5 quinto cepas

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  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

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    SSIISSTTEEMMAADDEEMMEEDDIICCIINNAANNGGUULLAARR

    1. SISTEMA SEXAGESIMAL (SistemaIn gls): En este sistema consideramos al ngulode una vuelta dividido en 360 partes iguales y acada parte se le denomina un grado sexagesimal,

    a cada grado se le divide en 60 partes iguales y acada parte se le denomina minuto sexagesimal, asu vez a cada minuto se le divide en 60 partesiguales y a cada parte se le denomina segundosexagesimal.

    Notacin:1 Grado Sexagesimal: 11 Minuto Sexagesimal: 11 Segundo Sexagesimal: 1

    Equivalencias:

    1 = 60 = 36001 = 60

    1 =360

    v uelta1 1 vuelta = 360

    2. SISTEMA CENTESIMAL (SistemaFr an cs): En este sistema consideramos alngulo de una vuelta dividido en 400 partes igualesy a cada parte se le denomina un gradocentesimal, a cada grado se le divide en 100 partesiguales y a cada parte se le denomina minuto

    centesimal, a su vez a cada minuto se le divide en100 partes iguales y a cada parte se le denominasegundo centesimal.

    Notacin:1 Grado Centesimal: 1go 1g1 Minuto Centesimal: 1mo 1m1 Segundo Centesimal: 1so 1s

    Equivalencias:1g= 100m= 10 000s1m= 100s

    1g=400

    v uelta1 1 vuelta = 400g

    3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR(Sistema Internacional): En este sistema launidad angular es el radin. Un radin se definecomo el ngulo central que subtiende en cualquiercircunferencia un arco de longitud igual al radio. (En

    la figura adjunta el ngulo mide un radin). Eneste sistema el ngulo de una vuelta mide 2radianes.

    1 vuelta = 2rad .

    RELACIN ENTRE LOS TRESSISTEMAS DEMEDIDAS ANGULARESSiendo S, C y R los nmeros que representanlas medidas sexagesimal, centesimal y radialde un mismo ngulo, se relacionan de lasiguiente forma:

    2

    R

    400

    C

    360

    S

    PPRRCCTTIICCAA

    01. Los nmeros S y C representan lamedida de un ngulo en gradossexagesimales, y centesimalesrespectivamente, se relacionan as:S = 2x1 y C = 2x + 4

    Hallar la medida de dicho ngulo en radianes.

    A) rad2

    B) rad3

    C) rad4

    D) rad5

    E) rad6

    02. Calcular la medida de un ngulo enradianes sabiendo que la diferencia de sunmero de grados centesimales con sunmero de grados sexagesimales es a susuma como dos veces su nmero deradianes es a 57

    A) rad8

    3 B) rad

    4

    3 C) rad

    2

    3

    D) rad3 E) rad6

    03. Un ngulo mide rad20

    . Pero en grados

    sexagesimales mide: 1x . Hallar xA) 78 B) 80 C) 82D) 86 E) 88

    04. Si A, B y D son nmeros que expresan lamedida de un mismo ngulo en grados,minutos centesimales y radianes

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    respectivamente; entonces el valor de:

    D

    B

    200B

    A1000M

    es:

    A) 90 B) 101 C) 109

    D) 110 E) 360

    05. Si S y C representan la medida de un

    ngulo en grados sexagesimales ycentesimales respectivamente y adems:

    S1= C1+ C2+ C3+ Entonces la medida de dicho ngulo enradianes, es:

    A) /4 B) /6 C) /12

    D) /15 E) /20

    06. Si: S... Nmero de grados sexagesimales.

    C... Nmero de grados centesimales

    Adems: Sc = Cs . Hallar: 101

    9

    1

    CS

    A) 0,8 B) 0,9 C) 1,8D) 10 E) 1,6

    07. Siendo el nmero de radianes de unngulo positivo, verifica la igualdad:

    1183

    .

    Hallar , si .A)

    9

    32 B)64

    9 C)32

    9

    D)16

    9 E)9

    64

    08. Un ngulo en el sistema sexagesimal se

    expresa por: 33x

    588S . El valor de x

    para que ste ngulo mida 200 grados

    centesimales, debe ser:A) 5 B) 4 C) 3D) 6 E) N.A.

    09. Siendo S y C los nmeros que representanla medida de un ngulo en gradossexagesimales y centesimalesrespectivamente cumplen la igualdad:

    CC

    CC

    CC

    SS

    SS

    SS

    Hallar el nmero de radianes de dichongulo:

    A)3600

    441 B)3600

    551 C)3600

    361

    D)3600

    641 E)3600

    241

    10. Siendo S y C los nmeros que representanla medicin de un ngulo en grados

    sexagesimales y grados centesimalesrespectivamente cumplen la igualdad:

    CCCSSS

    Hallar la medida radial de dicho ngulo:A) 1,9 rad B) 2,9 rad

    C) 3,9 rad D) 4,9 rad

    E) 0,9 rad

    11. Del grfico mostrado hallar la m ABC

    en radianes siendo O centro.

    A) rad7

    9 B) rad

    7

    5 C) rad

    14

    5

    D) rad14

    9 E) rad

    3

    2

    A

    B

    CO

    g

    x

    x

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    12. Si, S,C y R representan la medicin de un

    ngulo en los sistemas sexagesimal,centesimal y radial respectivamente ycumplen la siguiente igualdad:

    R

    10619

    SC

    SC

    Calcular la medida radial de dicho ngulo.

    A) rad2

    B) rad C) 2rad

    D) rad3

    E) 3rad

    13. Sabiendo que S, C y R son el nmero de

    grados sexagesimales, centesimales yradianes de un ngulo.

    Hallar: 3

    SCR236E

    Si adems: 3RC

    200

    S

    180 333

    A) 10 B) 30 C) 50

    D) 80 E) 60

    14. Del grfico mostrado hallar lam AOB en radianes:

    A) rad5

    B) rad3

    C) rad9

    D) rad18

    E) rad

    36

    15. Si se cumple que:

    50 40 30 smg5T0N6U

    Hallar: U + N + TA) 10 B) 12 C) 14

    D) 13 E) 8

    16. Determinar R si se cumple:

    CC

    C

    S

    S

    SCS

    Si, S, C, R es lo convenido:

    A)200

    10 B)300

    10 C)400

    10

    D)500

    10 E)600

    10

    17. Reducir la expresin:

    3 8SC

    SC6

    SC

    SCN

    A) 7 B) 5 C) 8D) 18 E) 32

    18. Hallar el valor de y en radianes si:

    A)45

    15 B)

    45

    16 C)

    13

    12

    D)45

    18 E)

    44

    18

    19. Si rad32

    x y z, donde x, y e z son

    nmeros enteros.

    Calcular: x x5zyE

    A) 5 B) 4 C) 2D) 3 E) 1

    10y g60

    rad1x7

    x

    A

    B

    O

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    LLOONNGGIITTUUDDDDEEAARRCCOO

    RREEAADDEEUUNNSSEECCTTOORRCCIIRRCCUULLAARR

    LONGITUD DE ARCO

    L: Longitud del arco ABr : Radio de la circunferencia: ngulo central que subtiende el arco

    AB (medio en radianes)

    L = r

    REA DE UN SECTOR CIRCULAR

    A la porcin de crculo limitada por dos radios se le

    denomina sector circular. El rea (A) de dicha regin

    se determina de la siguiente manera:

    A =2

    1rL

    A =2

    1r2

    PPRRCCTTIICCAA

    01. Calcular la longitud del arcocorrespondiente a un ngulo central de 80en una circunferencia de 18 m de radio.

    A) m B) 2 C) 3D) 4 E) 8

    02. En un sector circular, el ngulo central

    mide 40g y el arco correspondiente mide8. Cunto mide el radio del sector?

    A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

    03. En un sector circular, se cumple que elarco mide 3y el radio mide 6. Cul es lamedida sexagesimal del ngulo central?

    A) 10 B) 20 C) 90D) 40 E) 60

    04. De la figura, hallar: a/b

    A) 1/2

    B) 1

    C) 1/4

    D) 2

    E) 0,3

    05. Calcule el permetro de la regin

    sombreada, siendo A y D centros, adems

    AB = AD = 4u.

    A) 4(1 + /3)

    B) 4(1 + /4)

    C) 4(1 + /6)

    D) 2(1 + /6)

    E) 2(1 + /3)

    06. En un sector circular el radio mide 4 m y el

    arco correspondiente mide 3m. Cul esel rea del sector?

