5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE

Indice Generale

CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA

Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti

ad q

dta

d q

dta q

bd q

dtb

d q

dtb q

n

n

n n

n

n

m

mi

m m

mi

m o i

01

10

1 0 0

1

1

1

. . . .

. . . .

qo ,qi sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI

EQ. DIFFERENZIALE

Forma simbolica con operatore Dd

dtn

n

n

a D a D a q b D b D b qnn

nn

mm

mm

i

11

0 0 11

0 ... ...

Funzione di trasferimento sinusoidale

q

qD

b D b D b

a D a D ai

mm

mm

nn

nn

0 11

0

11

0

...

...

Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale:

definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico

o

2

q 1

D

K

C

BADqi

1

20

D

K

C

BADD

q

q

i

SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI

q q qg p0 0 0

q0g : soluzione dell’ equazione

ad q

dta

d q

dtan

n

n n

n

n0

1

10

1 0 0

...

q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della

funzione

bd q

dtbm

nin ... 0

q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni

iniziali, cioè dai valori di

all’ istante t=0

qdq

dt

d q

dt

n

n00 0, , , ...

q0p non ha nessuna costante arbitraria

per la determinazione di qog esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata

a D a D a D ann

nn

11

1 0 0 ...

• Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g

un termine del tipo cest

• Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un

termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est

• Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2)

• Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella

soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo c e sin bt c te sin bt c t e sin btat at

nn at

n0 0 1 1 11

1

...

La funzione di trasferimento sinusoidale

q

qi

b i b i b

a i a i ai

mm

mm

nn

nn

0 11

0

11

0

...

...

è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare

M

è estremamente importante

• LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale

QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA

COMPLETAMENTE STRUMENTI

DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO

SINUSOIDALE

• IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale

MA

Ai 0

DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE

Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo

tsinAq ii

è un’ uscita del tipo

0 tsinAq oo

cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e fase.

Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con esponenziali complessi

0

tj

oo

tjii

eAq

eAq

per la relazione di Eulero

sencos AjAAe j

si ha

00 sencos

sencos0

tAtAeAq

tjAtAeAq

ootj

oo

iitj

ii

cioè:

0Im e Im tjoo

tjii eAqeAq

Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha

tji

tji

mm

tji

mm

tjtjo

nn

tjo

nn

eAeAjbeAjb

eAaeAjaeAja

01

1

001

1

b ...

... 000

questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

MA

Ai

q

q

j

jA

Ae

A

A

eA

eA

iq

q

aiaia

bibib

eA

eA

i

o

i

o

i

oj

i

otj

i

tjo

i

on

nn

n

mm

mm

tji

tjo

1sencossencos

sencos

...

...

22

01

1

01

1

Dalla eq. precedente si ha inoltre

e

e quindi

STRUMENTO DI ORDINE ZERO

0

00

0

00

000

a

bktkqtqtq

a

btq

tqbtqa

ii

i

Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA

ESEMPIO: POTENZIOMETRO

Xi e0

LEb

L

Ek

kxEL

xe

b

ibi

0

Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero

M

K

0

STRUMENTO PERFETTO

STRUMENTO DI ORDINE UNO

i

i

i

kqqdt

dq

a

a

a

bk

qa

bq

dt

dq

a

a

qbqadt

dqa

00

0

1

0

0

0

00

0

0

1

0000

1

Sensibilità statica

Costante di tempo

ESEMPIO : Termometro

fbb

p

bpbf

hAThATdt

dTcV

dTcVdtTThA

fi

bo

Tq

Tq

:

:

ioop qqdt

dq

hA

cV

K=1 poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature

hA

cV p

• Se consideriamo come qo lo spostamento xo

• sia KV il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro

c

Vb

c

Vo

ocbV

A

VKKT

A

VKx

xAVTKV

Risposta al gradino dello strumento del primo ordine

iso KqqD 1

iso KqqD 1

Integrale generale della

integrale particolare

soluzione completa

condizioni iniziali:

is

t

o

Kq

CeqD

0 1

0

0 0

0

isis KqCKqC

tq

quindi

t

is eKqq 1 0

is

t

KqCeq

0

t

is

is eKq

qKq

0

= Differenza percentuale

per 3678,0 1

0 e

Kq

qKq

is

is

quindi %2,63 3678,01 %0 tq

è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2% del valore finale

t

Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine

tKqqD

tq

is

isi

0

1

0 tq

0 t0

Come per il caso precedente

l’integrale generale è

e l’integrale particolare è

La soluzione risulta quindi

Con le condizioni iniziali:

si ottiene

tKqCeq is

t

0

tCeKqq

tq

t

is

0

0

0 0

tKq

Ce

is

t

Il grafico di questa risposta è il seguente

Risposta in frequenza dello strumento del I ordine

arctg11 22

K

D

Ki

q

q

i

o

Risposta all’impulso dello strumento del I ordine

Definizione di impulso

Funzione picco p(t)

altrove 0

0 TtT

Atp

Funzione impulso

Per lo strumento del I ordine

con ingresso p(t)

Come per il gradino , la soluzione è

Valida però solo fino al tempo t = T

t

eT

KAq

0 1

T

KAKqqD io 1

Adtti

0 t

0 t0ti

ampiezza

A area

All’istante t = T sarà

Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è

Che ha per soluzione

La costante iniziale C si determina con la

condizione iniziale (I) , si ottiene

0 1 io KqqD

t

t

Te

eKA

C

1

t

eT

KAq

0 1

t

Ceq

0

(I)

E quindi

t

tt

Te

eeKA

q

0

1

La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa

espressione per T 0 e applicando la regola di L’Hopital

per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le

derivate) si ottiene

t

eKA

q

0

Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente

Proprietà dell’impulso

STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE

iqbqadt

qda

dt

qda 000

012

02

2

Dividendo, al solito , per ao e posti

Sensibilità statica

frequenza naturale non smorzata

rapporto di smorzamento20

1

2

0

0

0

2

aa

a

a

a

a

bK

n

Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale

1

2 2

20

nn

i DD

KD

q

q

ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA

is

si

ii

fxKdt

dxB

dt

xdM

dt

xdMxK

dt

dxBf

xqfq

00

20

2

20

2

00

00 : :

1

2

2

2

nn

DDK

dove

MK

BM

K

KK

s

sn

s

2

1

fi xo

Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale)

1

2

0

nn

i iiK

iq

q

In forma polare si ottiene :

n

n

i

iq

Kq

2 2 2

22

0

/41

1/

Modulo

n

n

2arctg

fase