5 razred 6 - stefanovski - matematika

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Jovo Stefanovski, Naum Celakoski - Matematika - sesti razred (devetogodisnjeg osnovnog obrazovanje), Skoplje 2011

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  • Skopqe, 2011Skopqe, 2011

    JJOVO STEFANOVSKIOVO STEFANOVSKINAUM CELAKOSKINAUM CELAKOSKI

  • e!

    . : , , .

    , . . , - .

    . -, .

    , , , , :

    . . - a .

    (-) .

    , . , . .

    , . .

    - , .

    . , .

    . .

    , , .

    .

    Podseti se!

    Problemi

    Zadaci

    Treba da zna{

    1.

    2.

    3. ...

    ...,A B

    Proveri se?

  • 31. . 4

    2. . 7

    3. . . 9

    4. , 12

    5. . 15

    6. 177. 208.

    239.

    2610. 2711. 2912.

    31

    13. 3414. 37

    15. 40

    16. . 4317. 4718. .

    4819.

    2 5 5120.

    3 9 5321. 4 5522. .

    57

    23. . 60

    24. . 63

    25. . 66

    26. . 68

    TEMA 1.

  • . 4

    Podseti se!

    - .

    A V

    .

    ?

    a

    bv

    g

    , .

    .

    .

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    D .

    D?

    D?

    D!

    ! -.

    1

    543

    7 26 S

    (a), , o , . = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

    1

    2

    3

    1

    . , . , .

    : 10, 6, 2, 4 8.4

    A

    B

  • 56

    7

    8

    5

    , .

    .

    , .

    x , :

    A={x | x e }.

    .

    S .

    ; .

    S={x | x e 2638} :

    . ?

    a) {x | x >19}.b) {x | x }.v) {x | x }.

    .

    1115

    1917

    13 R

    ! { , , , } { , , }. .

    : , , . .

    9 . .

    ka

    pu

    lM

    ,, , , ,, , , ,, , e ,

    k M

    a M

    e M

    : :

    V

  • 10

    11

    6

    : , , C, N, L, K .

    , , , , , , .

    a, . p R, P, S L :R p; P p; S p i L p;

    S

    A

    a

    L

    S

    V

    K

    N

    ; , . i .

    ?

    : 1, 3, 5, 7 9:

    , ? ili .

    ; ;

    .

    Zadaci

    e

    pb

    A V

    .1.

    ka

    u

    ?

    , , ( ).

    , .

    : , , , .

    a.

    M, N, C, D S, :M a, N a, C a, D a i S a.

    2.

    , :1 A, 2 A, 2 B, 3 A, 4 A, 4 B,5 A, 6 A, 6 B, 7 B, 8 A, 8 Bi 9 B.

    3

    Proveri se!

  • Podseti se!

    7 .

    -.

    ? . ?

    , .

    21

    ? , B C ?

    a cd

    b

    A

    ! 3 -, 7 99 .

    A.

    !

    !

    -? ? ?

    .

    .

    2

    . 2 764 .

    , 3 000 ?

    3

    4A = {, , }

    C = {x | x }.

    , .

    Maj

    V

    A

    B

    A = {a, b, c};B = {x | x };C = {x | x 100}.

  • 58 .

    . .

    M = {x | x . 3000 } = .

    = 0.

    .

    ;

    - - .

    :

    , S = 3;

    S, Y = 0.

    ;

    ;

    ;

    e 1?

    Zadaci

    :

    L = {2, 4, 6, 8, 10}

    S = {x | x 5m}K =

    1.

    2.

    A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x 8 x < 25}.

    3.

    - .

    Problem

    :

    Treba da zna{ Proveri se!

    1A V2 5

    7436

  • Podseti se!

    9

    -:

    A = {2, 4, 6, 8, 10}

    B = {1, 3, 5, 7, 9}

    C = {10, 20, 30, 40, 50}.

    ?

    . .

    Y

    T

    S ?

    T Y?

    A = {x | x } B = {x | x } .

    A i V, .

    A, V.

    - .

    31

    2

    , A ~ V.

    3

    .

    : A = V.

    , .

    4

    Uo~i!

    A

    ?

    .

    B

    :B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {} i G = {M, A, T, E, I, K}.

    ~

    G.

  • 10 .

    : =

    A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}?

    : A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

    ! , - .

    ?

    , -: .

    5

    ali: {l, a, s, t, a} = {a, s, t, a,l}

    6

    7S

    V M

    , . : S M.

    , . S M.

    S . S? ! S ? ! ?P S; S S i S S?

    13

    4

    2

    6

    Y

    R

    K 5

    7

    8

    . A A.

    Primer: {a, b, c} {a, b, c}, .

    . A.

    Uo~i!

  • 11

    , ;

    ;

    ;

    .

    P = {5, 10, 15, 20}.

    .

    L P.

    .

    Treba da zna{ Proveri se!

    Zadaci

    D N.1. U , , - , .

    U, P, K y.

    2.

    3.

    7 9 5 1

    N

    D

    3 28 6

    4 10

    D .

    N .

    D N ? ?

    : D N N D? ?

    y K i K R, y R. ? ?

    4. A = {a, b, c}.

    I ovo je matemaika!

    , : ?, . , . ?, . , . , , . , , . ?

  • B12

    , D.

    , D .

    3 A VD

    1 3

    5 7

    9

    2 6

    4 10

    8

    , .

    : C = A V : .x A V, : x A x V.

    Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}.

    : A B, A C i B A.

    A B i B A ? ?

    , .

    1

    2

    -.

    A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.

    .

    .

    A

    , 4Podseti se

    - , , .

    ?

    A S V

    .C = {3, 4, 5}.

    1

    2

    63

    4

    5

    A BC

    .

    D .

  • 13 D . D : D = A V : D x A V, : x A x V.

    A, V C.

    C B, C A B A.

    A , B C, B A A C.

    , . , .

    4A

    CV

    1 2

    9

    3

    12 13

    11 14

    V A V V A.

    A V V A ?

    A V V A.

    ?

    A = {1, 2, 3, 4, 5} V = {2, 4, 6, 8}.5

    A B, (A B) C.

    B C, A (B C).

    (A B) C = A (B C)?

    : (A B) C = A (B C).

    , , 4 , - .

    .

    A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} C = {1, 3, 5, 9}.7

    6

    : A V = V A i A B = B A

    Uo~i!

    .

    .

    - .

    A, V S (A V) S = A (V S).

    x A B, x B?

    Problem

    G

    A V.

    , .

    . .

    8 A B1

    2

    7

    3

    8

    95

    6

    - .

  • 14

    A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} C = {3, 5, 7, 9, 11}.9

    : A \ B, B \ A, B \ C A \ (B \ C).

    A \ B = B \ A?

    : A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?

    M = {x | x x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} P = {x | x }. :

    10

    M Y. Y R. P \ M. M (R \ Y).

    , .

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    ;

    , , .

    A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} C = {b, c, e, 1}.

    :

    A B. B \ C. A B C.

    Zadaci

    , .

    1.

    ?

    a) b) v)

    A = {m, n, p, k} M = {s, p, t, k, r}

    2.

    A M. A M, M A M \ A.: (A M), (A M) (M \ A).

    , - .

    3.

    :) ; ) ; ) ; ) ? , , .

    ?

    , , . : S = A \ V .

    x A \ B : x A x B.

    = {1, 2, 5, 6} , S = A \ V.

    Proveri se!

  • Podseti se!

    15 . 51

    {2, 3} i {3, 2}. , - .

    , - : -, .

    {2, 3} = {3, 2}? Za{to?

    . .

    . (2), (3). ( 2, 3) .

    .

    (a, b) , , . y (a, b), a -, b .

    2 A = {s, p, q}, B = {1, 2}.

    , .

    Da upamtim! (a, b) (c, d) a = c b = d - (a, b) = (c, d).

    , .

    (2, 3) (3, 2) ?

    (s, 1) (1, s)?

    A = {1, 2} B = {a, b, c}. , .

    3

    , , . A h V. .

    A h V = {(x, y) | x A i y B}.

    S = {1, 2, 3} S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4 .

    A

    B

  • 16

    A h A . , . .

    A = {a, b}. A x A.5

    M = {5, p}.6

    Uo~i i zapamti!

    Treba da zna{!

    - ;

    ;

    ;

    ;

    .

    A = {a, b}, B = {5, 55} C = {m, n}.

    - , - .

    .

    .

    Zadaci

    A = {2, 5}, = {a, b, }.

    1.

    :a) (5, ) = (5, 2);b) (, 6) = (8, 6);v) (, 3) = (7, )?

    2.

    Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.

    4.

    .

    .

    .

    :A = {, , }. : = {, , }. A .

    3. . : .

    Proveri se!

  • Podseti se!

    17

    B

    6

    ?

    ?

    : 23, 1005, 207, 987000. 813265? - ? ?

    .

    :

    ;

    ;

    .

    1

    : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 99, 100, 101, 9 999, 10 000, ... , .

    N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.

    0 . 0 N. 0 N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

    - .

    ? ?

    2

    : 1, 3, 5, 7, ... , a 2, 4, 6, 8,10 ... .

    : 36, 13, 1 111, 100 000, 99 , ?3

    A

    Prirodni brojevi!

    1 2 3 4 5 ...

    V ?

    .

    a. a . 0, - 1.

    4

    0 1

    O A

    20 1

    SO A

    a

    a

    a

  • 18

    5 6, 7 6.

    , 100?

    , ?

    6

    .

    1 . ?

    . .

    . .

    7

    ?8

    , 1, 1.

    2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...

    1 .

    , , OA = 1. , , . 2.

    3?

    .

    1, {1, 11, 21, 31, ...}.

    . .

    Uo~i i upamti!

    .

    : 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...

    .

    .

    N .

    0 1 2 3 4 6

    :5 1 6? 1 6?

  • 19

    : 7, 4 0.

    .

    .

    .

    .

    Zadaci

    .

    1. ?

    2.

    0 20.

    3.

    = { | }, .

    4.

    .

    ?

    ?

    ?

    .

    ? .

    0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    Treba da zna{!

    , ;

    - ;

    ;

    .

    .9

    !

    !

    Proveri se!

  • Podseti se!

    20 ()

    100?

    a 3 865?

    128 563?

    .

    .

    7

    1

    SI DI JI S D J

    00 11 22 33 44 5566 77 88 99

    S.

    e : 0, 1,2, ....9. (-) .

    .

    2?

    4 7 143 528 -. 3, 8?