    A) 6m2 B) 8 C) 10

    D) 12 E) 14

    07. Calcular el rea de un sector circular cuyongulo central mide 40g y su radio mide 10m.

    A) 8m2 B) 10 C) 40

    D) 6 E) 4

    08. De la figura mostrada calcular la longitud

    de su radio en trminos de y L

    A)L

    2 B)

    2

    L C)

    L2

    2

    D)2

    L E)

    L2

    B

    A

    C

    D

    Oa

    b

    x x3

    DA

    B C

    B

    A

    O

    r

    r

    L

    O

    r

    r

    L

    B

    C

    A

    LradO

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    RRAAZZOONNEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASS

    EENNEELLTTRRIINNGGUULLOORREECCTTNNGGUULLOO

    Se denomina razn trigonomtrica al cocienteque se establece entre las longitudes de dos delos lados de un tringulo rectngulo conrespecto a uno de sus ngulos agudos.Las R.T. son seis y se denomina: Seno,Coseno, Tangente, Cotangente, Secante yCosecante

    a, b: catetos

    c: hipotenusa

    C.O.: Cateto Opuesto

    C.A.: Cateto Adyacente

    H: hipotenusa

    Las R.T. de se definen:

    c

    a

    H

    .O.Csen

    c

    b

    H

    .A.Ccos

    b

    a

    .A.C

    .O.Ctg

    a

    b

    .O.C

    .A.Cctg

    b

    c

    .A.C

    Hsec

    a

    c

    .O.C

    Hcsc

    TEOREMA DE PITGORAS:

    c2 = a2 + b2

    TEOREMA DEL COMPLEMENTO

    Si: ).(T.RCo).(T.R 90

    Ejemplos:

    Sen 20 = Cos 70

    6

    ctg3

    tg

    Sec = Csc

    2

    RAZONES RECPROCAS:

    1TgCtg

    Tg

    1Ctg

    1CosSec

    Cos

    1Sec

    1SenCsc

    Sen

    1Csc

    TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

    PRCTICA

    01. Del tringulo rectngulo mostrado, calcular

    la tangente del mayor ngulo agudo.

    A) 2,5 B) 2,4 C) 2,1D) 3 E) 3,5

    02. Hallar el permetro del tringulo rectngulo

    mostrado, sabiendo que:Tan = 3/4

    A) 48 B) 96 C) 120D) 80 E) 192

    03. Sabiendo que:24

    7tan

    2x3

    2x2

    x

    40

    60

    30

    k

    k23k

    45

    k

    2k k

    45

    53

    37

    k3

    k5k4

    a

    b

    c

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    Evaluar la siguiente expresin:

    4

    cos

    cottan

    2cottan

    A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

    04. Sabiendo que:22

    22

    ba

    basen

    Evaluar: ab(Sec Tan )A) 0 B) a2 C) b2D)a2 E)b2

    05. Sabiendo que y son complementarios,adems se cumple: 16 Sen = Sec Evaluar la siguiente expresin:

    15 Tan + Sec A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 19

    06. Calcular el valor de: ( + ) en radianes,sabiendo que se cumplen:

    Sen Cos 2= 0Sen .Csc 4= 1

    A)3

    B)18

    5 C)9

    4

    D)2

    E)6

    07. Hallar y a partir de las siguientesigualdades:Tan (335) = Cot (90)

    2- = 15A) 11 y 10 B) 15 y 13C) 20 y 19 D) 35 y 25E) 17 y 16

    08. Hallar x de la siguiente igualdad:Tan (Sen x) .Cot (Cos 70) = 1

    A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

    09. Si se cumple:Sen 5Cos 8= 0Tan .Cot 2= 1Evaluar la siguiente expresin:

    Sen2(4+5) + Tan2(5+2) + Sen(3++2)A) 1,1 B) 2,1 C) 3,1D) 4,1 E) 5,1

    10 Sabiendo que:3

    3

    xTan

    A qu es igual?

    xTan

    6

    A) 3 B)3

    3 C) 0

    D) 3 E) 3 +1

    11. Hallar el valor de:

    45tg345sec30ctg

    60sec36

    160csc

    2

    130sen

    A24

    342

    A)12

    1 B)12

    7 C)12

    5

    D) 12 E)12

    11

    12. Indicar el valor simplificado de:

    30Cos37Tan60Sen30Sen2

    A) 0 B)2

    1 C) 1

    D)2

    3 E)1

    13. Del grfico mostrado, hallar: Tan,

    sabiendo que:2

    CDACBCAB

    A) 3 B)2

    3 C)

    3

    3

    D)4

    3 E)6

    3

    RREESSOOLLUUCCIINNDDEETTRRIINNGGUULLOOSS

    RREECCTTNNGGUULLOOSS

    A

    B

    C

    D

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

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    01. Del grfico mostrado, hallar: x entrminos de , y d.

    A) d(Cot + Cot ) B) d Cot .Cot

    C) CotCot

    d

    D) CotCot

    d

    E) d (CotCot)

    02. En el grfico mostrado se tiene uncuadrado y una semicircunferencia. Hallarx en trminos de R y .

    A) R (1Cos ) B) R (2Cos )C) R (3Cos ) D) R (1 + Cos )E) R (2 + Cos )

    03. Hallar x siendo BAE y BCD sectorescirculares.

    A) )13(2

    B) 13

    C) 132

    D) 233

    E)2

    13

    04. Hallar: xA) 1B) 3

    C) 3

    D)3

    3

    E)2

    3

    05. Hallar: Tan

    A) 2

    B)2

    2

    C) 22

    D)4

    2

    E)8

    2

    06. Hallar BD

    A)2

    25 B)

    3

    25 C)

    4

    25

    D)8

    25 E)

    6

    25

    07. Hallar: Sen

    A)125 B)

    1312 C)

    21

    D)3

    24 E)

    5

    3

    RRAAZZOONNEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASSDDEE

    NNGGUULLOOSSEENNPPOOSSIICCIINNNNOORRMMAALL

    A

    B C

    D

    4

    6

    BA

    C

    x

    Dd

    2

    A

    B C

    D

    E

    30

    x

    A

    B C

    DOR

    x

    P

    M

    EB

    A D

    C

    2x

    33

    75

    45

    A

    B

    CD

    2 24

    37

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    11/38

    NGULOS EN POSICIN NORMAL:Se denomina de esta manera a aquellosngulos trigonomtricos cuyo lado inicial estsobre el semieje positivo de abscisas y suvrtice coincide con el origen del sistema decoordenadas rectangulares y su lado final seencuentra en cualquier parte del plano. En lafigura adjunta , y son ngulos en posicin

    normal.

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS EN POSICIN NORMAL:Sea P(x,y) un punto que pertenece al lado finaldel ngulo : ngulo en posicin

    normal.OP = r: Radio vector.

    Entonces las R.T. de se definen:

    r

    y

    v ectorradio

    ordenadasen

    r

    x

    v ectorradio

    abscisacos

    x

    y

    abscisa

    ordenadatg

    y

    x

    ordenada

    abscisactg

    x

    r

    abscisa

    v ectorradiosec

    y

    r

    ordenada

    v ectorradiocsc

    NOTA : Los signos de las R.T. dependen de los

    signos de la abscisa y la ordenada de P. (no

    olvidar que el Radio vector es positivo)

    NGULOS COTERMINALES:

    Sabemos que si dos ngulos son coterminales

    tienen los mismos elementos, adems que sudiferencia es un nmero entero de vueltas,

    Si y soncoterminales= n(2), n Z .

    Otra caracterstica de los ngulos coterminaleses que el valor de sus respectivas R.T. es el

    mismo.Si y son ngulos coterminales entonces:

    Sen = Sen Tg = Tg

    Cos = Cos Ctg = Ctg

    Sec = Sec Csc = Csc

    NGULOS CUADRANTALES:Son aquellos ngulos en posicin normal cuyolado final coincide con alguno de los semiejes

    del sistema de coordenadas rectangulares.

    Todos los ngulos cuadrantales se representan:

    Zn,2

    n

    n(90) , n Z

    FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE

    NGULOS NEGATIVOS

    A)

    csc)csc(

    sen)(sen

    B

    sec)sec(

    cos)cos(

    ctg)(ctg

    tg)(tg

    PRCTICA

    01. Si sen =4/5; IV C.Calcular: A=sec Tan

    A) 2 B) 3 C)2D) 1/2 E)1/2

    02. Sabiendo que: Sen = 0,6 y pertenece al tercer cuadrante.Evaluar: Sec + Tan

    A) 0 B)1/2 C) 1/2D) 2 E)2

    03. El lado final de un ngulo en posicinnormal cuya medida es pasa por elpunto (2; 3)

    Calcular:13

    SecSen13

    A) 7/2 B) 0 C) 1/2

    )y,x(P

    X

    Y

    O

    X

    Y

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    12/38

    D) 5/2 E)2

    04. Sabiendo que:

    338Cot215Csc

    210Sen138Tan285SecA

    3

    32

    336Tan195Csc

    116Cos115Cot260SenB

    33

    Indicar los signos de A y BA) + y B) + y + C)y +D)y E) No tienen signos.

    05. Si sen > 0 y cos < 0, entonces pertenece al:

    A) I C B) II C C) III CD) IV C E) V C

    06. Si perteneceal tercer cuadrante, indicarel signo de:

    2Cos

    3

    2Tan

    A) + B) C) + yD) + E) No tiene signo

    07. Indicar el ngulo que no es coterminal a(10).

    A)730 B) 1070 C) 350

    D) 1420 E) 710

    08. Si y son ngulos coterminales ycomplementarios. Hallar /, cuando220<

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    13/38

    origen de un sistema de coordenadasrectangulares y cuyo radio tiene como longitudla unidad. Sus elementos son:

    O(0,0): origen.A(1,0): origen de arcos.B(0,1): origen de complementos.A(1,0): origen de suplementos.B(0,1): Sin nombre especial

    P: Extremo del arco Tener en cuenta que si giramos en sentidoantihorario los ngulos (arcos) son positivos ynegativos en caso contrario.

