5 formulacion mef para estados planos
TRANSCRIPT
![Page 1: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/1.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
![Page 2: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/2.jpg)
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ
x
yz
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
๐ข = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐๐ง๐ง = ๐ ๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ
x
yz
![Page 3: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/3.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
De manera general, en elasticidad tridimensional:
![Page 4: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/4.jpg)
๐๐ =
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
Deformaciones para EPD:
![Page 5: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/5.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ,๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
๐ = ๐๐ ๐ข
Deformaciones para EPD:
![Page 6: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/6.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ถ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
Tensiones para EPD:
![Page 7: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/7.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
๐
Tensiones para EPD:
![Page 8: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/8.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ =๐ธ 1 โ ๐
1 + ๐ 1 โ 2๐
1
๐
1 โ ๐0
๐
1 โ ๐1 0
0 01 โ 2๐
2 1 โ ๐
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
Tensiones para EPD:
![Page 9: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/9.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Lu
Lf
X
yz
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
P.T.V.:
๐๐๐๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
= ๐ข๐๐๐ต๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
+ ๐ข๐๐๐๐๐ง๐๐ฟ
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ฟ๐
![Page 10: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/10.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
๐ก ๐๐ ๐ข ๐๐ถ ๐๐ ๐ข๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข ,๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
![Page 11: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/11.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
A
m
DISCRETIZACION:
![Page 12: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/12.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
![Page 13: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/13.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ Interpolaciรณn ๐ข =
๐ข1
๐ฃ1๐ข2
๐ฃ2๐ข3
๐ฃ3๐ข4
๐ฃ4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
![Page 14: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/14.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ ,๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ , ๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
![Page 15: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/15.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
![Page 16: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/16.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
![Page 17: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/17.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
![Page 18: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/18.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h1(x,y)
โ1 ๐ฅ1,๐ฆ1 = 1
โ1 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 1
![Page 19: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/19.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h2(x,y)
โ2 ๐ฅ2,๐ฆ2 = 1
โ2 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 2
![Page 20: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/20.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h3(x,y)
โ3 ๐ฅ3,๐ฆ3 = 1
โ3 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 3
![Page 21: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/21.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h4(x,y)
โ4 ๐ฅ4,๐ฆ4 = 1
โ4 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 4
![Page 22: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/22.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
โ1 ๐ฅ, ๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
![Page 23: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/23.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข3 + โ4 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข4
๐ข ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ข๐
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข๐
4
๐=1
![Page 24: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/24.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ๐
4
๐=1
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ3 + โ4 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ4
๐ฃ ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ฃ๐
![Page 25: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/25.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข ๐ = ๐ข1 ๐ฃ1 ๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3 ๐ฃ3 ๐ข4 ๐ฃ4
![Page 26: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/26.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
![Page 27: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/27.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ = ๐1 ๐2 โฏ ๐๐
๐ข2x1 ๐
= ๐ป2xN ๐
๐Nx1
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐ก
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐
Para toda la estructura:
๐ป ๐ = 0 โฏ 0 โ3 0 0 0 โ1 0 0 โฏ 0 0 0 0 โ2 0 โ4 0 โฏ 00 โฆ 0 0 โ3 0 0 0 โ1 0 โฏ 0 โ4 0 0 0 โ2 0 0 โฏ 0
โ โ โ โ โ โ โ โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
![Page 28: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/28.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ ๐ =
๐๐ฅ๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
= ๐ต ๐ ๐
๐๐ฅ๐ฅ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ข๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
=๐๐ฃ ๐
๐๐ฆ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ฃ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฆ+๐๐ฃ ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ข๐ + ๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ฃ๐
