5 razred - adnadjevic - udzbenik.pdf

8/14/2019 5 Razred - Adnadjevic - udzbenik.pdf

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a y a a ~~ a t je s w b B n a n n ~ ~ pd n h f n ~ w a e w ~ o s ~ b&& ;*;;..

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, MATEMATHKAC& 1, L h;<* l;byb

tr.5;.:>*; i*,...;*,' 9;

. . .HGY::,

A 5 PA PEa OCHOBHE UKOJE



M TEM TVIKAA 5 PA PEfl OCHOBHE UlKOJlE

ABAHAECTO, lTPEPA3EHO R3AAEbE

~ A B O A A YIJEEHHKE HACT ABHA CPEACTBA EEOTPAJ



\Ynuja caynosa

Ilpecet e pa3n~xa ~ynoea ......

O C B ~ Ta CKyn UpHpOnHHX 6pojesa

Ypeljetbe y cxyny o

5.3. P a ~ n o ~ l w6pojesna nonyrrpasa 110

. CKYnOBM TAYAKA

5.6. Ca6npame H O ~ ~ H M W

nervurami~ anec) 12 1

Cso jc~s a a6evana 123

5.8. Jem aw ue y e e s ~a c a 6 ~ p a m ~OAy3HMaMM 126

3.1. Yrao nacra~a~,neMeHTn,06cnc~ealbe)

3.2. Bpme ~ymosa.Ynopeq~sal~e

yrnosa 5.14. Aehene nerul~ann~anec) 147

.4. M c p e ~rnosa

3.6. llap anen~e paee ca Tpancsepsa-noM H yrnosn ~ o j e11e wiie

76 6. OCHA CHMETPMJA 177

6.1. Oclia c m q ~ j a pasm ......... 177

81 6.2. Octia c u ~ q ~ w o c rewe grrryp 1828

8 1 6.3. CH~erpana yxi ................. 185

6.4. CH~erpanayrna ................. 18984

............... AEJbMBOCT 6POJEBA

.1. n o j m nefiHBocTii y cxyny o

4.2. Aemueocr nexaaHHM j e m ~ ~ u a ~ apojeaeua 2, 3, 5

....3. A en ~e oc r p o j e s ~ ~ a, 9 H 25

...4. n p o m cnoxenn 6pojesa : 89 PE3YJITATki 3 W T A K A2 YHYTCTBA 3A PEIIIABABE 227



Y u 6 e ~ n ~e n pn na ro fie ~ opnroBaHoM H ~ ~ T ~ B H O MporpaMy K O ~ H e npnMe-fhyje O n rUK0nCKe 1995/96 TOAHHe.

H a c ~ a ~ ~ apafia je n3 no xe ~a mecT nornama o m o c ~ o ornaira ac s a m oAefiax. omosapa jem oj ~ a c ~ a ~ ~ o je n m . Ha ~ p a j y y e s y n ~ a ~ uynyTcTaa 3a perrrasane 3 a n a ~ a ~ a .

Ha no rem y csaKor onenKa nocne ~ a 3 ~ a ~ eosoeu HaseneHa je ~ a ~ e p G aKO~YYYeHHUU Tpe6a Aa IlOHOBe KaKO 611 naKlTle yCBajiULH HOBe HaCTaBHe C ~ A P W C ~ ; ~

3 Tor oAefiKa. H a u m noHaefiaraa ~pe6a a o ~ p e macTaBHIiK H/IW caM yreHm.Ha ~ p a j y Baxor onefiira AaT je H ~ ~ C T ~ Hpoj s a ~ a ~ a ~ a .e m 3a~a1.wcy

06 enexem 3HaKoM 0 O cy 3aAaun xoje 6n no HameM M nm neny ~ p e 6 m o

0 6 p a m ~ na racy.

A y r 0 ~ ~



Y CBaKOAHeBHOM =oTy WcTo ce noMulae n o j a ~ Kpa. T ~ K O e rOBOpU

CKynJ YqeHUKa HeKe IIIKOne, CKFy rpaba~aHeKOr MeCTa Up. Y MaTeMaTW e

n o j a ~myna recTo ~opwcrw. rosopw ce o cKyny npnpombx 6pojesa, c ~yny

T ~ o ~ ~ I o B ~ ,KFy KBaApaTa HTA.

, C K ~ O B ~eM0 O ~ U Y H O03HaWiBaTU BeJIUKUM CJIOBliMa JIaTUHUue. C ~ y ne I

cac~oju n CBO ~HXeneMeHaTa urn YnaHosa. JXpnnana~eHeKor eneMeHTa c~ yny

o s ~ a v a s a ~ ou ~ 6 0 n o ~.T a ~ oanwc aEM s ~ a wa je a eneMeHT cKyna M, noK

b M s~i asu a b He mpmana cKyny M.

n p ~ ~ e p

a) 3 a n a j ~ oKynose A, B, C, N y o6nnry:

A = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9) I

B {a, e, i, o u 3

{a}

N (1, 2, 3,

l l p n ~ e h y j e ~ oa je A cKyn csnx jen~osu@pe~nxpojesa, B je cKyn CBHX

caMornacHwKa, a N je cKyn npupomhx 6pojesa. K a ~ o sa rpana~a UCMO

M O ~ J I WHasecTa cse YnaHoBe myna N, TO CMO ce Kopwcrmn TarKusaMa. C ~ y n

C uMa caMo j e n a ~neMeHT.

6) Ca No 0 3 ~ a s a s a ~ oKyn ~ o j eanpm cse i ~ ~ ~ i o m i epojese H 6poj 0 Aa~ne ,

N,={O, 1,2 3, 4 ... .

H e ~ ae S c ~ y n sux yeaura HeKe rurone, a R c ~ y nsnxy e a a r a j e n ~ o ronen,eKa Te mone. Ormnemo, csaKu yqe-

K 113 o n e a e ~ apunana cxyny R, anu u c ~ y n y. ,

Apyray~jeMoxeMo pehn,na je R neo myna S, wru na je R noncxyn myna S.



6) H e ~ ae A B u B C. Tana je a A C. H a u ~ e ,saKa eneMesT myna A jeeneMeHT myna B cnew us AcB), a caaKu eneMes-r cKyna B je u eneMeHT

myna C c n e p u3 BcC) , onaKne cnem na je csaKu eneMeHT myna

A yjewo ~i eneMeHT myna C. l la je A C.

A {a, b, c, d), B {c, d, e), C {a, b , M O X ~ M OHX rpaQlR~~upeAcTaeuTu

Kao Ira cnuqu 1.1

B H ~ M Oa je C cA. krru B ~ u j e

nOACKya CKyna A A ~ U j e lO CKyIl

myna B.I YOYHMO a cryna: A={5, 6, 7) u

B={xEN 4<x<8) . BWMO Aa ce ene-

MeHTH 5, 6, 7 ~ a n a s e C K p Y A H

CKFy B. HR y CKYnY A M C K Y T

IIeMa npyrux eneMeHaTa o c u ~ , 6, 7.A a~ ne ,Kynosu A. n B canpxe. e n ~ e e

ucTe eneMeHTe. K a s a h e ~ o a cy o ~ uen-

Cn 1 H ~ K H nncahe~ oA B.-

C K ~ ~ O B U, L a M cy j e n ~ a ~ uep canpxe jenne Te ucTe eneMeHTe. H~ a v e ,

pu sanucu~awy, e n ~ a ~ ~neMeHTu ce nuury caMo jenasnyr. T a ~ oe, Ha npuMep,

cKyn { 1,2,2, 3) nuure y o6nu~y I, 2,3). Penocnen nucaba eneMeHaTa nuje 6 u ~ a ~

na c ~ y n1, 2, 3) MoxeMo nucam y o6nnry 3, 2, 1) unu { I 3, 2) m u, naK, a

HeKaM n p y r m penocnenoM.

AUO nBa cuyna K H can px e jenue Te Hcre eneMeuTe u a s a h e ~ o a cyj e n a a ~ n n u c a h e ~ o

a) C ~yi r nosa on ~o j u xe cacTassaena pes p a 6 a j e m a ~e cKyny cnosa pevu

6 a p a . H a u ~ e , a jKyn je {a, 6, n p) .

6) I I o c ~ a ~ p a j ~ oer p a s p en. C ~ y nnosa, on ~ojuxe cacTassaeHa osa pes je

{p, a, 3 p e, A) aJin h e ~ o pu sa n a s a ~ y a6r myna myna cnosa pesupas pen ) cnoso p nucaTu caMo j e n a ~ n y ~ ,j .a, 3 p e, A).



Bunem CMO pa je A noacqn neKor myna By A c By aKo je csam eneMem

myna A nnospeMeHo H eneMenT cKpa B. l l p e ~ a OM je A A. AKO e AA H B mcy jemau~,A B , o ma h e ~ o a s ar ~ a je A npaBn noacKyn cKyna B.

H e ~ a j e = ( 1 ; 2 , 3 } , B = ( l y 2 , 3 , 4 , 5 . Bumcenaje A c B n A Z B . Arne ,

A je npam noncKyn cqma B.

1. Hanew HeKe crrynow r ~ j ~y eneMenm ~ by.4~.pojeea. creaps. H m ~0pHcTeb

O : z ~ e eneMesrc cryna

a {I , 2, 3, 8);

@Jjl.{2.9}:

B ) {X x je cnoeo a36y~e).

3. Y o u cBe npupomie 6pojese sehe on 6 H me sehe on 12. Onpenu c ~ y nBHX 6pojesa.

4. AKO a A o 3 ~ a m oKyn CBHX n e o ~a @ p e ~a xpojeea, K O ~ Hon 6pojeea: 26 70. 700,

845.99, 100 npnnanajy c~yrryA?

5. a a ~e CKyn S= {I, 2,3). Ha@ cee neroee noncrynoee.

86. A a ~ j eryn { I 3 5, 7).

Onpenu cne kerone jennorna~ie qeTeopoYnaHe noncrynoBe.

O a a T e cKyn C o b c, d l .Onpena cse =rose Tpowane noncrynoee.

8. ~ T Hy CKynOBHno= {x x je nen ap a~ poj H xclO) B B = (1, 3, 5.7).

Aa je ACE. B c ~ A = E ? +

Hera je A = {r, s 2, u). Koje je on ~xapepllsx s p b b a HCTUHETO:

a ) S E A T r EATt 6 UEAY

A I r l c A y

B ) t C A H 4 {r S 2, u) ~ A ? T

10 K o j ~y on cnenehnx crynoea ~e i jy 0 6 0 ~e a n a ~ ~ :

I I ~ T ~e noncKyn HeKor c~yna?Kana ce 3a nsa myna raxe aa cy

je~naxu?m , ~ ae npasu noac~yn?



a Ha TaKmve%y ~ @ H ~ u K ~ :, d, f, g. K o j ~veHHmi oBe m o n e cy ceT W W ~ U ?T ~ K M U Y N ~ HY R OHU yYeHUl@iK O ~ UCy YYeCTBOBa-ilU 6ap Haj e m o ~ aKMasefiy. J a ~ oe Bwem na cy TO yseam: a , b, c, d, e , f ; g.

Y omosopy Ha nocTasmeHo ImTgFbe yveHaxe a, d noMsmeMo caMoj e ~ ; w r y ~ ,e3 o63apa UTO Cy YYeCTBOBWH Ha 06a TaKNqe&a.

AKO ~ y n aKmsapa a3 MaTeMaTyKe O ~ H ~ Y U M Oa M, a c ~ y n ammapaa3 c nsa~ea F, om a je

M = {a, b, c, d, e ,

F = {a, d f g .

C ~ y nsax TaKmnapa o 3 ~ a d e ~ oa MuF (sn~aj:M ynnja F).Cxyn M u F ripencrasma ymjy cKynoBa M 'a F.

m ~ ae y o i r t l r ~ e ~rryrajy y ~ u j a a cuyna?

I

Ynuja AU B clcynosa A u B je clcyn lcoj~e c a c ~ o ju n CBHX eneMeHaTa K O ~ H

n pw aa ajy ap j e n e o ~ n c q n o s a A H B.I I

Ha n P pHasaH TO ~ c u m y j e ~ oi a ~ o : r

C~ y n yAuB npanana csam eneMeHT ~ o j spanana cxyny A snn cKyny B.

Cn .2.

n p H ~ e p I

H ~ ~ H M O~ u j yKynosa A= {l ,2 , 3,4), B={2,3,4, 51, C= {l,2, 7). Y~ n j yAuBuC cacTasmaMo Taxo na npBo ncnucyje~o neMeHTe myna A, nom-c y j e ~ oneMeHTe myna B ~ o j u x eMa y cxyny A u ~ ~ T U Mo n s c y j e ~ oneeneMen-re K O ~ H XneMa y c~yrry uB. n p e ~ aoMe je

AuBuC= (1, 2, 3, 4, 5, 7).

Bu m cm r~ y .3.JJame, MoxeMo Kmam na je ymjaAaTHX CKyTIOBa CaCTaBmeHa O n CBUX

e n e ~ e n a ~ aBHX nanix aynoaa . A

I lornenaj~ooru Hexe npaMepe.

a) Ca A 0 3 ~ a v m 0 ~ y n nosa y p e n B y H a , ca B c ~ y n nosa iy pe wa na , ac a C c ~ p c n o s a perin n y s a a . Aanzisaxui AuBuCTC?

BWMO aa je A={a, v, n u), B={4 d), C={a, v. d, n u}/ na je

A U B U C = { ~ ,, d, n, u}, ~ j .AUBUC=C .



B) Y B ~ Ke AcAuBt jep cBaru, eneMeHT cryna A unospeMeno je u eneMeHT

cryna B. Aa JIH Moxe ~ U T U A u B c A

YO MMO KynOBe A= (1, 2 3, 4, 51, B= (1; 2, 3).O ~ n e j eAuB={1,2,3,4,5}. A ame, AuB= A,a nwu Au Bc A.

. ,fJa nu pu j a nBa myna Moxe m enau on TUX crynoea? HaBern npm ep.

2 Aaru cy ctcynose A = 1 . 2 3.41 , B= 4 , 5 , 6 ) , C = 1 . 6 ) . Onpem:

a ) A u B ; 6 ) B u C ; B A u B ) u C ; r A u B u C ) .

3. na-mcycKynoBH M = { a , b , c , d ) , N = { b , d , e , f } , P = j a , c , e , g } .

Onpenif: a N u P ; 6 M u N ; B ) M u P ; r M u N u P .

4 . Kojc sepl e= je -rayno: a aKo X C H x E D, o m a x E D u C ;6 aKo X E C H X E D , o w X E D U C ; B ~ K Oe C n X E D ,o w a X E D U C ?

/

1.3. IIPECEK Id PA3JIMKA CKYIIOBA

l l l ~ ae y ~ n j arcyno~a?Aa nu Mdxe ~ H T UA u B e A? Kana?