    Podemos observar que un ngulo determinaun nico punto P en la circunferenciatrigonomtrica, si dicho punto tiene porcoordenadas (x;y) entonces definimos las F.T. orazones trigonomtricas de , de la siguientemanera:

    y1

    y

    radio

    Pdeordenadasen

    x1

    x

    radio

    Pdeabscisacos

    x

    y

    Pdeabscisa

    Pdeordenadatg , x 0

    y

    x

    Pdeordenada

    Pdeabscisactg , y 0

    x

    1

    Pdeabscisa

    radiosec , x 0

    y

    1

    Pdeordenada

    radiocsc , y 0

    LNEAS TRIGONOMTRICAS

    Como la circunferencia trigonomtrica tiene deradio la unidad, las razones trigonomtricas se

    pueden representar mediante segmentos derecta, a dichos segmentos (dirigidos) se lesdenomina Lnea Trigonomtricas.

    Lnea Seno: Es el segmento perpendiculartrazado desde el extremo del arco al dimetroAA.

    sen = P'P

    sen = Q'Q

    Lnea Coseno:Es el segmento perpendicular

    trazado desde el extremo del arco al dimetroBB.

    cos = P'P

    cos = Q'Q

    Lnea Tangente:

    1. Por el origen de arcos trazamos unatangente geomtrica. (Eje de tangentes)

    2. Prolongamos el radio que pasa por elextremo del arco hasta intersectar al eje detangentes.

    3. El segmento comprendido entre el origen de

    arcos y el punto de interseccin es la LneaTangente.

    B

    'B

    A'A O

    Y

    X

    )y,x(P

    A'A O

    P

    'P

    Q

    'Q

    Y

    X

    P

    A'A

    Q

    R

    X

    Y

    O

    P

    'P

    Q 'Q

    O

    B

    'B

    Y

    X

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

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    tg = AP

    tg = AR

    tg = AQ

    Lnea Cotangente:1. Por el origen de complementos trazamos

    una tangente geomtrica (Eje deCotangentes).2. Prolongamos el radio que pasa por el

    extremo del arco hasta intersectar al eje deCotangentes.

    3. El segmento comprendido entre el origen decomplementos y el punto de interseccin esla Lnea Cotangente.

    ctg = BP

    ctg = BR

    ctg = BQ

    Lnea Secante:1. Trazamos una tangente geomtrica por el

    extremo del arco hasta intersectar al eje X.

    2. El segmento comprendido entre el origen decoordenadas y el punto de interseccin esla Lnea Secante.

    sec = OP

    sec = OR

    sec = OQ

    Lnea Cosecante:1. Trazamos una tangente geomtrica por elextremo del arco hasta intersectar al eje Y.

    2. El segmento comprendido entre el origen decoordenadas y el punto de interseccin esla Lnea Cosecante.

    csc = OP

    csc = OQ

    csc = OR

    PPRRCCTTIICCAA

    01. Seale la expresin de mayor valor en:A) sen40 B) sen64 C) sen96

    D) sen114 E) sen160

    02. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) sen 20 > sen 80II) sen 20 < cos 20III) sen 190 < sen 250

    A) VFV B) FFV C) VVVD) FVV E) N.A.

    03. En qu cuadrante(s) el seno decrecemientras el coseno crece?

    A) I B) II C) III

    P

    Q

    R

    OX

    Y

    P

    R Q O

    Y

    X

    BQR P

    X

    Y

    'B

    gentestanCodeEje

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    15/38

    D) IV E) II y III

    04. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) cos 10 < cos 50II) cos 80 > sen 80III) cos 200 > cos 250

    A) VFV B) FFV C) VVV

    D) FVV E) N.A.

    05. Indicar con (V) si es verdadero y con (F) sies falso las siguientes proposiciones:I) sen 130 > sen 150II) cos 105 > cos 120III) tg 50 < tg 200

    A) VFV B) FFV C) VVVD) FVV E) VVF

    06. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) sen 100 + cos 100 < 0II) sen 170 + cos 170 > 0

    A) VV B) VF C) FVD) FF E) Faltan datos

    07. Indicar el intervalo de m si:

    2

    1m3xsen

    A) [3; 3] B) [3; 1/3] C) [1/3; 1/3]

    D) [0; 3] E) [1/3; 1]

    08. Hallar la diferencia del valor mximo ymnimo de la funcin definida en:

    3

    2xcos5f(x)

    A) 10/3 B)4/3 C)1D) 4/3 E) 3

    09. En la circunferencia trigonomtricamostrada, calcular el rea del tringulosombreado.

    A) sen B) cos C) sen

    2D) cos

    2E) 1

    10. En la circunferencia trigonomtricamostrada, calcular el rea del tringulosombreado.

    A) sen

    B) cos C) sen

    2D) 2sen E) cos

    2

    11. El siguiente grfico es una circunferencia

    trigonomtrica.

    Evaluar:c).eb(

    fda

    A) Tan B) Cot C) Sec D) Csc E) 1

    IIDDEENNTTIIDDAADDEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASS

    Una identidad trigonomtrica es una igualdaden la que intervienen funciones trigonomtricasy que se verifican para todo valor permitido dela variable. Las identidades principales son:

    A) Identidades Recprocas:

    1xCscSen x 1xSecxCos

    1xCtgxTg

    B) Identidades de Cociente:

    Y

    XO

    )b;a(

    )f;e(

    )d;c(

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    16/38

    xCos

    Sen xxTg ;

    Sen x

    xCosxCtg

    C) Identidades Pitagricas:

    1xCosxSen22

    xSecxTg1 22

    xCscxCtg122

    PPRRCCTTIICCAA

    01. Simplificar: R = ctgx .sen2xtgx.cos2xA) senx B) 0 C) senx.cosxD) 1 E) co2x

    02. Simplificar:senxcscx

    cosxsecxE

    A) tgx B) tg2x C) tg3xD) 1 E) cox

    03. Reducir: K = (tanx + cotx).cos2xA) tanx B) cotx C) 1D) cosx E) secx

    04. Simplificar:cosxxcos2

    xsen2senxE

    3

    3

    A) tgx B) ctgx C) cosxD) senx E) 1

    05. Simplificar:

    xcos1

    xsen1

    senxcscx

    cosxsecxK

    2

    2

    A) 1 B) tgx C) ctgxD) senx E) cosx

    06. Simplificar:secx.senx

    tanx.senxcosxE

    A) senx B)cscx C) 1D) tanx E) cosx

    07. Simplificar:K = (senx +cosx +1)(senx + cosx1)

    A) 2senx B)2cosxC) 2senx.cosx D) 2E) 1

    08. Simplificar: ctgxcosx1

    senxE

    A) senx B) cosx C) secxD) 1 E) cscx

    09. Simplificar: tgxtgxsecx

    xtgxsecK

    22

    A) cosx B) senx C) secxD) tgx E) secx + tgx

    10. Simplificar: csc.sec

    ctgtg

    E

    A) 1 B) 2 C) senD) cos E) 1/2

    11. Si tgx + senx = 2(1 + cosx); xIII C.Hallar: P = secx.cscx

    A) 5/2 B)5/2 C) 5/3D)5/3 E) 5

    12. La siguiente igualdad:

    k2

    xSen-1xCos

    xSen1xCos

    es una identidad, hallar k

    A) Cos2x B) Senx Cosx C) Senx

    D) Cos x E) Sen2x

    13. La siguiente igualdad:

    4 Sen2x + 3 Cos2x + 5 Sec2x + 7 Tan2x

    = a Sen2x + b Tan2x + cEs una identidad. Hallar: a + b + c

    A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    17/38

    FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE

    NGULOS COMPUESTOS

    sencoscossen)(sen

    sensencoscos)cos(

    tg.tg1tgtg)(tg

    PRCTICA

    01. Simplificar: xcot)x

    2(Cos

    )4

    x(Cos2

    A) 0 B) 1/2 C) 1

    D) 2 E) 3

    02. Sabiendo que y son agudos.

    Adems: Cos =7

    1 y Cos =

    14

    13

    Calcular: Cos ()

    A) 1 B)2

    1 C)

    2

    2

    D)2

    3 E)

    4

    1

    03. Simplificar:

    zCscz)Cos(x-zCotxCos

    Sec yy )Cos(xyTanxSen

    A) Sen x B) Cos x C) Tan xD) Cot x E) Sec x

    04. Transformar a monomio:

    Sen + 3 Cos

    A) Sen (+ 60) B) Sen (+ 30)C) 2 Sen (+ 60 D) 2 Sen (+ 30)E) 2 Sen (60)