![Page 29: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/29.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ข ๐ = ๐ป ๐ ๐
๐ ๐ = ๐๐ ๐ป ๐ ๐
๐ต ๐ = ๐๐ ๐ป ๐
๐ ๐ = ๐ต ๐ ๐
![Page 30: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/30.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐พ ๐ = ๐ต ๐ ๐๐ถ ๐ ๐ต ๐ ๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐ 1x3 ๐ ๐
๐ถ3x3 ๐
๐ต๐ 3x1 ๐
๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐ต๐ ๐
โถ Columna i de la matriz ๐ต ๐
![Page 31: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/31.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ ๐ฆ ๐๐ pertenecen al elemento ๐ โ ๐พ๐๐ โ 0
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข
๐ ๐ = ๐ต ๐ข =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ข
![Page 32: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/32.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐พ8x8 ๐
= ๐ต8x3๐ ๐ถ3x3๐ต3x8
๐ด
๐๐ด
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐๐ ๐ถ ๐ต๐ ๐๐ด
๐ด
sistema local โถ ๐พ๐๐ ๐
sistema global โถ ๐พ๐๐ ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐พ๐๐ ๐
![Page 33: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/33.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฟ๐ ๐ = ๐๐ข1
1
๐๐ฃ1
2
๐๐ข2
3
๐ ๐ฃ2
4
๐๐ข3
5
๐๐ฃ3
6
๐ก๐ข4
7
๐๐ฃ4
8
Referencial Local Referencial Global
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ11 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ12 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ13 ๐
โฎ
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ18 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ22 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ23 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ24 ๐
โฎ
![Page 34: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/34.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐พ๐ฅ๐ฆ
๐ =
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
๐๐ง๐ง = โ๐
๐ธ ๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ
![Page 35: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/35.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ถ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
![Page 36: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/36.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
๐๐ฅ๐ฅ๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
=
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ,๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
![Page 37: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/37.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ =๐ธ
1 โ ๐2
1 ๐ 0๐ 1 0
0 01 โ ๐
2
๐
๐๐ฅ0
0๐
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ฅ
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
![Page 38: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/38.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Lu
Lf
X
yz
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
P.T.V.:
๐๐๐๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
= ๐ข๐๐๐ต๐๐ง๐๐ด
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ด
+ ๐ข๐๐๐๐๐ง๐๐ฟ
๐ก2
โ๐ก 2 ๐ฟ๐
![Page 39: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/39.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ถ ๐
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ก ๐๐๐๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข , ๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
๐ก ๐๐ ๐ข ๐๐ถ ๐๐ ๐ข๐๐ด
๐ด
= ๐ก ๐ข๐๐๐ต๐๐ด
๐ด
+ ๐ก ๐ข๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
โ ๐ข ,๐ข = 0 en ๐ฟ๐ข
![Page 40: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/40.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
A
m
DISCRETIZACION:
![Page 41: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/41.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
![Page 42: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/42.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ Interpolaciรณn ๐ข =
๐ข1
๐ฃ1๐ข2
๐ฃ2๐ข3
๐ฃ3๐ข4
๐ฃ4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
![Page 43: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/43.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ ,๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
๐ขโ ๐ฅ,๐ฆ , ๐ฃโ ๐ฅ,๐ฆ
![Page 44: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/44.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
![Page 45: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/45.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
![Page 46: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/46.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
![Page 47: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/47.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h1(x,y)
โ1 ๐ฅ1,๐ฆ1 = 1
โ1 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 1
![Page 48: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/48.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h2(x,y)
โ2 ๐ฅ2,๐ฆ2 = 1
โ2 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 2
![Page 49: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/49.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h3(x,y)
โ3 ๐ฅ3,๐ฆ3 = 1
โ3 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 3
![Page 50: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/50.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
1
Y
X
h4(x,y)
โ4 ๐ฅ4,๐ฆ4 = 1
โ4 ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = 0 ๐ โ 4
![Page 51: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/51.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
โ1 ๐ฅ, ๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
![Page 52: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/52.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ข3 + โ4 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข4
๐ข ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ข๐
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ข๐
4
๐=1
![Page 53: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/53.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ = โ๐ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ๐
4
๐=1
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ1 + โ2 ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฃ2 + โ3 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ3 + โ4 ๐ฅ,๐ฆ ๐ฃ4