3a ynuc y cpensy MalrruHcry lrrrony npuja~nnoe I I ~ewe OcHoBHe m o n e

10yreaura. O~H~SUMOx 6pojesma: 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9, 10. IIPH~~MHH

H m T H 3 MaTeMaTUKe nOnOXHnH CY peH Um: 1, 2, 4, 6, 7, 8, a n p u j e ~ ~ u

ucmT ~ cpncror je3ura peHuuu: 1,4 , 5,7,9. Koju ySeHnm cy I IO ~ O X U J IU

n p u j e ~ n ~cnuT u3 06a npemeTa, Te cTerm npaBo Ha ymc?

Oq ~r ne mo , 6a npe mera cy nonomunu 1,4,7.

AKO xyn yreHma xoju cy nonoxnnu H C ~ T MaTeMaTnxce O ~ H ~ W M Oa

-Mya cryn yremra K O ~ H y non omm HCIIUT ~ cpncror jesura osaarmo

ca S, o w a je

Cryn yqennKa roju cy nonoxunn 06a ncnw~a0 3 ~ a 9 u h e ~ oa M n S( r u ~ a j :M npecer S).

Cryn MnS n p e ~ c ~ a s m apece ~ rynosa M H .s . I

IJIT~e y onurTeM cnyqajy npeceK nsa cryna?

Ilpecelc AnB cqwoea A u B je crcyn ~ o j u e cac~oju C B H ~ ajen~nrrcnx

eneMeHaTa crcynosa A uB.



Ha npym Ha- TO nc~a3y je~osaKo:

C ~ y n B je cryn c ~ u xneMeHaTa roju rrpunanajy cryny A H cryny B .

. .3a crynose A = {a , b , c, d , e ) aB = { d , e, ) H ~ ~ H M Opecer.

o sa rnen~oe A n B = 4 e ) . rpa@Hsr i je

npecer A n B npara3an Ha c n m 1.4.

c AKO y n a ~ aPU r N W ~ ryno-

sa, owa ce I~HXO npeceK cac~ojuon

lcsux sajewsrax eneMeaaTa CBHX namxcn 1.4. crynosa.

Haorno npecer crynosa

A = {a , b , c , d e ) ,

B = { b , d e , f ) ,

C = { a ; b, e, g).

na ro ce s m a na je

A n B n C = {b , e ) .

rpa@nwm e TO npura3a~oHa

cnnw 1.5.

Ha~eUIheM0oru HeKe npuMepe. (31.1 5

a) A a ~ ay crynosa A= 1, 2, 3, 41, B= (3 , 4 , 5 , 61, C = (3 , 5 , 6 7 , 8 .

OnpenUM0 mynose: A n B , A n C , B n C , A n B n C , ( A u B ) n C , A n ( B u C ) .

O m ax ce s u m na je: A n B = { 3 , 41, A n C = { 3 ) , B n C = ( 3, 5 , 6 ),A n B n C = (31, AUB ) ~ C=3 , 5 , 6 ) , A n ( B v C ) = { 3 ,4 } .

6) AKO je A = { I , 3, 51, B { I 2,3,4, 51, oHaa je

A n B = (1 , 3 , 51, ~ j . n B = A . H am e, y s e ~e A n B c A .Kana je c A n B ? ' .

H e ~ ay naTH crynosa A = ( 1 , 2, 31, B= (4 , 5, 6, 7) : Haorno cryn A n B .Osarnemo, He noc~ojn U j e na ~ a j e n ~ ~ s r uneMeHr cxynosa A H B. OBOM

cnysajy peba h e ~ oa je A n B cryn roju HeMa eneMeHara. Hazsahe~oa npasaa

c ~ y n O S H ~ ~ U T Ha @. Aarne, A n B @ i

a Aa~m y CKYIIOBH:= 1, 2, 31, B= {3 ,4 ) , C = { 1 , 4 ) .

O ~ p e m i ~ o :n B , A n B n C .O n ~ a xe yorasa na je A n B = (31, A n B n C = @.



A= (1, 2, 31, B = (3, 4, 5 .

O n p e n a ~ o ~ y n o j sanpxa caeolle eneMellTe cKyna A K O ~ U e He Hma-

3e y CKyny B. Taj C K F 03HaYMMO Ca

A\B a H ~ O B W M O a3nma cKynosa A

e B. flame, A \ B (1, 21, ( B M ~JIH-

KY 1.6). A \E

IIIT~e y . o n r u ~ e ~ny~a jy mnarta

nsa CK P~ ? Cn 1.6.

a) A a ~ uy cKynoas A={a, b, c, d , B= {c, d, e}. O ~ p e n w o :

A\B, B\A, A\ , @ \ A .

O A M ~ Xe a m a je: A \ B = { ~ , }, B\A={e}, A\(a=A, @\A=@. /

6 AKO e A cKyn CBUX cnoaa a36y~e,B cKyn csux cymacmra, a C c ~ y nBHX

caMornacmKa,owaje A\ B= C, A\C =B, B\A = ,

C\A=@, B\C=B, C\B =C.

cny~ajy asn e~y \ B aa s e a a ~ o oMnneMenT (nonyaa) myna B y omocy Ha cKyn

A: 0 6 ~ ~ ~ 0e 0 3 ~ a r a s a ~ oa C, (B). f la~ne , Ko je B A, oHna je A \ B C, (B).

Ha ~ I ; ~ r aawm TO a c ~ a 3 y j e ~ osaKo:

E n e ~ e n ~npnnana c~ynyC,(B) aKo x npanana cKyrry A H He npenana

C K Y ~ ~ Y.

AKOnpoa3~ofine Kynose A e B npenc-rasmo KpyrosriMa y p a h e , olmahe AuB, AnB, A \ B 6 a ~ apencTaafieHa rupa @spa na~ s r y p a ~ aBUMcna-

KY 1.7 . TaKo no 6a ja ~o e~oae nja rpa ~ercynoaa.

I

A U 0Cn 7



Cn. 1 8

@am cy c x y n o s ~A = (1 , 2, 3 .4 , 5 B = ( 2 . 4 .6 , 8 , 1 0) .

Onpenrr: crrynose:

a ) A u B

6 ) A n B

B A\B

r B\A.

Axo cy Dam cxynose ~ = { l , 3, 7 e B = ( 3 , 6 , 8 } , onpem:

A \B , (A u B ) \ (A n B ) , (A n B ) \ (A u B ) .

4 Hexa cy MTU cKynosH A = { a , b, c, d , e ) , B = { a , b , d ) , C = {b ,. d, e ) .

OnpAH: A n ( A n B ) n C ; A n ( B n C ) ; ( A n B ) u C ; ( A u B ) n C .a OCHOBY aalor Benosor nnjarpaua (cn. 1.9. a 6 , 8 on pem CKynOIIe A, B, A n B ,

A u B , A\B, B\A. -

6Cn 1 9



@Aa-r je Benos m j a r p a ~cn. 1.10).

Onpena cKynoae: :

A. B , C ;

A n B , A n C , B n C ;

( A nB ) u C ; , . .

( A u B ) n C ;

( A U B ) U C ;

( A nB ) n C .

Do,,m:a ) { x l x e ~ x < S ) n { x l x e N H x > 8 )

Cn. 1.10.6 , X I X E NH . x < ~ ) ~ , { x ( x E Nx >2 ) .

8. k o y cKynoM A osaavenu npHpomH 6 i o j e s ~ e6H n 4 i ~ i l l b H n 13, a cqnoM B.a ienapm npwoma 6 p o j e ~ ~anu on 14, onpem:

An B, A\B, B\A. .

KO je A c ~ y n p ~ p o m ~ xapnm Gpojesa, a cKyn B cryn CBHX npHpopim 6poje~aQaswx on I l aappy : B\A H A n B .

Onpena npecer: a cKyna CBHX napmix H cKyna CBHX II~EPOAHEX 6pojesa;

6 c q n a CBHX napnm cqna CBHX Henapmix 6pojesa.

/

1.4. OCBPT H CKYn IIPElPO HHX EPOJEB

C ~ y npuponmx 6pojesa 0 3 ~ a s a ~ a n uMO ca N = {l,2,3, , a ca No cKyn

N0={O, 1, 2, 3, I

c ~ y n yNo ne@muca~ey seTups paqyncKe panke: cab~patbe, ny3~-

Matbe, miornetbe H nemetbe. A a h e ~ o pernen OCHOBHHX C B O ~ C T ~ B ~asyHcKux

p a m ~ . I

3a U P O H ~ B O J ~ H ~sa 6poja m u n n o c r o j ~ H X O B 6up. K ~ ~ T K Oe ~ oO

peliu: cabnpane je H ~ B O A J ~ U B O c ~ y n yNo. 3a Gpojese m, n, p Baxe jennanocru:

m + n = n + m (KOMYT~THBHOCTab ap a~a )m + ( n + p ) = ( m + n ) + p ( a c o u u j a ~ ~ s ~ o c rab n p a~a )

m + O = m .

Eipoj p je pa3nma Gpojesa m a n IJJTO nmeMo p = m - aKo je p n=m .

Y c ~ y n y o o n y s u ~ a ~ euje yseu ~s s o ~ m u s o .a npmep He MoxeMo a n y 3 e ~ ~

\4 qn 1. Apyrasuje KaxeMo na He noc~ojn poj p E No, TaKas na je p = 1- .



B ) Oraq je.25 romaa crrapuju on cuaa. Kona~oe r o m a o w aKo c l l ~ a aronma ?

O ~ H ~ ~ H M Oonune ova ca x. n o ycnoey sa na r~ ae a 25 = x .

Ilo~myje,cea Ha pe3yn~a-rHe palre TO Ha KOM MecTy ~ana3earpane, na

ce sarpane on c a6 up a~ a e ~ o p a j yU nucam. Ca6upa ce ~ P O U ~ B O J ~ H E I MenoM.

3 a ~ oopras 36up nuuIeMo a 6e3 sarpana: 1 2 4.

3a npoussofi~ am a 6poja m u n noc~oju UXOB npou3son m n.

3a 6pojese m, n, p saxe j e m a ~o c ~ u :

m . n = n . m ( K O M ~ T ~ T ~ B H O C T~ o x e s a )

m n p) = m n) (acouu janz~~oc~n o x e s a )

m . O = O , m . l = m -

m n p) =m n m . ~ H C T ~ H ~ ~ U B H O C Tioxesa y O ~ H O C YHa

ca6 uparae).

Epoj p je KonuwniK 6pojesa m u n l u ~ o ; m e ~ o n= p aKo je m = n

H y n o ~e He nenn. Apyravnje peqeao, KonaqmK m : 0 He nocrroja.

Aa JJM je neJbetbe yseK U ~ B O A J ~ U B O c~ynyNo Huje Ha npHMep, HeMa

npaponaor 6poja n TaKo na je 1 2= n . H a a ~ e , ana 6a Mopano Guru 2 n= .

6 Ha EiMaKy je jenaor nana nocejan 9eTspTu neo-ceraeae noapruuse.

Konmo xer-rapa je nocejmo aKo ceTseHa nospruIIHa nMa m xer~apa?

AKO oceja~a ospIuuHa aMa x x e r ~ a ~ a ,nna je m :4 = x .

8 A a ~ uy 6pojesu i 5 , 15, 8 h p a u y s a j ~ o

npoasson 36upa npsa m a 6poja ca ~ p e f i a ~ ;npoasaon pa3nu~e p a j ~ u xpojesa u cpemer;npon3son 36upa u pa3nnKe npsa nsa 6poja;

36up npou3~ona BHX p a 3 n ~ ~ u - r ~ ~aposa OBHX 6pojesa;

A B O C ~ ~ Y K HI P O H ~ B O ~psa ma 6poja;

T ~ O C T P ~ K Upou3son ~ p a j ~ u xpojesa;

KonuwtuK npoussona csa ~ p upoja u 36upa 9eTsopocrrpyKe pa3nuKe npsa

m a H neceTocTpyKor Tpeher 6poja.



200.15):[40+80]=

3000: 120=25.-

AKO e y s3pa3y nojasnyjy cse setups ocHosHe paYyHcKe onepawije, nos~a-

T HaM je, npem ocr d a j y MmoxeFae u nenese.

4.; Aa m cy 6pojesn: 5 475 n 25. Haljii W H X O B 36np pmnxy. II~OIUBOJJ H KOJIHWIIK.

8. Y jeneoj npoAaeH- wy mo cn 2 Jnn-pa coxa no 3 m a p a 4 n mp a m w n e Bone n o 2

WHapa n noraqaqa n o 2 nneapa. Y wynoanHy CH nomao ca 30 fiuuapa. K O ~ OU jeocrano nosqa nocne xynoeane?



YOYHMOenny nonynpaBy ca noveTnoM ra.rroM 0. Ha p acr o ja ~y n jennejemnlnne nyxu on Tav~e o 0 3 n a ~ n ~ oamy A ~ . tqyh~y n c r o ~ Mepy

O ~ H ~ Y H M Oa u e A , , A 3 , ...I An, ..., TaKo na je csaKa Taws Ha j e m w o ~

pac~ojany n npeTxonHe TavKe (cn. 1 1 1 ) : Ta wn nonenmo 6poj 0 Tavm A ,

6poj I TavKn A , 6poj 2, TawH An 6poj n , . Ha onaj nawH no 6a m CMO

4 3 A4 5 6 4 .

Cn. 1 11/

nonynpaBy ~ o j y e ~ o a3sarn 6 p o j e ~ ~ aonynpaBa (cn. 1.12). C B ~ K O Mpojy

onrosapa jewa Taws Ha 6pojennoj nonynpa~oj.YM~CTO:ayxa xoja omoBapa

6pojy n, m h e ~ oeCTO KpaTKO T O B O P I I ~ : 6poj n

6 -

0 2 4 5 6 7 8

Cn. 1 12

n p e ~ n o c ~ a s ~ ~ oa uMaMo y pa sm jemy 6 p o j e ~ ~ yonynpany TaKo na e

cse neHe Tawe ~ a n a s eWHO OA T aue ~ a oa cn. 1.12). On nsa 6poja m H n

6poj m je Mami on 6poja n , urro nuureMo m < n , aKo e 6poj n nana3n necno on .

6poja m Ha 6 p o j e ~ ~ o jonynpanoj. Kam e~ o: poj n mije Manu on 6poja m i r n ~

6poj m je MaKn unn jemaw 6pojy n nnrueMo m <n , aKo e 6poj n He wma3n

neno on 6poja m Ha 6pojes~oj onynpanoj.

3 ~ a ~ e, I , >, 2 3BaheM0 ~ e j e m a x o m - n .B n m i ~ o a je 3a 6nno ~ o j a

nsa p a 3 h w ~ a poja yseK je na ~neno on npyror. 3aro KaxeMo cKyn N o je

ypeqen.

a Ca cnn~ e,l . l2 .HAU ce na je: 2 ~ 3 , 1 3 , . 5 < 8 , 5 1 8 .

6 Hyna je. Ma%a on cnaKor npyror 6poja, ~ j . <m , m EN .

B Bw n e na je 35 (3 mj e neno on 3). A na JIM je 3< ? Hnje (3 ~ n j eecno

on 3).