    05. Simplificar.

    2 Sen 20 + 3 Sen 10

    A) Sen 20 B) Tan 10 C) Cos 10D) Tan 20 E) Cos 20

    06. Simplificar:44Tan-46Tan

    2Tan

    A) 2 B) 1/2 C)1/2D)2 E) 1

    07. Siendo ABCD un cuadrado y M puntomedio. Hallar: Tan

    A) 1B) 2C) 3

    D)3

    1

    E) 6

    08. Del grfico mostrado; hallar: x

    A) 3

    B) 3C) 4

    D) 6

    E) 7

    09. Del grfico mostrado; hallar: x

    A) 4 3

    B) 4 6

    C) 3 6

    D) 8 6

    E) 6 3

    10. Del grfico mostrado, hallar: Tan

    A)2

    1

    B)3

    1

    C) 2D) 3E) 1/6

    A B

    C

    D

    E

    x

    2

    6

    4

    A B

    C

    D

    32

    x

    7

    30

    A B

    C

    D

    E

    3

    2

    1

    A

    B C

    D

    M

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

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    FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    DEL NGULO DOBLE

    cossen2)2(sen

    22

    sencos)2cos(

    2tg1

    tg2)2(tg

    PRCTICA

    01. Reducir:

    senx1

    xcos2x2senE

    A) 2senx B) 2tgx C) 1D) 2 E) 2cosx

    02. Si: Tan + Cot = 3Hallar: Csc 2A) 3 B) 3/2 C) 1/3D) 4 E) 2/3

    03. Reducir:K=4Cos3Sen4Sen3Cos

    A) Sen B) sen2C) sen4 D) sen8E) Sen 16

    04. Reducir:A = 8 sen coscos2Cos4A) sen4 B) sen16C) sen64 D) sen8E) sen

    05. Del grfico, calcular x

    A) 3

    B) 4

    C) 3

    D) 2

    E) 6

    06. Simplificar:

    40cos222E A) cos 10 B) 1 C) 2D) 2cos 10 E) tg 10

    07. Simplificar:

    Tan

    2Sec1

    2Tan

    A) Tan B) 1 + Tan C) 0 D) Sen E) Cos

    FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    DEL ANGULO MITAD

    2

    cos1)

    2

    (sen

    2

    cos1)

    2cos(

    cos1

    cos1)

    2(tg

    PRCTICA

    01. Calcular: Tan 26 30A) 1 B) 2 C) 1/2D) 1/3 E)1/2

    02. Calcular: Tan 112 30

    A) 1 2 B) 2 +1 C) 21

    D) 21 E)2 3

    03. Si: Cos = 1/8, adems

    22

    3.

    Calcular2

    cos

    A)2/7 B)3/4 C)2/5

    D)9

    5 E)1/2

    1

    2

    x

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    19/38

    04. Si: Cos =0,75

    III Cuadrante, Hallar: Sec2

    A) 2 B) 2 C) 2 2

    D)2 2 E) 2 + 1

    05. Calcular: Tan 730 Cot 730

    A) 4 + 2 3 B) 42 3

    C) 2 3 3 D)42 3

    E) 0

    06. Simplificar:2xCot2xCsc

    2

    xTan

    2

    xCot

    A) Cot x B) 1 C) Tan x

    D) 2 E) Sec x

    FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    DEL ANGULO TRIPLE

    3sen4sen3)3(sen

    cos3cos4)3cos( 3

    3

    3

    tg31

    tgtg3)3(tg

    PRCTICA

    01. Simplificar:

    Cos3xxCos

    xSen3xSen3

    3

    A) Cot x B) Sec x C) Csc x

    D) Tan x E) Sen x

    02. Simplificar:

    Sen

    Sen3Sen

    Cos

    Cos3Cos33

    A) Cos B) Sen C) 1

    D) 3 E) 0

    03. Simplificar:

    40Cos20Cos

    40Cos20Cos 33

    A) 3 B) 4 C) 4/3

    D) 3/4 E) 3/2

    04. Reducir: 2 Cos 6x Sen 3x + Sen 3x

    A) Sen 6x B) 3 Sen 6x C) Sen

    9x

    D) Cos 9x E) 3 Cos 6x

    05. La siguiente igualdad es una identidad:

    kCosk2

    Cos

    3Cos

    Sen

    3Sen

    Hallar: k

    A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 3

    06. Simplificar:

    Tan 3(2 Cos 21)(2 Cos2+1)TanA) Tan B) Cot C) 0D) Tan 3 E) Cot 3

    07. Calcular:

    Sec92Cos8

    92 2

    A) 1 B) 2 C) 3

    D) 5 E) 6

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    20/38

    TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIINNDDEEUUNNAASSUUMMAAOO

    DDIIFFEERREENNCCIIAAAAPPRROODDUUCCTTOO

    Identidades para la suma o diferencia desenos y cosenos:

    2

    BAcos

    2

    BAsen2senBsenA

    2

    BAsen

    2

    BAcos2senBsenA

    2

    BAcos

    2

    BAcos2BcosAcos

    2

    BAsen

    2

    BAsen2BcosAcos

    PRCTICA

    01. Simplificar:

    3CosCos

    Sen-3Sen

    A) Tan 2 B) Cot 2 C) Tan D) Cot E) 1

    02. Calcular:(Sen 38 + Cos 68) Sec 8

    A) 1 B) 2 C) 1/2D) 1/4 E)1/2

    03. Sabiendo que: Cos 70 = kA qu es igual?Sen225 - Sen25

    A)4

    k B)

    2

    k C) k

    D) 2k E) 4k

    04. Simplificar:

    y )Sec(x2ySen2xSen

    y )Sen(3x3y )Sen(x

    A) 2 B) 1/2 C) 4D) 1 E) 1/4

    05. Simplificar:(Tan 2 + Tan)(Cos 3 + Cos)

    A) 2 Sen 3 B) 2 Cos 3 C) Sen 3 D) Cos 3 E) 1

    06. Simplificar:

    Cos 55 + Cos 65 + Cos 175

    A)2

    1 B)

    2

    1 C)

    2

    3

    D)2

    3 E) 0

    07. Simplificar:

    x4Cosx3Cosx2Cos

    x4Senx3Senx2Sen

    Para: x = 5

    A)2

    1 B)

    2

    3 C) 2 3

    D) 2 + 3 E) 1

    08. Factorizar:

    sen + sen 3sen 5+ sen 9

    A) 4 sen 2cos 3sen 4B) 4 cos 2sen 3cos 4C) 4 sen 2sen 3sen 4D) 4 cos 2cos 3cos 4E) 4 sen 2cos 3cos 4

    09. Factorizar:

    sen 24 + sen 16sen 8

    A) 4 cos 4 sen 8 cos 12B) 4 sen 4 sen 8 sen 12C) 4 cos 4 cos 8 sen 12D) 4 sen 4 cos 8 cos 12E) 4 cos 4 cos 8 cos 12

    10. Reducir:

    b2sena2Sen

    )ba3(Cos)b3a(Cos

    A) 2 Sen (a + b)

    B) 2 cos (a + b)C) 2D) 2 Sen (ab)E) 2 Cos (ab)

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    21/38

    TRANSFORMACIN DE UN

    PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

    01. Reducir: E = 2cos2x.cosxcos3x

    A) sen x B) cos x C) 10D) tg x E)cos x

    02. Simplificar:L=sen6x.senx+cos5x.cos2xsen4x.senx

    A) 0 B) cos x C) cos 3xD) cos 5x E) cos x

    03. CalcularA

    B, si:

    sen11x.cos3xcos9x.sen5x=cosAx.senBxA) 1 B) 2 C) 3D) 6 E) 4

    04. Calcular:

    12

    7sen.

    12

    11senJ

    A) 1/2 B)1/2 C) 1/4D)1/4 E) 3/4

    05. Calcular:M = sen 55.cos 5 + sen 35.sen 5

    A) 3 B) 1/2 C) 32

    D) 1 E) 2/3

    06. Simplificar:

    2xCos

    xSen3xSen-3xCos5xCos

    A) Cos 2x B) Cos 4x C) Cos 6xD) Cos 8x E) Cos 10x

    07. Transformar a monomio:Sen 3 Cos + Sen 2Cos 4

    A) Sen 5Sen B) Cos 5Sen C) Sen 5Cos D) Sen 5Sen 3E) Cos 5Cos

    08. Simplificar:

    70Sen10Sen280Cos

    10Sen40Cos250Sen

    A)2

    1 B)

    2

    3 C) 1

    D)2

    2 E)

    4

    26

    RREESSOOLLUUCCIINNDDEETTRRIINNGGUULLOOSS

    OOBBLLIICCUUNNGGUULLOOSS

    LEY DE SENOS:En todo tringulo cada lado es directamenteproporcional a los senos de los ngulosopuestos e igual a una constante que viene a

    ser el dimetro de la circunferencia circunscrita

    Del grfico, se cumple:

    R2senC

    c

    senB

    b

    senA

    a

    Donde:R: circuncentro del ABC

    NOTA: Cuando en un tringulo seconsideran 2 lados y 2 ngulos (incluyendola incgnita) se usa ley de senos.

    LEY DE COSENOS:En todo tringulo el cuadrado de un lado es

    igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos, menos el doble del producto de dichoslados por el coseno del ngulo que estosforman

    Acosbc2cba 222

    Bcosac2cab 222

    Ccosab2bac 222

    NOTA:Cuando en un se consideran 3 ladosy un ngulo (incluyendo la incgnita) se usa laley de cosenos.