    7. ?

    ., .

    !7 1 000 000 = 7 000 000.

    7 143 528. ( ). , , - .

    2

    A

    KLASAMILIONA

    KLASAHILJADA

    KLASAJEDINICA

    SM DM JM SH DH JH S D J

    7 1 4 3 5 2 8

  • Cifra Klasa

    3 DH 30 000

    4 JH 4 000

    5 S 500

    0 D 0

    9 J 9

    21

    1, 10, 100, 1000 . (-

    2 628 .

    10 000 000.

    , ?

    5, 8 2 50 800 200?

    34 509.3

    ! 3 ?4

    34 509

    20

    JH S D J

    3 3 3 310100

    1 000

    2

    1, : ) 3 ; ) 6 ; ) 9 ; ) 12 ; ) 18 .

    5

    . 6

    B

    , :

    1 000 000 000, ;

    1 000 000 000 000 ;

    1 000 000 000 000 000 .

    Upamti!

    .

    ?

  • 22

    !

    -.

    - ? JM SH DH JH S D J

    Proveri se!

    Zadaci

    5 203 478. - 5, 2, 7, 0 :

    ) ;

    ) ;

    ) .

    1.

    ?

    4.

    5, 5?5.

    ?

    6.

    7 405906.

    2.

    -

    3.

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    .

    Problem

    7. , . ?

  • 23

    Podseti se!

    : 16; 23; 45; 125;50; 200.

    : a) 157; b) 216; v) 350.

    - ?

    81A

    2 000 -.

    3

    :

    200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.

    2

    32, 35 37 .

    4

    B

    .

    ) ;

    ) ;

    ) .

    ?

    ?

    .

    ?

    .

    - ( ).

    15 - ;

    700

    50 000 - .

    : , ,,... , . ( ).

    302 413 - .

    5 020 340 -

    , () - .

    300 200 - .8 302 100 -

    .

    .

    30 32 35 37 40

  • 24 Sagledaj odgovore

    30 , 40 .

    32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. 32 30.

    37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. 37 40.

    35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. 35 30 40.

    32 30. 32 30.

    Ka`emo da

    37 40. 37 40.

    35 30 40. 35 40.

    .

    : 148, 243, 2 671, 3 585 74 598. 5

    : 3 435 3 468 .6

    : 1 372, 2 145, 1 653 4 898.7

    :)21 363; 47 612; 43 577. )4 803; 13 501; 177 982.

    8

    3 400 3 435 3 4683 500

    .

    , 1?

    ?

    .

    3 435 3 400, 3 468 - 3 500.

    : 3 435 3 400; 3 468 3 500.

    5, 1 5 5.

  • 25Sagledaj re{ewe a)

    21 363 21 000; 47 612 48 000; 43 577 44 000.

    ( , ,....) :

    : 0, 1, 2, 3 4, : 5, 6, 7, 8 9.

    35 738 :) , ) ; ) ; ) .

    9

    .

    Treba da zna{!

    , ;

    :, .

    : 5 200; 45 678 350.

    , : ) 34 752; ) 224 750.

    Proveri se!

    Zadaci

    : 2 345; 250; 6 400310.

    1.

    .

    2.

    ?

    3.

    24 375

    ) 24 700 24 600;

    ) 24 000 25 000?

    4.

    25 375 : ; -; .

    5.

    15 409 632 .6.

    7.

    12 245 12 250; 12 245 12 240;

    12 245 12 200; 12 245 12 300.

    ?

    ?

    .

    1 216 358 den.

    Poku{aj da re{i{!

    -, .

    .

  • 26

    Partizan(gimnastika)

    Spartak(karate)

    Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

    Dru{tvo (aktivnost)

    . a B R A DS A P O D A C I M A

    -. . - , .

    1

    . - .

    2

    . : -; -; -; -.

    3

    Broj

    Partizan(gimnastika)

    Spartak(karate)

    Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

    Dru{tvo (aktivnost) Broj

    9

    13

    15

    3

    . .

    - ?

    ( )

    .

    ?

    [email protected]

    Crna

    Crvena

    Zelena

    Boja Broj

    . : -, , , .

    - .

    P P L Z Z J P L J Z Z P L J Z Z P P LL L J Z P J J Z Z P P P L J P P Z L J

    9 : , , , , .

    () : , , - .

  • Podseti se!

    27

    B

    A

    .

    a + b = b + a

    .

    52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86

    sabirci zbir sabirci zbir

    - .

    a + (b + c) = (a + b) + c :

    a + b + c.

    a + 0 = 0 + a = a

    :

    14+ 35

    353+ 168

    47+ 803

    68 + 37 + 3 + 916 =

    98 796+ 14 534

    . , .

    1

    52 34.2

    Struga

    90 km

    190 km

    Bitoq

    Ko~ani

    ? ?

    N0.

    . .

    (71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) =

    185 + 16 = 201 71 + 130 = 201

    , .

    583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583

    10

    !

    17 + 36 + 13 + 44 =

    3

    12 + 81 + 9 + 38 + 27 =

    161 + 234 + 439 =

    Primer

    !

    27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

  • VI - .

    VI .

    VI VI , .

    28

    VIa 17 14

    VIb 14 17

    VIv 9 22

    Zadaci

    :1.

    : - 1 300 . 726 -.

    2.

    171

    :3.

    64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

    7 328 6435, : , ,. - ?

    4.

    ?

    + 16

    27+ 72

    39+ 93 + 39

    44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

    1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

    V

    :4

    45 + (45 + 56) =

    : 74, 33, 26, 48 57.

    : 140, 310, 750, 360 290.

    124 139 261, 55 276.

    372, 126 319 -.

    ( 1 207 + 101) + 269 =

    5

    .a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.

    ?

    6

    Problem!

    2 .

    2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

    ?

    ;

    - ;

    - .

    Treba da zna{!Proveri se!

  • Podseti se!

    29

    :

    ?

    475- 232

    1 852- 800

    2 685- 518

    9 840- 189

    47 - = 19

    28 + = 47

    + 19 = 47

    11

    A 2000. . 4 830 , 3 892 .

    ?

    1

    4 830 - 3 892 =

    B

    Olimpijada 1992

    Ekipa Poeni

    Italija 15 760

    Amerika 15 649

    Poqska 16 018

    - ? ?

    a - b a i b N0 a > b ili a = b.

    .2

    ?

    .

    5 000 -. - .

    3 Dn . Ponedeqak 1 260

    Utorak 4 205

    Sreda 4 728

    ^etvrtak 3 916

    Petak 4 010

    Subota 4 857

    Nedeqa 1 376

  • 30

    489. 120, 70 . 42 , 98. ?

    Zadaci

    836 299 173. 1 216.

    1.

    2. 1 350 . 3 120. . . .

    4.

    2 725 . 210 . 385 - .

    ? ?

    3.

    (26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;

    (439 - 195) + (270 - 36) = .

    :

    2 376 1 289 - .

    457 165 -. .

    4

    ;

    - ;

    -.

    Treba da zna{!Proveri se!

    Poku{aj!

    , ?

  • 31

    12

    Podseti se!

    320 + 150 = 470 250 - 120 = 130.

    ?(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

    A , 2600 3 100.

    ) - ?

    ) 400 - . ?

    1

    a + b = 200. 300. a + (b + 300).

    2

    340 + 620 = 960, :) 60;) 60, 60?

    3

    .a) 2 600 + 3 100 = 5 700; 5 700 .b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. 400.

    a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;

    b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; .

    a) .

    Uo~i da

    Uo~i uop{teno o zbiru a + b = c

    , , . (a + m) + b = c + m

    , , . (a - m) + b = c - m

    , - , . (a - m) + (b + m) = c

  • 32 B 4.) 750 - 430 = 320. - :) 50; ) 50.

    4

    2 480 - 560 = 1 920. :) 30; ) 30?

    5

    6 354 - 2 314. :

    ) 120; ) 120?

    6

    , 10, 10?7

    :a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.

    : ) 30; ) 30.

    ) 50

    50, . -.

    .

    Uo~i uop{te o razlici a - b = d

    (, ) , , (,

    ) .

    (a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m

    , , .

    , , .

    a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m

    - .

    (a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d

    , :

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    , ?

    , :

    , ; ;

    , , .

  • 33

    3 540. 140?

    270. : ) 27? ) 27?

    460 120. x : (460 + x) - (120 + 58) = 340.

    Proveri se!

    Zadaci

    234?

    1.

    25, - ?

    4.

    Ako a - b = 100, izra~unaj:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);v) (a - 10) - (b + 10);g) (a + 5) - (b - 5);

    5.

    . 100 . , 200 - 700 . ?

    6.

    1 230+670 = 1 900, (1 230- 350) + 670?

    2.

    6 543 - 2 732 = 3 811.

    x 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

    3.

    Problem

    . ?

  • Podseti se!

    34

    .

    a b = b a

    -.

    4 6 = 24 ili 6 4 = 24

    -.

    (a b) c = a (b c) :

    a b c.

    1

    a 1 = a

    . .

    (2 5) 3 ili 2 (5 3)

    10 3 = 2 15

    30 = 30

    1, - .

    468 1 = 468

    0

    0 a = 0

    , .

    0 235 = 0

    A 7 100 -.

    35 5 = 480 3 =

    1 260 38 = 4 004 20 =

    145 23 = (3 5) 200 = 400 ?

    1

    5 9 . 6 8 .

    2

    ?

    N0.

    13

  • 35

    Primer

    , !

    2 (50 9) =

    3

    4

    (7 25) 4 = 7 (25 4) = 7 100 = 700

    (500 7) 2 =

    50 (4 8) =

    40 + (130 10) =

    (280 + 32) 8 =

    96 2 (30 18) =

    5

    40 (25 + 5) = i (40 25) + (40 5) =

    ?

    ?

    (68 - 10) 5 = 68 5 - 10 5

    -?

    , !

    : a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = (a c) + (b c);a (b c) = (a b) - (a c); (a b) c = a c - b c.

    324 48, . - ?

    6

    320 50 = 16 000; 324 48 = 15 552; 448 .

    :

    ;

    .

    B ?

    4 , 4 , 4 . 7

    Sagledaj!

    4 4 4 4, : . 4 4 3.

  • 36

    4 4 4 43 643 3 3 3 3 3

    6 6

    8 8 8 8

    ?

    ?

    108 .

    14.

    : 51 = 5; a1 = a.

    43

    STEPEN

    OSNOVASTEPENOVPOKAZATEQDa upamtim: -

    .