Y ~ e c r o< 5

mrueMo n5>

3 n snraMo:5

je sehe on 3. YMWTO5

mrueMo n 5 3 n wraruo: 5 je sehe nnn j e n ~ a ~ onnn 3 nnje sehe on 5



a) 3a ~ o j epojese x saxn

1 2 1 x t 1 2 ; 3 8 1 x 5 8 ;

2 5 t x s 1 3 ; 4 7 < x< 7 ?

~3 l r o ~ o h pojesni nonynpase mmnMo na cy 6pojesu, ~ o j u ano~omasajy

naTe nejenna~ocre, nenehn :

6 ,3a xoje 6poje~e sa xn 2x>7

Y wipa3 2x crashaMo x= 1 x =2, x = 3. B ~ M Oa ~3p a306nja spen-

xocTn 2, 4, 6, a cse cy Mafie on 7. CT~BHMOu x =4, x= 5, n06wja~0:

8, 10 12, : cse sehe a sehe 6pojese. game, naTe nejennmocrn saxe 3a:

4, 5 6,~

~ a & e , xo ce 6poj n He ~a na 3a eso no 6poja m n 6poj m ce He nana-

3n neso on 6poja n o m a ce m n' n nomalrajy.

a) Ep oj e~ a 7 cy cycem 6poja 6. Aa nu csam 6pojm no m cycena?

Epoj 0 m a caMo jemor cycena. W M ~~ Hom 6pojesa ca caMo j e m CYCWOM?

6 O~n rne mo axe: 3 5, 5 t 7 u 3 t 7 . Aa yseK ~ m n n p m e w

m t p ?

3auc~a,xco je m neso on n n neso on p , om a je m neso OH p

B) Y j e m o ~aKy 6nn0 je m kg mehepa, a y n p y r o ~ k mehepa M=.

Konn~oe h n o r p a ~ a uno y n p y r o ~ary?

Aa M O X ~ H T U n > m ?

Y n p y r o ~aKy je 6m 0 m - n KKnorpa~auehepa. 3a m = n y n p y r o ~my

He 6a 6uno mehepa. He Moxe 6 e ~ n n .Pa3nn~am je U ~ B O ~ H B ~~ M OcnYiajy Kana je m .



6) U s p a r y ~ a j ~ opemiocr wspaa [2 (a ) (a 1)]: az- a ) 3a a = 6.

Crasmajyhu a = 6 uMaMo

[2.(6-1).(6+1)]:(62-4.6-5)=

[2-5.7]:(36-24-5)=70:7=10.

0 6 m npasoyraoHnKa ce u s p a ~ y ~ a s ao ~ O P M Y J I H 2 (x+y). 3 a n p e ~ u ~ a

Ksanpa je j e n ~ a ~ a. b c. Mspa3 2 (x+y) je u3pa3 ca nse npoMemnse, a uspas

a b c je uspa3 ca rpw npoMemwse. Bpemocr u spaa 2 (x+y) sa x =2, y= 3

je 2(2+3)=10. B p e ~ ~ o r nspasa a . b - c sa a=2 , b=3, c= 5 je 2.3 .5= 30. I

, a) Mspas (2x+y) x- ) 3a x= 3, y= 3 HeMa spemocr jep 6 u c ~ o a ~ e ~ u s a -

KeM Aarux spenHocrw ~ o 6 u h u 2 . 3+3) : 3 ), a nemeKe ca 3 =0 suje

U3BOQmUBO.

6 Y u3pa3y 2a-13 sa a={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o n e p a w j a o n y s a ~ a ~ a

~ ~ j es ~ o ~ m u s a ,a speAH0c-r oBor uspasa MoxeMo payyHaru c a ~ oa

a = 7, 8b9 10, . .\

Yecro ce spensocr uspasa ca npoMesmusoM o s ~ a ~ a s aeKuM CJIOBOM AKO

je npoMeHmnsa y uspa3y o s ~ a q e ~ aa x, a.spenHocr uspasa ca y, oypa c s a~ o j

spemoc~u poMesmnse x onrosapa spemocr uspma y (urn: csa~ojpemocru

npoMeIubuse x npu~pyxyje e j e ~ ~ apensocr y).

Aa GUCMO UMOR 6omu.apernea spemocr~:npoMemuse u on ro ~a pa jy bx

spewornu uspma, ca crasuhe~ o a 6 e ~ I y~ o j o j e ~ o awcars HeKe spemocrH

npo~e-use xi ~ o j eam usa6epe~0, KuMa onrosapajyhe speg~oc ru spma. ,

n e m a ~penasH-5km Ha 9ac. H a n m u ~ o3pas 3a uspa ~y~a sa tbepeljesor

iiyra sa spehie on racosa. -



AKO eruaK nyryje 1,2, ,4, , qacosa, oHna Be npebem nyr 6 s ~ ~ :, 10,15, 20, 25, km. AKO y~yje SacOBa, oHna he rrperjenu nyT 6ki~s km.AKOnpelje~nnyT 3a t sacosa O ~ H ~ Y H M Oa S o w a je s=5 . Ta6ena

B ~ ~ X H O C T Hspasa s HMa o 6 n n ~

3a np0MeHJbHBy t CMO ssa6pann BpeAIiOCTH: 1 2, 3 10, 15.

Heno je Mepno TeMnepaTypy T sa3nyxa y napHnM sacosmMa: 2, 4, . 22

TOKOM j e ~ ~ o raHa H YTBPWO cnenehe BpeAIiOCTII: 17 , 17 , 21°, 25 , 26 ,

28 , 30 30 28 , 20°, 18 . ~ P H K ~ X H M OBO no~ ohy a6ene .

1. R3pasynaj Bpemocr A3pa3a 5 a b ~ K OpoMeKmHBa a m Bpemocr 67 a npoMeHmasab spemocr 27.

2. R3pa-iyxiaj spennocr n3pa3a

a x z - 3 x + 5 sa x = - 2 ; 6 2 a b + 3 a + b a 0 - 3 , b = l .3. npanaxn ra 6e no ~pemocrn nspa3a y= 3 x 2 % a apen~ocrn'pOMeKJbHBe:

3.4 10 100 1000.

4. lT0nax.h on n a m Bp3UiOCTH npoMenn.me x ( n p ~ n en nposepn na JIH cy rarne~perurocrn are y r a 6 e n ~

C B ~ K HseHuK V1 oneheBa no6110 je jensy on oueHa: 1 2, 3, 4, 5 HaIISiCMeHOM 3aAaTKy H 3 MaTeMaTHKe. Y ieIUiKe 03HaYUMO PenHHM 6pojeen~a:

1 2, 20. Ta6ena ycnexa ssrnena oaaKo:

5. n p t k i w nyr nyrne nyluTeHe ca Bncxne on 200m na je f op~yJIoM s = 5 t2 C a ma n

ra6eny npel)enor nyra 3a nsa6pano BpeMe naro y ceuynnahta: 1 2 3 , 4 5, 6. &xmnanyra je nara y MapaMa.

Y-ie~rs 1 2 4 5 6 9

O q e n a 4 3 2 5 4 4 1 2 3 2 1 5 ~ 1 4 3 1 5 2 4

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 98



2.1. rEOMETPklJCKE QMTYPE KAO CKYIIOBM TAYAKA

r e o ~ e ~ p a j c ~ e ,mype a ~.axosliMeijyc06~~~ o c a , apanenHe

npase, ynpame ~ o p ~ a n ~ e )pase, pac~ojatae ayre on npase.

Beh CMO cpeTana n o j a ~raw;. TO <je e n a ~on OCHOBHUX r e o ~ q ~ j c ~ s x

n oj ~o sa . a y ~e e ~ o3nayasa~a enaKaM mTaMnanaM cnosaMa naTnHaue, A, B,

C H Ha CJIWW IfpefiCTaBJbaTH Kpy~lihliMa cn. 2.1). nocMaTpahe~0 ayKe K0je

cn 2.l.

C~ynose aqaKa ~ o j a n c ypas-

m ~ j . errpasne oncKynose npoci-o-

pa 3~aheM0 e o ~ e ~ p H j c K emypeHa

npeMep, c~ yrr=

A, B je r e o ~ e ~ p a j -c ~ a nrypa ~ o j ae cac~ojnon xse

Taae, A a B. OH aMa m a eneMeHTa

a . 2.2).

Eyxmn 0x0 330- x0 275 - xenencmMaTeiwaTunap. Ocmnas je r e o ~ m p ~ j eao

nayxe. Hanncao je neno EJI~M~HTH13 =ma

~ e l iMO y n o 3 ~ a n ~Hore r e o ~ e ~ p u j c ~ ewrype: npaay, pmaH, nyx, npaao-

yraOHHK, yrao, ~ p y x ~ ya ~ a j y ~ p y x ~ a q y ) ,OUKY, nonTy a cneyae.

17pa~a pasaH cy, Kao n Tawca,

OCHOBHH r e o ~ e ~ p l i j c ~ nO ~ M O B H .pase

A ~ M O 3HaYHTH ManliM CnOBUMa IIaTH-

ue a, b, c, p, q : . . cn. 2.3). P ~ B -

Hli h e ~ o3HaVaBaTli ManliM CnOBliMaCn .2. r p v ~ o r n +a 6e ~a , p y ... cn. 2.4 .



i npase a p a s m c y H e o r p a m q e H e r e o ~ e r p u j c ~ em y p e , n a m e , TO cyHeorpaHugeHa c ~ y n o s n asaKa npom opa.

Cn. 3 Cn. .4.

n o r u ~ o y npase CKynosa qaja cy eneMeHm Tame, j a c ~ oe mTa ,maqe

peqeaaue: Tawa A npanana npasoj p. Tawa B @unana p a s m a (cn. 2.5 .

OBOa a n u c y j e ~ o o 6 a q a je ~ o : A E p, B E . Aa 6a ce ose uu&eHuue caomn~une,Kame ce noneKaA a: n p a s a p npona3n ~ p o 3 a wy A. P a s a ~ nponm a ~ p o aTaqKy B . npasa p Mome npunanaTn pasHti a; Ta ce w m em ua noneKan nc ~m yjeu pesemsoM: np as a p nex ti y pa m a a . H TO TaKo ~ o m ee pelin: P a s a ~nponasu K P O ~ pasy p, un a, pasaH a c an px a npasy p. OBOce 0 3 ~ a s a s a a p c acn. .6 .

Cn. 5 Cn. .6.

l l p a ~ a je onp ebe ~a Ko ce anajy nse Kene pasnnm re r am e ( cn. 2.7 . AKO

je A ~p u B Ep, onna jet TO npasa onpebe~aTagKaMa A u B ; n a 6 8 ce osa

w em u a amaKna, npaBy p s a n a ~ y amaMa A a B 0 3 ~ a ~ a s a ~ oa p(A, B .

Cn. .7. Cn. 8



Pasm a je onpeijeaa aKo ce majy 6 ~ n o o j e p uawe ~ o j eoj npmanajy H

mcy Ha jewoj npaaoj. AKOCY TO TaYKe.A, B, ,C, name A E a a B E a C € a ,

oHna je TO paaaa o n p e b ~ a aaaMa A , B, C; paaaH onpeijeay TawaMa A, B, C

03aayasa~oa a A, B, C) (cn. 2.8).

AKOABe Tawe j e ~ ~ epaBe npunanaj'y pamu, o m & Ta npasa npHnaAa

PaBHa (cn. 2.9).

Cn 2 9 Cn 2 10

AKO MaMo pasaH a A, B, C) w a je onpeijesa a npasoM p A , B ) H TayKoM

C ~ o j a e npanana T ^ npa~oj;Tana pasm M OX ~M O O ~ H ~ Y U T Wa a p , C)(cn. 2.10):

I

Taulca rrpasa H paBaH cy OCHOBHH r e o ~ e ~ p w j c ~ wo j ~ o s ~ .Ipasa je onpebeeaca nBe c ~ o j e a u r n m e Tam e. P a ~ a ue onpeljeua c TP csoje pauuwme

T aw e ~ o j e c y ea je n ~ o j p a~ oj ;pasaH je onpebena H j e n u o ~ pasoM ~ o j aojrrpnnana H j e n n o ~ s o j o ~ awcoM ~ o j a e npnnma ~ y jpasoj.

A a ~ ey pa TayKe A, B, C ~ o j e e npananajy jen ~o j pasoj. K O~HK Oe

paaHw a KonaKo npasux o ~ p e b e ~ oUM ~ a w a ~ a ?oje cy TO npaae?

Oae ~ p u . ~ a r n enpeljyjy jemy -pasaH a A , B , C) a csaKe nse on axonpebyjy no jen~y pasy. 360r Tora cy OBUM TaqKaMa onpebeae cnenehe pa

npase: p A , B), A , C), r B , C) (cn. 2 1 1 .

cn 2 1 1 cn 2 12



IIonynpasa. YOYHMOa npasoj p (cn. 2.12) je n~ y amy 0 ; T~YKOM0 je

cKyn TagaKa npase nonemeH Ha TP noncKyna: p , , { 0 } , p,, na je p = p i u { O } u p , .

Tame ~ o j epananajy j e m o ~ n noncKynoea p,, p, cy ca ucTe cTpaHe Tame 0 .

KOcy M N 6uno ~ o j eBe Tame ~ o j erpar~anajy e m o ~n TUX noncKynosa,

onna Tama 0 mje us~eq yM N (cn. 2.13). MeQy~m,Ko Tawa M n p u n w

j e ~ ~ o ~Tawa N n p y r o ~n ~ex nonc~ ynosa,nna je Tama 0 ws~er)yM N

(cn. 2.14).

Cn .12. .

IIonynpasa je cuyn Tasaua ~ o j epunanajy npaeoj p a c a c r o j ~ e OA Taw e 0

a c s ax TasaKa ~ o j ey c ncre cTpaee TarKe 0 H a n a ~ o jrpaeoj TawoM 0 cy

om et e ee m e nosrynpase. O s ~ a s a s a h e ~ oX ca O p , om oceo O p , . aws 0

je nosema TasKa o6ejy OBUX nonynpaelrx.

KOe Ha npasoj naTa TasKa 0 ,

onna je M O ~ Y ~ H Os a 6 p a ~ umebeny

nonynpasy o n p e l j u s a ~ ~en~e n Ta-gaKa ca wsa6pme cTpaHe Tawe 0 Ha

m u . 15. je T yquweno H ~ ~ O P O M

Tawe P; TaKo usa6pa~anonyrrpasa

je nonynpasa OPCn 2.15.

flare cy rawe A, B, C npase p , Tame na je r a t ~ a ws~eqyA C .Haup~aTEinonynpase: 1 A p , B e A p ; 2) A q ; C 4 A q ; 3) Bs; A EB s ,

4 ) B t, A B t .