    A

    B

    C

    a

    b

    c

    A

    B

    C

    a

    b

    c

    R

    O

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    22/38

    GGEEOOMMEETTRRAAAANNAALLTTIICCAA

    NNOOCCIIOONNEESSGGEENNEERRAALLEESS

    DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA:Dados los puntos P y Q de la recta numrica concoordenadas x1y x2, respectivamente, la distanciaentre P y Q que se denota con d(P, Q) se definecomo:

    d(P, Q) = x2x1

    DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO:Sean los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)

    d(P, Q) = 22 )12()12( yyxx

    DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZNDADA:

    Dado el segmento AB de coordenadas A(x1, y1) y

    B(x2, y2). Las coordenadas del punto P(x, y) quedivide al segmento en una razn r dada

    PB

    AP=r

    estn dadas por:

    1

    1

    21

    21

    r

    ryyy

    r

    rxxx

    PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Si M, es el punto medio del segmento AB , sus

    coordenadas se calculan por:x =

    2

    21 xx

    y =2

    21 yy

    COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UNTRINGULO:Si: G(x, y) es el baricentro de un tringulo ABC,

    tal que: A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3); entonces:

    x =3

    321 xxx

    y =3

    321 yyy

    NGULO DE INCLINACIN:Se llama ngulo de inclinacin de una recta, alngulo formado por la parte positiva del eje X yla recta, cuando sta se considera dirigidahacia arriba.

    En la figura, es la medida del ngulo deinclinacin de la recta L.

    Tambin, es la medida del ngulo deinclinacin de la recta a.

    Evidentemente, puede tener cualquier valorcomprendido entre 0 y 180, es decir, suintervalo de variacin est dado por:

    0 < < 180

    PENDIENTE DE UNA RECTA:

    Se llama pendiente coeficiente angular deuna recta a la Tangente de su ngulo deinclinacin.La pendiente de unarecta se designacomnmente por laletra m. Por tanto,podemos escribir:

    m = Tg .

    Observaciones:La pendiente puede tomar todos los valoresreales.

    a)Si es agudo, la pendiente es positiva.

    m = Tg.

    Y

    X0

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    23/38

    b)Si es obtuso, la pendiente es negativa.

    m = Tg .c) Toda recta perpendicular al eje X no tiene

    pendiente.d) La pendiente de una recta horizontal es

    igual a cero.

    TEOREMA: P1= (x1; y1) y P2= (x2; y2) son dospuntos diferentes cualesquiera de una recta, lapendiente de la recta es:

    m =21

    21

    xx

    yy

    x1x2

    ObservacinEl orden en que setoman las coordenadasno tiene importancia,ya que:

    21

    21

    12

    12

    xx

    yy

    xx

    yy

    El estudiante debe evitar, en cambio, el error muyfrecuente de tomar las ordenadas en un orden y

    las abscisas en el orden contrario, ya que estocambia el signo de m.NGULO ENTRE DOS RECTAS:Un ngulo cuya medida es formado por dosrectas est dado por la frmula:

    Tg=12

    1

    12mm

    mm

    m1.m2-1CONDICIONES DE PARALELISMO:

    La condicin necesaria y suficiente para que dosrectas sean paralelas es que sus pendientes seaniguales.

    Si L1//L2m1= m2

    CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD:La condicin necesaria y suficiente para que dosrectas sean perpendiculares entre s, es que el

    producto de sus pendientes sea igual a -1.Si: L1 L2m1m2 = -1

    PROYECCIN DE UN SEGMENTO

    En un sistema de coordenadas cartesiano

    rectangular, la proyeccin de un segmento AB ,de extremos A(x1, y1) y B(x2, y2), sobre el eje

    OX se indica con el smbolo X =

    ProyxAB , y la proyeccin sobre el eje OY ,

    con el smbolo Y = ProyyAB .

    Ambas proyecciones pueden calcularse por lasfrmulas:X = x2x1Y = y2y1

    PUNTO COMUN O DE INTERSECCIN DEDOS CURVAS:Se determina por la resolucin simultnea desus dos ecuaciones.

    PUNTO QUE PERTENECE A UNA CURVA:

    Aquel que al reemplazar sus coordenadas en laecuacin de la curva la verifica o la satisface.

    LUGAR GEOMTRICO, o grfica, de unaecuacin de dos variables es una lnea, recta ocurva, que contiene todos los puntos, y soloellos, cuyas coordenadas satisfacen laecuacin dada.

    En donde:

    m1: pendiente inicial

    de L1.

    m2: pendiente final de

    L2.

    1: recta inicial.

    2: recta final.

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    24/38

    LLAARREECCTTAA

    CONCEPTO: Llamamos lnea recta al lugargeomtrico de los puntos tales que tomado dospuntos diferentes cualesquiera P1 = (x1; y1) yP2= (x2; y2) del lugar, el valor de la pendiente mcalculado por medio de la frmula:

    21

    21

    xxyym

    ; x1x2

    Resulta siempre constante.

    FORMAS DE LA ECUACIN DE LA RECTA

    A) FORMA PUNTO PENDIENTE:La ecuacin de la recta Lque pasa por elpunto P1 (x1, y1) y cuya pendiente es m,est dado por:

    )xx(myy:L 11

    B) FORMA CARTESIANA:La ecuacin de la recta Lque pasa por lospuntos P1(x1, y1), P2(x2, y2) est dado por:

    )xx(xx

    yyyy:L 1

    12

    121

    C) FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN:La ecuacin de la recta L de pendiente m y quecorta al eje Y en el punto P1 (0, b) est dadopor:

    bmxy:L

    Donde:b: ordenada en el origenP: Punto cualquiera

    D) FORMA SIMTRICA.La ecuacin de la recta L que corta a los

    ejes de coordenadas X e Y en los puntosA(a, 0) y B(0, b) est dado por:

    1b

    y

    a

    x:L

    Donde:a : abscisa en el origen a 0b : ordenada en el origen b 0

    OBSERVACIONES:1. Si: m > 0, la recta es de la forma general

    representada en la figura:

    2. Si: m < 0, entonces la recta es de la forma

    general representada en la figura:

    3. Si: L // X m = 0

    La ecuacin de la recta L es de la forma:L = (x ; y)/ y = c

    4. Si: L // Y m no est definida.

    La ecuacin de la recta L es de la forma:L = (x ; y) / x = c

    FORMA GENERAL DE UNA RECTA

    L

    X

    Y

    L

    X

    Y

    )b,0(B

    )0,a(A

    L

    Y

    X

    L

    X

    Y

    c cy

    L

    X

    Y

    c

    cy

    )y,x(P

    )b,0(P1

    Y

    X

    L

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    25/38

    La ecuacin general de la recta L est dadopor:

    L : Ax + By + C = 0 .

    Con pendiente:B

    Am

    Donde: A, B, C son constantes con la condicin

    que A, B y C no son simultneamente nulas.

    POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

    1. RECTAS PARALELAS:Sean las ecuaciones generales de lasrectas:L1: Ax + By + C = 0L2: A1x + B1y + C1= 0Si: L1// L2mL1= mL2

    2. RECTAS PERPENDICULARES

    Sean las ecuaciones generales de lasrectas:L1: Ax + By + C = 0 yL2: A1x + B1y + C1= 0Si: L1 L2 mL1mL2=1

    DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa distancia no dirigida de un puntoP1(x1, y1) a una recta.L : Ax + By + C = 0 est dado por:

    d(P1, L) =22

    11

    BA

    CByAx

    DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS:La distancia dentre las rectas

    L1: Ax + By + C1= 0

    L2 : Ax + By + C2 = 0

    Est dada por:22

    21

    BA

    CCd

    PRCTICA

    01. Del grfico, calcular la pendiente de

    L , siPERU es un rectngulo y PU = 2PE.

    A) 1/2B) 1/3C) 1/4D) 2/3E) 3/4

    02. Hallar el valor de a, de modo que lospuntos P(1, 1); Q(5, 2) ; R(a, 1) estnsobre la misma recta.

    A) 9/5 B) 10/3 C) 11/3D) 13/3 E) 9/4

    03. Sea L: x+y+=0 que pasa por A(a,0) y

    B(0,b), si P(1,2) es punto medio de AB .Calcular: .

    A) 4 B)2 C) 2D) 3 E) 6

    04. Hallar el valor de a para que la rectaL1:ax+(a2)y+18=0 sea paralela a la rectaL2: 4x+3y+7=0.

    A) 5 B) 6 C) 8D) 9 E) 10

    05. Sean: L1: kx + (k1)y18 = 0;L2: 4x + 3y + 7 = 0

    Rectas no verticales, calcular el valor de kpara que L1sea perpendicular a L2.A) 2/7 B) 3/7 C)3/7D)2/7 E) N.A.

    06. Dado el tringulo de vrtices A(2,1),B(4,7) y C(6,3); hallar las ecuaciones delas medianas relativas a los lados

    BCyAC .

    A) 4x y + 9 = 0 x7y9 = 0B) x4y + 9 = 0 x + 7y + 9 = 0

    C) x + 4y9 = 0 7x + y9 = 0D) 4x + y + 9 = 0 7xy9 = 0E) 4x y9 = 0 x7y + 9 = 0

    07. Si L: 3x + 4y2 = 0, entonces la ecuacinde la recta perpendicular a L y que pasapor el punto (4,2), es:

    A) 4x3y + 10 = 0 D) 4x3y10 = 0B) 4x + 3y10 = 0 E) 5x3y + 10 = 0C) 4x + 3y + 10 = 0

    Y

    X

    )y,x(P 111

    L 1L

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    08. Calcular la distancia entre las rectasparalelas:L1: 3x4y + 8 = 0;L2: 6x8y + 9 = 0;

    A) 1/10 B) 3/11 C) 1/4D) 7/10 E) 1/5

    09. La ecuacin de la recta que es mediatriz

    del segmento que une a los puntos A(7;4)y B(1;2).