    .

    ;

    ;

    ;

    .

    Treba da zna{!

    8 , 8 8 -.

    -? ? ?

    .

    !1.

    245 48 . .

    2.

    6 370 -. 60 . .

    3.

    127 268 ) ; ) . .

    4.

    186 35 =

    (427 5) 24 =

    (1 376 - 376) 100 =

    50 (60 + 80) =

    496 12 - 96 12 =

    73 =

    42 + 4 + 34 - 25 =

    Proveri se!

    Zadaci

    *,

    439 7

    373

    + 756

    2633

    5.

  • Podseti se!

    A

    37

    14 : 7 =

    20 : 10 =

    22 : 2 =

    88 : 22 =

    396 : 3 =

    1 200 : 60 =

    ! 1 300 . - 325 .

    1

    84 . 6 .

    2

    ?

    12 , ?

    1 300 : 325 =

    1a : 1 = a

    1, .

    23 765 : 1 = 23 765

    .a : a = 1, a 0

    0.0 : a = 0, a 0

    , 1.

    762 : 762 = 1

    0, 0.

    0 : 16 = 0

    2 : 0 ! 0 .

    !

    14

    :

    (28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =

    (40 + 7) 12 - 225 : 5 =

    108 : 18 + 3 485 : 85 =

    3

    , 72, 102. 18712 1?

    76 - 12 3 + 53 - 100 =

    an

    N0.

  • B18

    54

    : 3 : 6

    108

    Treba da zna{!

    .

    , .

    : 1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

    1 510 : 125 = , .

    38

    ? ?

    Ako a = 77 i b = 5, a : b r. a a = b q + r.

    16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.

    71 = 23 3 + 2.

    , . 71 .

    4

    q r a : b a = b q + r.6

    5

    71:3, 23 , 2 .

    a : b, q -, r , :

    a = q b + r

    Razmisli i odgovori!

    8, : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

    8?

    Zadaci

    , .

    1.42

    84

    : 7 : 2

    98

    Proveri se!

  • 10 000 . 40 - . ?

    39 ?2.

    -.

    85 4 15. 210 30 700.

    120 6 ?

    3.

    -:

    a) 3 020 = 125 24 + ;

    b) 2 100 = 261 + 12.

    4.

    12 4 . 1?

    5.

    72 63 9

    9 600 50

    4 169 13

    : 9 :

    :

    :

    : 19

    : 19

    : : 5

    5

    4 10

    :

    2= 10 : 2

    *, ?

    6.

    : 16, 19. 22 9. ?

    7.

    660. , . ?

    8.

    155 : 5 = 3 - 13

    -

    0

  • 40

    15Podseti se!

    :

    a) 10 4 = 4 10;b) (10 4) 5 = 10 (4 5)?

    805 = 400. , .a) (80 3) 5 = ; b) 80 (3 5) = ;

    v) 80 (5 3) = ; g) (80 5) 3 = .

    96 : 24 = 4

    a : b b 0.

    A 156. :) 2 ; ) 3 ; ) 7 . ?

    1

    a b = 50. : a) (a 3) b; b) a (b 10).2

    40 9. , : ) 2 ; ) 4 ; ) 5

    . ?

    3

    Ako a b = 120, : a) (a : 3) b; b) a (b : 5).4

    1516=240. : (15 2) (16 : 2); (15 : 5) (16 5),

    .

    5

    .15 6 = 90;

    a) (15 2) 6 = 30 6 = 180 = 90 2.

    ) 3 ; ) 7 .

    .40 9 = 360;

    a) (40 : 2) 9 = 20 9 = 180 = 360 : 2.

    : ) 4 ; ) 5 .

    2 , 5 , 2 , 5 . .

    2 .

    2 - 2 .

  • 41

    B 72 : 12=6. :a) (72 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;

    v) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 4) : (72 4) = .

    6

    a : b = 30.a) (a 2) : b; b) a : (b : 3); v) (a : 5) : (b : 5).

    7

    , 2 - 2 , 2 .

    Op{te o proizvodu a b = p

    , - , . (a m) b = p m

    , , .

    (a : m) b = p : m

    , . (a : m) (b m) = p

    Op{te o koli~niku a : b = q

    ( ) , , (-

    ) .

    (a m) : b = q m(a : m) : b = q : m

    ( ) , , (- ) .

    a : (b m) = q : ma : (b : m) = q m

    ( ) .

    (a m) : (b m) = q(a : m) : (b : m) = q

    , : : ) ); ).

    , . ?

    :a) (72 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

    ) () 3 , () 3 . ) .

  • 42 Treba da zna{!

    - .

    - , -.

    p i m, ako:a) 50 23 = p, (50 m) 23 = p 9;b) 30 12 = p, 30 (12 : m) = p : 6.

    600:30=20. :a) (600 7) : 30; b) 600 : (30 4);v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).

    Proveri se!

    Zadaci

    a b = 60. :a) (a 3) b; b) a (b 7);v) (a : 4) b; g) (a : 6) (b 6).

    1. , - 100 g . 1 680, 3 . - ?

    4.

    7 680 : 240, , - .

    5.

    a : b = 90. :a) (a 5) : b; b) a : (b : 6);v) (a 7) : (b 7) g) (a : 12) : (b : 12).

    2.

    a (b 5) = 80. :a) a b; b) a (b : 4); v) (a 8) (b : 8).

    3.

    Zanimqiv problem!

    . - , , . - , . ?

  • 43 . .16Podseti se!

    !

    a) 26 - 4 5 - 3;

    b) 14 + 6 (9 - 24 : 3) - 23.

    200, 120. ?

    -.

    ?

    120 + 300 : 2 - 4 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.

    .

    .

    . 128, 64. ?

    A 120 . 300 . 4 35 50 . ?

    1

    :

    a) 85 + 15 -30; b) 5 12 : 3 2; v) 24 - (16 + 4 3) : 7.2

    x

    : 64

    12864x

    + x

    120

    200120x

    120 + x = 200x = 200 - 120x = 80

    64 x = 128x = 128 : 64x = 2

    Uporedi svoje re{ewesa zadatim

    : 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 8; 5 + 18 : 6 - (4 25 + 25).

    : 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( 8).

    , .

    Uo~i i zapamti

    , -; .

  • 44

    .

    , . , .

    :

    a) 45 - 5 3 - 24 : 6; b) 5 12 : 3 2; v) 96 + 4 (18 - 8 : 2) - (27 - 4 6) : 3.3

    :

    a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5

    B , , 1 234. ?

    4

    , , x.

    x , 999; x+999.

    Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235.

    , x+999 1 234, x+999= 1 234.

    ?

    x 1 234 - 999.

    + 999 = 1 234

    x + 999= 1 234 x .

    x .

    .

    x

  • 45 : a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6

    : a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7

    1 392 , 16 . ?

    8

    .

    a) x, 1 270 2 380? ?

    b) K x 8 226 1 149?

    , .

    k , 16 , 16 k = 1 392.

    1 392 16 k. k?

    x 2 380 - 1 270.

    8 226 1 149.

    k 1 392 16.

    , , .

    x + b = c; x = c - b(b i c )

    , , .

    x - b = d; x = d + b(b i d c )

    , , .

    a - x = d; x = a - d(a i d c )

    k = 1 392 : 16; k = 87. 87 .

    : a) 17 y = 595; b) (10 + 3) z = 178 + 4.9

  • 46

    x = 47 25. ? .

    x : 25 = 47,

    . 25 47, x?

    10

    1 120 : x = 35 x = 1 120 : 35.11

    a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; v) 1 080 : x = 24; g) 50 : (x + 2) = 10.12

    , .

    , , . a x = p; x = p : a

    (a i p )

    , , .

    x : b = q; x = q b(b i q )

    , , - .

    a : x = q; x = a : q(a i q )

    Treba da zna{!

    -;

    - ;

    .

    :17 + 3 (56 - 4 13) - (62 - 18 : 3).

    :a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15;d) (x + 2) 35 = 105.

    Proveri se!

    Zadaci

    :a) 190 - (5 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 13).

    1.

    1 360 , 420 ,635 , . ?

    3.

    11 . 3 4 . ?

    4.

    . 140 , 2 , 5 . ?

    5.

    :a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;v) 17 x = 289; g) x : 30 = 40;d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.

    2.

  • 47

    12

    R A B R A DS A P O D A C I M A

    . .

    1

    9

    15

    6

    23

    ? ? ?

    - , - .

    12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65

    65 : 5 = 13

    Uo~i!

    -

    13 .

    13 12, 9, 15, 6 23.

    . ?

    :2

    : 1 89, 2 91 , 3 100 4 80.

    3

    24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.

    17

    : .

  • 48

    3 3 6

    3

    9

    1 18

    2 9 2 9

    1 18 1 18

    Broj Broj u~enika Ukupan brojredova u svakom redu u~enika

    Podseti se!A

    :

    - 0?

    24 : 6 =

    139 : 2 =

    265 : 5 =

    2 785 : 8 =

    VI . .

    1

    -? .

    : 18 1, 2, 3, 6, 9 18. 18. : D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

    18 ? 18 - 0 ( )?

    : 18 1, 2, 3, 6, 9 18 .

    :2

    4 8 (4 2=8 8 : 4 = 2 0). 4

    6 24;

    31 5;

    42 6.

    5 4.

    D14 14.3

    , 14, 1, 2, 3, 7.

    -

    !

    .

    18

  • 49

    B

    b a, a b, a b 0.

    10 : 5 = 2 10 = 5 2

    b a, a = b k k.: b | a. : b a.

    a b, b a.35 5, 5|35.

    1 .10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1a : 1 = a i a : a = 1

    10

    7: 28, 42 i 28 + 42; 14, 18 i 14 + 18.

    3: 9, 24 i 24 - 9; 15, 22 i 22 - 15.

    4: 12, 15 i 12 15; 10, 15 i 15 10.

    4 S4;S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.

    5

    m | a i m | b

    m | (a + b)

    m | a i m | b

    m | (a - b)

    m | a ili m | b

    m | (a b)

    a m b m, (a + b) m.

    5 | 15 i 5 | 35 5 | (15 + 35)

    a m b m, (a - b) m.

    3 | 21 i 3 | 9 3 | (21 - 9)

    m a b, m (a b).

    2 | 8 i 2 | 15 2 | (8 15)

    Uo~io sam u zadatku!

    7 7. 3 3.

    4 4.

    4 4.

    : 5| 10. 5 10.