Ayx AKOHa npaeoj y o s u ~ o

nse Tawe A B (cn. 2.17 , onnaMoxeMo nocMaTpa-ru cxyn -ragaKa KO

je e nanase m ~ e l j y auaKa A a B.Cn 17

Ayx je cayn Tavaaa upme aojn ce C ~ C T O ~ Hn nee naTe Tavae A H B H ceux

TavaKa aoje cy ~ 3 ~ e l j yH X . awe A H B cy apajesn nyxu. Ayx mje cyupajesn A H B 03aas asa~ o a AB

Yecro e nyx 0 3 ~ a ~ a e ae n ~ u ~n o a o~ , e u u ~ o B = a (cn. 2.18) aao je

U ~ ~ C H Ooje cy rawe ~p aje sa yxa.

, Cn 2 18 Cn 19

3anasarae~ yxa san aj e~ o npasy ~o j o jHa npnnana. 3 a ~ o oxeMo nyxqp-ra-ru u He qp-rajyhu npasy ~ o j o jpanana.

nonypastut. Hexa je y pasmi- a naTa npasa p. OH^ y pamu onpeqyje nsa

cayna TaYaxa. 3a csaKu on mix eaxu na je c ~ y n agaaa paem aoje ce ~ a n a s eaucTe cTpaHe v a s e p. O ~ H ~ Y U M Ox ca a l a ITcn. 2.19).

Jlonypmau je c a p Tavruca. pawin' a aoju ce' camojn OA Tavaaa ueae npane

p p c u H C HX Tavaaa aoje ce ~ a n a s e paean ca ucre cTpane npaue p.

Y n a ~ ~ jasnn upasorti p onpeljeae cy me nonypaslur; 031iaqa~ahe~0X ca

p a OAHOCHO pa . npasa p je rpanwa jy nonyp@suH.

Aa ~ U C M O e onpenenwnn 3a onpeljesy nonypasax, A O B O ~ H Oe y~ a3a - r~a6ap jemy Tawry ~ o j ae n a n a s ~a a3a6pa~e a H e npase. P a e ~ o n p a ~ ~ oe Moxey ~ a 3 a . r ~a jenny Tawy aoja ce He nana3u ca u3a6pa~e TpaHe npaee. Ha JXH~H

2.20. je a3a6pa~a onypaeaH p a yaa3aeaneM Ha Tawy T.

Cn 2 20 Cn 21



l lonynpoc~op H e ~ ae naTa pasaH a. T m e cy y npoc~opy npeljesa nsa

cKyna TaqaKa S u S2 (cn. 2.21 . 3a csam on ~ u xarn na OH npencTasfia c ~ y n

TaqaKa ~ o j ee ~ m a s e ucTe cTpaHe pamu a .

nonynpocrop je cKyn TavaKa ~ o j ue c a c ~ o j u A TaqaKa ~ o j e pmwajy paanu

a u CBBX ravaKa ~ o j e e eanase c ncre crpane pasm a . , ITOM paellw aonpeljena cy m a nonynpocropa 0 3~ al la ~a h eM ox ca a s H US . P a ~ a eje rpanuua 3a 06a nonynpocrropa

3a onpenefiasaEae 3a j e n a ~ n noJry-npocTopa Moxe nocnyxu-ru, Kao H pa~kije,

, j e n ~ aTaws ~ o j a e ~ a na s u a ~ s a 6 p a ~ e

CTpaIIe paBHU. Ha C J I M i 2 22 ~ 3 6 0 ~ 0 ~

Tawe T onpenemnu MO e 8 nonynpoc-TOP S . J ~ C H Oe na u cana Moxe o ~ a ju36op na ce u3spuy pa3usa1be~Ha jennyTawy ~ o j a e npunana u s a 6 p a ~ o ~ony-

cn 22npocTopy.

n p u ~ e p

Y cy n a ~ e pd ~ a r ~ e, B, C. El C

Konmo m a n y m ~ u j uy ~pa jes u aTe

~ a w e ?

Tawce A, B, C ~ o r ypkinanaTu jen~o j

n p a ~ o j He npunaaa-ra jemoj npasoj

cn. 2.23 . Y 06a cnyvaja ceaKn nap o s w

Tasaxa onpeljyje j e m nyx 36or Tora cyTasKaMa A, B, C ,naTe nyxa AB, AC,, BC.

d

y aBHH CY AaTe ICTHPH Ta lKe A, B, C, ~ 0 j eY TeMeHa KBmpaTa. Konu~oje nonypasm Te pasm onpeljeso npasaMa ~ o j ey onpelje~e HM T ~ Y K ~ M ~ ?

Koje CY TO ~TOSIYPIBHH?.

Cn 24 Cn .25:



- IC s a ~ e ee on namx TasaKa onpebyjy jen~ynpasy na je namM TasKaMa . I

onpebe~ocneneh~x uecr npasnx: p, (A, B), p,(A, C), p,(A, D), p4(B,.C),

ps(B, D , p,(C, D). C s a ~ an TUX rrpamx onpebyje no m e nonypamu, na EiMaMomaaaecr nonypamti. Kopec~eR~e 0 3 ~ a ~ a ~ ao ~ o h yeme Tarute ~ o j apunana

mHe npenana) nonypasHti, MoxeMo HX O ~ H ~ W T Ha cneneh~Hamn:

Ha npmep p2a4 je nonypasan ~ o j yMO Ha cnww 2.25. mpa@~pam. y

onpebyje npasa p, npnnwa joj TasKa D:

1 Y pasun cy naTe VeTupu Tawe A B, C, D Konw~owMa nyxn wj u cy ~pajesuTe ~ a q ~ e ?

Koje cy TO LIY]I (H?

2 A a ~ ey TPH rawe ~ o j epnnanajy jemioj n pa~o j jewa aws woja He npanana TO^ npa~oj.

K o m o e pasen Konawo npaBm onpe eso T M TawaMa?

3. Aa nu csaKe nee rronynpaee onpetyjy j e w paeaa? Aa nu nomoje Tame nse nonynpaee

~ o j enper)yjy e ~ e y asan?

. Y npocropy y naTe, se.r_upu Tawe. Konmo je n a j ~ a n e K O ~ K O ajewe npasmonpewrio THM ~ a w c a ~ a

5 Y KaKeoM cy nonoxajy ~ ~ T PaqKe y pasea aKo cy mmsa naTe neTupu npase?

. J(a nu y orenehe penemue awe?

1 C s a ~ aYX H raws Ban b e onper)yjy jerury pasae.

2 Csawe rise nymn o~peIjyjy e w pasan.

3) Csawe TPH rawe onper)yjy jenny pasae.

4) C B ~ K ~PH TP'IK~,oje e npananajy jennoj npa~oj, npebyjy jenny pame.



2.2. YHHJA IIPECEK H PA3JlHKA CKYIIOBA TAYAKA

AKOaMaMo nse nyxn AB a C D , MoxeMo nocMaTpaTa cKyn TasaraA B u C D . To je, Kao LUTO s t t a ~o , Kyn TagaKa ~ o j e pana~ajy6ap jewoj ox

T UX J yXH. n p ~TO ^ je M O ~ Y ~ H Oa

nyxn ~ e ~ a j ya j e ~ m i ~ ~ a xaqaxca, na

@n ~ a j yenw sa je mw ~y awy a m xaq&; &~ y na j e m ~ r a xavaKa 6yne nyx. Yc n y ~ a j e s a ~ aIpnKmamM Ha cnam

2.26. je:

b

o A B n C D = @ ; loC

2 A B f i C D {P};

3 A B n C D = ( B ) ;

O

A

4 A B n C D = B C .

0 6 p a r u ~ o axfiy Ha cnyvaj 3 . Ty ce .Tawca B noKnana ca TarKoM C , ~ j .YXN u ~ a j y

Tawo jemy s a j e n ~ a r ~ yawy a Ta jt Tasxa

~p aj fi a a o6e nyxa. Y TOM cnyrajy Kaxeyo

T ~

B

na cy nyma A B H C D ~ a n o s e 3 a ~ eewa Ha LO O

npyry J a c ~ oe na Tana ~ y m D MoxeMo A C E

ossarmn H ca BD cn. 2.27). Iloc~a-rpany

ymjy A B u B D o s ~ a v a s a ~ oBD.Cn 26

<

AKO MaMo same ~ y x a j e ~ ~ o jas-Ha ~ o j e y, penoM, ~anosesa~eema Ha -npyry Ha cnam 2.28. cy HaqpTaHe rIempaTame HPH) x-mxosa yu j a xaje c ~ y nagaKay PaBHU K O ~ H30BeMO H3JIOMfieHa JTK?U fjZf

ICarnac~o ~ ReyeHoM, a3nomeHy rm~njyca r ime 2.28. 0 3 n a ~ a ~ a h e ~ o .a ABCDE. ,

Cn 27 3anama~o ce K O ~Be nn ~n je yxa BC

U

S

01 .28. Cn. 2.29.



n DE c a y y ~ e ~ o jawn F; KaxeMo na n s n o m e ~ a nx~ jaABCDE nMa jemy

Tamy y Kojoj cahia ce6e m e , EUIH Aa nMa jewy Tanq CaMonpeceuana. Rsnome-Ha nmnja PQRSW Ha cnnwi 2 29 cac~ojn e on neT ~ X Hn neMa TavaKa

caMonpecesaKa.Ko ce y 113nome~ojmmjn npsa H nocnemba Tawa nomone, TO je

M oroyrao a (nomrro~an~a)nmja. BEWMOna je TO s a ~ s o p e ~ a3 n o m e ~ am ~ ~ j a .Ko e y ~ 3 no m en o j ~ n j npsa n nocnema Tawa He nolvranajy, Ta jem ~ n j aTBopeHa.

Epoj nyxn y ~ ~ or o yr ao n ojnmju naM o s n a ~ ~ aO ~ K Oe TO ,,MHo~o .AKO X je neT, TO je neToyraoHa n~nuja.Ha c m m 2 30 je HaspTaHa ne'royraonam n j a ABCDEA Ona nMa jenny TavKy y ~ o j o jaMa ce6e w e

Cn 30 I Cn 2 31

Mnoroyrao~ammuja PQRSTP na &a m 2 31 HeMa TaYaKa cmonpeceqma.T a ~ s a j a xpebyje y pamn Asa myna Tayara; j e ~ a se orpamYeH n cac~ojneOA TaYaKa ~ o j ey , ,y ~y~ ape manje, OK je Apyrn HeorpannneH cac~ojne onTaqaea eoje cy , , H ~ B ~ Hnnje. Ha m m y Ta Asa cKyna rupa@npaaapa3nnnnTo.

Y sa~l rc~ocrnn 6poja nymn ~ o j e nne rpamsyMnoroyrna nMaMo Tpoyrnose, YeTBopoymose, neToyrnoseHTA. Ha c m m 2 32 HaqpTaH je no j e n a ~ poyrao, ueno-poyrao n neroyrao.

nolr r~oe san asa ~be ~noroyrna sana~a nerosarpaHnsa H O~PHYTO,oHeea,q ce Mnoroyrao a m mj a

sose MHoroyrao. 3auc~a, pah he je, Ha npnMep, pehnTpoyrao Hero Tpoyraona nnmja.

c 0 6 3 ~ 0 ~a je MHoroyraoHa nHHHja (a TuMe n

~ ~ o r o y r a o )a na ~a a j e s n ~ aryxn on ~ o jn xe cac-rasme-Ha, ~noro yr aoh e ~ o 3~auasa-r~o ~ o h yTHX ~ayaea.

Ha m w 2 32 m a ~ o a u p ~ a ~ epoyraoABC ( o ~ a ~ a a 32



A A B C , qe-rsopoyrao DEFG (osaa~aO D E F G ,neroyrao H J K L M ( o s ~ a ~ aI H J K L M . Has~aqe-

we TaqKe cy TeMena MHoroyma. ~ o j e6pa-

syjy rpamqy MHoroyrna cy w r o w q a m i q e

Ha nm 2.33. H W ~ T ~ He Tpoyrao ABC.

A T a q ~ e , B, C cy ~ e ~ e ~ aTO^ ~poyrna yx AB,

Cn 33 BC, C A cy werose crpmue.

O6nac~MHoroyrna je clcyn Tavarca MHoroyrna rcoje ne npwnanajy w r o ~ o j

rpanwlnr.

Aa~ ne, 6nac~MHoroyrna je pasnu~amyna TaraKa MHoroyrJra u mynaTavaKa serose rpaauue.

Y ~ H Ucy AaTe TPU TaqKe A, B, C ~ o j eHe npunanajy je n~o jnpasoj.H a s e m ~ o ap TPU pa3nu 1u~eu 3 n o ~ m e ~ eI H H U ~ ~ ~ p e l j e ~ eRM TawaMa.

Ha cmuu 2.34. HaupraHe cy u 3no~neae suuje ABC, CAB, BCA, ABCA.

Cn .34.

Y pamu cy h a ~ e asKe P, Q, R , S, T ~ i oa cnwm 2.35. l l o c ~ a ~ p a j ~ oa 3 n o ~ n e ~ eu~uje: 1 P Q R S Q ; 2 R S T R ; 3 P Q S R T P ; 4 R S T P Q R .Koje on osux nmuja onpeljyjy ~ ~ o r o y r a o ?

CJI .35. Cn. 2.36.



1 Rs nome na mnuja PQRSQ a..36) mije s a ~ ~ o p e ~ a ,a He 06pa3yje

Mxoroyrao. Y msapu, en neo, nunuja QRSQ, o6pasyje Tpoyrao, ~JIH R e ona.

Cn 37 Cn .38.

2 M 3 n o ~ ~ b e ~ aunuja RSTR (cn. 2.37)

onpeIjyje rpoyrao STR

3 R3nomena nmuja PQSRTP (m. 2.38)je s a ~ ~ o p e ~ a ,rame, TO j MHoroyraoHa nu~aja.

h a , noruro o ~ a M ~ a g a ~ aa~onpecesaba, e

onpeqyje moroyrao.=

Maoroyraowa n m ~ j aRSTPQR je 3a- P R~ ~ o p e n a~ e ~ aa ~ a ~ aa~onpeceuawa a onpe- Qfjyje Maoroyrao (cn. 2.39).

K a ~ e ae cse ~ ~ o r o y r n o ~ uory A O ~ U T UBaO npece& nsa rpoyrna y pasm?

llpeceqn Mory UTH TpoyrnoBa, verBopoyrnoBn, neToyrnosu a urecrop-no-sn (cn. 2.40 .

O C



1 Y as m cy nare qernpn rawe A B C D on K O ~ H X n ~ o j ePH He npmanajy jemoj npaaoj.

H a ~ e wo ner ~ ~ O M ~ ~ Xmnja aKo:

1 cee naTe Tawe cy TeMeHa m x n u ~ ~ j a ;

2 ' ~ n c y e naTe Tawe Teuena r m n ~ ~ n j a .

Cn. 2.41. en. 2.42.

3. Tame A B C D E F pacnopelje~e y y paBnH Kao Ha u2.42.

n o c ~ a ~ p a jnenehe U ~ J I O M J ~ ~ H ~unuje

1) ACBFDE; 2 FACDBE; 3 ADCBA; 4 C F B C ; , 5 ABCDEF.