    A) 4x + 3y12 = 0B) 4x + 3y13 = 0C) 4x + 3y + 12 = 0D) 4x + 3y15 = 0E) 4x + 3y16 = 0

    10. Un cuadrado tiene uno de sus lados en larecta L: x 3y + 2 = 0 y un vrtice en elpunto P(2,3). Hallar el rea de dichocuadrado.

    A) 32 u2 B)2

    5u2 C) 36 u2

    D) 40 u2 E) 42 u2

    11. Hallar la ecuacin de la recta que pasa porel punto P(4,6), de modo que su ordenadaen el origen es el doble de su abscisa en elorigen, siendo ambos positivos.

    A) 2x + y14 = 0

    B) x + 2y14 = 0C) x + y10 = 0D) 2x + 3y26 = 0E) xy + 2 = 0

    UNT 2006II (rea A)12. La recta L1: y = mx + b pasa por el punto

    (1,5) y es paralela a la rectaL2: 2x3y + 12 = 0.El valor de 4mb es:

    A)7 B)3 C)1/2

    D) 2 E) 5/2

    13. Hallar el rea de la regin sombreada, siL1: xy + 6 = 0 yL2: x + y12 = 0

    A) 162u2 B) 70u2 C) 81u2

    D) 94u2 E) 56u2

    I SUMATIVO (AbrilAgosto 2003)14. Los puntos A(2;3), B(4;6) y C(6;1) forman

    el tringulo ABC. La ecuacin de la rectaque contiene a la altura relativa al lado AC,es:

    A) y = 3x + 1B) y = 2x2C) y = x4D) y = 2x + 2E) y =x+1

    I SUMATIVO (JUNIOSET. 2005)15. La ecuacin de la recta que pasa por la

    interseccin de las rectas:2xy4 = 0

    x + y5 = 0;y forma un ngulo de 45 con el eje X, es:

    A) yx3 = 0 B) yx + 2 = 0C) yx + 1 = 0 D) yx1 = 0E) yx + 3 = 0

    UNT 1996 (rea Letras)16. El rea del tringulo determinado por las

    rectas: x = 2, y = 3, e; y = x2, en el planoes:

    A) 6 u2 B) 12 u2 C) 4,5 u2D) 5,4 u2 E) 4,2 u2

    I SUMATIVO (MAYOAGOSTO 2006)17. La ecuacin de la recta que pasa por

    (0,4), perpendicular a la recta

    y + 2 = )1x(21 , es:

    A) 2yx + 4 = 0 B) 2x + y4 = 0C) 2xy4 = 0 D) yx4 = 0E) x + y4 = 0

    LLAACCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA

    Definicin:Es el lugar geomtrico de un puntoP(x, y) del plano IR2, de tal manera que se

    A

    B

    C

    1L

    Y

    X

    2L

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    27/38

    mueve mantenindose siempre igual a unacantidad constante r (r: radio) de un punto fijo Cdel plano denominado centro de la misma. Esdecir:

    C = P(x,y) IR2/ d (C,P) = r

    ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

    C : Centro de la circunferencia

    CU: radio (CU = r)

    BO : cuerdaAE : DimetroLN : Recta NormalLT : Recta Tangente

    FORMAS DE LA ECUACIN DE UNACIRCUNFERENCIA

    1. Forma Cannica: La ecuacin de unacircunferencia con centro en el origen decoordenadas y radio r > 0, es dado por:

    : x2+ y2= r2

    2. Forma Ordinaria: La ecuacin de unacircunferencia con centro en el punto C(h, k)y radio r > 0 es dado por:

    : (xh)2+ (yk)2= r2

    3. FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DEUNA CIRCUNFERENCIA.Sea la ecuacin de una circunferencia en suforma ordinaria.

    : (xh)2+ (yk)2= r2

    : x2+ y2 022 222

    CBA

    rkhkyhx

    Luego, se deduce que la ecuacin de lacircunferencia se puede escribir en laforma:

    : x2+ y2+ Ax + By + C = 0

    Ahora, de sta ltima ecuacin de lacircunferencia al completar cuadrados. Lanueva ecuacin de la circunferencia:

    :4

    C4BA

    2

    By

    2

    Ax

    2222

    Presenta tres casos:

    1) Si: A2+ B24C > 0. Entonces:

    C =

    2

    B,

    2

    Ay r = C4BA

    2

    1 22

    2) Si: A2+ B24C = 0. Entonces:

    C =

    2

    B,

    2

    A

    Represente un solo punto

    3) Si A2+ B24C < 0. Entonces:La ecuacin representa a unacircunferencia imaginaria o unconjunto vacio.

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    28/38

    PRCTICA

    UNT 2001 (CIENCIAS)01. Una circunferencia de radio 5 tiene su

    centro en el punto de interseccin de lasrectas 2x + 3y = 13 y 5xy = 7. Entoncesla ecuacin de la circunferencia es:

    A) (x3)2+ (y2)2= 25

    B) (x2)2+ (y + 4)2= 25C) (x + 2)2+ (y3)2= 25D) (x2)2+ (y + 3)2= 25E) (x2)2+ (y3)2= 25

    I SUMATIVO (OCT. 2009FEB.2010-C)02. La ecuacin de la circunferencia cuyos

    extremos de su dimetro son los puntosP(2,3) y Q(4,5), es:

    A) (x + 1)2+ (y4)2= 10B) (x1)2+ (y + 4)2= 10C) (x + 4)2+ (y1)2= 10D) (x4)2+ (y + 1)2= 10E) (x1)2+ (y4)2= 10

    I SUMATIVO (ENEROABRIL 2005)03. Dada la ecuacin

    x2+ y24x10y + 20 = 0de una circunferencia, el valor de su radio,es:

    A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

    III SUMATIVO (ABRILAGOSTO 2002)04. La longitud de la circunferencia:

    2x2+ 2y210x + 6y15 = 0 es:A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

    I SUMATIVO (ABRILAGOSTO 2009)05. La ecuacin de la recta tangente a la

    circunferencia x2+ y2+ 2x 2y = 23 en elpunto P(2,5) es:

    A) 3x + 4y = 26 B) x + y = 2C) 3x + y = 6 D) 3x + 4y = 1

    E) x + y = 6

    06. Una circunferencia de ecuacinx2+y2+Dx+Ey+F=0, pasa por el origen decoordenadas y su centro es el punto(6,8). Hallar D+E.F

    A)12 B) 16 C) 0D)10 E)16

    07. Hallar la ecuacin de la circunferencia concentro en la recta L: x+y4=0 y pasa porlos puntos A(4,6) y B(2,6).

    A) x2+ y2xy16 = 0B) x2+ y22xy16 = 0C) x2+ y26x16 = 0D) x2+ y26x2y = 0E) x2+ y26x2y16 = 0

    08. Hallar la ecuacin de la circunferenciacuyo centro es el punto (3, 4) y estangente a la recta L: 3x+4y5=0.

    A) (x + 3)2+ (y + 4)2= 36B) (x3)2+ (y + 4)2= 36C) (x + 4)2+ (y3)2= 36D) (x4)2+ (y + 3)2= 36E) (x +3)2+ (y4)2= 36

    09. En la figura calcular la ecuacin de lacircunferencia, si L=(3,0) y A=(13,0)

    A) (x+8)2 + (y6)2 =61 B) (x+8)2 + (y6)2 =8C) (x8)2 + (y+6)2 =61 D)(x8)2 + (y6)2 =81E) (x8)2 + (y6)2 =48

    10. Hallar la ecuacin de la circunferenciacuyo centro est sobre el eje X y pasa porlos puntos A(1,3) y B(4,6).

    A) (x73)2+ y2= 45B) (x5)2+ y2= 35C) (x + 7)2+ y2= 43D) x2+ (y7)2= 40E) x2+ (y + 7)2= 40

    11. Hallar la ecuacin de la circunferencia quees tangente a las dos rectas paralelasL1: 2x + y5 = 0 y L2: 2x + y + 15 = 0y, a una de ellas, en el punto A(2,1)

    A) (x + 2)2+ (y1)2= 20B) (x + 2)2+ (y + 2)2= 20C) (x + 1)2+ (y + 2)2= 20D) (x + 2)2+ (y + 1)2= 20E) N.A.

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    29/38

    LA PARBOLA

    Definicin:Es el lugar geomtrico de un puntoP(x,y) del plano IR2, que se mueve de talmanera que equidista de una recta fija L(llamada Directriz) situada en el plano y de un

    punto fijo F (llamado Foco) del plano IR2

    y queno pertenece a la recta L. Es decir:

    ELEMENTOS DE LA PARBOLA Foco Fes el punto fijo de la parbola. Vrtice Ves el punto medio del segmento

    que une la directriz y el foco. Eje focal L1 es la recta perpendicular a la

    directriz L.

    Cuerda focal TU es el segmento que unedos puntos de la parbola y que pasa por elfoco.

    Radio vector EF es el segmento que uneun punto de la parbola E y el foco F.

    Lado recto CM es la cuerda focalperpendicular al eje focal.

    LR = 4p

    Excentricidades la razn constante entre ladistancia de un punto al foco y la distanciade dicho punto a la directriz.