    Op{te

  • 50 : 15, 18, 25 28 , : 5; 3;

    7, 5.

    , 5, - 5.

    6

    12+8, 24-9, 5.7

    - ;

    - ;

    , .

    Treba da zna{!

    : 5, 8, 30 56.

    6?

    30.

    5.

    5 58?

    :

    4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);

    5 | (30 - 5); 5 | (30 6).

    Zadaci

    1, 2, 3, 5 7 - 70? 64.

    4|12; 3|36; 10|1 000.

    7 3. 3?

    1.

    :

    4 ;

    2 ;

    3 .

    2.

    , , 5.

    a) 40 + 25; b) 27 + 20;

    v) 50 - 15; g) 35 - 29.

    3.

    , 3, 7.

    a) 9 5; b) 4 14 2;

    v) 5 12; g) 8 21 5.

    4.

    ={6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. ={ | 4 | }.

    5.

    Proveri se!

  • 51

    Uo~i postupak

    132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, 2 | 130 i 2 | 2.

    254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, 2 | 250 i 2 | 4.

    365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, 2 | 360 i 2 | 5.

    Upamti!

    2, 0, 2,4, 6 8.

    : 132,254 365 2?

    2

    : 530, 738, 1 336, 1 112 2 243 2?3

    ! 2 , .

    A

    : 10, 70 270 2.

    , . . - .

    1

    Uo~i postupak

    10 = 2 5; 2 | (2 5), t.e. 2 | 10.

    70 = 7 10; 2 | (7 10), t.e. 2 | 70.

    290 = 29 10; 2 | (29 10), t.e. 2 | 290.

    Mogu da uo~im!

    , 10. 2.

    0, 2.

    2 519Podseti se!

    0.

    : 37, 64 310 2.

    : 65, 800 237 5?

    2.

  • 52

    Mogu da uo~im! , 5, 5.

    B Uo~i postupak

    10 : 5 = (2 5) : 5; 5 | 10 5 | 2 i 5 | 5.

    70 : 5 = (10 7) : 5; 5 | 70 5 | 10 i 5 | 7.

    360 : 5 = (10 36) : 5; 5 | 360 5 | 10 i 5 | 36.

    Mogu da uo~im!

    0 - 10.

    5.

    0, 5.

    : 10,70 360 5.

    4

    Uo~i postupak

    65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, 5 | 60 i 5 | 5.

    105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, 5 | 100 i 5 | 5.

    263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, 5 | 260 i 5 | 3.

    : 65, 105 263 5?

    5

    5.

    Upamti!

    5, 0 5.

    : 180, 243, 525, 420 i 1 275 5?6

    2, 5, . 2, 5, .

    Treba da zna{!

    : 13, 24, 15, 57, 155, 850 1 000

    2; 5;

    2 5?

    Proveri se!

    Zadaci

    2, : 28, 70, 96, 797, 2 001 25 000.

    1.

    5.2.

    : 102, 275, 400, 876 995 5?

    3.

    60, 70 -. 5 .

    ?

    4.

  • 53

    B . 9.

    ! j 3, 3.

    ! 9, 9.

    Upamti!

    3, 3.

    Upamti!

    9, 9.

    111, 292, 1112 1 236 3?3

    78, 117, 348, 486 1 567 9?4

    3; 9; 3 i 9.

    : 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 7 235 :5

    3.

    2

    - 3.

    3 920Podseti se!

    9, 66, 171 231 3.

    18, 999, 1062 11 000 9?

    A 72, 84, 297 373 3?

    1

    . 3.

    3 3. ?

    3.

    9.

  • 54 ! 459, 774 6 327 3 9.

    Upamti!

    9, 3.

    !

    !

    9 9? : 486 = 400 + 80 + 6 = 100 4 + 10 8 + 6 = =(99 + 1) 4 + (9 + 1) 8 + 6 = (99 4) + 1 4 + 9 8 + 1 8 + 6 = (99 4 + 9 8) + (4 + 8 + 6);

    99 4 + 9 8 9 . 4 + 8 + 6 486 9.

    4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, 9 | 18. 123 3.

    . 60 . 220 . . . , ?

    3;

    9;

    9, 3.

    Treba da zna{!

    : 75, 94, 258 347 3? * 56*3, 9? 3 9.

    Zadaci

    348, 512, 1 245 6 123 3?

    1.

    4 279, 9 126 540 - 9?

    2.

    *, 3?

    1 37; 6 53; 3 25; 24 62.

    3.

    * , 9:

    38; 6 74; 1 83; 3512.

    4.

    * 27 55*, 2 3?

    5.

    Proveri se!

  • 55

    Podseti se!

    ! 4 , - .

    Upamti!

    4, 4.

    A

    : 96, 300, 2 718 3008 4?

    : 100, 500 1300 4.

    1

    100 = 25 4; 4 | 100, 4 | (25 4).

    500 = 100 5; 4 | 500, 4 | (100 5).

    1 300 = 100 13; 4 | 1 300, 4 | (100 13).

    132 : 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, 4 | 100 i 4 | 32.916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, 4 | 900 i 4 | 16.283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, 4 | 200 i 4 | 83.

    ! , - 100.

    4.

    0, 4.

    4.

    132, 916 283 4?

    2

    421

  • 56 : 48, 108, 135 1 240, 7 732 9 006 4.3

    4, .

    Treba da zna{!

    9 996 , 4. 4.

    Zadaci

    1, 2, 3 4, -, 4.

    1.

    *, 4?

    362; 4 71; 5 42; 520.

    2.

    - 4 5.

    3.

    2, 3 4.

    4.

    Proveri se!

    !

    50 . , . e .

    ?

    .

    , 20 .

    1 4 1 5 .

    , , , . 10 , 20 .

  • 57

    B

    5 1, 5

    6 1, 2, 3, 6

    3 1, 3

    4 1, 2, 4

    2 1, 2

    1 1

    .2

    Broj Delilac broja ?

    ?

    ?

    Upamti!

    2 , . 3 - .

    1 , .

    2, 3 5 . 4 6 .

    :A = {x | x N i x < 20}; B = {x | x A i x e prost broj}; C = {x | x A i x e slo`en broj}.

    3

    : 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.4

    4 71 !

    ? !

    A .

    .

    1

    .

    A

    22

    Podseti se!

    1.

    .

    : 3, 17 53.

    : 6, 12 15.

  • 58

    .

    : 42, 50 75.5

    o! .42 = 21 2 = 7 3 2

    50 = 25 2 = 5 5 2 = 2 52

    75 = 15 5 = 3 5 5 = 3 52

    Upamti!

    , . .

    36 .6

    120 .

    .

    7

    12060301551

    22235

    120. - , .

    , ( , 2).

    1.

    1 164582291971

    22397

    97 3, 5.

    7.

    112 > 97.

    , 97 .

    : 36, 140, 600 10 000.

    120 = 2 2 2 3 5 = 23 3 5

    1164 = 22 3 97

    1 164.

  • 59Treba da zna{!

    , .

    .

    91 97 ?! 152 .

    Zadaci

    :15, 42, 38, 75 11 115.

    1.

    30, 20 . ?

    2.

    , , . 10. ?

    3.

    4. 2 .

    :8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11.

    :14, 52.

    Proveri se!

    Istra`i sam!

    100 . 1 100. , , . . , ., . - , , . , . ?

    . 10 , 20, 30 100 .

  • 60

    Podseti se!

    .

    A

    : D28 28, D42 42*, D28 D42 28 42.

    23

    18. - D18. 24.

    - D24. 18 24, . D18 D24.

    28 -, 42.

    1

    30 45. (30, 45).2

    ? ?

    !

    28 D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

    42 D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

    28 42 D28 D42 = {1, 2, 7, 14}

    Uo~i da:

    : 1, 2, 7 14 . 14 . 14 28 42.

    Upamti!

    ! , n m m n. : NZD(m, n).

  • 61

    B

    :a) 24 i 30; b) 9 i 14.

    3

    Uo~i!

    9 14 1, , . (9,14)=1

    Upamti!

    (a, b) =1, a b .

    .

    168 180 -.

    168 180 .

    (168, 180).4 16884422171

    22237

    120, 15060, 7520, 254, 5

    235

    42, 63, 8414, 21, 282, 3, 4

    37

    18090451551

    22335

    168 = 2 2 2 3 7

    180 = 2 2 3 3 5

    Uo~i!

    168 180 -, . (168, 180) = 2 2 3 = 12.

    .

    .

    .

    .

    , .

    NZD(120, 150) = 2 3 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 7 = 21.

    (120,150) (42,63,84).5

    Odredi a) NZD(72, 90); b) NZD (150, 180, 240)6

  • 62

    36 60 , .

    8 m 12 m. ?

    Zadaci

    30 36.

    1.

    . 96 m, 180 m. ?

    5.

    :

    a) NZD(12, 18); v) NZD(60, 90, 120);

    b) NZD(48, 72); g) NZD(240, 300, 600).

    2.

    :

    a) NZD (16, 25); b) NZD(36, 72).3.

    49 72 - , ?

    4.

    !

    48 , 72 120 , ?

    6.

    , - : )36 54; ) 28, 42 98.

    7.

    .

    ;

    - , .

    Treba da zna{! Proveri se!

    :(36, 54) (28, 42, 98).

    1 3

    2

    36

    54NZ

    D

    1

    723

    4228 98

    NZ

    D

  • 63

    A . - , . ?

    1

    .

    24Podseti se!

    3, - S3.

    4 - S4.

    3 4, . S3 S4.

    B

    !

    4. S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

    6. S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}

    S4 S6 = { 12, 24, 36, ...} 28 42.

    Uo~i!

    12 , 24, 36 . 12 .

    12 4 6.

    Upamti!

    n a b . (a, b) = n.

    3 5. (3, 5).2

    . 12 45 .

    (12, 45).3 12631

    223

    451551

    335

  • 64

    . , .

    NZS(60, 72, 90) = 23 32 5 = 8 9 5 = 360.

    60, 72, 9030, 36, 4515, 18, 4515, 9, 455, 3, 155, 1, 51, 1, 1

    222335

    : a) 14 i 15; b) 20 i 40; v) 60, 90 i 120.6

    Uo~i!

    , , .NZS(14, 15) = 14 15 = 210;

    , , . (20, 40)=40

    9 12 , -. :

    10 ;

    15 ;

    20 .

    ?

    Treba da zna{!

    - ;

    - .

    (m, n), : m = 22 33 5; n = 23 32 7.4

    (60, 72, 90).5

    . , , .