Koje cy on snx ~noroyi-aone m je , ~ o j ey n3n omn e mmje 6e Taqana worrpece -

&a a xoje on s onper)yjy ~noroyrao?

4. Y paBHH cy naTe TalrKe A B C D E y nonoxajy Kao Ha cnnu.2.43. HaupTaj 6ap ~ l a a

Mnoroyna lruja cy Teuena y naTnu TalrKaua.

Cn. 2.43.

5 Haupraj m a rpoyrna y paBHn qujn je npecer: 1 neroyrao; 2 memoyrao.

. Kamn e se MnoroymoBn Mory n o6n~n ao npe em jemor rpoyrna emor Pe7aopoyr-

na y panmi?



2.3. K PY X H A ITMHMJA KPYX HM UA) I I KPYT

Kpymua mm ja ~p ym uu a) onynperlwiKa r ca w m p o ~ Taws 0 e c q n

CBHX TaqaKa y paBHn ~ o j ey ~a pacrojmy r O Tame 0 awa 0 e lrerrrap

a r je nonynperm Icpysue mmlje. Kpysuy m u j y wju je lremap 0

nonynpesnuK r 0 3 ~ a s a s a ~ oa k 0, ).

3a apTane Kpyxne n m ~ j e o p u m u ~ oemap. 3a ce uy Tawy M E saxu

na je nyxnna nyxu OM jennara r cn. 2.44).

C R ~ K ~p yxm numija onpeqyje nea myna TayaKa y pasliu. Jenas on TUX

cKynoea je orpasuves H npencTaesba cKyn TavaKa T y pas- ~ o j ey canpxaiie

yHyTap KpymHe rmnuje a npyrn je ~ e o i - p a ~ n v e ~npenc~aen,a cryn TavaKa s y

PaBHH ~ 0 j ey H3BaH KPYXHe J I u H H J ~cn. 2.45).

K p y x ~ auyuja jesaTsopeHa Kpusa nasuja. Osa je rpasuua ccnoMeHyTa nsa

myna TavaKa y pansu.

Kpyr nonynpernma r ca UeuTpoM y TarKm 0 e acyn ceux TaraKa y paenn

~ o j e pnnanajy rcpyxuoj ~ H H H ~ H 0 , r) H ~ Ue ~ana3e upap Te Kpymue

nunuje. O ~ n a ~ a0, r).

C s a ~ aavKa T Kpyra K(0,), ~ o j a

He npHnana ~ p y x s o j u~ uj u k(0,, Ha

pac~oja~hye MaheM on 6 r o uempa

Kpyra. 36or Tora MoxeMo pehu na je

Kpyr K (0,) CKyn CBUX TaYaKa y PaBHK

~ o j ey Ha p a c ~ o j a ~ yaheM un jema-KOM r O J ~ e s ~ p a cn. 2.46). cn. 46



Kpyxua rmu~jak (0, r) je rpauwa Kpyra K(0 , r).

C ~ y nBHX TaqaKa lcpyra K (0, r) Kojerue npmanajy bero soj r p a t i w (0, r)

je odnacr TO^ Kpyra. 0 6 n a c ~ pyra je C I C ~ auma K(0 , r) k(0 , r).

Kpyr upasa. n o c ~ a ~ p a j ~ op a ~ ~ apyr K( 0, r) a npasy p (cn.2.47).

J e ~ o c ~ a s ~ o c ~ aann'nacahe~oK yMecTo ~ ( 0 , ' r ) k yMecro k(0, r).

C r y n o ~ a anara K p y pa ma Mory ce cehw ann He ~ o p a j y . KO O

n e ~ a j y ajenmwwx TaqaKa, narne, aKo je Knp=@ , o w a npaBa p H rpyr K

n e ~ a j y ajenmwax TaYaKa na ce p y o n ~o cy a K nanaziw y nonoxajy npara-

~ ~ H O Ma 1 . AKO e rpyr K H npaea p cery, onna je npeceK Kpyra npaBe nyx

PQ (nonoxaj 2 ). AKOe Knp= TI, Hna npaBa ~ p y r aj y jemy sajenmwy

Tawy T (nonoxaj 3 ). A a ~ n e :

1 [email protected]~oja~be npaBe on Tawe sehe je on r, d > r (cn. 2.48).

Cn; 2 47 Cn 2 48

Cn 2 49 Cn 2 50



3 K n p = { T .

Y OBOM cny~ajye u knp= { T . i Ipasa je Ha pacroja~y e m a ~ o ~on

Tame O . Tana je p T a m e m a Kpyra K , ona nonupyje Kpyr y TasKu T W ~ O a

je d = r (cn. 2.50).

I I p e ~ e p

npasa p cese ~ p y r no n y m

PQ. U l ~ ae npeceK npase p u

KpyxHe mauje k? Cn. 2 51

Il pe ce ~ pase p u KpyxHe a u ~ u j e

knp= {P, Q) (cn. 2.51).

I I p n ~ e p

HaupTajMo ~ p y r nonynpesauKa

3 cm ca ueaTpoM 0 , U npasy yna-

IbeHy 2cm on qeaTpa 0 . (Konu~o

T ~ K B U Xnpasux ma? ) U l ~ ae npe-

ceK rrpase xpyra? W M ~e ~ ~ o ~ a q -

HO M H O ~ OTaKBux npaaw. n p e c e ~

npase u Kpyra je nyx PQ cn. 2.52).Cn. 2 52

1 Y paen n cy naTe Ta w e A B. H a u p ~ a j PY)I[HY n m j y (A ,AB).

2. Y p ae m je n ara upyxna nunxja k ( 0 , r) H npaBa p aoja c a n pw rawry 0 . IJIra je n p e c e ~npaee p u xpyxne mrxnje k ?

3. n p a w p H ~ p y rK np~na .qa jyenxoj paexs. np ae a canp xu Tawy T xoja npmanao6 na cm x p p a . Ulra je npecex npane xpyra?

. n p a e a I cere- xpyr K 0, ) no nyxu PQ H canpxcn r a w y 0 . Konmca je -Ha L[Y]K PQ?

5. n p a w p e nana3u Ha pa c~ oj al ay 3 m o n uexTpa q y w e m j e k(O .5 cm . D I T ~e

npecelr npaee H x p y x n e n ~ n u j e ?UIfa je npecex np aw xpyra oq xlj euo r TOM K PY ~ HOMJ L H H H ~ O M ?

Asa Kpyra y pamu Mory s a y s u ~ a i uasae ~eqyco6ae on jxaje. H e ~ ay TO

~pyrosu , 0 , , , ) K , O , , r,) . O s n a s u ~ oa d p a c ~ o j a ~ es~ el jy emapa 0 ,

0 , nOCMaTpaHHX KppOBa.

3' 35



6. Y cnpajy 5 ~ o r ye ueHTPHi noKnonmn. Ta m je pac~ojakbea&ebY

uen-capa jemaro nynu a TaKsu ce ~ p y r o e ~0ey KoweHTpmwi.

d=O (cn. 2.58).

Cn 2 57 Cn 58

h 0 Cy KPFOBH kl H K2 J ~ A H ~ K H Xonynpelieura, OHna ce nocnema Tpu

cnyraja cBone Ha jenan; y cea Ta T W cnysaja npeceK je ueo Kpyr ( j e n a ~nn npyru,

jep cy o m Tana n o ~ y n a p ~ ~ ) .

Ha UCTH HarUH MOXeMO IIOCMaTpaTU m e KpYXHe JlUHUJe y PaBm BUXOB

M ~ ~ ~ Y C O ~ H Honoxaj. AKOKpymHe n u ~ ~ j eHCY j e w a ~ n x onynpennnKa o w a y

cnyliajy oHe ~ e ~ a j y~ ~ ~ H H H Y K H XaliaKa, y cny~ifjy2 u ~ a j yewy sajenmmy

TauKy, y cny ~ajy n ~ a j y e 3a je wa s~ e awe, y cnysajy 4 ma jy jemy sajeammy

TauKy, y cny~ajy ~ e ~ a j ya j en~ us ~ nxanaKn a y cnyvajy 6 ~ e ~ a j yajemun~sx

TaraKa a KoHuenTpusHe cy. AKO cpyx~e a ~ u j e a j y j e w a ~ eonynpeswwe, oHee y c n y r a j e ~ ~ i ~ a5 u 6 nomanajy.

Pac~oja e 3~ et )y eHTapa 0 0 upyrosa K, (O,, cm), K, (0,, 4 cm)

jenna~oe cm H a u p ~ a m nary. 1IITa je npeceK K,nK,? I I IT~e ymja

K1uK,?

Kpyro~u e ~ 0 ~ U p y j y3HyTpa (cn. 2.59).

K ,nK2=K, ; K ,uK2= K .



3.1. YrAO HACTAHAK, EJIEMEHTM, OSEJIEXABAlhE)

no~ryrrpasa yrao. . U p ~ a ~ ernosa, s p n e yrnosa.

C B ~ K O ~ H ~ B H Oe KOPHCTH peq yrao: yrao srpane, yrao use, yrao nsejyynqa, yrao rona CJI. BU.ZWMOa KoMe 03nasasa~o- a ~ y~ o x n a - ~ e n y

OKO~EIHY)xojoj e rise rpaxnnHe xunnje nocMaTpasor o6jexia cexy (cn. 3.1). Beh

y ApyroM a ~ p e h e ~aspeny qyna CMO 3a n o j a ~rna y MaTeMaTarpi. C m a ~ a ~ oa

ce peq yrao y MaTeMaTunu ~ o p u c r a HeruTo npyravuje~ MUCJIY.

B~nenu MO na csaxa npasa ~ o j a panana ~ e ~ o jama nena ~y paeaH Ha

nse nonypasna.

Y O ~ BMOP ~ B H H Tawy 0 ABe p,a nu~ u~eonynpase qaja je noyema

ams 0 s ~ a q a ~ ose nonynpase ca Op a Oq (cn. 3.2). Y ~ a j aaqaKa TUX nsejy

nonynpamx je

1) n 3 n o ~ m e ~ amnaja axo nonynpase He npnnanajy jemioj npaaoj;2 npasa, aKo nonynpase npuna~ajyennoj npaaoj.



mja ~ o j apencrama ymjy mejy noqarpmnx dp 0 q j yraona

mmja pOq (w. 3.2).

Tawa je Teme Te yraoue m ~ j e .onynpaee Op Oq cy lcpalw Te yraonen~mje .

E ip lu ta p~ aMan Eernhard Rieman Georg

Friedrich, 1826- 1866) leMaqmMaTeMaTnuap. Aao je @ynna~eiman~e

p e 3 y n ~ a ~ ereo~e rpwj a ~eo puj a pojeea.

C s a ~ aonynpasa O p ~ 6 x ee s a a a ~ uTaqKOM H AHOM OM 6 ~ n o O~OM,aSKOMP Te nonyrrpase (w. 3.3). Y TOM cqwajy

npnyllpaBy Op MOXeMO O3HPUiTH a OF.

c n 3.3.

AKO y nonynpaee O p H Oq sana~eTagKoM TaqKaMa P Q, ~ o j epnna-

najy, TnM peaoM, nonynpasma O p O qo w a h e ~ o a ~ a j agnu 3aaafy yraoHy

nwalrjy pOq 03narasa~w ca POQ (cn. 3.4).

cn 3.4.

a s e npase a H b c e ~ ye y TagKH 0 . K O ~ H K Oe yraonnx nw~wja aTo Ha rajH ~ Y H H ?oje cy TO yraone nn~uje?O ~ H ~ W M Oa O p H O p 2 nonynpax

onpe@ue TaqKOM Ha npaeoj a a ca 0 4 1 H O q 2 nonynpa~e a ~ e @ ~ e

TawoM Ha npasoj b. Oma ce Moxe YOVHTH (w. 3.5) cnenehux mecr

yraomx n~n nj a: 0 p 2 q 1 0 q 2 p O q lP

Oq2 P ~ O ~ I2 O q 2 .

Gn 3 5 Cn .6.



TeMe~aKBaApaTa cy Tawe A, B, C, D (cn. 3.6). H a b ~ ~ oee yraoHe nunuje

ca TeMenoM A onpehne THM TawcaMa. TO cy CJIe~ehe P yraone J I ~ I H H ~ ~ :AC,

BAD, CAD.

AKOe y paem naTa jema yraosa mstija, o w a cy TnMe onpebs a m a cKyna

rasawa y T ^ paenn. AKO ~ p a u ~raoHe n ~ n ~ j ee npnnanajy je n~ ojnpaeoj

(cn. 3.7), o m a jenan on T X CKynoea uMa C B O ~ C T B Ona MY He np ~ nw a jy poxy-

xeuu nonynpaeux ~ o j e 6pasyjy ~y yraony n m j y (cn. 3.7a), AOK npyroM on

~ u xH nponyxeuu np~n ana jycn. 3.7 6) .

Cn 7

AKOKPUH yraone nunuje npenanajy jennoj npaeoj, o w a cy noMe onpebe~e

nee nonypama. Ha cnem 3 8 cy -re nonypaeHu ~ ~ ~ M Y M T Opa4apa~e.

AKOe nara jenxa yraona naauja, owa sa csaKe nse rawce ~ o j epunanajy

j e w o ~ n cnoMexyrux noncKynosa paeaa, onpet)eaux TOM nunujo~,KaxeMo ,qa

cy c ncre cTpaHe yraoHe

nrrnaje. Ha cnuw 3.9a)

Tawe A H B cy ca HcTe

crpane~ Y K ~ raone cy n j ea ~ o b e~ qa q Vae crpane -re yraone JIKN

mje. Ha cnumi 3.9.6) Tar-BO 0

~e M H N cy ca pa3~ux1

crpana yraolre n ~ ~ n j e0 s 6 CJI.3.9.



Yrao je ywja yraoHe numje H crcyna C HX TaqaKa y paam ~ o j ey ca mcce

cTpane Te yraone n ~ ~ u j e .

AKO je p O q yraona nunuja, onna cy KoMe onpeIjeaa ;ssa p a . AKO

nonynpase O p u O q He npunanajy jeniioj npaaoj, o ~ a j n UX yrnosa n o j e ~

He rrpwnanajy nponyxewi nonynpaswx O p O q 3 s a h e ~ o ny6sbee yrao. hero-

sa yraoaa nuawja je pOq cn. 3.10a) a 03~aqasace ca p O q . Apyrw yrao

3saheMo HcnynqeH yrao. he rosa yraoHa nueuja je pOq kl osaauaaa ce ca E p o qcn. 3.106). AKO nonynpaee O p O q npunanajy jennoj npaaoj, Ha o m cam

HawH ce He Moxe OnpenaTu Ha Koju on nda io6ajeaa yrna m c n u ~ o . a ~ H M O

TO^ a m a y n p y r e ~ s ~ y a s w j a ~ aana He s ~ a ~ oa ~ o j we on no 6a je ~a sa yrna

Macnu, onpemna xesbenu yrao, yserulie~o o j a ~ 6nac~ u ma.