    ECUACIN CANNICA: Con vrtice en elorigen de coordenadas (0,0)

    ECUACIN ORDINARIA:Con vrtice en el punto V(h, k) se reemplaza ax por (x h) y a y por (y k), obtenindose.(xh)2= + 4 p(yk); eje focal // eje Y

    (yk)2= + 4 p(xh); eje focal // eje X

    Desarrollando estas ecuaciones anteriores y

    haciendo los cambios de variable, se tiene laecuacin general de la parbola:

    x2+ Ax + By + C = 0 ; eje focal // eje Yy2+ Ay + Bx + C = 0 ; eje focal // eje X

    ECUACIN DE LA TANGENTE A UNAPARBOLA

    La tangente a la parbola y2= 4px en un puntocualquiera P1(x1,y1) de tangencia o contacto

    tiene por ecuacin:

    L : y1y = 2p(x + x1)

    PRCTICA

    01. La distancia del vrtice al foco de laparbola y2= 16x, es:

    A) 7 u B) 6 u C) 5 uD) 4 u E) 3 u

    02. La suma de las coordenadas del vrtice dela parbola de ecuacin:y2 + 4x6y+7 = 0 es:

    A)7/2 B)5/2 C) 5/2D) 7/2 E) 9/2

    x2= +4py y2= +4px= {P(x,y)IR2/d(P,L)=d(P,F)}

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    30/38

    03. Hallar la ecuacin de la circunferencia que

    pasa por el vrtice y los extremos del ladorecto de la parbola x2=4y.

    A) x2+ y2+ 3y = 0

    B) x2+ y3+ 4y = 0C) x2+ y3+ 5y = 0D) x2+ y2+ 4x = 0

    E) x2

    + y2

    + 5y = 0

    04. Hallar la ecuacin de la parbola, si se da

    su foco F(7,2) y la directriz : x5 = 0.

    A) (y + 2)2= 4(x + 6)

    B) (y2)2= 4(x6)C) (y + 2)2= 4(x6)D) (y2)2= 4(x + 6)

    E) N.A.

    05. Hallar la ecuacin de la parbola convrtice en V(3,1) y directriz la recta

    : y =3

    A) (x + 1)2= 8(y + 1) B) (x1)2= 8(y + 3)

    C) (x3)2= 4(y + 1) D) (x3)2= 8(y + 1)E) N.A.

    06. Hallar la ecuacin de la parbola que tieneel vrtice en V(3,5) y cuyos extremos del

    lado recto son L(5,9) y R(5,1)

    A) (y + 5)2= 8(x3)

    B) (y + 5)2=8(x + 3)

    C) (y5)2= 8(x + 3)

    D) (y5)2=8(x3)

    E) (y5)2=8(x + 3)

    07. El vrtice de una parbola es V(3,2) y sudirectriz y + 1 = 0; entonces, la suma de lascoordenadas del foco de la parbola, es:

    A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 8

    08. Hallar la ecuacin de la parbola cuyos

    puntos extremos de su lado recto sonL(7,3) y R(1,3).A) (x4)2= 6(y3/2)

    B) (x4)2=6(y9/2)C) (x4)2= 6(y + 9/2)D) (x4)2= 8(y9/2)

    E) A y B

    09. Hallar la ecuacin de la parbola con

    directriz : x = 2, eje 1: y = 1 y que pasa

    por el punto A(7,4).

    A) (y1)2= 2(x5/2)B) (y1)2= (2x + 5/2)C) (y1)2= 18(x13/2)

    D) (y1)2= 8(x13/2)E) A y C

    10. Hallar la ecuacin de la parbola convrtice sobre la recta L1: x y + 1 = 0, dedirectriz horizontal, foco sobre la rectaL2: x + y + 3 = 0 y que pasa por A(5,6)A) (x + 3)2= 8(y + 2)B) (x5)2= 56(y6)C) (x3)2= 8(y2)D) (x5)2=56(y5)E) N.A.

    11. Hallar la ecuacin de la parbola de ejehorizontal, que pasa por los puntos

    A(1,3) y B(2,3) y cuyo lado recto mide 12unidades.A) (y3)2= 12(x + 1)B) (y + 3)2= 12(x + 1)C) (y3)2= 12(x2)D) (y3)2=12(x2)E) B y D

    12. Se plantea hacer un arco parablico, coneje vertical y cuyos puntos de apoyo estn

    separados por una distancia de 30 m. Si elfoco de la parbola debe estar a 8m dealtura, cul es la altura que debe tener elarco?A) 8,5 B) 10,5 C) 12,5D) 14,5 E) 9,5

    LA ELIPSE

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    31/38

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    32/38

    La distancia entre las rectas directrices es:c

    a2'DD

    2

    Como: e = c/a, tambin puede ser:e

    a2'DD

    Importante: ePM

    PF

    Pero: PM =1

    2

    xc

    a

    Reemp. y despejando PF = e

    1

    2

    xc

    a

    PF = ae 1x

    ECUACIN CANNICA:

    Con centro en el origen de coordenadas C(0,0)

    12b

    2y

    2a

    2x 1

    2b

    2x

    2a

    2y

    ECUACIN ORDINARIA:

    Con centro en el punto C(h,k). Se reemplaza ax por (xh) y a y por (yk)2 en la ecuacincannica, resultando:

    2b

    2k)(y

    2a

    2h)(x

    = 1; eje focal // eje X

    2b

    2h)(x

    2a

    2k)(y

    = 1; eje focal // eje Y

    Al desarrollar estas ecuaciones y al hacer loscambios de variables se obtiene la ecuacingeneral

    Ax2+ By2+ Cx + Dy + E = 0

    ECUACIN DE LA TANGENTE A UNAELIPSE

    La Tangente a la elipse b2x2+ a2y2 = a2b2encualquier punto P1(x1, y1) de la curva, tiene porecuacin:

    b2x1x + a2y1y = a2b2

    ECUACIN DE LA CUERDA DE CONTACTO

    Si desde un punto exterior P1(x1, y1) se trazantangentes a una elipse, el segmento de rectaque une los puntos de contacto se llama cuerdade contacto de P1para la elipse:

    b2x2+ a2y2= a2b2

    Su ecuacin est dado por:

    b2x1x + a2y1y = a2b2

    )b,0(B1

    )b,0(B2

    )0,a(V1

    )0,a(V2

    )a,0(V1

    )a,0(V2

    )0,b(B1

    )0,b(B2

    Y Y

    X X

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    33/38

    PRCTICA

    01. Hallar la ecuacin de la elipse con centro

    en el origen, focos en el eje X, la longitud

    del eje mayor igual a tres veces la longitud

    del eje menor y que pasa por el punto

    P(3;3).

    A) x2+ 9y2= 90 B) x2+ 9y2= 81

    C) x2+ 3y2= 30 D) y2+ 9x2= 90

    E) 9x2+ 3y2= 30

    02. La distancia entre las directrices

    perpendiculares al eje X de una elipse es 9

    y la longitud del eje focal es 6. Hallar la

    ecuacin de la elipse.

    A) 6x2+ 2y2= 27 B) 2x2+ 6y2= 30

    C) 2x2+ 6y2= 27 D) 2x2+8y2= 72

    E) 2x26y2= 27

    03. Hallar la ecuacin de la elipse de la forma:

    b2x2+ a2y2=a2b2, sabiendo que la distancia

    entre sus directrices es 50/ 21 y su

    excentricidad es 21 /5.

    A) 25x2+ 4y2= 100 B) 8x2+ 5y2= 10

    C) 4x2+ 5y2= 10 D)4x2 + 25y2 =

    100

    E) 4x2+ 25y2= 81

    04. Hallar la ecuacin de la elipse de

    excentricidad e= 2/3, centro en el origen

    y cuyas directrices son: y = + 9.

    A) 9x2+ 5y2= 180 B) 9x2+ 5y2= 18

    C) 7x2+ 6y2= 18 D) 5x2+ 9y2= 180

    E) 49x225y2= 81

    05. Las rectas: x= + 8 son directrices de una

    elipse, cuyo eje menor tiene una longitud

    de 8. Hallar la ecuacin de la elipse:

    A) x2+ 2y2= 32 B) 2x2+ y2= 32

    C) x2+ 4y2= 64 D) x2+ 5y2= 25

    E) 2x2+ 5y2= 30

    06. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos

    y vrtices coinciden con los focos y

    vrtices de lasparbolas

    1: y2+ 4x12 = 0 y

    2: y24x12 = 0

    A) 5x2+ 9y2= 46 B) 9x2+ 5y2= 46

    C) 9x2+ 5y2= 45 D) 5x2+ 9y2= 50

    E) 5x2+ 9y2= 45

    07. El punto P(2;3) est en la elipse, uno decuyos focos es F(2;0) y la directriz

    correspondiente es: x + 8 = 0. Hallar el

    valor de la excentricidad y la longitud del

    lado recto de dicha elipse.

    A) 1/2; 8 B) 1/3; 6 C) 1/2; 6

    D) 1/4; 7 E) 2/3; 4

    08. En la elipse: 149

    22

    yx

    . El rea del

    tringulo formado por un lado recto y los

    segmentos que unen los extremos con el

    centro de la elipse es:

    A) 53

    1u2 B) 5

    3

    2u2

    C) 73

    4u2 D) 5

    3

    3u2

    E) 53

    4u2

    09. En la ecuacin de la elipse

    E : 25x2+ 16y2= 400. Hallar el permetro del

    tringulo F1F2P, siendo F1y F2 los focos y

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    34/38

    P un punto cualquiera distinto de los

    vrtices.