    12 22 3. 45 32 5. 12 45 2, 3 5. : 2, 3 5.

    ,. NZS(12, 45) = 22 32 5 = 180.

    Proveri se!

  • 65Zadaci

    : 10 15, (10, 15).

    1.

    :

    a) NZS(8, 10); v) NZS(80, 120);

    b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).

    2.

    . 50 , 60 , 75 . - - ?

    3.

    -. - 20 , 24 . ?

    4.

    30 . 3 , . 4, , 5, . ?

    5.

    . 5, 4, 6 . ?

    6.

    Istra`i sam!

    , 12 16?

    Poku{aj da izra~una{!

    12 24. ?

    Zanimqiv problem!

    . 20 , . . ?

  • 66

    . 25

    .

    ?

    ?

    ?

    Sedmica 1

    Sedmica 2

    Sedmica 3

    Sedmica 4

    Sedmica 5

    Sedmica 6

    Znak predstavqa 10 majica,

    a 5 majica.

    - .

    6 . . .

    1

    Broj 30 50 20 25 15 40

    VI .2

    -.

    3

    ().

    10 .

    ?

    ?

    50 . .

    .

    350

    400

    150

    100 50

    R A B R A DS A P O D A C I M A

  • 67 9 . (). 1992 .

    4

    Zemja 1

    Mars 2

    Jupiter 16

    Saturn 18

    Uran 15

    Neptun 8

    Pluton 1

    - ? .

    . 5 10 ?

    ;

    . , .

    .

    .

    M

    0

    2468

    1012141618

    Z M J S U N P

    0

    5

    10

    15

    20

    0

    10

    20

    :

  • A = {a, b, c = {1, 5}.

    .

    A = {x | x },

    = {x | x } C ={x | x N 15 < x 19}) , . ) - . ) , , , \ .

    68 .

    261.

    2.

    ,

    9, 6. 15 ?

    7.

    : 14, 18.

    23 2. ?

    8.

    :427, 586, 386 485.

    10.

    105, 372, 801, 930 254 :

    a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?

    11.

    *

    4: ) 573*; )74*2.

    12.

    315 .13.

    D68, . 68.

    14.

    18 24.15.

    12 20 , ?

    16.

    30 m.

    50m. ?

    17.

    9.

    9, 1 0. )

    . ) , . ) .

    3.

    : -

    . 3 ? - 3?

    4.

    6 485 2 539 - .

    ?

    5.

    35 648 18 719 300,

    ?

    6.

    .

    9kg, 19 kg. , 13kg. ?

  • 69

    1. . 70

    2. a 733. 75 4. . .

    77 5. 806. 837. 878. 899.

    . 92

    10. 94

    11. 9712. .

    10013. ,

    103

    14. . 105

    15. 108

    16. . 11017.

    11318. .

    11619. .

    11820.

    12021. 12222. 12523. 12724.

    . 130

    TEMA 2.

  • Podseti se!

    A

    70

    a :: , D F a.: , , G a. a .

    .

    p p ; - p.

    N , . p, N p. N p.

    b . b.

    ?

    .1A

    D

    BG a

    CH

    F

    M

    p

    N

    ! .

    m. , , , N : A m, B m, C m, M m i N m.

    2

    d : A d, B d, C d, D d, E d, F d i G d.

    d? ? d? ?

    3

    AD

    G

    Cd

    B

    EF

    - , .

    .

    Uo~i!

    : A m i B m.

    .

    1

  • B71

    p q . p q p q .

    A

    B a

    bE

    C

    D

    A

    B

    p

    q

    .

    4

    -:

    a) A, R i V; g) M, Y i B;

    b) M, Y i N; d) A i V;

    v) A, R i N; |) N, P, S, M.

    5

    .

    : A V .

    6

    . , ; , .

    , D , .

    Uo~i i upamti!

    , , , . .

    .

    Uo~i i upamti!

    A

    M Sm

    nN

    P

    B

    N .

    .

    Uo~i i upamti! N - p. - - N?

    7

    p . p. ? .

    8

    M

    pN

    ! . : N p .

  • ); ).

    3.

    p , N . p?

    4.

    D

    A b

    aC

    B

    E

    72 , .

    N.

    ? ? N?

    9

    Ma

    bc

    N

    .

    , , - .

    Uo~i i upamti!

    A

    10 . a, b c, .

    Treba da zna{!

    ;

    .

    .

    , , , D, F N a. , .

    a, b, c d . , ?

    Zadaci

    a b .

    1.

    , , D - . ? .

    5.

    , a, b c, , b c . a a c?

    2.

    Proveri se!

  • Podseti se!

    B

    A

    73

    a i b - . ? ?

    a

    bP

    . . . a b - . a b = {P}

    . a b . a || b.

    b

    ac

    :

    a) a i b .b) a c i d L.v) a m i n .

    1 .a) a b = {A}. v) b c = {B}.b) a c = {B}. g) a c = {C}.

    2

    . a b .

    : -, .

    3

    A

    C

    B

    ab

    2

    b

    a

    c a, b i c - :

    a i b , ., a || b.a i c e , t.e. a || c.b i c e , t.e. b || c.

    4

  • 74

    Treba da zna{!

    ; -;

    , , .

    a R a. b a. a, b i c , , . - .

    a, b i c a || b i b c = {M}.

    Zadaci

    - .

    1.

    , D ? ? .

    2.

    , . ? .

    3.

    a, b, a || b.

    4.

    m. n ip n || m i p || m. n i p?

    5.

    , , . . a || a.

    a i b .

    .

    ;

    Uo~i i zapamti!

    ab

    Proveri se!

  • Podseti se!

    75

    B

    A

    BC = 0 cm, -.

    - , - , . - (cm), (m), (km) .

    , . >0.

    - -.

    , 5 m, 55km .

    D .

    A

    a

    - AB, BC i CD.

    : , - , .. = .

    1 d

    AB

    CD

    !

    B

    C

    D

    :

    MN NM, . .

    2

    D= 28 cm, D?3

    , . , . :

    AB so AC + CB;

    BC so BA + AC;

    AC so AB + BC;

    4

    A B D

    C

    M N

    o~i!

    A

    C

    B

    ?

    AB < AC + CB;

    BC < BA + AC i AC < AB + BC.

    3

    AB = 4 cm; AB > 0; BD = 3 cm; BD > 0;

  • , N . MP, MN, NP MP MN + NP.

    76

    , , . - , AC = 7 cm BC = 42 mm

    , , =35mm =48mm. ?

    5

    A, , :6

    M N P

    ?

    MP = MN + NP.

    , N MP = MN + NP, . N .

    : 1) > 0; 2) = ; 3) : AC < + .

    AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

    Treba da zna{!

    , ;

    , = ;

    A, , AC < AB + BC.

    , AC = 56 mm, AB = 3 cm BC = 26 mm ??

    M, N ,

    MN = 3 cm NP = 5 cm. MP

    95 mm?

    Zadaci

    4.1.

    p . =12. .

    5.

    , , , . AC < + .

    K, L M KL = 3 cm, LM = 52 mm KM = 82 mm?

    2.

    m ,N, , N N .

    3.

    Proveri se!

    AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

  • Podseti se!

    B

    A

    77

    a . a ?

    ? a, .

    . , , : - .

    a

    p

    O

    a O C DBA

    AO

    V

    p , . - . , . -.

    , !

    OM

    a . ? .

    1

    N , - m .

    2

    N. , N .

    3

    ? ?

    4

    m O

    N

    M N

    m O BA

    C

    Uo~i!

    N . -.

    . .

    , , 4

  • 78

    .

    8

    D D . ?

    Uo~i i zapamti!

    N N N.

    N=5cm.

    M NA B

    D.

    9

    A D B

    Uo~i i zapamti!

    AD = DB. D - . .

    .10

    ! . . N m m = 5cm.

    . 5

    ) ).7

    p ,N .

    6

    aC

    O

    A D

    B

    p P NM

    ? p N?

    Uo~i i zapamti!

    N . N MN.

    M N

    M X N

    Aa)

    b)

    V

    S

    m

    ) N MN.

  • 79

    ? ?

    Treba da zna{!

    ; ;

    ;

    ;

    - .

    ?

    , D .

    Zadaci

    1.

    , , . - .

    2.

    p N. p N L .

    3.

    5.

    ?4.

    , . ? .

    6.

    , F G. ? .

    7.

    D . D,

    AB = 4 cm?

    8.

    Uo~i i zapamti!

    , :

    AB = EF i CD = GH

    .

    11

    D .

    12

    A B

    G H

    A B

    E

    F

    C

    D

    A C F

    E

    D

    B G

    , D, F GH . ?

    Proveri se!

  • Podseti se! A

    80

    - . .

    - ?

    .

    2A B

    O M S

    O

    .

    ( ). , , . ( ).

    ().

    .

    Re{ewe:

    A M

    . - , OA = 1 cm i OB = 3 cm.

    1

    n ,

    n . . OA = n.

    a1, ,

    OA1 = 1 cm?

    -.

    .

    a)

    b)

    O Y

    A Vv)

    O MY -

    .

    .

    5

  • B81 MN . MN .3

    m ( . L) n (. N) ( ) OP = KL PS = MN.

    ?

    4

    , a i b .

    5

    6

    K

    m

    L

    O

    m

    a

    n

    P S T

    M

    n

    N

    A

    a

    B C

    b

    D

    a ib, a + b ( ).

    ( ).

    ( ).

    b , ( ).

    O

    a)T

    O Pb)

    T

    a b

    O P Sv)

    T

    a + b

    O Sg)

    T

    L N . L N . . ?

    7 m = KL i n = MN.

    K L

    M N

    m

    O S P Tn

    m

    n

    .

    L = m = n. N = n , . , = n.

    KL MN, . OS = m n.

  • 82

    = 48mm . .

    = a + 2b ON = 2a b, a = 3 cm b = 2 cm.

    n , -

    n , . = n;

    ;

    , ;

    a = 62 mm b = 3 cm, = 3 cm, a + b ia - b.

    8

    Treba da zna{!

    : 2a + b a + 2b, a = 25 mm b = 22 mm.

    , = 4 cm

    = 2 cm.

    Zadaci

    1.

    ?2.

    : = 2a ON = a, a = 3 cm.

    3.

    4.

    : a - b a - 2b, a = 72 mm b = 2 cm.

    5.

    : a + b - c, a = 5 cm,b = 3 cm c = 4 cm.

    6.

    Proveri se!