06nac r yrna je crcyn ceHx TaraKa rcoje npsnanajy yrny He np~nanajy

beronoj yrao~oj H H U ~ H .

AKO H ~ M OraoHy ~ ~ n ~ n j yeKor yrxa n j e ~ ~ yawy ~ o j apanwa o6n ac~ a

TOT yrna, o m a je yrao onpehea. Ha cnuqe 3.1 1. rupa@apa~e yrao uuja je yraoHa

n n ~ a j a O q u TarKa npunana o6namu yma. To je, Kao mTo snmMo, yny6mea

yrao ca yraoHoM n n ~ u j o ~O q . Ha cnwqu 3.12. rupaQupan je yrao quja je yraona

Cn 3 11 Cn 12



nunaja pOq a Tawa S npanana o6nac~a ma., To je, Kao LUTO BUAUMO,icnynsen

yrao ca yraonoM n m j o ~O q . Y cnyrajesa~aKana e yrao sanaje Ha oBaKaB

HawH os ~a ra sa li e~ oa ca p O q T ) , O ~ H O C H O < p O q S ) , UITO nmaMo: yrao

wja je yraoHa m m j a pOq a aws T npanana 06nacrs yrna o m o c ~ o , rao wjaje yraona mnuja pOq a Tawa S npunana o6nac~u ma.

AKOe pOq yraoHa m ~ a j a eKor p a , o m a je Ta nmaja r pmwa p a ;sak~c~a,Ha orpamsasa yrao.

AKo je p 0 q ; yraoua neurtja yrna H nonyrrpase O p H Oq tie npunanajy je~uoj

nga~oj, una om ar aa a~ o a X pO q y ~ y 6 s b e ~calX p q Hcnynveu yrao onpegee yraonoM ~ H H U ~ O M q

AKOe pOq yraona nnunja ' ma H aws T rrpHnma 06nac~nTor yrna, yrao

03uavasa~o a pOq T .

On paauje ~ H ~ M Oa ce (cn. 3.13 yrao osearaaa omosapajyha~ H ~ K O M

AenOM KpyXHe J I HH u ~ ~

Cn 13

m y emoc~a~n~r je racaba n naKurer ciropa3y~esaba, rao e sec-roosaasaaa ~ O C ~ ~ H U MJlOBUMa, 0 6 ~ 4 ~ 0aJIUM CJIOBUMa rp4KOr anQa6e~a:

a - WiTaMO ~ @ a ;l iWTaM0 6 e ~ a ; y - iWTaM0 TaMa; b - iUTaMO AenTa.

Ha npaMep, a = ~ p O q , CXsO, t (cn. 3.14 .

Cn .14.



T e ~ e Kpalla yraoHe n un ~ je y T e e H ~ p a 4 ~rm wja je TO yraoHa

nna~ja .Y neKuM npHnHKaMa yrao ~ o x e M o snayasarw caMo O ~ H ~ K O Ma TeMe

yrna; TaKo noc-rynarao y cnyqajesn~aKana je H ~ B ~ C H OTa cy Kpaw H mra je

o 6n ac ~ rna. Ha ~ a jaYuH h e ~ o ,a npmMep, p O q osnaqaaaw ca O, m ~ o

mTaMo ,,yny6me~yrao ca TeMenoM 0 Hnu ,,yny6men yrao ca TeMenoM y

Ta'IKH 0'' .

Y pamn cy AaTe ~ p ua3nuswTe nonynpase, ~ p ,9 , O r . Konmo je y rxosil

Ha ~ a jannn onpeljeno? Osnaqn~u X omoeapajyhm snaKosuMa.

1 AKO~ e l j yBHM nonynpasaMa HeMa nBe nonynpase ~ o j epnnanajy jemoj

npasoj (cn. 3.15 , oma cy % m a onpeljen~ mosu: \

AaKne, wecT ymosa, no ~ p n~y6mena Tpn ncnynqena p a .2 AKOme on THX nonynpasnx, peunlrlo O p u Oq npnnanajy jeneoj npa~ o j

(cJI. 3.161 OWa HCTO TaKO HMaMO AaTHX LUeCT JTJIOBa, On K O ~ H XnBa

npencrawajy nonypasm na, aKo ce KO~KCTUMOyraomM n ~ ~ ~ j a ~ aa

KHXOBO OsHa'iaBaIbe, MOpaMO nOnaTHHM nOAaTKOM, PeUHMO 3maBaIbeM

jeme Tawe ~ o j apunana o6nac~u rna, onpemTIc ~ o j u n Ta ma yrna

. nocMaTpaMo. Ha cmrur CMO o 3 ~ a ~ s n a O q ( R ) .

Cn. 3.15. Cn .16.

n p ~ ~ e p

Y paBnH cy nosygene npase xo j n ~ a

np~nana jy rpaHwe KsanpaTa BCD

npase AC H BD. H e ~ ae npaBe AC

H BD c e ~ y Taqxir 0 . Osnaqn~ema-

KOM yrna FIR IJPT~KYH CJlOROM I'PSKOI'

an(ba6e~a rnoBe:

1 B A D ; 2) 3A C B ; 3 O C ( B ) ;

4 ) < B O D ( A ) . Peme~e rrraa~a3n~o



p n ~ e p

Y paem cy AaaTe awe H npaee Kao

Ha cnk ur 3.19. H yrnoBn 03naqenu

o m o ~ a p a j y h n ~H ~ K O B U M ~I T ~y

TeMeHa a ruTa Kpauu yrnoeaa

By

Ha~mrnn~ep;roeapajyhs 3 ~ a ~a

csaKe on THX yrnoea n0 ~ 0 h y rao-

He mrmje.

a= 3B A C , Kpam cy nonyrlpaseAB M AC a TeMe je aws A;

B= * A B D , Kpase cy nonynpaseCn 3 19

B A H BD a TeMe je aws 3;

y = < B E D A ) , Kpaun cy nonynpase EB ED a TeMe je aws E .

JJEHTPAJIHLI YTAO. KPYXHLI JIYK k TETLIBA.

llPEHOIllE E YTJIOBA

Beh CMO yno3~a.11~o j ~ o s e pyra H KpyxHe nmuje (~pyxc~we)KnxoBe

ocHosne eneMeHTe: uemap, nonynpevnnu H npewur. Hena je y paem naTa

KpyxHa m m j a k 0 , r ) (cn. 3.20) HeKa

cy O p u O q nee nonynpase y ~ o jaRm

n ~ ~ ~ ~ X H U Y K U Moye-rKou y Tawn 0

Onlra, osrrmenrro, nonynpasa Op cese,k 0,) y ~ e ~ o jarKK P a nonyrrpasa Oq

cere k 0, r) y ~ e ~ o jawu Q. Yrao

O ~ H O C H O POQ je o ~ p e g e ~a ~ a j

HaYHH UeHTPOM 0 KPyTHe J I U H H ~ ~He-

KUM KeHUM MeMa TilYKaMa. MCTOBaEK

u 3a g p O q , o m o c ~ oR P O Q . T ~ K B Kyrnoeu ce 30sy seIiTpmm yrnoBn ~pym-

01 20 HC m i ~ ~ j eKPYXHW~).

U e ~ ~ e . r p m n ~rso rp yx n e nauvje je yr o ~ u j el y i ~ e ~ r p ye

K p y r H e . ~ ~ u ~ j e .



To je yrao, na ce sanaje Kao yrao y onruTeM cnysajy - s a n a s a b e ~ paKosa

a o6nacru F a . 3a naTy KPYXHY nw~lljyce je na ~SeH qempanm yrao yoxe

onpe prn TaKo m o ce sanajy nse SeHe Tawe a yKaxe Ha TO ~ o j n n m a nena

KpyxHe nasuje, Ha ~ o j ee oHa TUM rawaMa nonesbeaa, npnnana o6nac~a ma. To

ce Moxe ywama Ha raj HaqaH lzr~o e Ha ~ p y x ~ o jmajw yKaxe Ha jen~ y n

Taqaxa xoje npananajy o6nacru yma. Ha cnaw 3 21 CMO p a s a m Ha Tasxe TI aT, a Ha ~ a jaqaH o n p e w ueHTpaJrHe yrnose POQ T I )O ~ O C H O POQ T,) ;

WMO na je npm on TUX yrnosa yny6~beH pyru ncnynqea.

Cn 21 Cn 3 22

O ~ ~ H ~ T O ,Ko je naT jenaa ueHrpaRHa yrao KpyxiHe n a ~ ~ j e ,yna cy TnMe

odpeije~eonrosapajyhe m e Tawe P a Q Ha ~ p y m ~ o jna~ njn onpehea neo

xpyxse m ~ a j e o j ae canpxaa y o6na c~ n ma. Ha cnaun 3 22 MO Ha ~ a javm

oapenuna sehn neo KpyxHe naanje. Ha raj HavaH nonasn~ o o K P ~ O ~yxa

Kpyxm nyrc je neo rcpyxne nnunje ~ o j ne cwpxan y jennou wenou

uellrpanlloM ymy

.

AaKne, ~ p y x myK je, y crsapa, npeceK F ,yxHe mr~nje ueHTpanHor ha

re KpyxHe m ~ a j e O ~ N a onpeQyje.

l l p e ~ a .o cana pegeHoM sa~mygyje~oa je KPYXHN nyK j e n ~ eKpyxne

numje onpebe~ seMa raqKaMa Te KpyxHe n n ~ a j e nonaTKoM ~ o j u n

nsa, TaKo no6ajexa nena KpyxHe n a ~ u j enocMaTpaMo. To ce , xao ru~ o

CMO p a p n u xon seHTpanHax yrnoea, Moxe noc-rnha sa nasa t5e~e n ~ e awe

~ o j a panana KPYXHOM nyKy. Ha cnalrw 3 23 TO je yqaheiio s a n a s a ~ e ~

Tame Ioroeopa~ o e na je n o 3 ~ a ~ oa ~ o j o j p y x ~ o jn ~ n j aocE.raTpaMo

KPYXHe JIyKOBe, Ua TO Hehe~ o oce6ao UCTUqaTH. OHna KPYXHH JIyK KpysHe

namje k wije cy ~ p a j ~ easxe A a B a npmana MY TaYKa T 0 3 ~ a q a s a ~ oTB.

AKO e ssBecao o ~ o j e ~e neny xpyxne naanj:pe~, name, aro ~ a j e o~pe6-HO HCTUUaTU TaYKY KOPUCTU~ ~MO311aKy AB. AKO e I&eHTpaJIaIiyra0



(cn. 3.24 KpyxHe n ~mije , eMy omosapajyfis KPYXHH nyK 0 3 ~ a u a ~ a l i e ~ oB a) .

nopen sefi cnoMeHy-rux o 3 ~ a ~ aopnc-rn e H j e n ~ o c ~ a s ~ a~ H ~ K BOAHOCHO a) .

Cn 3 23

n p ~ m e p

Ha ~ p y m o j m s i j ~ nare cy Tawce A

B, .C, Kao Ha cnnm 3.25. Konmo je

pa3JIU¶HTHX UeHTpaJ'lHHX YrnOBa THMe

san a~o ?Koja cy TO ynosn?

T H M ~e san a~oue& UeHTpanHux ymo-

sa . To cy ymosa:

A O B , E X A O B , i r A O C ,

Cn 3 24

g A O C , r BOC, e B O C . cn 25

n p ~ ~ e p

Ha ~pyxnoj IWHU~Uk naTe cy rawe A B , a SeH ueHrpaJ'lHH yrao a .

Y o s n ~ e a cnauu 3.26. KpyxHe nyKose:

Ase nare Tawe KpyxHe m i ~ ~ j ecy ~pajesueme nyxa. Ta je ~ y m , HM

eHnx ~pajesa, anpmaHa y o6nac~n pyra nnja je rpaHEiya KpymHa nnmja k.

Cn 3 26



BWMO Aa CBaKOM YeHTpaJIHOM yrny KpjCUHe JIXIHUJ~,a THMe H CBaKOM

laeHoM KPYXHOM nyxy, omosapa Taw0 j e n ~ a aKsa AYX. C s a ~ o j y m w j a cy

~pa jes a Tame KpyxHe nmaje omosapajy nsa ueHTparrHa yrna s nsa KpyxHa

nyxa Te KpyxHe m m j e (cn. 3.27).

Csaxa npasa xoja ceve ~ p y i ~ ym j y onpegyje jenwy ~ a e ~ ~ y~ T U B ~csaxa

TeTnsa onpebyje jemiy npasy xoja cese xpyxwy n n~ nj y. T ~ K B ~pasa e soee

cevaqa KpyxHe m i ~ ~ j e .

AKOO ~ H ~ Y H M Oewqy ca s a BoMe

onpeije~y eTaey ca t t =PQ ovasaMo na je

TeTmsa t cxyn TavaKa npecexa cevuue s H

Kpyra K saja je r pamsa Kpyxna nmmja k,

name, t = s n K (cn. 3.28).

AKOcesaua s npona3s K P O ~uewap 0

xpyme. ~ m ~ n j e (cn. 3.28); o w a je Ha ~ a j

Havm no6kije~aTeTusa npevm KpyxHe n m -

je k . A y x a ~ i t YXH PQ, name AyxuHa rrpe-

YnHKa, j e n ~ a ~ ae 2r, rne je r nonynperHaK

CJI. 3.27. Kpyxrie na ~ u jek

H ~ u ~ T ~ ~ M oe n a ~ A Y ~ J ~ ~ HeHTpanHu yrao

or naTe ~ p y x ~ eunuje k 0 , 2 ) (cn. 3.29)

x o j e ~ nrosapa .;reTuHa nyxuHe 3 cm. Msa-

~ ~ P H M OIpOH3ROJhHO TaYKY P € k H ~ ~ A M O

Ha k TasKy Q aKBy na je PQ = 3 Cm (110-

C T O ] ~ ABC TaKBe T ~ Y K ~ ) .H A ~e TpaXeHH

yrao POQ =a. J a c ~ oe na n o c ~ o j ~

UCnynveH UeHTpaJlHK yra0 OBe KpyXHe nu-

mje xojew onroeapa uc-ra osa TeTusa PQ(cn. 3.30 . To je @ P O Q =p Cn 3.29.



Cn 30 Cn 3 31

u c n y m e ~ ~eaqmmi ymose. ~ K Oe sunem na 6~ e noKnana eM Temsa

(TOcy me nonynap~e y m x i )noKnomm yrn0s.n MON u POQ, na Tame

- 1a yny6meaa qewrpanua ym a, C MON n <POQ, jem e Kpywue m m j e

k(0, r cy jen~alcaalco cy num a o rosapajyhe TeTnse MN n PQ noAyxapueAyXH.i. w

n o c ~ a ~ p a j ~ oana me noAynapHe KpyxHe nu-mje k (0 ,, a k, (0,, r

UI. 3.32). H e~ a e PIQl TeTHBa KpyXHe nliHMJe k, H P2Q2 TeTHBa KpY)KHe

n m j e k npw qeMy cy A ~ X H P1Q1 a P2Q2 nonynapne. lloruro cy xpyxne

----- a mcnymena qempanHa ym a, @ MON @POQ, j e m e K p p a e a ek(0, r cy j e n u a ~ a Ko cy -ma onrosapajyhe TeTnBe MN n PQ noAyxape

AYxH.

