5. zadaci za vježbu iz matematike1 tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz matematike1...

5
5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´ cih funkcija: a) y = x 3 - 3x 2 + 3x + 2 b) y = -x 4 + 2x 2 - 1 c) y = x 2 - 2x + 2 x - 1 2. Napišite limese koji karakteriziraju graniˇ cno ponašanje funkcija: 3. Skicirajte graniˇ cno ponašanje sljede´ cih funkcija: a) y = 1 x + 1 b) y = x x + 1 c) y = x 2 - x x + 1 4. Ispitajte tok i skicirajte graf sljede´ cih funkcija a) y = 2x 3 - 3x 2 + 1 b) y = 1 9 6x 2 - x 4 c) y = x x 2 - 4 5. Na ¯ dite najve´ cu i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu: a) y = -2x 3 + 3x - 1 na intervalu [-3, 1], b) y = 2x 3 - 3x + 4 na intervalu [-2, 3]. 6. Komad zemlje u obliku pravokutnika s jedne strane je ome ¯ den rijekom a s tri preostale strane ga treba ome ¯ diti žicom duljine 100m tako da mu površina bude maksimalna. Kakve trebaju biti dimenzije pravokutnika? 7. Odredite stranice pravokutnika ˇ cija je površina 9cm 2 tako da mu opseg bude minimalan. 1

Upload: duonghanh

Post on 19-Jun-2018

241 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´cih

5. zadaci za vježbu iz Matematike1Tok funkcije i ekstremi

1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljedecih funkcija:

a) y = x3 − 3x2 + 3x + 2 b) y = −x4 + 2x2 − 1 c) y =x2 − 2x + 2

x − 1

2. Napišite limese koji karakteriziraju granicno ponašanje funkcija:

3. Skicirajte granicno ponašanje sljedecih funkcija:

a) y =1

x + 1b) y =

xx + 1

c) y =x2 − xx + 1

4. Ispitajte tok i skicirajte graf sljedecih funkcija

a) y = 2x3 − 3x2 + 1 b) y =19

(6x2 − x4

)c) y =

xx2 − 4

5. Nadite najvecu i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu:

a) y = −2x3 + 3x − 1 na intervalu [−3, 1],

b) y = 2x3 − 3x + 4 na intervalu [−2, 3].

6. Komad zemlje u obliku pravokutnika s jedne strane je omeden rijekom a s tri preostale strane ga treba omediti žicomduljine 100m tako da mu površina bude maksimalna. Kakve trebaju biti dimenzije pravokutnika?

7. Odredite stranice pravokutnika cija je površina 9cm2 tako da mu opseg bude minimalan.

1

Page 2: 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´cih

Rješenja

1.a)

y′ = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x − 1)2

1 kriticna tocka: x = 1nema ekstrema

x 〈−∞, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 3 ↗

y′ + 0 +

b)

y′ = −4x3 + 4x = −4x(x2 − 1)3 kriticne tocke: x = −1, x = 0, x = 1

x 〈−∞,−1〉 -1 〈−1, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 0 ↘ -1 ↗ 0 ↘

y′ + 0 − 0 + 0 −

3 ekstrema: lokalni maksimumi M1(−1, 0) i M2(1, 0), lokalni minimum m(0,−1)

c)

y′ =x(x − 2)

x − 12 kriticne tocke: x = 0, x = 2prekid u x = 1

x 〈−∞, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1, 2〉 2 〈2,∞〉y ↗ -2 ↘ N.D. ↘ 2 ↗

y′ + 0 − N.D. − 0 +

2 ekstrema: lokalni maksimum M(0,−2), lokalni minimum m(2, 2)

2.a) lim

x→0+0f (x) = 0, lim

x→0−0f (x) = −∞, lim

x→−∞f (x) = 0, lim

x→∞f (x) = 0

b) limx→−1−0

f (x) = 0, limx→1+0

f (x) = 0, limx→2

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = 2, limx→∞

f (x) = ∞

3.

a)

limx→±∞

1x + 1

= 0

(horizontalna asimptota y = 0)

limx→−1−0

1x + 1

= −∞

limx→−1+0

1x + 1

= ∞

(vertikalna asimptota x = −1)