    . .

    ? ? ?

    a) b) v)

    1.

    2.

    3.

  • 83

    A .

    M N

    ) ) , , CD DE, .

    MN NP . .

    P

    6Podseti se!

    .

    ?

    .

    A B

    A

    B

    C

    ? ?

    A B C D Ea)

    b)

    v)ED

    C

    BA

    A

    B

    C

    D

    EA

    D

    B

    E

    C

    g)

    D

    B

    Cd)

    A

    , . , , - . ?

    E

    F

    GH

    ?1

    A CB

    K I

    L

    M

    N

    P R

    T

    S

    a) b) v) g)

    Upamti!

  • B ?

    D?

    D . .

    .2

    Uo~i i zapamti!

    .

    A V

    S

    D

    E

    A V

    S

    D

    E

    A E B

    S

    D

    -

    - .A

    S

    V

    ?

    ?

    3

    a) b) d) )v) g)

    84 . , CD - , -.

    A V

    S

    D

    , ?

    . , , D.

    ?

    a) b)

  • 85Uo~i!

    .

    Upamti!

    , . . .

    D - .

    A

    D

    B

    C

    V 4 .

    AB

    C

    D

    E

    32 mm

    2 cm

    45 mm

    4 cm

    - L.

    Uo~i i zapamti!

    :

    L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e.

    L = AB + BC + CD + DE

    L = 137 mm.

    5 KLMNP, KL = 8 cm, LM = 6 cm,

    MN = 5 cm, NP = 7 cm PK = 6 cm.

    ; , . ; .

    Treba da zna{!

    D.

    ABCDE,

    AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm,

    DE = 4 cm i EA = 7 cm.

    Proveri se!

  • 86

    ?

    .

    3.

    4.

    - .

    6.

    A B

    C

    D

    E

    4 cm

    25 mm

    28 mm35 mm

    3 cm

    D L = 21m.

    ,

    BC = 5 m, CD = 720 cm, DA = 630 cm.

    5.

    , , D, .

    , , D.

    Zadaci

    1.

    ? .

    2.

    A B

    C

    D

    E

    Poku{aj!

    , , .

    a) b) v)

    (, ) , . ?

    1.

    2.

  • 87

    Upamti!

    , , , , .

    1 :

    ; ; ; ;

    ; ; ; .

    ) .

    ) .

    ) ,

    , .

    A

    7Podseti se!

    , : , , ,, . .

    ? , . ?. . ) . .

    Uo~i!

    .

    .

    2 ?

  • 88

    ?

    :) ;) .

    .

    Zadaci

    1.

    : , , , , , ?

    2.

    3.

    - ?

    4.

    Upamti!

    : , , .

    .

    , , : , , , , .

    3 .

    ?

    , -.

    ,

    ;, , ,

    .

    Treba da zna{!

    . .

    .

    .

    Proveri se!

  • 89

    A

    A, , , D, F. .

    ?

    ?

    1

    O

    D

    C

    B

    A

    F

    E

    .

    OA, OB - .

    ; .

    r.

    ! - .

    .

    8Podseti se!

    .

    , .

    25 mm. , .

    :

    OA, OB ?

    ?

    2

    B

    C

    A

    O

    r

    3

    ?

    ?

    k OA, OB, OD.

    A

    C

    k

    B

    O

    D

  • 90

    B

    4

    2 cm?

    . .

    r = 2 cm.

    k r k (O; r).

    .

    k? D k. ?

    k (O; r) , , D.6

    5 k (O; 2 cm).

    O C

    A

    D

    B

    k

    V

    k ( ) ( ) ( ).

    O

    BA

    D

    k

    8

    k . r (; r).

    . CD? ? ?

    .

    7 (;22 mm).

    k A, , D D.

    d

    C

    Uo~i i zapamti!

    . .

    . - d d = 2r.

  • 919 k (;25cm). .

    ?

    10 k (; r) .

    O

    BA

    kC

    , , D .

    11 k (; r), CD.

    Upamti!

    . , . . . . .

    Treba da zna{!

    ;

    -; , ; ;

    - -; .

    O

    AB

    Ek

    D

    C

    :) k?) ?) -?

    -

    d = 32 mm?

    Proveri se!

    Zadaci

    k (; 2 cm). ?

    1.

    ?2.

    k d = 4 cm = 3 cm.

    3.

    k(,25mm) , = 3 cm.

    4.

    - r = 28mm.

    5.

    - d = 5 cm.

    6.

  • Podseti se!

    92

    A

    B

    A, , , D , 35 mm), AO = 3 cm,

    BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

    k - , .

    - k? - k? - k? k a?

    AO

    D

    B

    C

    E

    GH

    Fk

    a

    O

    D

    F

    E

    Ar

    CG

    B

    : k(; r) A, , , D, , F G.

    :

    a) OA = r i OD = r;b) OB = r i OE = r;v) OC = r i OF = r.

    1

    D . - r.

    k. . - r. , F G k. . - r.

    Uo~i!

    2

    K, L, M, N P e , a k (O, 3 cm), OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?

    3

    . k? k? k?

    k a, b i c.4

    A

    O

    S

    Va

    k

    b

    c

    .

    9

  • 93Uo~i i zapamti!

    a k . a k. b k . b k. c k.

    5 k R. t R.

    O

    ab

    c

    Treba da zna{!

    -, ;

    ;

    -.

    k (, r), OA = r?

    m k (, r), m ?

    Zadaci

    , , D k (O; 3 cm), OA = 25 mm, OB = 30 mm,

    OC = 4 cm i OD = 2 cm?

    1.

    k (; 8 mm) a .

    3.

    ?

    2.

    ?4.

    ?

    5.

    - k?

    6.

    k . t - .

    7.

    Proveri se!

  • Podseti se!

    94

    A

    k(O; r) ik1(O1; r1). k(O; r), D .

    - k1. k k1?

    12 1 2, k1 k2 -, c; c = 12.

    k1 k2 . .

    k1 k2 .

    Razgledaj go crte`ot i odgovorina pra{aweto.Dali kru`nicite k1 i k2 imaatza edni~ki to~ki?

    k1 k2 ? k1 k2?

    Uo~i!

    Upamti!

    1

    2

    k1(O1; r1) k2(O1; r2). .

    k1 k2? k1 k2 ?

    3

    k1(O1; r1) i k2(O2; r2).

    O

    B

    A

    Dr

    k1r1k

    C

    O1

    O2

    r2

    O1

    r1k1 k2

    O1

    r1

    k1 k2

    O2

    O1

    r1

    k1k2

    r2

    k1 k2 . .

    Uo~i!

    r2

    10

  • 95 k1 k2 . .

    Uo~i i zapamti!

    V

    B

    k1 k2 r1= 3 cm r2= 2 cm.

    k1 k2?

    k1(O1; r1) k2(O2; r2) :

    7

    4

    6

    k1 k2 . k1 k2 .

    Uo~i i zapamti!

    k1 k2 . k1 k2 .

    Uo~i i zapamti!

    k1(O1; 2 cm) k2(O2; 3 cm) .

    k1(O1; r1) k2(O2; r2).

    :

    k1 k2?

    5

    8

    12= 4 cm. k1(O1; 25 mm) k2(O2; 22 mm). k1 k2 A B. r1= O1A r2= O2A.

    .

    O1

    r1 r2

    O2M

    O1 O2

    r2c

    r1k1

    k2

    O1 O2V

    A

    R

  • 96

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    ;

    ,

    .

    ?

    r1 r2 . ?

    Zadaci

    k1 (O1; 18 mm) k2 (O2; 22 mm) . ?

    1.

    k1 (O1; r1) k2 (O2; r2) .

    2.

    - k1 (O1; 3 cm) k2 (O2; 2 mm), O1 O2 ?

    3.

    k1 (O1; 2 cm) k2 (O2; 15 mm).4.

    k1 (O1; 25 mm) k2 (O2; 15 mm), .

    5.

    k1 (O1; 3 cm) k2 (O2; 18 mm) . .

    6.

    k1 k2 , .

    Uo~i i zapamti!

    9 k1 k2 .

    Proveri se!

  • 97. 11Podseti se! A p, ?

    p? p EF?

    D p, D .

    , p?

    p N?

    Q p N?

    1 p , , , F .

    M

    QN

    T

    p

    p, EF p.

    , .

    () , F - .

    AB

    C D

    F

    Ep

    p .

    p , , . .

    Upamti!

    ?

    2K

    N

    S

    T

    L

    P

    pM

    p

  • 98 B 3 e Y, .

    4 : , A,, , D, .

    XO

    Y

    I

    II

    Y?

    - Y. .

    ?

    ?

    , , (, , ) . . .

    ?

    .

    , , .

    Y , .

    XO

    Y

    XO

    Y

    XO

    Y

    X

    Y

    O

    Uo~i da!

    :

    ; , O.

    , ; - AOB.

    A

    O

    B

    A

    O

    C

    E

    D

    B

    5 R . ?

    , ; , : (beta), (gama), (delta) i dr.;

  • 99

    V 7 :MON A, , ,D SQT , F, G, .

    , .

    Uo~i i zapamti!

    MON , SQT .

    6 .

    P RM

    S

    2

    MO

    N D

    C

    BS

    TF

    EQA

    G

    H MON. BC, BD, AC?

    EF SQT. - EG, FH, HE?

    8 .

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    ;

    ;

    ?

    ?

    S

    V

    O A R RM L

    KT

    Proveri se!

    Zadaci

    ?

    1.

    2. . - , ?

    aB

    E

    A C H

    D FG

    O A

    VD

    E

    C

    N. .

    3.

    .

    4.

    : , ?

    .

    5.

    O

    SV

    A

  • 100 . 12Podseti se! A

    , , -.

    1 , , .

    .

    .

    .

    P M

    N

    : = = D , .

    , , , , .

    ?

    ( ) .

    = =D, .

    O A

    B

    S C

    D

    OS CA

    D B

    OS CA

    OS CA

    B D

    OS CA

    B

    1.) D

    - ().

    Uo~i!

    D

    3.) - - .

    2.) - - .

    D B

    B 2 , -.

    ?

    OA B

  • 101

    3 MON, , , , D .

    .

    Uo~i i zapamti!

    .

    AB, AC, BC BD MON?

    MON ?

    O

    C

    A B

    , .

    .

    , -. .

    4

    , . .

    .

    . . .

    Uo~i i zapamti!

    .5

    . , .

    . .

    V

    O A

    .

    6

    N .

    7

    , ?

