我们只要把组合 A 的现金改为 D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式 S-D-XC-PS-D-Xe-r(T-t)