Cn 3 32

4 M a ~ e ~ a k a

L



m ~ ~ j el H k2 nOnynapHe, OHe Mory aa ce jema npeKo npyre npeKnone H nsa

he y~ y6 me ~aeHTpanHa yrna x P , 0 ,Q , x P , 0 ,Q , nocTaTa nsa yay6mesa

ueH-rpaJma yrna jewe KpyxHe na~uje,~ o j a ~ anrosapajy nonynapHe TeTEiBe.

C T O ~ ~e Ei TaKBa m a yTna MOry CMawaTU ~ ~ A H ~ K U M .

MCTO ce Moxe pel 3a m a ucnynseHa ueHTpama yrna mejy nonynapmixKPYXHUX JIHHUja aKO 0mo~apajyIOnynapHHM TeTHBaMa.

sa yny6~be~aenTpma yma, X P , 0 ,Q , X P , 0 ,Q , , neejy

nonynapHnx Rpyx~ux uuuja k 0 , ) u k , 0 , cy jensarca arro cy

o~ro~apajyheeTwee P , Q , H P , Q , nonynapne. MCTOsaxw H 3a m a wcnynue-

ma qeH-rpasnia yma.

n o c ~ a ~ p a j ~ oana ma npoa3som~a ~ y 6 ~ b e ~ ayrna, , ~ p ,, , H ~ p , O , q , -(cn. 3.33 . H e ~ ay k , 0 , H k , O, r ) nse nonynapHe KpyxHe nu~uje mixoBnM

paBHuMa, ca q e k p u ~ a TeMemMa TWX ymosa. Kpyxaa nmja k , cese KpaK

Cn .33.

0 , y H ~ K O ~aWki P , I3 KpaK 0 , l y H ~ K O J ~ W HQ 1 (CII. .34 . Ha UCTH HaYElH

KpynuIa J I H H u ~ ~ 03 KpaK 0 , y H ~ K O ~aYKU P2 U KpaK 0 , q 2 y ~ K O ~a iKH

Q . B n m ~ o a ce ~ p ,, , Moxe cxsaTnTu Kao yny6mea uealpamiu yrao,

Cn .34.



9:P, 0 Q,, Kpyxne mr~nje k, a :p,O,q, Kao yrry6mn ueeHTpanm yrao,

:P202 KpyxHe mnuje kg. AKO y Y ~l Ql H P2Q2noayaaptre, oma cy

Ta ma ueHTpanna yrna jenaara, na . h e ~ o r iaa rnose 9:p10 q1 H c ~ ~cMaTpam j e m a ~ a ~ .

H e ~ ay :p, 0 q, H :p,O, q, ma yny6sbefla p a Ta cy aea yrna j ema~a

aKo cy 3a neKe m e nonynapne KpyxHe m ~ n j e (0 ) k2 (0 r) TeTnBe

PIQ, P2Q2,rne cy P, II Ql rasrce npecenca spyntee mmje k ca rcpaqma

02p2 02q2nonyAapHe

AKO e osae p e ~ny6sae~ a ~ e ma,ucnynrea, no6uhe~ocnoB Kana cy m a

ucnynsena yrna je ma~a.

Yormuso je na osaKo yseaeHu n o j a ~e m a ~ o c ~ urnosa Hc wa sa : 1) csaKn

yrao je j e m a ~ e6a; 2) ago je 9:pl 0 q j e m a ~9:p202q2oHna je 9:p202q2

j e m a ~ 9:p10,q,; 3 aKo je 9:p,01ql j e m a ~ Xp202q2 H 9:p202q2 e ~ ~ a ~

*p303q3, onaa je :p10 q, j e m a ~ :~303q3 . lame, penarmja , , ~ H T E ~emaKb'cKyny yrnosa a cnpas a ocaosHa csojcrsa jemaxocru. 3 a ~ o a m a yrna,

:p10 q,, :p,O,q,, jemara y ormcanoM cmcny, nurueMo'

Ca O OM jenna~orubyh e ~ oocTynaTu Kao u ca j e m a ~ o c r u ~ apojesa H

j e m a ~ oc r m a YH H,

AKOcy yrnosn ~ o j e ocMaTpaMo 0 3 ~ a ~ e r nnoBmia rpwor m@a6era,p e w ~ o 0 q, = a, :p20 q, = jeAna~u y, nnrueMo a=p . Kopuc~uhe~o

osaj HanuH 3amc~samaep je ~pa hn je mo c~ a~ ~n jn .

qecro je no ~ p e 6 ~ ooHcTpyncaTn yrao j e n ~ a ~aToM yr~ryHa HeroM oapetje-

HOM biecry. i'ana ce, yo6ssajea0, Kaxe na CMO Aam yrao ,,npe~enn Ha TO Memo.

Aa~ne,

llpewe~nnarn yrao 3naYII KoHcqyncafH ~a Y U ~ S ~ ~ ~ O MecTy yrao jemm

neuy

Ilpu ToMe ce Memo onpetjyje ~ 3 6 0 ~ 0 ~eMena, nonoxaja jemor on KpaKoBa

u omoca o6nacrs yrna u n3a6panor KpaKa.

AaT je 9:pOq=a, rams 0 a nonynpasa 0;s. npene~u9:pOq TaKo

na MY TeMe 6yne Taws 0 a jeaan OA KpaKosa e noKnonn ca nonynpa-

OM O1s. KOHCTP~HLLIUMOp y x q anujy k(0, r), rne CMO nonynpe-~ H U K H3a6pa.n~no s e n a , u ~ o joayaapny ~ p y x ~ yunujy kl(Ol, r)



( a . 3.35 . H e ~ ae P npecewa TasKa Kpymie n m ~ j e H RpaKa Op a Q

npecegna aws Kpymie m m j e k H KpaKa Oq. ~ ~ H ~ S H M Oa S npecewy

TavKy Kpyxne n~xmje k, a nonynpase 0, s. HaIQTajM0 3 a m ~ p y x ~ y

J I UHK~Yk2 (S, P Q (ca ueeHrpoM y S H nonynpewimoM P Q HeKa cy T, K

Cn 35

T, rrpecevne TagKe KpyxHe m~zijek2 ca KPYXHOM JII~HU~OMk,. Onqa je

T, S PQ a T2 S P Q , na cy yrnosH ir SO, T, H ir SO, T2 TpaxeHa ymosa.

BWMO na s a n a ~ a ~a nsa pemeBa; TO cy yrnosa sO,t, sO,t,

naijem Ha onacaHw HamH.

f i a ~e yny 6~b e~rao ir p Aq, (cn. 3.36 K ams B Ha nonynpa~oj Ap.

H a r ) s ~ oa nonynpa~ojAq TagKy C na 6yne X BAC= *ABC. llocrrynajyh Kao

y IIpeTXOAHOM IIpHMepy MOXeMO KOHCTpYHCaTH &Be IIOJIylIpaBe, Bs, H Bs2 TaKO

na cy yrnosa *ABs, H ABs, ~ ~ H ~ K HpAq. Jema on mx nonynpasnx,

Ha a n w 3.37. nonynpasa Bs, ce

qe nonynpasy Aq y T a m C. TO

je TpaxeHa Tawca. l l p a m ~ o ~pe-

HomeKa ymosa, KoHcTpyacaBa yr-

nosa j en~a~axaTaM ymosma,

KOpMflHm CMO nOAyAapHEiM

~ p y x ~ mj a ~ a . a ~ a cy

HeonxonHe uene Kpyxne nmaje He-. ro caMo HeKn ~ ~ M X O B Henosa. Aa

P qpTem He 6x 6x0 npeon~epehe~y-

s a r u m ~ a ~ a j a ~ a ,p ~ a h e ~ oa-cn 36 MO ~e ~ e o m o m eenose. kimo ~ a -



Cn. 3.37.

KO ~ ~ j eeonxoaHo na qprajy rerme PQ RS RS CJI. Hero CaMO Knxose

~ p a j s eawe. O H A ~e ao6wja noje~nocrassbem lp rexc Kao Ha u3.38.

Cn. 3.38.

1 ara je npasa p rauxa roja npsnana hpasoj p H nonynpaea Oq roja we np mam

npasoj p. Konnro je yraowux nenuja Ha ra j H a w o~lpeljewo? OrJRaun ono ruro jeneonxomo H ~ T H M anuurn xoje cy TO yraone nm j e .

2. H3 l a w e y paenn nonazie qerupn nonynpaee 00 b, Oc R Od ~ ei jy o j m aeMa

~ o j erpnnwajy jemioj npasoj. Konuxo je yraOHUX mnuja Ha ~ a jH ~ Y A H a ~ o ?Koje cy TO

yraone nemje? Aa nu e oat-osop~~ e n a j y ico ~ e l j y onynpanaMa siMa m e ~ o j e

npmanajy jemoj npaeoj?<

3. Tpu npase y pasrilr cerryce y jennoj Tawcu. O ~ H ~ Y Ho~oliy a ~ a t aonynpaeax cm yraone

m j e acTane na ~ a jauss. ,

4. qenipn p m m onynpase y paenu nonase n3 T B L K ~0 npR qeMy ~ e t j y iwa neMa me~ o j epnnaaajy jemoj npaeoj. K O ~ H K Oe yrjloea y ~ o ja~iiuHa ~ a javnn aa ~ o ? snam

X o m o a a p a j y b ~ H ~ X O B H M ~a yrnoee.

. pas? cy nosyrene npane a o j u ~ apmnanajy crpamlle Tpoyrna ABC. Il o~o li y avaaawa omoeapajyl in~ ony np a~ a~ a o3 na ~~IX yrnoee xojn Ha ra j H a m nacrajy.



6. Haup~ajBa yrna y paBEU TaKO Aa:

1 lsnxosa ymja H MXOB npeceK 6yne yny6mn yrao;

2 ) 06a 6 y ~ny6meea p a , nnxona yn ~j aHcnynreH yrao a BHXOB npeceK yny6mesyrao; 3 ) lswon npecerc 6yne nonynpana.

F a xpyarnoj ~ H H H ~ Hre cym Tame. K o m ~ oe uewrpamrax yrnosa -re gpyrme nawujeHa ~ a j a m n a~ o? 3 ~ a . 1 ~X omosapajyhtm 3naumm.

. Hara je-xpyma w n j a k H Ha no j cy wsa6pawe Tarxe A, B, C , D. E (cn. 3.39).03nara Ha mnulomosapajyhu~ ~ a m aerrrpame ymone:

1) cAOD, 2 @ B O C . 3 ) < A O C B ) . 4 ) < B O E C ) .

Cn. 3.39. Cn. 3.40.

. a ~ ae xpyxwa nunnja k H wa noj cy ma6pase TarKe A, B , C , D (cn. 3.40). AKOje

uemap -re Kpy-me n w j e , yoru H 03nasn Ha cnrrsrr

1 TeTasy ~ o j amosapa uempannoM AOD;2) yny6fie~QeIirpaJlHU p a 0 K O ~ HOWOBapa TeTHBH BC;

. 3 ) xpyxae nyK x o j ~nronapa UeHTpmOM G OB.

+lO.'Aa~a je xpyxna mr n~ jaH

jepanMH

uewTpanHH yrao (cn. 3.41). 0 3 ~ a wno ~ m oeneonxonno. Omo na pa jy ti ~~HauaMa 03~arnOM yrny onronapajytiy reTnsy H q y x a e

nyxc. Ha nu no6 uje~a eresa onroeapa c a ~ oOM JienTparmoM m y ?

Cn. 3.41. Cn .42.

1. Ha xpyacnoj m m j ~ AaTe cy Y ~ T R P ATawe A, B, C , D (cn. 3.42).

- 12. a a ~ ae xpyxna m u j a ca UenTpoM o a nonynpermoM r = 4 m Ha ~ o je

~3a6pana aws P. HaIju cee TeTnee one Kpyxne n m j e , nyarune cm wja je je ha

xpajraa mrKa P. naru omonapajyhu~ nau ma Kpymne wane K O ~ H wosapajy THM

TeraBaMa H IbHMa O W ~ A B M y ~ 6 1 6 e m ~ieHTpaJlHHM yTnOBAMa KppHe JIEHEje.

13. Ha; je qoyrao ABC. Hahx Ha npanoj. p A, C ) T ~ R Y 3a ~ o j y ~ J K R X ABD X BACHa npasoj q B , C ) ~ a ~ y38 ~ o j y axu X E A B C A B C .



3 2 BPCTE YTSIOBA YI IO PE Ek IB A bE YrSIOBA

dopManHe (ynpasne) npase.

Bm em chi0 na yrao Mowte 6 ~ i ~ nny6men, m y I ¶ e HV U , Y KPWu V m a -

najy je n~o jipasoj.

Onpyxeu yrao je yrao w jn pam npmanajy jemoj npasoj n ne nomanajy ce

Ha c m w 3.43. npnKa3an je jenan onpyxen yrao, 4pOq. Eberosa yraona

mnuja je npasa a erosa o 6 n a c ~e cKyn TaqaKa y pasnu xoje ce nana3e ca jeme,

~3_a6pane, rpane Te npase. O n a~n e enocpemo s a m y l ~ y j e ~ oa onpyxea yrao

npencTasJba nonypaaan nocMaTpaHe pasmi. YOSJ~UBOe na yraoHa nunuja jemor

Cn 43 Cn 44

onpyxenor yrna onpeljyje nsa onpyxena yrna. Ha CJIUW 3.44. ca a a a03nasena cy m a onpyxeHa p a , onpeljeaa yraoHoM JUIHUJOM pOq, xoja wen-

c-rasba ymjy x~ e j y onynpasux ~ o j epnnanajy jemoj npasoj.

H ~ j e em o yaepaTu ce na cy csaxa m a onpyxena yr?a jenna~a.3anc ~a, a

Taxea p a yrna cy TeTuse P Q n P Q (cn. 3.45) nonynapnax o pyx mix n~ mi j a

k u k j e m a ~ e ~HXOBUMnpeqnuwMa, WTO 3nayu na cy nonynapHe nyxn.

J I p e ~ a oMe, oiipyzcen yiao je jegan ciiianm yiao. T H M ~e ~ oe y n a e M pany

KOpImKTU.

Cn 45

I



n o c ~ a ~ p a j ~ oa yrna 3 p O q , a X p O q , cn. 3.46 ca jenmr~3ajemw-KHM KpaKoM Op, w je 06nac-m a ~ a j y a j e m q ~ ~ xaqaKa. AKOe 06 na c~3:p O q ,cwpxaaa y o6nacru x p q , u KpaK O q , npnnana 06nac-r~3:p q 2 , OHAa Kaxe-

MO na je X p O q , M a m i of[ 3:pOq2 a nnIneMo

3 PO^, p O q , .

72Ha ~ a j ~ Y H H MO oBa m a p a

ynop xnm no Benrrwaa.