    O A

    V

  • 102 . , , .

    Uo~i i zapamti!

    ?

    R M

    N

    8 , , - .

    10 NPM.

    V 9 , , ?

    O V

    A

    O V

    A

    P MN

    .

    ( ) - .

    ( ), - - ( ).

    Treba da zna{!

    :

    ? ?

    ? ?

    ? ?

    - ? .

    , , : , , , , , - .

    C

    O A

    B

    Proveri se!

    Zadaci

    ?1.

    ?

    2.

    :) 14 ; ) 15 ;) 17 ; ) 18 ?

    3.

    ? -.

  • 103

    ?

    ?

    ?

    N.4.

    , : , . ?

    N N, .

    6.

    5.

    A

    P

    ? .

    1

    .

    , - , .

    OA

    BD

    C MF E

    G

    H

    a) b) v)

    SN

    , 13Potseti se!

    .

    .

    ?

    O A

    BC

    B 2 .

    O SA

    V

    .

    .

    Upamti!

    N, N N. N?

    3

    , . ?4

  • 104

    G

    V D . , , . D . .

    DO A

    C B

    .

    , , .

    , N, .5

    A

    OB

    D C . . . . AOD = = COD.

    MPN, R. NPS?

    6

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    .

    D ?

    . , ? N . N?

    Proveri se!

    Zadaci

    .

    , - !

    1.

    ? ?

    2.

    , . ?

    3.

    ?

    4.

    .

    5.

    OD A

    BC

    12

    34

    5 67

    8

  • . 14Podseti se!

    105

    A k, .

    ?

    ?

    ?

    - k ?

    : ; ?

    .

    , .

    .

    1 k .

    k

    VC

    D

    AO

    k V

    AO

    O

    .

    2 , ? ?

    4 k , .

    3 ( ) k .

    k V

    C

    AO

    .

    .

    Upamti!

    , ?

    ?

    D.

  • 106

    , , . D , .,. .

    .

    - .

    :

    D?

    , D . ()?

    ?

    , - .

    5 .

    6 D k1 k2, .

    - () .

    Va`i op{to!

    : .

    Uo~i da

    k1 k2, . :AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i

    MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se

    ednakvi me|u sebe? Zo{to?

    7

    B

    D

    k1A

    C

    KN

    k2L

    M

  • 107B - (, ). - , , . ? .

    ( ).

    , , , L. (). , ( ).

    .

    - ; N.

    N ( ); TPS = .

    O

    = L ( ). .

    8

    K

    L

    O

    A

    B

    K

    L

    N

    P M T

    P T

    a)

    v)

    b)

    .

    g)

    N

    S

    P M T

    d)

    , .

    9

    Treba da zna{!

    ; ;

    - .

    k , = N >D.

    ?

    O

    B

    CD

    M

    NA

    Zadaci

    ?1.

    k(; 3 cm) = 35mm.

    .

    2.

    , .

    3.

    , N .

    4.

    Proveri se!

  • Podseti se!

    108 15A

    !

    .

    1 . - .

    .

    O A

    O A

    C

    B

    .

    . , . . . ? ? -.

    () .

    , , .=+. - .

    B

    2 , .

    3 . .

    O

    RN

    M

    .

    , .

    .

    N .

    N N.

  • 109

    -:

    C

    O A

    B

    = - , , . .

    ?

    ?

    .

    ?

    ?

    4 , .

    Zadaci

    - .

    1.

    2(2= +).

    2.

    , , + + .

    3.

    .

    4.

    .

    , , 2-.

    6.

    5.

    Treba da zna{!

    :

    ;

    .

    Proveri se!

    Poku{aj!

    ( ) ? ?

    .

    ?

    A O E

    D

    C

    B

  • 110

    Podseti se!

    . 16

    ?

    ( ) -.

    ?

    .

    A V

    A , , .

    , , D .

    1

    , , D, D F . : ) F; ) ?

    2 - .

    3

    ? ?

    4

    , ?

    D , - . - D?

    D .

    180 .

    180- .

    . : 1; .

    180- .

    , 180 , 1.

  • 111B

    :

    5

    ?6

    .

    ?

    .

    ? ?

    , .

    180 - .

    0 180,

    0

    0

    S

    V

    A

    0

    S

    AV0

    K

    M N

    a) b)

    , N = 105.

    7

    - .

    .

    0

    MP

    R M

    R M

    N

    N 105.

    N. , , N = 105.

  • 112

    25 , 38 42 , : =25 28'42''.

    a) 5o = 5 60 = 300.

    : ) 48; ) 115.8

    : ) 5; ) 1245'; ) 4515'. 9

    : )4; )1015'; )2020'20''.10

    (- 1') ( 1''). - , .

    1o = 60; 1 = 60; 1o = 60 60 = 3 600.

    V

    Treba da zna{!

    ; () -; ;

    1;

    1'.

    Proveri se!

    90?

    124?

    3517'.

    152'13''.

    Zadaci

    :, D, D, N ?

    1.

    : .2.

    : ) 47; ) 126.3.

    : ) 25; ) 3015'.

    4.

    , , : = 7135'; = 6258'30''; = 9645'; =8435'40''.

    5.

    O

    N

    MD C

    B

  • 113

    A

    .

    1 = 8536'25'' = 3212'20''.

    1. : 25" + 20" = 45"

    2. : 36' + 12' = 48'

    3. : 85 + 32 = 117

    85o

    32o

    117o

    36

    12

    48

    25

    20

    45

    + + = 117o 48 45.

    17Podseti se!

    .

    .

    1 = 60'; 1 '= 60'', 1 = 3 600''.

    :

    ) 120'; )180'. : )86'; ) 145'

    2 = 4832'15'' = 608'18''.

    3 = 78 38' 42" = 26 15' 18".

    4 = 108 52' 36" = 42 24' 15".

    5 = 84 36' 30" = 35 42' 50".

    1. : 42" - 18" = 24"

    2. : 38' - 15' = 23'

    3. : 78 - 26 = 52

    78o

    26o

    52o

    38

    15

    23

    42

    18

    24

    - - = 52o 23 24.

    1. 30 + 50 = 80 = 1 + 20

    2. 36 + 42 + 1 = 79 = 1o + 19

    3. 84o + 35o + 1o = 120o

    84o

    35o

    120o

    36

    42

    19

    30

    50

    20

    + + = 120o 19 20.

    6 = 68 35' 26" = 46 42' 52".

  • 114

    90o

    28o

    61o

    25

    36

    48

    18

    35

    43

    - - = 61o 48 43.

    7 = 90 25' 18" = 28 36' 35".

    1. 18''

  • 1153 : 6, =76 32' 42".

    4 4 = 75 34' 20"?

    .

    76o 32 42 : 6 = 12o 45 27

    - 72o

    - 270

    2 42 = 162

    - 1620

    4o 32 = 272 4o 32 = 4 60 + 32 = 272

    2 42 = 2 60 + 42 = 162

    Treba da zna{!

    , , , ;

    , 60;

    , , , ;

    - .

    + , = 68 45' 22" = 30 25' 48".

    Proveri se!

    Zadaci

    + -, = 88 26'32" = 25 10'20".

    1.

    + -, = 76 32' 42" = 42 42' 42".

    2.

    90, :)= 36 40'; ) = 42 42' 42"

    3.

    180, :) = 78 30'; ) = 65 35' 25".

    4.

    Poku{aj!

    19.

    , , 1?

    19o

  • 116

    A

    m i n? i ?

    , ?

    1 m i n. .

    n

    m

    .

    18Podseti se!

    a i b . . ?

    Rb

    a

    B

    . : m n.

    Upamti!

    p . s p.

    2

    ! m i n -. - .

    p .

    3

    .

    MA, MB, , MD ME . ?

    p ?

    ! , p.

    M

    CBA

    pED

    p . p p. p , p.

    Upamti!

  • 117

    . .

    4

    a

    A

    a

    b

    V

    A

    b a ( ).

    a i b.

    a. = 27mm.

    a? a.

    5R

    CBA

    a

    D

    a)

    a 3cm .66

    Treba da zna{!

    ; .

    , . .

    , , .

    Zadaci

    ?1.

    m . m.

    2.

    c .

    3.

    p 2 cm p.

    4.

    p . q, p.

    5.

    S

    VD

    A

    c

    Proveri se!

  • 118 . 19Podseti se! A

    =3cm.

    .

    a i b .

    ?

    A M V

    a b

    1 . - s - .

    A V

    s

    O

    .

    .

    B

    s . s ? s ?

    M N

    n sm

    R

    s , - .

    Uo~i i upamti!

    ?2

    D, s.3

    = 68 = 34.

    .

    ?

    ?

    4

    O A

    C

    B

    ! . = 68, = 34, = 34. -

    .

    Upamti!

  • 119, : , .

    5

    56 - .

    6

    Treba da zna{!

    : .

    : - .

    F = 48 mm , .

    = 100 .

    : ; ?

    O A

    M

    N

    PB

    E

    F

    .

    Proveri se!

    Zadaci

    s = 5 cm . .

    1.

    s , = 35mm. N.

    2.

    = 5 cm, .

    3.

    . .

    4

    N = 84. ?

    =76 .

    7.

    5.

    . , =35.

    6.

  • Podseti se!

    120

    A

    . ? ? , ?

    ?

    ?

    ?

    90?) = 35 = 55) = 26 = 46) = 48 = 52

    - = 40 = 50

    1

    , :

    ) = 25 = 65;

    ) = 23 = 77;

    ) = 44 = 46?

    2

    = 32, ?3

    .4

    ! 180, . .

    = 40o

    = 50o 90 .

    Upamti!

    OA V

    S

    B

    KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI AGLI20

  • 121

    Treba da zna{!

    -? -?

    = 62. = 38; = 118; g = 28 :

    ;

    ?

    Zadaci

    -, :

    a) = 48o i = 52o;

    b) = 32o i = 58o;

    v) = 66o i = 24o.

    1.

    =39.2.

    , - .

    3.

    ,:

    a) = 105o i = 65o;

    b) = 128o i = 52o;

    v) = 46o i = 134o.

    , - .

    6.

    4.

    = 76.5.

    180 .

    Upamti!

    = 65o i = 115o; = 108o i = 72o; = 125o i = 65o?

    :5

    = 75, ?6

    Proveri se!

  • Podseti se!

    122

    A .

    KLMNP KL? KL ? ABCDE ?

    1 LNP DE. .

    , ABCDE .

    DEFGH.2

    D ?

    , .