2

Page 3: 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´cih

b)

limx→±∞

xx + 1

= 1

(horizontalna asimptota y = 1)

limx→−1−0

xx + 1

= +∞

limx→−1+0

xx + 1

= −∞

(vertikalna asimptota x = −1)

c)

limx→−∞

x2 − xx + 1

= −∞

limx→∞

x2 − xx + 1

= ∞

(nema horizontalu asimptotu)

limx→−1−0

x2 − xx + 1

= +∞

limx→−1+0

x2 − xx + 1

= −∞

(vertikalna asimptota x = −1)

x2 − xx + 1

= x − 2 +2

x + 1, lim

x→±∞

2x + 1

= 0

(kosa asimptota y = x − 2)

4.a) (y = 2x3 − 3x2 + 1 je polinom, nema horizontalne ni vertikalne asimptote)

y′ = 6(x − 1)

x 〈−∞, 0〉 0 〈0, 1〉 1 〈1,∞〉y ↗ 1 ↘ 0 ↗

y′ + 0 − 0 +

3 nul-tocke: 2x3 − 3x2 + 1 = (x − 1)2(x +

12

)= 0 ⇒ x = 1 (je dvostruka nul-tocka) i x = −

12

y′′ = 12x − 6x 〈−∞,−1/2〉 −1/2 〈−1/2,∞〉y _ 23/144 ^

y′′ − 0 +

Pregib u P(

12,

23144

)

3

Page 4: 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´cih

b) (y =19

(6x2 − x4

)je polinom, pa nema asimptote)

y′ =19

(12x − 4x3

)=

49

x(3 − x2

) x 〈−∞,−√

3〉 −√

3 〈−√

3, 0〉 0 〈0,√

3〉√

3 〈√

3,∞〉y ↗ 1 ↘ 0 ↗ 1 ↘

y′ + 0 − 0 + 0 −

3 nul-tocke: 6x2 − x4 = x2(6 − x2

)= 0 ⇒ x = 0 i x = ±

√6

y′′ =43

(1 − x2

) x 〈−∞,−1〉 −1 〈−1, 1〉 1 〈1,∞〉y _ 5/9 ^ 5/9 _

y′′ − 0 + 0 −

2 pregiba u P1

(−1,

59

)i P2

(−1,

59

)

c) y =x

x2 − 4- funkcija je antisimetricna: y(−x) = −y(x)

limx→±∞

xx2 − 4

= 0 =⇒ horizontalna asimptota y = 0

limx→±2−0

xx2 − 4

= ∓∞, limx→∓2+0

xx2 − 4

= ±∞ =⇒ vertikalne asimptote x = ±2

y′ = −x2 + 4

(x2 − 4)2 < 0 =⇒ funkcija stalno pada

1 nul-tocka: x = 0

y′′ =2x(x2 + 12)

(x2 − 4)3

x 〈−∞,−2〉 −2 〈−2, 0〉 0 〈0, 2〉 2 〈2,∞〉y _ N.D. ^ 0 _ N.D. ^

y′′ − N.D. + 0 − N.D. +

Pregiba u P(0, 0)

4

Page 5: 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi · 5. zadaci za vježbu iz Matematike1 Tok funkcije i ekstremi 1. Ispitajte intervale rasta i pada, te ekstreme sljede´cih

5.a)y′ = −6x2 + 3

2 kriticne tocke: x = ±

√2

2

x -3 −√

2/2 ≈ −0.707√

2/2 ≈ 0.707 1y 44 −1 −

√2 ≈ −2.414 −1 +

√2 ≈ −0.414 0

Globalni maksimum: MG(−3, 44)

Globalni minimum: mG

− √22,−1 −

√2

b)y′ = 6x2 − 3

2 kriticne tocke: x = ±

√2

2

x -2 −√

2/2 ≈ −0.707√

2/2 ≈ 0.707 3y -6 4 +

√2 ≈ 5.414 4 −

√2 ≈ 2.586 49

Globalni maksimum: MG(3, 49)Globalni minimum: mG (−2,−6)

6. Treba odrediti globalni maksimum funkcije P(x) = x(100 − 2x) na intervalu 〈0, 50〉

1 kriticna tocka: x = 25x 0 25 50P 0 1250 0

Globalni maksimum: MG(25, 1250)

Tražene dimenzije: 25m i 50m

7. Treba odrediti globalni minimum funkcije O(x) = 2(x +

9x

)na intervalu 〈0,∞〉

2 kriticne tocke: x = ±3x 0 3 ∞

O ∞ 12 ∞Globalni minimum: MG(3, 12)

Rješenje je kvadrat stranice 3cm

5