高州市第一中学 曾静

-- 算法案例（一）

1 、求两个正整数的最大公约数（ 1 ）求 25 和 35 的最大公约数（ 2 ）求 49 和 63 的最大公约数

2 、求 8251 和 6105 的最大公约数

25（ 1 ）55

357

49（ 2 ）77

639

所以， 25 和 35 的最大公约数为5

所以， 49 和 63 的最大公约数为7

辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求 8251 和 6105 的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146结论： 8251 和 6105 的公约数就是 6105 和 2146 的公约数，求 8251 和 6105 的最大公约数，只要求出 6105 和 2146 的公约数就可以了。

第二步 对 6105 和 2146 重复第一步的做法 6105=2146×2+1813同理 6105 和 2146 的最大公约数也是 2146 和 1813 的最大公约数。

完整的过程8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4+0 显然 37 是 148 和 37 的最大公约数，也就是 8251 和 6105 的最大公约数

〖例〗用辗转相除法求 225 和 135 的最大公约数225=135×1+90

135=90×1+45

90=45×2 显然 45 是 90 和 45 的最大公约数，也就是 225和 135 的最大公约数 思考 1 ：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1 ：用大数除以小数

S2 ：除数变成被除数，余数变成除数S3 ：重复 S1 ，直到余数为 0

〖练习〗课本 P47 练习第 1 题

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于 0 停止的步骤，这实际上是一个循环结构。

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4+0

m = n × q ＋ r用程序框图表示出右边的过程

r=m MOD n

m = n

n = r

r=0?

是否

INPUT m ， nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND

《九章算术》——更相减损术

算理： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用 2 约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。

〖例〗用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减

98 － 63 ＝3563 － 35 ＝2835 － 28 ＝728 － 7 ＝ 2121 － 7 ＝ 1414 － 7 ＝ 7

所以， 98 和 63 的最大公约数等于 7

练习：课本 P47 练习第 1 题

直到减数与差出现相等时结束

注意：比较减数与差大数 - 小数

〖小结〗求两个数的最大公约数的方法

辗转相除法和更相减损术法

作业：

它们有哪些要注意