    D . .

    .

    a)

    A

    b) v)

    B

    C

    K

    D

    E

    N

    L

    M

    P

    A B

    C

    D

    E

    21

    B ABCDEF.

    ? - .

    3

    .

    B A

    F

    ED

    C

  • 123

    ?4

    Upamti!

    - .

    ABCDE.5

    : , , D .

    . D?

    ?

    : , , D, D ABCDE. ABCDE ?

    . .

    A B

    C

    D

    E

    KLMNP - N?

    6

    KLMNP L?

    7

    K L

    M

    N

    P

    a) b) v)

    L? , KLMNP, - ?

    KLMNP.8

  • 124

    Treba da zna{!

    ; ; , ;

    , ;

    , .

    ? ABCDE D?

    Uo~i i upamti!

    : KLM, LMN, MNP, NPK PKL .

    D , , i .9

    Zadaci

    - ?

    1.

    ?

    2.

    D.

    - LN - N?

    5.

    3.

    - ABCDE - D?

    4.

    A

    D

    B

    CE

    a)

    a) b) v)

    b)

    A B

    C

    D

    E

    K L

    M

    N

    P

    Proveri se!

    !

    12 6 , 4 . ?

  • Podseti se!

    125

    A - ?

    D, E G D.

    FG, XY?

    : OR, ST UV ( )?

    D? D?

    Uo~i!

    1 .

    ?

    2

    .3

    ( ) , . .

    ( ) , . .

    A B

    F G

    C

    MD

    H

    E

    .

    O T

    R

    S

    V

    UX

    YH

    G T

    F

    a)b)

    v)g)

    a) b)

    22

    Potseti se!

    ABCDE .

    : A, ,, D , , , CD, DE .: ABC, BCD, CDE, DEA EAB c -. A B

    C

    D

    E

  • 126 B

    ?5

    . ?

    6

    .

    7

    Treba da zna{!

    ;

    -;

    (, )?

    D -? - 8 ?

    A

    .

    4

    , ? ?

    A B E

    F

    GC

    H

    LK

    M

    N

    P

    Upamti!

    ( ) - :

    - ( );

    - ( );

    - ( ).

    , .

    a) b)

    v)

    B

    C

    D

    , , -.

    Proveri se!

    Zadaci

    ?

    1. DE.2.

    ? ?

  • DE, : = 4 cm, = 25 mm,

    CD = 3 cm, DE = 35 mm EA = 3 cm.

    127 D?

    3. , , , D , ABCDE .

    4.

    A M B

    H

    C

    ED

    N

    FG

    A B

    C

    E

    D

    23Potseti se!

    .

    (=5cm).

    C

    VA

    A

    B

    ABCD.

    L.

    1 ABCD . - .

    D

    C

    BA 4 cm

    4 cm

    2 cm

    3 cm

    DE : L=AB + BC + CD + DA; L=4 + 3 + 4 + 2=13 cm, . L = 13 cm.

    Uo~i!

    2

    3 , : a = 28 mm,b = 32 mm i c = 40 mm.

    S

    VA c

    b a

  • Podseti se!

    128

    a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15,a = 22 - 15; a = 7 cm. b).

    Prati re{ewe:

    L = AB + BC + CA, t.e. L = a + b + c.Upamti!

    4 a , :a) L = 22 cm, b = 9 cm i c = 6 cm; b) L = 30 cm, b = 12 cm i c = 8 cm;

    - ?

    5 AB = a = 4 cm AC = BC = b = 3 cm.

    L = AB + BC + AC, L = a + b + c; L = a + b + b, t.j. L = a + 2 b; L = 4 + 2 3 = 4 + 6 = 10 cm, t.j. L = 10 cm.

    Uo~i postupak:

    L = a + b + b, L = a + 2 b 23 = a + 2 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm;

    Sledi re{ewe pod a)!

    AVS.

    A B

    C

    c

    b a

    6 a = 8 cm b = 6 cm.

    7 a , :a) L = 23 cm b = 7 cm;b) L = 30 cm b = 9 cm.

    8 a = 5 cm.

    D E

    F

    a

    aa

    Upamti!

  • 129

    a = 8 cm.

    L = AB + BC + CA, L = a + a + a, L = 3 a L = 3 5; L = 15 cm.

    Sledi re{ewe:

    L = 3 a; 18 = 3 a; a = 18 : 3; a = 6 cm.

    Sledi re{ewe:9 : ) L = 18 cm; ) L = 36 cm.

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    ;

    ,

    .

    a = 4 cm b = 5 cm.

    a AVS, ako L = 24cm, b = 7 cm i c = 9 cm.

    Proveri se!

    Zadaci

    ABCD, ako: AB = 3 cm,

    BC = 34 mm, CD = 46 mm i DA = 5 cm.

    1.

    , : a = 8 cm, b = 12 cm i c = 9 cm.

    2.

    a = 8 cm b = 11 cm.

    4.

    , : L = 42cm; b = 12 cm i c = 15 cm.

    3.

    34cm. a b= 12 cm.

    5.

    a =12cm L=32cm. .

    6.

    a = 18 cm.

    7.

    L = 27 cm. .

    8.

    : 32 mm, 25 mm, 28 mm 35 mm, L = 150mm. .

    9.

  • , , = 4cm, = 76mm = 36mm?

    130

    p q, , p

    , D q. -, p, q.

    .

    241.

    k(; 27mm) , -

    = 35 mm. - ?

    6.

    .

    .

    5.

    k1(; 30mm), k2(O2; r2)

    k1 , - 10mm?

    7.

    , a i b, .

    4.

    ?3.

    ) ?) ?

    8.

    . ?

    9.

    =, .

    .

    10.

    , .

    11.

    . + - .

    12.

    9035 ? : 90o 35'.

    13.

    = 45 3545 90.

    14.

    p 3cm p.

    15.

    ?16.

    = 10545 = 7515 .

    17.

    64m, : 24 m, 13 m

    14 m. ?

    18.

    2.

    a b

    :a) a + b; b) a - b.

    1 2 3 4 5

  • 131

    1. . 132

    2. 135

    3. . 140

    4. 143

    5. 146

    6. . 149

    7. 153

    8. . 155

    9. . 157

    10. 160

    11. 163

    12. 166

    13. 170

    14. 175

    15. 178

    16. . 180

    17. . . 182

    TEMA 3. .

  • Podseti se!

    ?

    ? ?

    132

    - .

    ?

    .

    .

    . -?

    ?

    ?

    . ?

    , .

    1 : 4.

    1

    2

    3

    1:4 , 4 1.

    , .

    , tj . 1 : 4 = .1__4

    1__4

    ? .4

    Uo~i!

    A

    . 1

    .

  • B 1 : 5 5: 6 .

    m : n , n m.

    m : n .

    , , .

    m__n

    133

    2 : 3 = ; : 2 3.

    , , .

    2__3

    2__3 2__

    3

    1 : 2; 4 : 5 11 : 15 .5

    7

    6 ?a) 6 : 3; b) 1 : 3; v) 5 : 6; g) 8 : 4.

    ?

    .

    ?

    ?

    .

    ?

    Uo~i!

    Op{te

    Uo~i i zapamti!

    m i n. : m n.m__n

    .

    : m - n - . . .

    m__n

    n . m , .

  • 134 8 , , ?5__6

    9 15- ?

    Treba da zna{!

    ;

    ;

    , .

    Zadaci

    , :

    ; ; .

    -.

    .

    7 : 9; 12 : 23; 4 : 121.

    1.

    , a, b {7, 9, 28, 105}.

    2.

    a) 1 dm od 1 m b) 1 cl od 1 lv) 1 g od 1 kg g) 1 dm2 od 1 m2

    4.

    3.

    5.

    36 21 . .

    7.

    8 5g. g ?

    8.

    a__b

    5__8

    12__19

    38__125

    4__9

    a) 3 cm dm ; b) 28 cm m;v) 9 dl l; g)15 g kg.

    6. :

    a) m cm; b) m dm;

    v) l dl; g) kg g.

    1__42__5

    3__58__25

    .

    ,

    ?

    1cm 1m? 7 dl l.

    5__8

    5__8

    Proveri se!

  • Podseti se!

    135

    ?

    ?

    ,

    ?

    :

    .;;

    1

    Uo~i!

    = 1, = 1, = 1.

    , , , n :

    = n : n = 1, t.j. = 1.

    2__2

    3__3

    7__7

    n__n

    n__n

    n__n

    1 : 8; 12.2

    : 2 : 1; 9 : 1 n :1 (n ) .

    3

    :

    n - n 1.

    = 2 : 1 = 2; = 9 : 1= 9; = n : 1 = n.2__1

    9__1

    n__1

    8 8. 15 1.

    4

    5 .

    Sagledaj: 2 = 1 + 1 = + = . - 2.

    . :

    6__3

    3__3

    3__3

    6__3

    A

    2

    5 - 4? 5 ?

    5 4 5 , .

    5 = = .

    Jednako

    4 5____4

    20__4

  • B136

    , ?

    . -. ?

    Upamti!

    b a.

    .

    a__b

    7 :

    ; ; ; ; ; ; ; ; ?1__2

    4__2

    6__6

    3__4

    5__1

    14__7

    25__4

    22__2

    31__8

    0.

    .

    , .

    8

    .

    1__4

    I

    II

    a) b) v)

    g) d) ) e)

    ?

    ?

    ?

    : ; ; ; ; ; ; ?3__5

    4__2

    15__3

    18__9

    3__6

    5__10

    21__7

    6 8 12 .

    m n.

    m = m n____n

  • 137 . - . ?

    , . 1.

    : a) , b) i v) .

    ; , , , , . .

    Uo~i!

    1__4

    2__4

    3__4

    2__5

    7__9

    9__11

    28__31

    , . 1.

    : ) , ) , ) ) .

    : , , , . .

    5__4

    6__4

    7__4

    9__4

    9__4

    11__3

    25__13

    38__19

    9 M = { , , , , , }.

    A = {x | x M i x < 1} i B = {x | x M i x > 1}.

    1 , 1 - .

    1__2

    5__3

    5__8

    7__7

    5__11

    14__9

    10 ?

    .

    .

    3__2

    3__23__2

    :

    (a, b N), a < b, < 1.a__ba__b

    :

    (a, b N), a > b, > 1.a__ba__b

  • V138

    11 1 ?

    .32__5

    Prati re{ewe:

    Prati re{ewe:

    , . ?

    1, .

    32 : 5 = 6-30

    2