5. zadaci za vježbu iz matematike1 tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz matematike1...
TRANSCRIPT
5. zadaci za vježbu iz Matematike1Tok funkcije i ekstremi
1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljedecih funkcija:
a) y = x3 − 3x2 + 3x + 2 b) y = −x4 + 2x2 − 1 c) y =x2 − 2x + 2
x − 1
2. Napišite limese koji karakteriziraju granicno ponašanje funkcija:
3. Skicirajte granicno ponašanje sljedecih funkcija:
a) y =1
x + 1b) y =
xx + 1
c) y =x2 − xx + 1
4. Ispitajte tok i skicirajte graf sljedecih funkcija
a) y = 2x3 − 3x2 + 1 b) y =19
(6x2 − x4
)c) y =
xx2 − 4
5. Nadite najvecu i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu:
a) y = −2x3 + 3x − 1 na intervalu [−3, 1],
b) y = 2x3 − 3x + 4 na intervalu [−2, 3].
6. Komad zemlje u obliku pravokutnika s jedne strane je omeden rijekom a s tri preostale strane ga treba omediti žicomduljine 100m tako da mu površina bude maksimalna. Kakve trebaju biti dimenzije pravokutnika?
7. Odredite stranice pravokutnika cija je površina 9cm2 tako da mu opseg bude minimalan.
1
Rješenja
1.a)
y′ = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x − 1)2
1 kriticna tocka: x = 1nema ekstrema
x 〈−∞, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 3 ↗
y′ + 0 +
b)
y′ = −4x3 + 4x = −4x(x2 − 1)3 kriticne tocke: x = −1, x = 0, x = 1
x 〈−∞,−1〉 -1 〈−1, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 0 ↘ -1 ↗ 0 ↘
y′ + 0 − 0 + 0 −
3 ekstrema: lokalni maksimumi M1(−1, 0) i M2(1, 0), lokalni minimum m(0,−1)
c)
y′ =x(x − 2)
x − 12 kriticne tocke: x = 0, x = 2prekid u x = 1
x 〈−∞, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1, 2〉 2 〈2,∞〉y ↗ -2 ↘ N.D. ↘ 2 ↗
y′ + 0 − N.D. − 0 +
2 ekstrema: lokalni maksimum M(0,−2), lokalni minimum m(2, 2)
2.a) lim
x→0+0f (x) = 0, lim
x→0−0f (x) = −∞, lim
x→−∞f (x) = 0, lim
x→∞f (x) = 0
b) limx→−1−0
f (x) = 0, limx→1+0
f (x) = 0, limx→2
f (x) = −∞, limx→−∞
f (x) = 2, limx→∞
f (x) = ∞
3.
a)
limx→±∞
1x + 1
= 0
(horizontalna asimptota y = 0)
limx→−1−0
1x + 1
= −∞
limx→−1+0
1x + 1
= ∞
(vertikalna asimptota x = −1)
2
b)
limx→±∞
xx + 1
= 1
(horizontalna asimptota y = 1)
limx→−1−0
xx + 1
= +∞
limx→−1+0
xx + 1
= −∞
(vertikalna asimptota x = −1)
c)
limx→−∞
x2 − xx + 1
= −∞
limx→∞
x2 − xx + 1
= ∞
(nema horizontalu asimptotu)
limx→−1−0
x2 − xx + 1
= +∞
limx→−1+0
x2 − xx + 1
= −∞
(vertikalna asimptota x = −1)
x2 − xx + 1
= x − 2 +2
x + 1, lim
x→±∞
2x + 1
= 0
(kosa asimptota y = x − 2)
4.a) (y = 2x3 − 3x2 + 1 je polinom, nema horizontalne ni vertikalne asimptote)
y′ = 6(x − 1)
x 〈−∞, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 1 ↘ 0 ↗
y′ + 0 − 0 +
3 nul-tocke: 2x3 − 3x2 + 1 = (x − 1)2(x +
12
)= 0 ⇒ x = 1 (je dvostruka nul-tocka) i x = −
12
y′′ = 12x − 6x 〈−∞,−1/2〉 −1/2 〈−1/2,∞〉y _ 23/144 ^
y′′ − 0 +
Pregib u P(
12,
23144
)
3
b) (y =19
(6x2 − x4
)je polinom, pa nema asimptote)
y′ =19
(12x − 4x3
)=
49
x(3 − x2
) x 〈−∞,−√
3〉 −√
3 〈−√
3, 0〉 0 〈0,√
3〉√
3 〈√
3,∞〉y ↗ 1 ↘ 0 ↗ 1 ↘
y′ + 0 − 0 + 0 −
3 nul-tocke: 6x2 − x4 = x2(6 − x2
)= 0 ⇒ x = 0 i x = ±
√6
y′′ =43
(1 − x2
) x 〈−∞,−1〉 −1 〈−1, 1〉 1 〈1,∞〉y _ 5/9 ^ 5/9 _
y′′ − 0 + 0 −
2 pregiba u P1
(−1,
59
)i P2
(−1,
59
)
c) y =x
x2 − 4- funkcija je antisimetricna: y(−x) = −y(x)
limx→±∞
xx2 − 4
= 0 =⇒ horizontalna asimptota y = 0
limx→±2−0
xx2 − 4
= ∓∞, limx→∓2+0
xx2 − 4
= ±∞ =⇒ vertikalne asimptote x = ±2
y′ = −x2 + 4
(x2 − 4)2 < 0 =⇒ funkcija stalno pada
1 nul-tocka: x = 0
y′′ =2x(x2 + 12)
(x2 − 4)3
x 〈−∞,−2〉 −2 〈−2, 0〉 0 〈0, 2〉 2 〈2,∞〉y _ N.D. ^ 0 _ N.D. ^
y′′ − N.D. + 0 − N.D. +
Pregiba u P(0, 0)
4
5.a)y′ = −6x2 + 3
2 kriticne tocke: x = ±
√2
2
x -3 −√
2/2 ≈ −0.707√
2/2 ≈ 0.707 1y 44 −1 −
√2 ≈ −2.414 −1 +
√2 ≈ −0.414 0
Globalni maksimum: MG(−3, 44)
Globalni minimum: mG
− √22,−1 −
√2
b)y′ = 6x2 − 3
2 kriticne tocke: x = ±
√2
2
x -2 −√
2/2 ≈ −0.707√
2/2 ≈ 0.707 3y -6 4 +
√2 ≈ 5.414 4 −
√2 ≈ 2.586 49
Globalni maksimum: MG(3, 49)Globalni minimum: mG (−2,−6)
6. Treba odrediti globalni maksimum funkcije P(x) = x(100 − 2x) na intervalu 〈0, 50〉
1 kriticna tocka: x = 25x 0 25 50P 0 1250 0
Globalni maksimum: MG(25, 1250)
Tražene dimenzije: 25m i 50m
7. Treba odrediti globalni minimum funkcije O(x) = 2(x +
9x
)na intervalu 〈0,∞〉
2 kriticne tocke: x = ±3x 0 3 ∞
O ∞ 12 ∞Globalni minimum: MG(3, 12)
Rješenje je kvadrat stranice 3cm
5