๐ฃ ๐ฅ๐ ,๐ฆ๐ = ๐ฃ๐
![Page 54: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/54.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ข ๐ = ๐ข ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฃ ๐ฅ, ๐ฆ
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข ๐ = ๐ข1 ๐ฃ1 ๐ข2 ๐ฃ2 ๐ข3 ๐ฃ3 ๐ข4 ๐ฃ4
![Page 55: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/55.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
![Page 56: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/56.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ = ๐1 ๐2 โฏ ๐๐
๐ข2x1 ๐
= ๐ป2xN ๐
๐Nx1
๐ข ๐ฅ, ๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐ก
๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ = โ1๐๐ + โ2๐๐ + โ3๐๐ + โ4๐๐
Para toda la estructura:
๐ป ๐ = 0 โฏ 0 โ3 0 0 0 โ1 0 0 โฏ 0 0 0 0 โ2 0 โ4 0 โฏ 00 โฆ 0 0 โ3 0 0 0 โ1 0 โฏ 0 โ4 0 0 0 โ2 0 0 โฏ 0
โ โ โ โ โ โ โ โ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก
![Page 57: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/57.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ ๐ =
๐๐ฅ๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
= ๐ต ๐ ๐
๐๐ฅ๐ฅ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ข๐
๐๐ฆ๐ฆ ๐
=๐๐ฃ ๐
๐๐ฆ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ฃ๐
๐พ๐ฅ๐ฆ ๐
=๐๐ข ๐
๐๐ฆ+๐๐ฃ ๐
๐๐ฅ=
๐โ๐๐๐ฆ
4
๐=1
๐ข๐ + ๐โ๐๐๐ฅ
4
๐=1
๐ฃ๐
![Page 58: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/58.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐๐ ๐ข
๐ข ๐ = ๐ป ๐ ๐
๐ ๐ = ๐๐ ๐ป ๐ ๐
๐ต ๐ = ๐๐ ๐ป ๐
๐ ๐ = ๐ต ๐ ๐
![Page 59: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/59.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐พ ๐ = ๐ต ๐ ๐๐ถ ๐ ๐ต ๐ ๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐ 1x3 ๐ ๐
๐ถ3x3 ๐
๐ต๐ 3x1 ๐
๐๐ด ๐
๐ด ๐
๐ต๐ ๐
โถ Columna i de la matriz ๐ต ๐
![Page 60: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/60.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐๐ ๐ฆ ๐๐ pertenecen al elemento ๐ โ ๐พ๐๐ โ 0
๐ข ๐ = ๐ป ๐ข = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ข
๐ ๐ = ๐ต ๐ข =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ข
![Page 61: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/61.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐พ8x8 ๐
= ๐ต8x3๐ ๐ถ3x3๐ต3x8
๐ด
๐๐ด
๐พ๐๐ ๐
= ๐ต๐๐ ๐ถ ๐ต๐ ๐๐ด
๐ด
sistema local โถ ๐พ๐๐ ๐
sistema global โถ ๐พ๐๐ ๐
๐พ๐๐ ๐
= ๐พ๐๐ ๐
![Page 62: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/62.jpg)
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ฟ๐ ๐ = ๐๐ข1
1
๐๐ฃ1
2
๐๐ข2
3
๐ ๐ฃ2
4
๐๐ข3
5
๐๐ฃ3
6
๐ก๐ข4
7
๐๐ฃ4
8
Referencial Local Referencial Global
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ11 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ12 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ13 ๐
โฎ
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ18 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ22 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ23 ๐
posiciรณn ๐๐ โจ๐พ24 ๐
โฎ
![Page 63: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/63.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Calcular el desplazamiento vertical en los dos puntos marcados
Y
X
P
l
h
v1
v2
l
![Page 64: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/64.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Discretizaciรณn
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U10
U9
U12
U11
U2
![Page 65: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/65.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Simetrรญa
U8
U6
![Page 66: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/66.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U2
Discretizaciรณn
![Page 67: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/67.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Funciones de forma
โ1 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐
โ2 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ
โ3 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
โ4 ๐ฅ,๐ฆ =1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
![Page 68: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/68.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de funciones de forma
๐ป = โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4 00 โ1 0 โ2 0 โ3 0 โ4
๐ป =
1
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
01
4๐๐ 2๐ฅ + ๐ 2๐ฆ + ๐ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ + 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ โ 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ 0
1
4๐๐ ๐ + 2๐ฅ ๐ โ 2๐ฆ
![Page 69: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/69.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de deformaciones aproximadas
๐ต =
๐โ1
๐๐ฅ0
0๐โ1
๐๐ฆ๐โ1
๐๐ฆ
๐โ1
๐๐ฅ
๐โ2
๐๐ฅ0
0๐โ2
๐๐ฆ๐โ2
๐๐ฆ
๐โ2
๐๐ฅ
๐โ3
๐๐ฅ0
0๐โ3
๐๐ฆ๐โ3
๐๐ฆ
๐โ3
๐๐ฅ
๐โ4
๐๐ฅ0
0๐โ4
๐๐ฆ๐โ4
๐๐ฆ
๐โ4
๐๐ฅ
๐ต =
โ + 2๐ฆ
2โ๐0
0๐ + 2๐ฅ
2โ๐๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ + 2๐ฆ
2โ๐
โโ + 2๐ฆ
2โ๐0
0๐ โ 2๐ฅ
2โ๐๐ โ 2๐ฅ
2โ๐โโ + 2๐ฆ
2โ๐
โโ โ 2๐ฆ
2โ๐0
0 โ๐ โ 2๐ฅ
2โ๐
โ๐ โ 2๐ฅ
2โ๐โโ โ 2๐ฆ
2โ๐
โ โ 2๐ฆ
2โ๐0
0 โ๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ๐ + 2๐ฅ
2โ๐
โ โ 2๐ฆ
2โ๐
![Page 70: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/70.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de rigidez
๐ต๐๐ถ๐ต ๐๐
= ๐ต๐ ๐๐ถ ๐ต
๐
๐พ ๐๐
= ๐ต๐๐ถ๐ต ๐๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
0
โ
0
= ๐ต๐ ๐๐ถ ๐ต
๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐
0
โ
0
![Page 71: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/71.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
๐ ๐ต = ๐ก ๐ป๐ ๐ฆ=โ
๐๐๐๐ฅ
๐
0
๐ ๐ต = ๐ก ๐ป๐๐๐๐๐ฟ
๐ฟ๐
![Page 72: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/72.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
๐ = ๐ ๐ต + ๐ ๐ถ
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
๐ ๐ถ = 0
๐ = ๐ ๐ต
![Page 73: 5 Formulacion Mef Para Estados Planos](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020111/55cf9bfe550346d033a828a7/html5/thumbnails/73.jpg)
EJERCICIO EPT
Mรฉtodo de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saรบl Suaznรกbar Velarde
Sistema de ecuaciones
๐พ๐ = ๐
๐พ๐๐ ๐พ๐๐
๐พ๐๐ ๐พ๐๐ ๐๐
๐๐ =
๐ ๐
๐ ๐
๐๐ : GL Libres
๐๐ : GL Vinculados