H e ~ ay a u Asa npoa3~omna

p a . n p e ~ e c n ~ oX TaKo na HM ce TeMen no jenax KpaK nornone, H Aa o6namjemor on yrnosa 6yne canpxana y 06-nacTEi npyror p a . AKO M e IIPU ToMe

APFH KPaKOBU IIoK~oII~,rJIOBH Cy

P ~ ~ A H ~ K H .KO e npyrn KpalCOBn He no-

~nanajy, ysa he j e n a ~ n THX KpaxoBaCn. 3 46 ~ H T H aupxan y 06nacru yrna wjH TO

mje npyra KpaK. AKOe, pewiMo, n p y r ~ paK yrna a canpxau y o6 na c~ a rna B

oHna je yrao a M a B u OH yrna B nuureMo a</3 cn. 3.47 .

Ha ~ a jawH ce npon3eom~a sa yrna y r r a p e J ~ y .

3a c s a ~ a a yrna a jl saxa: IUIH e a<B mn je a=/3 nnn e a>B.

pu~ep

Y ~ O ~ ~ M Ornoee a f i naTe Ha cnJlyI 3.48.



n p e~ e cm o aTa ~ p arna Ha omcam HaqnH TaKo na HM TeMeHa ~ Y Y

Tawin H no je na ~Kpax ce noKnonH ca a s a 6 p a ~ o ~oJIyrrpaBoM O p . Ca

cmxe BWMO fia je /3 a , /3 , a , UTO s ~ a w i je yrao /3 ~ a j ~ a m i ,

yrao y uajsehu a yrao a cpema no BennmHn.

Ysepmo e na je onpymeH yrao Mami on csaKor HcnyngeHor yrna.

H e ~ ae )a n p o ~ 3 s o n a ~cIIymeH yrao cn. 3 .4 9 ) a = + ' p O q . AKO e

onpyxea yrao quja yraoHa m ~ u j aaapxu KpaK O p yrna a , o w a je npyru

KpaK yrna /3 Opt , caapxaa y 06nac ~n rna a a o6nacr yrna /3 je cupxaria

y 06nac~ n rna a , IUTO 3naw na je /3 < a .

Cn 49: Cn 3 50

Y ~ p e h e ~aspeny CMO yno3~anu o j a ~ o p ~ a n ~ o c ~ uy n p a ~ ~ o c ~ a )pasux

H Haywm KaKo ce qpTa npasa HopMamra Ha naTy npaay. AXO cy a u b w e

~ e i j y c o 6 ~ 0opManHe npase u TavKa ~ ~ H X O B O TrpeceKa cn. 3.50), oma y TuMe

onpeije~e o nse nonynpase Ha c sa ~ o j n OBRX npaam. O ~ H ~ ~ H M OX ca O p l H

Op, Ha npasoj a H ca O q , n O q , Ha npasoj b . Ha ~ a jagnH onpeijeao je 12

yrnosa. Meijy suMa cy gempH jemia~ayny6lbe~ayrna: p l O q l , g l o p , ,p 2 0 q 2 , p 1 0 q 2 . TO Cy Il paBH YrJIOBU.

n p a ~ rao je yny6meu yrao S ~ Kpaqu npunanajy meMa HopManumM

npasaMa.

CBH pasn yrnoBn cy ~eijyco6noe n n a ~ ~a

je H npaB yrao j e ~ a x -ranax yrao. Osnaqasa~o

ra 0 6 ~ 9 ~ 0a b. /7KOPHCTH~~MOe jorrr j e m u ~ T ~ ~ H H Mr- ,

now To je yrao suja e yraoHa nn ~ u ja ~ C T O ~ n

nse nonynpase ~ o j ee no~nanajy, 06nac-r MY je

paBaa ~ o j o j pnnaaa Ta nonynpaBa, 6e3 TagaKa

nonynpa~e. o ~ e ~ o y ~rao cn. 3.51). cn 51



Has p~ aj uo o j e n a ~ ru-rap, ~ y wcnyngeH yrao u KOHCT~~UUIBMO

j e n ~ a ~ eo s e . \

Cn. 3 55

1 Ha cnnw 3 56 HaqpTawn cy H o3nauem yrnoen a y Koju je on nnx aa j ~ a n a roju

~ajnehw?

2. Haup~ajPH pa3nnunTa yrna y paarls H ynopenu ux.

Cn. 56 Cn. 3 57

3. Ha cnuqn 3 57 HaUpTan je jenan nmoyrao H 03naqe~u y new on yrnosa roju cy Ha ~ a j

namun onper)enu. Kojoj spcru yrnoea npunwajy osnanemi p o s e ?

4. Hallpraj jenan oruTap yrao u npenecn ra Ha xeneno Memo.

5. Haqpraj jenan ryn yrao u npenecu ra Ha xeneno ~ e c r o .

6. A ~ Te rpoyrao A B C . Haqu y o6nac~nTpoyrna, cne Tawe T 3a noje Be 6 u ~ nB A T = A B C . Konuro uMa Tarsux ~ a ~ a ~ a ?

7. A a ~ ae YX AB a ourrap yrao a. K o~ c r pynm ~ee yrnose c TeMema y TamrcaMa A a

B ~ 0 j ~y jemam JIBTOMrny H Tarm cy na RM je nonynpasa, g ~ j ae noumna TavKa A a

rrponma ~ p o 3 O ~ O H Oomema Tavna B H rrponam xp03 A, jenan on Epatcosa. Karcsa

, je 4~1-ypaHa ~ a jawH n061ije~a? YOW HeKa C B O ~ ~ B ~e 4urype.

/ )a n14 cy ravne cnenehe peqennue:

1 Puto je yrao y~y6mew,ow a je OH ourTap unn ~ y n .llpxerc cBara m a onppena yrna ca u d m TeueHoM je yny.6Jbea yrao.

9. Y T B ~ ~a y cnenehe pemenme ramne:

/ 1) AICOy re mse nsa uempanaa yrna jemane, OHH y jemia~n.2) lToc~oju-TeTnsa o j anpehyje m a jennara UenTpanna yrna je n~ eKpyxne m u j e .



3 3 CAEEIPAME EI ORY3EIMABE YTJTOBA. IIOJAMKOMIIJTEMEHTHEIX EI CYIIJIEMEHTHEIX YrJIOBK

Yra0, BpCTe YrJIOBa.

. . ~ ~ K a c ~ ~ j e m o j ~ ~ B H Hp o q a ~ q o r r q . ,

nsa yrna ca 3a jep .m. i~~~~eMeHoM n j e n m ~s a j e m a q ~ u ~paKoM Oq, wje 0 6 n a c ~ ~e ~ a j ys a j e m w ~ a x a-iaKa cn. 3.58):Oma KaxeMona je yrao pO r Hac-rao ~ a m e 3 ~ i ~ a r a e i iBansa yrna jemor Ha n p y r~ . HAUMOa senam-Ha osor yrna He sasecti on penocnena ~ o j m

CMO r a nsa yrna cnoMeHyna. W TO raKo, sana-EaMO na. BHUe FnOBa MOEeMO HanOBe3HBaTH

I .

jenm Ha ~ p y r a opaK n o ~ o p a ~ . Cn .58..

Herca cy 3 m a npow3~osbna rna cn, 3.59). 36mp Ta m a p a o3earcal j e c ~ e rao j e n ~ a ~rny ~ o j ue ~ 0 6 ~ j aKo ce y jem oj paBm

lconcTpyuUre yrao jennalc j e n n o ~ n nwx u Ha ne ra n w o s e x e yrao jensaa~ p y ~ - O Mn nHx non ycnoeoM Aa je TO ~ w o n e 3 m a n emoryhe.

Cn .59.

l l o c ~ a ~ p a j ~ ornose a a 3 naTe Ha cnnm 3.60. AKO e noKyma ca~ a n o s e s m a n e ~Ba w a p n a carnacHo HameM noroBopy, o w a e He Moxe

ocrBapaTrr sax-res na o6nacra yrnosa ~ o j u e ~anosesyjy~ e ~ a j ya j e n ~ w ~ s xTaraKa. R a~ne , osaxsohn cnysajy ~anosesusalaemije ~ o ry h e .



n o c ~ a ~ p a h e ~ oa ~ onyqajese Kana je ~ 0 r y h e aaosesssarbe rnoe ~ o j e

~ p e6 a a 6 p a ~ ~ .M ~ a j y h s ~ w y anoMeHy o penocneny ~ ano ses nsa ~,aopaK no KopaK,

MoxeMo sa~rnywi~na osaKo yseneHa onepau~jac a 6 n p a ~ ayrnosa nMa

csojcrsa:

-------1 3a csaKa m a yrna a H j je

______.a+b=b+a.

2 3a csaKa TPH yrna a, 8 y je

(a+j?)+y=a+(b+v).

AKO e ca6apajy m a j e n ~ a ~ arna, oHna h e ~ 0MecTo a+,a nncaTn 2aKao H KO npnpOnHnx 6pojesa. C n n q ~ o e ~ oocT$nuTn H npsnsKoM cagepa-

%a smue j e m a ~ n x rnosa.

Ha cns m 3.61. naTa cy nsa yrna a P H a u p ~ a j ~ ornose: 1) a+B;2) 3 a ; 3) a+2b.

Cn 61

Msa6ep~c~oa Tawy o ~ e ~ e 'rna a u p ~ a j ~ opamu yrna a.

P i ~ a b e ~ o

Cn 62



Kopuc~ehn e ca 6s pa e~rnosa, MoxeMo ysec-ra H onepamjy oay u~a~sa

yrnosa.

H e ~ ay a, j? TPH yrna, TaKBa na je

/3+y=a.

Osna yrao 3 o s e ~ o awma yrnosa a H /?, TAM MOM, m e M o

? = a - p .

J e ~ n a ~ o c ri = a Moryhna je caMo aKo je fi<a . AKOcy AaTH ynosn

a H /3 < a , onna yrao = a 3 MoxeMo KoncrpyucaTa Ha ~JIeAehunamn

(cn. 3.63 :

Cn. 63

n p e ~ e c u ~ orao TaKo na M Y e TeMe noKnonn ca TeMeHoM yrna a , je-

naH KpaK I'IOKnOI'IH Ca ~ ~ A H H MpaKOM FJIa a npyrH KpaK 6yne CaApXaH y

o6nacru yrna a . AKO O ~ ~ S M O3= c P O Q , onna uMaMo C P , O I Q , =/3 aaKo je S Taws Ha O OM on KpaKosa yrna ~ o j e ~e npnnana Taws PI,

oHAa je, onurnemo, P, 0 Q , C Q, 0 S = PI0 S,, oneocao, B M ~ ~ ~ M O

/3 Q I O I S 1 = a , UITO ~ ~ S a je .

Ha cnnw 3.64. naTs cy yrnosa a n /3 Halrp~ajre a ~ oe TO .uoryhe)

yrnose: 1) /3-a; 2) 3a -8 ; 3 - /3 -2a;

Cn 64



Cn. 3.65.

1) Y IpBOM ~ JIy~a jyU m M O na e KOHCTPYKW~BBOm ~ ~ ~ H o C T ~ B H O360r

a< noc~ojwTpaxeIIa pasnara.

2) KOHCTP)WIII~MOpBO F a 0 3a ( B H ~ ~ T HpM-Mep 1) a 3aTBM T p UCUMO

pa3JIHKy 3 a- ; 360r <3 a KOHCTPYKW~Ye M O ~ ~ ~ H O3BeCTU U IIOCTO

ju TpaxeHa pasnura ymosa.

3 ) Ko~c~pynrUe~oB Orao 2a a s a ~ a ~oKyruasaMo na, npeHolueIfieM

yrrra, KoHcTpyaIueMo TpaxeHy pasnuxy. KoHCT~TOB~J I~MO na je <2a

IIa TpaXeHy pa3nuKy He MOXeMO KOHCTPYBCBTEI.

Banena CMO na cy npaB yrao a onpyxea yrao cTanmr (KOHCT~HTHA)rnom.

HOMOhy b H X yBOmM0 ~ O ~ M O B ~OMlVIeMeHTHHX B CYIIJIeMeHTHliX WOBa.\

a cy yrna IcoMnneMeATua arco je IMIXOB 3 6 ~ pe~uarcnpaBoM yrny. a cyyrna cynneMeHTea arco je LHXOB 3 6 ~ p e m a ~ npyxeeoM yrny.

Ha c m f l ~.66. naT je yrao a . K o ~ c ~ p y ~ r u a ~ oaro je TO ~oryhe) :

1) P a 0 K O ~ He KOMnJIeMeHTaH YrnY a

2) y a o ~ o j ne cynneMeHTaH yrny a ;

3) F a 0 K O ~ He KOMnneMeHTaH )Tny 2a.

C I 3.66.

~ p e t i e ~nysajy yoqasaMo Aa je yrao 2a sehs on npasor yrna na He

n0CTOjU BeMy KOMllJIeMeHTaH YaO.

63



a ca CBaKa nBa pa JIOMKa -

baxs

a c ad cb a d cb- -=- -=-

b d bd bd bd

a c ad c b a d - c b

b d - b d b d - b d .

Apyra~n je eyeeo: m a -pa3no~xa a 3 n ~ u ~ ~ u xe~wnauaca6npajy ony3~-

~ a j y )e TaKo UTO e ~ a j n p e oeeny Ha j e n ~ a ~ eMeHnoue, a HOTOM ca6epy

O ~ Y ~ M Y.

Hajnpe noseneMo p a 3 n o ~ ~ ea s a j e w u ~ ~ eMemioqe ~ a j ~ a ~ na j e n ~ n ~ ~ n

cwpxm au 6pojesa 5 n 4 je 20), na je

2~ ~ H M ~ T H M Oa 36np npHponHor 6poja n npasor p a 3 n o ~ ~ aw i u e ~ o

Aaxne, Henpaen pa3noMag e Moxe n3pa3n~~o ~ o h y pnpomor 6poja

npasor pa3noMra. T a ~ a eanuc nenpaeor pa3noma 0 6 ~ 1 ~ 0a3nBaMo M e m B n r

6poj



l lpnqep .

I18 \. ki3paqy~aj~o-2. -

18 10 8 3Kao H y ~ X T X O W ~ MTPHMCPY p a ~ n a ~ o= = ?.

Y cKyny pmnoMaKa, Kao n y c ~ y n y o ~ y 3 l i ~ a n ee onepauuja cynpoTna

ca6upany, ~ j . nepauuja K O ~ O Me n3 n 0 3 ~ a ~ o r6upa Asa 6poja n jemor ca6np~a

n s p a ~ y ~ a s apyrn ca6npaic.

5 razred - adnadjevic - udzbenik.pdf

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