    A) 4 u B) 6 u C) 8 u

    D) 16 u E) 24 u

    10. Un satlite viaja alrededor de la Tierra en

    una rbita elptica donde la Tierra es un

    foco y la excentricidad es 1/3. La distancia

    ms corta a la que se acerca el satlite a la

    Tierra es 300 millas. Hallar la distancia

    ms grande a la que se aleja el satlite de

    la Tierra.

    A) 500 millas B) 800 millas

    C) 600 millas D) 900 millas

    E) N.A.

    11. El centro de una elipse tiene por

    coordenadas (2;4). Si la distancia del

    centro a los focos es de 3, su excentricidad

    1/3 y la elipse es de eje vertical, hallar su

    ecuacin.

    A) 9(x4)2+ 8(y2)2= 648

    B) 9(x2)2+ 8(y4)2= 648

    C) 8(x2)2+ 9(y4)2= 648

    D) 9(x5)2+ 4(y8)2= 324

    E) (x2)2+ (y4)2= 1

    12. El punto M(3,1) es un extremo del eje

    menor de una elipse cuyos focos estn en

    la recta y + 6 = 0. Hallar la ecuacin de la

    elipse si e = 2 /2.

    A) (x + 3)2+ 2(y + 6)2= 50

    B) (x3)2+ 2(y5)2= 50

    C) (x3)2+ 2(y + 5)2= 50

    D) (x3)2+ 2(y + 6)2= 50

    E) N.A.

    13. Si una elipse con eje paralelo al eje X es

    tangente a la circunferencia

    : x2 + y26x + 4y12 = 0 y sus focos son

    los puntos de la circunferencia. Hallar su

    ecuacin.A) (x3)2+ 2(y + 2)2= 50

    B) (x2)2+ (y3)2= 50

    C) (x + 3)2+ (y2)2= 50

    D) (x + 3)2+ (y + 2)2= 50

    E) N.A.

    14. Los focos de una elipse estn en las

    rectas L1: 2x9y = 0 y L2: 2x y = 0. Eleje focal es la recta L2: y = 2. Hallar la

    ecuacin de la elipse si el eje mayor mide

    10.

    A) 9(x + 5)2+ 25(y2)2= 225

    B) 9(x5)2+ 25(y2)2= 225

    C) 9(x5)2+ 25(y + 2)2= 225

    D) 9(x + 5)2+ 25(y + 2)2= 225

    E) N.A.

    15. Hallar la ecuacin de la elipse que pasa

    por P(1,5) y cuyos focos son F1(5,2) y

    F2(3,2).

    A) 9(x + 1)2+ 25(y2)2= 225

    B) 9(x + 1)2+ 25(y + 2)2= 225

    C) 25(x1)2+ 9(y2)2= 225

    D) 9(x1)2+ 25(y2)2= 225

    E) N.A.

    LA HIPRBOLA

    DEFINICIN:Es el lugar geomtrico de un punto (P) que se

    mueve en un plano de tal manera que la

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    35/38

    diferencia de sus distancias a dos puntos fijos

    (F1y F2) llamados focos, es siempre igual a una

    constante positiva (2a).

    GRAFICAMENTE:

    ELEMENTOS:

    L1y L2: Eje directriz

    LF: Eje focal

    LN: Eje normal

    LAy LA: Asntotas

    C: Centro

    V1y V2: Vrtices

    F1y F2: Focos

    TU : Lado recto

    IM : Cuerda focal

    'DD : Dimetro

    V1V2: Eje transverso

    B1B2: Eje conjugado

    F1F2: Eje focal

    RELACIONES FUNDAMENTALES:

    1. De la siguiente hiprbola:

    Se tiene que:

    Longitud del eje transverso: V1V2= 2a

    Longitud del eje conjugado: B1B2= 2b

    Longitud del eje focal(segmento focal): F1F2 = 2c

    2. La relacin entre a, b y c, es:

    3. EXCENTRICIDAD (e):

    Se define as: a

    ce

    Como: c > a 1a

    c

    Luego: e > 1

    La excentricidad de una elipse es menorque la unidad.

    4. De la siguiente hiprbola:

    c2 = a2 + b2

    PF2PF1 = 2a

    LF

    LN LA

    LA

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    36/38

    La longitud del lado recto es:

    a

    bR'L'LR

    2

    2

    Para demostrarla se sigue el mismoprocedimiento que se hizo en la elipse.

    5. Se tiene la siguiente hiprbola.

    DD=c

    A2 2

    Importante:PM

    PF1 = e

    Pero: PM = x1-c

    a

    2

    Reemp. y

    despejando

    PF =

    c

    axe

    2

    1 PF = ex1a

    ECUACIN CANNICA: Con centro en elorigen de coordenadas C(0,0)

    1b

    y

    a

    x2

    2

    2

    2

    1b

    x

    a

    y2

    2

    2

    2

    ECUACIN ORDINARIA: Con centro en el

    punto C(h,k).

    Se reemplaza a x por xh y a y por (yk),

    obtenindose.

    1b

    k)(y

    a

    h)(x

    2

    2

    2

    2

    ; eje focal // eje x

    1b

    h)(x

    a

    k)(y

    2

    2

    2

    2

    ; eje focal // eje y

    Al resolver estas ecuaciones y al hacer loscambios de variables resulta la ecuacingeneral.

    Ax2By2+ Cx + Dy + E = 0

    ECUACIN DE LA TANGENTE A UNA HIPERBOLALa ecuacin de la tangente a la hiprbola

    b2x2a2y2= a2b2, en cualquier punto P1(x1, y1)

    de la curva es:

    b2x1xa2y1y = a2b2

    P(x1,y1)M

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    37/38

    Practica omiciliaria

    01. La longitud del lado recto de una hiprbola

    es m y la de su eje transverso en n,

    determine la longitud de su eje conjugado.

    A) 22 nm B) mn

    C)n

    m D)

    m

    n

    E) 22 nm

    02. Determine la ecuacin de la hiprbola

    cuyos vrtices son: (0; 24) y (0; 24);

    adems sus asntotas tienen por

    ecuaciones x5

    12y .

    A) 1100

    x

    576

    y 22

    B) 1169

    x

    576

    y 22

    C) 1100

    y

    576

    x 22

    D) 1169

    y

    576

    x 22

    E) 1144

    x

    576

    y 22

    03. Calcule el rea de la regin triangular

    determinada por la interseccin de la recta:

    24y2x9 y las asntotas de la hiprbola:

    19

    y

    4

    x 22

    A) 6u2 B) 8u2 C) 10u2

    D) 12u2 E) 24u2

    04. Las ecuaciones de las directrices de una

    hiprbola son: 01x5 019x5 ; si

    la excentricidad es9

    16; determine la

    longitud de sus lados rectos.

    A) 32/3 B) 16/3 C) 8/3

    D) 16/5 E) 32/5

    05. Dada la hiprbola:

    144y16x9 22

    , su distancia focal mide:

    A) 5 B) 16 C) 8

    D) 10 E) 6

    06. Dada la hiprbola: 15

    y

    4

    x 22 , uno de

    sus focos es:

    A) (0; 5)

    B) (0; 5 )

    C) (2; 0)

    D) ( 5 ;0)

    E) (3; 0)

    07. Dada la hiprbola: 3yx2 22 , Cunto

    mide su eje transverso?

    A) 3

    B) 32

    C) 6

    D) 62

    E)2

    6

  • 7/21/2019 5 Quinto Cepas

    38/38

    08. Hallar la ecuacin de una hiprbola de

    centro (1; 3), distancia focal igual a 18u y

    una de sus directrices: y = 7.

    A) 136

    )1x(

    45

    )3y( 22

    B) 136

    )1x(45

    )3y( 22

    C) 145

    )1x(

    36

    )3y( 22

    D) 145

    )1x(

    36

    )3y( 22

    E) 145

    )3x(

    36

    )1y( 22

    09. Calcular la longitud del lado recto de la

    hiprbola:

    112

    )2y(

    36

    )5x( 22

    A) 2 B) 2,5 C) 3

    D) 3,5 E) 4

    10. Hallar la ecuacin de la hiprbola que pasa

    por el punto (5;8), si sus vrtices son los

    puntos (3; 0) y (3; 0)

    A) 11yx3 22

    B) 36yx4 22

    C) 16y3x6 22

    D) 14x2y 22

    E) 53x3y2 22

    11. Determine las ecuaciones de las asntotas

    de la hiprbola: 36yx 22

    A) xy B) x2y

    C) x)2/1(y D) 1xy

    E) 9xy

    12. Hallar la ecuacin de la hiprbola

    conjugada a la hiprbola que pasa por el

    punto (3; 1), centro en el origen, eje

    transverso sobre el eje X y una de sus

    asntotas es 0y23x2

    A) 9xy9 22

    B) 9y9x2 22

    C) 9x2y9 22

    D) 9y2x9 22

    E) 1x2y9 22

    13. Halle la ecuacin de la hiprbola equiltera

    con centro en el origen y que pasa por elpunto (5;3).

    A) 16yx 22

    B) 10yx 22

    C) 8yx 22

    D) 1yx 22

    E) 20yx 22